O documento descreve como derivar a equação para o módulo do vetor posição |⃗ ⃗ | em função do tempo t. Ele faz isso expressando o sistema em coordenadas polares e aplicando a regra da cadeia para derivar o módulo. A equação final é |⃗ ⃗ | = √[(r2)ṙ2 + r2θ̇ 2].

1. Descreva a equação |⃗ ⃗ |
, em função de .
Considere .
Descrevendo o sistema em coordenadas polares:
̂ ̂
[ ( ) ]̂ [ ]̂
Logo:
| | [( ) ( ) ]
E
̂ ̂ ̂
| |
⃗⃗⃗
| |
( )
( [ ( ) ] [ ]) ̂
Logo:
⁄
(( ) ( ) )
( [ ( ) ] [ ])

2. Agrupando devidamente os termos e fazendo a regra da cadeia, temos:
⁄
( ) (( ) )
( ) [ ( ) ] [ ]
Note que:
( )
( )
Mas, aplicando regra da cadeia:
( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
Logo, podemos reescrever a equação da seguinte forma:
⁄
( ) (( ) )
( )
( ) [ ( ) ] ( )
Então, temos que:
⁄
(( ) )
( )
[ ( ) ]

3. Reescrevendo a equação:
⁄
(( ) )
[ ( ) ]
Logo, utilizando a notação definida no início da questão:
⁄
[ ]