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Trigonometria
Prof. Gustavo Costa2
 Ângulo central determina arco
 Radiano (rad): arco unitário cujo
comprimento é igual ao raio da
ci...
Prof. Gustavo Costa3
 Ciclo ou Círculo Trigonométrico
 Centro na origem
 Raio = 1
Pode ser qualquer, mas facilita com ...
Prof. Gustavo Costa4
 Cada número real está associado a um
ponto do ciclo
 Os pontos do círculo correspondem
aos arcos/â...
Prof. Gustavo Costa5
 Cada ponto do ciclo está associado a mais de um
(infinitos) valor de ângulos
 Côngruos
 São arcos...
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Ciclo Trigonométrico
0
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Ciclo Trigonométrico
cos(x)
sen(x)
(cos(x),sen(x))
Prof. Gustavo Costa8
Ciclo Trigonométrico
cos(x)
sen(x)
(cos(x),sen(x))
Prof. Gustavo Costa9
 Observe que, para todo ponto do
círculo, vale a relação:
Fórmula Mãe
cos(x)
sen(x)
R=1
2 2
cos (x) ...
Prof. Gustavo Costa10
 Calcular, a partir do ciclo, trigonométrico os
valores de cos(q) e sen(q) para os seguintes arcos
...
Prof. Gustavo Costa11
 Análise
 Sinal
 Crescimento
 Variação (limites)
 Período
 Gráfico
 Quadrantes (sentido anti-...
Prof. Gustavo Costa12
 Sinal
 IQ
 IIQ
 IIIQ
 IVQ
Cosseno
+–
– +
Prof. Gustavo Costa13
 Crescimento / Variação
 IQ
 IIQ
 IIIQ
 IVQ
Cosseno
Prof. Gustavo Costa14
 Período
 T= 2
 cos(mx)
 Período T=2/|m|
Cosseno
Prof. Gustavo Costa15
 Gráfico
Cosseno f(x)=cos(x)
-2p -3p/2 -p -p/2 p/2 p 3p/2 2p
IQ IIQ IIIQ IVQ
-2p -3p/2 -p -p/2 p/2 ...
Prof. Gustavo Costa16
 Calcule o valor dos cossenos a seguir:
a) cos(210º)
b) cos(315º)
c) cos(120º)
d) cos(330º)
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Prof. Gustavo Costa17
a) cos(210º)
 Identifique a posição do ângulo
 Localize o quadrante: 3º
 Verifique quanto se afas...
Prof. Gustavo Costa18
a) f(x) = 1 + 2cos(2x)
 Calculando o período (T):
 Identifique o valor de m. m é o coeficiente de ...
Prof. Gustavo Costa19
 Calcule o valor dos cossenos a seguir:
a) cos(210º) – resolvido no exemplo
b) cos(315º)
c) cos(120...
Prof. Gustavo Costa20
 Sinal
 IQ
 IIQ
 IIIQ
 IVQ
Seno
+
+
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Prof. Gustavo Costa21
 Crescimento / Variação
 IQ
 IIQ
 IIIQ
 IVQ
Seno
Prof. Gustavo Costa22
 Período
 T=
 sen(mx)
 Período T=
Seno
Prof. Gustavo Costa23
 Gráfico
Seno f(x)=sen(x)
-2p -3p/2 -p -p/2 p/2 p 3p/2 2p
IQ IIQ IIIQ IVQ
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Trigonometria Seno e Cosseno

  1. 1. 1 Trigonometria
  2. 2. Prof. Gustavo Costa2  Ângulo central determina arco  Radiano (rad): arco unitário cujo comprimento é igual ao raio da circunferência que contém o arco a ser medido. C(arco) = R.a Arcos e ângulos
  3. 3. Prof. Gustavo Costa3  Ciclo ou Círculo Trigonométrico  Centro na origem  Raio = 1 Pode ser qualquer, mas facilita com R=1  Eixo x: eixo dos cossenos  Eixo y: eixo dos senos  Sentido Anti-Horário: >0  Sentido Horário: <0 Trigonometria na Circunferência
  4. 4. Prof. Gustavo Costa4  Cada número real está associado a um ponto do ciclo  Os pontos do círculo correspondem aos arcos/ângulos centrais na circunferência  As coordenadas cartesianas dos pontos correspondem aos valores de cosseno e seno, respectivamente Ciclo Trigonométrico
  5. 5. Prof. Gustavo Costa5  Cada ponto do ciclo está associado a mais de um (infinitos) valor de ângulos  Côngruos  São arcos que estão representados no mesmo ponto do círculo, mas que possuem valores diferentes  Identificamos pela diferença no número de voltas  Ex.: 60º  420º = 60º + 360º  Ex.: 30º  –330º = 30º – 360º  1ª Determinação Principal (1ª DP)  0º   < 360º  Exercícios  Obtenha a 1ª DP de:  1200º  -800º Arcos Côngruos
  6. 6. Prof. Gustavo Costa6 Ciclo Trigonométrico 0 /2  3/2 2
  7. 7. Prof. Gustavo Costa7 Ciclo Trigonométrico cos(x) sen(x) (cos(x),sen(x))
  8. 8. Prof. Gustavo Costa8 Ciclo Trigonométrico cos(x) sen(x) (cos(x),sen(x))
  9. 9. Prof. Gustavo Costa9  Observe que, para todo ponto do círculo, vale a relação: Fórmula Mãe cos(x) sen(x) R=1 2 2 cos (x) sen (x) 1 
  10. 10. Prof. Gustavo Costa10  Calcular, a partir do ciclo, trigonométrico os valores de cos(q) e sen(q) para os seguintes arcos  0, /2, , 3/2, 2.  –/2, –, –3/2, –2. Cálculo de Senos e Cossenos
  11. 11. Prof. Gustavo Costa11  Análise  Sinal  Crescimento  Variação (limites)  Período  Gráfico  Quadrantes (sentido anti-horário)  IQ – (0,/2)  IIQ – (/2,)  IIIQ – (,3/2)  IVQ – (3/2,2) Estudo das razões trigonométricas
  12. 12. Prof. Gustavo Costa12  Sinal  IQ  IIQ  IIIQ  IVQ Cosseno +– – +
  13. 13. Prof. Gustavo Costa13  Crescimento / Variação  IQ  IIQ  IIIQ  IVQ Cosseno
  14. 14. Prof. Gustavo Costa14  Período  T= 2  cos(mx)  Período T=2/|m| Cosseno
  15. 15. Prof. Gustavo Costa15  Gráfico Cosseno f(x)=cos(x) -2p -3p/2 -p -p/2 p/2 p 3p/2 2p IQ IIQ IIIQ IVQ -2p -3p/2 -p -p/2 p/2 p 3p/2 2p IQ IIQ IIIQ IVQ -2p -3p/2 -p -p/2 p/2 p 3p/2 2p IQ IIQ IIIQ IVQ -2p -3p/2 -p -p/2 p/2 p 3p/2 2p IQ IIQ IIIQ IVQ -2p -3p/2 -p -p/2 p/2 p 3p/2 2p IQ IIQ IIIQ IVQ
  16. 16. Prof. Gustavo Costa16  Calcule o valor dos cossenos a seguir: a) cos(210º) b) cos(315º) c) cos(120º) d) cos(330º)  Determine período e imagem das funções abaixo: a) f(x) = 1 + 2cos(2x) b) y = -3cos(x/2 + ) – 1 c) f(x) = 3 – 4cos(3x/4) Exercícios
  17. 17. Prof. Gustavo Costa17 a) cos(210º)  Identifique a posição do ângulo  Localize o quadrante: 3º  Verifique quanto se afasta da horizontal: 180º + 30º  Usaremos então o ângulo de 30º para comparar o valor do cosseno  cos(30º) = √3/2  Como o cosseno é negativo no 3ºQ  cos(210º) = –cos(30º) = –√3/2 Resolução      y +– 30º 210º
  18. 18. Prof. Gustavo Costa18 a) f(x) = 1 + 2cos(2x)  Calculando o período (T):  Identifique o valor de m. m é o coeficiente de x ‘dentro’ do cosseno, o número que multiplica x: m=2  Aplica a fórmula: T = 2/|m| = 2/|2|  T =   Para calcular a imagem, usamos os valores máximo e mínimo do cosseno e substituímos na expressão da função:  Mín.: cos(2x) = –1  fmín. = 1 + 2(– 1) = 1 – 2 = –1  Máx.: cos(2x) = 1  fmáx. = 1 + 2(1) = 1 + 2 = 3  Im(f) = [–1,3] Resolução
  19. 19. Prof. Gustavo Costa19  Calcule o valor dos cossenos a seguir: a) cos(210º) – resolvido no exemplo b) cos(315º) c) cos(120º) d) cos(330º)  Determine período e imagem das funções abaixo: a) f(x) = 1 + 2cos(2x) – resolvido no exemplo b) y = -3cos(x/2 + ) – 1 c) f(x) = 3 – 4cos(3x/4) Exercícios
  20. 20. Prof. Gustavo Costa20  Sinal  IQ  IIQ  IIIQ  IVQ Seno + + – –
  21. 21. Prof. Gustavo Costa21  Crescimento / Variação  IQ  IIQ  IIIQ  IVQ Seno
  22. 22. Prof. Gustavo Costa22  Período  T=  sen(mx)  Período T= Seno
  23. 23. Prof. Gustavo Costa23  Gráfico Seno f(x)=sen(x) -2p -3p/2 -p -p/2 p/2 p 3p/2 2p IQ IIQ IIIQ IVQ -2p -3p/2 -p -p/2 p/2 p 3p/2 2p IQ IIQ IIIQ IVQ -2p -3p/2 -p -p/2 p/2 p 3p/2 2p IQ IIQ IIIQ IVQ -2p -3p/2 -p -p/2 p/2 p 3p/2 2p IQ IIQ IIIQ IVQ

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