Este documento explica o método da regra de três para resolver proporções sem precisar montar as proporções. A regra de três é usada quando são conhecidos três valores de uma proporção para determinar o quarto valor. O documento fornece exemplos passo a passo de como aplicar a regra de três para resolver problemas envolvendo proporções diretas e inversas.

1. Regra de Três
A regra de três é simplesmente um método
para resolver as proporções sem precisar de
armá-las.
A regra de três ganha seu nome do seu uso,
pois é usada para determinar um quarto valor de
um proporção quando são conhecidos três deles.
Tabela de Valores
A regra de três se vale muito de tabelas para a
fácil visualização do problema.

2. Faz-se assim:
Manoel decide fazer um túnel
de1Km de extensão.
Como o túnel em questão é estreito, somente um
máximo de 20 trabalhadores pode trabalhar na
escavação ao mesmo tempo.
Pesquisa google;julho 2008

3.  Como dispunha de 30 trabalhadores, Manoel
resolveu dividi-los em 2 grupos de 15
trabalhadores, cada grupo escavando de um lado
da montanha a fim de aumentar produtividade.
 Originalmente, a escavação gastaria 3 meses.
Em quanto tempo terminará a escavação com o
novo arranjo?

4. Primeiro colocamos o problema em uma
tabela:
Importante lembrar que devemos sempre usar a mesma
unidade para grandezas do mesmo tipo nas tabelas.
Agora, marcamos o sentido de crescimento, das
grandezas, com setas. Neste caso o tempo diminuiu por
que o número de trabalhadores aumentou.
Se as setas marcam o mesmo sentido, as grandezas são
diretamente proporcionais. Se marcam sentidos opostos,
são inversamente proporcionais.

5. No caso de proporção inversa, multiplicamos
os valores da tabela em linha reta e igualando,
obtendo:
Que é a própria proporção inversa em forma
de produto, previamente mostrada.

6. O túnel em questão media 1km, se 30 trabalhadores
terminaram essa distância em 2 meses, qual distância cada
grupo de 15 trabalhadores percorreu no mesmo intervalo de
tempo?
Proporção direta, multiplica-se cruzado e igual a:
Observamos que a relação obtida é uma forma da
proporção:

7. Regra de Três composta
Podemos interpretar de outra maneira o problema anterior:
Ao dividir os grupos, de 20 trabalhadores cavando 1km em 3
meses, chegamos ao problema de quanto tempo levou para que os 30
trabalhadores cavassem apenas a metade, 500m?
Devemos agora, assumir um sentido arbitrário para o tempo.
No caso, consideramos o tempo diminuindo. Em relação aos
trabalhadores, quanto menos tempo mais trabalhadores são
necessários. Em relação a distância, menos tempo faz com que a
distância diminua.

8. Separamos a incógnita de um lado da tabela e começamos
um processo de multiplicações sucessivas. A primeira segue as
mesmas regras da regra de três simples, e neste caso será cruzada.
Depois, quando as duas grandezas vizinhas forem
diretamente proporcionais (setas na mesma direção), multiplica-se
cruzado, quando inversamente proporcionais (setas em posição
invertida), multiplica-se cruzado. Igualamos os caminhos.
Obtemos então a solução:
2 meses

9. PROBLEMAS PROPOSTOS
 1. (Ufg) Em uma pesquisa sobre o analfabetismo em matemática,
foram entrevistadas 2000 pessoas, amostra que representa 110
milhões de brasileiros entre 15 e 64 anos de idade. Dentre os
entrevistados, 60 foram considerados analfabetos absolutos em
matemática.
 Com base nas informações do texto, calcule o número estimado de
brasileiros entre 15 e 64 anos, analfabetos absolutos em matemática.
 Resolução:
2000 60
110
PESSOAS ANALFABETOS
MILHÕES X
↓ ↓
2000 60 110x milhões= ×
3.300.000x =

10.  2. (Ufg) Um feirante vende uma dúzia de laranjas por R$1,50. Se um
cliente comprar 20 laranjas, quanto ele irá pagar ao feirante?
 Resolução:
12 1,5
20
laranjas valor
x
↓ ↓
12 20 1,5x = ×
2, 5x =

11.  3. (Ufpe) Suponha que a casca de banana corresponda a 1/9 do peso
da banana. Ao comprarmos 4,5 kg de banana a R$1,90 o quilo,
quantos centavos de real estamos pagando pela casca?
 Resolução:
1
4,5 0,5
9
peso da casca
kg kg× =
4,5 _________ 4,5 1,9
0,5 _________
peso pago
kg
kg x
↓ × ↓
4,5 0,5 4,5 1,9x = × ×
0,5 1,9x = ×
$0,95x R=

12.  4. Para uma viagem, a capacidade de passageiros de um barco de
turismo é equivalente ou a 30 adultos ou a 36 crianças. Se 24 crianças
já estão a bordo desse barco, o número máximo de adultos que ainda
podem embarcar é de:
a) 6. b) 8. c) 10. d) 12. e) 14.
 Resolução:
 30 A = 36 C→ 1 A = 1,2 C
 Faltam 12 crianças para completar a capacidade
( ) ( )
1___________ 1,2
___________ 12
n de adultos n de crianças
x
° °
1,2 12x =
10x adultos=

13.  6. (Enem) O gás natural veicular (GNV) pode substituir a gasolina ou
álcool nos veículos automotores. Nas grandes cidades, essa possibi-
lidade tem sido explorada, principalmente, pelos táxis, que recuperam
em um tempo relativamente curto o investimento feito com a conver-
são por meio da economia proporcionada pelo uso do gás natural.
Atualmente, a conversão para gás natural do motor de um automóvel
que utiliza a gasolina custa R$ 3.000,00. Um litro de gasolina permite
percorrer cerca de 10 km e custa R$ 2,20, enquanto um metro cúbico
de GNV permite percorrer cerca de 12 km e custa R$ 1,10. Desse mo-
do, um taxista que percorra 6.000 km por mês recupera o investimento
da conversão em aproximadamente:
 a) 2 meses. b) 4 meses. c) 6 meses. d) 8 meses. e) 10 meses.
 Resolução:
 Litros gastos de gasolina por mês:
 6000/10= 600 litros→ Custo 600 x 2,2 = R$1.320,00
 Metros cúbicos gastos de GNV por mês:
 6000/12=500m 3
→ Custo 500 x 1,1 = R$ 550,00
( )
1 770
3000
n de meses economia
x
°
3000
4
770
x meses= ≅

14.  6. (Pucsp) Paulina está sempre apressada: quando usa a escada rolante
de uma certa estação de metrô, costuma subir alguns degraus no
percurso para ganhar tempo. Considerando que, quando ela sobe 8
degraus, gasta 50 segundos no percurso de toda a escada e, quando
sobe 12 degraus, gasta 40 segundos, então o total de degraus dessa
escada é:
 a) 22 b) 24 c) 28 d) 30 e) 32
 Resolução:
 Paulina a cada 4 degraus ganha 10 segundos
 Ao subir 8 degraus ela ganhou 20 segundos, ou seja, se escada tivesse
parada ela teria gasto 70 segundos.
(deg ) __________
4 _____________________10
_____________________ 70
n de raus tempo
s
x s
° 10 70 4x = ×
28degx raus=

15.  7 (Pucsp) Três amigos - Astolfo, Benito e Conrado - disputaram uma
corrida cujo percurso era de 20 km e chegaram em primeiro, quinto e
décimo lugares, respectivamente. Sabe-se que, ao cruzar a linha de
chegada, Astolfo estava a 4 km de Benito e a 6 km de Conrado. Con-
siderando que, ao longo de todo o percurso, cada um deles manteve a
velocidade constante, então, quando Benito cruzou a linha de
chegada, quantos quilômetros estava à frente de Conrado?
 a) 2,5 b) 3 c) 3,5 d) 4 e) 4,5
 Resolução:
 Percurso___________20km
4 2km km
A B C¬  ¬ 
____________
16 _______________2
20 _______________
distância diferença
km km
km x
16 40x =
2,5x km=

16.  8 (Uerj) O excesso de gordura no organismo é nocivo à saúde.
Considere uma pessoa, com massa corporal estável, que deseje perder
gordura, sem alterar sua dieta alimentar. Para essa pessoa, um
dispêndio energético de 9 kcal em atividades físicas corresponde à
perda de 1 g de gordura corporal. Para perder 6,0 kg de gordura, o
tempo, em minutos, que ela necessita dedicar a atividades físicas,
despendendo, em média, 12 kcal/min, corresponde a:
 a) 2,0 × 102
b) 4,5 × 103
c) 8,0 × 104
d) 6,0 × 105
 Resolução:
( )__________ ( )
9 ___________________1
______________________6000
calorias gastas massa perdida
kcal g
x g
54000x kcal=
( )___________ (min )
12 ____________________1min
54000 _________________
calorias gastas tempo utos
kcal
kcal y
54000
12
y =
3
4500 4,5 10y = = ×

17.  9 (Ufpe) Suponha que 8% da população adulta do Brasil esteja
desempregada e que a jornada média de trabalho semanal seja de 44
horas. Qual deveria ser a jornada média de trabalho semanal para que
todos os adultos estivessem empregados?
 a) 40h 01min 48s b) 40h 06min 48s c) 40h 10min 48s
d) 40h 16min 48s e) 40h 28min 48s
 Resolução:
( )__________ ( )
44 _________________92%
_______________________100%
horas semanal percentagem empregados
horas
x
↓ ↑
44 100
92x
=
100 4048x =
40, 48x =
40 28min48x horas s=

18.  10 (Ufrs) As rodas traseiras de um veículo têm 4,25 metros de
circunferência cada uma. Enquanto as rodas dianteiras dão 15 voltas,
as traseiras dão somente 12 voltas. A circunferência de cada roda
dianteira mede:
 a) 2,125 metros. b) 2,25 metros. c) 3,4 metros. d) 3,75 metros.
e) 5 metros.
 Resolução:
( )_____________
12 ________________4,25
15 ________________
n voltas circunferência
voltas m
voltas x
↓ ° ↑
12
15 4, 25
x
=
15 12 4,25x = ×
3,4x metros=

19. QUINO, Mafalda – São Paulo: Martins Fontes,1992