Métodos de levantamento de pontos de detalhes em topografia

1
Aula - LevantamentosAula - Levantamentos
Planimétricos - Métodos dePlanimétricos - Métodos de
levantamento de Pontos delevantamento de Pontos de
DetalhesDetalhes

2
MÉTODOS DE LEVANTAMENTOS TOPOGRÁFICOS:MÉTODOS DE LEVANTAMENTOS TOPOGRÁFICOS:
- PrincipaisPrincipais: triangulação e método da poligonal para a
planimetria, e nivelamento geométrico para a altimetria.
- SecundáriosSecundários: irradiação, coordenadas retangulares,
decomposição em triângulos, ... para a planimetria, e
nivelamento trigonométrico para a altimetria.
Aula 7 - Levantamentos Planimétricos - Métodos de levantamento de pontos de detalhes

3
 Para a topografia regulartopografia regular deve-se utilizar métodos
principais como base, e métodos secundários
para os levantamentos dos detalhes.
 Os métodos principaismétodos principais permitem avaliar e corrigir
os erros de medição (ajustamento de erros)
através de recursos da geometria (ex: cálculo da
poligonal).
 Os métodos secundáriosmétodos secundários não permitem avaliar
os erros (ex:levantamentos de detalhes).

MÉTODOS SECUNDÁRIOS -MÉTODOS SECUNDÁRIOS - MÉTODO DAMÉTODO DA
IRRADIAÇÃOIRRADIAÇÃO
4
É utilizado quando se
deseja determinar as
coordenadas de
pontos de detalhes,
a um sistema de
referência, por meio da
medição de uma
distância e de uma
direção (azimute).
onde: A = vértice de uma poligonal com coordenadas conhecidas.
B = ponto de detalhe que se deseja determinar suas coordenadas.

MÉTODOS SECUNDÁRIOS - MÉTODO DAMÉTODOS SECUNDÁRIOS - MÉTODO DA
IRRADIAÇÃOIRRADIAÇÃO
5
)(.
)(.
ABABAB
ABABAB
AZsenDXX
AZsenDX
+=
=∆
)cos(.
)cos(.
ABABAB
ABABAB
AZDYY
AZDY
+=
=∆
onde: A = vértice da poligonal
B = ponto de detalhe que se deseja
levantar
Levantamento do ponto de
detalhe B:
a) Dados conhecidos, coordenadas
do vértice A da poligonal: XA; YA;
b) Medir no campo o(s) ângulo(s)
horizontal(is) para o cálculo do
azimute do alinhamento “AZAB”;
c) Medir no campo a distância (DAB);
d) Determinar as coordenadas do
ponto de detalhe B (XB; YB):

ESTAÇÃO LIVREESTAÇÃO LIVRE
6
É utilizado quando é impossível
estacionar o aparelho sobre um
dos pontos de coordenadas
conhecidas (vértices da poligonal
“A” ou “B”), a partir do qual se
pretende determinar as
coordenadas de outro ponto (E).
Neste caso, estaciona o aparelho
no ponto onde se deseja
determinar as coordenadas (E), e
em seguida efetua as visadas para
dois pontos de coordenadas
conhecidas (“A” e “B”).
onde:
A e B = vértices de uma poligonal,
com coordenadas conhecidas;
E = ponto de detalhe que se deseja
determinar suas coordenadas.
YB
YA
XA XB

7
)
.
(
AB
EA
EAAB
D
senD
arcsen
D
sen
D
sen
α
γ
γα
=
=
Levantamento do ponto de detalhe E:
a)Dados conhecidos, coordenadas
dos vértices da poligonal: A (XA; YA) e
B (XB; YB);
b) Estaciona o aparelho em “E” (onde se
deseja determinar as coordenadas) e medir o
ângulo “α”;
c) Medir no campo a distância “DEA” (se o
cálculo das coordenadas de E for pelo
vértice A, ou “DBE” se o cálculo for por B);
d) Calcular o valor do ângulo “γ”:

8
β
γαβ
+=
+−=
ABAE
o
AZAZ
)(180
)cos(.
)(.
AEAEAE
AEAEAE
AZDYY
AZsenDXX
±=
±=
Levantamento do ponto de detalhe E
(ex: canto do prédio):
e) Calcular o valor do ângulo “β” e o
azimute AZAE:
onde, AZAB = azimute do lado AB da
poligonal, que pode ser calculado por:






−
−
=
AB
AB
AB
YY
XX
tgarcAZ .
f) Calcular as coordenadas do ponto de detalhe “E”, pelo vértice da
poligonal “A”:
Formulas Gerais:
X(i+1) = X(i) ± D(i, i+1). sen (Az (i, i+1))
Y(i+1) = Y(i) ± D(i, i+1). cos (Az (i, i+1))
AZEA

INTERSEÇÃOINTERSEÇÃO
9
É utilizado quando não se pode
determinar a distância direta para
um determinado ponto, onde se
deseja determinar suas
coordenadas. (ex: não se pode
medir DAP ou DBP ) .
Contorna-se este problema,
efetuando uma interseção de
visadas, a partir de dois pontos de
coordenadas conhecidas (ex:
vértices da poligonal “A” e “B”),
medindo-se os ângulos “α” e “β”.
XA
YA
XP
YP
dAP
XB
YB
α β

10
Levantamento do ponto de detalhe “P”:
dos vértices da poligonal: A (XA; YA) e
B (XB; YB);
b) Estaciona o aparelho no vértice “A”
e mede o ângulo interno “α” para
calcular o Az(AP):
Az(AP) = Az(AB)(Vante) – α
c) Estaciona o aparelho no vértice “B”
e mede o ângulo interno “β”, para
calcular o Az(BP):
Az(BP) = AZ(BA)(Ré) + β
α β
XA
YB
YA
XB
AZRé(BA)

11
[ ] [ ]
)().(
,
)().(
)()(
)(.)(.
BPBPBP
APAPAP
APBP
BPBBAPAA
P
AZtgYYXX
ou
AZtgYYXX
AZtgAZtg
AZtgYXAZtgYX
Y
−+=
−+=
−
−−−
=
Levantamento do ponto de detalhe “P”
(ex: poste):
c) Determinar as coordenadas do
ponto de detalhe: P (XP; YP):
XP
YP

BILATERAÇÃOBILATERAÇÃO
12
É utilizado para determinar as
coordenadas de um ponto de
detalhe, tendo por base as
medições de duas distâncias,
desde de um ponto de coordenadas
desconhecidas (P), até os dois
pontos de coordenadas conhecidas
(ex: vértices da poligonal “A” e
“B”).
A
B
P
DAP
DBP
Y(N)
X(E)
α
β
AZAP
AZBP

13
BPAB
APBPAB
APAB
BPAPAB
DD
DDD
DD
DDD
..2
cos
..2
cos
222
222
−+
=
−+
=
β
α
Levantamento do ponto de detalhe P:
dos vértices da poligonal: A (XA; YA)
e B (XB; YB);
b) Medir no campo as distâncias “DAP”
e “DBP”, para calcular os ângulos “α”
e “β”:
Obs: “DAB” é a distância do lado AB da poligonal, que pode ser
calculada pelas suas coordenadas, ou medida em campo.

14
β
α
+=
−=
BABP
ABAP
AZAZ
AZAZ
Azimutes :
11
11
:
β
α
−=
+=
BABP
ABAP
AZAZ
AZAZ
Azimutes
Levantamento do ponto de detalhe P
(ex: poste):
c) Calcular os azimutes “AzAP” e “AzBP”,
se o ponto levantado for o “P”:
Obs: Se o ponto levantado for o “P1”, os
cálculos dos azimutes são:
AZV(AB)
AZRé(AB)P1

15
)cos(.
)(.
APAPAP
APAPAP
AZDYY
AZsenDXX
+=
+=
)cos(.
)(.
BPBPBP
BPBPBP
AZDYY
AZsenDXX
+=
+=
Levantamento do ponto de detalhe P
(ex: poste):
d) Calcular as coordenadas do ponto de
detalhe “P”, a partir do vértice “A” da
poligonal:
Pode-se, também, calcular as
coordenadas do ponto de detalhe “P”,
a partir do vértice “B” da poligonal:
ΔX = DAP.sen(AZAP)
XP
YP
XA
YA

16
Aula 9 - Avaliação de Áreas de
Figuras Planas
Universidade Federal do Ceará
Centro de Tecnologia
Departamento de Engenharia de Transportes

17
Um dos objetivos de um levantamentoUm dos objetivos de um levantamento
topográfico é a estimativa da área dotopográfico é a estimativa da área do
terreno com seus limites.terreno com seus limites.
Aula 9 - Avaliação de Áreas de Figuras PlanasAula 9 - Avaliação de Áreas de Figuras Planas

18
A estimativa da área pode ser dada
através de medições realizadas
diretamente no terreno, ou através de
medições gráficas sobre uma planta
topográfica.

19
As áreas que realmente interessam em
todos os trabalhos topográficos são as
da projeção horizontal, isto é, as
denominadas base produtiva, visto
que todas as construções apóiam-se
em projeção horizontal.

20
A área de um terreno é calculada para
todos os fins legais e administrativos,
segundo as projeções horizontais das
linhas que a delimitam.

21
Um terreno plano e um inclinado podem
ter a mesma área legal e administrativa,
mesmo que as suas áreas reais sejam
distintas.

22
Em Topografia a estimativa de uma
área de uma porção do terreno pode
ser obtida em função de uma planta
que representa a sua projeção
horizontal, ou então pelo método
numérico, empregando-se os valores
das coordenadas retangulares dos
pontos limítrofes do terreno.

23
Para se estimar uma área, pode-se
utilizar diversos métodos.
A escolha do método é função de alguns
fatores tais como:
• a precisão desejada;
• a aplicação de medições diretas obtidas
no terreno;
• informações obtidas através de planta
topográficas, etc..

24
A área total do terreno é função da área
da poligonal básica e das áreas extra-
poligonais.

25
 Avaliação de áreas de figuras planas fazAvaliação de áreas de figuras planas faz
parte deste estudo preliminar e tem comoparte deste estudo preliminar e tem como
objetivo informar ao estudante quais asobjetivo informar ao estudante quais as
áreas aproximadas envolvidas por umáreas aproximadas envolvidas por um
determinado projetodeterminado projeto

26
 Método de Equivalências GráficasMétodo de Equivalências Gráficas
DecomposiçãoDecomposição
 TrapéziosTrapézios
 GabaritoGabarito
 Por FaixasPor Faixas
 QuadrículasQuadrículas

 Método Mecânico ou EletrônicoMétodo Mecânico ou Eletrônico
 Planímetro PolarPlanímetro Polar
 Balança de PrecisãoBalança de Precisão
 Método AnalíticoMétodo Analítico
 GaussGauss

27
 Os principais métodos para determinar a
área interna da poligonal, de uma figura
plana são:
a) Decomposição
b) Equivalências Gráficas

28
 Esse processoEsse processo consiste em decompor a poligonalconsiste em decompor a poligonal
topográfica em figuras geométricas conhecidas:topográfica em figuras geométricas conhecidas:
retângulo, triânguloretângulo, triângulo,, trapéziotrapézio, etc, etc..
S
AG h
1
1
2
=
( . )
S
BF h
2
2
2
=
( . )
S
BF h
3
3
2
=
( . )
S
CD FE
h4 4
2
=
+( )
.4321 SSSSS +++=

29
( )
2
1
1
hAG
S
⋅
=
( )
2
2
2
hBF
S
⋅
=
( )
2
3
3
hBF
S
⋅
=
( )
44
2
h
FECD
S ⋅
+
=

30
 Método das faixas: divisão do terreno emdivisão do terreno em
faixas de igual largura.faixas de igual largura.
∑=
×=
n
i
ibhS
1
h = largura da faixa;
n = número de faixas
b = comprimento da faixa
Método de Equivalências Gráficas

31
 Quadrículas:
 A área da figura éA área da figura é
função da área dafunção da área da
quadrícula base (Squadrícula base (SQQ ) e) e
do número dedo número de
quadrículas constantesquadrículas constantes
no terreno (Qno terreno (Qnn ).).
 A precisão da áreaA precisão da área
obtida por este métodoobtida por este método
é tanto maior quantoé tanto maior quanto
menor for a área damenor for a área da
quadrícula.quadrícula. nQ
QsS ⋅=
Método de Equivalências Gráficas

32
Defini-se como área extra-poligonal como
sendo a área definida entre um trecho reto
(lado da poligonal) e a curva limite da área
levantada.
Cálculo de Áreas Extra-PoligonaisCálculo de Áreas Extra-Poligonais
Poligonal
básica
Limite do terreno

33
As áreas extra-poligonais podem ser
internas e/ou externas à poligonal básica.
Cálculo de Áreas Extra-poligonaisCálculo de Áreas Extra-poligonais

34
Dentre os processos analíticos, os mais
usados são os que sub-dividem as
áreas extra-poligonais em pequenos
trapézios.

35
Y1 Y2 Y3 Y4 Yn
X1
X2
X3
X4
Xn
Y
X

36
Quando a área extra-poligonal apresenta
grandes mudanças direcionais (grande
sinuosidade), a figura deve ser decomposta
em trapézios desiguais e suas áreas
parciais serem avaliadas pela equação do
trapézio para determinação da área.

37
Nos casos em que as áreas extra-poligonais
não apresentarem grandes sinuosidades, é
recomendável a aplicação de equações
baseadas na divisão da figura em trapézios
de intervalos regulares, empregando uma
das três fórmulas clássicas: BEZOUT,
PONCELET e SYMPSON.

38
h
bb
h
bb
h
bb
h
bb
A nn
t 




 +
++




 +
+




 +
+




 +
= −
2222
1433221

Fórmula dos trapézios ou de Bezout:
a área extrapoligonal deve ser dividida em um
número de trapézios, de mesma altura h

39
Fórmula dos trapézios ou de Bezout:
221(2/ bbhS +=
).2(
2
:minRe
)2...22(
2
1321
ME
h
S
dosu
bbbbb
h
S nn
+=
+++++= −
onde,
E = bases externas
M =bases internas

40
 Fórmula de Simpson: a área
extrapoligonal deve ser subdividida em um
número par de trapézios.
h
h h h h
R
P
Q
N
M
F
KA V
( )PIE
h
SS 42
3
++×=
E = soma das medidas das
ordenadas externas;
I = soma das medidas das
ordenadas internas de
ordem ímpar;
P = soma das medidas das
ordenadas internas de
ordem par;

41
 Fórmula de Poncelet: considera-se um
número par de trapézios com a mesma altura
32
A
1
C
4
B
765
E
D
hhhh
E1 P4P3E’2 E7E’6p5
hh
J
H
M
O





 −
+××=
4
'
2
EE
PhSP
P = soma das bases de ordem
par;
E = soma das bases extremas;
E’= soma da segunda base
com a penúltima base;

42
Quando as curvas que limitam a superfície forem
simétricas, em relação às perpendiculares ao meio de
suas respectivas cordas, podemos considerá-las como
segmentos parabólicos e avaliar a área compreendida
entre elas e as cordas:
Segmentos ParabólicosSegmentos Parabólicos

43
c = cordac = corda
f = flecha tirada perpendicularmente aof = flecha tirada perpendicularmente ao
meio da cordameio da corda
f*cAt
3
2
=
Segmentos ParabólicosSegmentos Parabólicos
C´
B
B´
A
A´
C
D´ F´E´
E
D
dddd
y1 y4
y3y2 y6y5
d
F

44
 Método é dito mecânico, ou eletrônico,
quando, para a avaliação da área, utilizam-se
aparelhos mecânicos ou eletrônicos.

45
 Planímetro Polar
É um aparelho que consiste de duas hastes
articuladas, um pólo, um traçador, e um
tambor

46
 A diferença do aparelho mecânico para
o eletrônico está na parte integrante.
 O aparelho mecânico, há necessidade
de ler o número de voltas que o
traçador deu ao percorrer o perímetro
de uma determinada figura e, em
função da escala da planta, calcular a
área através de relação matemática

47
 O aparelho eletrônico, por sua vez,
permite a entrada da escala da planta
(através de digitação) e a escolha da
unidade a ser trabalhada;
 Ao terminar de percorrer a figura, este
exibe, automaticamente, o valor da
área num visor de LCD (cristal líquido)
Método Mecânico ou Eletrônico

48
 Planímetro digital utilizado para aPlanímetro digital utilizado para a
determinação da área de uma figuradeterminação da área de uma figura
qualquer (Brandalize, 1999)qualquer (Brandalize, 1999)
Método Mecânico ou Eletrônico

49
 Processo:
Utilizado sempre em superfície plana;
 O pólo deve ser fixado dentro, ou fora, da
figura a medir, dependendo do seu
tamanho;
 As hastes devem ser dispostas de maneira
a formar ângulo reto entre si, assim, é
possível verificar se o traçador contornará
a figura facilmente;
 Escolhe-se um ponto de partida para as

50
 O aparelho deve ser zerado neste ponto;
 Percorre-se o contorno da figura com o
traçador, no sentido horário, voltando ao
ponto de partida;
 Faz-se a leitura do tambor (aparelho
mecânico), ou a leitura no visor (aparelho
eletrônico);
 Para a avaliação final da área, toma-se
sempre a média de (no mínimo) três
leituras com o planímetro;

51
A estimativa da área gerada pelo conjunto de pontos
definidores dos limites de um terreno, pode ser obtida
a partir das coordenadas retangulares destes pontos.
Aula 9 – Avaliações de Áreas – Métodos AnalíticosAula 9 – Avaliações de Áreas – Métodos Analíticos
YA
XB
YB
YD
YC
XD XAXC
Cálculos de Áreas - Processos Analíticos
A
D
C
B

52
1)Método das Duplas Distâncias Meridianas
(DDM)
2) Método das Coordenadas Totais
3) Métodos de HERON

53
• Distância Meridiana (dm) é a distância que vai
do meio de um alinhamento ao eixo meridiano,
ou das ordenadas.
• Dupla Distância
Meridiana (ddm) é o
distância do meio do
lado (base menor +
base maior)/2).
Método das Duplas Distâncias Meridianas (ddm)Método das Duplas Distâncias Meridianas (ddm)

54
b
X2
l
0
1
3
Y2
Y3
Y1
X1 X3
2
a
fe
d
c
h
g
dm1-2
dm2-3
dm0-1
dm3-0
Área do polígono:
(A) = (dm2-3.∆Y2-3 + dm3-0.∆Y3-0) – (dm0-1.∆Y0-1 + dm1-2.∆Y1-2) (1)

55
b
1
2
d
∆∆XX1-21-2/2/2
X20
3
Y2
Y3
Y1
X1 X3
a
fe
c
h
g
dmdm1-21-2
dm0-1
Regra Prática: a distância meridiana de um lado (dm1-2) é igual à
distância meridiana do lado anterior (dm0-1), mais metade da
abscissa do lado anterior (∆X0-1/2), e mais metade da abscissa
do próprio lado (∆X1-2/2).
.
dm0-1 ∆X0-1/2
dm1-2 = dm0-1+ ∆X0-1/2 + ∆X1-2/2

56
Método das Duplas Distâncias Meridianas (DDM)
Regra Prática:
dm1-2 = dm0-1+ ∆X0-1/2 + ∆X1-2/2 (2)
Multiplicando os membros da equação (2) por “2”, fica:
2.dm1-2 = 2.dm0-1+ ∆X0-1 + ∆X1-2 (3)
Fazendo, 2.dm1-2 = d dm1-2 (dupla distância meridiana),
a equação (3), fica:
ddm1-2 = ddm0-1+ ∆X0-1 + ∆X1-2 (4)
Exemplificando o lado 1-2 da poligonal:
3
1
2
0

Regra Prática:
2.A = (ddm0-1.∆Y0-1 + ddm1-2.∆Y1-2) - (ddm2-3.∆Y2-3 + ddm3-0.∆Y3-0) (5)
0
1
2
3
-∆Y2-3
-∆Y3-0
+∆Y0-1
+∆Y1-2
(A) = (dm2-3.∆Y2-3 + dm3-0.∆Y3-0) – (dm0-1.∆Y0-1 + dm1-2.∆Y1-2) (1)
Empregando na equação (1) da dupla distância meridiana
(ddm), iremos obter o dobro da área A:
Tendo então,
2.dm1-2 = d dm1-2 (dupla distância meridiana),

Regra Prática:
0
1
2
3
-∆Y2-3
-∆Y3-0
+∆Y0-1
+∆Y1-2
Chamando os produtos:
∑PN = +(ddm0-1 ∆Y0-1 + ddm1-2 ∆Y1-2)
∑PS = - (ddm2-3.∆Y2-3 + ddm3-0.∆Y3-0)
A equação (5) fica:
2.A = ∑PN - ∑PS
ou seja,
A = (∑PN - ∑PS) / 2

59
Método Analítico – Coordenadas Totais
Sendo conhecido as coordenadas totais
dos vértices da poligonal

A área do polígono “123” pode ser estimada por:

trapeziotrapeziotrapezio
YYYYYYA 211332 123132 −+=
1
2
3
Y2
X1
Y3
Y1
X3X2

61
Desenvolvendo:
1
2
3
Y2
X1
Y3
Y1
X3X2
)(
2
)(
2
)(
2
12
21
13
13
32
32
YY
XX
YY
XX
YY
XX
A −
+
−−
+
+−
+
=

62
Efetuando os produtos, fica:










+−+
−−+−
+−+−
=
12221121
11311333
33233222
2
1
YXYXYXYX
YXYXYXYX
YXYXYXYX
A
)(
2
)(
2
)(
2
12
21
13
13
32
32
YY
XX
YY
XX
YY
XX
A −
+
−−
+
+−
+
=
Sendo:

63
Simplificando e agrupando os termos positivos
de um lado e os negativos de outro:






++−
++
=
)(
)(
2
1
211332
123123
YXYXYX
YXYXYX
A
Simplificando, fica:






+++++−
+++++
=
)(
)(
2
1
222111133332
121131332322
YXYXYXYXYXYX
YXYXYXYXYXYX
A

64
• os termos dos produtos positivos (X3Y2; X1Y3;
X2Y1) são aqueles que têm a ordem do ‘Y’ é
anterior a ordem do ‘X’;
• os termos dos produtos negativos (X2Y3; X3Y1;
X1Y2) são aqueles que têm a ordem do ‘Y’
seguinte a ordem do ‘X’.
Tendo
,






++−
++
=
)(
)(
2
1
211332
123123
YXYXYX
YXYXYX
A

65
A área do polígono pode ser estimada pela
semi-soma dos produtos cruzados das
coordenadas totais.
A convenção de sinais, normalmente,
usada é:
Positiva  nos produtos descendentes
Negativa  nos produtos ascendentes
Regra Mneumônica (Coord. Totais)

66
A resolução por esta regra nada mais é
que a expressão desenvolvida por Gauss,
na forma matricial.

67
Aplicando a regra mneumônica, têm-se:
Produtos Negativos (ascendentes)
Produtos Positivos (descendentes)
1
1
3
3
2
2
1
1
Y
X
Y
X
Y
X
Y
X
A área será a soma total dos produtos, dividida por 2

68
Vértice Coordenadas totais
X Y
A XA YA
B XB YB
C XC YC
D XD YD
E XE YE
F XF YF
A XA YA

PONTO X (m) Y (m) Xn.Y(n-1) ( - ) Xn.Y(n+1) ( + )
1 137.69 206.88 -53203.3296
2 257.17 261.88 -116832.524 +36058.2572
3 446.13 225.5 -73086.805 +57991.835
4 324.11 165.42 -38756.2518 +73798.8246
5 234.29 54.57 -7513.7433 +17686.6827
1 137.69 206.88 +48469.9152
Σ -289392.65 +234005.51
AREA
(-289392.65 + 234005.51) / 2 =
27693.57 m2

70
A expressão deduzida por HERON,
deve ser somente aplicada para áreas
triangulares.
A área total do polígono dar-se-á pela
somatória das áreas triangulares
avaliadas.
Método do semi-pérímetro

71
Este método é geralmente aplicado
quando o levantamento é realizado
por trena, onde o próprio trabalho de
campo fornece a formação de
triângulos, cujos lados podem ser
medidos “in loco”.

72
A
B
C
a
b
c
2
cba
p
++
=
( )( )( )cpbpappA −−−=
Sendo,
Fica,

Métodos de levantamento de pontos de detalhes em topografia

Recomendados

Recomendados

Mais conteúdo relacionado

Mais procurados

Mais procurados (20)

Semelhante a Métodos de levantamento de pontos de detalhes em topografia

Semelhante a Métodos de levantamento de pontos de detalhes em topografia (20)

Métodos de levantamento de pontos de detalhes em topografia