Planejamento Linear e DEA

PRO910 PLANEJAMENTO E GESTÃO
DA PRODUÇÃO
AULA 08
Prof. Davi das Chagas Neves
Profa. Irce Fernandes Gomes Guimarães

“As pessoas escolhem seus líderes sem uma base
de fatos ou resultados, elas escolhem aqueles que
parecem ser confiáveis e que transmitem uma
autoridade plagiada, na minha opinião é isso que
está ferrando tudo.”
Michael J. Burry
Médico que previu a bolha financeira/imobiliária de 2008
Filme: A grande aposta
Planejamento Linear:otimizando insumos e produtos

Metodologia
o Uma revisão muito, muito, muito sucinta:

o O tema desta aula remete aos métodos de otimização dos processos de manufatura, que
podem ser descritos por expressões matemáticas lineares (y=a.x+b) e normalmente são
definidos pelo termo programação linear, porém optamos por utilizar o termo planejamento,
referindo-se ao significado primordial da palavra programação, distinguindo-a do conceito
computacional. A seguir apresentamos a bibliografia desta aula:

o Em 1945 foi proposto um desafio no jornal The New York Times, conhecido como o problema da dieta, que foi
solucionado por (tentativas) George Stigler, porém este trabalho foi menosprezado inicialmente.
o Em 1947, George Dantzig (cientista da SCOOP – Scientific Computation of Optimum Programs) elaborou um
método algébrico para solucionar problemas de otimização para a Força Aérea dos Estados Unidos, este
método foi denominado como SIMPLEX.
o No inicio os cálculos exaustivos do método SIMPLEX não propiciavam aplicações muito úteis, porém, com o
surgimento do computador em 1951 tudo mudou e estas técnicas de otimização se tornaram preponderantes
na indústria, especialmente na siderúrgica e na de rações – composição otimizada.
Qual seria a alimentação mais econômica?
Considere os 77 tipos de alimentos listados e
os 9 nutrientes necessários para um ser humano.
George Stigler chegou a uma refeição composta por farinha
de trigo, repolho e fígado de boi; uma “delícia” que custava
apenas $59,88 por ano.

A
B
C
D
E
ProdutoPopular
Produto Luxuoso
Insumos:
vermelho,
verde e
laranja
MAXIMIZAÇÃO
o Considere uma empresa que produz apenas
dois produtos, um popular e outro luxuoso,
ambos são manufaturados com três insumos.
o O lucro (função objetivo) é expresso por uma
equação linear (retas), se os insumos não
fossem limitados o lucro seria infinito, mas na
realidade a produção é limitada.
o As limitações referentes aos insumos são
expressas por inequações lineares, que
definem o polígono das soluções factíveis.
o A solução ótima será definida pela reta que
interceptará uma extremidade do polígono,
considerando a maximização do lucro, que
neste caso será definida pela reta (tangente
em C) mais distante da origem (ponto A).
o O algoritmo SIMPLEX consiste na avaliação
do lucro apenas nos pontos: A, B, C, D e E.
Lucro
Zero

o A formulação matemática de problemas
como o anterior remete às seguintes
equações:
Restrições:
M – Número de insumos M=3
N – Número de produtos N=2
MAXIMIZAÇÃO Restrições:
o Portanto, os softwares de PL normalmente usam
a representação MPS (Matricial):
o A formulação para MINIMIZAÇÃO é idêntica.
Restrições:

ANÁLISE ENVOLTÓRIA DE DADOS Medindo a Eficiência de Unidades Produtivas
o DEA é uma ferramenta muito útil na elaboração
do benchmarking de um conjunto de unidades
produtivas.
o O método consiste em comparar a eficiência de
unidades de um mesmo setor a partir da razão
entre a produção de cada unidade e os insumos
consumidos nesta produção.
o Considere oito empresas de laticínio. Nossa
análise consiste em comparar a quantidade de
queijo produzido dividida pela quantidade de leite
consumido, logo, a empresa mais eficiente define
uma fronteira de eficiência envoltória.
QuantidadedeQueijo
Quantidade de Leite
A
F
D
H
G
E
CB
Fronteira de Eficiência
Regressão Linear
A empresa B é a
mais eficiente e
assim definimos
a fronteira
envoltória
• Note que a empresa H é a que mais produz queijo, mas não é a mais eficiente.
Como
Melhorar?

o No slide anterior ficou explícito que a regressão linear
não pode ser utilizada para determinar a fronteira de
eficiência.
o Esta fronteira é determinada solucionando o
seguinte sistema de (in)equações:
o O problema ao lado é obviamente Não Linear,
então devemos LINEARIZAR:
o A solução consiste em encontrar:
o Note que este sistema se tornou um problema de
PL, como os que foram discutidos no SIMPLEX.
Valor do
Portifólio
Insumos
Consumidos
Três Empresas
Restrições
Empresa A
Empresa B
Empresa C
Restrições:
A empresa A foi escolhida como
referência, poderia ser a B.

Rglpk
❖ GNU Linear Programming Kit (GLPK) no R:

Problema 1 – Descrição

Problema 1 – Formulação
Rglpk
Margem de
Lucro
Leite
Soro
Gordura
Mão de Obra
Insumos
Demandas

Problema 1
Resolução
Na quinta linha do
código ao lado (5L)
importamos a
biblioteca Rglpk,
você sabe como
fazer isto?

Para casa: Determine qual solver é mais rápido, ou seja, qual gasta menos
tempo no processamento desta solução, Excel ou GLPK?

Séries
Temporais

JUNHO
Estoque
Produção
CUSTOS
CAPACIDADES
Função Objetivo:
Restrições:

• ΔI = R + HE + S – Demanda Balanço do Estoque
• ΔR = CF – DF Balanço da Produção

Função Objetivo
Restrições – 1
Restrições – 2

R
E
S
T
R
I
Ç
Õ
E
S
✓ ANOTE
✓ EVITE
✓ ERROS
Restrições – 3
Restrições – 4
Restrições – 5
Restrições – 6

Problema 2 – Resolução
Linhas da
Matriz de
Restrições

o Todas as linhas do código dentre 14 e 49 estão expostas no slide anterior.

o O problema está montado, basta resolver com o GLPK.

• Osasco
• Sorocaba
• São Sebastião
• São Paulo
• Rio de Janeiro
• Curitiba

Problema 3
Resolução

o Haveria inúmeros exemplos para apresentarmos, porém devemos salientar que este
não é o nosso objetivo, pois nesta parte do curso pretendemos apenas introduzir uma
ferramenta computacional e sabemos que no curso de Pesquisa Operacional (PO)
vocês trabalharam com estes exemplos.
o Para complementar vocês deveriam ler o Manual (PDF) da biblioteca Rglpk:
https://cran.r-project.org/web/packages/Rglpk/index.html
o Nos slides anteriores trabalhamos com três exemplos básicos, no primeiro otimizamos
o lucro de um empresa de laticínios planejando a utilização dos seus insumos, em
seguida otimizamos um estoque planejando a produção de acordo com previsões de
demanda e por último otimizamos a logística de uma empresa planejando seus custos
com transporte. Procurem mais exemplos nos livros referenciados ou similares.

rDEA
❖ Análise Envoltória de Dados no R:

As Eficiências de 12 Hospitais

• v – pesos para médicos e enfermeiras
• q – pesos para pacientes
• p – quantidade de médicos e enfermeiras
• u – quantidade de pacientes
Na tabela 1.5 os valores de p e u foram definidos,
no texto ao lado valores de v e q foram fixados:
v1=5 (médico), v2=1 (enfermeiras), q1=1
(pacientes liberados) e q2 (paciente internados).
Duas soluções: Pesos Fixos e CCR

Problema 4
Resolução

o Nesta parte do código elucidamos os cálculos da eficiência conforme as fórmulas descritas,
observando atentamente podemos compreender melhor àquelas (in)equações.

Solução do Nosso Código:

Qual dentre 10 universidades
(DMU) é a mais eficiente?
Considere o número médio de
ingressantes (I) e formandos (O)
dos últimos 5 anos, no primeiro (1)
e no segundo (2) semestres.
Tabela 3.1

Problema 5 – Formulação e Resolução

➢ Para casa:
1) Procure um problema do tipo flow shop e utilize a biblioteca
Rglpk pra otimizar o processo.
2) Elabore um problema com cinco turmas de uma escola
fictícia, com notas e número de estudantes distintos (runif),
calcule a média e o desvio padrão das notas – OUTPUTS.
Os INPUTS serão determinados pelas frequências. Qual
turma é a mais eficiente?
Até a próxima pessoal!

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