SequêNcias E Pa Jozan

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Lista de exercícios sobre sequências e PA.

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SequêNcias E Pa Jozan

  1. 1. 1 ESCOLA ESTADUAL DE ENSINO FUNDAMENTAL E MÉDIO NAPOLEÃO ÁBDON DA NÓBREGA “Educando com amor e qualidade”. PROFESSOR: CONTEÚDO: SEQUÊNCIAS E JOZAN MEDEIROS 1º ANO/ ENSINO MÉDIO PROGRESSÃO ARITMÉTICAS - PA RUMO A UNIVERSIDADE ALUNO (A): Progressões Aritméticas (PA) I. Introdução A história da matemática conta que na álgebra babilônica já havia alguns estudos sobre seqüências. Inicialmente, definiremos a seqüência e, a seguir, estudaremos dois importantes tipos de seqüências. II. Seqüência ou Sucessão Todo conjunto de elementos, numéricos ou não, colocados numa determinada ordem é chamado seqüência ou sucessão. Em uma seqüência o primeiro termo é indicado por a1 , o segundo por a2 , o enésimo termo por an e assim sucessivamente. Simbolicamente temos: a1 , a2 , a3 , a4 ,..., an ,... . De modo geral, a seqüência pode ser:  Finita: possui um número limitado de elementos a1 , a2 , a3 , a4 ,..., an   Infinita: possui um número limitado de elementos a1 , a2 , a3 , a4 ,..., an ,... III. Lei de Formação Inúmeras são as seqüências existentes, mas para a matemática são importantes aquelas cujos termos obedecem a uma determinada lei de formação. Vamos estudar agora duas formas diferentes de definir uma seqüência.  Pelo termo geral Neste caso, a seqüência é definida por uma fórmula que dá o valor de cada termo an em função de sua posição n na seqüência. Essa fórmula é denominada termo geral da seqüência. 1
  2. 2. 2 Exemplo: Escreva os três primeiros termos da seqüência definida por 2n  1 an  . 5  Por recorrência Podemos definir uma seqüência atribuindo determinado valor a um de seus termos (geralmente o primeiro) e indicando uma fórmula que permite calcular cada termo, conhecendo valor do termo anterior da seqüência. Neste caso, dizemos que a seqüência esta definida por recorrência. Exemplo: Escreva os cinco primeiros termos da seqüência definida a  3 por:  1 . an 1  an  2, n  1 Exercícios Resolvidos 01- Escreva a seqüência dada pelo termo geral an  3n e n  {1, 2, 3, 4, 5}. b  2 02- Escreva os cinco primeiros termos da seqüência  1 . bn 1  5bn , n  N * 03- Escreva a seqüência cujos termos obedecem a lei de formação an  4n 2  1 , n  R* e n  4 . j 5 04- Escreva a seqüência definida por  1 , n  R* e n  2 .  jn  jn 1  2 Exercícios de Fixação 01- Escreva as seqüências definidas pelos termos gerais a seguir (nos casos em que não aparece o conjunto de variação de n, considere n  R*). a) an  4n  1 n d) an  1   , com 1  n b) an  n , n  R* e n  4 . 3 n  R* e 1  n  6 n e) an  7 c) an  n 1 n f) an  (1) n n 2 g) an  8n 02- Considere a seqüência cujo termo geral é an  2n  1 . Qual é o termo que tem seu valor entre 30 e 40? 2
  3. 3. 3 03- Determine: a) O 10º termo da seqüência dos números naturais pares. b) O 7º termo da seqüência cujo termo geral é an  2(n  1) . 04- Determine os cinco primeiros elementos das seqüências, n R*, definidas pelas leis de recorrências a seguir: a1  2 a1  1 a)  n  an  ( 1) .an 1 , n  2 c) a2  5 a  2.a  3a , n  2  n n 2 n 1 a  1 b)  1 an  2.an 1  3, n  2 a1  4  05- Determine o 6º termo da seqüência  3 . an  an 1  2 , n  2  IV. Progressão Aritmética (PA) Progressão Aritmética (PA) é toda seqüência de números naturais na qual a diferença entre cada termo (a partir do segundo) e o termo anterior é constante. Essa diferença constante é chamada razão (r) da progressão. Observações: 1º) Notamos então que, de modo geral, uma seqüência a1 , a2 , a3 ,..., an  é uma PA quando: a2  a1  r  a2  a1  r a3  a2  r  a3  a2  r a4  a3  r  a4  a3  r ... an  an 1  r  an  an 1  r Comparando, temos: a2  a1  a3  a2  a4  a3  ...  an  an 1  ...  r 2º) Da definição decorre que, se a1 ,a 2 e a 3 estão em PA, então: a a a2  a1  a3  a2  2 a2  a1  a3  a2  1 3 2 Ou seja, dados três números consecutivos de uma progressão aritmética, o termo do meio é a média aritmética dos outros dois. 3
  4. 4. 4 Exercícios Resolvidos 01- Verifique se a seqüência (6, 13, 20, 27, 34) é uma PA. 02- Diga se a seqüência  x  4 y, x  2 y, x, x  2 y  , em que x e y são números reais, é ou não uma PA. Se for, determine a razão.  7  03- A seqüência  2, ,... é uma PA infinita. Determine a razão e o 3º termo  3  dessa PA. 04- Determine o 4º termo da PA (x – 3, x – 1, ...). 05- Determine o 8º termo de uma PA na qual a3  8 e r  3 . 06- Calcule a de modo que (3a,6a  3,15a  21) é uma PA. 07- Verifique quais das seqüências abaixo formam uma PA, determine a razão (r) dessas seqüências e classifique como crescente ou decrescente. a) (5, 7, 9, ...) 2 7 5  b) (3, 11, 2, 1, ...) f)  , , ,... 3 6 3  c) (12, 8, 4, ...) d) (-2, 4, -8, ...) g)   2 ,2  2 ,4  2 ,... e) (-35, -30, -25, ...) h) (7, 7, 7, ...) 08- Sabendo que ( x  1,3 x  2,2 x  4) formam, nessa ordem, uma PA, calcular o valor de x e a razão dessa P.A. V. Termo Geral de uma PA Descrevendo alguns termos de uma PA, podemos obter uma fórmula para o termo geral: 1º termo a1  a1  0 r 2º termo a2  a1  1r 3º termo a3  a1  2r 4º termo a4  a1  3r   n-ésimo termo an  a1  (n  1)r Observando que o coeficiente r em cada igualdade é uma unidade inferior ao índice do termo considerado, obtivemos a fórmula do termo geral: an  a1  ( n  1) r 4
  5. 5. 5 Onde: an : termo geral a1 : primeiro termo n : número de termos r : razão Propriedade: observe a P.A. finita a1 , a2 , a3 , a4  . Nela os termos a2 e a3 são eqüidistantes dos extremos a1 e a4 . Veja: a2  a3  a1  r  a3  a1  a3  r  a1  a4 Isso é válido de modo geral e dizemos que, numa P.A. a soma dos termos eqüidistantes dos extremos é igual à soma dos extremos. Exercícios Resolvidos (Use o caderno para fazer as respostas) 01- Determine o décimo segundo termo da P.A. (3, 5, 7, ...). 02- Qual é o 20º termo de PA. (2, 8, ...)? 03- Qual é o termo geral da PA (5, 9, ...)? 04- Encontrar o termo geral da PA(4, 7, ...). 05- Quantos múltiplos de 5 há entre 21 e 623? 06- Qual é o primeiro termo de uma PA em que a10  39 e r  4 ? 07- Numa PA de 14 termos, o 1º termo é 2 e o último é 28. Calcule a razão dessa PA. 08- Quantos elementos tem a PA finita (-2, 3, ... , 43)? 09- Determine o valor de x para que os números x 2 , ( x  2) 2 e ( x  3) 2 sejam, nessa ordem, os três primeiros termos de uma PA. “O VALOR DE UM HOMEM É DETERMINADO PELO GRAU E PELO SENTIDO EM QUE ELE SE LIBERTOU DE SEU EGO”. ALBERT EINSTEIN 5

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