Fr ações
Algébricas
Matemática - Álgebra

O que são frações
algébricas?
 São frações que tem variáveis no denominador.
Ex.:
7 4x − y 5x
a) b) c) 2
2 xy y +5 a − 2a + 1

O que são frações
algébricas?
 São frações que tem variáveis no denominador.
Ex.:
7 4x − y 5x
a) b) c) 2
2 xy y +5 a − 2a + 1

Resumindo...
Frações com variável no denominador
O que são?

Denominador sempre
diferente de 0
 O denominador de uma fração nunca pode ser
zero.
 Assim, deve-se excluir os valores das variáveis
que anulam o denominador.
5a x +1 2x x +8
a) → x ≠ 0 b) → y≠7 c) → a ≠ −5 d) →x≠3
x y −7 a+5 2x − 6
2x − 6 ≠ 0
y −7 ≠ 0 a+5 ≠ 0 2x ≠ 6
y≠7 a ≠ −5 6
x≠
2
x≠3

Denominador sempre
diferente de 0
 O denominador de uma fração nunca pode ser
zero.
 Assim, deve-se excluir os valores das variáveis
que anulam o denominador.
5a x +1 2x x +8
a) → x ≠ 0 b) → y≠7 c) → a ≠ −5 d) →x≠3
x y −7 a+5 2x − 6
2x − 6 ≠ 0
y −7 ≠ 0 a+5 ≠ 0 2x ≠ 6
y≠7 a ≠ −5 6
x≠
2
x≠3

Resumindo...
Frações com variável no denominador
O que são?
Regra Denominador deve ser diferente de zero

Simplificação de frações
algébricas
 Para simplificar uma fração, fatoramos o
numerador e o denominador.
Ex.:
4a 2b 3 2.2.a.a.b.b.b 2a
a) 4
= =
6ab 2.3.a.b.b.b.b 3b
a 2 − 9 ( a + 3)( a − 3) a − 3
b) = =
5a + 15 5( a + 3) 5

Simplificação de frações
algébricas
 Para simplificar uma fração, fatoramos o
numerador e o denominador.
Ex.:
4a 2b 3 2.2.a.a.b.b.b 2a
a) 4
= =
6ab 2.3.a.b.b.b.b 3b
a 2 − 9 ( a + 3)( a − 3) a − 3
b) = =
5a + 15 5( a + 3) 5

Resumindo...
Frações com variável no denominador
O que são?
Regra Denominador deve ser diferente de zero
Simplificação Dividir numerador e denominador pelo divisor comum
Operações

Tente fazer sozinh
1- Simplifique:
xy 2 18r 2 s
a) 2 = d) =
x y 48rs
2x − 4ab
b) = e) =
20 x 2
16ab
− 3x 22 x 3 yz 4
c) = f) 2 2
=
15 x 33 x yz

Tente fazer sozinho
1- Simplifique:
xy 2 x. y. y y 18r 2 s 3.6.r.r.s 3r
a) 2 = = d) = =
x y x.x. y x 48rs 6.8.r.s 8
2x 2.x 1 − 4ab 4.a.b 1
b) = = e) =− =−
20 x 2
2.10.x.x 10 x 16ab 4.4.a.b 4
− 3x 3.x 1 22 x 3 yz 4 2.11.x.x.x. y.z.z.z.z 2 xz 2
c) =− =− f) 2 2
= =
15 x 3.5.x 5 33 x yz 3.11.x.x. y.z.z 3

Tente fazer sozinho
2- Simplifique:
a +1
3x + 3 y d) =
a) = ac + c
6
14 − 7 a x2
b) = e) 3 =
21 3x − 2 x 2
ax + ay 14 x 2 + 2 x
c) =
bx + by f) =
7x +1

Tente fazer sozinho
2- Simplifique:
a +1 a +1 1
3 x + 3 y 3( x + y ) x + y d) = =
a) = = ac + c c( a + 1) c
6 2.3 2
14 − 7 a 7( 2 − a ) 2 − a e) 3
x2
= 2
x2
=
1
b) = =
21 3.7 3 3x − 2 x 2
x ( 3x − 2) ( 3x − 2)
ax + ay a ( x + y ) a 14 x 2 + 2 x 2 x( 7 x + 1)
c) = =
bx + by b( x + y ) b f) = = 2x
7 x +1 7x +1

Tente fazer sozinho
3- Simplifique:
5( m − 2 )
a) 2 =
m − 4m + 4
x 2 − 49
b) =
x−7
x2 −1
c) =
3x + 3

Tente fazer sozinh
3- Simplifique:
5( m − 2 ) 5( m − 2 ) 5( m − 2 ) 5
a) 2 = = =
m − 4m + 4 ( m − 2 ) 2
( m − 2)( m − 2) ( m − 2)
x 2 − 49 x 2 − 7 2 ( x − 7 )( x + 7 )
b) = = = x +7
x −7 x −7 x −7
x 2 −1 x 2 −12 ( x −1)( x +1) ( x −1)
c) = =
3 x + 3 3( x +1) 3( x +1) 3

Tente fazer sozinh
3- Simplifique (continuação):
4x2 − 4x +1
d) =
4x −1
2
4 − x2
e) =
6 + 3x
2x − 6
f) 2 =
x − 6x + 9

Tente fazer sozinh
3- Simplifique (continuação):
d)
4x2 − 4x +1
=
( 2 x − 1) = ( 2 x − 1) = 1
4x −1
2
( 2 x ) 2 − 12 ( 2 x + 1)( 2 x − 1) ( 2 x + 1)
4 − x 2 2 2 − x 2 ( 2 + x )( 2 − x ) ( 2 − x )
e) = = =
6 + 3 x 3( 2 + x ) 3( 2 + x ) 3
2x − 6 2( x − 3) 2
f) = =
x 2 − 6 x + 9 ( x − 3) 2 ( x − 3)

Adição e Subtração de
frações algébricas
Utilizamos as mesmas regras das frações
numéricas.
 Frações com denominadores iguais:
Ex.: a) 12c + 3 − 5c = 12c + 3 − 5c = 7c + 3
a a a a
8 + m m − 1 8 + m − ( m − 1) 8 + m − m + 1 9
b) − = = =
2x 2x 2x 2x 2x

Adição e Subtração de
frações algébricas
Utilizamos as mesmas regras das frações
numéricas.
 Frações com denominadores iguais:
Ex.: a) 12c + 3 − 5c = 12c + 3 − 5c = 7c + 3
a a a a
8 + m m − 1 8 + m − ( m − 1) 8 + m − m + 1 9
b) − = = =
2x 2x 2x 2x 2x

Resumindo...
Frações com variável no denominador
O que são?
Regra Denominador deve ser diferente de zero
Simplificação Dividir numerador e denominador pelo divisor comum
Denominadores iguais Trabalhar os numeradores e
manter o denominador
Soma e Subtração
Operações

Tente fazer sozinho
1- Calcule e simplifique, se possível, os resultados:
a +9 a −9
a) + =
x +1 x +1
4x −1 4x − 5
b) − =
x −3 x −3
a 1
c) + =
a +1 a +1

Tente fazer sozinh
1- Calcule e simplifique, se possível, os resultados:
a +9 a −9 a +9+ a −9 2a
a) + = =
x +1 x +1 x +1 x +1
4x −1 4x − 5 4x −1 − 4x + 5 4
b) − = =
x−3 x−3 x −3 x−3
a 1 a +1
c) + = =1
a +1 a +1 a +1

Adição e Subtração d
frações algébricas
 Frações com denominadores diferentes:
Devemos tirar o m.m.c dos denominadores.
5m 3m 10m + 3m 13m
Ex.: a) + = =
x 2x 2x 2x
5 x − 1 10 − 3( x − 1) 10 − 3 x + 3 13 − 3 x
b) − = = =
3x 2 x 6x 6x 6x

Adição e Subtração de
frações algébricas
 Frações com denominadores diferentes:
Devemos tirar o m.m.c dos denominadores.
5m 3m 10m + 3m 13m
Ex.: a) + = =
x 2x 2x 2x
5 x − 1 10 − 3( x − 1) 10 − 3 x + 3 13 − 3 x
b) − = = =
3x 2 x 6x 6x 6x

Resumindo...
Frações com variável no denominador
O que são?
Regra Denominador deve ser diferente de zero
Simplificação Dividir numerador e denominador pelo divisor comum
Denominadores iguais Trabalhar os numeradores e
manter o denominador
Soma e Subtração
Denominadores diferentes Mmc dos denominadores
Operações

Tente fazer sozinho
2- Calcule e simplifique, se possível, os resultados:
1 1
a) + =
x y
5m 2 m
b) − =
6a 3a
x − 4 3 + 5x 1
c) − + =
6x 5x 10 x

Tente fazer sozinho
2- Calcule e simplifique, se possível, os resultados:
1 1 y+x
a) + =
x y xy
5m 2m 5m − 4m m
b) − = =
6a 3a 6a 6a
x − 4 3 + 5x 1 5 x − 20 18 + 30 x 3
c) − + = − + =
6x 5x 10 x 30 x 30 x 30 x
5 x − 20 −18 − 30 x + 3 − 25 x − 35 − 5( 5 x + 7 ) − ( 5 x + 7 )
= = = =
30 x 30 x 5.6.x 6x

Tente fazer sozinho
2- Calcule e simplifique (continuação):
x 3
d) + =
x +1 4
5 x − 2 x 2 −3x
e) − 2
=
2x x
7 x +1 4
f) 2 − =
x −4 x +2

Tente fazer sozinho
2- Calcule e simplifique (continuação):
x 3 4x 3 x +3 7 x +3
d) + = + =
x +1 4 4( x +1) 4( x +1) 4( x +1)
e)
5 x − 2 x 2 −3 x
− =
( )
x ( 5 x − 2 ) − 2 x 2 −3 x
=
2 2
2x x 2x
5 x 2 −2 x −2 x 2 +6 x 3x 2 + 4 x x( 3x + 4) 3x + 4
= 2
= 2
= 2
=
2x 2x 2x 2x
7 x +1 4 7 x +1 4
f) − = − =
x − 4 x + 2 ( x + 2 )( x − 2 ) x + 2
2
7 x +1 − 4( x − 2 ) 7 x +1 − 4 x +8 3 x +9
= = 2
( x + 2)( x −2) x −4
2
x −4

Multiplicação de frações
algébricas
 Multiplicamos da mesma maneira que
multiplicamos os números fracionários:
Numerador x numerador
Denominador x denominador
Ex.: 3a a 3a 2
a) . =
5 x 2 y 10 xy
b)
x +y x −y
. =
( x + y ).( x − y ) = x 2 − y 2
7a m 7 a.m 7 am
a +1 3m 3m
c) . =
2 x a +1 2x

Multiplicação de frações
algébricas
 Multiplicamos da mesma maneira que
multiplicamos os números fracionários:
Numerador x numerador
Denominador x denominador
Ex.: 3a a 3a 2
a) . =
5 x 2 y 10 xy
b)
x +y x −y
. =
( x + y ).( x − y ) = x 2 − y 2
7a m 7 a.m 7 am
a +1 3m 3m
c) . =
2 x a +1 2 x

Resumindo...
Frações com variável no denominador
O que são?
Regra Denominador deve ser diferente de zero
Simplificação Dividir numerador e denominador pelo divisor comum
Denominadores iguais Trabalhar os numeradores e
manter o denominador
Soma e Subtração
Denominadores diferentes Mmc dos denominadores
A C A.C
Multiplicação . =
Operações B D B.D

Tente fazer sozinho
1- Efetue as multiplicações.
7x x
a) . =
2a 3c
5 xy  2 x 2 y 
b) . − 3  =
3a  b 
 
x+ y x− y
c) . =
5 5

Tente fazer sozinho
1- Efetue as multiplicações.
2
7x x 7x
a) . =
2a 3c 6ac
5 xy  2 x 2 y  10 x 3 y 2
b) . − 3  = −
3a   b   3ab 3
x + y x − y x2 − y2
c) . =
5 5 25

Tente fazer sozinho
1- Efetue as multiplicações (continuação).
 x  x2
d )7 x. − . =
 2 8
x 3x + 5
e) . =
x +7 x −7
x a +c
f) 2 . =
a −c 2
3x

Tente fazer sozinho
1- Efetue as multiplicações (continuação).
2 4
 x x 7x
d )7 x. − . = −
 2 8 16
x 3x + 5 3x 2 + 5 x
e) . = 2
x+7 x−7 x − 49
x
f) 2 2.
a+c a+c
= 2 2 =
( a + c) = 1
a − c 3x ( a − c ).3 3( a + c )( a − c ) 3( a − c )

Divisão de frações
algébricas
 Procedemos da mesma forma como dividimos as
frações numéricas:
Multiplicar a primeira fração pelo inverso da segunda
fração.
a n a m am
a) : = . =
Ex.: c m c n cn
3a 2 3a 7 a 21a 2
b) : = . =
5 x 7a 5 x 2 10 x
a m a x +1 a
c) : = . =
x +1 x +1 x +1 m m

Divisão de frações
algébricas
 Procedemos da mesma forma como dividimos as
frações numéricas:
Multiplicar a primeira fração pelo inverso da segunda
fração.
a n a m am
a) : = . =
Ex.: c m c n cn
3a 2 3a 7 a 21a 2
b) : = . =
5 x 7a 5 x 2 10 x
a m a x +1 a
c) : = . =
x +1 x +1 x +1 m m

Resumindo...
Frações com variável no denominador
O que são?
Regra Denominador deve ser diferente de zero
Simplificação Dividir numerador e denominador pelo divisor comum
Denominadores iguais Trabalhar os numeradores e
manter o denominador
Soma e Subtração
Denominadores diferentes Mmc dos denominadores
A C A.C
Multiplicação . =
Operações B D B.D
A C A D
Divisão : = .
B D B C

Tente fazer sozinho
1- Efetue as divisões.
2 3
a 4c
a) : =
c a
5a 3
b) : 2 =
3 pq p q
3x 2 6 x
c) : 3 =
2y y

Tente fazer sozinho
1- Efetue as divisões.
a 2 4c 3 a 2 a a3
a) : = . 3 = 4
c a c 4c 4c
5a 3 5a p 2 q 5ap
b) : 2 = . =
3 pq p q 3 pq 3 9
3x 2 6 x 1 3x 2 y 3 xy 2
c) : 3 = .2 =
2y y 2y 6x 4

Tente fazer sozinho
1- Efetue as divisões (continuação).
9x2
d) : 3x =
5
4a 2
e)8a : =
7
x +1 a
f) : =
7 x x −1

Tente fazer sozinho
1- Efetue as divisões (continuação).
9x2 3
9x2 1 3x
d) : 3x = .1 =
5 5 3x 5
4a 2 2 7 14
e)8a : = 8a. 1 2 =
7 4a a
x +1 a x + 1 x −1 x 2 −1
f) : = . =
7 x x −1 7 x a 7 xa

Potenciação de frações
algébricas
 Faz-se da mesma forma como nas frações
numéricas:
Elevamos numerador e denominador à mesma
potência.
 3x 
3
( 3x ) = 27 x 3
3
Ex.: a ) 3  =
 2a  ( 2a 3 ) 3 8a 9
2
 − 7a  ( − 7a ) = 49a 2
2
b)  =
 4m  ( 4m ) 2
16m 2

Potenciação de frações
algébricas
 Faz-se da mesma forma como nas frações
numéricas:
Elevamos numerador e denominador à mesma
potência.
 3x 
3
( 3x ) = 27 x 3
3
Ex.: a ) 3  =
 2a  ( 2a 3 ) 3 8a 9
2
 − 7a  ( − 7a ) = 49a 2
2
b)  =
 4m  ( 4m ) 2
16m 2

Resumindo...
Frações com variável no denominador
O que são?
Regra Denominador deve ser diferente de zero
Simplificação Dividir numerador e denominador pelo divisor comum
Denominadores iguais Trabalhar os numeradores e
manter o denominador
Soma e Subtração
Denominadores diferentes Mmc dos denominadores
A C A.C
Multiplicação . =
Operações B D B.D
A C A D
Divisão : = .
B D B C n
 A An
Expoente positivo   = n
B B
Potenciação

Tente fazer sozinho
1- Calcule as potências.
3
a b 
2
a ) 4  =
 x 
 
4
 5a 2

b) −
  =

 3 
3
 3x 2

c) −
 4 y5  =

 

Tente fazer sozinho
1- Calcule as potências.
a b 
2 3
a ) 4  =
(a b ) = a 6b 3
2 3
 x 
  (x )
4 3 x12
 5a
b)−
2

4
 =
(−5a 2 ) = 625a 8
4
 3  34 81
 
 3x
c )−
2

3
 =
(−3x ) = −27 x 6
2 3
 4 y5


 (4 y )
5 3 64 y15

Tente fazer sozinho
1- Calcule as potências (continuação).
2
 3n 
d )  =
 n−5
2
1+ m 
e)  =
 x −3 
0
 5x 
2
f )
 3x − 1  =

 

Tente fazer sozinho
1- Calcule as potências (continuação).
 3n 
2
( 3n ) =
2
9n 2 9n 2
d )  = = 2
 n−5 ( n − 5) n − 2.n.5 + 5 n − 10n + 25
2 2 2
1+ m  (1 + m ) = 12 + 2.1.m + m 2 = 1 + 2m + m 2 = m 2 + 2m + 1
2 2
e)  =
 x−3  ( x − 3) 2 x 2 − 2.x.3 + 32 x 2 − 6 x + 9 x 2 − 6 x + 9
0
 5x 
2
f )
 3x − 1  = 1

 

Potenciação de frações
algébricas
 Expoente negativo
Invertemos a base e depois trocamos o sinal do
expoente.
−1 1
Ex.: x  y y
a )  =   =
 y
  x x
−2 2
a2
 c 
3
c 6
b) 3
c 
 = 2  = 4
a 
    a

Potenciação de frações
algébricas
 Expoente negativo
Invertemos a base e depois trocamos o sinal do
expoente.
−1 1
Ex.: x  y y
a )  =   =
 y
  x x
−2 2
a2
 c 
3
c 6
b) 3
c 
 = 2  = 4
a 
    a

Resumindo...
Frações com variável no denominador
O que são?
Regra Denominador deve ser diferente de zero
Simplificação Dividir numerador e denominador pelo divisor comum
Denominadores iguais Trabalhar os numeradores e
manter o denominador
Soma e Subtração
Denominadores diferentes Mmc dos denominadores
A C A.C
Multiplicação . =
Operações B D B.D
A C A D
Divisão : = .
B D B C n
 A An
Expoente positivo   = n
B B
Potenciação −n
 A Bn
Expoente negativo   = n
B A

Tente fazer sozinho
2- Calcule as potências negativas.
−2
a
a) 3  =
b 
−3
 ac 
b)  =
m
−1
 3x − 1 
c)  =
 7+ x 

Tente fazer sozinho
2- Calcule as potências negativas.
−2 2
a  b  b6
3
a) 3  =   = 2
a a
b   
−3 3
 ac  m m3
b)  =   = 3 3
m  ac  a c
−1
 3x − 1  7+ x
c)  =
 7+ x  3x − 1

Tente fazer sozinho
2- Calcule as potências negativas (continuação).
−2
 x −1 
d )  =
 x +3
−3
 2 
e) 2  =
x y
 
−2
 a −b
f )  =
 − 3a 

Tente fazer
sozinho
2- Calcule as potências negativas (continuação).
−2 2
 x −1   x +3 x 2 + 2.x.3 + 32 x 2 + 6 x + 9
d )  =  = 2 = 2
 x +3  x −1  x − 2.x.1 + 1 x − 2x +1
2
−3 3
 2  x y 2
x6 y3
e) 2  = 
x y  2  = 8

   
−2 2
 a −b  − 3a  9a 2
f )  =  = 2
 − 3a   a −b  a − 2ab + b 2

FRAÇÕES ALGÉBRICAS
Frações com variável no denominador
O que são?
Regra Denominador deve ser diferente de zero
Simplificação Dividir numerador e denominador pelo divisor comum
Denominadores iguais Trabalhar os numeradores e
manter o denominador
Soma e Subtração
Denominadores diferentes Mmc dos denominadores
A C A.C
Multiplicação . =
Operações B D B.D
A C A D
Divisão : = .
B D B C n
 A An
Expoente positivo   = n
B B
Potenciação n
 A An
Expoente negativo   = n
B B

Bibliografia
 NAME, Miguel Assis. Tempo de
Matemática – 7ª série. 1ª edição. SP:
Editora do Brasil, 1996.
 Site Exatas, acessado em 29/03/2011:
http://www.exatas.mat.br/fracaoalg.htm