UNIVERSIDADE FEDERAL DE RONDÔNIA – UNIR
NÚCLEO DE CIÊNCIAS E TECNOLOGIA – NCT
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA
COORDENAÇÃO DE PÓ...
Marcus Antonio de Oliveira Santos

Uso e Aplicação da
Calculadora Científica
na resolução de problemas Matemáticos

Monogr...
Agradecimento

Senhor meu Deus, eu te agradeço pela minha
vida e por mais esta possibilidade de estudos
que me destes, pel...
Sumário

Resumo …………………………………………………………………………………

7

Capítulo I ………………………………………………………………………………

8

1. 1 Introdução………………………...
5. 10. 1 Adição algébrica, Multiplicação, Divisão e Potenciação de números
inteiros …………………………………………………………………

39

5. 10. ...
5. 24. 2 Fórmula da soma dos n termos de uma PG …………………………..

78

5. 25 Fatorial ……………………………………………………………………….

81

5. 26 N...
Resumo

Os avanços tecnológicos e sua utilização como recurso didático tem contribuído com
o desenvolvimento humano e cien...
Capítulo I

1. 1 Introdução

A tecnologia constitui um dos principais agentes de transformação da sociedade, vez
que agili...
A respeito da calculadora, pode-se ler nos Parâmetros Curriculares Nacionais que ela
abre novas possibilidades educativas,...
Este trabalho se justifica pela necessidade de mostrar, de forma prática, o uso da
calculadora científica na resolução de ...
Capítulo II

2. 1 O surgimento das calculadoras

A evolução dos números, e do próprio homem, com o desenvolvimento comerci...
2. 2 Multiplicando com as mãos

Para multiplicar 7 por 6, por exemplo, ele dobrava numa das mão tantos dedos
quantas unida...
origem dos ábacos e dos contadores mecânicos, instrumentos estes que o homem inventou no
dia em que precisou fazer cálculo...
Durante o Império Romano foi inventado o ábaco de bolso 5 que consistia numa
pequena placa metálica com certo número de ra...
Capítulo III

3. 1 O uso da calculadora em sala de aula

Embora o uso da calculadora ainda possa ser um tabu nas aulas de ...
“Hoje, todo mundo deveria estar utilizando a calculadora, uma
ferramenta importantíssima. Ao contrário do que muitos
profe...
Que conteúdos matemáticos considero importantes para que meu aluno seja
atuante na sociedade?
Como farei minhas avaliações...
Em artigo publicado no National Council of Teachers of Mathematics (NCTM) e
transcrito na revista Educação e Matemática, B...
Além disso, podem ser formulados problemas com dados numéricos reais, sem aquela
preocupação com os “arranjos” que devem s...
Capítulo IV

4. 1 A Resolução de Proble mas

Considerando que o desenvolvimento da capacidade de resolver problemas é um e...
Uma situação se caracteriza como problema de acordo com as reações que o
indivíduo apresenta diante dela. Se ele compreend...
Muitos matemáticos se propuseram a refletir sobre a Resolução de Problemas.
Pappus, matemático grego que viveu por volta d...
ESTABELECIMENTO DE UM PLANO
Já o viu antes? Ou já viu o mesmo problema apresentado sob uma
forma ligeiramente diferente?
C...
Quais são as informações (dados) importantes?
É possível fazer um esquema ou uma figura?
É possível estimar a resposta?
Só...
•

exercícios algorítmicos;

•

problemas de aplicação;

•

problemas em aberto e situações-problema.

Os exercícios de re...
Capítulo V

5. 1 Que calculadora vamos aprender a utilizar?

A calculadora científica que nós iremos utilizar é a Calculad...
similar de alguns livros didáticos utilizados em algumas escola da rede publica e privada de
ensino para que o estudante t...
5. 4. 1 Base de um sistema de numeração

Número que exprime quantas unidades de uma ordem qualquer são precisas, nesse
sis...
Resolução algébrica:
10 2
0 5 2
1 2 2
0 1
10(10) = 1010(2)
Resolução na calculadora:
1

0

2ndF

DEG

BIN

BIN

1010

Conv...
5. 4. 3 Ope rações elementares

Como o trabalho pretende ser o mais completo possível mostrando o uso de todas as
funções ...
01) Calcular 30 + (40 x 12)
Resolução algébrica:
30 + (40 x 12) = 510
Resolução na calculadora:
3

0

+

(

4

0

x

1

2
...
Resolução algébrica:
35 x 40 = 1400
Resolução na calculadora:
3

5

x

5

DEG

8

58
DEG

CE
4

0

0
DEG

=

1400

Shift: ...
5. 6 Encontrando o resto da divisão com a calculadora
Quando a divisão é exata, o quociente é mostrado no visor como númer...
x2

Eleva um número ou base ao quadrado.

yx

Eleva um número ou base a qualquer expoente.

Aplicações:
01) Calcular 5 2.
...
5. 9 Porcentage m
A expressão por cento vem do latim per centum, que quer dizer “por um cento”. Ou
seja, quando dizemos qu...
Resolução na calculadora:
8

0

÷

2

5

0

2ndF

%

04) Escreva a porcentagem correspondente a seguinte razão:

DEG

=

3...
transformar números decimais em fração e vice-versa, ou mesmo a comparar valores, de nada
adiantará a calculadora em suas ...
Resolução algébrica:
 3  7− 6   3  10 −8 
   ×    =
 2    2  

 

1

2

3 3
  ×  =
2...
2

2

DEG

5

15

6,76 .

05) Calcule:

Resolução algébrica:

676
676 26
=
=
= 2,6
100
100 10
Resolução na calculadora:
6
...
DEG

8

02) Calcule: 42 + (− 30) ÷ (+ 2) .
Resolução algébrica:

42 + (−15)
42 − 15 = 27
Resolução na calculadora:
4

2

+...
30 160 56 20 60 32
−
+
+
−
−
40 40 40 40 40 40
146 ÷ 2 73
=
=
40 ÷ 2 20

=

Resolução na calculadora:
(

6

÷

8

)

+

(
...
5. 10. 3 Potências de base dez

Qualquer potência de base 10 com expoente natural é igual ao número formado pelo
algarismo...
Para resolver as equações à calculadora serve apenas como um simples recurso para
que, na medida em que você vai responden...
0,00001 + 0,001 = 0,00101 ou 1,01.10-3

Resolução na calculadora:
1

EXP

5

+/-

+

1

EXP

3

+/-

=

DEG

F↔E

DEG

F↔E...
x

6

0

DEG

=

912

Resp.: 15°12′ = 912′
02) Expressar 9140″ em graus, minutos e segundos.
Resolução algébrica:
9140
60
...
Resolução na calculadora:
2

8

•

8

6

9

DEG

DEG

DMSD

DEG

0

2ndF

29.45833333
29.273000

Resp.: 28°86′90″ = 29°27′...
Resolução na calculadora:
7

6

•

5

5

3

2

9

6

0

─

4

=

2

•

2

DEG

34.3428

Resp.: 34°34′28″

5. 11. 3 Multipl...
48° 36′ 18″

2

0

24° 18′ 9″

0

0

Resolução na calculadora:
4

8

•

3

6

1

8

÷

2

=

DEG

24.1809

Resp.: 24°18′09...
Resolução na calculadora:
1

0

•

3

0

x

2

2

6

0

+

•

1

DEG

DEG

12.5
DEG

=

5

750
x

7

5

0

=
DEG

132.5

R...
π

A constante pi (π = 3.141592654)

Aplicações:
01) Uma circunferência tem 12 cm de raio. Qual é o comprimento aproximado...
3

yx

+/─

3

DEG

=

─27

02) Calcular (─2,4)3 .
Resolução apenas na calculadora:
2

•

4

yx

+/─

3

DEG

=

─13.824

...
2

÷

yx

4

(

05) Calcular 9 −1 + 6 −2

)

−1

2

DEG

+/─

32

.

Resolução apenas na calculadora:
(

yx

9

1

1

+/─
...
02) Calcular o valor de

36 .

Resolução apenas na calculadora:
3

DEG

6

6

− 36 .

03) Calcular o valor de

Resolução a...
5. 16 Juro Simples

Juro simples é toda a compensação em dinheiro que se paga ou se recebe pela
quantia que se empresta ou...
Resolução algébrica:

(696 − 480 ) × 100 = 9%
(480 × 5 )
Resolução na calculadora:
(

6

9

6

─

8

0

x

5

)

4
2ndF

8...
perde250 + 80 = 330
ganha 38 − 8 = 30
Total = 3200
Na calculadora:
3

5

x

2

0

4

0

x

7

0

5

0

+

8

0

3

8

─

8...
Ângulo

Seno

Cosseno

Tangente

30°

1
2

3
2

3
3

45°

2
2

2
2

1

60°

3
2

1
2

90°

1

0

3
Não existe

Aplicações:...
razão entre a medida do cateto adjacente a esse ângulo e a medida da hipotenusa e a tangente
de um ângulo agudo é a razão ...
02) No triângulo retângulo abaixo, calcular o valor de x e y.

Resolução algébrica:

22

x
⇒ x = sen 33 0 ⋅ 22 ∴ x ≅ 11,98...
Resolução na calculadora:
2

2

a

3

3

b

2ndF

xy

DEG

18.45075249

b

DEG

a

DEG

11.98205877
18.45075249

03) Uma p...
Considerando o triângulo acutângulo ABC, em que:
A

• a, b, c são as medidas dos lados.
• h1 é a medida da altura.

c

• h...
Considerando o triângulo ABC, em que:
A
• a,b,c são as medidas dos lados do triângulo.
c

• h é a medida da altura relativ...
A circunferência também apresenta relações métricas entre seus elementos. Vejamos
essas relações.
Relação entre as cordas
...
02) Calcular o comprimento r do raio da circunferência, sendo PA = 20 cm e PC = 10 cm.
Resolução algébrica pela relação en...
Quadro comparativo das medidas em graus e em radianos.
Unidade

Amplitudes

Fundamental
Grau

0°

Radianos

90°

0

180°

...
Aplicações:
01)

RAD

DEG

π

90°

=

2

GRAD
100g

=

graus

radianos

grados

Na calculadora:
DRG

RA D

2ndF

π

÷

2

...
Resp.: Portanto

7π
rad = 3150.
4

π

03) Expresse o arco de

8

radianos em graus e minutos.

Resolução algébrica:
Transf...
05) Calcule o valor de cos 11π.
Resolução algébrica:
11π 11 10 1
1
1

=
=
+ = 5 + ∴ 11π =  + 5  2π = π + 5 ⋅ 2π
2π
2
2...
cotgx =

1
cos30°
⇒ cotg30° =
tgx
sen30°

3
3 2
= 2 =
⋅ = 3.
1
2 1
2

Resolução na calculadora:
3

0

tan

2ndF

DEG

1/ x...
Resolução algébrica:
a. Encontrando o valor da hipotenusa:
h2 = a2 + b2
h 2 = 5 2 + 12 2
h = 25 + 144 = 169 ∴ h = 13cm
b. ...
5. 22 Logaritmo

A palavra logaritmo vem do grego (logos = razão + arithmos = número) e dizemos
que o logaritmo de um núme...
Para encontrarmos o logaritmo de qualquer base usamos a tecla

log

da

calculadora que indica um logaritmo de base 10, ma...
Resolução na calculadora:
1

0

log

÷

•

0

1

log

Podemos também, em vez de usarmos a tecla

DEG

=

─0.5

usar a tecl...
DEG

2

Para encontrarmos o logaritmo de base 10 basta colocar o valor do logaritmo e teclar.
09) Calcule log 36 .
Resoluç...
Resolução algébrica:
10 0,72342 = x ∴ x = 5,289565508
Resolução na calculadora:
•

7

2

3

4

2

10 x

2ndF

DEG

5.28956...
Uso e aplicação da calculadora científica na resolução de problemas matemáticos
Uso e aplicação da calculadora científica na resolução de problemas matemáticos
Uso e aplicação da calculadora científica na resolução de problemas matemáticos
Uso e aplicação da calculadora científica na resolução de problemas matemáticos
Uso e aplicação da calculadora científica na resolução de problemas matemáticos
Uso e aplicação da calculadora científica na resolução de problemas matemáticos
Uso e aplicação da calculadora científica na resolução de problemas matemáticos
Uso e aplicação da calculadora científica na resolução de problemas matemáticos
Uso e aplicação da calculadora científica na resolução de problemas matemáticos
Uso e aplicação da calculadora científica na resolução de problemas matemáticos
Uso e aplicação da calculadora científica na resolução de problemas matemáticos
Uso e aplicação da calculadora científica na resolução de problemas matemáticos
Uso e aplicação da calculadora científica na resolução de problemas matemáticos
Uso e aplicação da calculadora científica na resolução de problemas matemáticos
Uso e aplicação da calculadora científica na resolução de problemas matemáticos
Uso e aplicação da calculadora científica na resolução de problemas matemáticos
Uso e aplicação da calculadora científica na resolução de problemas matemáticos
Uso e aplicação da calculadora científica na resolução de problemas matemáticos
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Uso e aplicação da calculadora científica na resolução de problemas matemáticos

  1. 1. UNIVERSIDADE FEDERAL DE RONDÔNIA – UNIR NÚCLEO DE CIÊNCIAS E TECNOLOGIA – NCT DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA COORDENAÇÃO DE PÓS–GRADUAÇÃO EM MATEMÁTICA USO E APLICAÇÃO DA CALCULADORA CIENTÍFICA NA RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS MATEMÁTICOS Marcus Antonio de Oliveira Santos Ariquemes – RO 2006
  2. 2. Marcus Antonio de Oliveira Santos Uso e Aplicação da Calculadora Científica na resolução de problemas Matemáticos Monografia apresentada a coordenação de Pós – Graduação “Lato Sensu” em Matemática da UNIR, como requisito para obtenção do título de especialista em Ensino da Matemática. Orientador: Prof. Ms. Adeilton Fernandes da Costa Universidade Federal de Rondônia Ariquemes – RO 2006
  3. 3. Agradecimento Senhor meu Deus, eu te agradeço pela minha vida e por mais esta possibilidade de estudos que me destes, pela minha saúde e pelo trabalho que me ofertas gratuitamente. Faz de mim um profissional digno e exemplo de tua sabedoria, misericórdia e bondade. “O temor do Senhor é o princípio do saber, mas os loucos desprezam a sabedoria e o ensino”. Prov. 1:7
  4. 4. Sumário Resumo ………………………………………………………………………………… 7 Capítulo I ……………………………………………………………………………… 8 1. 1 Introdução…………………………………………………………………….. 8 1. 2 Justificativa…………………………………………………………………… 9 1. 3 Objetivos da Monografia …………………………………………………….. 10 1. 4 Organização da Monografia ………………………………………………….. 10 Capítulo II ……………………………………………………………………………... 11 2. 1 O surgimento das calculadoras ……………………………………………….. 11 2. 2 Multiplicando com as mãos …………………………………………………... 12 2. 3 Os ábacos …………………………………………………………………….. 13 2. 4 O contador mecânico …………………………………………………………. 14 Capítulo III …………………………………………………………………………….. 15 3. 1 O uso da calculadora em sala de aula ………………………………………… 15 Capítulo IV …………………………………………………………………………….. 20 4. 1 A resolução de problemas …………………………………………………….. 20 Capítulo V ……………………………………………………………………………… 26 5. 1 Que calculadora vamos aprender a utilizar? ………………………………….. 26 5. 2 As primeiras teclas da calculadora …………………………………………… 27 5. 3 Modos de unidade angular ……………………………………………………. 27 5. 4 Resolução algébrica e com uso da calculadora ……………………………….. 28 5. 4. 1 Base de um sistema de numeração …………………………………….. 28 5. 4. 2 Conversão de base n …………………………………………………… 28 5. 4. 3 Operações elementares ………………………………………………… 30 5. 4. 4 Resolvendo expressões numéricas …………………………………….. 30 5. 5 Alterações e Trocas …………………………………………………………… 31 5. 6 Encontrando o resto da divisão com a calculadora …………………………… 33 5. 7 Calculando potências com a calculadora ……………………………………… 33 5. 8 O uso da tecla 2ndF ou Inv …………………………………………………… 34 5. 9 Porcentagem ………………………………………………………………….. 35 5. 10 Potências e raízes de números racionais ..…………………………………… 37
  5. 5. 5. 10. 1 Adição algébrica, Multiplicação, Divisão e Potenciação de números inteiros ………………………………………………………………… 39 5. 10. 2 Adição algébrica, Multiplicação, Divisão e Potenciação de números racionais ……………………………………………………………….. 40 5. 10. 3 Potências de base dez ………………………………………………… 42 5. 10. 4 Notação científica ……………………………………………………. 43 5. 11 Operações com medidas de ângulos …..…………………………………….. 44 5. 11. 1 Simplificando o resultado .…………………………………………… 45 5. 11. 2 Adição e Subtração .…………………………………………………. 46 5. 11. 3 Multiplicação e Divisão por um número natural ….………………… 47 5. 12 Calculando o tempo ………………………………………………………… 48 5. 13 O número л (pi) .…………………………………………………………….. 49 5. 14 Potência de um número real com expoente natural …………………………. 50 5. 14. 1 Potência de um número real com expoente inteiro negativo ………… 51 5. 15 Calculando com radicais (raiz enésima de um número real) ………………… 52 5. 16 Juro Simples …………………………………………………………………. 54 5. 17 Memória …………………………………………………………………...... 55 5. 18 Trigonometria ……………………………………………………………….. 56 5. 18. 1 As relações trigonométricas nos triângulos retângulos ……………… 57 5. 19 Estudando as relações trigonométricas em um triângulo qualquer …………. 60 5. 19. 1 Lei (ou teorema) dos senos ………………………………………….. 60 5. 19. 2 Lei (ou teorema) dos cossenos ……………………………………….. 61 5. 20 Relações métricas na circunferência ………………………………………... 62 5. 21 Unidade de medidas de arcos e ângulos …………………………………….. 64 5. 21. 1 O grau e o radiano ……………………………………………………. 64 5. 21. 2 Conversão de arcos …………………………………………………… 65 5. 22 Logaritmo ……………………………………………………………………. 71 5. 22. 1 Propriedades …………………………………………………………. 71 5. 23 Progressão Aritmética ……………………………………………………….. 75 5. 23. 1 Fórmula do termo geral de uma PA …………………………………. 75 5. 23. 2 Fórmula da soma dos termos de uma PA ……………………………. 76 5. 24 Progressão Geométrica ……………………………………………………… 77 5. 24. 1 Fórmula do termo geral de uma PG …………………………………. 78
  6. 6. 5. 24. 2 Fórmula da soma dos n termos de uma PG ………………………….. 78 5. 25 Fatorial ………………………………………………………………………. 81 5. 26 Números Complexos ………………………………………………………… 83 5. 26. 1 Adição e subtração …………………………………………………… 83 5. 26. 2 Multiplicação ………………………………………………………… 84 5. 26. 3 Divisão ……………………………………………………………….. 85 5. 27 Noções de Estatísticas ………………………………………………………. 86 Capítulo VI …………………………………………………………………………….. 88 6. 1 Resolução de problemas de forma algébrica e com o uso da calculadora ……. 88 6. 1. 1 Problema – Trigonometria ……………………………………………. 88 6. 1. 2 Problema – Logaritmo ………………………………………………… 91 6. 1. 3 Problema – Matemática financeira (Juros compostos) ……………….. 93 6. 1. 4 Problema – Progressão aritmética (P.A.) ……………………………… 95 6. 1. 5 Problema – Progressão geométrica (P.G.) …………………………….. 98 6. 1. 6 Problema – Funções Circulares (Arcos e ângulos) ……………………. 100 6. 1. 7 Problema – Funções Circulares (Aceleração centrípeta) ……………… 102 6. 1. 8 Problema – Estatística …………………………………………………. 104 Conclusão ………………………………………………………………………….…… 109 Referências ………………………………………………………………………..……. 111 Anexo …………………………………………………………………………………... 113
  7. 7. Resumo Os avanços tecnológicos e sua utilização como recurso didático tem contribuído com o desenvolvimento humano e científico, fazendo parte do nosso cotidiano, principalmente a calculadora científica sendo objeto utilitário e presente na vida da maior parte da sociedade, na resolução de problemas, se mostra eficaz nas mais variadas circunstâncias, sendo uma realidade na vida do educando que a utiliza tanto em sala de aula como em outras atividades que venha exigir cálculo. Esta monografia mostra a aplicação da calculadora científica na resolução de problemas matemáticos a nível fundamental e médio, a evolução dos números em seus recursos de aplicação mais primitivos para cálculos, até as formas mais complexas de raciocínio lógico exigidas a partir do advento da revolução industrial com a proliferação comercial que se torna necessário o uso da calculadora. Faz uma reflexão sobre o uso da calculadora em sala de aula, vez que é uma ferramenta presente no cotidiano escolar, que facilitar a vida do educando e docente, já que não precisa mais fazer arranjos para evitar cálculos longos e com respostas esquisitas. Em seguida falamos sobre uma das atuais tendências em Educação Matemática que é a Resolução de Problemas, os quatros passos de George Polya utilizados na resolução de problemas e as categorias de problemas segundo Thomas Butts, mostra a aplicação da calculadora nos principais conteúdos do ensino fundamental e médio que exigem cálculos e alguns problemas matemáticos onde se faz necessário o uso da calculadora, a partir da metodologia de Polya. Palavras-Chave: Tecnologia e seus recursos. problemas. Conhecimento matemático. Resolução de
  8. 8. Capítulo I 1. 1 Introdução A tecnologia constitui um dos principais agentes de transformação da sociedade, vez que agiliza o desenvolvimento humano e científico, é um artifício que deve ser utilizada na escola como recurso didático. Recurso esse, que os Parâmetros Curriculares Nacionais – PCN – Matemática diz que traz significativas contribuições para se repensar sobre o processo de ensino e aprendizagem de Matemática à medida que 1 : “relativiza a importância do cálculo mecânico e da simples manipulação simbólica, uma vez que por meio de instrumentos esses cálculos podem ser realizados de modo mais rápido e eficiente”. Atualmente, a calculadora é um recurso tecnológico acessível e muito utilizado. Ela faz parte do nosso cotidiano e pode ser encontrada numa variedade de modelos e de preços. No meio social ela se apresenta como um instrumento facilitador de cálculos, porém, em algumas escolas ela não é vista assim. A maioria dos professores de Matemática não permite o seu uso em sala de aula e, alguns justificam dizendo que usando a calculadora, os alunos não aprenderão a fazer contas e ficarão dependentes da máquina, outros porque os alunos só a usam para realizar as quatro operações. Todavia fica a questão: podemos aprender Matemática utilizando a máquina de calcular como recurso didático? A calculadora utilizada em certos momentos e com objetivos pré-definidos, pode ser transformada numa excelente ferramenta para aprimorar o raciocínio lógico e até agilizar o cálculo mental. Lembrando que a calculadora não deve ser usada apenas como um instrumento para fazer as quatro operações, operações essas que o aluno já deve ter tirocínio bastante para fazer de cabeça, e sim outros cálculos já que tão importante quanto realizar cálculos corretamente é saber elaborar caminhos de resolução para os problemas propostos, ou seja criar meios para que o aluno canalizem suas energias para o raciocínio. Sendo assim, a calculadora não só pode como deve ser utilizada em sala de aula sempre que o cálculo for um meio para a realização do trabalho e não a atividade principal. A escola deve preparar o aluno para o futuro e, para isso, deve incorporar os avanços tecnológicos. 1 BRASIL. M inistério da Educação. Parâmetros curriculares nacionais: Matemática. Brasília: SEF, 2001. P. 43.
  9. 9. A respeito da calculadora, pode-se ler nos Parâmetros Curriculares Nacionais que ela abre novas possibilidades educativas, como a de levar o aluno a perceber a importância do uso dos meios tecnológicos disponíveis na sociedade contemporânea. Atualmente, tornou-se primordial saber analisar situações e encontrar soluções para os problemas surgidos. Neste contexto, a calculadora é um instrumento que auxilia o trabalho do professor, de acordo com o National Council of Teachers of Mathematics (NCTM) 2 : “As calculadoras permitem às crianças a exploração de idéias numéricas e de regularidades, a realização de experiências importantes para o desenvolvimento de conceitos e a investigação de aplicações realistas, ao mesmo tempo que colocam a ênfase nos processos de resolução de problemas. O uso inteligente das calculadoras pode aumentar, quer a qualidade do currículo, quer a qualidade da aprendizagem.” (NCTM, 1991, p. 23). Assim, a calculadora poderá ser usada como recurso para compreender algumas operações e seus significados, bem como na verificação de resultados e validação de estratégias utilizadas na resolução de problemas. Em nenhum momento a calculadora pode substituir o raciocínio do aluno. O que não pode acontecer é o da escola não conseguir atingir um dos seus papeis, que é 3 : “...levar o aluno a dominar, minimamente, as tecnologias presentes em sua realidade,...” (KIYUKAWA & SMOLE, 1998, p. 9). Para que os alunos usem adequadamente a calculadora científica, é necessário que conheçam as funções das teclas e o momento em que devam utilizá-la. 1. 2 Justificativa A importância do conhecimento e utilização dos recursos tecnológicos é algo indiscutível, mas existe um alto índice de alunos que não conseguem resolver problemas matemáticos corretamente, nem com o uso da calculadora científica. A constatação de lacunas deixadas pela Escola quanto ao uso das novas tecnologias, que dificulta a vida do aluno tanto no trabalho quanto na vida estudantil em nível superior. 2 NCTM. Normas para o Currículo e a Avaliação em Matemática Escolar. Lisboa: Associação de Professores de Matemática e Instituto de Inovação Educacional. Outubro, 1991. p. 23. 3 KIYUKAWA, Rokusaburo & SMOLE, Kátia Cristina Stocco. Manual do Professor: Matemát ica ensino méd io. São Paulo: Saraiva, 1998.
  10. 10. Este trabalho se justifica pela necessidade de mostrar, de forma prática, o uso da calculadora científica na resolução de problemas matemáticos. 1. 3 Objetivos da Monografia Desenvolver no aluno, a capacidade de utilização, de forma prática e eficiente, da calculadora científica como instrumento facilitador na resolução de problemas matemáticos. 1. 4 Organização da Monografia A monografia esta dividida em capítulos. O capitulo I mostra os avanços tecnológicos como recursos que devem ser aproveitados na educação. O capítulo II mostra o porque da necessidade do surgimento das primeiras calculadoras usada pelo homem e como se fazia algumas operações em seguida, relata sobre o surgimento das primeiras máquinas eletrônicas até o aparecimento da maquinas científicas gráficas. O capítulo III faz uma reflexão sobre a utilização da calculadora científica em sala de aula. Enfatiza as potencialidades da mesma enquanto facilitadora da aprendizagem de conceitos matemáticos e geradora de exemplos e o papel importante que ela desempenha no desenvolvimento do raciocínio e na resolução de problemas, aliviando o peso dos cálculos e permitindo que o aluno se concentre nas estratégias de resolução. O capítulo IV trata sobre a Resolução de Problemas, uma das atuais tendências em Educação Matemática, e quanto os problemas são motivadores da aprendizagem e a importância dos mesmos para o desenvolvimento de conceitos matemáticos, tornando esses conceitos mais significativos para o aluno. Há também a apresentação dos quatro passos de Polya utilizados na resolução de problemas e as categorias de problemas segundo Thomas Butts. O capítulo V mostra a calculadora que iremos utilizar e sua aplicação na resolução de atividades do ensino fundamental e médio. O capítulo VI mostra, o uso da calculadora científica na resolução de alguns problemas Matemáticos do nível fundamental e médio, a partir de aplicações de trigonometria, logaritmo, funções circulares, PA, PG e estatística. E finalmente são apresentadas as conclusões sobre o trabalho e bibliografia.
  11. 11. Capítulo II 2. 1 O surgimento das calculadoras A evolução dos números, e do próprio homem, com o desenvolvimento comercial, levou esse a ter necessidades cada vez maiores para criar artifícios, mecanismos e dispositivos cada vez mais simples para trabalhar os números nas atividades comerciais. A partir do momento em que teve acesso à abstração dos números e aprendeu a distinção sutil entre o número cardinal e ordinal, ele retomou seus antigos “instrumentos” (pedras, conchas, pauzinhos, bastões entalhados, nós de corda etc.) e passou a considera- los sob o ângulo da contagem. Ele aprendeu a conceber conjuntos cada vez mais extensos, mas ainda precisava aprender a representar números cada vez maiores. Para resolver o problema, já que não podia criar novos nomes e símbolos ao infinito, passou a agrupar seus instrumentos por dezenas (ou “feixes” de dez unidades), por centenas (ou dezenas de dezenas) etc. Na linguagem dos matemáticos, isto se chama “empregar a base dez”. a base dez não é a única, de acordo com o período da história o homem foi aprendendo a agrupar seus instrumentos de acordo com as necessidades que iam surgindo, existe a base oito, a base doze, a base sessenta etc, que ainda são utilizadas no nosso dia-a-dia. A base dez foi e continua sendo a mais comum no curso da história, sua adoção é quase universal, pois corresponde a uma ordem de grandeza satisfatória para a memória humana, os nomes de números ou os símbolos de base por ela exigidos são pouco numerosos, sendo que uma tabela de adição ou de multiplicação pode ser facilmente aprendida de cor. Foi desta forma que, aprendendo a contar abstratamente, o homem aprendeu a estimar, avaliar e medir grandezas diversas. Ele elaborou inúmeras técnicas operatórias e de estabelecer os primeiros rudimentos de uma aritmética que o conduziu à álgebra. Os cálculos envolvendo números cada vez maiores levaram o homem a inventar mecanismos que facilitassem os cálculos, mecanismos esses que foram evoluindo até chegar a máquina de calcular. O mais antigo e difundido dos acessórios de contagem e de cálculo para os povos através dos tempos foi a mão do homem. Pelo número considerável de seus ossos e de suas articulações correspondentes, pela disposição assimétrica de seus dedos e sua relativa autonomia, bem como pelo diálogo que mantém permanentemente com o cérebro. O ser humano soube tirar dela o máximo proveito, a partir do momento em que foi capaz de contar de modo abstrato e de assimilar o principio da base...
  12. 12. 2. 2 Multiplicando com as mãos Para multiplicar 7 por 6, por exemplo, ele dobrava numa das mão tantos dedos quantas unidades suplementares há em 7 com relação a 5 (isto é: 7 – 5 = 2 dedos) e mantinha os três outros estendidos. Em seguida, dobrava na outra mão os dedos correspondentes às unidades suplementares de 6 em relação a 5 (isto é: 6 – 5 = 1 dedo), mantendo os quatro outros estendidos. O resultado é obtido inicialmente multiplicando por 10 (de cabeça, evidentemente) o número de dedos dobrados nas duas mãos ─ o que dava (2 + 1) x 10 = 30 ─ acrescentando em seguida este resultado parcial ao produto dos dedos levantados da primeira mão pelo da segunda (isto é: 3 x 4 = 12). Assim, se chega a: 7 x 6 = (2 + 1) x 10 + (3 + 4) = 42 Este procedimento concreto, que os antigos descobriram é infalível, vez que permite efetuar rapidamente multiplicações de todos os números compreendidos entre 5 e 10. Talvez por isso muitos professores, até o final do século passado, proibiam seus alunos de usarem as mãos para fazerem cálculo durante as provas e atividades de sala. As multiplicações dos números compreendidos entre 10 e 15, 15 e 20, 20 e 25, e assim por diante, também eram feitas pelo sistema digital, mas para isso suponha-se que os antigos sabiam de cor os quadrados de 10, 15, 20, 25 etc. Veja este novo exemplo. Para multiplicarmos 19 por 17, por exemplo, primeiro devemos dobrar numa das mãos os dedos correspondentes às unidades suplementares de 19 em relação a 15 (ou seja: 19 – 15 = 4 dedos) e na outra tantos dedos quantas unidades suplementares há em 17 com relação a 15 ( ou seja: 17 – 15 = 2 dedos). Se chega ao resultado multiplicando, de cabeça, por 15 o número total de dedos dobrados ─ o que dá (4 + 2) x 15 = 90 ─, acrescentando a ele o produto (igual a 4 x 2 = 8) dos dedos dobrados e adicionando enfim este resultado parcial ao quadrado de 15. Desse modo se chega a: 19 x 17 = 15 x (4 + 2) + (4 x 2) + 225 = 323 Um outro método concreto, também universalmente testado, é o dos “montes de pedras”. Ele marca o “grau zero” de qualquer técnica do número, vez que faz intervir unicamente o principio da correspondência um a um. As pedras estão particularmente na
  13. 13. origem dos ábacos e dos contadores mecânicos, instrumentos estes que o homem inventou no dia em que precisou fazer cálculos 4 cada vez mais complicados. 2. 3 Os ábacos Os ábacos mais correntes, para os povos ocidentais, foram tábuas ou pranchas com divisões em linhas ou colunas paralelas separando as diferentes ordens de numeração. Para representar números ou efetuar operações, eram usadas pedras ou fichas que representavam uma unidade simples cada uma. Essas peças eram chamadas pelos gregos de psephoi e pelos romanos de calculi. Para os romanos antigos, cada uma dessas colunas enfileiradas do ábaco, simbolizava geralmente uma potência de 10. Começando da direita para a esquerda, a primeira coluna era associada às unidades, a seguinte, às dezenas, a terceira, às centenas, a quarta, ao milhar, e assim por diante. Um número era representado colocando nas diversas colunas em questão tantas fichas quantas unidades havia em cada ordem considerada: sete na quarta, oito na terceira, cinco na segunda e duas na primeira para o número 7852, por exemplo. Algumas vezes cada uma destas colunas eram divididas em duas partes, sendo que na parte inferior, uma ficha representava uma unidade da ordem decimal correspondente, e, na parte superior da mesma coluna, ela valia a metade de uma unidade da ordem imediatamente superior (sendo que da primeira coluna superior valia 5, da segunda 50, da terceira 500, e assim por diante). As operações eram realizadas graças a facilidade de manuseio das fichas das colunas. Se quiséssemos adicionar um número a um outro já representado, por exemplo, era preciso fazê-lo figurar no ábaco, “lendo” em seguida o resultado obtido após as reduções necessárias. Se, o número de fichas atingia ou ultrapassava a dezena em uma das colunas, substituía-se dez dessas peças por uma apenas na coluna situada imediatamente à esquerda. As subtrações eram feitas segundo um processo parecido e as multiplicações, somando diversos produtos parciais. Quanto à divisão, ela se restringia a uma sucessão de partilhas iguais. A prática do cálculo no ábaco era muito lenta e supunha um aprendizado longo e trabalhoso da parte dos aritméticos. 4 Cálculo, essa palavra nos remete a este processo que vem do fundo dos tempos, pois em latim calculus significa precisamente “pequena pedra”, etimologia que reencontramos nas línguas grega e árabe.
  14. 14. Durante o Império Romano foi inventado o ábaco de bolso 5 que consistia numa pequena placa metálica com certo número de ranhuras paralelas, ao longo das quais deslizavam botões móveis do mesmo tamanho. As representações numéricas nesse instrumento eram feitas com facilidade e graças a um modo de “dedilhar” bastante elaborado, e atendendo as regras precisas, esta calculadora de bolso permitia aos que sabiam utiliza- la a realização rápida e simples de diversas operações aritméticas. Era uma “calculadora” inteiramente análoga aos contadores mecânicos que ainda têm um papel importante no Extremo Oriente e em certos países do leste. 2. 4 O contador mecânico O contador mecânico que tem até hoje um uso quase universal na China Popular recebe o nome de suan pan. O mesmo contador no Japão, que é o país mais informatizado do mundo, tem o nome de soroban e é considerado o principal instrumento usual de cálculo. Nos países do leste europeu, a ex URSS, o contador mecânico recebe o nome de stchoty e ainda impera ao lado das modernas caixas registradoras de bancos, lojas hotéis etc. Dentre todos os dispositivos de cálculo figurado usados pelos povos ao longo dos tempos, o contador é praticamente o único que reúne as vantagens de uma prática relativamente simples e ao mesmo tempo rápida para todas as operações aritméticas. É um auxiliar muito útil para efetuar adições ou subtrações simples de números compostos de vários algarismos, ou ainda para resolver problemas mais complicados envolvendo multiplicações, divisões, ou mesmo extrações de raízes quadradas ou cúbicas. Com o desenvolvimento cientifico e tecnológico surgiu as calculadoras eletrônicas, que eram grandes e resolviam apenas as quatro operações mais simples. Com o passar dos anos algumas calculadoras eletrônicas já calculavam o quadrado e a raiz quadrada dos números, tinham também a memória, que é um recurso para guardar resultados parciais para serem usados em outros cálculos. Hoje muitas calculadoras eletrônicas, denominadas “científicas”, calculam quaisquer potências, exibindo até curvas matemáticas em seu visor, algumas resolvem problemas com números complexos, outras permitem até visualizar o número em forma de fração que facilita ainda mais certos cálculos. 5 O ábaco de bolso foi uma verdadeira calculadora portátil, cuja invenção é anterior à era cristã, e que desapareceu um pouco antes da queda do Império Ro mano.
  15. 15. Capítulo III 3. 1 O uso da calculadora em sala de aula Embora o uso da calculadora ainda possa ser um tabu nas aulas de Matemática, fora da escola, nas mais variadas situações, é uma realidade, esta faz parte das experiências cotidianas dos alunos. Está presente nos seus relógios, nos seus estojos, nas suas agendas, nos celulares, e usam-na no trabalho. O baixo custo da máquina também contribuiu para a sua disseminação. Geralmente, os argumentos mais fortes contra o uso da calculadora no Ensino Médio são os de que os alunos desaprendem a fazer cálculos, tornam-se dependentes da máquina, calculam mecanicamente, e não poderão usá- la no vestibular. Refletido sobre tais justificativas. Não é verdade que alunos que não utilizam máquinas sabem fazer contas melhor e com mais consciência do que aqueles que as utilizam. A falta de habilidade com números é conseqüência da maneira mecânica e sem significado que eles são ensinados e da ausência de um trabalho efetivo com cálculo mental e estimativa em todos os níveis escolares. Quanto ao vestibular, praticamente não se encontra uma situação em que os números envolvidos nas questões exija o uso da máquina. As questões de vestibular não são feitas, segundo alguns reitores, para que os alunos mostrem destreza de cálculo, mas para que utilizem conhecimentos mais amplos e habilidades de pensamento matemático que deveriam ter sido desenvolvido durante o aprendizado. Segundo a Ms. Kátia Cristina Stocco Smole e o Ms. Rokusaburo Kiyukawa dizem que: “Nossa experiência indica que, quando usada de modo planejado, a calculadora não inibe o pensar matemático; pelo contrário, tem efeito motivador na resolução de problemas, estimula processos de estimativa e cálculo mental, dá chance aos professores de proporem problemas com dados mais reais e auxilia na elaboração de conceitos e na percepção de regularidades.” (KIYUKAWA & SMOLE, 1998, p. 9). É preciso esclarecer que o emprego da calculadora é expressamente indicado pelos Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN). O professor é que decide pela adoção ou não da calculadora, portanto, não se deve mais discutir esta questão. Nas palavras de Ubiratan D’Ambrosio 6 : 6 VADIGA, Carlos. Etnomatemática. Revista Nova Escola. São Paulo, n° 68, p. 15, ago. 1993.
  16. 16. “Hoje, todo mundo deveria estar utilizando a calculadora, uma ferramenta importantíssima. Ao contrário do que muitos professores dizem, a calculadora não embota o raciocínio do aluno – todas as pesquisas feitas sobre aprendizagem demonstram isso.” O foco das discussões deve ser: como utilizar corretamente a calculadora, de forma a desenvolver atividades que contribuam para o desenvolvimento dos alunos? Como afirma João Pedro Ponte 7 : “Não faltarão anedotas com exemplos caricatos, pretendendo demonstrar as vantagens do cálculo com papel e lápis e dos métodos tradicionais. Mas a verdade é que não devemos atribuir à calculadora nem um caráter milagroso, nem um caráter demoníaco. Como qualquer outro instrumento, pode, simplesmente, ser bem ou mal usada.” Então, ao decidir pelo uso da calculadora, o professor deve estar ciente das mudanças que esta atitude implica. Não basta dizer aos alunos: “De hoje em diante vocês podem usar a calculadora nas aulas de Matemática.” É preciso reflexão, segundo Albano V. Silva 8 : “A calculadora se introduzida na aula de Matemática sem qualquer projeto educativo que a sustente será mais um ‘modernismo’ que nada mudará para além de poder criar grande insegurança em professores e alunos.” A utilização da calculadora requer mudança na postura do professor, na metodologia que usa e nas avaliações que faz. Por isso, esta tomada de decisão deve ser precedida de reflexões, como: Qual é a visão de Matemática que tenho? Qual é o peso que atribuo ao cálculo aritmético e algébrico? Para mim, é mais importante que o aluno seja criativo e resolva problemas ou que memorize técnicas e fórmulas? Valorizo mais a aquisição de conceitos matemáticos ou habilidades mecânicas de cálculo? 7 PONTE, João Pedro. A calculadora e o processo de ensino-aprendizagem. Revista Educação e Matemática. Lisboa, nº 11, p. 1, jul./set. 1989. 8 SILVA, A lbano V. Calculadora na Educação Matemática. Revista Educação e Matemát ica. Lisboa, nº 11, p. 4, jul./set. 1989.
  17. 17. Que conteúdos matemáticos considero importantes para que meu aluno seja atuante na sociedade? Como farei minhas avaliações? Faz-se necessário lembrar que a calculadora é apenas um recurso didático auxiliar e que seu uso será melhor tanto quanto melhor for a capacidade crítica do aluno. É bem verdade que, ao fazer uso dela o aluno pode vir a “acomodar-se” e necessitar da máquina até para realizar operações simples como 6 + 7, por exemplo. É um risco que se corre e deve ser planejado na organização de recursos da escola e no plano de ação do professor. O professor deve estar atento e incentivar o uso consciente da calculadora. Como argúi José Paulo Viana 9 : “Este é um perigo que existe, sobretudo com os alunos mais novos.” Feitas as devidas reflexões, é hora de conhecer as vantagens do uso da calculadora na sala de aula. A calculadora é um recurso rico de potencialidades e, como enfatiza Albano V. Silva, permite que se faça um trabalho voltado para a compreensão e construção de conceitos, para o desenvolvimento do raciocínio e para a resolução de problemas. Na construção de conceitos, o emprego da calculadora facilita o desenvolvimento e a compreensão de conceitos como os de número (inteiro, decimal, racional, irracional,...), sucessão, série, convergência, média, arredondamento e aproximação, etc.. Nas calculadoras científicas ainda há possibilidade de se trabalhar com funções exponenciais e logarítmicas e com a notação científica. No que diz respeito aos números, estes poderão ser utilizados em uma gama muito maior de situações reais, já que, com a calculadora, há economia de tempo e o professor não precisa “ajeitar” os números para evitar cálculos complicados e cansativos. Há possibilidade de se trabalhar com números de maior ordem de grandeza, podendo explorar suas possíveis decomposições. Mesmo o surgimento de resultados “sem sentido” constitui-se em ótima oportunidade para levantar discussões sobre o seu aparecimento. Segundo João Pedro Ponte 10 : “O uso das calculadoras não anuncia o fim do cálculo, mas implica que o cálculo seja encarado de uma outra maneira.” 9 GUIMARÃ ES, Henrique M. A propósito da utilização da maquina de calcular: uma entrevista. Revista Educação e Matemát ica. Lisboa, n. 11, p. 16, ju l./set. 1989. 10 PONTE, João Pedro. A calculadora e o processo de ensino-aprendizagem. Revista Educação e Matemática. Lisboa, nº 11, p, 3-6, jul./set. 1989.
  18. 18. Em artigo publicado no National Council of Teachers of Mathematics (NCTM) e transcrito na revista Educação e Matemática, Barbara J. Reys 11 diz que a calculadora pode ser usada pelo professor para abordar e desenvolver tópicos sob novas formas e, além disso, ela tem o poder de gerar rapidamente muitos exemplos, o que ajuda os alunos na compreensão de conceitos. A utilização da calculadora permite que relações geométricas e algébricas mais abstratas tenham um tratamento numérico, tornando-as mais concretas. Deste modo, com a calculadora pode-se dar um tratamento informal a certos conceitos abstratos, só depois passando para a formalização. Para Ponte, a calculadora: “ ...estimula novas formas de trabalhar favorecendo uma atitude mais prática e experimental na Matemática.” Pode-se também fazer um trabalho de experimentação e investigação, descoberta de regularidades e generalização de situações, que são os elementos caracterizadores do pensamento algébrico. Entretanto, é na resolução de problemas que a calculadora desempenha seu papel mais importante. Hoje, é muito fácil encontrarmos alunos que executam cálculos mecânicos com desembaraço, que não conseguem analisar um problema (ou uma situação real) e reconhecer ali as operações que devam ser feitas para que se encontre a solução. Usando a calculadora, o aluno pode refletir mais sobre o problema já que não precisa gastar tanto tempo fazendo contas. Maria Tereza Perez Soares 12 , coordenadora do capítulo de Matemática dos Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN), enfatiza que: “O tempo de cálculo economizado é usado pelo aluno para se concentrar no processo de resolução do problema.” Com isso, o cálculo ganha nova dimensão, deixando de ser tão repetitivo e cansativo. De acordo com Albano V. Silva 13 , a calculadora abre novas possibilidades para a atividade de resolver problemas, pois o aluno poderá elaborar e explorar novas estratégias (como a tentativa e erro e aproximações sucessivas, por exemplo), organizar dados, formular e verificar hipóteses e refazer cálculos com maior rapidez, desenvolvendo o seu raciocínio. 11 REYS, Bárbara J. A calculadora como uma ferramenta para o ensino e a aprendizagem. Revista Educação e Matemática. Lisboa, nº 11, p. 19-21, jul./set. 1989. 12 CA LCULADORA = Bem + Fácil. Revista Nova Escola. São Paulo, n. 103, p. 34, jun. 1997. 13 SILVA, A lbano V. Calculadoras na Educação Matemática. idem. p. 10.
  19. 19. Além disso, podem ser formulados problemas com dados numéricos reais, sem aquela preocupação com os “arranjos” que devem ser feitos para evitar cálculos extensos e resultados que, na linguagem dos alunos, são “esquisitos”. E conforme a Ms. Kátia Cristina Stocco Smole e o Ms. Rokusaburo Kiyukawa dizem que: “A utilização da calculadora humaniza e atualiza nossas aulas e permite aos alunos ganharem mais confiança para trabalhar com problemas e buscar novas experiências de aprendizagem.” (KIYUKAWA & SMOLE, 1998, p. 10). Maior rapidez nos cálculos significa ganho de tempo. Tempo este, que pode ser aproveitado para o trabalho com variedades diferentes de problemas e com a discussão das várias estratégias de resolução usadas pelos alunos. Pode-se também fazer a discussão dos resultados obtidos e da validade desses resultados dentro das exigências do problema. Como já foi dito, a utilização da calculadora em sala de aula exige mudanças na práxis do professor. É preciso que ele tenha clareza de objetivos e escolha a metodologia mais adequada para alcançá- los. Uma metodologia que coaduna muito bem com os objetivos de quem deseja utilizar a calculadora é a Resolução de Problemas.
  20. 20. Capítulo IV 4. 1 A Resolução de Proble mas Considerando que o desenvolvimento da capacidade de resolver problemas é um eixo organizador do ensino da Matemática e que deve permear todo o seu estudo, a fim de propiciar ao aluno recursos que o ajudem a resolver situações de natureza diversa e enfrentar, com confiança, situações novas é que fazemos um breve comentário sobre resolução de problemas. Ao ter como prioridade a construção do conhecimento pelo fazer e pensar, o papel da resolução de problemas é fundamental para auxiliar o aluno na apreensão dos significados. As atividades de sala de aula, a introdução de novos temas, sua exercitação e seus aprofundamentos, sempre que possível, devem apresentar situações-problemas que exijam interpretação, seleção de estratégias de resolução, realização de planejamento de ações, aplicação de ferramentas matemáticas, recursos técnicos adequados e análise da adequação da solução obtida. Como processo de aprendizagem e habilidade a ser desenvolvida, a resolução de problemas deve acontecer ao longo de todo o curso, proporcionando um contexto no qual se constroem conceitos, se descobrem relações, são feitas observações, conjecturas, seleção e organização de dados, argumentação, conclusões e avaliação. De acordo com esta tendência, aprender Matemática é resolver problemas. Segundo Beatriz S. D’Ambrosio: “...a resolução de problemas é encarada como uma metodologia de ensino em que o professor propõe ao aluno situações problemas caracterizadas por investigação e exploração de novos conceitos. Essa proposta, mais atual, visa a construção de conceitos matemáticos pelo aluno através de situações que estimulam a sua curiosidade matemática.” (D’AMBROSIO, 1989, P. 16). Problemas desafiam o aluno e este, ao resolvê- los, experimenta um sentimento de satisfação que lhe faz bem e que desperta o interesse pela disciplina. Ele terá um papel ativo na sua aprendizagem e será mais autônomo, pois o conteúdo a ser aprendido será apresentado a partir de contextos significativos. Além disso, vivendo numa era de transformações rápidas que exige capacidade de adaptação, torna-se cada vez mais importante saber analisar uma situação e desenvolver métodos para resolver problemas. Mas, o que é um problema? Qual é a sua importância para o desenvolvimento da Matemática?
  21. 21. Uma situação se caracteriza como problema de acordo com as reações que o indivíduo apresenta diante dela. Se ele compreende a situação, quer resolvê- la (por necessidade ou interesse) e não encontra, de imediato, elementos necessários para a sua solução, então este indivíduo, em particular, está diante de um problema. Para Dermeval Saviani14 a essência do problema é a necessidade; ele coloca que: “... uma questão em si não caracteriza um problema, nem mesmo aquele cuja resposta é desconhecida, mas uma questão cuja resposta se desconhece e se necessita conhecer. Eis aí um problema.” A situação problemática é desequilibradora, pois gera no indivíduo uma necessidade de buscar soluções e é esta necessidade que o impulsiona a criar estratégias e a inventar. Segundo Claparède 15 : “O homem é levado a inventar quando qualquer dificuldade, qualquer obstáculo a vencer se encontra em seu caminho, logo que ele deseja atingir a um fim, mas não conhece os meios de alcançálo. É preciso, pois, encontrar meios, inventá- los.” Problemas sugeridos pelo mundo físico e problemas relacionados ao contexto social, sempre serviram de alavanca para o desenvolvimento do conhecimento matemático. As teorias matemáticas foram e são elaboradas a partir da necessidade de se resolver problemas. Os problemas geram novos conceitos, que por sua vez, geram novas teorias, que por sua vez, geram novos problemas. Para Hilbert “...À medida que um ramo de conhecimento oferece uma abundância de problemas, está numa condição de florescimento. Mas o escasseamento de problemas é um sinal de morte próxima ou de estagnação de desenvolvimento independente.” Muitos ramos da Matemática nasceram da busca de soluções para problemas, como é o caso da Teoria de Grafos, que foi formulada após Euler resolver um problema sobre as sete pontes que cortavam a cidade alemã Konigsberg, usando para isso um grafo. A descoberta das Geometrias Não-Euclidianas também se deve a um problema: demonstrar o Postulado das Paralelas de Euclides. 14 apud GAZIRE, Eliane S. Perspectiva da Resolução de Problemas em Educação Matemática. Rio Claro, 1989. Dissertação (Mestrado). UNESP. p. 11. 15 idem. p. 11.
  22. 22. Muitos matemáticos se propuseram a refletir sobre a Resolução de Problemas. Pappus, matemático grego que viveu por volta do ano 300, escreveu um livro cujo título pode ser traduzido como “Arte de Resolver Problemas” ou “Heurística”, onde ele procura sistematizar um método para resolver problemas. As mais famosas tentativas de sistematização da Heurística foram feitas pelos matemáticos Descartes e Leibniz e pelo filósofo Bernardo Bolzano. Em 1628, Descartes trabalhou em uma obra chamada “Regras para a Direção do Espírito” em que pretendia apresentar um método universal para a resolução de problemas. Esta obra ficou incompleta e fragmentos dela apareceram depois no “Discurso do Método”. Alexis-Claude Clairaut (1713-1765) em seus livros “Elementos de Geometria” (1741) e “Elementos de Álgebra” (1746) já mostra a perspectiva de se ensinar através da Resolução de Problemas. Ele acreditava que o ensino devia ser heurístico. Polya (1888-1983) dizia que o ensino da Matemática deve ser ativo e que não se deve suprimir as atividades informais de produzir e extrair conceitos matemáticos do mundo que nos rodeia. Segundo ele 16 : “A Matemática não é um esporte para espectadores; não se pode desfrutar dela nem aprendê- la sem a participação ativa; por isso o princípio da aprendizagem ativa é particularmente importante para nós, professores de matemática, especialmente se considerarmos como nosso principal objetivo, o primeiro de nossos objetivos, o de ensinar o estudante a pensar.” Para Polya, a abstração de conceitos matemáticos a partir de situações cotidianas, pode ser o centro do ensino de Matemática. Partindo do estudo das heurísticas usadas por matemáticos na resolução de problemas, Polya elaborou o que ele chamou de fases de trabalho. São quatro 17 : “COMPREENSÃO DO PROBLEMA Qual é a incógnita? Quais são os dados? Qual é a condicionante? É possível satisfazer a condicionante? A condicionante é suficiente para determinar a incógnita? Ou é insuficiente? Ou redundante? Ou contraditória? Trace uma figura. Adote uma notação adequada. Separe as diversas partes da condicionante. É possível anotá- las? 16 apud GAZIRE, Eliane S. Perspectiva da Resolução de Problemas em Educação Matemática. Rio Claro, 1989. Dissertação (Mestrado). UNESP. p. 49. 17 POLYA, G. A arte de resolver problemas. Rio de Janeiro: Interciência, 1977. p. 4-13.
  23. 23. ESTABELECIMENTO DE UM PLANO Já o viu antes? Ou já viu o mesmo problema apresentado sob uma forma ligeiramente diferente? Conhece um problema correlato? Conhece um problema que lhe poderia ser útil? Considere a incógnita! E procure pensar num problema conhecido que tenha a mesma incógnita ou outra semelhante. Eis um problema correlato e já antes resolvido. É possível utilizálo? É possível utilizar o seu resultado? É possível utilizar o seu método? Deve-se introduzir algum elemento auxiliar para tornar possível a sua utilização? É possível reformular o problema? É possível reformulá- lo ainda de outra maneira? Volte às definições. Se não puder resolver o problema proposto, procure antes resolver algum problema correlato. É possível imaginar algum problema correlato mais acessível? Um problema mais genérico? Um problema mais específico? Um problema análogo? É possível resolver uma parte do problema? Mantenha apenas uma parte da condicionante, deixe a outra de lado; até que ponto fica assim determinada a incógnita? Como pode ela variar? É possível obter dos dados alguma coisa de útil? É possível pensar em outros dados apropriados para determinar a incógnita? É possível variar os dados de tal maneira que fiquem mais próximos entre si? Utilizou todos os dados? Utilizou toda a condicionante? Levou em conta todas as noções essenciais implicadas no problema? EXECUÇÃO DO PLANO Ao executar o seu plano de resolução, verifique cada passo. É possível verificar claramente que o passo está correto? É possível demonstrar que ele está correto? RETROSPECTO É possível verificar o resultado? É possível verificar o argumento? É possível chegar ao resultado por um caminho diferente? É possível perceber isto num relance? É possível utilizar o resultado, ou o método, em algum outro problema?” Na fase inicial, chamada Compreensão do Problema, deve-se identificar as partes do problema, a incógnita e os dados. Como ressalta Dante 18 , indagações como as que se seguem são importantes, pois ajudam a compreender o problema: O que se quer descobrir no problema? 18 DANTE, Lu iz R. Didática da Resolução de Problemas de Matemática. São Paulo : Ática, 1989. p. 29.
  24. 24. Quais são as informações (dados) importantes? É possível fazer um esquema ou uma figura? É possível estimar a resposta? Só depois de compreendido o problema, é que se consegue elaborar um plano para resolvê- lo. É o Estabelecimento de um Plano (segunda fase). A idéia de um plano pode surgir gradativamente ou depois de várias tentativas. Eis algumas questões que podem ajudar: Que estratégia você usará? Já resolveu algum problema semelhante a este? É possível reformular este problema? É possível organizar os dados em tabelas e gráficos? Pode ser resolvido por partes? A terceira fase (ou o terceiro passo) é a Execução do Plano. O plano elaborado deve ser executado passo a passo, efetuando todos os cálculos necessários. Se algo não der certo deve-se refazer os cálculos ou, se for o caso, repensar a estratégia. Na quarta fase deve-se fazer o Retrospecto e examinar a solução obtida. Verificar se os cálculos estão corretos e se a resposta satisfaz as condições do problema. É um bom momento também para analisar se a estratégia usada neste problema poderá servir para resolver outros. Muitos professores utilizam a resolução de problemas somente como uma forma de aplicar os conteúdos aprendidos e, quando é assim usada, a resolução de problemas é a etapa final da aprendizagem e o processo está todo centrado no professor, que “ensina” um conteúdo, dá exemplos e escolhe os “problemas” onde os alunos aplicarão os algoritmos aprendidos. Como se vê, o aluno não é estimulado a pensar, a conjecturar e a inventar. Na metodologia de Resolução de Problemas, a apresentação do problema é uma das etapas inicial da aprendizagem. O professor apresenta um problema que pode ter sido escolhido por ele ou pelos alunos. Os alunos tentam resolver o problema e caso não consigam, devido à falta de conhecimento de conteúdos específicos envolvidos na sua resolução, o professor apresenta estes conteúdos. Volta-se ao problema, discutindo a sua resolução e o(s) conteúdo(s) apresentado(s). Inicia-se novamente o processo com a apresentação de um novo problema. Segundo Thomas Butts 19 , são cinco as categorias de problemas: • 19 exercícios de reconhecimento; BUTTS, Thomas. Colocando Problemas adequadamente. In: NCTM . Mathematics. 1980. p. 23-26. Problem solving in School
  25. 25. • exercícios algorítmicos; • problemas de aplicação; • problemas em aberto e situações-problema. Os exercícios de reconhecimento são aqueles que exigem que o aluno apenas recorde uma definição, um teorema, uma propriedade, etc... Exercícios algorítmicos são os que exigem apenas o uso de algoritmos ou de procedimentos passo-a-passo para a sua solução. Estão nesta categoria os exercícios do tipo: Resolva; Calcule; Arme e Efetue. Os problemas de palavras que necessitam da transposição da escrita para a linguagem matemática a fim de utilizar-se os algoritmos adequados à sua resolução, são chamados de problemas de aplicação. Nestes problemas, a estratégia já está contida no enunciado. Na categoria dos problemas em aberto estão os problemas que não contém a estratégia de resolução no seu enunciado, ou melhor, não fornecem “pistas”. As situações-problema são aquelas que podem gerar vários problemas. Para resolvêlas faz-se necessário identificar os problemas relacionados a elas. Indubitavelmente, o uso da calculadora em sala de aula não se faz necessário quando se trabalha apenas com exercícios de reconhecimento e exercícios algorítmicos, mas ela enriquece o trabalho com problemas de aplicação, problemas em aberto e situações-problema, favorecendo a procura de novos caminhos para a resolução desses problemas e levando o aluno a uma aprendizagem significativa.
  26. 26. Capítulo V 5. 1 Que calculadora vamos aprender a utilizar? A calculadora científica que nós iremos utilizar é a Calculadora Científica mod. KK82LB (fig. 01) que tem 82 funções, geralmente é fácil de ser reconhecida porque vem com a tecla 2ndF, que significa segunda função. Calculadora essa de fácil aquisição e que também é similar a Calculadora Científica do Windows” (fig. 02) e que, por incrível que pareça são calculadoras que na sua grande maioria só são usadas para resolver as quatro operações já que muitas pessoas não sabem como utiliza- las para resolver outros cálculos. fig. 01 fig. 02 Existem diversos outros tipos de calculadora que seguem a mesma linha de funções, como a Truly SC107F de 56 Scientific functions que também podem serem aplicadas para a resolução dos problemas expostos. O interessante de tudo é que nosso alunado vai pelo mais fácil quando diz que sabe utilizar a calculadora científica ele só consegue trabalhar as quatro operações que envolvam os números naturais e quando ele diz que tem computador em casa, ele só usa o computador para jogos e bate-papo. A calculadora científica é um recurso didático capaz de ajudar o aluno em seu desenvolvimento intelectual desde que ele saiba como utilizar esse recurso, não só com operações com números naturais como também com os demais conjuntos (números inteiros, números racionais, números irracionais e números reais). É com base nesse problema que nos propomos a fazer este trabalho para mostrar como utilizar a calculadora científica para tirar o máximo proveito. Este trabalho será o mais didático possível, utilizaremos algumas questões e problemas do nosso cotidiano estudantil, questões e problemas esses retiradas de forma
  27. 27. similar de alguns livros didáticos utilizados em algumas escola da rede publica e privada de ensino para que o estudante tanto do ensino fundamental, médio e superior consiga entender como se faz sua resolução com o uso da calculadora. Ao final faremos um breve quadro de equivalência de teclas, que vai da calculadora ao teclado do computador. 5. 2 As primeiras teclas da calculadora Para trabalharmos as quatro operações com os números naturais, além de conhecermos as teclas de 0 a 9 é necessário conhecermos outras: OFF desliga CE apaga o último número digitado + adição = igual liga / apaga o cálculo ON/ C subtração − ( apaga o último algarismo digitado ÷ abre parêntesis divisão ) x multiplicação fecha parêntesis 5. 3 Modos de unidade angular A tecla DRG é usada para cálculos da trigonometria, inversão trigonométrica e conversão de coordenadas. Ela muda a unidade angular. DEG = degree = graus = D RAD = radian = radianos = R GRAD = gradient = grados = G DRG Conversão de unidade angular DEG RAD GRAD 5. 4 Resolução algébrica e com uso da calculadora Condensaremos neste capítulo diversas questões de conteúdos do ensino fundamental e médio onde mostraremos a sua resolução de forma algébrica e a sua resolução com o uso da calculadora científica, de modo a utilizar todas as suas funções.
  28. 28. 5. 4. 1 Base de um sistema de numeração Número que exprime quantas unidades de uma ordem qualquer são precisas, nesse sistema, para formar uma unidade de ordem imediatamente superior. O nome do sistema, deriva do nome de sua base. O princípio de numeração decimal escrita aplica-se a qualquer outro sistema de numeração. No sistema de base a haverá a – 1 algarismos significativos, pois o zero é sempre necessário para suprir as unidades que faltarem. No sistema de base 2 ou binário, os sinais serão 0 e 1, no de base 5 ou quinário serão 0, 1, 2, 3 e 4. No sistema hexadecimal são necessários sinais novos para representar 10, 11, 12, 13, 14 e 15 que são representadas pelas letras A, B, C, D, E e F respectivamente. 5. 4. 2 Conve rsão de base n Não é possível utilizar as funções científicas nos cálculos binários, octogonais, decimais e hexadecimais. Não é possível introduzir valores que incluem uma parte decimal e/ou expoente. Aplicações: Conversão de números inteiros não decimal para decimal (decomposição polinômial). 01) Converta: 10101(2) = ?(10) Resolução algébrica: 14 03 12 01 10 = 1 x 24 + 0 x 23 + 1 x 22 + 0 x 21 + 1 x 20 16 + 0 + 4 + 0 + 1 10101(2) = = 21 21(10) Resolução na calculadora: 2ndF BIN 1 0 1 0 1 2ndF DEC DEG 21 Conversão de números inteiros decimais para não decimais (divisões sucessivas). 02) Converta 10(10) = ?(2)
  29. 29. Resolução algébrica: 10 2 0 5 2 1 2 2 0 1 10(10) = 1010(2) Resolução na calculadora: 1 0 2ndF DEG BIN BIN 1010 Conversão de base não decimal para base não decimal. (Xa → X10 → Xb). = ?(16) 03) Converta: 1110(2) Resolução algébrica: 13 12 11 00 = 1 x 23 + 1 x 22 + 1 x 21 + 0 x 20 8 + 4 + 2 + 0 = 14(10) = E(16) 1110(2) = E(16) Resolução na calculadora: 2ndF BIN 1 1 1 0 2ndF HEX DEG HEX E Conversão de base decimal para base hexadecimal. 04) Converta 16323(10) = ?(16) Resolução algébrica: 16323 3 16 1020 16 12 63 16 15 3 16323(10) = 3FC3(16) Resolução na calculadora: 1 6 3 2 3 2ndF HEX DEG HEX 3FC3
  30. 30. 5. 4. 3 Ope rações elementares Como o trabalho pretende ser o mais completo possível mostrando o uso de todas as funções da calculador científica, faz-se necessário colocar uma parte mostrando a resolução de operações elementares na calculadora, que são as operações de adição, subtração, multiplicação e divisão. Aplicações: 1) Efetue: 30 + 45 – 28 Resolução algébrica: 30 + 45 – 28 = 47 Resolução na calculadora: teclar: visor 3 0 + 4 5 – 2 8 0 ÷ 2 = = DEG 47 02) Efetue: 25 x 10 ÷ 2 Resolução algébrica: 25 x 10 ÷ 2 = 125 Resolução na calculadora: 2 5 x 1 DEG 125 5. 4. 4 Resolvendo expressões numé ricas Para a resolução de expressões numéricas envolvendo as quatro operações (adição, subtração, multiplicação e divisão), devemos observar algumas regras para o cálculo: Quanto aos sinais de pontuação, efetuamos as operações seguindo a ordem apresentada: 1º. Operações indicadas entre parênteses ( ). 2º. Operações indicadas entre colchetes [ ]. 3º. Operações indicadas entre chaves { }. Quanto às operações: 1º. Efetuamos as multiplicações e as divisões, na ordem em que aparecem. 2º. Efetuamos as adições e subtrações, na ordem em que aparecem. Aplicação:
  31. 31. 01) Calcular 30 + (40 x 12) Resolução algébrica: 30 + (40 x 12) = 510 Resolução na calculadora: 3 0 + ( 4 0 x 1 2 ) = DEG 510 02) Calcular (7 x 7 + 5) ‫ )6 + 2 ׃ 01 – 71( ׃‬x 3 Resolução algébrica: (7 x 7 + 5) ‫ )6 + 2 ׃ 01 – 71( ׃‬x 3= 9 Resolução na calculadora: ( 7 x 7 + 5 ) ÷ ( 1 7 1 0 ÷ 2 + 6 ) x 3 = DEG 2 x 3 ) ÷ ( – 03) Calcular 9 7 +9 − 2×3 2 +3 Resolução algébrica: 7 + 9 − 2 × 3 16 − 6 10 = = =2 2 +3 5 5 Resolução na calculadora: ( 7 + 9 + 3 ) – = 2 DEG 5. 5 Alte rações e Trocas As alterações ou mudança dos últimos algarismos de um número, bem como a troca ou inversão do numerador pelo denominador de uma fração podem serem feitas da seguinte forma: CE Clean Entry: tecla para cancelamento do último número digitado. Aplicações: 2
  32. 32. Resolução algébrica: 35 x 40 = 1400 Resolução na calculadora: 3 5 x 5 DEG 8 58 DEG CE 4 0 0 DEG = 1400 Shift: tecla para alteração ou mudança do último alga- Right Shift or rismo. Resolução algébrica: 38579 Resolução na calculadora: 3 8 5 7 DEG 8 38578 DEG 3857 DEG 9 38579 Exchange: troca ou inverte o numerador pelo denominador. ↨ Resolução algébrica: 100 =2 2 × 25 Resolução na calculadora: 2 x 2 5 ÷ 1 0 DEG 0 2ndF 100 DEG ↨ 50 DEG = 2 or 1 0 0 ÷ ( 2 x 2 5 ) = DEG 2
  33. 33. 5. 6 Encontrando o resto da divisão com a calculadora Quando a divisão é exata, o quociente é mostrado no visor como número inteiro, ou seja sem ponto para separar um do outro. Aplicações: Resolução algébrica: 72 ÷ 8 = 9 Resolução na calculadora: 7 2 ÷ 8 DEG = 9 Mas se a divisão acima não fosse exata, apareceria próximo do número 9 um número com ponto. Resolução algébrica: 74 ÷ 8 = 9.25 Resolução na calculadora: 7 4 ÷ 8 DEG = 9.25 Como visto acima, o número 9, que é o quociente natural, aparece no visor à esquerda do ponto, e o resto 2 não aparece. Para obter o resto usando a calculadora científica, basta pegar o dividendo e subtrair da multiplicação entre o divisor e o quociente natural. Resolução algébrica: 74 – 8 x 9 = 2 Resolução na calculadora: 7 4 – 8 x 9 = DEG 5. 7 Calculando potência com a calculadora A potenciação equivale a uma multiplicação de fatores iguais, de modo geral, sendo a um número real e n um número natural, com n > 1, a expressão an chama-se potência e representa uma multiplicação de n fatores iguais ao número a. 2
  34. 34. x2 Eleva um número ou base ao quadrado. yx Eleva um número ou base a qualquer expoente. Aplicações: 01) Calcular 5 2. Resolução algébrica: 5 2 = 5 ⋅ 5 = 25 Resolução na calculadora: 5 x2 DEG 25 02) Calcular 210 . Resolução algébrica: 2 10 = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 = 1024 Resolução na calculadora: 2 yx 1 0 DEG = 1024 Até aqui só trabalhamos com o conjunto dos núme ros naturais, ou seja os números positivos que começam do zero e vão até o infinito. Daqui em diante além dos números naturais, vamos trabalhar com todos os outros conjuntos. 5. 8 O uso da tecla 2ndF ou Inv Todas calculadoras científicas vêm com suas funções impressas em suas próprias teclas e com funções impressas acima das teclas, as primeiras chamamos de primeira função e temos acesso as mesmas, assim que ligamos a calculadora. Já a segunda, só temos acesso a elas se antes de utilizarmos a tecla que desejarmos, apertar a tecla 2ndF segunda função. Na calculadora científica do Windows essa tecla é a Inv. que indica a
  35. 35. 5. 9 Porcentage m A expressão por cento vem do latim per centum, que quer dizer “por um cento”. Ou seja, quando dizemos que você vai ter um desconto de 30 por cento, significa dizer que para cada 100 reais gasto, você tem um desconto de 30 reais. Veja os problemas abaixo: 2ndF 2nd function: segunda função % percent: porcentagem • decimal point: ponto decimal Aplicações: 01) Retire 30% de 2500. Resolução algébrica: 2500 × 30 = 750 100 Resolução na calculadora: 2 5 0 0 x 3 0 2ndF % = DEG 750 02) Escreva a representação decimal de 6%. Resolução algébrica: 6 = 0,06 100 Resolução na calculadora: 6 2ndF % DEG 0.06 03) Um desconto de 80 mil reais sobre um preço de 250 mil reais representa um desconto de quantos por centos? Resolução algébrica: (80 ÷ 250) x 100 = 32%
  36. 36. Resolução na calculadora: 8 0 ÷ 2 5 0 2ndF % 04) Escreva a porcentagem correspondente a seguinte razão: DEG = 32 17 20 Resolução algébrica: 17 = 0,85 ×100 = 85% 20 Resolução na calculadora: 1 7 ÷ 2 0 2ndF % = DEG 85 05) Escreva, na forma irredutível, a razão correspondente a 60% e 68%. Resolução algébrica a: 60 6:2 3 = 0 ,6 = = 100 10 : 2 5 Resolução na calculadora: 6 0 2ndF % DEG 0.6 Resolução algébrica b: 68 68 : 4 17 = 0,68 = = 100 100 : 4 25 Resolução na calculadora: 6 8 2ndF % DEG 0.68 OBS.: Com base nos resultados da questão acima é que os professores do ensino médio e fundamental devem reavaliar os seus conceitos sobre o uso ou não das calculadoras em sala de aula, vez que, usando palavras do próprio PCN – Matemática onde diz que a calculadora “é um recurso útil para verificação de resultados, correção de erros, podendo ser um valioso instrumento de auto-avaliação”. Ou seja, se o aluno não aprendeu como
  37. 37. transformar números decimais em fração e vice-versa, ou mesmo a comparar valores, de nada adiantará a calculadora em suas mãos, já que nessa questão (05) ela servirá apenas como um instrumento para tirar dúvidas do aluno, para que ele veja se está no caminho certo ou não da atividade. O erro ou acerto da questão vai depender apenas do raciocínio do aluno. 5. 10 Potências e raízes de números racionais Dado um número racional a e um número natural n, com n > 1, a expressão an representa uma multiplicação de n fatores iguais ao número a. Raiz quadrada é cada fator que representa um produto de dois fatores positivos e iguais. Eleva um número ou base ao quadrado. x2 yx Eleva um número ou base a qualquer expoente. Raiz quadrada. Aplicações: [ ] [ ] 01) Calcule: (2,1)9 × (2,1)6 ÷ (2,1)3 . 4 Resolução algébrica: [(2,1) ]÷ [2,1] 9+ 6 3⋅ 4 = (2,1) ÷ (2,1) = (2,1)15−12 = (2,1)3 = 9,261 15 12 Resolução na calculadora: ( ( 2 • 1 ) yx 9 x ( 2 • 1 ) yx 6 ) ÷ ( ( 2 • 1 ) yx 3 ) yx 4 =  3  7  3  6   3 10  3  8  02) Calcule:   ÷    ×   ÷    . 2   2   2    2      DEG 9.261
  38. 38. Resolução algébrica:  3  7− 6   3  10 −8     ×    =  2    2       1 2 3 3   ×  = 2 2 1 +2 3   2 3 27 3 =  = 8 2 Resolução na calculadora: ( ( 3 ÷ 2 ) yx 7 ÷ ( 3 ÷ 2 ) yx 6 ) x ( ( 3 ÷ 2 ) yx 1 0 ÷ ( 3 ÷ 2 ) yx 8 ) DEG = 3.375 (8 ) 4 7 03) Calcule: (8 8 ×8 . ) 3 Resolução algébrica: 8 4×7 (8 ) 8+1 3 = 8 28 = 8 28 −27 = 81 = 8 9 ×3 8 Resolução na calculadora: ( 8 yx 4 ) yx x 8 ) yx 3 = 7 ÷ ( 8 yx 8 DEG 8 81 . 225 04) Calcule: Resolução algébrica: 81 225 = 9 15 Resolução na calculadora: 8 1 DEG 9
  39. 39. 2 2 DEG 5 15 6,76 . 05) Calcule: Resolução algébrica: 676 676 26 = = = 2,6 100 100 10 Resolução na calculadora: 6 • 7 DEG 6 2.6 Resolução na calculadora científica Windows: 6 • 7 6 Inv x^2 2.6 5. 10. 1 Adição algébrica, Multiplicação, Divisão e Potenciação de números inteiros Toda expressão numérica que contém somente as operações de adição e subtração representa uma adição algébrica. Aplicações: 01) Calcule: 3 − {− 16 + [20 − (− 12 + 15) − 6]}. Resolução algébrica: 3 − {−16 + [ 20 − (+3) − 6]} 3 − {−16 + [ 20 − 3 − 6]} 3 − {−16 + [ +11]} 3 − {−16 + 11} 3 − {−5} = 3 + 5 = 8 Resolução na calculadora: 3 ─ ( ─ 1 6 + ( 2 0 ─ ( ─ 1 2 + 1 5 ) ─ 6 ) ) =
  40. 40. DEG 8 02) Calcule: 42 + (− 30) ÷ (+ 2) . Resolução algébrica: 42 + (−15) 42 − 15 = 27 Resolução na calculadora: 4 2 + 3 0 +/─ ÷ 2 = DEG 27 5. 10. 2 Adição algébrica, Multiplicação, Divisão e Potenciação de números racionais O conjunto formado pelos números que podem ser escritos como o quociente de dois números inteiros, como divisor diferente de zero, é denominado conjunto dos números racionais e é representado pela letra Q (vem da palavra quociente). Aplicações: 01) Calcular: − 5 1 + 3− . 9 6 Resolução algébrica: − 10 54 3 41 + − = 18 18 18 18 Resolução na calculadora: 5 ÷ 9 +/─ + 3 ─ 1 ÷ 6 = DEG 2.277777778 02) Calcular: 6  5  2  +  − 4 +  −  − + 1,5  − 0,8 . 8  7  4  Resolução algébrica: = 6 4 7 2 15 8 − + + − − 8 1 5 4 10 10
  41. 41. 30 160 56 20 60 32 − + + − − 40 40 40 40 40 40 146 ÷ 2 73 = = 40 ÷ 2 20 = Resolução na calculadora: ( 6 ÷ 8 ) + ( ─ 4 + ( 7 ÷ 5 ) ) ─ ( ( ─ 2 ÷ 4 ) + 1 • 5 ) ─ • 8 = ) ÷ ( 8 ÷ +/─ =  2  03) Calcular:  −  ÷  +  7  DEG ─3.65 8  3  −  +  ⋅ (− 4) . 7  8 Resolução algébrica:  2  =  −  − −  8  3  − 2 + 12 5 = = 2 8 4 Resolução na calculadora: ( ─ 2 ÷ 7 ─ ( 3 ÷ 8 ) ) yx x 4 7 ) DEG 1,25 −2 2 04) Calcular:  +  .    5 Resolução algébrica: = 2 25  5 =  = 2 4  2  2   5 1 Resolução na calculadora: ( 2 ÷ 5 2 +/─ = DEG 6.25
  42. 42. 5. 10. 3 Potências de base dez Qualquer potência de base 10 com expoente natural é igual ao número formado pelo algarismo 1 seguido de tantos zeros quantas forem as unidades do expoente. Para transformar as potências em números decimais usamos a tecla: 10 x Potência de base dez. Aplicações: Resolução algébrica: 103 = 1000 Resolução na calculadora: 3 10 x 2ndF DEG 1000 Resolução algébrica: 10-5 = 0,00001 Resolução na calculadora: 5 +/─ 10 x 2ndF DEG 0.00001 Para verificar a que potência está elevada a base dez usamos a tecla: Log Logaritmo de base 10 ou decimal. Resolução algébrica: 0,000001 = 10-6 Resolução na calculadora: 0 • 0 0 0 0 0 Log 0 1 Log DEG ─6 Resolução algébrica: 10000 = 104 Resolução na calculadora: 1 0 0 0 DEG 4
  43. 43. Para resolver as equações à calculadora serve apenas como um simples recurso para que, na medida em que você vai respondendo, você a usa para resolver os cálculos que vão aparecendo. 5. 10. 4 Notação científica Por uma questão de padronização, os cientistas utilizam uma escrita simplificada, para trabalhar com números muito grandes e também números muito pequenos, que é chamada notação científica. Os números escritos em notação científica são expressos através de um produto, um número entre 1 e 10 multiplicado por uma potência de 10. Aplicações: 01) 8 700 000 000 000 m = 8,7.1012 m 02) 0,000036 cm = 3,6.10-5 cm Para inserirmos esses números na calculadora utilizamos a tecla 8 • 7 EXP 1 Para simplificarmos a expressão EXP DEG 2 8.7 12 12 ⋅ 10 9 ⋅ 2 ⋅ 10 7 que é igual a 4.1010 , temos que 6 6 ⋅ 10 operacionalizar da mesma forma como já foi realizado anteriormente, a resposta pode aparecer em notação científica ou não, depende do tamanho do número e de dígitos que tem a calculadora: Resolução na calculadora: 1 EXP 2 EXP 6 9 x 2 EXP 7 ÷ 6 DEG = 4. 10 Quando um resultado está no sistema decimal e você queira ver no sistema de notação cientifica, basta teclar o sistema decimal. 03) 1.10-5 + 1.10-3 Resolução algébrica: F↔E . Se teclarmos uma segunda vez, o número volta para
  44. 44. 0,00001 + 0,001 = 0,00101 ou 1,01.10-3 Resolução na calculadora: 1 EXP 5 +/- + 1 EXP 3 +/- = DEG F↔E DEG F↔E DEG 0.00101 1.01-03 0.00101 5. 11 Ope rações com medidas de ângulos Denominamos ângulo a região convexa formada por duas semi- retas não-opostas que têm a mesma origem. A medida de um ângulo é dada pela medida de sua abertura, e a unidade padrão utilizada é o grau, representado pelo símbolo º após o número. Mas há ângulos que não possuem como medida um número inteiro de graus. Como não é costume utilizar decimais em medidas de ângulos, utilizamos os submúltiplos do grau que é o minuto e o segundo. Grau “ ° ” 1° = 60′ Minuto “ ′ ” 1′ = 60″ Segundo “ ″ ” 1° = 3600″ DMSD Converte número decimal em grau, minuto e segundo. DEG Converte grau, minuto e segundo em número decimal. Para escrevermos a medida de um ângulo utilizamos o minuto e o segundo cuja base de numeração é 60. Aplicações: 01) Expressar 15°12′ em minutos. Resolução algébrica: 15 x 60 + 12 = 912 Resolução na calculadora: 1 5 • 1 2 DEG DEG 15.2
  45. 45. x 6 0 DEG = 912 Resp.: 15°12′ = 912′ 02) Expressar 9140″ em graus, minutos e segundos. Resolução algébrica: 9140 60 314 300 140 120 20″ 60 152 60 120 2° 32′ Resolução na calculadora: 1 4 0 ÷ 6 0 = DEG ÷ 9 6 0 = DEG 152.333333 2.538888889 2ndF DMSD DEG 2.322000 Resp.: 9140″ = 2°32′20″ (2 graus, 32 minutos e 20 segundos) 5. 11. 1 Simplificando os resultados Em algumas situações, principalmente nas operações com medidas de ângulo, precisamos simplificar os resultados obtidos. Aplicação: 01) Simplificar 28°86′90″. Resolução algébrica: 28 29° 90 +1 +1 86 – 60 – 60 27′ 30″
  46. 46. Resolução na calculadora: 2 8 • 8 6 9 DEG DEG DMSD DEG 0 2ndF 29.45833333 29.273000 Resp.: 28°86′90″ = 29°27′30″ 5. 11. 2 Adição e Subtração Para adicionar duas ou mais medidas de ângulos, devemos adicionar segundos com segundos, minutos com minutos e graus com graus, fazendo a simplificação, quando necessário. Para subtrair duas medidas de ângulos, devemos subtrair segundos de segundos, minutos de minutos e graus de graus. Em alguns casos, devemos fazer transformações para realizar as subtrações. Aplicações: 01) Calcular 13°18′30″ + 20°6′15″. Resolução algébrica: 13° 18′ 30″ + 20° 6′ 15″ 33° 24′ 45″ Resolução na calculadora: 1 3 • 1 6 1 5 8 3 0 = Resp.: 33°24′45″ 02) Calcular 77° ─ 42°25′32″. Para resolver é preciso transformar 77° em 76°59′60″. Resolução algébrica: 76° 59′ 60″. ─ 42° 25′ 32″ 34° 34′ 28″ + 2 0 • 0 DEG 33.2445
  47. 47. Resolução na calculadora: 7 6 • 5 5 3 2 9 6 0 ─ 4 = 2 • 2 DEG 34.3428 Resp.: 34°34′28″ 5. 11. 3 Multiplicação e Divisão por um Número Natural Para multiplicar uma medida de ângulo por um número natural, devemos multiplicar esse número pelos segundos, minutos e graus, já a divisão devemos dividir esse número pelos graus, minutos e segundos, fazendo as simplificações e transformações quando necessário. Aplicações: 01) Calcular 6°15′18″ x 5. Resolução algébrica: 6° 15′ 18″ x5 30 75 +1 +1 90 – 60 – 60 31° 30″ 16′ Resolução na calculadora: 6 • 1 5 1 8 x 5 = DEG 30.759 DEG 2ndF Resp.: 31°16′30″ 02) Calcular 48°36′18″ ÷ 2. Resolução algébrica: DEG DMSD DEG 31.275 31.163000
  48. 48. 48° 36′ 18″ 2 0 24° 18′ 9″ 0 0 Resolução na calculadora: 4 8 • 3 6 1 8 ÷ 2 = DEG 24.1809 Resp.: 24°18′09″ Observação: Sempre lembrando que a calculadora é um simples instrumento para tirar dúvidas, vez que nem todos os cálculos ela pode resolver de forma satisfatória sem que ocorra uma devida adequação dos números. Quando se trabalha com minutos e segundos, sempre utilizamos uma casa decimal para cada um. Se o resultado for para casa centesimal o resultado e/ou cálculo fica comprometido. Lembre-se, o que interessa é o desenvolvimento intelectual e o raciocínio do aluno. 03) Calcular 25°17′21″ ÷ 3. Resolução apenas na calculadora: 2 5 • 1 7 2 1 ÷ 3 = DEG 8.3907 Resp.: Só que a resposta correta é 8°25′47″ 5. 12 Calculando o tempo Durante um longo período de sua história, o homem dividiu o tempo em dia e noite. Com a necessidade crescente de medir o tempo, surgiram a hora, o minuto e o segundo. O dia foi dividido em 24 horas. A hora, 60 minutos. O minuto, em 60 segundos. Aplicações: 01) Sabendo que a taxa fixa da Internet é de R$20,00, mais 15 centavos de real (R$0,15) a cada minuto de uso. Quanto gastará Leidiane se, durante o mês, utilizar por 12h30min? Resolução algébrica: V = tx + Vmin × tp tp = 12h30min = 12 × 60 + 30 = 750min. V = 20 + 0,15 × 750 = 132,50 .
  49. 49. Resolução na calculadora: 1 0 • 3 0 x 2 2 6 0 + • 1 DEG DEG 12.5 DEG = 5 750 x 7 5 0 = DEG 132.5 Resp. Ela gastará R$132,50 02) Quantas horas ela poderá utilizar a Internet, se quer gastar, no máximo, R$85,00 no mês? Resolução algébrica: V = 85 → 85 = 20 + 0,15 × tp tp ≅ 433,33 = 7h13min20seg. A fórmula uma vez montada corretamente pode ser colocada na calculadora diretamente com algumas ressalvas: tp = 85 − 20 0,15 Resolução na calculadora: 5 ─ 2 0 = DEG ÷ 8 • 1 5 = DEG 0 = DEG 65 433.3333333 Para transformar em hora: ÷ 2ndF 6 DMSD 7.22222222 DEG 7.132000 Resp. Vai utilizar por 7h13min20seg. 5. 13 O núme ro π (pi) O número pi, representado pela letra grega π, por ser um número irracional, nas aplicações utilizamos uma aproximação do valor de π, em geral 3,14. Em muitas calculadoras há uma tecla que fornece o valor de π, com um número maior de casas decimais.
  50. 50. π A constante pi (π = 3.141592654) Aplicações: 01) Uma circunferência tem 12 cm de raio. Qual é o comprimento aproximado dessa circunferência? Resolução algébrica: fórmula : comprim.circunf C = π logo = π ⇒ C = π2r ∴ C = 2πr med.diâmetro 2r C = 2 ⋅ 3,14.12 C ≅ 75,36cm Resolução na calculadora: 2 x 2ndF π x 1 2 DEG = 75.39822369 02) Qual é o comprimento x de um arco de 60° numa circunferência que tem 21 cm de raio? Resolução algébrica: 360° ——— 2πr x= 60° ——— x 2πr ⋅ 60 ⇒ 360 x 2 x= 2 ⋅ π ⋅ 21 ⋅ 60 ∴ x ≅ 21,99 cm 360 Resolução na calculadora: 2 x 6 2ndF 0 π 1 x 6 0 ÷ 3 DEG = 21.99114858 Resp.: O arco tem 21,99 cm aproximadamente. 5. 14 Potência de um número real com expoente natural Dado um número real a e um número natural n, n ≠ 0, a expressão an , denominada potência, representa um produto de n fatores iguais ao número real a. Aplicações: 3 2 01) Calcular  −  .    3 Resolução apenas na calculadora: 2 +/─ yx 3 = DEG ─8
  51. 51. 3 yx +/─ 3 DEG = ─27 02) Calcular (─2,4)3 . Resolução apenas na calculadora: 2 • 4 yx +/─ 3 DEG = ─13.824 5. 14. 1 Potência de um número real com expoente inteiro negativo n Para todo número real a, com a ≠ 0, temos a-n = 1 1 =   , sendo n um número   n a a natural diferente de zero. Aplicações: 01) Calcular 23 ÷ 24 . Resolução apenas na calculadora: yx 2 3 ÷ yx 2 4 DEG = 0.5 02) Calcular (− 4) −1 . Resolução apenas na calculadora: 4 yx +/─ 1 +/─ DEG = ─0.25 −1 4 03) Calcular   .   5 Resolução apenas na calculadora: ( 04) Calcular 4 ÷ 5 ) 2 . 4 −2 Resolução apenas na calculadora: yx 1 +/─ = DEG 1.25
  52. 52. 2 ÷ yx 4 ( 05) Calcular 9 −1 + 6 −2 ) −1 2 DEG +/─ 32 . Resolução apenas na calculadora: ( yx 9 1 1 +/─ +/─ + yx 6 2 +/─ ) yx DEG = 7.2 1 06) Calcular 15 5 . Resolução apenas na calculadora: 1 yx 5 ( 1 ÷ 5 ) = DEG 1.718771928 5. 15 Calculando com radicais (raiz enésima de um núme ro real) Quando o número real a é positivo ( a > 0) e n é um número natural par, diferente de zero, dizemos que a expressão n a é igual ao número real positivo b tal que bn = a. Quando o número real a é negativo (a < 0) e n é um número natural par, diferente de zero, a expressão n a não é definida no conjunto dos números reais. Dado um número real a e sendo n um número natural ímpar, a expressão n a é um único número real b tal que bn = a. Raiz quadrada 3 Raiz cúbica x Raiz enésima Aplicações: 01) Calcular o valor de 5 243 . Resolução apenas na calculadora: 2 4 3 2ndF x 5 = DEG 3
  53. 53. 02) Calcular o valor de 36 . Resolução apenas na calculadora: 3 DEG 6 6 − 36 . 03) Calcular o valor de Resolução apenas na calculadora: 3 6 E +/─ DEG 0 Resp. não se define em R. 04) Calcular o valor de − 36 . Resolução apenas na calculadora: 3 6 DEG +/─ ─6 (− 4 )2 . 05) Calcular o valor de Resolução apenas na calculadora: 4 +/─ x2 06) Calcular o valor de 3 DEG 4 − 27 . Resolução apenas na calculadora: 2 7 +/─ 2ndF 3 x DEG = ─3 07) Dê o valor da expressão 4 16 − 3 − 8 . Resolução apenas na calculadora: 1 = 6 2ndF x 4 ─ 8 +/─ 2ndF 3 DEG 4
  54. 54. 5. 16 Juro Simples Juro simples é toda a compensação em dinheiro que se paga ou se recebe pela quantia que se empresta ou pede emprestada, a uma taxa combinada, por um prazo determinado, produzida exclusivamente pelo capital inicial. A taxa é o fator de proporcionalidade para o cálculo dos juros. Assim: J = C · i· n C: capital inicial; J: juro simples i: taxa de juros; n: número de períodos Aplicações: 01) Aline empresta do Banco 14000 reais por três meses a uma taxa de juro de 2,6% ao mês. Qual a quantia que ela deve pagar de juro e qual o total que terá de pagar no fim do empréstimo? Resolução algébrica: 1ª parte: Indicando por J é a quantia que ela vai pagar de juro, assim temos: J = C⋅i⋅ n J = (2,6%de14000) ⋅ 3 J = 14000 ⋅ 0,026 ⋅ 3 J = 1092 2ª parte: Ao todo, ela terá que pagar: 14000 + 1092 = 15092 Resposta: Ela vai pagar 1092 reais de juros e pagará no total, 15092 reais. Resolução na calculadora: 1ª parte: 2 • 2ndF 6 % x 1 4 0 0 0 x 3 DEG = 1092 2ª parte: + 1 4 0 0 0 = DEG 15092 02) Um reprodutor de DVD custa 480 reais à vista. Em 5 prestações mensais, o preço passa a ser de 696 reais. Qual é a taxa de juro cobrada ao mês por essa loja?
  55. 55. Resolução algébrica: (696 − 480 ) × 100 = 9% (480 × 5 ) Resolução na calculadora: ( 6 9 6 ─ 8 0 x 5 ) 4 2ndF 8 0 % ) = ÷ ( 4 DEG 9 A taxa de juros é de 9% ao mês. 5. 17 Memória Recurso usado para guardar ou armazenar na memória um número ou um resultado parcial ou final. X-M Memory-in: limpa da memória o valor armazenado. RM Recall memory: chama o valor armazenado na memória. M+ Memory plus: adiciona o número do visor na memória. +/─ Change sing key: muda o sinal do número que está no visor para positivo ou negativo, vice-versa. O “M” que aparece no visor é para indicar que existe um número ou um resultado que está na memória. Este resultado permanece mesmo com a calculadora desligada. Para limpar um número que está na memória , primeiro tecle ON/ C OBS.: para subtrair um número da memória basta teclar ordem. Aplicação: Operações algébricas: ganha35 × 20 = 700 ganha 40 × 70 = 2800 depois a tecla +/─ e M+ X-M . nessa
  56. 56. perde250 + 80 = 330 ganha 38 − 8 = 30 Total = 3200 Na calculadora: 3 5 x 2 0 4 0 x 7 0 5 0 + 8 0 3 8 ─ 8 M+ = +/─ DEG 700 M M+ 2 M M+ DEG 2800 M M+ DEG -330 M DEG 30 RM M DEG 3200 ON/ C M DEG 0 DEG 0 X-M 5. 18 Trigonometria A Trigonometria é uma palavra de origem grega (trigonos = triângulo + metrein = medir) que trata da resolução de problemas sobre triângulos recorrendo às razões seno, cosseno e tangente e às relações entre elas. sin sin -1 cos tan cos -1 tan -1 Razões trigonométricas Ângulos As teclas acima são das funções trigonométricas e inversas trigonométricas. Tabela importante Os ângulos de 30°, 45° e 60°, considerados notáveis, aparecem com freqüência em muitos problemas. Para as razões trigonométricas relacionadas a esses ângulos é mais conveniente usar os valores indicados abaixo:
  57. 57. Ângulo Seno Cosseno Tangente 30° 1 2 3 2 3 3 45° 2 2 2 2 1 60° 3 2 1 2 90° 1 0 3 Não existe Aplicações: Verificando na calculadora cientifica. 01) cos 3 2 = 30° 3 ÷ 2 = 2ndF 2ndF cos -1 sin -1 DEG 30 02) sen 1 2 = 30° 1 ÷ 2 = DEG 30 03) tan 1 = 45° 1 2ndF tan -1 DEG 45 04) ângulo 30° = sen 1/2 or 0,5 3 0 sin DEG 0.5 05) ângulo 45° = tan 1 4 5 tan DEG 1 5. 18. 1 As relações trigonométricas nos triângulos retângulos Em todo triângulo retângulo, o seno de um ângulo agudo é a razão entre a medida do cateto oposto a esse ângulo e a medida da hipotenusa, o cosseno de um ângulo agudo é a
  58. 58. razão entre a medida do cateto adjacente a esse ângulo e a medida da hipotenusa e a tangente de um ângulo agudo é a razão entre as medidas dos catetos oposto e adjacente a esse ângulo. sen = cat.oposto hipotenusa cos = cat.adjacente hipotenusa tg = cat.oposto cat.adjacente Aplicações: 01) Determine o valor do seno, do cosseno e da tangente do ângulo agudo β no triangulo retângulo ABC. Resolução algébrica: C senβ = 5 ≅ 0,7453 3 Resolução na calculadora: 3 5 5 β B • cosβ = A 2 2 tgβ = 5 ≅ 1,1180 2 ÷ 3 DEG = 0.745355992 2 ≅ 0,666 3 ÷ 5 3 ÷ DEG = 2 0.666666666 = DEG 1.118033989 Para ver o grau do seno, cosseno e tangente basta pegar o valor que apareceu em cada um e usar as teclas que se referem a ângulos. Por exemplo, com o valor do cosseno vamos ver o grau do cosseno e do seno na calculadora. 2 Grau do cosseno Grau do seno ÷ 3 2ndF 2ndF = DEG cos -1 DEG cos Cosseno DEG sin -1 DEG 0.666666666 48.18968511 0.666666666 41.81031489
  59. 59. 02) No triângulo retângulo abaixo, calcular o valor de x e y. Resolução algébrica: 22 x ⇒ x = sen 33 0 ⋅ 22 ∴ x ≅ 11,98 22 y cos 33 0 = ⇒ y = cos 330 ⋅ 22 ∴ x ≅ 18, 45 22 y 33° sen 33 0 = • x Resolução na calculadora: x 3 sin x 2 2 = DEG 3 y 3 3 cos x 2 2 = DEG 11.98205877 18.45075249 Caso queiramos encontrar, na calculadora científica, os catetos utilizando o principio da representação geométrica, basta pensarmos que o triângulo esteja em um gráfico: xy Converte coordenadas polar em coordenadas retangular. rθ Converte coordenadas retangular em coordenadas polar. a Usado durante a conversão de coordenada quando é o x da coordenadas retangular (x, y). b Usado durante a conversão de coordenada quando é o y da coordenadas retangular (x, y). y y 22 33° y • x x x
  60. 60. Resolução na calculadora: 2 2 a 3 3 b 2ndF xy DEG 18.45075249 b DEG a DEG 11.98205877 18.45075249 03) Uma pessoa está a distância de 84m da base de um prédio e vê o ponto mais alto do prédio sob um ângulo de 23° em relação à horizontal. Qual a altura do prédio? Resolução algébrica: x = tg 23o ⋅ cat.adjacente x = tg 23° ⋅ 84 x ≅ 35,65m 5 x 23° 84m Resolução na calculadora: 2 3 tan x 8 4 = DEG 35.65588456 Resp.: A altura do prédio é 35,65 m aproximadamente. 5. 19 Estudando as relações trigonométricas em um triângulo qualquer Os problemas de Trigonometria envolvendo triângulos eram resolvidos recorrendose a triângulos retângulos. Mas, na prática, nem sempre temos essa facilidade. Muitos dos problemas trigonométricos envolvem triângulos acutângulos ou obtusângulos em sua resolução. 5. 19. 1 Lei (ou teorema) dos Senos Em todo triângulo, as medidas dos lados são proporcionais aos senos dos ângulos opostos, e a constante de proporcionalidade é a medida do diâmetro do círculo circunscrito a esse triângulo.
  61. 61. Considerando o triângulo acutângulo ABC, em que: A • a, b, c são as medidas dos lados. • h1 é a medida da altura. c • h2 é a medida da altura. b h2 • Onde podemos escrever: c ⋅ sen B = b ⋅ sen C h1 B C a que resulta: c b = sen C sen B Aplicação: 01) Determine a medida x do triangulo acutângulo abaixo. A Resolução algébrica: 8cm Pela Lei dos senos, temos: 60° 8 x 8 ⋅ sen 60 0 = ⇒x= sen 45 0 sen 60 0 sen 450 Logo, a medida x é aproximadamente: 45° B C 4 6 ou ≅ 9,79 x Resolução na calculadora: 8 x 6 0 sin ÷ 4 5 sin = DEG 9.797958971 5. 19. 2 Lei (ou teorema) dos Cossenos Em todo triângulo, o quadrado da medida de um lado é igual à soma dos quadrados das medidas dos outros lados menos o duplo produto das medidas destes lados pelo cosseno do ângulo formado por eles.
  62. 62. Considerando o triângulo ABC, em que: A • a,b,c são as medidas dos lados do triângulo. c • h é a medida da altura relativa ao lado BC do b triângulo. h • x e y são as medidas dos segmentos que a altura x B y C determina sobre o lado BC. a Assim temos: a 2 = b 2 + c 2 − 2bc ⋅ cosA b 2 = a 2 + c 2 − 2ac ⋅ cosB c 2 = a 2 + b 2 − 2ab ⋅ cosC Aplicação: 01) Determine a medida x indicada no triângulo: A 6cm Resolução algébrica: b 2 = a 2 + c 2 − 2ac ⋅ cosB x x 2 = 10 2 + 6 2 − 2 ⋅ 10 ⋅ 6 ⋅ cos60 0 x = 76 ∴ x = 2 19 ≅ 8,717 60° B C 10cm Resolução na calculadora: 1 0 x2 + 6 6 x 6 0 cos x2 ─ = 2 x 1 0 x DEG 76 DEG 8.717797887 5. 20 Relações métricas na circunferência Circunferência é a figura geométrica formada por todos os pontos de um plano que distam igualmente de um ponto fixo desse plano. Esse ponto fixo é chamado centro da circunferência (ponto O), e a distância constante é o comprimento do raio, indicado por r.
  63. 63. A circunferência também apresenta relações métricas entre seus elementos. Vejamos essas relações. Relação entre as cordas PA ⋅ PB = PC ⋅ PD Relação entre secantes PA ⋅ PB = PC ⋅ PD Relação entre secante e tangente 2 PC = PA ⋅ PB Aplicações: 01) Determine a medida x do segmento PD , sabendo que PA = 8 cm, PB = 4 cm e PC = 2 cm. Resolução algébrica pela relação das cordas: PA ⋅ PB = PC ⋅ PD 8⋅4 = 2 ⋅x 8⋅ 4 x= ∴ x = 16cm 2 Resolução na calculadora: 8 x 4 ÷ 2 = DEG 16
  64. 64. 02) Calcular o comprimento r do raio da circunferência, sendo PA = 20 cm e PC = 10 cm. Resolução algébrica pela relação entre secante e tangente. 2 PA = PB ⋅ PC 20 2 = (10 + 2r ) ⋅ 10 400 = 100 + 20r 400 − 100 r= ∴ r = 15cm 20 Resolução na calculadora: 0 0 ─ 1 0 0 = DEG ÷ 4 2 0 = DEG 300 15 5. 21 Unidade de medidas de arcos e ângulos Arco de circunferência é cada uma das partes em que uma circunferência fica dividida por dois de seus pontos. A medida de um arco de circunferência é a medida do ângulo central correspondente. Para medir arcos e ângulos utilizamos o grau e o radiano. Existe uma outra unidade de medida de ângulo pouco usada que chamamos grado 20 . 5. 21. 1 O grau e o radiano Grau é um arco de 1º (lê-se um grau) da divisão de uma circunferência em 360 partes iguais, e o radiano é o arco cujo comprimento é igual à medida do raio da circunferência que o contém. Indicamos, abreviadamente, por rad. Os submúltiplos do grau ( ° ) são o minuto ( ′ ) e o segundo ( ″ ). A circunferência possui 360° que em radiano é 2π e o comprimento do arco (volta completa) é 2πr. 20 O grado foi criado durante a Revolução Francesa, na reforma de pesos e medidas onde se dividia a circunferência em 400 partes iguais e a cada arco unitário da circunferência, chamamos de grado.
  65. 65. Quadro comparativo das medidas em graus e em radianos. Unidade Amplitudes Fundamental Grau 0° Radianos 90° 0 180° 2 360° π π 270° 3π 2 2π 5. 21. 2 Conve rsão de arcos Para se determinar a medida de um arco AB em radianos (α) basta dividir o comprimento do arco (l) pela medida do raio da circunferência que o contém (r). Por exemplo, a medida de um arco AB de comprimento 10 cm, contido numa circunferência de raio igual a 5 cm, é 2 rad, pois: med(AB) = l 10cm = = 2rad r 5cm Como o comprimento da circunferência é C = 2πr, a medida, em radianos, da circunferência toda é: α= C 2πr = = 2π r r Comparando as medidas em graus e em radianos, obtemos: (0, 1) 90° Eixo dos senos π 2 rad 0° (1, 0) Eixo dos cossenos 360° = 2π (-1, 0) 180° = π rad 270° (0,-1) 3π rad 2
  66. 66. Aplicações: 01) RAD DEG π 90° = 2 GRAD 100g = graus radianos grados Na calculadora: DRG RA D 2ndF π ÷ 2 = RAD 1.570796327 RAD cos DRG DEG cos -1 2ndF DEG 90 cos DRG GRAD 0 DEG 0 cos -1 2ndF 02) Expresse em graus o arco de GRAD 100 7π rad . 4 Resolução algébrica: 180° ———— π rad x ———— x= 7π rad 4 7π 4 = 1260π ⋅ 1 = 1260 ∴ x = 315° π 4 π 4 180 ⋅ Resolução na calculadora: DRG RAD DRG π ÷ DEG 4 RAD RAD 0.785398163 0.707106781 cos -1 2ndF x = cos 2ndF 7 DEG = DEG 45 315
  67. 67. Resp.: Portanto 7π rad = 3150. 4 π 03) Expresse o arco de 8 radianos em graus e minutos. Resolução algébrica: Transformar π em graus e dividir pelo denominador, o resultado transformar em minutos para em seguida transforma- lo em graus e minutos. 1350 π = 180° → 120 180 = 22,5° ⇒ 22,5 ⋅ 60 = 1350 ′ 8 60 22° 0150 120 30′ Resolução na calculadora: RAD 2ndF π DRG ÷ DEG 8 π 8 RAD RAD 0.392699081 0.923879532 cos -1 DEG DMSD 2ndF 2ndF Resp.: Logo = cos DRG DEG 22.5 22.300000 rad é igual a 22° 30′. 04) Calcule o valor de sen 1830°. Resolução algébrica: Calcular a 1ª determinação positiva: 1830° 30° 360° → 1830° = 30° + 5 · 360° 5 Logo: sen 1830° = sen 30° ∴ sen 1830° = 1 2 Resolução na calculadora: 1 8 3 0 sin DEG 0.5
  68. 68. 05) Calcule o valor de cos 11π. Resolução algébrica: 11π 11 10 1 1 1  = = + = 5 + ∴ 11π =  + 5  2π = π + 5 ⋅ 2π 2π 2 2 2 2 2  Logo: cos 11π = cos π ∴ cos 11π = ─1 Resolução na calculadora: RA D 2ndF π x 1 = 1 RAD cos DRG RAD 34.55751919 ─1 06) Determine o valor de tg 1845°. Resolução algébrica: 1845° 360° → 1845° = 45° + 5 · 360° 45° 5 Logo: tg 1845° = tg 45° = 1 Resolução na calculadora: 1 8 4 5 07) Determine o valor de tg DEG tan 1 4π . 3 Resolução algébrica: 4π 3π π π 4π π = + =π+ Logo : tg = tg = 3 3 3 3 3 3 3 Resolução na calculadora: DRG RAD 4 x 2ndF π ÷ 3 = tan RAD 1.732050808 08) Calcule a cotg 30°. Resolução algébrica:
  69. 69. cotgx = 1 cos30° ⇒ cotg30° = tgx sen30° 3 3 2 = 2 = ⋅ = 3. 1 2 1 2 Resolução na calculadora: 3 0 tan 2ndF DEG 1/ x 1.732050808 09) Ache o valor da cossec 30°. Resolução algébrica: cos sec x = 1 1 1 1 2 ⇒ cos sec 30° = = = ⋅ =2 sen x sen 30° 1 1 1 2 Resolução na calculadora: 3 0 sin 2ndF DEG 1/ x 2 10) Calcule o valor da sec 60°. Resolução algébrica: sec x = 1 1 1 1 2 ⇒ sec 60° = = = ⋅ =2 cos x cos 60° 1 1 1 2 Resolução na calculadora: 6 0 cos 2ndF DEG 1/ x 2 11) Calcule a área da parte pintada na figura. Para resolver tem que seguir os passos ao lado. 12cm 5cm a. Encontrar o valor da hipotenusa; b. Encontrar o valor do raio dividindo o valor da hipotenusa por 2; c. Encontrar a área do triângulo; d. Encontrar a área da circunferência; e. Subtrair a área do triângulo da área da circunferência.
  70. 70. Resolução algébrica: a. Encontrando o valor da hipotenusa: h2 = a2 + b2 h 2 = 5 2 + 12 2 h = 25 + 144 = 169 ∴ h = 13cm b. Encontrando o valor do raio: 13 ÷ 2 = 6,5 cm c. Encontrando a área do triângulo: A∆ = h ⋅l 5 ⋅ 12 60 ⇒ A∆ = = ∴ A∆ = 30 cm2 2 2 2 d. Encontrando a área da circunferência: S = πr 2 ⇒ S = 3,1415⋅ 6,52 = 3,1415⋅ 42,25 ∴ S ≅ 132,72cm2 e. Subtraindo a área do triângulo da área da circunferência para encontrar o valor da área pintada. 132,72 − 30 ≅ 102,72cm 2 Resolução na calculadora: a 1 x2 2 + x2 5 DEG = 13 b c 1 2 2 = DEG 5 x ÷ ÷ 2 = DEG M+ d 2ndF π x 6 • e 5 ─ x2 30 M ON/ C DEG 0 M = RM 6.5 = Resp.: A área pintada é de aproximadamente 102,73cm2 . DEG 132.7322896 M DEG 102.7322896
  71. 71. 5. 22 Logaritmo A palavra logaritmo vem do grego (logos = razão + arithmos = número) e dizemos que o logaritmo de um número positivo b, na base a, positiva e diferente de 1, é o expoente x ao qual se deve elevar a para se obter b. log a b = x ⇔ b = a x log Logaritmo de base 10 ou decimal ln Logaritmo natural ex Calcula o antilogaritmo natural 10 x Calcula o antilogaritmo de base 10. Forma Exponencial Forma Logarítmica x = logaritmo log b a = x a = potência b = base do logaritmo b =a b = base potência x a = logaritmando 5. 22. 1 Propriedades log a b + log a c 1ª log a (b ⋅ c ) 2ª log a b / c = 3ª log a b m m ⋅ log a b 4ª log b a ⋅ log c b = = log a b − log a c = log c a x = expoente
  72. 72. Para encontrarmos o logaritmo de qualquer base usamos a tecla log da calculadora que indica um logaritmo de base 10, mas para isso, devemos modificar a quarta formula para: log b a = log c a log c b Aplicações: 01) Calcule log 3 81 . Resolução algébrica: 3 x = 81 ⇒ 3 x = 3 4 ∴ x = 4 Resolução na calculadora: 8 1 log ÷ 3 log DEG = 4 02) Calcule log 2 8 . Resolução algébrica: 2 x = 8 ⇒ 2x = 23 ∴ x = 3 Resolução na calculadora: 8 log ÷ 2 log DEG = 3 03) Calcule log 91/9 . Resolução algébrica: 9x = 1 ⇒ 9 x = 9 −1 ∴ x = −1 9 Resolução na calculadora: 1 ÷ 9 = log ÷ 9 log 04) Calcule log 0,01 10 . Resolução algébrica: 0,01x = 10 ⇒ (10 −2 ) = 101 ⇒ −2x = 1∴ x = − x 1 2 = DEG ─1
  73. 73. Resolução na calculadora: 1 0 log ÷ • 0 1 log Podemos também, em vez de usarmos a tecla DEG = ─0.5 usar a tecla log ln que representa o logaritmo natural cuja a base é aproximadamente 2,71828..., que teremos o mesmo resultado. 05) Calcule log 2 8 . 8 ln ÷ 2 ln DEG = 3 Para encontrarmos a base do logaritmo na calculadora científica, devemos fazer o seguinte procedimento: 06) Calcule log a 8 = 3 . Resolução algébrica: a 3 = 8 ⇒ a 3 = 23 ∴ a = 2 Resolução na calculadora: 8 2ndF 3 x DEG = 2 07) Calcule log a 5 = −1 . Resolução algébrica: a −1 = 5 ⇒ 1 1 = 5 → 1 = 5a ∴ a = a 5 Resolução na calculadora: 5 2ndF 1 x +/─ DEG = 0.2 08) Calcule log a 3 4 = 2/3 . Resolução algébrica: a 2 3 =3 4⇒a 2 2 = 2 3 ∴a = 2 3 Resolução na calculadora: 4 2ndF 3 2ndF x ( 2 ÷ 3 ) =
  74. 74. DEG 2 Para encontrarmos o logaritmo de base 10 basta colocar o valor do logaritmo e teclar. 09) Calcule log 36 . Resolução algébrica: 10 x = 36 ⇒ 10 x = 101,55630250 1 ∴ x = 1,556302501 Resolução na calculadora: 3 6 DEG log 1.556302501 Para sabermos o antilogaritmo de base 10, devemos usar a tecla 10 x . Com base nisto encontre o antilogaritmo de log = 1,556302501 , use o resultado acima: Resolução algébrica: 101,556302501 = x ∴ x = 36 Resolução na calculadora: 10 x 2ndF DEG 36 O mesmo acontece se encontrarmos um logaritmo natural. Para encontrarmos seu antilogaritmo de base “e”, devemos usar a tecla ex . 10) Calcule o logaritmo e o antilogaritmo de ln 5 . Resolução algébrica: 2,718281828 x = 5 ⇒ 2,718281828 x = 2,7182818281,609437912 ∴ x = 1,609437912 2,7182818281,60943791 2 = x ∴ x = 5 Resolução na calculadora: ln DEG 2ndF ex DEG Inv ln 5 11) Calcule log x = 0,72342 . 1.609437912 5
  75. 75. Resolução algébrica: 10 0,72342 = x ∴ x = 5,289565508 Resolução na calculadora: • 7 2 3 4 2 10 x 2ndF DEG 5.289565508 Na calculadora do computador tem que ativar Inv que ativa a função inversa. Inv 0 • 7 2 3 yx 3 4 = 2 log 12) Calcule log 4 x = 3 . Resolução algébrica: 4 3 = x ∴ x = 64 Resolução na calculadora: 4 DEG 64 5. 23 Progressão Aritmética Progressão aritmética é toda seqüência de números na qual cada termo, a partir do segundo, é a soma do anterior com uma constante. Essa constante, que é indicada por r, é denominada razão da progressão aritmética. A razão de uma progressão aritmética é a quantidade que acrescentamos a cada termo para obter o seguinte, dizemos que ela é igual à diferença entre qualquer termo, a partir do segundo, e o anterior. a n +1 = a n + r, ∀ n ∈ Ν ∗ 5. 23. 1 Fórmula do termo ge ral de uma PA a n = a 1 + (n − 1)r Aplicações:

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