Gestão da Produção e Previsão com ARIMA

PRO910 PLANEJAMENTO E GESTÃO
DA PRODUÇÃO
AULA 04
Prof. Davi das Chagas Neves
Profa. Irce Fernandes Gomes Guimarães

“Aqueles que possuem conhecimento não
fazem previsões e aqueles que fazem
previsões não possuem conhecimento.”
Lao Tzu
Poeta e filósofo chinês
Previsão com ARIMA: análise de séries temporais

Fazendo Previsões com R a partir de
Séries Temporais

Douglas C. Montgomery Paul S. P. Cowpertwait
Lembrando que este não é um curso completo sobre séries temporais,
portanto esta abordagem será sucinta e para maiores detalhes vejam as
seguintes bibliografias:

Na última aula abordamos o método de médias móveis,
para complementá-lo, nesta aula abordaremos o método
de AutorRegressão, que Integrado ao anterior remete ao
que denominamos como ARIMA. Sigam-me
os bons!

AUTORREGRESSÃO
índice dados
x1 y1
x2 y2
... ...
xn-1 yn-1
xn yn
Regressão linear simples,
na qual os valores de α e β
devem ser determinados.
Nesta autorregressão de
segunda ordem (p=2), os
valores de α e β serão
determinados sem os
valores dos índices,
utilizando apenas os dados.
Fórmula geral para a
autorregressão.

Vamos realizar
o processo de
autorregressão
em uma série
aleatória.
Observe os
valores de:
α e β
Valores utilizados
pra construir a
serie temporal
desta aula:
Observe também
o White Noise
(Ruído Branco).

Na figura anterior fica evidente o deslocamento entre a curva dos dados (azul)
e a curva do modelo (vermelha), o que induz ao método dos resíduos, no qual
a precisão do modelo é definida pelos seus erros absolutos, aferidos pelas
distâncias entre estas duas curvas, conforme a seguinte expressão:
MÉDIA DESVIO

scatter3D
Neste ponto deveríamos perguntar:
Quais os valores ótimos para α e β?
Vamos utilizar a biblioteca plot3D pra responder.

Não precisa!

Função que determina o
erro médio para valores
distintos de alfa e beta.

Varredura dentre valores de
alfa e beta, no intervalo entre
Zero e Um, considerando a
condição estabelecida.

➢ Portanto, α=0,58 e β=0,4 geram o
menor erro pra esta série de dados.
Será?
α=0,58 e β=0,4

:
Talvez uma forma mais adequada para determinar α e β
seria utilizando o método de regressão linear:
função lm()

Observe a simplicidade
deste código.

O que você acha?
Temos então que:

Gerando um GIF:

AR(dados, método, ordem)
Mas o R não seria uma linguagem tão popular
entre estatísticos e engenheiros se não tivesse
uma método de autorregressão implementado.
O MÉTODO DE AUTOREGRESSÃO FOI
COMPLETAMENTE EXPOSTO, COMO PRETENDÍAMOS.

2
3
Ao executar o código, note
que o erro absoluto piorou e
a correlação entre as curvas
fitadas melhorou.

Caramba, o R não serve pra nada,
o modelo implementado nele teve
o maior erro! Que droga!
Calma! Na verdade, pra avaliar aqueles
modelos, o correto seria utilizarmos um
correlograma.
Calma de novo! Vou te explicar o que é um
correlograma e como utilizá-lo!

Brincando no console:
❑ Altere os valores dentro da função runif() de y e continue
calculando a correlação e plotando o mesmo gráfico.

➢ Após brincar bastante, devemos concluir algumas coisas e
questionar outras:
1. A correlação está relacionada a distribuição dos pontos, quanto mais próxima da
unidade menor o desvio dos dados.
2. Quando dois conjuntos de dados (reais e modelo) não apresentam correlação, a
regressão linear não é uma boa metodologia pra associá-los.
3. Se a série de dados for proveniente de um processo de autorregressão, como
seria o perfil da autocorrelação?
4. E para uma série de dados com alta sazonalidade?
5. A função de autocorrelação pode ser utilizada para determinar padrões e definir
o modelo?
6. Acredite, haverá muitas outras perguntas, mas a exiguidade do tempo não
permite tal discussão neste curso.

O correlograma é um gráfico no qual se ilustra a autocorrelação de um conjunto de dados
versus o lag estabelecido nestes dados, ele pode ser elaborado da seguinte forma:
1) Obtenha os dados da série temporal.
2) Escolha o lag inicial para o modelo. Normalmente inicia-se com ZERO.
3) Defina uma nova série de dados (modelo) saltando os valores iniciais conforme indicado pelo lag.
4) Defina uma nova série de dados (original) truncando os valores finais conforme indicado pelo lag.
5) Calcule a correlação destas duas séries de dados.
6) Anote os valores da correlação e do lag, em seguida amplie o lag e volte ao terceiro passo.
7) Após repetir este processo até um lag máximo, plote os valores anotados.
Autocovariância com lag = k
original modelo

A função de autocorrelação já está implementada no R: acf().
sazonal

estacionária

NÃO
estacionária

Observando os resultados anteriores, provenientes da função de autocorrelação, podemos
afirmar que:
1. Quando a série de dados apresentar uma tendência crescente ou decrescente, seu
correlograma apresentará um decaimento lento dos valores da autocorrelação. Isto
indica que um modelo de autorregressão é pertinente. Pense sobre!
2. Quando a série de dados apresentar um comportamento fortemente sazonal, seu
correlograma apresentará uma oscilação cossenoidal acima dos limites da hipótese
nula. Neste caso um modelo baseado na série de Fourier seria mais pertinente. Pense
sobre!
3. Quando a série de dados apresentar um variação semelhante a um ruído branco, seu
correlograma apresentará uma oscilação aperiódica abaixo dos limites da hipótese
nula. Neste caso um modelo com médias móveis pode ser adequado. Pense sobre!

OK! Resumindo:
Neste curso não abordaremos modelos referentes à serie de Fourier.
Em séries estacionárias ficou evidente que o modelo de médias móveis
pode ser adequado, por outro lado, em séries não estacionárias os modelos
de autorregressão parecem ser pertinentes, portanto, a associação destes
dois modelos é complementar e normalmente suficiente para abordar
diversas séries temporais. Assim surgiu o ARIMA.
Antes de abordar a elaboração do método ARIMA, devemos realizar uma análise dos erros
residuais referentes aos modelos abordados.

De acordo com a bibliografia, quando o correlograma dos resíduos (erros) apresentar
autocorrelações significativas o modelo poderá ser aprimorado. Pense sobre!
Se o modelo não puder ser aprimorado, a distribuição dos resíduos será uma normal com
média igual a zero. Brincando no console (vide próximo slide) temos:
Série de Dados
Correlograma dos erros Distribuição
normal dos erros
✓ Modelo com erros pouco correlacionados e com uma distribuição normal: nenhum aprimoramento!

NÃO APRIMORA APRIMORA
SLIDE ANTERIOR EXECUTE ESTE CÓDIGO

CHEGA DE PAPO
BORA PRO
ARIMA

AR
MA
I
Auto Regressão
Integrado com
Médias Móveis
Introduzindo a biblioteca forecast com dados reais
Na utilização do método ARIMA
implementado na biblioteca
forecast, devemos observar as
ordens relativas aos modelos de
autorregressão, de médias móveis
e a ordem de diferenciação da
série – observe nos códigos
seguintes.
p
q
d

No slide anterior, p é a ordem do modelo autorregressivo, q é a ordem do modelo de média
móveis e d é a ordem de diferenciação da série. Mas, o que é a diferenciação da série?
Veja o código abaixo:

Função ts()

Ative o print()

➢ Para casa:
1) Elabore um código que determina as previsões das
ações da Apple com o método Holt-Winters.
2) Altere o último código e analise (com previsão) as
ações da Amazon.
3) Modifique (reduza) o valor do ruído branco e observe
como os modelos elaborados se comportam.
Ficou faltando algo? Talvez vocês possam encontrar
mais detalhes aqui:
Até a próxima pessoal!
https://a-little-book-of-r-for-time-series.html

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