Este documento apresenta um resumo sobre sistemas de numeração e conversões numéricas entre bases diferentes. Ele explica os principais sistemas numéricos como decimal, binário, octal e hexadecimal, além de mostrar como realizar conversões entre bases e operações aritméticas nesses sistemas. O documento também aborda a representação de números no computador e erros de aproximação.

1. pet computação
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2008.2
Aula de apoio aos feras:
Sistemas de Numeração

2. pet computação
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Roteiro
• Visão geral de sistemas numéricos e aprender como
transformar de decimal em binário, octal e hexadecimal,
e vice-versa.
•Aprender as operações aritméticas básicas utilizando estes
sistemas de numeração
•Transmitir uma noção da importância dos sistemas de
numeração binário e hexadecimal, principalmente, para a
computação

3. pet computação
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Sistemas Numéricos
• Principais sistemas numéricos:
• Decimal
• 0, 1, ..., 9
• Binário
• 0, 1
• Octal
• 0, 1, ..., 7
• Hexadecimal
• 0, 1, ..., 9, A, B, C, D, E, F
•É importante atentar que no sistema hexadecimal, as letras de
A até F equivalem, em decimal, a 10, 11, 12, 13, 14 e 15,
respectivamente

4. pet computação
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Conversão Base X – Base 10
• Processo: soma de multiplicações
• numd = anxn + an-1xn-1 + ... + a0x0
• Exemplos, converter para a base 10:
• 10112
• 4A3B16
•72718

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Conversão Base X – Base 10
• numd = anxn + an-1xn-1 + ... + a0x0
• Binário – Decimal: 10112
• 1 * 23 + 0 * 22 + 1 * 21 + 1 * 20
• 1 * 8 + 0 * 4 + 1 * 2 + 1 * 1 = 1110
• Octal– Decimal: 72718
• 7 * 83 + 2 * 82 + 7 * 81 + 1 * 80
• 7 * 512 + 2 * 64 + 7 * 8 + 1 * 1 = 376910
• Hexadecimal – Decimal: 4A3B16
• 4 * 163 + A * 162 + 3 * 161 + B * 160
• 4 * 163 + 10 * 162 + 3 * 161 + 11 * 160
• 4 * 4096 + 10 * 256 + 3 * 16 + 11 * 1 = 1900310

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Conversão Base X – Base 10
• Exercícios, converter para a base 10:
• 11002
• 01112
• ABCD16
•A8B216

7. pet computação
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Respostas
•Respostas ao exercício anterior:
• 11002 = 12 10
• 01112 = 7 10
• ABCD16 = 43981 10
•A8B216 = 43186 10

8. pet computação
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Conversão Base 10 – Base X
• num1d x
r1 num2d x
r2 num3d
numn-1d x
rn-1 rn
numix = rnx...r2xr1x

9. pet computação
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Conversão Base 10 – Base X
Momento de
Parar: quando o
quociente é
menor do que o
valor da base
Neste caso, o
valor da base é
“2”
• Exemplo, converter 5310 para binário:
53 2
1 26 2
0 13 2
1 6 2
0 3 2
1 1
1101012

10. pet computação
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Conversão Base 10 – Base X
• Exemplo, converter 101610 para hexadecimal:
1016 16
8 63 16
15 3
3F816
•Exemplo, converter 5310 para hexadecimal:
53 16
5 3
3516

11. pet computação
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Conversão Base 10 – Base X
• Exercícios, converter da base 10:
• para binário, 25
• para hexadecimal, 156
• Respostas
• 25 10 = 11001 2
• 156 10 = 9C 16

12. pet computação
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Adição e subtração em
binário
• As operações aritméticas com números binários são
feitas de forma análoga aos decimais
• Para a subtração, em especial, é necessário lembrar
os “empréstimos” ensinados durante o primário
• É importante ter em mente que:
– 1 + 1 = 0 e “vai” 1
– 1 + 0 = 0 + 1 = 1
– 0 + 0 = 0
– 1 + 1 + 1 = 1 e “vai” 1

13. pet computação
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Exemplos
Ex1: 1 1 1 - vai 1
1 0 1 1 – 1a. parcela
+ 1 1 1 1 - 2a. parcela
1 1 0 1 0 – resultado
0 1
Ex2: 1 0 10 1
- 0 1 1 0
0 0 1 1

14. pet computação
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Complemento a 2
• Por questões de convenção e eficiência, utiliza-se a notação de
complemento a 2 para se trabalhar com números binários no
computador
• Utilizando esta notação, a subtração é uma soma. Por exemplo: 7 – 5
seria 7 + (-5)
• Embora seja uma alteração sutil, faz uma enorme diferença para o
computador
• Números que tenham o bit mais à esquerda 1 são negativos. Os que
tiverem 0 neste bit, serão positivos
• Para trabalhar com complemento a 2, é necessário saber a quantidade
de bits que os números devem ter. Isto varia de acordo com o
processador. Caso o resultado exceda esta quantidade de bits, o bit
mais à esquerda é desprezado
• Deve-se proceder da seguinte maneira:
– Os números negativos devem ter seus bits invertidos
– Soma-se 1 ao valor obtido

15. pet computação
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Exemplo
• Faça 10 – 5 utilizando complemento a 2. Suponha que seu
processador trabalhe com números de 5 bits
• Na verdade, deve-se fazer 10 + (-5)
• 10, em binário é: 01010
• 5 em binário é: 00101
• Aplicando o complemento a 2, obteremos -5:
– 00101. Invertendo seus bits, temos: 11010
– Fazendo 11010 + 1, temos 11011
• Agora, basta somar: 01010 + 11011. Assim, obtemos 100101.
Como o processador é de 5 bits, o bit mais à esquerda a mais
será desprezado. Assim, o número que obtive como resultado
foi 00101. De fato, o resultado é 5.

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Representação no computador
• O computador trabalha com grupos de bits (palavra). Em
geral, essas palavras são de 16 ou 32bits, mas hoje existem
computadores manipulando 64bits.
• Em geral, ele usa uma palavra para representar os
números inteiros (INT, LONG, SHORT...) e um bit é utilizado
para indicar o sinal do número (0 positivo e 1 negativo).

17. pet computação
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• No standard IEEE, além dos números finitos, são definidos números
específicos:
– - e , para os infinitos.
– NaN (not-a-number), para representar resultados de operações
como 0/0,  - , 0x,
– -0, definido com o inverso de -.
Números especiais

18. pet computação
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• O computador representa os números de uma forma finita e
aproximativa:
– Precisa de forma de gerenciar o infinitamente pequeno e o
infinitamente grande,
– Precisa de minimizar e medir os erros de aproximação.
Erros de aproximação

19. pet computação
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• Os números manipulados
– grande demais para ser representados provocam um overflow.
– pequeno demais para ser representados provocam um
underflow.
• Os sistemas têm feedback diferentes em caso de over ou
underflow. Certos param a execução, certos dão uma mensagem e
outros representam o número de uma forma especifica.
Overflow e underflow

20. pet computação
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• A representação dos números depende do suporte material para
representar e calcular (binário com o computador).
• O mesmo número pode ter uma representação finita ou infinita
dependendo da base:
10
1
3
em base 10 ou base 12, 10
0,1 em base 10 ou base 2
O computador usa representação finita, ele não pode representar de
forma exata os números reais.
Conclusão

21. pet computação
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