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  1. 1. Conjuntos NuméricosConjuntos Numéricos
  2. 2. Ao final dessa aula você saberá:Ao final dessa aula você saberá:  O que é um conjunto e suas representaçõesO que é um conjunto e suas representações  Subconjuntos notáveis dos conjuntos N, Z,Subconjuntos notáveis dos conjuntos N, Z, Q e R.Q e R.  Tudo sobre o conjunto dos números reaisTudo sobre o conjunto dos números reais  Representações por intervalo e as operaçõesRepresentações por intervalo e as operações de união, interseção e conjuntode união, interseção e conjunto complementar.complementar.
  3. 3. O que é conjunto?O que é conjunto? Exemplos:Exemplos:  { a,b,c,d,e}{ a,b,c,d,e}  {1,2,3,4,5,6,7,8}{1,2,3,4,5,6,7,8}  {laranja, banana, maçã}{laranja, banana, maçã} É uma coleção de qualquer coisa.
  4. 4. ComoComo representamosrepresentamos osos conjuntos?conjuntos? a) Entre chaves (a) Entre chaves (enumeraçãoenumeração)) A = {0,1,2,3,4,5}A = {0,1,2,3,4,5} b) Pelob) Pelo diagramadiagrama A 5. 4. 3. 2. 1. 0.
  5. 5. O que é conjuntoO que é conjunto vaziovazio?? É um conjuntoÉ um conjunto sem elementossem elementos.. ComoComo representamosrepresentamos oo conjunto vazioconjunto vazio?? { }∅
  6. 6. O que é conjuntoO que é conjunto unitáriounitário?? É o conjunto queÉ o conjunto que sósó apresentaapresenta umum elementoelemento.. Exemplos:Exemplos:  A = {3}A = {3}  BB . 19 Atenção! O conjunto { } é um conjunto unitário. ∅
  7. 7. O que éO que é subconjuntosubconjunto?? É umÉ um conjuntoconjunto que estáque está contidocontido emem outrooutro.. Exemplo: A = {t,u,v,x,z} e B = {u,v,x} ,Exemplo: A = {t,u,v,x,z} e B = {u,v,x} , então B é um subconjunto de Aentão B é um subconjunto de A O conjunto vazio é subconjunto de qualquer conjunto. Todo conjunto é subconjunto dele mesmo.
  8. 8. Como calculamos aComo calculamos a quantidadequantidade dede subconjuntossubconjuntos de um conjunto?de um conjunto? Basta efetuar a conta oBasta efetuar a conta o 22nn , sendo, sendo nn igualigual aa quantidadequantidade dede elementoselementos do conjunto.do conjunto. Exemplo: Sendo A = {6,7,8,9}, então oExemplo: Sendo A = {6,7,8,9}, então o número de subconjuntos de A é:número de subconjuntos de A é: 22nn = 2= 244 = 16 subconjuntos.= 16 subconjuntos.
  9. 9. Qual é a representação doQual é a representação do conjuntoconjunto dosdos númerosnúmeros naturaisnaturais?? N = {0,1,2,3,4,5,...}N = {0,1,2,3,4,5,...} Z = {...,-3,-2,-1,0,1,2,3,...}Z = {...,-3,-2,-1,0,1,2,3,...} E a representação doE a representação do conjuntoconjunto dosdos números inteirosnúmeros inteiros?? O conjunto N é um subconjunto de Z.
  10. 10. Quais são osQuais são os subconjuntossubconjuntos notáveisnotáveis dede ZZ?? { },...3,2,1,1,2,3...,* −−−=Ζ * Ζ é o conjunto dos números inteiros sem o zero. +Ζ é o conjunto dos números inteiros não-negativos. { },...3,2,1,0=Ζ+ −Ζ é o conjunto dos números inteiros não-positivos. { }0,1,2,3..., −−−=Ζ− * +Ζ é o conjunto dos números inteiros positivos. { },...3,2,1* =Ζ+ * −Ζ é o conjunto dos números inteiros negativos. { }1,2,3...,* _ −−−=Ζ
  11. 11. E o conjunto dosE o conjunto dos númerosnúmeros racionaisracionais?? É o conjunto dos números que podemÉ o conjunto dos números que podem ser escritos sob forma deser escritos sob forma de fraçãofração.. É representado porÉ representado por QQ e tambéme também incluiinclui asas dízimasdízimas.. Os conjuntos N e Z são subconjuntos de Q. N Z Q
  12. 12. Você já percebeu que:Você já percebeu que: EntreEntre dois númerosdois números inteirosinteiros existemexistem infinitosinfinitos númerosnúmeros racionaisracionais?? 43    initosinf ;...999,3;...;00001,3...; O conjunto Q também apresenta os subconjuntos notáveis: ** ,,*, −−++ QeQQQQ
  13. 13. Quais osQuais os elementoselementos dodo conjunto dos númerosconjunto dos números irracionaisirracionais?? São númerosSão números decimais infinitosdecimais infinitos, que, que nãonão sãosão periódicosperiódicos. É representado por. É representado por II.. Exemplos:Exemplos: N Z Q I ...414213,12 = ...1416,3=π  0,1234...0,1234...   O conjunto R também apresenta os subconjuntos notáveis!
  14. 14. E o conjunto dosE o conjunto dos númerosnúmeros reaisreais?? É aÉ a uniãounião do conjuntodo conjunto QQ com o conjuntocom o conjunto II.. N Z Q R I A reta numérica, agora, é chamada de reta real!
  15. 15. O que éO que é intervalointervalo?? É aÉ a representaçãorepresentação de algunsde alguns subconjuntossubconjuntos de Rde R, determinados por uma, determinados por uma desigualdadedesigualdade.. Exemplos:Exemplos: I) Números reais maiores que -1 e menoresI) Números reais maiores que -1 e menores que 4, ou seja,que 4, ou seja, Representação por intervalo:Representação por intervalo: [1,4][1,4] -1 4 }41/{ ≤≤−∈ xRx
  16. 16. II)II) III)III) IV)IV) V)V) VI)VI) { } ] ]2,121/ =≤<∈= xRxB 1 2 C=x∈R/−2≤x<0{ }=−2,0[ [ -2 0 { } ] [3,333/ −=<<−∈= xRxD -3 3 { } [ [+∞=≥∈= ,11/ xRxE 1 { } ] ]5,5/ ∞−=≤∈= xRxF 5
  17. 17. Tente fazer sozinho!Tente fazer sozinho! Analise a reta abaixo e faça o que se pede:Analise a reta abaixo e faça o que se pede: a) Escreva o subconjunto de A formadoa) Escreva o subconjunto de A formado pelos números inteiros.pelos números inteiros. b) Escreva o subconjunto de A formadob) Escreva o subconjunto de A formado pelos números naturais.pelos números naturais. c) Quantos elementos tem oc) Quantos elementos tem o conjunto A?conjunto A? -2,6 6
  18. 18. SoluçãoSolução a) {-2,-1,0,1,2,3,4,5}a) {-2,-1,0,1,2,3,4,5} b) {0,1,2,3,4,5}b) {0,1,2,3,4,5} c) Infinitos.c) Infinitos.
  19. 19. QueQue símbolossímbolos usamos parausamos para relacionar umrelacionar um elementoelemento com umcom um conjuntoconjunto?? pertence ou não-pertencepertence ou não-pertence Exemplos:Exemplos: Sendo o conjunto A = {a,b,c}, podemosSendo o conjunto A = {a,b,c}, podemos dizer que:dizer que: ∈ ∉ ∈ ∈ ∉  aa AA  c Ac A  d Ad A
  20. 20. QueQue símbolossímbolos usamos parausamos para relacionar umrelacionar um conjuntoconjunto comcom outrooutro conjuntoconjunto??  ContémContém  Não contémNão contém  Está contidoEstá contido  Não está contidoNão está contido ⊃ ⊄ ⊂ ⊃ Se liga! Contém começa com c, mas quem fica com ele é o está contido.
  21. 21. Tente fazer sozinho!Tente fazer sozinho! Quais afirmativas são verdadeiras?Quais afirmativas são verdadeiras? Ze QNd QZc Qb Qa ∉− ⊄ ⊄ ∉ ∈ 3 2 ) *) ) ...2555,0) 25,0) Respostas: A, D e E.
  22. 22. O que éO que é uniãounião dede conjuntos?conjuntos? É aÉ a somasoma de conjuntos. É indicada pelode conjuntos. É indicada pelo símbolosímbolo UU.. Exemplos:Exemplos: I) Sendo A = {3,4,5} e B = {5,6,7}.I) Sendo A = {3,4,5} e B = {5,6,7}. A U B = {3,4,5,6,7}A U B = {3,4,5,6,7}
  23. 23. II) Sendo A = ]-5,6[ e B = ]-6,4].II) Sendo A = ]-5,6[ e B = ]-6,4]. BB AA A U BA U B -5 6 -6 4 -6 6 ] [ { }66/ 6,6 <<−∈= −= xRxAUB AUB
  24. 24. O que éO que é interseçãointerseção dede conjuntos?conjuntos? É o subconjunto que representa todos osÉ o subconjunto que representa todos os elementoselementos queque pertencempertencem a todos osa todos os conjuntosconjuntos dados.dados. Exemplos:Exemplos: I) A = conjunto dos números naturaisI) A = conjunto dos números naturais B = conjunto dos números inteirosB = conjunto dos números inteiros ABA =∩
  25. 25. BA∩ II) Sendo A = ]-5,6[ e B = ]-6,4].Sendo A = ]-5,6[ e B = ]-6,4]. -5 6 AA -6 4 BB ] ]4,5−=∩ BA { }45/ ≤<−∈=∩ xRxBA -5 4
  26. 26. Tente fazer sozinho!Tente fazer sozinho! (UFS-SE) Considere os conjuntos:(UFS-SE) Considere os conjuntos: Para analisar as afirmações que se seguem:Para analisar as afirmações que se seguem: { } { } { }42/ 351/ 6431/ ≤<∈= ≠<≤∈= ≤≤≤<∈= xRxC xexRxB xouxRxA ] ]3,2) ]6,1[) ) =∩ =∪ ⊃ CAc BAb CBa
  27. 27. BB CA∩ A U BA U B CC AA Solução 3 51 2 4 1 6 1 63 4 2 43 ] ]3,2) ]6,1[) ) =∩ =∪ ⊃ CAc BAb CBa VV FF FF
  28. 28. Como representamos a diferença entre conjuntos? Excluindo do primeiro todos os elementos do segundo. Exemplos: I) Sendo A = {0,1,2,3,4,5,...} e B = {20,21,22}. A – B={0,1,2,3,...,19} U {23,24,...} Ou A – B = N - B
  29. 29. A -BA -B II) Sendo A = ]-5,6[ e B = ]-6,4].Sendo A = ]-5,6[ e B = ]-6,4]. -5 6 AA -6 4 BB 4 6 ] [ { }64/ 6,4 <<∈=− =− xRxBA BA
  30. 30. O que é conjunto complementar? É a diferença entre um conjunto e um subconjunto dele. Exemplos: I) Sendo A = {0,1,2} e B = {2}. CA B = {0,1} Pode ser representado pelos seguintes símbolos: BAouCB A −
  31. 31. CCAA BB BB AA II) Sendo A = [-1,4] e B = ]0,2[. -1 4 0 2 [ ] [ ] { }6201/ 6,20,1 ≤≤≤≤−∈= ∪−= xouxRxC C B A B A O complemento de um conjunto A é a diferença entre o conjunto Universo e o conjunto A. É indicado pelos seguintes símbolos: AAUAC A U ,,', − 2 60-1
  32. 32. Tente fazer sozinho! 1) (UFPI) Considerando os conjuntos A, B e C na figura abaixo, a região pintada representa: )() )() )() )() )() CABe CABd CABc CABb CABa ∪− ∪∩ ∩∪ −∩ −−
  33. 33. a) b) c) d) Resposta: E Solução
  34. 34. { } { } { } { } { } { } { } { }1/) 3/) 11/) 01/) 01/) :)( ,0/ 31/ ,1/ ))(2 −>∈ ≤∈ <<−∈ ≤<−∈ <<−∈ −∩ ≥∈= ≤<−∈= <∈= − xRxe xRxd xRxc xRxb xRxa éCBArepresentaqueconjuntooentão xRxC exRxB xRxASe RJCesgranrio
  35. 35. Solução -1 3 BB 0 CC AA 1 CBA −∩ )( -1 0 -1 1 BA∩ Resposta: A
  36. 36. 3) Numa pesquisa de mercado, foram entrevistados consumidores sobre suas preferências em relação aos produtos A e B. Os resultados da pesquisa indicaram que: • 310 pessoas compraram o produto A • 220 pessoas compraram o produto B • 110 pessoas compraram os produtos A e B • 510 pessoas não compraram nenhum dos dois Indique o número de consumidores
  37. 37. Solução 110 110200 510 200 + 110 + 110 + 510 = 930 930 : 10 = 93 A B

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