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Convecção e condução 1
CONVECÇÃO E CONDUÇÃO

CAMADA LIMITE HIDRODINÂMICA
Quando encontra a placa, esta exerce uma força tangencial de corte sobre o elemento de fluido adjacente. Este
elemento não desliza, para, e passa a exercer uma força de corte tangencial sobre o elemento de fluido mais
próximo, retardando-o. Por sua vez, este vai retardar outro elemento adjacente. E assim sucessivamente. Forma-
se junto da placa uma camada que se desloca a uma velocidade inferior à do escoamento não perturbado-
camada limite hidrodinâmica
Espessura da camada limite hidrodinâmica
No seu trajeto, o fluido vai encontrar uma placa
plana muito delgada e de comprimento infinito
colocada paralelamente à direção de escoamento.
plana muito delgada e de comprimento infinito
camada limite hidrodinâmica

Este retardar dos elementos de fluido propaga-se, com uma intensidade atenuada, até que a alguma
distância da placa, na direção normal, a ação das forças de corte deixa de se fazer sentir. A partir desta
distância, a velocidade do fluido volta a ser 𝑣𝑜.
Á distância entre o prato e o ponto em que a velocidade
volta a ser 𝑣𝑜 chama-se espessura da camada limite δ
A camada-limite vai-se tornando
mais espessa à medida que o
fluido percorre a placa
𝛿99% é a distância do prato ao ponto em que a velocidade é 99% da
velocidade 𝑣𝑜
𝛿99% → 𝑓 Re𝑥 Re𝑥 =
𝜌𝑣𝑜𝑥
𝜇
A espessura da camada-limite laminar
de um fluido que passa sobre uma
placa plana é dada por:
𝛿99%
𝑥
=
5
Re𝑥
solução de Blasius

4
O escoamento na camada limite começa por ser laminar mas a partir de um dado x, i.e., de um dado valor de
Re𝑥, começa a observar-se a transição de regime laminar para regime turbulento. Este valor de transição para
uma placa plana depende da rugosidade da superfície e da intensidade de turbulência do escoamento exterior.
laminar turbulento
transição
Convecção e condução

CAMADA-LIMITE TÉRMICA
plana aquecida a uma temperatura constante 𝑇𝑠
𝑣0
Espessura da camada limite térmica
Prato aquecido a uma temperatura constante e fluido em
escoamento em torno do prato a uma temperatura inferior
PROBLEMA – COMO TER EM CONTA, DE UMA FORMA SIMPLES, A POTÊNCIA TRANSFERIDA
DO PRATO PARA O FLUIDO EM ESCOAMENTO

TEORIA/MODELO DO FILME ESTAGNADO
MODELO:
Se o fluido estivesse estagnado e a transferência de calor se desse só por condução, qual teria que ser a
espessura da camada estagnada para se obter a mesma potência calorífica que se obtém quando o fluido
está em movimento (convecção)
Fluido em
movimento
𝑄
𝑇𝑠 − 𝑇
𝑇𝑠
Fluido parado
𝑄
𝑇𝑠 − 𝑇
𝑇𝑠
𝛿
Condução
Modelo
Situação real
𝑄 = 𝑘𝐴
d𝑇
d𝑦
𝑦
𝑄 =
𝑘
𝛿
𝐴 𝑇𝑠 − 𝑇∞
𝑇∞
𝑇∞
𝑄 = ℎ𝐴 𝑇𝑠 − 𝑇∞
Coeficiente de transferência de calor por convecção

CAMADA-LIMITE TÉRMICA VERSUS CAMADA LIMITE HIDRODINÂMICA
O número de Prandtl exprime a relação entre a difusão de quantidade de
movimento e a difusão de quantidade de calor no fluido
Pr =
𝜇𝐶𝑝
𝑘
=
𝜈
𝛼
Pr ≪ 1 → A difusividade térmica é dominante, significando que a
espessura da camada limite térmica é muito maior que a hidrodinâmica
Nos gases o número de Prandtl é próximo de 1
Pr ≫ 1 →A difusividade hidrodinâmica é dominante, significando que a
espessura da camada limite hidrodinâmica é muito maior que a térmica

𝑇∞
𝑇1
𝑇2
𝑅2
𝑅1
𝐿
𝑇0
Fluido
ASSOCIAÇÃO DE RESISTÊNCIAS TÉRMICAS CONDUTIVAS E CONVECTIVAS
CILINDRO SEM GERAÇÃO DE CALOR E ESTADO ESTACIONÁRIO
Convecção Condução Convecção
Fluido interno
Parede
Ar exterior
O calor passa em série do fluido em escoamento
no interior do tubo para a parede e da parede
para o ar exterior
𝑅CI =
1
ℎ𝑖𝑛𝑡2𝜋𝑅1𝐿
Resistência interna
𝑅CT =
𝑅2 − 𝑅1
𝐾𝑇 𝐴𝑚𝑙
Resistência
condução tubo
𝑅CE =
1
ℎ𝑒𝑥𝑡2𝜋𝑅2𝐿
Resistência externa
𝑅eq = 𝑅CI + 𝑅CT + 𝑅CE =
1
+
𝑅2 − 𝑅1
𝐾𝑇 𝐴𝑚𝑙
+
1
𝑇0 − 𝑇∞ = 𝑄 × 𝑅eq
𝑇0 > 𝑇∞

RAIO CRÍTICO DO ISOLAMENTO EM PAREDES CILÍNDRICAS
Ar
Fluido quente
Isolamento
Parede do tubo
𝑇∞
𝑅1
𝑅2
𝑅3
𝑇1
𝑇2
𝑇3
𝑇0
𝑄 =
1
1
+
𝑅2 − 𝑅1
𝐾tub𝑜 𝐴𝑚𝑙,tub𝑜
+
𝑅3 − 𝑅2
𝐾isol. 𝐴𝑚𝑙,iso𝑙
+
1
𝑇0 − 𝑇∞
Análise se se aumentar a espessura do isolamento (𝑅3)
1 - Tendência para um aumento de Q devido ao aumento da
área de transferência de calor em contacto com o ar exterior
2 - Tendência para uma diminuição de Q devido à maior
resistência térmica introduzida pela camada de isolante.
Duas tendências opostas !!!!

𝑄
𝑅3
Máximo
Sem isolamento
Numa 1ª fase a
potência perdida
para o exterior
aumenta Só a partir do raio
crítico diminui
𝑅crítico 𝑅∗
Só a partir deste raio, a
potência perdida com
isolamento é menor que
perdida sem isolamento
𝑄 =
1
1
+
𝑅2 − 𝑅1
𝐾tub𝑜 𝐴𝑚𝑙,tub𝑜
+
𝑅3 − 𝑅2
𝐾isol. 𝐴𝑚𝑙,iso𝑙
+
1
𝑇0 − 𝑇∞
Na 1ª fase, o efeito de 𝑅3 na convecção exterior é maior que o efeito na condução
Conclusão: só vale a pena aumentar a
espessura do isolante a partir de um
dado valor do seu raio externo. Abaixo
deste valor, qualquer aumento de
espessura resulta em maiores perdas de
calor para o exterior.

A CONVEÇÃO COMO CONDIÇÃO FRONTEIRA
Ar Quente
Ar Frio
ℎar quente
ℎar frio
𝑇ar quente
𝑇ar frio
𝑇2
𝑇1
Convecção
Condução
Convecção
ℎar quente𝐴 𝑇ar quente − 𝑇1 = −𝑘𝐴
𝑑𝑇
𝑑𝑥 𝑥=0
𝑇ar quente
𝑇ar quente
ℎar frio𝐴 𝑇2 − 𝑇ar frio = −𝑘𝐴
𝑑𝑇
𝑑𝑥 𝑥=𝐿
𝑥
0
A potência calorífica que chega do ar quente por
convecção, entra na placa por condução em x=0
A potência calorífica que chega ao fim da placa por
condução, sai por convecção para o ar frio

Barra cilíndrica com condução e superfície lateral exposta ao ar
condução
𝑻𝟏 𝑻𝟐
Ar
Ar
convecção
convecção
𝑻∞
𝑻∞
x
𝑻𝟏 > 𝑻𝟐> 𝑻∞
Condução ao longo da barra desde o topo a mais elevada temperatura (T1) até ao outro topo (T2)
Convecção entre a parede lateral da barra e o ar ambiente
NOTA: Em cada secção reta da barra a temperatura é uniforme

Calor entra no elemento infinitesimal em x por condução
Calor sai do elemento infinitesimal em x+dx por condução
Calor sai pelas paredes laterais para o ar por convecção
Balanço a um elemento infinitesimal da barra de comprimento dx
𝑻𝟏
𝑻𝟐
𝑻∞
𝑻∞
x
𝑻𝟏 > 𝑻𝟐> 𝑻∞
x x+ dx
𝑄𝑥 𝑄𝑥+δ𝑥
Qconvecção
Qconvecção
𝑄𝑥 = 𝑄𝑥+δ𝑥 + 𝑄convecção
entra = sai
Elemento infinitesimal

Balanço a um elemento infinitesimal da barra de comprimento dx
𝑻𝟏
𝑻𝟐
x
x x+ dx
Qconvecção
Qconvecção
𝑄𝑥 = 𝑄𝑥+δ𝑥 + 𝑄convecção
−𝑘𝐴
d𝑇
d𝑥 𝑥
= −𝑘𝐴
d𝑇
d𝑥 𝑥+𝛿𝑥
+ ℎ 𝑝 𝛿𝑥 𝑇 − 𝑇∞
𝐴 = área da secção recta
𝑇 = temperatura do elemento quando δ𝑥 → 0
𝑝 𝛿𝑥 = área da superfície lateral
lim
𝛿𝑥→0
𝑘𝐴
d𝑇
d𝑥 𝑥+𝛿𝑥
− 𝑘𝐴
d𝑇
d𝑥 𝑥
𝛿𝑥
= ℎ 𝑝 𝑇 − 𝑇∞
d2
𝑇
d𝑥2 =
ℎ 𝑝
𝑘 𝐴
𝑇 − 𝑇∞ →
d2
𝜃
d𝑥2 = 𝑚2
𝑇 − 𝑇∞
𝜃 = 𝑇 − 𝑇∞
𝑚 =
ℎ 𝑝
𝑘 𝐴
𝑇∞ BALANÇO AO ELEMENTO
m é um parâmetro que mede a razão entre os
transportes por convecção e por condução
m elevado significa que se transfere muito
calor por convecção para o ar e pouco calor é
conduzido ao longo da barra e vice-versa

Equação diferencial linear homogénea de 2ª ordem
d2
𝑇
d𝑥2
=
ℎ 𝑝
𝑘 𝐴
𝑇 − 𝑇∞ →
d2
𝜃
d𝑥2
= 𝑚2𝜃
𝜃 = 𝑇 − 𝑇∞ 𝑚 =
ℎ 𝑝
𝑘 𝐴
Solução (Análise Matemática III)
θ = 𝐶1𝑒−𝑚𝑥
+ 𝐶2𝑒𝑚𝑥
CONDIÇÕES FRONTEIRA
1º CASO
𝑻𝟏 𝑻𝟐
x x x+ dx
Qconvecção
Qconvecção
O calor que entrou na barra sai todo por convecção pelas paredes laterais e não chega nenhum calor à outra
extremidade da barra. Este caso só se verifica se mL>5
θ = 𝐶1𝑒−𝑚𝑥
+ 𝐶2𝑒𝑚𝑥
𝑥 = 0 → 𝑇 = 𝑇1 𝑥 → ∞ → 𝑇 = 𝑇∞ → 𝜃 = 0
L é o comprimento da barra
15

SOLUÇÃO
𝑇1 − 𝑇∞ = 𝜃1 = 𝐶1 + 𝐶2
𝐶2 = 0 → 𝐶1 = 𝜃1
𝜃 = 𝜃1𝑒−𝑚𝑥
Perfil de temperatura ao longo da barra
A potência calorífica que entra por condução na barra (x = 0) é
perdida por convecção através das paredes laterais
𝑄 = −𝑘𝐴
d𝑇
d𝑥 𝑥=0
=
0
∞
ℎ𝑝𝜃 d𝑥 = 𝑚𝑘𝐴𝜃1
𝑇1
𝑇∞
𝐿 𝑥
16

2º CASO
𝑻𝟏 𝑻𝟐
x x x+ dx
Qconvecção
Qconvecção
O calor que chega à extremidade da barra é desprezável. Este caso só se verifica se 1< mL <5
θ = 𝐶1𝑒−𝑚𝑥 + 𝐶2𝑒𝑚𝑥
𝑥 = 0 → 𝑇 = 𝑇1 𝑥 = 𝐿 →
d𝑇
d𝑥
= 0
L é o comprimento da barra
SOLUÇÃO
𝑇1 − 𝑇∞ = 𝜃1 = 𝐶1 + 𝐶2
𝜃
𝜃1
=
𝑒2𝑚𝐿−𝑚𝑥 + 𝑒𝑚𝑥
1 + 𝑒2𝑚𝐿
𝑥 = 𝐿 →
d𝑇
d𝑥
= −𝑚𝐶1𝑒−𝑚𝐿
+ 𝑚𝐶2 𝑒+𝑚𝐿
=0
17

𝜃
𝜃1
=
𝑒2𝑚𝐿−𝑚𝑥 + 𝑒𝑚𝑥
1 + 𝑒2𝑚𝐿
Simplificando o perfil de temperatura ao longo da barra
senh 𝑥 =
𝑒𝑥
− 𝑒−𝑥
2
cosh 𝑥 =
𝑒𝑥
+ 𝑒−𝑥
2
𝜃
𝜃1
=
cosℎ 𝑚 𝐿 − 𝑥
cosh 𝑚𝐿
A potência calorífica que entra por condução na barra (x=0) é
perdida por convecção através das paredes laterais
𝑄 = −𝑘𝐴
d𝑇
d𝑥 𝑥=0
=
0
𝐿
ℎ𝑝𝜃 d𝑥 = 𝑚𝑘𝐴 tanh 𝑚𝐿 𝜃1
𝐿 𝑥
𝑇∞
𝑇1
18

3º CASO
𝑻𝟏 𝑻𝟐
x x x+ dx
Qconvecção
Qconvecção
Chega calor à extremidade da barra. Este caso só se verifica se mL <1
𝑥 = 0 → 𝑇 = 𝑇1
𝑥 = 𝐿 → 𝑇 = 𝑇2
SOLUÇÃO
𝑇1 − 𝑇∞ = 𝜃1 = 𝐶1 + 𝐶2
𝑇2 − 𝑇∞ = 𝜃2= 𝐶1𝑒−𝑚𝐿 + 𝐶2 𝑒+𝑚𝐿
19
θ
𝜃1
= 𝑒−𝑚𝐿 −
𝜃2
𝜃1
𝑒−𝑚𝑥 − 𝑒𝑚𝑥
𝑒𝑚𝐿 − 𝑒−𝑚𝐿
+ 𝑒−𝑚𝑥
θ
𝜃1
=
senh (𝑚 𝐿 − 𝑥 ) +
𝜃2
𝜃1
senh 𝑚𝑥
senh 𝑚𝐿

Da potência calorífica que entra por condução na barra (x = 0) parte
é perdida por convecção através das paredes laterais e outra parte
chega ao fim da barra
𝑄 = −𝑘𝐴
d𝑇
d𝑥 𝑥=0
− −𝑘𝐴
d𝑇
d𝑥 𝑥=𝐿
=
0
𝐿
ℎ𝑝𝜃 d𝑥
𝐿 𝑥
𝑇∞
𝑇1
𝑇2
20
𝑄 = 𝑚𝑘𝐴𝜃1 1 +
𝜃2
𝜃1
×
cosh 𝑚𝐿 − 1
senh 𝑚𝐿

Uma barra metálica (k =140 W/m K) muito comprida e 20 mm de diâmetro está exposta ao ar ambiente a 200C.
Um dos extremos da barra está livre e outro está bem encostado a uma superfície quente. Deixando atingir o
estado estacionário e medindo a temperatura entre 2 pontos que distam entre si 100 mm obtiveram-se as
temperaturas 393 K e 373 K.
Exemplo I - Resolvido
a – Determine uma relação entre o coeficiente de transferência de calor e o comprimento da barra;
b – Determine uma expressão para a potência calorífica dissipada pela superfície lateral da barra entre os 2 pontos
referidos;
c – Calcule a potência calorífica dissipada pela barra sabendo que a temperatura da superfície quente é de 500 K.
Barra muito comprida mL>5 Perfil de temperatura ao longo da barra 𝜃 = 𝜃1𝑒−𝑚𝑥
𝑥 → 𝜃 = 120 − 20 = 100
𝑥 + 0,1 → 𝜃 = 100 − 20 = 80
100
80
=
𝜃1𝑒−𝑚𝑥
𝜃1𝑒−𝑚 𝑥+0,1
1,25 = 𝑒0,1𝑚
𝑚 = 10 × ln 1,25
𝑚𝐿 = 10 × ln 1,25 𝐿 > 5 → 𝐿 >
5
10 × ln 1,25
a
𝑚 =
ℎ 2
𝑘 𝑅
𝑚𝐿 >
2 × ℎ
140 × 0.01
× 𝐿 > 5 →
2 × ℎ
140 × 0.01
𝐿2
> 25 → ℎ𝐿2
> 17,5
Duas condições

b
𝑄 =
𝐿1
𝐿2
ℎ𝑝𝜃 d𝑥
𝑄 = 𝐿1
𝐿2
ℎ𝑝𝜃1𝑒−𝑚𝑥
d𝑥 = −
1
𝑚
ℎ𝑝𝜃1 𝑒−𝑚𝑥
𝐿1
𝐿2
=−
1
𝑚
ℎ𝑝𝜃1 𝑒−𝑚𝐿1 − 𝑒−𝑚𝐿2
𝑄 = 𝐿1
𝐿2
ℎ𝑝𝜃1𝑒−𝑚𝑥d𝑥 =−
1
𝑚
ℎ𝑝𝜃1𝑒−𝑚𝐿1 1 − 𝑒−𝑚(𝐿2−𝐿1)
c
𝑄 = −𝑘𝐴
d𝑇
d𝑥 𝑥=0
=
0
∞
𝑄 = 10 × ln 1,25 × 𝑘𝐴𝜃1

Exemplo I I- Resolvido
Uma barra cilíndrica de metal (k =170 W/mK) vai ligar dois tanques. Se o tanque A for mantido por
qualquer processo a 1000C e o B a 200C, calcule:
A – O comprimento que deverá ter a barra para que a potência calorífica perdida pela barra para a
atmosfera iguale a potência calorífica recebida por B através da barra;
B – A temperatura a meio da barra nessa situação.
A B
h =10 W/m2K
𝐷 = 10 mm
10 ℃
20 ℃
100 ℃
−𝑘𝐴
d𝑇
d𝑥 𝑥=0
− −𝑘𝐴
d𝑇
d𝑥 𝑥=𝐿
=
0
𝐿
ℎ𝑝𝜃 d𝑥 = −𝑘𝐴
d𝑇
d𝑥 𝑥=𝐿
3º CASO
A

−𝑘𝐴
d𝑇
d𝑥 𝑥=0
=
𝑘𝐴𝑚𝜃1
senh 𝑚𝐿
𝑒−𝑚𝐿
−
𝜃2
𝜃1
+ 𝑘𝐴𝜃1𝑚
−𝑘𝐴
d𝑇
d𝑥 𝑥=𝐿
=
𝑘𝐴𝑚𝜃1
tangh 𝑚𝐿
𝑒−𝑚𝐿
−
𝜃2
𝜃1
+ 𝑘𝐴𝜃1𝑚𝑒−𝑚𝐿
A única incógnita desta equação é L
−𝑘𝐴
d𝑇
d𝑥 𝑥=0
− −𝑘𝐴
d𝑇
d𝑥 𝑥=𝐿
= −𝑘𝐴
d𝑇
d𝑥 𝑥=𝐿
θ
𝜃1
= 𝑒−𝑚𝐿
−
𝜃2
𝜃1
𝑒−𝑚𝑥
− 𝑒𝑚𝑥
𝑒𝑚𝐿 − 𝑒−𝑚𝐿
+ 𝑒−𝑚𝑥
𝑘𝐴𝑚𝜃1
senh 𝑚𝐿
𝑒−𝑚𝐿 −
𝜃2
𝜃1
+ 𝑘𝐴𝜃1𝑚 −
𝑘𝐴𝑚𝜃1
tangh 𝑚𝐿
𝑒−𝑚𝐿 −
𝜃2
𝜃1
− 𝑘𝐴𝜃1𝑚𝑒−𝑚𝐿 =
𝑘𝐴𝑚𝜃1
tangh 𝑚𝐿
𝑒−𝑚𝐿 −
𝜃2
𝜃1
+ 𝑘𝐴𝜃1𝑚𝑒−𝑚𝐿
𝑘𝐴𝑚𝜃1
senh 𝑚𝐿
𝑒−𝑚𝐿
−
𝜃2
𝜃1
+ 𝑘𝐴𝜃1𝑚 −
2𝑘𝐴𝜃1
tangh 𝑚𝐿
𝑒−𝑚𝐿
−
𝜃2
𝜃1
− 2𝑘𝐴𝜃1𝑚𝑒−𝑚𝐿
= 0

B
A única incógnita desta equação é 𝜃𝐿/2
Metade (L) de uma barra de um metal com comprimento 2L , diâmetro D e condutividade térmica k está
inserida numa parede perfeitamente isolada. A outra metade (L) está exposta a uma corrente de ar a uma
temperatura 𝑇∞sendo o coeficiente convectivo da superfície para o ar h. Na fração da barra inserida na parede
há produção de calor a uma taxa uniforme H. Tome os seguintes valores:
Exemplo III - Resolvido
𝐿 = 50 m, 𝐷 = 5 mm, 𝑘 = 25W/ m2
K , 𝑇∞ = 20℃, ℎ = 100W/ m2
K , 𝐻 = 1 × 103
W/m3
𝜃𝐿/2
𝜃1
= 𝑒−𝑚𝐿
−
𝜃2
𝜃1
𝑒−𝑚𝐿/2
− 𝑒𝑚𝐿/2
𝑒𝑚𝐿 − 𝑒−𝑚𝐿 + 𝑒−𝑚𝐿/2

𝐿 = 50 m 𝐿 = 50 m
𝐻 = 1 × 103
W/m3
ℎ = 100W/ m2
K
𝑇∞ = 20℃
a – Determine a temperatura 𝑇2;
b – Determine a temperatura 𝑇1;
c – Determine a potência calorífica perdida pela parte exposta ao ar nos primeiros 25 m.
𝑇1 𝑇2
a
A potência calorífica que vai entrar na parte da barra exposta ao ar é a potência gerada na
parte encrustada na parede

𝑄 = −𝑘𝐴
d𝑇
d𝑥 𝑥=0
=
0
∞
𝑚𝐿 > 5
𝐻𝑉 = 𝑚𝑘𝐴𝜃1
A potência calorífica que vai entrar
na parte da barra exposta ao ar é a
potência gerada na parte encrustada
na parede
𝑚 =
ℎ 𝑝
𝑘 𝐴
𝑚 =
100 × 2
0,0025 × 25
= 56,6
𝜃1 = 𝑇2 − 20
𝐻𝐴𝐿 = 56,6 × 25𝐴 𝑇2 − 20
1 × 103
× 50 = 56,6 × 25 × 𝑇2 − 20 → 𝑇2 = 55,3℃
Para geração de calor numa placa plana (embora seja um
cilindro, a condução dá-se ao longo do eixo sendo a área da
secção reta constante)
d2𝑇
d𝑥2
= −
𝐻
𝑘
→ 𝑇 = −
𝐻
2𝑘
𝑥2
+ 𝐶1𝑥 + 𝐶2
Condições fronteira 𝑥 = 0 →
d𝑇
d𝑥
= 0
𝑥 = 50 → 𝑇 = 55,3℃
b
A parte da barra exposta ao ar é muito comprida, logo mL>5

𝑥 = 0 →
d𝑇
d𝑥
= 0 → 𝐶1 = 0
𝑥 = 50 → 𝑇 = 55,3℃ → 55,3 = −
𝐻
2𝑘
𝐿2 + 𝐶2 → 𝐶2 = 55,3 +
1000
2 × 25
× 502 = 50055
c
𝑄 =
0
25
ℎ𝑝𝜃 d𝑥 = ℎ𝑝
0
25
𝜃2𝑒−𝑚𝑥
d𝑥 = −
1
𝑚
ℎ𝑝𝜃2 𝑒−𝑚×25
− 𝑒0
𝑄 =
1
𝑚
ℎ𝑝𝜃2 1 − 𝑒−𝑚×25
𝑄 =
1
56,6
× 100 × 2 × 𝜋 × 0,0025 × 35,3 × 1 − 𝑒−400×25
= 1 W
O tubo é demasiado comprido ou
pouco condutivo
𝑇 = −
𝐻
2𝑘
𝑥2
+ 50055
𝑥 = 0 → 𝑇 = 50 055 ℃

A Figura representa em corte um objeto constituído por justaposição de dois materiais numa série A-B-A.
Ambos têm 100 mm de espessura e 1,0 m na direção perpendicular ao papel.
No interior do material A produz-se uniformemente calor a uma taxa H= 15 kW/m3. As faces superior,
inferior e de topo deste material estão bem isoladas. As faces superior e inferior do material B estão em
contacto com o ar
A A
B
0,5 m 0,5 m
1,0 m
20℃
ℎ = 30 W/m2K
Isolamento
𝑘𝐴 = 15 W/mK
𝑘𝐵 = 20 W/mK
Calcule: A temperatura no centro do material B, bem como a temperatura nas interfaces A-B e a temperatura
máxima no objeto.
Exemplo IV - Resolvido

𝑥
B
0,5 m 0,5 m
20℃
ℎ = 30 W/m2K
Isolamento
A
MATERIAL A PRODUZ CALOR
d2𝑇
d𝑥2 = −
𝐻
2𝑘
𝑇 = −
𝐻
2𝑘
𝑥2
+ 𝐶1𝑥 + 𝐶2
Condições Fronteira
𝑥 = 0 →
d𝑇
d𝑥
= 0 𝑥 = 0,5 → 𝑇 = 𝑇int
𝐶1 = 0
𝐶2 =
𝐻
2𝑘
0,52
+ 𝑇int
Perfil de Temperatura no material A
𝑇 =
𝐻
2𝑘
0,52
− 𝑥2
+ 𝑇int

𝑥
B
0,5 m 0,5 m
20℃
ℎ = 30 W/m2K
Isolamento
A
MATERIAL B CONDUÇÃO-CONVEÇÃO
𝑚 =
ℎ 𝑝
𝑘 𝐴
=
30 × 2,2
20 × 0,1
= 5,7 𝑚𝐿 = 5,7 × 0,5 = 2,9
θ = −
0,5 × 𝐻
𝑘𝐵𝑚 𝑒0,5𝑚 − 𝑒1,5𝑚
𝑒𝑚 2−𝑥
+𝑒𝑚𝑥
𝑥 = 0,5 → −𝑘𝐵
d𝜃
d𝑥
= 𝐻 × 0,5 𝑥 = 1 →
d𝜃
d𝑥
= 0
d𝜃
d𝑥
= −𝑚𝐶1𝑒−𝑚𝑥 + 𝑚𝐶2𝑒𝑚𝑥
𝐶1 = 𝐶2𝑒2𝑚
−𝑘𝐵
d𝜃
d𝑥
= −𝑘𝐵𝑚 𝐶2𝑒𝑚𝑥 − 𝐶1𝑒−𝑚𝑥
𝐶2 = −
𝐻
× 0,5

A temperatura no centro do material B
𝜃𝑥=1 = −
0,5 × 𝐻
× 2 𝑒𝑚
A temperatura na interface A
𝜃𝑥=0,5 = −
0,5 × 𝐻
𝑘𝐵𝑚 𝑒0,5𝑚 − 𝑒1,5𝑚 × 2 𝑒1,5×𝑚
A temperatura máxima no objeto.
𝑇𝑚á𝑥 = 0,52 ×
𝐻
2𝑘
+ 𝑇𝑎𝑟 −
0,5 × 𝐻
× 2 𝑒1,5×𝑚
𝑇𝑥=1 = 𝑇𝑎𝑟 −
0,5 × 𝐻
× 2 𝑒𝑚
𝑇𝑥=0,5 = 𝑇𝑎𝑟 −
0,5 × 𝐻
𝑘𝐵𝑚 𝑒0,5𝑚 − 𝑒1,5𝑚 × 2 𝑒1,5×𝑚
𝑇 =
𝐻
2𝑘
0,52 − 𝑥2 + 𝑇int

II - Uma das extremidades de uma barra circular (k=180 W/mK) de 300 mm de comprimento está soldada a uma
parede que é mantida a uma temperatura constante de 200℃ . A outra extremidade da vara está soldada a outra
parede, a qual é mantida a 93℃ . O coeficiente de transferência de calor entre a vara e o ar ambiente é 17 W/m2
K.
O diâmetro da vara é 12,5 mm e a temperatura do ar 38℃ . Qual a perda de calor da vara para o ambiente?
III - Um cilindro metálico (k=200 W/mK, ρ = 2800 kg/m3 , Cp = 900 J/kg K) é aquecido uniformemente na sua
superfície lateral, sendo unicamente arrefecido pelos topos, expostos ao ar a 20℃, com um coeficiente de
transferência de 100 W/m2
K. Admitindo condução unidirecional (segundo o eixo x), calcule as temperaturas
máxima e mínima em estado estacionário.
𝑞 = 250 W/m2
𝑥
𝐿 = 200 mm
𝐷 = 20 mm

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