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• Sistemas de Numeração
• Conversão entre bases
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Sistemas de numeração
• Sistemas de numeração são formas de representação de
valores.
• Existem os sistemas não-posicionais e os posicionais.
• Nos não-posicionais o símbolo não depende da posição.
Por exemplo, os numerais romanos: o símbolo X vale 10
em qualquer posição que estiver no número, seja IX ou
LXV.
• Já nos posicionais, o valor do símbolo muda com a
posição. Por exemplo: o símbolo 6 dentro do número 625
significa o valor 600, mas no número 461 significa 60.
• Diariamente trabalhamos com o sistema posicional
decimal, assim chamado por ter dez símbolos:
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
• Como tem dez símbolos, dizemos também que possui
base 10.
ArquiteturaeorganizaçãodeComputadores
Sistemas de Numeração e Aritmética Computacional 4
Sistemas de numeração
• Como sabemos, o computador funciona em binário, ou
seja, representações de número somente com os símbolos
0 e 1.
• Este é um sistema de numeração com base 2 ou binário.
• Na eletrônica ainda é comum trabalhar-se com o sistema
octal, que possui base 8, cujos símbolos são: 0, 1, 2, 3,
4, 5, 6, 7.
• Para o endereçamento da memória do computador é
utilizado o sistema de numeração hexadecimal, de base
16, formado pelos símbolos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A,
B, C, D, E, F.
• São estes quatro sistemas de numeração que serão o
fundamento do estudo da computação, sendo necessários
para compreensão da organização de sua arquitetura.
• Para compreendermos melhor a relação entre eles,
devemos estudar a conversão de uma base para outra.
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Conversão de bases
Conversão de decimal para binário, octal e
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• Para conversão de decimal para binário, temos o exemplo:
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• último quociente: 1 ==> parte inteira: 10101110
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Conversão de bases
Conversão de decimal para binário, octal e
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• De decimal para octal:
• (749,97)10: 749 / 8 = 93 resto 5
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Conversão de bases
Conversão de decimal para binário, octal e
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• E de decimal para hexadecimal:
• (155,742)10: 155 / 16 = 9 resto 11 (B)
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podemos fazer, por exemplo:
•
• Ex1:
•
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De binário, octal, e hexadecimal para decimal
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Conversão de bases
Conversão de decimal para binário, octal e hexadecimal
• Para converter números da base 10 para outras bases, segue-
se a seguinte regra:
• parte inteira: divide-se o número a ser convertido pela base
desejada; toma-se o quociente resultante e divide-se
novamente pela base até que o quociente seja zero; os restos
das divisões formam a parte inteira do número convertido; o
primeiro resto representa o último dígito da parte inteira do
número; o último quociente representa o primeiro dígito da
parte inteira;
• parte fracionária: multiplica-se a parte fracionária do número
a ser convertido pela base desejada; toma-se a parte
fracionária do número resultante e repete-se a operação; a
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fracionária do número procurado.
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  • 2. ArquiteturaeorganizaçãodeComputadores Sistemas de Numeração e Aritmética Computacional 2 Sumário • Sistemas de Numeração • Conversão entre bases
  • 3. ArquiteturaeorganizaçãodeComputadores Sistemas de Numeração e Aritmética Computacional 3 Sistemas de numeração • Sistemas de numeração são formas de representação de valores. • Existem os sistemas não-posicionais e os posicionais. • Nos não-posicionais o símbolo não depende da posição. Por exemplo, os numerais romanos: o símbolo X vale 10 em qualquer posição que estiver no número, seja IX ou LXV. • Já nos posicionais, o valor do símbolo muda com a posição. Por exemplo: o símbolo 6 dentro do número 625 significa o valor 600, mas no número 461 significa 60. • Diariamente trabalhamos com o sistema posicional decimal, assim chamado por ter dez símbolos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. • Como tem dez símbolos, dizemos também que possui base 10.
  • 4. ArquiteturaeorganizaçãodeComputadores Sistemas de Numeração e Aritmética Computacional 4 Sistemas de numeração • Como sabemos, o computador funciona em binário, ou seja, representações de número somente com os símbolos 0 e 1. • Este é um sistema de numeração com base 2 ou binário. • Na eletrônica ainda é comum trabalhar-se com o sistema octal, que possui base 8, cujos símbolos são: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. • Para o endereçamento da memória do computador é utilizado o sistema de numeração hexadecimal, de base 16, formado pelos símbolos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F. • São estes quatro sistemas de numeração que serão o fundamento do estudo da computação, sendo necessários para compreensão da organização de sua arquitetura. • Para compreendermos melhor a relação entre eles, devemos estudar a conversão de uma base para outra.
  • 5. ArquiteturaeorganizaçãodeComputadores Sistemas de Numeração e Aritmética Computacional 5 Conversão de bases Conversão de decimal para binário, octal e hexadecimal • Para conversão de decimal para binário, temos o exemplo: • (174,25)10: 174 / 2 = 87 resto 0 • 87 / 2 = 43 resto 1 • 43 / 2 = 21 resto 1 • 21 / 2 = 10 resto 1 • 10 / 2 = 5 resto 0 • 5 / 2 = 2 resto 1 • 2 / 2 = 1 resto 0 • último quociente: 1 ==> parte inteira: 10101110 • 0,25 x 2 = 0,50 inteiro 0 • 0,50 x 2 = 1,0 inteiro 1 ==> parte fracionária: 01 (174,25)10 = (10101110,01)2
  • 6. ArquiteturaeorganizaçãodeComputadores Sistemas de Numeração e Aritmética Computacional 6 Conversão de bases Conversão de decimal para binário, octal e hexadecimal • De decimal para octal: • (749,97)10: 749 / 8 = 93 resto 5 • 93 / 8 = 11 resto 5 • 11 / 8 = 1 resto 3 • último quociente: 1 ==> parte inteira: 1355 • 0,97 x 8 = 7,76 inteiro 7 • 0,76 x 8 = 6,08 inteiro 6 • 0,08 x 8 = 0,64 inteiro 0 ==> parte fracionária: 760 (749,97)10 = (1355,760)8
  • 7. ArquiteturaeorganizaçãodeComputadores Sistemas de Numeração e Aritmética Computacional 7 Conversão de bases Conversão de decimal para binário, octal e hexadecimal • E de decimal para hexadecimal: • (155,742)10: 155 / 16 = 9 resto 11 (B) • último quociente: 9 ==> parte inteira: 9B • 0,742 x 16 = 11,872 inteiro 11 (B) • 0,872 x 16 = 13,952 inteiro 13 (D) • 0,952 x 16 = 15,232 inteiro 15 (F) ==> parte fracionária: • BDF (155,742)10 = (9B,BDF)16
  • 8. ArquiteturaeorganizaçãodeComputadores Sistemas de Numeração e Aritmética Computacional 8 Conversão de bases
  • 9. ArquiteturaeorganizaçãodeComputadores Sistemas de Numeração e Aritmética Computacional 9 Conversão de bases De binário, octal, e hexadecimal para decimal • Segue-se a regra simples: • Ou seja, eleva-se a base a converter à potência cujo valor é sua posição no número e multiplica-se pelo símbolo. • Assim, de binário (base 2) para decimal (base 10), podemos fazer, por exemplo: • • Ex1: • • Ex2:
  • 10. ArquiteturaeorganizaçãodeComputadores Sistemas de Numeração e Aritmética Computacional 10 Conversão de bases De binário, octal, e hexadecimal para decimal • E de octal (base 8) para decimal: • Finalmente, de hexadecimal (base 16) para decimal:
  • 11. ArquiteturaeorganizaçãodeComputadores Sistemas de Numeração e Aritmética Computacional 11 Conversão de bases Conversão de decimal para binário, octal e hexadecimal • Para converter números da base 10 para outras bases, segue- se a seguinte regra: • parte inteira: divide-se o número a ser convertido pela base desejada; toma-se o quociente resultante e divide-se novamente pela base até que o quociente seja zero; os restos das divisões formam a parte inteira do número convertido; o primeiro resto representa o último dígito da parte inteira do número; o último quociente representa o primeiro dígito da parte inteira; • parte fracionária: multiplica-se a parte fracionária do número a ser convertido pela base desejada; toma-se a parte fracionária do número resultante e repete-se a operação; a parte inteira dos produtos obtidos representam a parte fracionária do número procurado.
  • 12. ArquiteturaeorganizaçãodeComputadores Sistemas de Numeração e Aritmética Computacional 12 Conversão de bases Conversão de binário para octal • Basta converter cada três símbolos binários em um octal, partindo-se da vírgula. Caso faltem símbolos para completar três, completa-se com zeros. • Exemplo: (010 101,110 1)2 = (25,64)8
  • 13. ArquiteturaeorganizaçãodeComputadores Sistemas de Numeração e Aritmética Computacional 13 Conversão de bases Conversão de octal para binário • O oposto do método anterior: pega-se cada valor e converte-se pela tabela em três símbolos binários. • Exemplo: (356,71)8 = (11 101 110,111 001)2
  • 14. ArquiteturaeorganizaçãodeComputadores Sistemas de Numeração e Aritmética Computacional 14 Conversão de bases Conversão de binário para hexadecimal • Semelhante a conversão de octal, apenas pegando cada quatro símbolos binários para um hexadecimal, convertidos a partir da tabela. • Exemplo: (1101 1010 0100,1010 11)2 = (DA4,AC)16
  • 15. ArquiteturaeorganizaçãodeComputadores Sistemas de Numeração e Aritmética Computacional 15 Conversão de bases Conversão de hexadecimal para binário • Oposto do método anterior. • Exemplo: (CAFE,01)16 = (1100 1010 1111 1110,0000 0001)2