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Algébricas
Matemática - Álgebra
O que são frações
          algébricas?
 São frações que tem variáveis no denominador.



Ex.:
     7             4x − y            5x
 a)             b)              c) 2
    2 xy            y +5          a − 2a + 1
O que são frações
          algébricas?
 São frações que tem variáveis no denominador.



Ex.:
     7             4x − y            5x
 a)             b)              c) 2
    2 xy            y +5          a − 2a + 1
Resumindo...
             Frações com variável no denominador
O que são?
Denominador                         sempre
               diferente                        de 0
      O denominador de uma fração nunca pode ser
       zero.
      Assim, deve-se excluir os valores das variáveis
       que anulam o denominador.

   5a            x +1             2x                x +8
a)    → x ≠ 0 b)      → y≠7   c)     → a ≠ −5   d)        →x≠3
    x            y −7            a+5               2x − 6
                                                      2x − 6 ≠ 0
                   y −7 ≠ 0          a+5 ≠ 0          2x ≠ 6
                   y≠7               a ≠ −5             6
                                                      x≠
                                                        2
                                                      x≠3
Denominador                         sempre
               diferente                        de 0
      O denominador de uma fração nunca pode ser
       zero.
      Assim, deve-se excluir os valores das variáveis
       que anulam o denominador.

   5a            x +1             2x                x +8
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                                                      x≠
                                                        2
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  • 2. O que são frações algébricas?  São frações que tem variáveis no denominador. Ex.: 7 4x − y 5x a) b) c) 2 2 xy y +5 a − 2a + 1
  • 3. O que são frações algébricas?  São frações que tem variáveis no denominador. Ex.: 7 4x − y 5x a) b) c) 2 2 xy y +5 a − 2a + 1
  • 4. Resumindo... Frações com variável no denominador O que são?
  • 5. Denominador sempre diferente de 0  O denominador de uma fração nunca pode ser zero.  Assim, deve-se excluir os valores das variáveis que anulam o denominador. 5a x +1 2x x +8 a) → x ≠ 0 b) → y≠7 c) → a ≠ −5 d) →x≠3 x y −7 a+5 2x − 6 2x − 6 ≠ 0 y −7 ≠ 0 a+5 ≠ 0 2x ≠ 6 y≠7 a ≠ −5 6 x≠ 2 x≠3
  • 6. Denominador sempre diferente de 0  O denominador de uma fração nunca pode ser zero.  Assim, deve-se excluir os valores das variáveis que anulam o denominador. 5a x +1 2x x +8 a) → x ≠ 0 b) → y≠7 c) → a ≠ −5 d) →x≠3 x y −7 a+5 2x − 6 2x − 6 ≠ 0 y −7 ≠ 0 a+5 ≠ 0 2x ≠ 6 y≠7 a ≠ −5 6 x≠ 2 x≠3
  • 7. Resumindo... Frações com variável no denominador O que são? Regra Denominador deve ser diferente de zero
  • 8. Simplificação de frações algébricas  Para simplificar uma fração, fatoramos o numerador e o denominador. Ex.: 4a 2b 3 2.2.a.a.b.b.b 2a a) 4 = = 6ab 2.3.a.b.b.b.b 3b a 2 − 9 ( a + 3)( a − 3) a − 3 b) = = 5a + 15 5( a + 3) 5
  • 9. Simplificação de frações algébricas  Para simplificar uma fração, fatoramos o numerador e o denominador. Ex.: 4a 2b 3 2.2.a.a.b.b.b 2a a) 4 = = 6ab 2.3.a.b.b.b.b 3b a 2 − 9 ( a + 3)( a − 3) a − 3 b) = = 5a + 15 5( a + 3) 5
  • 10. Resumindo... Frações com variável no denominador O que são? Regra Denominador deve ser diferente de zero Simplificação Dividir numerador e denominador pelo divisor comum Operações
  • 11. Tente fazer sozinh 1- Simplifique: xy 2 18r 2 s a) 2 = d) = x y 48rs 2x − 4ab b) = e) = 20 x 2 16ab − 3x 22 x 3 yz 4 c) = f) 2 2 = 15 x 33 x yz
  • 12. Tente fazer sozinho 1- Simplifique: xy 2 x. y. y y 18r 2 s 3.6.r.r.s 3r a) 2 = = d) = = x y x.x. y x 48rs 6.8.r.s 8 2x 2.x 1 − 4ab 4.a.b 1 b) = = e) =− =− 20 x 2 2.10.x.x 10 x 16ab 4.4.a.b 4 − 3x 3.x 1 22 x 3 yz 4 2.11.x.x.x. y.z.z.z.z 2 xz 2 c) =− =− f) 2 2 = = 15 x 3.5.x 5 33 x yz 3.11.x.x. y.z.z 3
  • 13. Tente fazer sozinho 2- Simplifique: a +1 3x + 3 y d) = a) = ac + c 6 14 − 7 a x2 b) = e) 3 = 21 3x − 2 x 2 ax + ay 14 x 2 + 2 x c) = bx + by f) = 7x +1
  • 14. Tente fazer sozinho 2- Simplifique: a +1 a +1 1 3 x + 3 y 3( x + y ) x + y d) = = a) = = ac + c c( a + 1) c 6 2.3 2 14 − 7 a 7( 2 − a ) 2 − a e) 3 x2 = 2 x2 = 1 b) = = 21 3.7 3 3x − 2 x 2 x ( 3x − 2) ( 3x − 2) ax + ay a ( x + y ) a 14 x 2 + 2 x 2 x( 7 x + 1) c) = = bx + by b( x + y ) b f) = = 2x 7 x +1 7x +1
  • 15. Tente fazer sozinho 3- Simplifique: 5( m − 2 ) a) 2 = m − 4m + 4 x 2 − 49 b) = x−7 x2 −1 c) = 3x + 3
  • 16. Tente fazer sozinh 3- Simplifique: 5( m − 2 ) 5( m − 2 ) 5( m − 2 ) 5 a) 2 = = = m − 4m + 4 ( m − 2 ) 2 ( m − 2)( m − 2) ( m − 2) x 2 − 49 x 2 − 7 2 ( x − 7 )( x + 7 ) b) = = = x +7 x −7 x −7 x −7 x 2 −1 x 2 −12 ( x −1)( x +1) ( x −1) c) = = 3 x + 3 3( x +1) 3( x +1) 3
  • 17. Tente fazer sozinh 3- Simplifique (continuação): 4x2 − 4x +1 d) = 4x −1 2 4 − x2 e) = 6 + 3x 2x − 6 f) 2 = x − 6x + 9
  • 18. Tente fazer sozinh 3- Simplifique (continuação): d) 4x2 − 4x +1 = ( 2 x − 1) = ( 2 x − 1) = 1 4x −1 2 ( 2 x ) 2 − 12 ( 2 x + 1)( 2 x − 1) ( 2 x + 1) 4 − x 2 2 2 − x 2 ( 2 + x )( 2 − x ) ( 2 − x ) e) = = = 6 + 3 x 3( 2 + x ) 3( 2 + x ) 3 2x − 6 2( x − 3) 2 f) = = x 2 − 6 x + 9 ( x − 3) 2 ( x − 3)
  • 19. Adição e Subtração de frações algébricas Utilizamos as mesmas regras das frações numéricas.  Frações com denominadores iguais: Ex.: a) 12c + 3 − 5c = 12c + 3 − 5c = 7c + 3 a a a a 8 + m m − 1 8 + m − ( m − 1) 8 + m − m + 1 9 b) − = = = 2x 2x 2x 2x 2x
  • 20. Adição e Subtração de frações algébricas Utilizamos as mesmas regras das frações numéricas.  Frações com denominadores iguais: Ex.: a) 12c + 3 − 5c = 12c + 3 − 5c = 7c + 3 a a a a 8 + m m − 1 8 + m − ( m − 1) 8 + m − m + 1 9 b) − = = = 2x 2x 2x 2x 2x
  • 21. Resumindo... Frações com variável no denominador O que são? Regra Denominador deve ser diferente de zero Simplificação Dividir numerador e denominador pelo divisor comum Denominadores iguais Trabalhar os numeradores e manter o denominador Soma e Subtração Operações
  • 22. Tente fazer sozinho 1- Calcule e simplifique, se possível, os resultados: a +9 a −9 a) + = x +1 x +1 4x −1 4x − 5 b) − = x −3 x −3 a 1 c) + = a +1 a +1
  • 23. Tente fazer sozinh 1- Calcule e simplifique, se possível, os resultados: a +9 a −9 a +9+ a −9 2a a) + = = x +1 x +1 x +1 x +1 4x −1 4x − 5 4x −1 − 4x + 5 4 b) − = = x−3 x−3 x −3 x−3 a 1 a +1 c) + = =1 a +1 a +1 a +1
  • 24. Adição e Subtração d frações algébricas  Frações com denominadores diferentes: Devemos tirar o m.m.c dos denominadores. 5m 3m 10m + 3m 13m Ex.: a) + = = x 2x 2x 2x 5 x − 1 10 − 3( x − 1) 10 − 3 x + 3 13 − 3 x b) − = = = 3x 2 x 6x 6x 6x
  • 25. Adição e Subtração de frações algébricas  Frações com denominadores diferentes: Devemos tirar o m.m.c dos denominadores. 5m 3m 10m + 3m 13m Ex.: a) + = = x 2x 2x 2x 5 x − 1 10 − 3( x − 1) 10 − 3 x + 3 13 − 3 x b) − = = = 3x 2 x 6x 6x 6x
  • 26. Resumindo... Frações com variável no denominador O que são? Regra Denominador deve ser diferente de zero Simplificação Dividir numerador e denominador pelo divisor comum Denominadores iguais Trabalhar os numeradores e manter o denominador Soma e Subtração Denominadores diferentes Mmc dos denominadores Operações
  • 27. Tente fazer sozinho 2- Calcule e simplifique, se possível, os resultados: 1 1 a) + = x y 5m 2 m b) − = 6a 3a x − 4 3 + 5x 1 c) − + = 6x 5x 10 x
  • 28. Tente fazer sozinho 2- Calcule e simplifique, se possível, os resultados: 1 1 y+x a) + = x y xy 5m 2m 5m − 4m m b) − = = 6a 3a 6a 6a x − 4 3 + 5x 1 5 x − 20 18 + 30 x 3 c) − + = − + = 6x 5x 10 x 30 x 30 x 30 x 5 x − 20 −18 − 30 x + 3 − 25 x − 35 − 5( 5 x + 7 ) − ( 5 x + 7 ) = = = = 30 x 30 x 5.6.x 6x
  • 29. Tente fazer sozinho 2- Calcule e simplifique (continuação): x 3 d) + = x +1 4 5 x − 2 x 2 −3x e) − 2 = 2x x 7 x +1 4 f) 2 − = x −4 x +2
  • 30. Tente fazer sozinho 2- Calcule e simplifique (continuação): x 3 4x 3 x +3 7 x +3 d) + = + = x +1 4 4( x +1) 4( x +1) 4( x +1) e) 5 x − 2 x 2 −3 x − = ( ) x ( 5 x − 2 ) − 2 x 2 −3 x = 2 2 2x x 2x 5 x 2 −2 x −2 x 2 +6 x 3x 2 + 4 x x( 3x + 4) 3x + 4 = 2 = 2 = 2 = 2x 2x 2x 2x 7 x +1 4 7 x +1 4 f) − = − = x − 4 x + 2 ( x + 2 )( x − 2 ) x + 2 2 7 x +1 − 4( x − 2 ) 7 x +1 − 4 x +8 3 x +9 = = 2 ( x + 2)( x −2) x −4 2 x −4
  • 31. Multiplicação de frações algébricas  Multiplicamos da mesma maneira que multiplicamos os números fracionários: Numerador x numerador Denominador x denominador Ex.: 3a a 3a 2 a) . = 5 x 2 y 10 xy b) x +y x −y . = ( x + y ).( x − y ) = x 2 − y 2 7a m 7 a.m 7 am a +1 3m 3m c) . = 2 x a +1 2x
  • 32. Multiplicação de frações algébricas  Multiplicamos da mesma maneira que multiplicamos os números fracionários: Numerador x numerador Denominador x denominador Ex.: 3a a 3a 2 a) . = 5 x 2 y 10 xy b) x +y x −y . = ( x + y ).( x − y ) = x 2 − y 2 7a m 7 a.m 7 am a +1 3m 3m c) . = 2 x a +1 2 x
  • 33. Resumindo... Frações com variável no denominador O que são? Regra Denominador deve ser diferente de zero Simplificação Dividir numerador e denominador pelo divisor comum Denominadores iguais Trabalhar os numeradores e manter o denominador Soma e Subtração Denominadores diferentes Mmc dos denominadores A C A.C Multiplicação . = Operações B D B.D
  • 34. Tente fazer sozinho 1- Efetue as multiplicações. 7x x a) . = 2a 3c 5 xy  2 x 2 y  b) . − 3  = 3a  b    x+ y x− y c) . = 5 5
  • 35. Tente fazer sozinho 1- Efetue as multiplicações. 2 7x x 7x a) . = 2a 3c 6ac 5 xy  2 x 2 y  10 x 3 y 2 b) . − 3  = − 3a   b   3ab 3 x + y x − y x2 − y2 c) . = 5 5 25
  • 36. Tente fazer sozinho 1- Efetue as multiplicações (continuação).  x  x2 d )7 x. − . =  2 8 x 3x + 5 e) . = x +7 x −7 x a +c f) 2 . = a −c 2 3x
  • 37. Tente fazer sozinho 1- Efetue as multiplicações (continuação). 2 4  x x 7x d )7 x. − . = −  2 8 16 x 3x + 5 3x 2 + 5 x e) . = 2 x+7 x−7 x − 49 x f) 2 2. a+c a+c = 2 2 = ( a + c) = 1 a − c 3x ( a − c ).3 3( a + c )( a − c ) 3( a − c )
  • 38. Divisão de frações algébricas  Procedemos da mesma forma como dividimos as frações numéricas: Multiplicar a primeira fração pelo inverso da segunda fração. a n a m am a) : = . = Ex.: c m c n cn 3a 2 3a 7 a 21a 2 b) : = . = 5 x 7a 5 x 2 10 x a m a x +1 a c) : = . = x +1 x +1 x +1 m m
  • 39. Divisão de frações algébricas  Procedemos da mesma forma como dividimos as frações numéricas: Multiplicar a primeira fração pelo inverso da segunda fração. a n a m am a) : = . = Ex.: c m c n cn 3a 2 3a 7 a 21a 2 b) : = . = 5 x 7a 5 x 2 10 x a m a x +1 a c) : = . = x +1 x +1 x +1 m m
  • 40. Resumindo... Frações com variável no denominador O que são? Regra Denominador deve ser diferente de zero Simplificação Dividir numerador e denominador pelo divisor comum Denominadores iguais Trabalhar os numeradores e manter o denominador Soma e Subtração Denominadores diferentes Mmc dos denominadores A C A.C Multiplicação . = Operações B D B.D A C A D Divisão : = . B D B C
  • 41. Tente fazer sozinho 1- Efetue as divisões. 2 3 a 4c a) : = c a 5a 3 b) : 2 = 3 pq p q 3x 2 6 x c) : 3 = 2y y
  • 42. Tente fazer sozinho 1- Efetue as divisões. a 2 4c 3 a 2 a a3 a) : = . 3 = 4 c a c 4c 4c 5a 3 5a p 2 q 5ap b) : 2 = . = 3 pq p q 3 pq 3 9 3x 2 6 x 1 3x 2 y 3 xy 2 c) : 3 = .2 = 2y y 2y 6x 4
  • 43. Tente fazer sozinho 1- Efetue as divisões (continuação). 9x2 d) : 3x = 5 4a 2 e)8a : = 7 x +1 a f) : = 7 x x −1
  • 44. Tente fazer sozinho 1- Efetue as divisões (continuação). 9x2 3 9x2 1 3x d) : 3x = .1 = 5 5 3x 5 4a 2 2 7 14 e)8a : = 8a. 1 2 = 7 4a a x +1 a x + 1 x −1 x 2 −1 f) : = . = 7 x x −1 7 x a 7 xa
  • 45. Potenciação de frações algébricas  Faz-se da mesma forma como nas frações numéricas: Elevamos numerador e denominador à mesma potência.  3x  3 ( 3x ) = 27 x 3 3 Ex.: a ) 3  =  2a  ( 2a 3 ) 3 8a 9 2  − 7a  ( − 7a ) = 49a 2 2 b)  =  4m  ( 4m ) 2 16m 2
  • 46. Potenciação de frações algébricas  Faz-se da mesma forma como nas frações numéricas: Elevamos numerador e denominador à mesma potência.  3x  3 ( 3x ) = 27 x 3 3 Ex.: a ) 3  =  2a  ( 2a 3 ) 3 8a 9 2  − 7a  ( − 7a ) = 49a 2 2 b)  =  4m  ( 4m ) 2 16m 2
  • 47. Resumindo... Frações com variável no denominador O que são? Regra Denominador deve ser diferente de zero Simplificação Dividir numerador e denominador pelo divisor comum Denominadores iguais Trabalhar os numeradores e manter o denominador Soma e Subtração Denominadores diferentes Mmc dos denominadores A C A.C Multiplicação . = Operações B D B.D A C A D Divisão : = . B D B C n  A An Expoente positivo   = n B B Potenciação
  • 48. Tente fazer sozinho 1- Calcule as potências. 3 a b  2 a ) 4  =  x    4  5a 2  b) −   =   3  3  3x 2  c) −  4 y5  =   
  • 49. Tente fazer sozinho 1- Calcule as potências. a b  2 3 a ) 4  = (a b ) = a 6b 3 2 3  x    (x ) 4 3 x12  5a b)− 2  4  = (−5a 2 ) = 625a 8 4  3  34 81    3x c )− 2  3  = (−3x ) = −27 x 6 2 3  4 y5    (4 y ) 5 3 64 y15
  • 50. Tente fazer sozinho 1- Calcule as potências (continuação). 2  3n  d )  =  n−5 2 1+ m  e)  =  x −3  0  5x  2 f )  3x − 1  =   
  • 51. Tente fazer sozinho 1- Calcule as potências (continuação).  3n  2 ( 3n ) = 2 9n 2 9n 2 d )  = = 2  n−5 ( n − 5) n − 2.n.5 + 5 n − 10n + 25 2 2 2 1+ m  (1 + m ) = 12 + 2.1.m + m 2 = 1 + 2m + m 2 = m 2 + 2m + 1 2 2 e)  =  x−3  ( x − 3) 2 x 2 − 2.x.3 + 32 x 2 − 6 x + 9 x 2 − 6 x + 9 0  5x  2 f )  3x − 1  = 1   
  • 52. Potenciação de frações algébricas  Expoente negativo Invertemos a base e depois trocamos o sinal do expoente. −1 1 Ex.: x  y y a )  =   =  y   x x −2 2 a2  c  3 c 6 b) 3 c   = 2  = 4 a      a
  • 53. Potenciação de frações algébricas  Expoente negativo Invertemos a base e depois trocamos o sinal do expoente. −1 1 Ex.: x  y y a )  =   =  y   x x −2 2 a2  c  3 c 6 b) 3 c   = 2  = 4 a      a
  • 54. Resumindo... Frações com variável no denominador O que são? Regra Denominador deve ser diferente de zero Simplificação Dividir numerador e denominador pelo divisor comum Denominadores iguais Trabalhar os numeradores e manter o denominador Soma e Subtração Denominadores diferentes Mmc dos denominadores A C A.C Multiplicação . = Operações B D B.D A C A D Divisão : = . B D B C n  A An Expoente positivo   = n B B Potenciação −n  A Bn Expoente negativo   = n B A
  • 55. Tente fazer sozinho 2- Calcule as potências negativas. −2 a a) 3  = b  −3  ac  b)  = m −1  3x − 1  c)  =  7+ x 
  • 56. Tente fazer sozinho 2- Calcule as potências negativas. −2 2 a  b  b6 3 a) 3  =   = 2 a a b    −3 3  ac  m m3 b)  =   = 3 3 m  ac  a c −1  3x − 1  7+ x c)  =  7+ x  3x − 1
  • 57. Tente fazer sozinho 2- Calcule as potências negativas (continuação). −2  x −1  d )  =  x +3 −3  2  e) 2  = x y   −2  a −b f )  =  − 3a 
  • 58. Tente fazer sozinho 2- Calcule as potências negativas (continuação). −2 2  x −1   x +3 x 2 + 2.x.3 + 32 x 2 + 6 x + 9 d )  =  = 2 = 2  x +3  x −1  x − 2.x.1 + 1 x − 2x +1 2 −3 3  2  x y 2 x6 y3 e) 2  =  x y  2  = 8      −2 2  a −b  − 3a  9a 2 f )  =  = 2  − 3a   a −b  a − 2ab + b 2
  • 59. FRAÇÕES ALGÉBRICAS Frações com variável no denominador O que são? Regra Denominador deve ser diferente de zero Simplificação Dividir numerador e denominador pelo divisor comum Denominadores iguais Trabalhar os numeradores e manter o denominador Soma e Subtração Denominadores diferentes Mmc dos denominadores A C A.C Multiplicação . = Operações B D B.D A C A D Divisão : = . B D B C n  A An Expoente positivo   = n B B Potenciação n  A An Expoente negativo   = n B B
  • 60. Bibliografia  NAME, Miguel Assis. Tempo de Matemática – 7ª série. 1ª edição. SP: Editora do Brasil, 1996.  Site Exatas, acessado em 29/03/2011: http://www.exatas.mat.br/fracaoalg.htm