Combinatoria na Educação básica algumas discussões

1. Palestra Proferida
UNESP –Campus Guaratinguetá SP
03/03/2022
cristiane.arocha@ufpe.br

2. Combinatória na Educação Básica:
ensino e aprendizagem em foco
Cristiane de Arimatéa Rocha

3. COMBINATÓRIA?
A Combinatória é uma área que teve grande crescimento com a
invenção de computadores seu aumento de capacidade e
popularização. É um conteúdo que tem aplicações em diferentes áreas
de conhecimento.
Kapur (1970 - Índia) defende a inserção da Combinatória no currículo, pois
ela é acessível, promove um rico pensamento matemático, o uso de práticas
matemáticas desejáveis, além de contribuir positivamente para questões de
equidade na EM.

4. COMBINATÓRIA: Ensinar é preciso!
Rute Borba (2010, 2013, Brasil) afirma que o raciocínio combinatório promove o
desenvolvimento de uma maneira sistemática para a organização de dados e escolha
de conjuntos ou subconjuntos em diversas situações no dia a dia dos alunos,
constituindo-se um instrumento importante na formação da cidadania.
Batanero, Godino e Navarro-Pelayo (1996, pp.14-15 - Espanha) alertam para a
necessidade de ‘estimular o desenvolvimento do raciocínio combinatório por meio
de uma instrução adequada, já que nem sempre se alcança espontaneamente ao
chegar na idade adulta’.
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5. COMBINATÓRIA: Ensinar é preciso!
Roa (2000 - Espanha), em sua investigação, defende que o raciocínio
combinatório não se desenvolve de maneira espontânea e mesmo alunos
com intensa preparação matemática, precisam de ensino específico em
Combinatória, focalizando diferentes configurações combinatórias.
Coenen, Hof e Verhoef (2018, p.78- Países Baixos) enfatizam que se esta
orientação/acompanhamento for realizada adequadamente “[...] fortalecerá a
confiança dos alunos em sua abordagem e em suas soluções”.
Quais conhecimentos são necessários ao professor para
ensinar Combinatória?

6. ENSINAR E APRENDER COMBINATÓRIA?
ALUNOS PROFESSORES
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7. Conhecimentos de Combinatória para ensinar
Resolver
problemas
cominatórios
simples
Comum de
Combinatória
(CcC)
Especializado
de
Combinatória
(Cec)
Identificar os
invariantes
do conceito
nos prob. Comb.
Discutir sobre
adequação de
nomenclatura
Discutir
procedimentos
de resolução
específicos por
nível de ensino
e suas relações
Compreender o
processo de
desenvolvimento
do raciocínio
combinatório
Horizonte de
Combinatória
(CHC)
Conhecimento
de
Combinatória
Tarefas associadas
Relacionar
áreas ou outros
conhecimentos
matemáticos com
Combinatória

8. Conhecimentos de Combinatória para ensinar
Estabelecer
critérios sobre
dificuldades dos
estudantes na
resolução
Antecipar
erros
e justificar
os motivos
Combinatória
e Alunos
(CCA)
Combinató
ria e Ensino
(CCE)
Planejar,
sistematizar e
implementar as
aulas.
Produzir
recursos que
podem ser
utilizados em
aulas de
Combinatória
Apresentar
informações
sobre os
documentos
curriculares
oficiais referentes
à Combinatória
Discutir
as diferentes
instâncias do
currículo Combinatória
Combinatória
e Currículo
(CCC)
Conhecimento
Pedagógico
de
Combinatória
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9. Que aspectos podem ser abordados em aula?
Rocha e Borba (2021) em conversas com professores de diferentes níveis,
constataram algumas lacunas nos diferentes domínios de conhecimentos que podem
dificultar a análise de erros, a proposição de atividades que visem a aprendizagem a
partir desses erros.
Discussão e práticas direcionadas à reflexão dos diferentes domínios de
conhecimento sobre Combinatória na formação inicial e continuada de professores
nos diferentes níveis de ensino são necessárias.
É essencial à vinculação de experiências práticas que permitam a reflexão sobre
planejamentos de aula, erros e estratégias utilizadas por alunos e recursos para
ensino de Combinatória

10. O que pode-se fazer?
Conceitos (problemas,
procedimentos)
Complexidade e os tipos de
situações de problemas
Refletem
Nos conhecimentos prévios
dos estudantes, nas
dificuldades que eles
apresentam e nos modos de
manter os estudantes
motivados e preparados para
etapas futuras de suas vidas.
Escolher propostas adequadas
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Lookwood et al (2020, EUA) parte do que torna os problemas combinatórios
únicos
(com o potencial de serem tão ricos) é que nem sempre há um caminho claro
ou procedimento para resolver um determinado problema de contagem.

11. Que recursos possuímos? Analisar o que o recurso oferece

12. 0 a 4
__ __ 5x4x2 = 40
0  00/01/02/03/04
1 10/11/12/13/14
2 20/21/22/23/24
3 30/31/32/33/34
4 40/41/42/43/44
Comparar as diferenças
Discutir procedimentos apresentados
pelos alunos, comparando-os!
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13. Modificar as propostas já
conhecidas viabilizando outras
habilidades
Propor tarefas
Discussão de enunciados de problemas/ elaboração de problemas
Em uma situação de sala de aula, o professor apresenta o seguinte problema e alguns
alunos apresentaram as seguintes resoluções:
Quatro alunos (Mário, Alex, Raul e José) participam de um concurso em que serão
sorteados dois jogos eletrônicos. Quantos resultados diferentes podem ser obtidos no
concurso?
Para você, que aluno apresenta a melhor solução? Justifique
Como você explicaria as diferentes soluções apresentadas pelos alunos? Justifique
Aluno A:
___ ___
4 . 3 = 12
Aluno B:
___ ___
4 . 4 = 16
Aluno C:
MA; MR, MJ, AR,
AJ, RJ
6 possibilidades
Aluno D:
MM, AA, RR, JJ,
MA, MR, MJ,AR,
AJ, RJ
10 possibilidades

14. Araújo e Rocha (2018)
14
Modificar as propostas já
conhecidas viabilizando outras
habilidades
Identificar o tipo a partir
do enunciado
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15. 15
Estudos de casos
Discutir soluções diferentes,
explicitando as escolhas
O professor começa a escrever no quadro a seguinte atividade:
Três alunos chegam atrasados a uma palestra. No auditório, só estão vazias
7 cadeiras. De quantas maneiras eles podem ocupar essas cadeiras.
Vários alunos começam a tentar resolver e várias soluções diferentes
aparecem. O professor anota todas no quadro
• Tayani: São 37
• Felipe: - Professor, são 7x7x7 maneiras
• Pablo: Eu acho que são 3x7x3x6x3x5
• Daniel: são 3x7x2x6x1x5
• Poliana: São 7x6x5

16. UM RECURSO PRODUZIDO POR
LICENCIANDOS
O jogo consiste em desvendar o
mistério sobre o local, o presente
e a pessoa que deu o presente
para Tia Cris!
4 opções de local
4 opções de presente
9 opções de pessoas
AUTORES: IGOR NONATO; THAIS SILVA, ANA TORQUATO E FABIO ANDRADE
SEMESTRE 2019.2
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17. EXPLORANDO O JOGO
O jogo consiste em desvendar o
mistério sobre o local, o presente
e a pessoa que deu o presente
para Tia Cris!
Se já sabemos quem foi;
1 opções de local
2 opções de presente
E possuímos essas cartas;
Quantas opções de
solução temos para
desvendar o mistério?

18. Entre outras coisas em um processo de
ensino e Aprendizagem de Combinatória
...a seleção de tipos de situações variadas, abordando as
diferenças entre os invariantes dos problemas combinatórios
(escolha, ordem, repetição); a construção de resoluções
próprias, enfatizando procedimentos enumerativos e numéricos
e a explicitação de argumentos de alunos (pessoais e coletivos)
que façam uso de propriedades combinatórias, favorecendo o
surgimento de padrões de interação entre professor e alunos
que promovam a responsabilidade dos estudantes na resolução
de problemas combinatórios (ROCHA, 2019).
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19. Promove atitudes positivas nos alunos e
consegue propor soluções para as
atitudes negativas com relação as
atividades
Estabelece conexões entre a
Combinatória e outras áreas da
Matemática.
Utiliza diferentes recursos didáticos que auxiliem
na compreensão da Combinatória.
Possibilita que os alunos façam propostas de procedimentos
de resolução sem esperar a resposta do professor e
argumentem sobre suas ideias.
Os alunos apresentam argumentos
e justificativas para os
procedimentos utilizados.
Promove a discussão de problemas
com complexidades diferenciadas
(exercícios, simples, condicionais, integrados).

20. Universidade Federal de
Pernambuco (UFPE)
Professora Cristiane Rocha
cristiane.arocha@ufpe.br
http://geracaoufpe.blogspot.com/

21. Desafio 1
Cinco alunos ganharam um concurso. Quando souberam da
notícia, telefonaram uns aos outros para parabenizarem-se.
Descubra quantas chamadas tiveram que fazer os cinco amigos
para felicitarem todos entre si.
E se fossem seis amigos, quantas chamadas fariam?
E se fossem sete amigos, quantas chamadas fariam?
Você consegue descobrir alguma regra para qualquer número de
amigos?

22. Desafio 2
Cinco alunos ganharam um concurso. Quando souberam da
notícia, telefonaram uns aos outros para parabenizarem-se.
Descubra quantas chamadas tiveram que fazer os cinco amigos
para felicitarem todos entre si.
E se fossem seis amigos, quantas chamadas fariam?
E se fossem sete amigos, quantas chamadas fariam?
Você consegue descobrir alguma regra para qualquer número de
amigos?

23. Desafio 3
Dada uma circunferência com n pontos conectados por retas de
modo que não haja três retas que se interceptem no mesmo
ponto. Existem quantos diferentes pontos de interseção entre
essas retas que sejam internos a circunferência?
Dica: Estude o comportamento da situação proposta
Pense em casos particulares e vá ampliando a chegar
a n

24. OBRIGADA!