O documento discute a contagem e o sistema de numeração decimal. Aprendemos que a contagem surgiu da necessidade de quantificar objetos e foi se desenvolvendo ao longo do tempo, de contagens primitivas com marcas a sistemas numéricos complexos. O documento também explica como o ábaco auxilia na contagem e realização de cálculos simples.

1. Matemática
PROFESSOR: NASA SOARES SANTANA
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2.  Algumas pessoas gostam de dançar, outras não.
Há quem vibre ao dirigir automóveis e quem
sinta sono na direção. Como tudo na vida, há
quem goste de Matemática e quem não a veja
com bons olhos. Mas, para gostar de alguma
coisa, é preciso conhecê-la. É preciso
experimentá-la e ter a chance de sentir alguma
prazer neste contato.
Luiz Márcio
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3. Contagem 3

4. Quantos 4
Quantos
pares de
sapatos
você tem?
Quantos dias
faltam para o
seu
aniversário?
Quantos!!!
Quantos
irmãos
você tem? Quantos
animais
você tem
em casa?

5.  Frequentemente nos vemos diante dessa pergunta:
Quantos?
 E ao respondê-la, fazemos contagens e cálculos usando o nosso
sistema de numeração.
5
Tenho
4 anos!
O álbum tem 100
figurinhas , e eu já
tenho 72. Logo,
faltam 28.

6.  Estamos tão acostumados a contar e a usar o nosso sistema de
numeração, que o fazemos mecanicamente. Mas, afinal, o que é a
contagem? O que é o sistema de numeração decimal? Como ele
funciona?
 É a todas essas perguntas que procuraremos responder ao longo
desta aula.
 Fique atento!
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7. UM DAQUI COM UM DE LÁ
 Ao contarmos, por exemplo, as pessoas presentes numa sala,
costumamos apontá-las uma por uma, dizendo: “um, dois, três,
quatro, cinco, seis”
 Exemplo:
7
um
Dois QuatroTrês
Cinco
Seis

8.  Claro que, para contar corretamente, não podemos esquecer
nenhuma pessoa, nem contar a mesma duas vezes.
8

9. Exercício
1) Quantos alunos tem na sala?
 Lembre-se: não podemos esquecer de contar nenhuma pessoa,
nem contar a mesma pessoa duas vezes.
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10. Correspondência um a um entre as moças
e os rapazes que vão dançar quadrilha.
 Ao associarmos a cada objeto de uma coleção um só objeto de uma
outra coleção, fazemos uma correspondência um a um.
 Exemplo:
10

11.  Fazemos correspondência um a um sempre que realizamos uma
contagem.
 Há milhares de anos, os pastores controlavam seus rebanhos com
pedrinhas, fazendo a correspondência um a um entre pedras e
ovelhas.
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12. A contagem por marcas
 É comum usarmos marcas para fazer uma contagem.
 Certa vez observei o caseiro de um sítio que, para contar os dias
trabalhados, fazia riscos na viga de madeira do telhado com um
pedaço de carvão.
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13.  Na contagem por marcas, os sinais podem ser agrupados de modo
mais conveniente para melhor visualizar o resultado.
 Exemplo: compare estes dois registro
13
• No segundo registro, onde as marcas foram agrupadas
de cinco em cinco, é mais fácil visualizar o total treze.

14.  Provavelmente você já deve ter anotado uma contagem desta
maneira:
14
• Assim é fácil perceber o total dezessete

15.  Os jogadores de sinuca (ou bilhar) costumam usar um
quadro especial com fileiras de bolinhas para contar e
anotar os pontos ou um quadro pequeno normal.
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• Nesse quadro, há vinte bolinhas em cada fileira.

16.  Veja como é feita a contagem.
 No início, todas as bolinhas ficam do lado direito. Cada
vez que um jogador faz um ponto, uma bolinha é
deslocada para a esquerda. Ao completar vinte pontos, é
feito um traço com giz e todas as bolinhas voltam para
a direita, recomeçando a contagem
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17.  A contagem por marcas é uma prática muito
antiga. Em escavações arqueológicas foram
encontrados ossos e pedaços de pau com marcas
que, provavelmente, se referiam a contagens.
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 Na Inglaterra, até o século XVII, era costume
registrar quantidades em barras de madeira
conhecidas por talhas.

18.  A contagem por marcas revela que, muitas vezes, é preciso
registrar um determinado valor.
 O registro de valores varia muito dependendo da necessidade de
cada um.
 A necessidade de registrar quantidades deu origem à numeração
escrita. Diversas civilizações antigas criaram seus próprios sistemas
numéricos.
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19. Sistemas numéricos
 Sistema Egípcio
19
 Sistema Romano

20. Sistemas numéricos
 Sistema Chinês
20
 Sistema maia

21. A contagem por grupos
 Um processo usado por indígenas sul-africanos para contar um
rebanho numeroso, descrito num livro de Paul Karlson:
 Eram necessário alguns homens para realizar a contagem.
 O primeiro homem levantava seus dedos um a um, para cada animal
que passava.
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22.  Ao passar o décimo animal, o primeiro homem, em vez de
permanecer com os dez dedos levantados, abaixava os seus dedos
levantados, abaixava os seus, enquanto um segundo homem
entrava em cena levantando um dedo
22

23.  Para continuar a contagem, o primeiro homem
levantava os seus dedos novamente, um a um, para
cada animal que passava.
23
Aqui já passaram treze bois.

24.  Ao passarem mais dez animais, o segundo homem levantava mais
um dedo, enquanto o primeiro abaixava os seus. E assim prosseguia
a contagem.
24

25.  Observe que cada dedo do primeiro homem
representa um animal, enquanto um dedo do
homem representa um grupo de dez.
 Quando o segundo homem já tivesse todos os seus
dedos levantados, então um terceiro homem entrava
em cena.
25

26.  Nessa situação, um dedo do terceiro homem representa dez grupo
de dez animais, ou seja, cem cabeças.
26

27.  (Exemplo) suponha que, terminada a contagem do rebanho, a
situação seja esta:
27
• Vamos esquematizar essa situação num quadro,
representando cada animal com uma bolinha:
3° homem 2° homem 1° homem

28.  No nosso sistema de numeração, a
representação é esta: 28
3° homem 2° homem 1° homem
Centenas Dezenas Unidades
2 3 6
• O rebanho tem, portanto, duzentas e trinta e seis
cabeças.
236 = 200 + 30 + 6 = 2 𝑋 100 + 3 𝑋 30 + 6 𝑋 1
6 unidades
3 grupos de 10
2 grupos de 100

29.  É curioso notar que, apesar do emprego generalizado do
sistema decimal, ás vezes contamos por grupos de doze. Por
exemplo, contamos laranjas, bananas e ovos agrupando-os em
dúzias. A grossa, que atualmente é pouca conhecida, é
formada por doze grupos de doze, isto é, 144 unidades , ou
seja, uma grossa.
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30. O Ábaco
 Para contar, os homens já usaram pedrinhas e seus próprios dedos,
já fizeram riscos no chão, marcas em ossos, pedaços de pau e placas
de barro, e até nós em cordões.
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Contagem utilizada pelos
Muçulmanos para prática religiosas. Quipo peruano

31.  Foram criados diversos instrumentos para auxiliar os cálculos.
Dentre eles, o ábaco se destaca pela sua simplicidade e eficiência.
31
Ábaco aberto Ábaco fechado.

32. Vamos construir um ábaco!
 01 Caixa de ovos vazia
 06 Palitos de churrasco (cuidado com as pontas)
 Miçangas coloridas
 01 Papel colorido
 01 Folha A4
 Tesoura (sem ponta)
 Fita grepe (durex)
 Cola
 Canetinhas
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Materiais necessários:

33.  Encape a caixa de ovos com o papel colorido.
33Passo 01

34.  Espete (cuidado com as pontas, chame o professor) a caixa de ovos
com os palitos de churrasco lado a lado.
34Passo 02

35.  Coloque em cada palito a quantidade de dez miçangas, é
importante colocar em cada palito cores de miçangas deferentes
para a criança entender melhor a noção de quantidade das
centenas, dezenas e unidades e demais divisões.
35Passo 03

36.  Faça quadradinhos de papéis com as siglas: U,D,C,UM e
DM.
 Que significam Unidade , Dezena , Centena, Unidade
de Milhar e Dezena de Milhar.
36Passo 04

37.  O Ábaco pode ter mais divisões (exemplo: centena de milhar= CM),
mas para crianças entenderem os níveis que cada divisão que
representa os números, deve se seguir o conteúdo adequado ao
público escolhido.
37Passo 05

38.  Pronto! Com o ábaco na mão, vamos por exemplo contar o
número de alunos na sala.
38

39. Material Dourado 39

40.  Material Dourado
40

41. Atividade
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42. Vai uma bolinha pra lá
 Desta vez vamos somar 68 com 47.
42

43.  Pronto. Eis o resultado: 115!
De fato, 68 + 47 = 115
43
68
+47
8 + 7 = 151
511

44. Atividades
 Efetue as atividades abaixa com a ajuda do ábaco/material dourado,
depois efetue o mesmo cálculo com algarismos, usando a técnica do
“vai um”.
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5 + 10 = ?
11 + 21 =?
22 + 49 = ?
37 + 78 = ?
81 + 72 = ?
100 + 23 = ?
123 + 208= ?

45. Zero: uma conquista difícil!
 Estamos tão habituados com o nosso sistema de
numeração, que ele nos parece muito simples e
natural. No entanto, desde os tempos em que foram
realizadas as primeiras contagens até o aparecimento
de nosso sistema numérico, decorreram milhares de
anos.
 Por que tanto tempo?
 Provavelmente a razão dessa demora tenha sido a
dificuldade para se inventar o zero.
 O zero nos é tão familiar que não sentimos a menor
estranheza em raciocinar com ele. Entretanto, nem
sempre foi assim.
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46. Você tem algum jacaré em casa?
 Levou muito tempo para que o zero fosse inventado, e
mesmo depois, esse símbolo não foi aceito com facilidade.
Vejamos por quê.
 Os números foram criados a partir de necessidades concretas,
nas diversas contagens que se apresentavam no dia-a-dia. Os
números surgiram como resposta à pergunta: “Quantos”?
 Ora, quem não tem coisa alguma, que necessidade pode ter
de contar o que não tem?
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47.  Imagino que não! Assim sendo, também não há necessidade
de contar quantos jacaré você tem.
 Veja que, enquanto se tratasse apenas de responder à
pergunta “ quantos?”, ninguém sentiria falta de um símbolo
para o nada.
 Por outro lado, num sistema de numeração que procura
retratar o que se passa no ábaco, é imprescindível que haja
um símbolo para representar as casas vazias.
 Nesse sentido, podemos dizer que o zero viabilizou, isto é,
tornou possível o sistema de numeração posicional que
usamos hoje.
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48. Mudança na escrita dos algarismos
 Antes da invenção da imprensa, no século XV, os livros
eram copiados manualmente, um a um. Como cada
copista tinha a sua caligrafia, as letras e os símbolos
para representar números foram sofrendo muitas
modificações durante todos esses séculos de
copiagem manual.
 Além disso, como o sistema de numeração criado na
Índia foi adotado pelos árabes e passado aos
europeus, é natural que a forma de escrever os dez
algoritmos fosse sofrendo alterações.
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49. 49

50. Atividade completar
 1- Escreve em seu caderno o que o número zero (0) significa/
representa?
 2 – Resolva os problemas abaixo no caderno e utilizando ábaco/
cubo mágico.
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55 + 43 = ?
89+ 101= ?
111 + 102 = ?
105 + 306 = ?
201 + 102 + 2 = ?
• Desafio :
21 – 10 = ?
15 – 4 = ?

51. Referências Bibliográficas 51
 A numeração indo-arábica, Luiz Marcio Imenes.
 Google Imagens.
 Apredendomatematicanaweb.blogspot.com.br

52. Obrigado! 52