Estudo dos angulos de um triangulo

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Estudo dos angulos de um triangulo

  1. 1. Dados 3 pontos A, B e C, nãocolineares, isto é, nãoalinhados, chama-seTriângulo à região do planolimitada pelos segmentosAB, AC e BC, denominadoslados, sendo A, B e C os seusvértices. Os ângulos internossão representados por A, B eC, ou simplesmente A, B e C.
  2. 2. Na figura acima, teremos então:Soma dos ângulos internos: x + y + z = 180ºSoma do ângulos externos: E1 + E2 + E3 = 360ºEm todo triângulo, um ângulo externo é igual àsoma dos ângulos internos não adjacentes, ouseja:E1 = y + zE2 = x + yE3 = x + z
  3. 3. Vamos provar as três propriedadesacima:A primeira é imediata, a partir da observaçãoatenta da figura abaixo, se lembrarmos que osângulos alternos internos possuem a mesmamedida. Assim, x = m e y = n. E como sabemosque z + m + n = 180º, vem finalmente: x + y + z= 180º
  4. 4. Para provar a segunda, basta observar que x + E1 = z + E2= y + E3 = 180º.Logo, podemos escrever: (x + E1 ) + ( z + E2 ) + ( y + E3 ) =180º + 180º + 180ºArrumando convenientemente, vem:x + y + z + E1 + E2 + E3 = 540ºE como x + y + z = 180º , substituindo, vem:180º + E1 + E2 + E3 = 540ºDe onde finalmente tiramos: E1 + E2 + E3 = 360ºPara provar a terceira, observe que podemos escrever:x + y + z = 180º = x + E1, de onde tiramos: E1 = y + z. Osoutros casos, são análogos.
  5. 5. Outra propriedade importante dos triângulos é que amedida de qualquer lado é menor que a soma das medidasdos outros dois.Sendo a , b e c as medidas dos lados de um triânguloqualquer, teremos sempre:a<b+cb<a+cc<a+bconhecidas como Desigualdades Triangulares.DICA: se um triângulo possui dois lados medindo a e b, oterceiro lado estará compreendido entre |a - b| e (a + b).Assim, por exemplo, se um triângulo possui dois lados demedidas 10 e 30, o terceiro lado estará compreendidoentre 30-10 e 30+10, ou seja, entre 20 e 40.
  6. 6. Os triângulos podem ser classificados quanto à medida dos lados em:EQUILÁTEROS: medidasdos lados iguais; comoconsequência disto , os3 ângulos internos deum triânguloequilátero sãocongruentes, isto é,possuem a mesmamedida e, portantocada ângulo mede 60°.
  7. 7. ISÓSCELES: possuemdois lados com medidasiguais. O terceiro ladochama se base.Verifica-se facilmente,que os ângulos da basede um triânguloisósceles possuemmedidas iguais, ou seja,são congruentes.
  8. 8. ESCALENO: possui os trêslados desiguais.Infere-se , portanto, quetodo triângulo equiláteroé isósceles, o quesignifica que o conjuntode todos os triângulosequiláteros é umsubconjunto do conjuntode todos os triângulosisósceles
  9. 9. Os triângulos podem ser classificadosquanto às medidas dos ângulos internos,em:RETÂNGULO: possuem um ângulo reto ( 90° ).O lado oposto ao ângulo reto é chamadohipotenusa e os outros 2 lados, são chamadoscatetos.
  10. 10. ACUTÂNGULO: todos os ângulos são agudosOBTUSÂNGULO: possui um ângulo obtuso
  11. 11. Elementos lineares de um triânguloMediana - é o segmento que une um vértice ao pontomédio do lado oposto. Conclui-se que todo triângulopossui 3 medianas; o ponto de interseção das 3medianas de um triângulo, encontram-se em umponto denominado BARICENTRO ou CENTRO DEGRAVIDADE do triângulo.
  12. 12. Altura - é o segmento que une um vértice aolado oposto (ou ao prolongamento deste),sendo perpendicular a esse lado. As 3 alturasde um triângulo passam por um mesmo ponto,chamado ORTOCENTRO do triângulo.
  13. 13. Bissectriz interna - é o segmento que divide cadaângulo interno do triângulo, em 2 ângulos iguais. As 3bissectrizes internas de um triângulo passam por umponto chamado INCENTRO do triângulo. O incentro éo centro da circunferência inscrita no triângulo, istoé , da circunferência que tangencia os 3 lados dotriângulo.
  14. 14. Mediatriz - é a reta perpendicular ao lado, passandopelo ponto médio do mesmo. As 3 mediatrizes dequalquer triângulo passam por um mesmo ponto,chamado CIRCUNCENTRO, que é o centro dacircunferência circunscrita ao triângulo, isto é, dacircunferência que passa pelos 3 vértices dotriângulo.

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