Planejamento Não Linear

1. PRO910 PLANEJAMENTO E GESTÃO
DA PRODUÇÃO
AULA 09
Prof. Davi das Chagas Neves
Profa. Irce Fernandes Gomes Guimarães

2. “A harmonia que a inteligência humana pensa que
descobre na natureza existe fora dessa inteligência?
Não, sem dúvida, uma realidade completamente
independente da mente que a concebe, vê ou sente,
é uma impossibilidade.”
Henri Poincaré
Matemático e bicho do Henri Gorceix na Escola de Minas – Paris
Proponente primário (pai) da Teoria do Caos.
Planejamento Não Linear

3. Metodologia
Planejamento Não Linear
• Uma introdução pitoresca do algoritmo evolutivo

4. Planejamento Não Linear
• Algoritmo:
POPULAÇÃO
INICIAL
REPRODUÇÃO
E MUTAÇÃO
SELEÇÃO
EVOLUTIVA
CRITÉRIO
Função Fitness

5. Planejamento Não Linear
• Exemplo: calcule a raiz positiva de 3, um número irracional

6. Planejamento Não Linear
• Raiz de 3: Um problema de minimização não linear
Estratégia:
Sabemos que a raiz é definida pelo
valor que anula a curva, ou seja, o
que intercepta no eixo X; porém se
assumirmos os valores desta curva
como absolutos, a raiz será então
o menor destes, temos assim um
problema de minimização.

7. Planejamento Não Linear
• Raiz de 3 com algoritmo genético
U
D
Criando a população inicial:
Olá, eu sou um número
do gênero UP, meu
cromossomo X é igual a 3
e ele se expressa na
característica Y, que é
igual a 6.
Olá, eu sou um número do
gênero DOWN, meu
cromossomo X é igual a 0
e ele se expressa na
característica Y, que é
igual a 3
Característica da espécie:

8. Planejamento Não Linear
• Raiz de 3 com algoritmo genético
U D
Reprodução e Mutação:
+ = N
✓ Mutação: Após 5 reproduções conseguintes,
deve-se multiplicar o novo valor de X por 2.
REPRODUÇÃO

9. Planejamento Não Linear
• Raiz de 3 com algoritmo genético Seleção: Função Fitness
N
✓ Algoritmo de seleção natural:
➢ Caso seja menor que ambos, substitua o maior.
Primeiro
Passo
Reprodução:
U
D
N
SubstituiSeleção Natural:
U
Regra de Ouro

10. Planejamento Não Linear
• Raiz de 3 com algoritmo genético
Segundo
Passo
U
D
Reprodução:
Seleção Natural:
N
Substitui
D
UP DOWN NOVO
X Y X Y X Sub.
3 6 0 3 1,5 U
1,5 0,75 0 3 0,75 D
1,5 0,75 0,75 2,44 1,13 D
1,5 0,75 1,13 1,73 1,31 D
1,5 0.75 1,31 1,28 1,41 D
2,82 4,95 1,5 0,75 2,16 U
2,16 1,67 1,5 0,75 1,83 U
1,82 0,35 1,5 0,75 1,67 D
Valores dos Oito Primeiros Passos:
M
Mutação

11. Planejamento Não Linear
• Nota importante:
➢ No slide anterior devemos observar a pertinência da mutação, pois sem ela o algoritmo ficaria
preso num intervalo localizado, substituindo apenas o número DOWN. Você entendeu por que?
• Vamos elaborar a seguir um algoritmo que realize 200 passos desta evolução numérica
Nosso Algoritmo no R

12. Planejamento Não Linear
• Raiz de 3
com
algoritmo
genético

13. Planejamento Não Linear
• Raiz de 3
com
algoritmo
genético
which.max()

14. Planejamento Não Linear
• Raiz de 3
com
algoritmo
genético

15. Planejamento Não Linear
• Raiz de 3 com algoritmo genético
Mudando o limite de mutações para 15:

16. Package GA
• O algoritmo genético já está implementado em R
Planejamento Não Linear

17. Planejamento Não Linear
https://cran.r-project.org/

18. Planejamento Não Linear
Exemplo 1 • Encontrando a raiz de 3 com GA
Como o algoritmo implementado
encontra valores máximos, basta
inverter o sinal da função fitness.

19. Planejamento Não Linear

20. Planejamento Não Linear
Convergência

21. Planejamento Não Linear
Exemplo 2 • Encontrando o máximo de uma função não linear

22. Planejamento Não Linear

23. Planejamento Não Linear

24. Planejamento Não Linear
Exemplo 3 • Encontrando o máximo em um sistema multivariado

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Exemplo 4 • Otimização de função com restrições – problema objetivo
https://cran.r-project.org/

28. Planejamento Não Linear

29. Planejamento Não Linear
➢ Observe atentamente as cores das restrições e do contorno das função objetivo.

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31. Planejamento Não Linear

32. Planejamento Não Linear

33. Planejamento Não Linear
deSolve
• Sistema de equações diferenciais não lineares

34. Planejamento Não Linear
• Sintonizando:
O exercício da sua carreira propiciará questões referentes ao planejamento
de um sistema de produção que ocasionalmente não serão descritas por
funções, mas por um sistema de equações diferenciais.
Quando esta situação ocorrer, as metodologias elucidadas nesta aula e na
anterior serão ineficazes, em vista disto torna-se pertinente abordar os
métodos de solução de equações diferenciais não lineares.
Esta abordagem sucinta será realizada por meio de um único exemplo.

35. Planejamento Não Linear
Exemplo 5 • Modelo para a convecção atmosférica de Edward Lorenz
Sistema de Equações

36. Planejamento Não Linear
Exemplo 5 • Modelo para a convecção atmosférica de Edward Lorenz
Sistema de Equações
• x – parâmetro referente a taxa de convecção atmosférica.
• y – parâmetro referente ao gradiente horizontal da temperatura.
• z – parâmetro referente ao gradiente vertical da temperatura.
• σ – parâmetro associado à difusividade térmica.
• ρ – parâmetro associado à intensidade da flutuabilidade.
• β – parâmetro associado às camadas do fluido.

37. Planejamento Não Linear

38. Planejamento Não Linear
“O bater de asas de
uma borboleta pode
causar um tufão no
outro lado do mundo.”
Teoria do Caos

39. Planejamento Não Linear

40. Planejamento Não Linear

41. Planejamento Não Linear
• Solução do Modelo de Lorenz

42. ➢ Para casa:
1) Procure um artigo que aborde um sistema controlado por kanban
e é otimizado com o algoritmo genético. Implemente-o utilizando a
biblioteca GA.
Há outras bibliotecas excelentes implementadas em R, que abordam
algoritmos para problemas não lineares, como por exemplo: pracma
e optimx. Explore!
2) No mercado de empresas a ação predatória é muito comum,
infelizmente, por isso o modelo de Lotka-Volterra pode ser ideal
para uma análise, resolva este sistema usando o pacote deSolve.
Até a próxima pessoal!
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