O documento apresenta quatro questões de geometria analítica resolvidas. A primeira questão classifica uma cônica em coordenadas polares como uma parábola e a parametriza. A segunda questão analisa uma hipérbole dada em coordenadas cartesianas, encontrando seus elementos característicos. A terceira questão delineia a região delimitada por dois sistemas de desigualdades. A quarta questão verifica a simetria de pontos em relação a retas e um ponto.

1. Fundac~ao Centro de Ci^encias e Educac~ao Superior a Dist^ancia do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educac~ao Superior a Dist^ancia do Estado do Rio de Janeiro
Gabarito - AP2 { Geometria Analtica I { 2014.2
Quest~ao 1 (2,0 pontos): Considere a c^onica r =
2
1 + sen
dada em coordenadas polares.
(a) Determine a equac~ao da c^onica dada em coordenadas cartesianas e classi

2. que-a como
elipse, hiperbole ou parabola.
(b) Parametrize a c^onica dada.
Soluc~ao:
(a) facil ver que p
a equac~ao dada pode ser escrita da seguinte forma r + r sen = 2. Da,
sabendo que r =
x2 + y2 e y = r sen , temos
E
r + r sen = 2 ()
p
x2 + y2 + y = 2
()
p
x2 + y2 = 2 y
() x2 + y2 = 4 4y + y2
() x2 = 4(y 1):
A equac~ao representa uma parabola com concavidade voltada para a esquerda e vertice (0; 1).
OBS.: N~ao sera cobrada a concavidade e o vertice da parabola.
(b) Fazendo x = t, parametrizamos a parabola do item anterior da seguinte forma:
x = t
y = t2
4 + 1
; t 2 R:
Quest~ao 2 (3,0 pontos): Efetuando uma rotac~ao de 45o nos eixos OX e OY , veri

3. que que
a equac~ao 5x2 26xy + 5y2 + 72 = 0 representa uma hiperbole, encontre seu centro, focos,
vertices (sobre os eixos focal e n~ao focal), assntotas e a excentricidade. Faca tambem o gra

4. co
da hiperbole marcando o centro, focos, vertices e assntotas.
Soluc~ao:
Como
x = x cos y sen
y = x sen + y cos
;
temos (
x =
p
2
2 (x y)
y =
p
2
2 (x + y)
:
Substituindo as equac~oes acima na equac~ao dada obtemos:
5
2
4
(x y)2 26
p
2
2
p
2
2
(x y)(x + y) + 5
2
4
(x + y)2 + 72 = 0;
que pode ser rescrita da seguinte forma:
16x2 + 36y2 + 144 = 0 ()
x2
9
y2
4
= 1:

5. Assim, p
a equac~ao dada representa uma hiperbole centrada na origem, com a = 3, b = 2 e
c =
13. E portanto, a excentricidade da hiperbole e
p
13
3 .
Nas coordenadas x e y, os vertices s~ao A1 = (3; 0) e A2 = (3; 0), os vertices imaginarios sa~o
B1 = (0;2) e B2 = (0; 2), e assntotas y = 2
3 x () 2x 3y = 0.
Usando a mudanca de coordenadas
(
x =
p
2
2 (x y)
y =
p
2
2 (x + y)
vemos que nas coordenadas x e y, o centro da hiperbole e C = (0; 0), os vertices s~ao A1 =
3
p
2
2 ;3
p
2
2
e A2 =
p
2
2 ; 3
3
p
2
2
, os vertices imaginarios s~ao B1 =
p
2;
e B2 =
p
2
p
2;
, e as assintotas s~ao r1 : y = 1
p
2
5x e r2 : y = 5x.
Para

6. nalizar, vejamos o gra

7. co da hiperbole:
Quest~ao 3 (2,5 pontos): Esboce a regi~ao R do plano representada pelo seguinte sistema de
inequac~oes:
R :
2x + 3y 0
x2 + y2 6x + 4y + 12 0:
OBS.: N~ao esqueca de encontrar os pontos de intersec~ao entre as curvas que delimitam a regi~ao
procurada.
Soluc~ao:
Queremos encontrar a regi~ao R dada pela intersec~ao das regi~oes R1 e R2, onde
R1 : 2x + 3y 0
R2 : x2 + y2 6x + 4y + 12 0:
A regi~ao R1 e limitada pela curva C1 : 2x + 3y = 0, que e uma reta decrescente que passa pela
origem. Esta reta divide o plano em duas partes, sendo uma delas a regi~ao R1. Para descobrir
qual regi~ao e a procurada, vamos substituir as coordenadas de um ponto pertencente a umas
2

8. das regi~oes para veri

9. car se ele pertence a regi~ao. Vejamos se o ponto (1; 0) pertence a regi~ao
R1:
2 1 + 3 0 0 () 2 0:
Como 2 0, a regi~ao que procuramos n~ao e a que contem (1; 0).
A regi~ao R2 e limitada pela curva C2 : x2+y26x+4y+12 = 0 () C2 : (x3)2+(y+2)2 = 1,
que e uma circunfer^encia centrada no ponto (3;2) e raio 1. C2 divide o plano em duas regi~oes,
sendo uma contendo o centro da circunfer^encia e a outra que n~ao contem. Vejamos ent~ao se a
regi~ao R2 contem o centro da circunfer^encia. Substituindo as coordenadas (3;2) do centro de
C2 na inequac~ao x2 + y2 6x + 4y + 12 0 obtemos:
32 + (2)2 6 3 + 4(2) + 12 0 () 1 0:
Como 1 0, conclumos que o centro da circunfer^encia n~ao pertence a regi~ao procurada.
Na

10. gura abaixo, destacamos em azul mais escuro a regi~ao R dada pela intersec~ao das regi~oes
R1 e R2.
Para

11. nalizar, precisamos encontrar o ponto de intersec~ao P entre as curvas C1 e C2. Para isso
e necessario resolver o seguinte sistema:
2x + 3y = 0
(x 3)2 + (y + 2)2 = 1:
Resolvendo o sistema encontramos os pontos P1 =
p
13
13 ; 26+2
393
p
13
13
e P2 =
p
13
13 ; 262
39+3
p
13
13
,
que est~ao marcados na

12. gura acima.
Quest~ao 4 (2,5 pontos): Decida se as a

13. rmac~oes abaixo s~ao verdadeiras ou falsas. Justi

14. que
cuidadosamente sua resposta.
(a) O ponto P = (1; 2) e simetrico ao ponto Q = (3; 0) em relac~ao a reta r : 2x+y +1 = 0.
(b) A reta r : x = 1 e simetrica a reta s : x = 5 em relac~ao ao ponto P = (3; 2).
OBS.: N~ao ser~ao aceitos apenas gra

15. cos para justi

16. car a quest~ao.
Soluc~ao:
(a) SOLUC ~AO 1:
3

17. Para que P e Q sejam simetricos em relac~ao a reta r, e necessario e su

18. ciente que o vetor
!
PQ
!u
!u
seja perpendicular a reta r e que o ponto medio M do segmento PQ pertenca a reta r. Vamos
veri

19. car os dois fatos:
!
Se (2; 1) ? r, ent~ao = (1;2) k r. Da, como
PQ = (4;2), temos que ;
!
PQ = 0,
o que implica que
!
PQ e perpendicular a r.
2 = (2;2)
2 = (1; 1). Como 2(1)+1+
O ponto medio do segmento PQ e dado por M = P+Q
1 = 0, conclumos que M 2 r.
Assim, P e Q s~ao simetricos em relac~ao a reta r.
SOLUC ~AO 2:
Para que P e Q sejam simetricos em relac~ao a reta r, e necessario e su

20. ciente que Q pertenca
a reta perpendicular a r que passa por P e que d(P; r) = d(Q; r). Vamos veri

21. car esses dois
fatos:
Seja s a reta perpendicular a r que passa por P. Se (2; 1) ? r, ent~ao (1;2) ? s. Assim, s
tem a seguinte forma
x 2y = d;
para algum d real. Como P 2 s, temos que 1 2 2 = 3 = d. Logo,
s : x 2y = 3:
Como 3 2 0 = 3, conclumos que Q = (3; 0) 2 s.
Notemos que
d(P; r) = d(Q; r) ()
j2 1 + 2 + 1j
p
4 + 1
=
j2(3) + 0 + 1j
p
4 + 1
()
j5j
p
5
=
j 5j
p
5
()
5
p
5
=
5
p
5
;
e com isso podemos concluir que P e Q s~ao simetricos.
Portanto, a a

22. rmac~ao e verdadeira.
(b) E
facil ver que os pontos A = (1; 2) e B = (5; 2) s~ao simetricos em relac~ao ao ponto
P = (3; 2), pois A, B e P est~ao sobre a reta y = 2 e d(A; P) = d(B; P) = 2. Como A 2 r e
B 2 s, encontramos um par de pontos simetricos em relac~ao ao ponto P.
Ainda precisamos encontrar mais um par de pontos simetricos em relac~ao a P, sendo um
pertencente a reta r e outro pertencente a reta s para concluir que r e s s~ao simetricas em
relac~ao a P. Para isso, seja C = (1; 3) 2 r. Vamos encontrar seu simetrico D em relac~ao a P e
depois vamos veri

23. car que D 2 s.
Seja t a reta que passa por C = (1; 3) e P = (3; 2). Note que t k (2;1) e ent~ao t ? (1; 2).
Logo, t tem a seguinte forma
x + 2y = k;
para algum k real. Utilizando que C = (1; 3) 2 t, vemos que k = 1 + 2 3 = 7. Assim,
t : x + 2y = 7:
Para que C e D sejam simetricos, e necessario que
P =
C + D
2
() D = 2P C:
Assim, D = (5; 1), o que implica que D 2 s.
Portanto, a a

24. rmac~ao e verdadeira.
4