O documento apresenta os principais conceitos da trigonometria. Aborda triângulos retângulos e as relações trigonométricas neles envolvidas, como seno, cosseno e tangente. Também define ângulos centrais, ciclo trigonométrico e as funções seno e cosseno, apresentando suas propriedades e gráficos.

1. MATEMÁTICA
TRIGONOMETRIA
1. TRIÂNGULO RETÂNGULO III) medida do cateto oposto a α BC B C BC ,
= 1 1 = 2 2 = ... = n n
medida do cateto adjacente a α AB1 AB2 ABn
1.1. Definição essa medida é denominada de tangente de α e indica-
Define-se como triângulo retângulo a qualquer da por tgα.
triângulo que possua um de seus ângulos internos re- 2.2. Demais Razões
to (medida de 90º). 1
Representação e Elementos sec α = , com cos α ≠ 0 , a secante de α
cos α
A
representa o inverso multiplicativo do cos-
seno de α, desde que o mesmo seja diferen-
te de zero.
1
cot gα = , com tgα ≠ 0 , a cotangente de
tgα
α representa o inverso multiplicativo da
tangente de α, desde que a mesma seja dife-
rente de zero.
B C 1
cos sec α = , com senα ≠ 0 , a cossecante
senα
Catetos: lados AB e BC. de α representa o inverso multiplicativo do
Hipotenusa: lado AC (oposto ao ângulo reto). seno de α, desde que o mesmo seja diferen-
2. RELAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS NO te de zero.
TRIÂNGULO RETÂNGULO 2.3. Conseqüências da Definição
c
Cn
C4 β
β
C3 c
β a
C2
β
C1
β
α
A B
β b
Relações:
A a
B1 B2 B3 B4 Bn senα = = cos β(I)
c
b
Observe que os triângulos cosα = = senβ(II)
c
( ∆AB1C1, ∆AB2C2 ,..., ∆ABnCn ) são todos semelhantes en- a 1
tgα = = (III)
tre si, critério AAr. Logo, as razões envolvendo seus b tgβ
elementos correspondentes é constante. Conclui-se, a partir das relações (I), (II) e (III),
2.1. Razões usadas com maior fre- que:
qüência Senα = Cos ( 90º −α ) ,
o seno de um ângulo
medida do cateto oposto a α B1C1 B2C2 BC agudo é igual ao Cosseno de seu comple-
I) = = = ... = n n ,
medida da hipotenusa AC1 AC2 ACn mento.
essa razão é denominada seno de α e indicada por Tgα =
1
, a tangente de um ângulo
senα. tg ( 90º −α )
II) agudo é igual ao inverso multiplicativo da
medida do cateto adjacente a α AB1 AB2 ABn tangente de seu complemento.
= = = ... = ,
medida da hipotenusa AC1 AC2 ACn
essa razão é denominada cosseno de α e indicada por
cosα.
Editora Exato 8

2. 2.4. Relações Fundamentais 4. UNIDADES DE MEDIDAS DO ÂNGULO
C 4.1. Unidade Grau
a Define-se como 1 (um) grau, a medida do ân-
c β
gulo central cujo arco correspondente representa
1
partes da circunferência.
α 360
A B
b Exemplo:
E.1)
a
senα = 
c 2 2 (I)
 → sen α + cos α = 1 , lembre-se que
b A
cosα =
c

c2 = a2 + b 2 (Teorema de Pitágoras).
a 30º
senα = 
c centro B

b senα
cosα =  → tgα = .
c c os α
a 
tgα =
b  
Dividindo a relação (I) por sen2α, temos:
1+ cotg2α = cos sec 2 α . Comprimento do arco AB indicado representa
30
Dividindo a relação (I) pois cos2α, temos: partes da circunferência, visto que o ângulo cen-
360
1+ tg2α = sec2 α .
tral correspondente é 30º.
2.5. Ângulos Notáveis
4.2. Unidade Radiano
Trabalhando com o triângulo eqüilátero e o tri-
Define-se como 1 radiano (unidade rad) a me-
ângulo isósceles retângulo, conseguimos calcular os
dida do ângulo central, cujo arco correspondente re-
valores do seno, cosseno e tangente dos ângulos a-
presenta o mesmo comprimento do raio dessa
baixo. Esses ângulos são denominados ângulos notá-
circunferência.
veis.
Exemplo:
α 30º 45º 60º E.1)
Senα 1 2 3
2 2 2 A
Cosα 3 2 1
R
2 2 2
Tgα 3 1 3 1 rad
3 centro B
3. ÂNGULO CENTRAL
Um ângulo é denominado de central quando
possuir o vértice no centro da circunferência.
A medida de um ângulo central é igual à
O comprimento do arco AB é igual à medida
medida de seu arco correspondente.
do raio da circunferência.
Ilustração:
Conclui-se, pela definição acima, que o ângulo
A central em radiano representa a razão entre o com-
primento de seu arco correspondente e a medida do
raio. Observe a seguir.
0 α = AB
B
Editora Exato 9

3. A
sentido
R anti-horário
(positivo)
centro P(1,0)
α
0 1 sentido
horário
B (negativo)
5.1. Elementos
α=
comp AB ( )
R
Exemplo: 90º
E.1) Determine a medida do ângulo de uma
λ
volta em radiano.
Resolução:
O comprimento da circunferência de raio R é origem 0º
2πR
2πR. Logo, α= = 2πrad .
R
E.2) A ilustração representa os arcos de 90º, 180º 360º
180º, 270º e 360º.
Resolução:
270º
Considere o ciclo trigonométrico acima.
Os eixos cartesianos limitam a circunferên-
cia trigonométrica (λ) em quatro partes de-
nominadas quadrantes e numeradas de 1 a
1 de 1 volta: 90° ou π rad 1 de 1 volta: 180° ou π rad
4 2 2
4, no sentido anti-horário.
1º quadrante: arcos entre 0º e 90º, medidos a
partir da origem.
2º quadrante: arcos entre 90º e 180º, medidos a
partir da origem.
3º Quadrante: arcos entre 180º e 270º, medidos
a partir da origem.
4º Quadrante: arcos entre 270º e 360º, medidos
a partir da origem.
3
de 1 volta: 270° ou 3π rad 1 volta: 360° ou 2 π rad Exemplos:
4 2
E.1)
5. CICLO TRIGONOMÉTRICO π p
90° 2 2 = 1,57
Define-se como ciclo trigonométrico a toda
180° 0°
circunferência orientada, de raio unitário e centro no π 2p π = 3,14 2p= 6,28
360°
sistema de coordenadas cartesianas. Por convenção, o
ponto P(1, 0) é a origem da orientação, o sentido posi- 270° 3p 3π
= 4,71
2 2
tivo é o sentido anti-horário e negativo no sentido ho-
rário. Observe a representação.
Editora Exato 10

4. π
2π 2 π 7. PRIMEIRA DETERMINAÇÃO POSITIVA
3 3
3π
4
π
4
Um arco θ é chamado de primeira determina-
5π π ção positiva ao arco α, se satisfaz as condições abai-
6 6
π
xo:
0° I) θ é côngruo a α.
7π
6
10π II) 0 rad ≤ θ < 2π rad.
6
5π 7π Exemplo:
4 4
4π 5π
E.1) 30º é a primeira determinação positiva dos
3 3π
2
3 arcos 390º, pois, 390º = 30º +1⋅ 360º .
E.2) Determine a primeira determinação posi-
4π
3π
2 5π
tiva do ângulo 1910º.
3 3 Resolução
5π 7π
4 4
7π 11π
π
6 6
1910 360º
0°
5π π
6 6 110º 5 Número de voltas
3π π
4 4
2π π
1ª determinação positiva
3 π 3
2
E.3) Encontre a primeira determinação positiva
do ângulo 1720º.
180° a α π α α Resolução:
1720º 360º
180° + a 360° a π+α 2π α
280º 4 Número de voltas
α
a em graus (0° < a < 90°) a em radianos 0 < a <
2 1ª determinação positiva
ângulos correspondentes ângulos correspondentes
a a no 2ºQ, 3ºQ e 4ºQ a a no 2ºQ, 3ºQ e 4ºQ
8. DEFINIÇÃO DE SENO, COSSENO E TAN-
6. ARCOS CÔNGRUOS GENTE DE UM ARCO
Como os arcos no ciclo trigonométrico possu- Considere no ciclo trigonométrico um arco AP
em a mesma origem, então dois arcos no ciclo são de medida α e uma reta t paralela ao eixo das orde-
côngruos quando a diferença entre suas medidas pos- nadas, que passa pelo ponto A, origem do ciclo. Ob-
sui a forma 2kπ ( com k ∈ z ) , ou seja, podemos ex- serve a figura.
pressar todos os arcos côngruos a α, no ciclo, na
forma α + k ⋅ 2π (com k ∈ z ). De modo análogo, repre- t
sentamos os arcos côngruos ao ângulo α, em graus, P
na forma α + k360º (com k ∈ z ).
Exemplo:
E.1) Os arcos −330º, 390º e − 690º são congru-
α A
entes ao arco de 30º, pois as diferenças 0
30 − ( −330º ) , 30º − 390º e − 690º − 30º são múltiplas
de 360º.
E.2) Os arcos −10º e 710º são côngruos ao ar-
co 350º, pois −10º = 350º −1.360º e
710º = 350º +1.360º .
Define-se como seno do arco AP (indicado
por senα) a medida algébrica do segmento
OP’, em que P’ é a projeção ortogonal do
Editora Exato 11

5. ponto P no eixo vertical. O eixo vertical se- 9.2. Gráfico
rá chamado de eixo dos senos.
Define-se como cosseno do arco AP (indi-
cado por cosα) a medida algébrica do seg- y
mento OP’’, em que P’’ é a projeção 1 Período
ortogonal do P no eixo horizontal. O eixo
horizontal será chamado de eixo dos cosse-
nos. 0 3π /2 2π
π /2 π x
Define-se como tangente do arco AP (indi-
cado por tgα) a medida algébrica do seg-
mento AT, em que T é o ponto de -1
intersecção da reta suporte do raio OP com
a reta t. O eixo t será chamado de eixo das
tangentes.
9.3. Propriedades
As definições acima podem ser ilustradas na
Os valores máximo e mínimo da função se-
figura a seguir.
no são, respectivamente, iguais a 1 e –1.
sen tg A função seno é positiva no 1º e 2º qua-
drante e negativa no 3º e 4º quadrante.
P A função seno e periódica de período igual
P’ a 2π.
10. FUNÇÃO COSSENO
α A
0 P’’ cos 10.1. Definição
Define-se como função cosseno a toda função
f : R → R que associa a cada x ∈ D ( f ) um número
{ {
D( f ) CD ( f )
f ( x ) ∈ CD ( f ) na forma:
f ( x ) = cos x .
10.2. Gráfico
Sen α= medida algébrica de OP’.
Cos α = medida algébrica de OP’’.
y
Tg α = medida algébrica de AT.
1 Período
Observação:
Se a reta suporte de OP coincidir com a reta
suporte do eixo dos senos, não teremos o ponto T, π
suu
r -π /2
pois OP // t . A tangente de um arco só está definida 0 π /2 3π /2 2π x
π
se α ∈ R e α ≠ + kπ , com k ∈ Z . -1
2
9. FUNÇÃO SENO
10.3. Propriedades
9.1. Definição
Os valores máximo e mínimo da função
Define-se como função seno a toda função
cosseno são, respectivamente, iguais a 1 e –
f : R → R que associa a cada x ∈ D ( f ) um número
{ {
D( f ) CD ( f ) 1.
f ( x ) ∈ CD ( f ) na forma: A função cosseno é positiva no 1º e
4ºquadrante e negativa no 2º e 3º quadran-
f ( x ) = senx .
te..
A função cosseno é periódica de período
igual a 2π.
Editora Exato 12

6. 11. FUNÇÃO TANGENTE Arco no 2º quadrante
11.1. Definição
Define-se como função tangente a toda função 90º
 π
f :  x ∈ R x ≠ + kπ, comk ∈ Z} → R que
{ associa a cada
 2 CD ( f )
M
144444 244444 3
D( f )
X ∈D(f ) um número f ( x ) na forma:
t ( x ) = tgx . 0º
180º
360º
11.2. Gráfico:
y
Período
270º
O Quanto falta para 180º?
π/2 π/2 π 3π /2
Verifique o sinal da função.
2π x
Arco no 3º quadrante
90º
11.3. Propriedade:
A tangente é positiva nos quadrantes 1º e 3º
e negativa no 2º e 4º quadrante.
O período da função tangente é π. 0º
A imagem da função tangente é o conjunto 180º
360º
dos reais.
12. RELAÇÕES FUNDAMENTAIS E AUXI-
LIARES M
Se x é um ângulo agudo num triângulo retân- 270º
gulo. De acordo com as definições das funções trigo-
nométricas, podemos verificar que: Quanto passa de 180º?
sen x = 1 − cos x
2 2 Verifique o sinal da função.
F.1) sen x + cos x = 1 ⇔ 
2 2
2 2 Arco no 4º quadrante
cos x = 1 − sen x
senx
F.2) tgx =
cos x
90º
1 cos x
F.3) cot gx = =
tgx senx
1
F.4) sec x =
cos x
1 0º
F.5) cos sec x = 180º
senx 360º
A.1) sec x = 1 + tg x
2 2
A.2) cos sec x = 1 + cot g x
2 2
13. REDUÇÃO AO 1º QUADRANTE M
Reduzir um arco do 2ºQ, 3ºQ ou 4ºQ. ao 1ºQ é 270º
obter um novo arco, entre 0º e 90º (1ºQ), que possui
Quanto falta para 360º?
os mesmos valores para as funções trigonométricas
Verifique o sinal da função.
que o arco dado ao mesmo sinal.
Editora Exato 13

7. 14. ARCOS COMPLEMENTARES - Eventualmente, a menor determinação de um
arco deve ser reduzida ao 1º quadrante.
Sejam α e β dois ângulos complementares
( α + β = 90º ) pertencentes ao 1º quadrante, então: 16. SOMA E DIFERENÇA DE ARCOS
Conhecendo os valores de senos, cossenos e
senα = cos β tangentes dos ângulos notáveis, podemos calcular es-
sas razões para alguns ângulos não notáveis.
Exemplos: Veremos, então, algumas expressões que nos
1 1 permitem encontrar o seno, o cosseno e a tangente de
sen30º = e cos 60º = , portanto:
2 2 um arco, transformando-o em uma soma ou uma di-
ferença de arcos. Dados dois arcos α e β, temos:
sen30 = cos 60º sen (α + β) = sen α . cos β + sen β . cos α
sen (α – β ) = sen α . cos β – sen β . cos α
em que 30º e 60º são arcos complementares.
cos (α + β) = cos α . cos β – sen α . sen β
Observação: cos (α – β) = cos α . cos β + sen α . sen β
tgα + tgβ
Utilizando as relações fundamentais e as fun- tg (α + β) =
1 − tgα.tgβ
ções inversas, concluímos que essa mesma relação é
tgα − tgβ
válida também para as demais funções trigonométri- tg (α − β) =
cas. Assim: 1 + tgα.tgβ
senα = cos β Condição de existência da tangente:

Se α + β = 90º tgα = cot gβ
α, β ≠  + kπ  rad.
π
sec α = cos sec β 
 

[
 2 
15. MENOR DETERMINAÇÃO DE UM AR- 17. ARCO DUPLO
CO
Estas expressões nos permitem encontrar o se-
Um arco, cujo valor ultrapassa 360º, é repre- no, o cosseno e a tangente de arcos que medem o do-
sentado, na circunferência trigonométrica, por um bro de um arco α dado.
certo número de voltas múltiplo de 360º e outro nú- sen 2α = 2 sen α . cos α
mero menor que 360º, que é a menor determinação cos 2α = cos 2 α − sen 2 α
deste arco. 2tgα
Veja, como exemplos, os arcos de 750º e 390º. tg 2α =
1 − tg2α
750º = 720º + 30º cos 2α = 2 cos2α – 1 ou cos 2α = 1 – 2 sen2 α
2.360º M.D.
(2 voltas) (menor determinação)
Observe como se calcula a menor determina-
ção:
750º 360º
30º (2 voltas)
390º = 360º + 30º
1. 360º M.D.
(1 volta) (menor determinação)
Observação:
- Os arcos de 390º e 750º são denominados ar-
cos côngruos a 30º, porque suas menores determina-
ções são iguais.
- Se o arco for negativo e maior que 360º, pro-
cedemos da mesma forma e somamos a menor de-
terminação (negativa) com 360º.
Editora Exato 14

8. EXERCÍCIOS
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
1 (UFRS) Um barco parte de A para atravessar o
1 Encontre x, na figura abaixo: rio. A direção de seu deslocamento forma um ân-
B gulo de 120º com a margem do rio.
B
8cm
x
60m
120º
30º
A C A
Resolução: Sendo a largura do rio 60m, a distância, em me-
Cateto oposto ao ângulo 30º=x (hipotenusa) tros, percorrida pelo barco foi de:
h=8cm (maior lado). a) 40 2
co
senθ = b) 40 3
h
x c) 45 3
sen 30º = (vide tabela de valor do sen 30º) d) 50 3
8
1 x e) 60 3
= →x =4
2 8
2 (UFPA) Num triângulo retângulo ABC tem-se
2 Encontre x na figura abaixo: ˆ
A = 90 , AB=45 e BC=6. Pede-se a tangente do
ângulo B.
A 11
a)
5
11
x b)
5
6
c)
60º 5
C B 5
5m d)
11
Resolução: 6
e)
X = cateto adjacente 5
x
cos θ = (vide tabela cos60º)
5
1 x
3 (AAP) Um arame de 18 metros de comprimento
= → x = 2,5 é esticado do nível do solo (suposto horizontal)
2 5
ao topo de um poste vertical. Sabendo que o ân-
gulo formado pelo arame com o solo é de 30º,
calcule a altura do poste.
a) 18m.
b) 36m.
c) 9m.
d) 4,5m.
e) Nenhuma.
Editora Exato 15

9. 4 (UNISANTOS) Uma pessoa na margem de um 9 (UFPA) Quantos radianos percorre o ponteiro
rio vê, sob um ângulo de 60º, uma torre na mar- dos minutos de um relógio em 50 minutos?
gem oposta. Quando ela se afasta 40m, esse ân- a)
16π
gulo é de 30º. A largura do rio é: 9
a) 5m 5π
b)
b) 10 3m 3
c) 20m 4π
c)
d) 20 3m 3
e) Nenhuma. 10π
d)
3
7π
e)
5π 3
5 Converta em graus:
3
a) 450º
tgx cos2 x
b) 320º 10 Simplifique a expressão y = ⋅
cot gx sen2 x
c) 300º
d) 270º a) sen2x
e) 250º b) 1
c) sen2x.cos2x
d) cos2x
6 Converta 15º em radianos: e) tg2x
π
a) rad
10
π 11 (PUC) O valor numérico da expressão
b) rad
12
2π π
c) rad y = cos 4x + sen2x + tg2x − sec 4x para x = é:
15 2
π
d) rad
a) 0 d) 3
13
π b) 1 e) 4
e) rad
c) 2
7
7 (ITA) Transformando 12º em radianos, obtemos: 12 (FGV) Simplificando a expressão
π
a) rad cos2 x − cot gx
15 , obtemos:
15 sen2 x − tgx
b) rad
π
π a) sec2x
c)
30 b) sen2x
2π c) tg2x
d) rad
15 c) cos2x
e) 12rad d) cos2x
e) cotg2x
8 (PUC) Dê o menor ângulo formado pelos pontei-
ros de um relógio às 12 horas e 15 minutos. 13 Reduza tg300º ao 1º quadrante:
a) 90º a) cotg 30º
b) 85 b) tg 60º
c) 82º30’ c) –tg60º
d) 80º d) cotg30º
e) 136º e) Nenhuma.
Editora Exato 16

10. 14 (UFPA) A menor determinação positiva de um GABARITO
arco de 1000º é:
a) 270º 1 B
b) 280º
c) 290º 2 B
d) 300º 3 C
e) 310º
4 C
5 A
15 O valor de sen70º é:
a) sen20º 6 B
b) tg20º 7 A
c) –sen20º
d) –cos20º 8 C
e) cos20º 9 B
10 A
2π
16 Sendo x = , calcule o valor da expressão 11 B
3
3 cos x − 2senx + tg2x 12 D
y= .
tgx − 2sen2x + cos 4x
13 C
a) –3
b) 3 14 B
c) 3/2
15 E
d) 3/4
e) –3/4 16 C
17 C
17 (PUC) O valor de sen1200º é igual a: 18 B
a) cos60º
b) –sen60º
c) cos30º
d) –sen30º
e) cos45º
3 12
18 Sabendo que senx = e seny = , com x, y ∈ 1º
5 13
quadrante. Determine o valor de cos ( x − y ) :
65
a)
53
56
b)
65
56
c) −
65
63
d)
65
e) Nenhuma.
Editora Exato 17