ladrilamento2.pdf

Planos de aula / Matemática / 7º ano / Geometria
Ângulos em polígonos - construindo mosaicos e ladrilhamentos
Por: Rosilaine Sanches Martins / 29 de Março de 2018
Código: MAT7_20GEO04
Sobre o Plano
Este plano de aula foi elaborado pelo Time de Autores NOVA ESCOLA
Autor: Rosilaine Sanches Martins
Mentor: Fabrício Eduardo Ferreira
Especialista de área: Pricilla Cerqueira
Habilidade da BNCC
(EF07MA22) Calcular medidas de ângulos internos de polígonos regulares, sem o uso de fórmulas, e estabelecer relações entre ângulos internos e externos
de polígonos, preferencialmente vinculadas à construção de mosaicos e de ladrilhamentos, à confecção de ferramentas e peças mecânicas, entre outras.
Objetivos específicos
Estabelecer relações entre ângulos internos de polígonos regulares na construção de mosaicos e ladrilhamentos.
Conceito-chave
Ângulos internos de polígonos regulares.
Recursos necessários
Polígonos impressos em folhas;
Atividades impressas em folhas, coladas no caderno ou não;
Tesoura;
Cola;
Folhas de papel sulfite colorido ou cartolina colorida.
Folhas de cartolina ou de papel sulfite brancas.
Endereço da página:
https://novaescola.org.br/plano-de-aula/1527/angulos-em-poligonos-construindo-mosaicos-e-ladrilhamentos
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Materiais complementares
Documento
Atividade Principal
https://nova-escola-producao.s3.amazonaws.com/twgZkmV9y8tfwFMnZXP9AYTUUBPqeRYzRFZDKcadyrNCtuUcFJq4cEaqW4Y9/ativaula-mat7-
20geo04.pdf
Documento
Raio X
https://nova-escola-producao.s3.amazonaws.com/EfsYkwzDHrsW5FWf7YdH5beDH7NaRjy6krBdr8x4Prk8qvn7rgsTpsVcB283/ativraiox-mat7-
20geo04.pdf
Documento
Atividade Complementar
https://nova-escola-producao.s3.amazonaws.com/wJ7GKV9ztNuKa8zjD8gTgNWr3qr3GAzKHbtvuuNUh8w6sRH7bayVBpEe5Fk4/ativcomp-mat7-
20geo04.pdf
Documento
Resolução da Atividade Principal
https://nova-escola-producao.s3.amazonaws.com/UpBQ2sVENTrCSvQGx3bucGguQTF6B9NFtDujbjsgPw3aRVSPW2UNb88NtK4u/resol-ativaula-
mat7-20geo04.pdf
Documento
Guia de Intervenção
https://nova-escola-producao.s3.amazonaws.com/YeEAKaXGJ8hdNHKRuQKN9dZUZ7UEDBW6QwDRXxFuBz8rknzaAMSVYbqkc9r5/guiainterv-
mat7-20geo04.pdf
Documento
Resolução do Raio X
https://nova-escola-producao.s3.amazonaws.com/K26t2xENbv62eW3ECDaA5trvNcdHbdUDw8xPutC3WWtMubNvEnmsYcA4CRv2/resol-
ativraiox-mat7-20geo04.pdf
Documento
Resolução da Atividade Complementar
https://nova-escola-producao.s3.amazonaws.com/paYnzEfr7KtzNVrPGg5p6AhBkvFmdTWy38pE2uzKavbX34DHnDAegKyNHwvz/resol-ativcomp-
mat7-20geo04.pdf
Documento
Materiais Auxiliares
https://nova-escola-producao.s3.amazonaws.com/deHCgbZsrTgCp3hQTAj4APHjmnJD2WrXCXxn5sTrQWV67RQwWYWG5Qvttxfv/materiais-
auxiliares-mat7-20geo04.pdf
Plano de aula

Resumo da aula
Orientações:Este slide não é um substituto para as anotações para o professor e não deve ser apresentado para os alunos. Trata-se apenas de um
resumo da proposta para apoiá-lo na aplicação do plano em sala de aula.
Orientação: Leia atentamente o plano inteiro e as anotações para o professor. Busque antecipar quais questões podem surgir com a sua turma e
preveja adequações ao nível em que seus alunos estão.
Compartilhe o objetivo da aula com os alunos antes de aplicar proposta.
Na aba “Sobre o plano”, confira os conhecimentos que sua turma já deve dominar para seguir essa proposta.
Se quiser salvar o plano no seu computador, faça download dos slides na aba “Materiais complementares”. Você também pode imprimi-lo clicando
no botão “imprimir”.
Slide 2 Objetivo
Tempo sugerido: 2 minutos.
Orientação: Leia o objetivo da aula para a turma.
Propósito: Apresentar o objetivo da aula para os alunos.
Slide 3 Retomada
Orientação: Apresente o slide para a turma, ou desenhe os ângulos ao redor de um ponto na lousa, e leve ou desenhe figuras de mosaicos para
mostrar para a classe. Faça as perguntas do slide para a classe e discuta com os alunos as respostas apresentadas. Peça aos alunos que observem em
suas casas, e nos lugares onde forem, pavimentações feitas com polígonos.
Propósito: Retomar a soma dos ângulos ao redor de um ponto e apresentar o conteúdo da aula aos alunos.
Discuta com a turma:
Vocês já viram um mosaico feito apenas de polígonos? Onde?
Em que situações do cotidiano a pavimentação com polígonos regulares é usada? Como são as pavimentações que vocês já viram? Quais tipos de
polígonos foram utilizados?
Onde encontramos pavimentação do plano na natureza?
Slide 4 Atividade principal
Tempo sugerido: 28 minutos (slides 4, 5 e 6).
Orientação: Forme grupos de 4 alunos e entregue uma folha de polígonos para cada grupo. Peça que recortem os polígonos sem misturá-los. Em
seguida, entregue uma folha de atividade por grupo e peça que a desenvolvam. Peça que os alunos compartilhem as conclusões do grupo com a
classe.
Entregue as atividades dos slides 5 e 6 para cada grupo e peça que a desenvolvam. Explique para a classe que pavimentar o plano é cobrir
perfeitamente, sem sobreposição e sem deixar buracos. Caminhe pela classe verificando as dificuldades encontradas pelos grupos. Auxilie no que for
necessário. Ao final da atividade, peça que os grupos exponham para a sala as suas conclusões.
Professor(a), na atividade complementar 4 , os alunos terão a liberdade de criar mosaicos. Para isto, você deverá preparar um conjunto de moldes de
polígonos em cartolinas para cada grupo, e entregar-lhes pedaços de cartolinas coloridas para que eles façam seus polígonos, e uma cartolina
branca, para que colem os polígonos e montem o mosaico. Os modelos para os moldes você encontra nos materiais auxiliares. Porém, se preferir,
poderá facilitar o trabalho imprimindo os polígonos que estão nas folhas para impressão junto com os moldes. Seria interessante que você as
imprimisse em sulfite colorido, usando uma cor diferente para cada folha de polígonos. Imprima duas folhas de polígonos de cada tipo para cada
grupo.
Propósito: Verificar experimentalmente quais são os polígonos regulares que cobrem perfeitamente o plano e quais são as propriedades
matemáticas de um polígono regular que lhe permitem pavimentar ou não o plano .
Quais os polígonos que cobriram perfeitamente o plano?
Quais polígonos não cobriram perfeitamente o plano?
Qual elemento de um polígono você acha que está relacionado ao fato de ele pavimentar ou não o plano?
Que propriedades matemáticas o triângulo equilátero, o quadrado e o hexágono possuem, que lhes permitiu cobrir perfeitamente o plano, enquantos
que com os outros polígonos isto não foi possível?
Que propriedade matemática deve possuir a medida do ângulo interno de um polígono regular para que seja possível pavimentar o plano com este
tipo de polígono?
Materiais complementares para impressão:
Atividade Principal
Guia de intervenção
Plano de aula

Atividade principal
classe.
grupo.
tipo de polígono?
Atividade Principal
Guia de intervenção
Slide 6 Atividade principal
classe.
grupo.
tipo de polígono?
Slide 7 Discussão de soluções
Orientação: Apresente aos alunos as disposições dos polígonos acima.
Propósito: Socializar as ideias da turma sobre a pavimentação do plano com polígonos regulares.
Quais os polígonos que cobriram perfeitamente o plano sem se sobreporem e sem deixar buracos?
Vocês acham que seria possível pavimentar o plano usando polígonos regulares diferentes?
Dê um exemplo de pavimentação do plano com combinação de polígonos regulares diferentes. Justifique esta possibilidade através de argumentos
matemáticos.
Plano de aula

Apoiador Técnico
Orientação: Apresente o slide para os alunos ou passe o texto na lousa. Leia e discuta com a turma um ítem de cada vez. Pergunte se algum aluno
explicou de maneira diferente e peça que exponha seu raciocínio para a classe.
Propósito: Socializar as ideias da turma sobre a pavimentação do plano com triângulos equiláteros.
Seria possível pavimentar o plano utilizando apenas triângulos equiláteros, porém com tamanhos diferentes, isto é, não congruentes? Explique
como você chegou a esta conclusão.
Existe outro polígono regular que poderíamos combinar com o triângulo de forma a possibilitar a pavimentação do plano? Como você chegou a esta
conclusão?
Orientação: Apresente o slide para os alunos ou passe o texto na lousa. Leia e discuta com a turma um ítem de cada vez. Pergunte se algum aluno
explicou de maneira diferente e peça que exponha seu raciocínio para a classe.
Propósito: Socializar as ideias da turma sobre a pavimentação do plano com pentágonos regulares.
Existe outro polígono regular que poderíamos combinar com o pentágono de forma a possibilitar a pavimentação do plano? Como você chegou a
esta conclusão?
Como podemos descobrir se é possível pavimentar o plano com determinado tipo de polígono regular?
Slide 10 Encerramento
Orientação: Leia e discuta com a turma o texto do slide.
Propósito: Generalizar os procedimentos que verificam se é ou não possível pavimentar o plano com um determinado tipo de polígono regular.
Qual o significado das letras n e i na expressão?
Por que você acha que usamos letras nesta expressão?
O que você acha que esta expressão expressa?
Slide 11 Raio X
Tempo sugerido: 7 minutos
Orientação: Entregue uma folha de atividade para cada aluno e peça que leiam e a realizem individualmente. Circule para verificar como os alunos
estão desenvolvendo o que foi proposto. O raio x é um momento para você avaliar se todos os estudantes conseguiram avançar no conteúdo
proposto. No final, reserve um tempo para o registro das soluções na lousa. Você pode fazer o download desta atividade para imprimir para os seus
alunos.
Propósito: Verificar se os alunos aplicam corretamente os conhecimentos adquiridos sobre o cálculo da medida dos ângulos internos de polígonos
regulares numa situação problema sobre pavimentação do plano semelhante à estudada na aula.
Raio X
Resolução do raio x
Atividade complementar
Resolução da atividade complementar
Materiais Auxiliares
Plano de aula

1- Recorte os polígonos que você recebeu e os agrupe de acordo com seus tipos.
Em seguida, cole em seu caderno polígonos de mesmo tipo tentando pavimentar
(cobrir) uma região do plano. Quais dos polígonos que vocês receberam
preenchem completamente o plano, sem sobreposições e sem deixar buracos?
2 - Agora vamos fazer uma investigação matemática sobre os ângulos internos
de um polígono regular e a pavimentação do plano.
● O que você observa quando reúne os triângulos equiláteros ao redor de
um vértice em comum?
● Os triângulos equiláteros pavimentam o plano? Porque você acha que isto
acontece?
● Quanto você acha que é a soma das medidas dos ângulos ao redor de um
único vértice na pavimentação?
● Você conseguiria determinar a medida de cada ângulo interno de um
triângulo equilátero usado na pavimentação? Explique como você chegou
a esta conclusão.
3 - Responda:
● É possível pavimentar totalmente o plano usando apenas pentágonos
regulares?
● Porque você acha que isto não é possível?
● Determine a medida de cada ângulo interno de um pentágono regular.
● A soma das medidas dos ângulos ao redor de um único vértice poderia
ser 360º? Explique como você chegou a esta conclusão.

Ana e Luísa gostam muito de artesanato. Resolveram fazer um mosaico na parede da sala da casa
de Ana. Para facilitar o trabalho, Ana sugeriu que usassem apenas um tipo de peça e escolheu
octógonos regulares. Luisa disse que, antes de confeccionarem as peças, seria melhor elas
recorrerem à Matemática para verificar se isto seria possível.
Utilizando argumentos matemáticos, verifique se é possível fazer o ladrilhamento do plano
utilizando somente octógonos regulares.

1) Qual é a medida de cada ângulo interno do quadrado? É possível pavimentar o plano utilizando
apenas quadrados? Justifique sua resposta utilizando argumentos matemáticos.
2) A professora de Maria pediu a seus alunos que observassem o piso do pátio de sua escola. Em
seguida mostrou-lhes a imagem de uma colméia de abelhas. Depois perguntou perguntou-lhes:
Qual a explicação matemática para o fato de os alvéolos da colméia se encaixarem perfeitamente
e os ladrilhos hexagonais do piso do pátio pavimentarem o plano?
Como você responderia a esta questão? Faça ilustrações da sua resposta.
3) [Desafio] Encontre dois ou mais polígonos regulares diferentes, que juntos pavimentem o
plano. Dê a justificativa matemática para este fato e ilustre sua resposta.
4) Junte-se a outros três colegas. Utilizando os moldes que a professora entregou, confeccione
outros polígonos regulares e, juntamente com seu grupo, faça um moisaico bem bonito com
estes polígonos em folha de papel sulfite. Use a imaginação e capriche.

Resolução da atividade principal - MAT7_20GEO04
1 -
Os alunos deverão colar os polígonos recortados no caderno, tentando
pavimentar o plano com polígonos congruentes. Formarão figuras parecidas
com estas:

2 -
● Espera-se que o aluno observe que quando
reunimos os triângulos equiláteros ao redor de um vértice
em comum, os triângulos não se sobrepõem e não deixam
buracos.
● Os triângulos equiláteros pavimentam o plano
porque os ângulos internos ao redor do vértice em
comum, formam uma volta completa de 360º.
● Como ao redor de um único vértice a medida é 360º
e o triângulo equilátero apresenta ângulos congruentes, a medida de
cada ângulo pode ser obtida por 360º : 6 = 60º.
● Somando 2 ângulos ao redor do mesmo vértice temos 60º + 60º = 120º.
Para pavimentar totalmente o plano faltará 180º - 120º = 60º, ou seja, um
outro ângulo de um triângulo equilátero. Logo, é sempre possível
pavimentar o plano usando apenas triângulos equiláteros
3 -
● Espera-sem que o aluno perceba que ao juntarmos os pentágonos
regulares ao redor de um vértice em comum, eles se sobrepõem ou
deixam buracos.
● Isto acontece porque a soma dos ângulos internos ao redor do vértice
comum, ou passa de 360º ou não completa 360º.
● A medida de cada ângulo interno do pentágono pode ser calculada de
várias maneiras. Uma delas é dividir o pentágono em três triângulos pelas
diagonais que partem de um dos vértices. Como a soma dos ângulos
internos de cada triângulo é 180º, a soma dos ângulos internos do
pentágono será 3 x 180º = 540º. O pentágono regular possui 5 ângulos
internos congruentes, assim a medida de cada ângulo interno é 540º : 5 =
108º.
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3 x 180º = 540º
540º : 5 = 108º
Ou utillizando a fórmula onde n é o número de lados do polígono regular:
n
180 (n−2)
Para n = 5, temos
= = = 108º
5
180 (5−2)
5
180 . 3
5
540º
Um outro modo seria utilizar o fato de que a soma dos ângulos externos de
qualquer polígono é 360º e que o pentágono regular possui 5 ângulos externos
congruentes e fazer 360º : 5 = 72º. Como o ângulo externo e o ângulo interno
são suplementares, a medida do ângulo interno é 180º - 72º = 108º.
● Com 3 pentágonos regulares ao redor de um vértice em comum temos
3 x 108º = 324º, não completando 360º e com 4, temos 4 x 108º = 432º
ultrapassando 360º.
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Guia de intervenções
MAT7_20GEO04 / Ângulos em polígonos - construindo mosaicos
e ladrilhamentos.
Possíveis dificuldades na realização
da atividade
Intervenções
- O aluno não sabe calcular a medida
dos ângulos internos de um polígono
regular.
Faça questionamentos que o ajudem
a entender o processo para a
obtenção desta medida. Por exemplo,
se você estiver trabalhando com
pentágonos regulares, mostre a figura
de um pentágono regular a ele e faça
perguntas como:
- Quais são os ângulos internos
deste polígono? Quantos são
eles?
- Nós precisamos descobrir a
medida de cada um deles. Se
o polígono é regular, você
acha que estes ângulos são
congruentes?
Depois de responder a estas
perguntas, o aluno estará preparado
para compreender o caminho que
será percorrido para a obtenção da
medida de cada ângulo interno do
pentágono regular, que possui 5
ângulos internos congruentes.
- Se você soubesse a soma das
medidas dos 5 ângulos
internos do pentágono, seria
possível descobrir a medida
de cada um? Como você faria
para descobrir isto?
Espera-se que o aluno perceba que se
souber de antemão a soma das
medidas dos 5 ângulos internos
congruentes, poderá dividir este valor
por 5 para obter a medida de cada
um.
Agora poderá compreender o porquê
da proposta do cálculo da soma das
medidas dos ângulos internos do
pentágono. Continue com os
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questionamentos:
- Então vamos encontrar a
soma das medidas desses
ângulos. Como você acha que
poderíamos descobrir esta
soma? Você se lembra qual é
a soma das medidas dos
ângulos internos do
triângulo?
Ao responder que é 180º, diga a ele
que podemos então dividir o
pentágono em triângulos e para isso
ele deve traçar todas as diagonais que
partem de um de seus vértices. Em
seguida, pergunte-lhe:
- Em quantos triângulos o
pentágono ficou dividido?
- Como você pode calcular a
soma das medidas dos
ângulos internos do
pentágono?
O aluno visualizará que o pentágono
ficou dividido em 3 triângulos e
perceberá que a soma das medidas
dos ângulos internos do pentágono
será 3 x 180º = 540º. Peça agora que
calcule a medida de cada ângulo
interno do pentágono. Como já
explicou anteriormente, ele saberá
que deve fazer 540º : 5 = 108º.
Você também poderia optar pela
seguinte abordagem:
- Qual a soma dos ângulos
externos de um polígono?
Espera-se que o aluno se recorde que
a soma das medidas dos ângulos
externos de um polígono qualquer é
360º.
- Quantos ângulos externos
tem o pentágono regular?
- O que você acha que deve
fazer para descobrir a
medida de cada ângulo
externo?
O aluno provavelmente responderá
que o pentágono tem 5 ângulos
externos, lembre-o que os ângulos
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externos do pentágono regular são
congruentes, então para descobrir a
medida de cada um basta fazer 360º :
5 = 72º.
- E agora como poderia
descobrir a medida de um
ângulo interno através da
medida do ângulo externo?
Mostre a ele pelo desenho, que um
ângulo externo é suplementar de um
ângulo interno, assim perceberá que
fazendo 180º - 72º = 108º, descobrirá
a medida de cada ângulo interno do
pentágono regular.
- O aluno não consegue perceber se
um polígono pavimenta ou não o
plano.
Suponha que o aluno esteja
trabalhando com triângulos
equiláteros. Depois dele tentar
colocar os triângulos equiláteros ao
redor de um único vértice, pergunte:
Quantos triângulos equiláteros
foram necessários?
Ele responderá que foram
necessários 6 triângulos equiláteros.
Daí você pergunta:
Como você poderá determinar o
valor da medida de cada ângulo
interno de um triângulo equilátero.
Caso a dúvida ainda persista você
ainda poderá perguntar se o aluno
sabe algo sobre os ângulos internos
do triângulo equilátero. Ao responder
que todos são congruentes, isto será
a informação necessária para que ele
divida o ângulo central (360º) pelo
número de ângulos apresentados (6)
e determinar o valor de cada ângulo
interno (60º).
- O aluno tem dificuldade para
montar o mosaico na atividade
complementar.
Peça que monte uma tabela com o
nome do polígono e a medida de cada
ângulo interno. Em seguida
questione-o:
Como podemos fazer combinações
envolvendo os ângulos do triângulo
equilátero para obter 360º?
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O aluno poderá ir somando as
medidas de um ângulo interno de
cada triângulo até obter 360º: 60º +
60º = 120º, 120º + 60º = 180º, 180º +
60º = 240º, 240º + 60º = 300º, 300º +
60º = 360º. Assim perceberá que com
6 triângulos equiláteros ao redor de
um ponto, obterá uma volta
completa, e que então poderá fazer o
um mosaico utilizando apenas
triângulos equiláteros.
Podemos combinar a medida do
ângulo do triângulo com a medida
do ângulo de outro polígono de
modo a obter 360º?
Para responder a esta pergunta, o
aluno deverá ir somando aos 60º da
medida do ângulo interno do
triângulo, outras medidas dos ângulos
internos dos outros polígonos,
podendo repetir medidas, até
perceber que com 3 triângulos e 2
quadrados ( 60º + 60º + 60º + 90º + 90º
= 360º) ou com 2 triângulos e 2
hexágonos ( 60º + 60º + 120º + 120º =
360º), além de outras composições,
ele poderá montar seu mosaico.
Existe outro polígono que você
pode unir seus ângulos de forma a
obter a soma 360º?
Peça a ele que vá somando as
medidas dos ângulos do quadrado
para ver se consegue obter 360º e
depois faça o mesmo com as medidas
dos ângulos do pentágono e do
hexágono.
Existem outras combinações de
medidas de ângulos de polígonos
diferentes que possam resultar em
360º?
O aluno deverá proceder da mesma
forma forma que procedeu com o
triângulo, até descobrir, por tentativas
de somas iguais a 360º, outras
combinações possíveis.
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Resolução do raio x - MAT7_20GEO04
O aluno deverá verificar se a soma das medidas dos ângulos internos do
octógono regular ao redor de um ponto é 360º.
Primeiro vai calcular a medida de cada ângulo interno do octógono regular. Isto
pode ser feito de várias maneiras. Uma delas é dividir o octógono em seis
triângulos pelas diagonais que partem de um dos vértices. Como a soma das
medidas dos ângulos internos de cada triângulo é 180º, a soma das medidas dos
ângulos internos do octógono será 6 x 180º = 1080º. O octógono regular possui
8 ângulos internos congruentes, assim a medida de cada ângulo interno é
1080º : 8 = 135º.
6 x 180º = 1080º
1080º : 8 = 135º
Ou, utilizando a fórmula onde n é o número de lados do polígono regular:
n
180 (n−2)
Para n = 8, temos
= = = 135º
8
180 (8−2)
8
180 . 6
8
1080
Um outro modo seria utilizar o fato de que a soma das medidas dos ângulos
externos de qualquer polígono é 360º e que o octógono regular possui 8 ângulos
externos congruentes e fazer 360º : 8 = 45º. Como o ângulo externo e o ângulo
interno são suplementares, a medida do ângulo interno é 180º - 45º = 135º.
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● Com 2 octógonos regulares ao redor de um vértice em comum temos
2 x 135º = 270º, não completando 360º e com 3, temos 3 x 135º = 405º,
ultrapassando 360º.
Portanto não é possível fazer o ladrilhamento do plano utilizando apenas
octógonos regulares.
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Resolução da atividade complementar - MAT7_20GEO04
1) Qual é a medida de cada ângulo interno do quadrado? É possível
pavimentar o plano utilizando apenas quadrados? Justifique sua resposta
utilizando argumentos matemáticos.
Provavelmente o aluno já sabe que a medida de cada ângulo interno do
quadrado é 90º, mas incentive-o a registrar o cálculo para a obtenção do
mesmo. Este cálculo pode ser feito de duas formas:
1ª) Dividindo-se o quadrado em dois triângulos por sua diagonal, depois calcular
a soma das medidas dos ângulos internos do quadrado, multiplicando por 2 a
soma das medidas dos ângulos internos do triângulo (180º x 2 = 360º) e,
finalmente, dividir esta soma por 4 (360º : 4 = 90º).
180º x 2 = 360º
360º : 4 = 90º
O aluno poderá optar pela fórmula que resume este procedimento. Para um
polígono regular de n lados, a medida de cada ângulo interno será dada por
n
180 (n−2)
Para n = 4, temos
= = = 90.
4
180 (4−2)
4
180 . 2
4
360
2ª) Através da soma das medidas dos ângulos externos de um polígono
qualquer, que é sempre 360º, encontramos a medida de cada ângulo externo
fazendo 360º : 4 = 90º, pois o quadrado possui 4 ângulos externos congruentes.
Como cada ângulo interno é suplementar de um ângulo externo
correspondente a ele, fazemos
180º - 90º = 90º.
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Agora que já sabemos que a medida de cada ângulo do quadrado é 90º, basta
descobrir se existe um número inteiro de vezes 90º, que resulta em 360º, isto é
360º : 90º = 4. Então com 4 quadrados congruentes ao redor de um vértice em
comum, fechamos o plano sem buracos e sem sobreposições. Portanto é
possível pavimentar o plano com quadrados.
2) A professora de Maria pediu a seus alunos que observassem o piso do
pátio de sua escola. Em seguida mostrou-lhes a imagem de uma colméia de
abelhas. Depois perguntou-lhes: Qual a explicação matemática para o fato
de os alvéolos da colméia se encaixarem perfeitamente, e os ladrilhos
hexagonais do piso do pátio pavimentarem o plano?
Primeiro o aluno deverá calcular a medida de cada ângulo interno do hexágono
regular. Isto poderá ser feito de várias maneiras. Uma delas é dividir o hexágono
em quatro triângulos pelas diagonais que partem de um dos vértices.
Como a soma das medidas dos ângulos internos de cada triângulo é 180º, a
soma das medidas dos ângulos internos do hexágono será 4 x 180º = 720º. O
hexágono regular possui 6 ângulos internos congruentes,
assim a medida de cada ângulo interno é 720º : 6 = 120º.
4 x 180º = 720º
720º : 6 = 120º
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Ou utilizando a fórmula onde n é o número de lados do polígono regular:
n
180 (n−2)
Para n = 6, temos
= = = 120º
6
180 (6−2)
6
180 . 4
6
720
Um outro modo seria utilizar o fato de que a soma das medidas dos ângulos
externos de qualquer polígono é 360º, e que o hexágono regular possui 6
ângulos externos congruentes, e fazer 360º : 6 = 60º. Como o ângulo externo e o
ângulo interno são suplementares, a medida do ângulo interno é 180º - 60º =
120º.
Agora basta verificar que 3 hexágonos regulares, unidos por um vértice em
comum, apresenta 3 x 120º = 360º, isto é, uma volta completa ao redor de
ponto, sem sobreposição e sem lacunas.
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3) [Desafio] Encontre dois ou mais polígonos regulares diferentes, que
juntos pavimentem o plano. Dê a justificativa matemática para este fato e
ilustre sua resposta.
Para facilitar o trabalho, vamos preencher a tabela abaixo:
polígono regular medida de cada ângulo interno
triângulo equilátero = 60º
3
180
quadrado = = = 90º
4
180 (4−2)
4
180 . 2
4
360
pentágono regular = = = 108º
5
180 (5−2)
5
180 . 3
5
540
hexágono regular = = = 120º
6
180 (6−2)
6
180 . 4
6
720
heptágono regular = = 128,6º
7
180 (7−2)
7
180 . 5
7
900
≃
octógono regular = = = 135º
8
180 (8−2)
8
180 . 6
8
1080
Agora poderemos analisar que combinações de ângulos internos poderão
resultar em uma soma igual a 360º:
1ª) 2 triângulos equiláteros e 2 hexágonos regulares:
60º x 2 + 120º x 2 = 120º + 240º = 360º
2ª) 4 triângulos equiláteros e 1 hexágono regular:
60º x 4 + 120º x 1 = 240º + 120º = 360º
3ª) 3 triângulos equiláteros e 2 quadrados:
60º x 3 + 90º x 2 = 180º + 180º = 360º
4ª) 1 quadrado e 2 octógonos regulares:
90º + 135º x 2 = 90º + 270º = 360º
_____________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

4) Junte-se a outros três colegas. Utilizando os moldes que a professora
entregou, confeccione outros polígonos regulares e, juntamente com seu
grupo, faça um moisaico bem bonito com estes polígonos em folha de
papel sulfite. Use a imaginação e capriche.
Aqui os alunos poderão usar sua criatividade construindo mosaicos
combinando, ou não, polígonos diferentes e usando as cores livremente.
Oriente-os a usar a simetria nas cores.
Aqui está mais um exemplo:
_____________________________________________________________________________

PROFESSOR, USE OS MOLDES OU AS FOLHAS PARA RECORTE.
JOGO DE MOLDES PARA O PROFESSOR CONFECCIONAR (UM JOGO PARA CADA GRUPO EM
CARTOLINA)
Entregue um jogo de moldes para cada grupo para que os alunos os confeccionem com papel
colorido. Eles poderão confeccioná-los em cartolina colorida.

POLÍGONOS PARA RECORTE ( ENTREGAR DUAS FOLHAS DE CADA POLÍGONO POR GRUPO). IMPRIMA
EM SULFITE COLORIDO.

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