Este documento discute um projeto de pesquisa que visa melhorar o ensino da geometria na formação de professores de matemática. O projeto envolve alunos da licenciatura em matemática da UFPR que participam de atividades como seminários e visitas a escolas para analisar desafios e propor soluções criativas para o ensino da geometria. Exemplos de temas desenvolvidos incluem o uso de tecnologia educacional e abordagens inclusivas para deficientes visuais.

1. Problemas sobre os professores principiantes em seus processos de inserção
profissional
INFORMES DE INVESTIGAÇÃO
DEIXE-ME PENSAR: RESGATANDO O ENSINO DA GEOMETRIA NA
FORMAÇÃO DO PROFESSOR DE MATEMÁTICA
Luz, Adriana Augusta Benigno dos Santos
driu@ufpr.br
UFPR – Departamento de Expressão Gráfica
Góes, Anderson Roges Teixeira
artgoes@ufpr.br
UFPR – Departamento de Expressão Gráfica; e
Secretaria de Educação do Município de Araucária/PR
Palavras-chave: ensino da geometria - formação docente - licenciatura em matemática.
1. Introdução
Esta pesquisa está em execução há nove anos e vem, no decorrer desses anos,
propondo ao futuro professor de matemática a utilização de recursos que geram
possibilidades de novos caminhos para a aprendizagem, reestruturando o ensino através
da construção do conhecimento solidificado de forma dialética. Com isso, visa ampliar a
cooperação do Departamento de Expressão Gráfica na melhoria da qualidade do curso
de Licenciatura em Matemática no que tange à sua área específica de atuação, qual seja
o ensino de Geometria. Os alunos participantes da pesquisa tem a oportunidade de
conhecer outras disciplinas do departamento, complementando sua formação. Com o
intuito de analisar as dificuldades existentes no que concerne ao ensino da geometria,
propondo soluções criativas para melhorar a construção do conhecimento nesta área,
os licenciandos terão oportunidade de participar de congressos, seminários, encontros,
oficinas etc, para divulgar seus trabalhos e também se inteirar do trabalho
desenvolvido por outros grupos. Os trabalhos poderão ser divulgados em eventos na
área de Expressão Gráfica, de matemática, educação e em eventos institucionais como o
EVINCI, na semana de matemática promovida pelo curso e outros. Podem também
participar, a sua escolha de atividades desenvolvidas por outros programas do curso.
Um dos fatores preponderantes desta pesquisa é sua integração com o programa
LICENCIAR. Esta é um braço do projeto “Deixe-me pensar: uma abordagem
filosófica para o ensino da geometria na disciplina de matemática nas escolas da rede
pública” iniciado em 2005, com o intuito de ajudar a complementar a formação acadêmica
do aluno do curso de Licenciatura em matemática. Esse projeto começou com dois
alunos, um bolsista e um voluntário. Nos anos subsequentes o grupo foi crescendo aos
poucos. No ano de 2009, por exemplo, houve uma grande procura e interesse por parte
dos alunos, tivemos quatro alunos bolsistas e três voluntários, selecionados de uma
lista de 22 inscritos. No entanto, o auge do projeto se deu em 2010, tivemos cinco

2. alunos bolsistas e seis voluntários, selecionados de uma lista de 25 inscritos, além
disto, tivemos a colaboração de três alunas do Programa de Pós-Graduação em
Educação em Ciências e em Matemática e dois orientadores da UFPR, sem contar os
alunos que desenvolveram seu trabalho de conclusão de curso na área. Neste ano de
2013, tivemos 18 alunos inscritos, contando hoje com 06 bolsistas e 04 voluntários e 02
professores externos a universidades. Isto posto, é fator motivante a dar continuidade ao
projeto LICENCIAR e a esta pesquisa, que vem abrangendo um número cada vez maior
de acadêmicos contribuindo para a formação do futuro professor de matemática e para a
melhoria da qualidade do ensino da geometria.
Nossa pretensão com o trabalho aqui apresentado é de proporcionar ao licenciando
experiências que o levem a refletir sobre a área de Ensino, principalmente no que
concerne ao ensino da Geometria, nas escolas públicas de Ensino Médio e Fundamental.
A resignificação da área de conhecimento, em que a Geometria está inserida, passando
a ser entendida como uma ciência do pensamento cria uma nova perspectiva para os
alunos, professores e para as instituições educacionais como um todo, sintonizados com
nova visão de mundo, expressa em um novo paradigma de sociedade e de educação
(LUZ, 2004). Com isso, é garantido ao licenciando o aprofundamento no ensino da
matemática através de uma releitura da Geometria; buscando as relações reais entre
universidade e escola; pesquisas na área de Educação, buscando relações
interdisciplinares para solucionar as deficiências do ensino nas escolas públicas.
Os acadêmicos participantes do projeto mantêm contato direto com professores de
matemática das escolas da rede pública, buscando através do ensino da Geometria
aplicações interdisciplinares, com o intuito de analisar as dificuldades existentes no dia a
dia, propondo soluções criativas para a questão do aprendizado em sala de aula.
Para aplicarem propostas inovadoras para o aprendizado da Matemática através do
ensino da Geometria cada licenciando em matemática faz estudos sobre
interdisciplinaridade e Geometria, mantêm contato com as escolas selecionadas e realiza
visitas semanais para assistir às aulas de geometria e levantamento dos problemas in
loco. Analisa as dificuldades encontradas em sala de aula e nos livros didáticos, aplica
nas séries escolhidas as novas propostas interdisciplinares por eles elaboradas e, por
fim, fazem a análise dos resultados finais do trabalho aplicado e sua divulgação através
de publicações em congressos e/ou periódicos científicos.
Todo este estudo e prática, garante aos participantes do trabalho uma formação global e
crítica como sujeitos de transformação da realidade e capacitados para o exercício da
cidadania, como resposta para os grandes problemas contemporâneos!
2. Desenvolvimento do Projeto
O desenvolvimento do trabalho pelo grupo de professores e alunos do projeto
Licenciar “Deixe-me pensar: uma abordagem filosófica para o ensino da geometria na
disciplina de matemática nas escolas da rede pública” tem sua concepção fundamentada
em um método dialético em relação à construção do conhecimento. Em relação aos
conteúdos da Geometria na disciplina de matemática trabalhados em sala de aula de
escolas da rede pública, adotou-se a classificação de Zabala (1999) que integra os
conteúdos da aprendizagem em conceituais, procedimentais e atitudinais. Pois,
aprendemos de forma distinta o que sabemos, o que sabemos fazer é o que nos faz agir

3. de um modo ou de outro. Para que haja uma aprendizagem autêntica, os conteúdos da
aprendizagem devem estar sempre interligados, não podendo ser vistos de forma
fragmentada em propostas compartimentadas por duas razões:
Uma que tem relação com a significância das aprendizagens: se queremos que o que se aprende
tenha sentido para o aprendiz, deve estar bem relacionado com todos os componentes que
intervêm e que o tornam compreensível e funcional. Assim, o domínio de uma técnica ou de um
algoritmo não poderá ser utilizado convenientemente caso se desconheça o porquê de seu uso,
ou seja, se não está associado aos seus componentes conceituais. Não serve de nada a
habilidade para o cálculo, por exemplo, a de somar, se não é capaz de usá-la como meio para
resolver situações de soma (conceitualização da soma).
A outra razão é dada por uma constatação: quando aprendemos qualquer coisa, esta sempre tem
componentes conceituais, procedimentais e atitudinais. Podemos estar mais ou menos
conscientes disso, ou seu ensino será ou não intencional, mas, de qualquer forma, no momento de
aprender estamos utilizando ou reforçando simultaneamente conteúdos de natureza conceitual,
procedimental e atitudinal. Isso, claro, sempre que as aprendizagens não sejam puramente
mecânicas (ZABALA, 1999, p. 09).
Partindo deste princípio, e tentando levar esta nova postura para a sala de aula,
trabalhamos as propostas metodológicas em duas partes: a Geometria do pensamento e
a Geometria da forma. Esta metodologia é toda baseada nos trabalhos desenvolvidos por
Luz (2004).
A primeira parte, denominada Geometria do pensamento, tem por finalidade trabalhar o
pensamento abstrato, através do resgate da criatividade de cada aluno. São utilizadas
dinâmicas denominadas “Brincar é falta de seriedade?”, na qual os exercícios propostos
só seriam solucionados de forma criativa, o que geralmente não é estimulado nas
disciplinas curriculares, nas quais os alunos têm que dar sempre respostas prontas,
copiadas de livros. Não existem respostas certas nem erradas e sim soluções individuais
envolvendo todo o contexto apresentado.
A segunda parte, denominada Geometria da forma, tem por finalidade o
desenvolvimento dos conteúdos conceituais da disciplina de matemática, porém sempre
interligados com a prática do saber fazer (conteúdos procedimentais) e com o pensar a
respeito e solucionar problemas (conteúdos atitudinais), relacionando-os com exemplos
reais e de interesse dos alunos dentro da sua realidade.
Os tópicos estudados durante os encontros do grupo são apresentados em seminários
realizados pelos alunos, cada um em sua área de interesse, e debatidos posteriormente
com todo o grupo. Nesse momento, os alunos já têm um conhecimento significativo dos
conteúdos conceituais, associando-os aos conteúdos procedimentais que exercitaram e
aplicaram no decorrer dos estudos, podendo, assim, transformar a realidade que os
cercam.
Realizada a fase dos estudos que dura aproximadamente um semestre letivo são
marcados encontros com professores de matemática da rede pública (de escolas
previamente selecionadas) no qual discutimos o ensino da geometria e os problemas que
vêm levando ao abandono desta matéria pelos professores. Na terceira fase os
licenciandos vão às escolas escolhidas para analisarem in loco os problemas existentes.
Após as fases anteriores, nos preocupamos com os conteúdos apresentados pelos livros
adotados pelas escolas. Trabalhamos em pareceria com várias editoras que se
interessaram em participar de nossa pesquisa, cedendo coleções de livros didáticos de

4. matemática do ensino fundamental e médio, para serem analisados pelos alunos do
grupo.
Damos ênfase também a tecnologias educacionais ao trabalharmos a Geometria
Dinâmica, através de softwares livres, de fácil aquisição para as escolas e para os alunos
do grupo aplicando-a em ambientes reais e cotidianos do educando.
Todas essas descrições sobre o trabalho desenvolvido com os alunos do Curso de
Licenciatura em Matemática demonstram a importância do método proposto, de cunho
dialético, para o processo de ensino e aprendizagem e formação profissional. Com isso,
fazemos releituras da realidade e de nossas práticas sociais, reconstruindo-a a cada fase
do processo de aprendizagem, utilizando a Geometria como uma ferramenta a serviço da
reconstrução individual e coletiva do conhecimento e da prática social do grupo.
Por todas as considerações expendidas, compreende-se que este trabalho reflete o que
muitos educadores desde o final século passado entendem como essência da educação:
fazer emergir vivências do processo de conhecimento, levando a resultados que gerem
experiências de aprendizagem, criatividade para construir novos conhecimentos e
habilidades para poder pensar os mais variados assuntos.
a. Temas desenvolvidos neste projeto
Como forma de ilustração sobre o que discursamos neste artigo, apresentamos resumos
das atividades desenvolvidas pelos licenciandos em matemática durante estes anos de
aplicação do projeto.
A tecnologia educacional no ensino do Desenho Geométrico: Geometria Dinâmica
e Ambiente Virtual de Aprendizagem
Nesta pesquisa foi desenvolvida uma abordagem diferenciada de ensino e aprendizado
do Desenho Geométrico no ensino fundamental. Este estudo surgiu da necessidade de
explorar os conceitos das figuras geométricas, com software de geometria dinâmica. Para
tanto, utilizamos o “C.a.R. Metal” (Régua e Compasso versão Metal) por ser livre e
possuir interface gráfica agradável e ferramentas que não existem em outros aplicativos.
Além deste recurso, utilizamos a plataforma Moodle onde foram disponibilizados
materiais didáticos, exercícios e avaliações. Desta forma, o software e o ambiente virtual
formaram um caderno interativo de atividades de/para cada aluno. O tema abordado
lugares geométricos foi aplicado em turma do 9º ano, aliando os conteúdos do desenho
geométrico com os conteúdos da matemática.
Esponja de Menger: a utilização da geometria como recurso alternativo para o
aprendizado de área e volume na disciplina de matemática
O ensino geometria permite desenvolver um tipo especial de pensamento, no que se
refere ao seu cotidiano, que favorece a compreensão, a descrição e a representação de
forma organizada. Mesmo assim, o ensino da geometria tem sido muitas vezes,
negligenciado ou feito de forma ineficiente, o que gera lacunas na aprendizagem de
conceitos tão importantes como área e volume na educação básica. Assim, foi proposta
uma abordagem para o ensino e aprendizado de área e volume por meio da Esponja de
Menger onde a Geometria é essencial. A Esponja de Menger, inventada pelo austríaco
Karl Menger, é um fractal interessante, pois possui um incrível paradoxo o de ser um
objeto geométrico com volume zero e área infinita. Com este recurso os alunos podem

5. não apenas visualizar, mas construir o conceito de área e volume diferenciando-os. Além
disto, podem retomar o conceito de potenciação nos sucessivos estágios do fractal e
identificar o conceito de razão.
Figura 1: Alunos confeccionando a Esponja de Menger – 7º ano
Figura 2: Esponjas de Menger (estágio 03) desenvolvida pelos alunos – 7º ano
Da geometria espacial a geometria plana: uma abordagem na educação inclusiva
de deficientes visuais
A presença de alunos portadores de necessidades especiais em salas de aula regular é
uma realidade. Não há dúvidas que essa prática propicie ganhos para todos os
integrantes da comunidade escolar, que podem ser maiores quando há formação para
docentes viabilizando metodologias que auxiliem no ensino e aprendizado na educação
inclusiva. Assim, no projeto realizamos uma abordagem com o intuito de melhorar a
aprendizagem da geometria para deficientes visuais. A confecção de sólidos regulares
com faces de texturas diferenciadas propiciou melhor sensibilidade ao tato, tornando o
estudo da geometria concreto para esses educandos. Com este material foi possível
estudar geometria de posição que desempenha um papel importante na melhoria da
orientação espacial dos mesmos. Esta metodologia propôs a utilização de recursos
adaptados que geram possibilidades de novas alternativas que contemplem uma
aprendizagem autêntica, destacando a Geometria por sua utilização como ferramenta na
formação de indivíduos mais independentes, ativos na construção de seu conhecimento,
instigando-os a identificar e classificar as formas geométricas planas, suas propriedades

6. e particularidades. Desta forma, a geometria surge como alternativa contribuindo para
uma independência e, consequentemente, uma maior qualidade de vida.
Figura 3: Materiais utilizados com os alunos cegos
(a) (b)
Figura 4: Representação da planificação de sólidos geométricos por um aluno cego após a
manipulação dos materiais. (a) tetraedro regular. (b) paralelepípedo.
Na figura 05-a notamos que o aluno conseguiu elaborar a planificação do tetraedro real,
no entanto, adicionou uma face. Na figura 05-b o aluno elaborou corretamente a
planificação, mas a proporcionalidade de uma das faces não se concretizou. Assim, como
no ensino e aprendizado de alunos videntes, realizamos mediações e o aluno conseguiu
compreender seus erros.
Uma proposta para abordar a Geometria Fractal no ensino fundamental
Durante muitos anos a geometria Euclidiana foi considerada absoluta e única, mas com a
descoberta de novas concepções da geometria surge uma nova interpretação dos
fenômenos naturais e suas relações com outros conteúdos matemáticos, dentre os quais
pode-se destacar o estudo da geometria fractal, no qual é possível fazer conexões com
conteúdos abordados no ensino fundamental, tais como: potenciação, ângulos, divisão de
segmentos, ponto médio, cálculo de áreas de figuras. Por se tratar de uma ciência
recente, observamos nas escolas que este trabalho encontra resistência por parte dos
professores de matemática em trabalhar o assunto em sala de aula. Desta forma, por
meio de atividades com materiais concretos e o uso da interdisciplinaridade despertamos
o interesse do aluno desenvolvendo conexões entre os temas abordados. Nesta pesquisa
utilizamos a Geometria também como fonte de prazer pelo estético e o belo.

7. Figura 5: Triangulo de Sierpinski realizado por aluno – 6º ano
Figura 6: Cartão Fractal realizado por aluno 6º ano
O ensino da geometria na formação acadêmica do professor de matemática
O ensino de geometria e os problemas que vem levando o abandono deste conteúdo
pelos licenciados em matemática foi o foco inicial que deu origem a esta temática dentro
do projeto. Muitos professores de matemática acabam deixando de lado o ensino da
geometria por não ter uma base sólida em sua formação. Buscando compreender o
“esquecimento” da geometria, foram realizadas entrevistas com professores e
graduandos de licenciatura em matemática da Universidade Federal do Paraná. Nestas
entrevistas, verificamos que muitos licenciandos não vivenciaram a geometria na
educação básica e isso os leva a não compreensão de conceitos básicos. Verificamos
também, através do levantamento historio realizado, que a universidade privilegia o
ensino da aritmética e álgebra, uma vez que disciplina, onde a geometria é o principal
recurso, foram reduzidas suas cargas-horárias a menos de 50% (cinqüenta por cento). A
geometria faz parte da matemática, resgatar e valorizar o ensino dela é um instrumento
facilitador na construção do conhecimento. Desta forma, devemos valorizá-la na
universidade, pois os futuros docentes aturam nos ensinos fundamental e médio.
Possibilidades de ensino da geometria na disciplina de matemática através do
software de Geometria Dinâmica “C.a.R. Metal”
Uma das ênfases dada no projeto com o intuito de melhorar o ensino da geometria na
disciplina de matemática é a utilização de softwares de Geometria Dinâmica. Assim, esta
proposta teve como objetivo apresentar possibilidades de ensino com o auxílio do

8. software “C.a.R. Metal” exemplificando sua utilização em “sala de aula”. Com a
introdução da Geometria Dinâmica o professor pode iniciar o conhecimento área da
geometria e “passear” por todas as áreas da matemática através de atividades que
explorem o desenho e resolução de problemas. Deve-se popularizar o uso deste tipo de
software para que o professor tenha mais uma ferramenta e com isso efetivar o ensino e
aprendizado, criando possibilidades com metodologias investigativas. O professor deve
estar aberto para entender os conceitos prévios dos alunos possibilitando que estes
interajam com o meio, analisando, explorando e construindo a atividade proposta, pois
desta forma a aprendizagem acontece de forma agradável e o aluno desenvolve a
autonomia do pensamento, que é a grande vantagem da utilização dessa abordagem,
pois nela o aluno é desafiado a propor e analisar soluções além de desenvolver a
criatividade e o trabalho em grupo, levando a melhoria da qualidade do ensino e
aprendizado em sala de aula.
Figura 7: Verificando o lugar geométrico do ponto A para que MNDE seja um losango
Tangram e Origami: alternativas metodológicas para o ensino da geometria
Na busca de uma nova perspectiva para o educando e o educador no estudo da
matemática no ensino fundamental das escolas públicas, o projeto desenvolveu
metodologia de ensino através do Origami e o Trangram que resgatou a geometria nas
séries finais do Ensino Fundamental. Com esta metodologia foi possível desenvolver
conteúdos da matemática como: polígonos, ângulos, áreas, posições relativas entre retas
e frações. Além os conteúdos próprios da matemática a metodologia desperta no aluno a
busca por solução de problemas, registro de seu pensamento, descobertas e, por fim, a
construção (e não repasse) de novos conhecimentos. Nesta metodologia o professor
assume seu papel de mediador entre os educandos e o conhecimento e possui a
consciência de que deve contribuir para que os seus alunos mudem a maneira de ver a
educação tipicamente fundamentada em métodos formais.

9. Figura 8: Relação entre áreas de triângulos e de quadrados – 8º ano
Figura 9: Origamis confeccionados para estudo de propriedades geométricas – 8º ano
A abordagem dos livros didáticos: a geometria no ensino de matemática
Restabelecer a importância da área de conhecimento onde a geometria está inserida
deve ser entendida como uma ciência do pensamento, criando uma nova perspectiva
para os alunos, professores e instituições de ensino como um todo, em consonância com
a nova visão de mundo, expressa em um novo paradigma de sociedade e
educação. Nesta perspectiva, foi da competência deste grupo: desenvolver estudos e
pesquisas sobre temas de interesse, dentro de uma abordagem interdisciplinar, buscando
novos significados para o ensino da geometria, proporcionando ideias sobre como ser
professor e pesquisador, para analisar e discutir projetos de investigação relacionados
com as linhas de pesquisas do departamento de expressão gráfica, promovendo debates
e outras atividades de interesse da comunidade acadêmica no âmbito do grupo de
discussão. Assim, o grupo examinou os livros de ensino de matemática no "Ensino
Fundamental (6º a 9º ano), da área de ensino geometria, não para criticar o livro, mas
para que o professor possa avaliar e explorar os tópicos apresentados. De maneira geral,
os livros didáticos apresentam poucas possibilidades de ensino de geometria ou ensino
através da geometria.
3. Avaliação
Para acompanhar o trabalho e avaliar se os resultados estão sendo alcançados durante o
processo de execução do projeto, fazemos avaliações processuais procurando corrigir

10. eventuais desvios de objetivo e/ou situações que comprometam a qualidade do
projeto, além de realizarmos uma avaliação ao final de cada ano letivo.
Este trabalho é inacabado e a cada ano novas contribuições vão se acumulando, sempre
no sentido de fortalecer uma relação teórico-prática, construindo, através da riqueza do
conhecimento acumulado, porém sempre em formação, a consciência da importância do
trabalho realizado, seu envolvimento com a sociedade e a formação do profissional
comprometido com uma transformação social.
Nesse tipo de trabalho não se deve esperar resultados numéricos e sim resultados
atitudinais em relação aos que foi trabalhado. Principalmente no que se refere a
formação docente, a melhoria do processo ensino e aprendizagem e ao resgate da
geometria enquanto ciência do pensamento.
Os dados são recapitulados e aprofundados a cada semana, para que haja uma melhor
compreensão da importância do estudo, não apenas para a formação acadêmica do
licenciando de matemática, mas também para a construção de uma visão holística da
aprendizagem, essencial para a formação do educando.
Através do exposto anteriormente, já se pode vislumbrar as inter-relação das atividades e
estudos apresentados. A principal contribuição desta pesquisa é seu papel na formação
continuada do futuro professor de matemática, favorecer a articulação entre ensino,
pesquisa e extensão, a interdisciplinaridade, integração entre diferentes áreas do
conhecimento. Além disso, temos os seguintes benefícios para a comunidade envolvida:
aprofundamento no ensino da geometria; edificação das relações entre universidade e
escola; desenvolvimento de pesquisas na área de Educação, buscando relações
interdisciplinares para solucionar as deficiências do ensino da geometria nas escolas
públicas e propiciar ao professor da rede pública um espaço aberto para diálogo junto a
Universidade.
Referências
KOSIK, K. (1976). Dialética do concreto. 2. ed. Rio de Janeiro: Paz e Terra.
LUZ, A.A.B.S. (2004). A (re) significação da geometria descritiva na formação do
engenheiro agrônomo. Curitiba. 140 f. Tese (doutorado em Agronomia) – Universidade
Federal do Paraná.
ZABALA, A. (1999). Como trabalhar os conteúdos procedimentais em aula. Porto
Alegre: Artes médicas sul.