1. Ficha de Apoio ao Estudo da Matemática A – 11º ano
Tema: Produto escalar. Amplitude de ângulos entre vetores.
Ficha Estruturada pela Professora Ana Paula Lopes Pág.1
1. Na figura está representado um quadrado [ABCD] de lado 4 cm.
Calcule:
1.1. BCAB  1.2. ACAB 
1.3. BDAB  1.4. DCAB 
2. Na figura está representado um quadrado [ABCD] de lado 2 cm, e os pontos
M e N, pontos médios de [AD] e [CD], respetivamente.
2.1. MANM  2.2. DMAD 
2.3. DNDM  2.4. NMDC
3. Sejam u e v dois vetores de norma 1 e que formam entre si um ângulo de 60º.
3.1. Determine o produto escalar vu  .
3.2. Determine o produto escalar vvu  )32(
3.3. Determine vu 32 
3.4. Com o auxílio da sua calculadora determine um valor aproximado às centésimas do grau
para a amplitude do ângulo formado pelos vetores vu 32  e v
4. Sabendo que 4u , 3v e que 6. vu , determine:
4.1. )).(( vuvu  4.2.
2
vu 
5. Considere num referencial o.n. (O, i , j , k ) os vetores u , v e w , tais que:
4u , 5v , 3w e 10. vu
5.1. Determine o ângulo formado pelos vetores u e v .
5.2. Sabendo que º120
^
wu , determine wu . .

2. Ficha de Apoio ao Estudo da Matemática A – 11º ano
Tema: Produto escalar. Amplitude de ângulos entre vetores.
Ficha Estruturada pela Professora Ana Paula Lopes Pág.2
6. Considere num referencial o.n. (O, i , j ) os vetores )3,1( u e iv 3 e os pontos )5,3( A e
)2,1( B .
6.1. Calcule:
a) vu . b) vAB  2
6.2. Determine a amplitude do ângulo formado pelos vetores v e u2 . Apresente o resultado
arredondado às décimas.
6.3. Determine k, de modo que o vetor )1,2(  kw seja perpendicular a u .
7. Considere num referencial o.n. (O, i , j , k ) os vetores )1,1,2( u e )2,2,0( v e os pontos
)1,1,3(A e )2,0,2( B . Calcule:
7.1. vu . 7.2. )3(.3 kjAB 
7.3. )2(.3 kiv  7.4. )3(. vuv 
7.5. Determine k, de modo que o vetor ),12,2( 2
kkw  seja perpendicular a u .
8. Na figura está representado um pentágono regular, cujo lado se considera
como unidade de comprimento.
Seja ABu  e AEv  .
8.1. Sabendo que
4
15
º18

sen , mostre que
4
15
.

vu .
8.2. Usando os resultados da alínea anterior, mostre que:
2
352 
 vu