Questão 03

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Questão 03

  1. 1. Seja a rotacional de um vetor do : ̂ ̂ ̂ ⃗ ⃗ | | | | ̂ ( ) ̂ ( ) ̂ ( )O objetivo é demonstrar que a rotacional de uma força conservativa é nulo.Seja então a seguinte representação: z 4 y 3 x 1 2 y xSabe-se que para uma força conservativa: ∮ ⃗⃗⃗⃗Logo: ∫ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ∫ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ∫ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ∫ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗Para o trecho 1-2, tem-se que: ∫ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ∫Mas, pela aproximação da série de Taylor:Logo, como o movimento de 1-2 é no sentido positivo do eixo y : .Para o trecho 3-4:
  2. 2. ∫ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ∫Mas, pela aproximação da série de Taylor, como a variação neste sentido é negativa,temos:Logo, como o deslocamento é no sentido contrário ao sentido do eixo y: .Analogamente para o trecho 2-3: ∫ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ∫Pela aproximação da série de Taylor, como a variação em relação a x é negativa:Logo, como o deslocamento ocorre no sentido contrário ao eixo x: .Para o trecho 4-1, analogamente: ∫ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ∫ .Logo: ∫ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ∫ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ∫ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ∫ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ( ) ⇒ ( )
  3. 3. A seguir serão mostrados rapidamente os resultados no planos xz e yz. Nestes dois planos também será utilizada a aproximação por fórmula de Taylor e a noção dos sentidos dos eixos. Seja agora o seguinte caminho fechado: 3 z 2z 4 y 1 x x Como a força é conservativa: ∮ ⃗⃗⃗⃗ Logo: ∫ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ∫ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ∫ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ∫ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ Para o trecho 1-2, tem-se que: ∫ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ∫ Mas: Logo, como o deslocamento é no sentido positivo do eixo: . Para o trecho 3-4: ∫ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ∫
  4. 4. Mas:Logo, como o deslocamento é no sentido contrário ao do eixo: .Analogamente para o trecho 2-3: ∫ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ∫Logo: .Para o trecho 4-1, analogamente: ∫ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ∫ .Logo: ∫ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ∫ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ∫ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ∫ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ( ) ⇒ ( ) ( )Seja agora o seguinte caminho fechado: 4 y 3 z z 1 2 y
  5. 5. x Como a força é conservativa: ∮ ⃗⃗⃗⃗ Logo: ∫ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ∫ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ∫ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ∫ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ Para o trecho 1-2, tem-se que: ∫ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ∫ Mas: Logo, como o deslocamento é no sentido do eixo: . Para o trecho 3-4: ∫ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ∫ Mas: Logo, como o deslocamento é no sentido contrário ao eixo: . Analogamente para o trecho 2-3: ∫ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ∫
  6. 6. Logo: .Para o trecho 4-1, analogamente: ∫ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ∫ .Logo: ∫ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ∫ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ∫ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ∫ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ( ) ⇒ ( ) ( )Voltando ao rotacional: ̂ ̂ ̂ ⃗ | | | | ̂ ( ) ̂ ( ) ̂ ( )Mas, pelos cálculos efetuados anteriormente: ( ) ( ) ( )Logo: ⃗Conforme queria-se demonstrar.

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