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  1. 1. Anota¸c˜oes sobre s´eries Rodrigo Carlos Silva de Lima ‡ rodrigo.uff.math@gmail.com ‡ 27 de julho de 2014
  2. 2. 1
  3. 3. Sum´ario 1 S´eries 4 1.1 Nota¸c˜oes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2 Defini¸c˜ao e conceitos b´asicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2.1 Mudan¸ca de vari´avel em s´eries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2.2 Condi¸c˜ao necess´aria para convergˆencia de s´eries . . . . . . . . . . . 8 1.2.3 Crit´erio de compara¸c˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.2.4 Crit´erio de condensa¸c˜ao de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.2.5 S´eries do tipo ∞∑ k=1 1 kp e divergˆencia da s´erie harmˆonica. . . . . . . . 15 1.2.6 Divergˆencia da s´erie harmˆonica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.2.7 Divergˆencia de ∞∑ k=1 1 kp com p < 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.2.8 S´eries de fun¸c˜oes racionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 1.2.9 Crit´erio de Cauchy para s´eries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 1.3 S´eries absolutamente convergentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 1.3.1 Toda s´erie absolutamente convergente ´e convergente . . . . . . . . . 27 1.3.2 Parte negativa e positiva de uma s´erie . . . . . . . . . . . . . . . . 28 1.3.3 Teste da raiz-Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 1.3.4 Teste da raz˜ao-D’ Alembert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 1.3.5 Crit´erio de Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 1.3.6 Crit´erio de Leibniz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 1.3.7 Crit´erio de Kummer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 1.4 Comutatividade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 1.5 Soma sobre um conjunto infinito arbitr´ario . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 1.6 S´eries em espa¸cos vetoriais normados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 1.7 Soma de Ces`aro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 2
  4. 4. SUM ´ARIO 3 1.7.1 S´erie de Grandi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 1.8 Sequˆencias (C, P) som´aveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 1.9 S´eries de termos n˜ao-negativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 1.9.1 Crit´erio de compara¸c˜ao por limite para s´eries de termos positivos . 61 1.10 Representa¸c˜ao decimal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 1.11 Teste da integral para convergˆencia de s´eries . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 1.11.1 Sequˆencia de varia¸c˜ao limitada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 1.12 S´eries em espa¸cos vetoriais normados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 1.13 Produto de s´eries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 1.14 S´eries e desigualdade das m´edias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 1.15 Extens˜ao do conceito de s´erie para −∞∑ k=1 ak. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
  5. 5. Cap´ıtulo 1 S´eries Esse texto ainda n˜ao se encontra na sua vers˜ao final, sendo, por enquanto, cons- titu´ıdo apenas de anota¸c˜oes informais. Sugest˜oes para melhoria do texto, corre¸c˜oes da parte matem´atica ou gramatical eu agradeceria que fossem enviadas para meu Email rodrigo.uff.math@gmail.com. 1.1 Nota¸c˜oes Usaremos o ∆ para simbolizar o operador que faz a diferen¸ca de termos consecutivos de uma fun¸c˜ao ∆f(x) := f(x + 1) − f(x). A nota¸c˜ao Q para denotar o operador que faz o quociente, Qf(x) = f(x + 1) f(x) . 1.2 Defini¸c˜ao e conceitos b´asicos Vamos definir o somat´orio como s∑ k=s f(k) = f(s) ∀ s ∈ Z b∑ k=a f(k) = p ∑ k=a f(k) + b∑ k=p+1 f(k) ∀ b, a, p ∈ Z. 4
  6. 6. CAP´ITULO 1. S´ERIES 5 Perceba que n˜ao colocamos limita¸c˜ao em b, a e p inteiros , na defini¸c˜ao acima podemos ter b < a. Em especial tomando p = a − 1 na identidade acima segue que b∑ k=a f(k) = a−1∑ k=a f(k) + b∑ k=a f(k) logo deve valer a−1∑ k=a f(k) = 0 que ´e chamada de soma vazia . Defini¸c˜ao 1 (S´erie). Sejam a ∈ Z, A um conjunto indutivo que contenha a , f(k) : A → R uma fun¸c˜ao . Chamamos de s´erie o limite do somat´orio lim s(n) = lim n∑ k=a f(k) := ∞∑ k=a f(k) , caso o limite exista, onde s(n) = n∑ k=a f(k). Se existir o limite de s(n) com lim s(n) = s diremos que a s´erie ´e convergente e sua soma ´e s. Se o limite lim s(n) n˜ao existir diremos que a s´erie diverge. A soma finita s(n) = n∑ k=a f(k) ´e chamada reduzida de ordem n ou n−´esima soma parcial da s´erie ∞∑ k=a f(k) . Se a s´erie ´e divergente, pode acontecer de lim s(n) = ∞, lim s(n) = −∞ ou a soma oscilar1 . Se (sn) converge diremos que ∞∑ k=a f(k) converge caso (sn) seja divergente diremos que ∞∑ k=a f(k) diverge , apesar de ∞∑ k=a f(k) ser um n´umero real, caso haja convergˆencia e n˜ao haver n´umero associado a ∞∑ k=a f(k) caso haja divergˆencia, tal uso ´e feito apenas no sentido de nota¸c˜ao . Caso a s´erie seja convergente dizemos tamb´em que (f(k)) ´e som´avel . Propriedade 1. Toda sequˆencia (xn) de n´umeros reais pode ser considerada como a sequˆencia das reduzidas de uma s´erie. Demonstra¸c˜ao. Supondo xn = n∑ k=1 ak 1 Quando (s(n)) diverge e lims(n) ̸= ∞ e lims(n) ̸= −∞.
  7. 7. CAP´ITULO 1. S´ERIES 6 aplicando ∆ segue ∆xn = an+1 e para n = 1, x1 = 1∑ k=1 ak = a1, se n = 0 temos x0 = 0∑ k=1 ak = 0 por ser uma soma vazia n∑ k=1 ak = n−1∑ k=0 ak+1 = n−1∑ k=0 ∆xk = xk n 1 = xn − x0 = xn. Se ∆xn = an+1 n˜ao implica que an = ∆xn−1, pois a primeira vale para n ≥ 0 natural a segunda n˜ao vale para n = 0. Exemplo 1. Encontrar o erro na manipula¸c˜ao 0 = 0 + 0 · · · = = (1 − 1) + (1 − 1) + · · · = = 1 + (−1 + 1) + (−1 + 1) + · · · = 1 logo 1 = 0. Come¸camos com uma s´erie ∞∑ k=1 ak onde cada ak = 0 = 1 − 1, isto ´e, a soma dos elementos da sequˆencia (0, 0, · · · ) ent˜ao at´e a segunda linha tudo est´a correto, por´em na terceira linha tratamos o termo da s´erie somada como os termos da sequˆencia (1, −1 + 1, −1 + 1, · · · ) que ´e uma s´erie diferente da s´erie inicial 1.2.1 Mudan¸ca de vari´avel em s´eries Propriedade 2 (Mudan¸ca de vari´avel em s´eries). Por mudan¸ca de vari´avel temos que se g(n) = n∑ k=a f(k) ent˜ao g(n) = n+t∑ k=a+t f(k−t) com lim n = ∞ temos tamb´em lim n+t = ∞ logo lim n∑ k=a f(k) = lim n+t∑ k=a+t f(k − t) = ∞∑ k=a f(k) = ∞∑ k=a+t f(k − t). Logo se temos uma s´erie ∞∑ k=a f(k) podemos somar t aos limites (t + ∞ = ∞, t + a), subtraindo t do argumento da fun¸c˜ao ∞∑ k=a f(k) = ∞∑ k=a+t f(k − t).
  8. 8. CAP´ITULO 1. S´ERIES 7 Propriedade 3 (Produto por −1). Por propriedade de somat´orios se g(n) = n∑ k=a f(k) ent˜ao g(n) = −a∑ k=−n f(−k) com lim n = ∞ temos lim −n = −∞ e lim n∑ k=a f(k) = lim −a∑ k=−n f(−k) = ∞∑ k=a f(k) = −a∑ k=−∞ f(−k). ∞∑ k=a f(k) = −a∑ k=−∞ f(−k). Propriedade 4. Sejam ∞∑ k=a f(k) e c um n´umero real diferente de zero ent˜ao ∞∑ k=a f(k) ´e convergente sse ∞∑ k=a cf(k) ´e convergente. Demonstra¸c˜ao. Se g(n) = n∑ k=a f(k) ´e convergente, existe o limite lim g(n) , vale tamb´em c.g(n) = c n∑ k=a f(k) = n∑ k=a c.f(k) e existe o limite lim c.g(n) = c lim g(n) impli- cando que a s´erie ∞∑ k=a cf(k) = c ∞∑ k=a f(k) ´e convergente. Se h(n) = n∑ k=a cf(k) = cg(n) ent˜ao g(n) = n∑ k=a f(k), sendo h(n) convergente, ent˜ao lim h(n) = d para algum d real e vale lim h(n) c = lim g(n) como c ̸= 0 tem-se lim g(n) = lim h(n) c = d c que existe de onde segue que lim g(n) = ∞∑ k=a f(k) ´e convergente. Propriedade 5. Sejam ∞∑ k=as fs(k) convergente pra toda express˜ao fs(k), gs(n) = n∑ k=as fs(k) , as n´umeros inteiros e cs n´umeros reais, para todo s ∈ [1, p]N , ent˜ao p ∑ s=1 cs ∞∑ k=as fs(k) converge. Demonstra¸c˜ao. Considerando a soma p ∑ s=1 csgs(n) como os limites lim gs(n) exis- tem e pela propriedade de soma de limites segue que existe o limite: lim p ∑ s=1 csgs(n) = p ∑ s=1 cs lim gs(n) = p ∑ s=1 ∞∑ k=as fs(k).
  9. 9. CAP´ITULO 1. S´ERIES 8 1.2.2 Condi¸c˜ao necess´aria para convergˆencia de s´eries Propriedade 6 (Condi¸c˜ao necess´aria para convergˆencia de s´eries). Se s(n) = n∑ k=a ak converge ent˜ao lim ak = 0. Demonstra¸c˜ao. Temos que se lim a(n) = s e tamb´em lim s(n + 1) = s e s(n + 1) − s(n) = n+1∑ k=a ak − n∑ k=a ak = an+1 logo lim s(n + 1) − s(n) = lim an+1 = lim s(n + 1) − lim s(n) = s − s assim lim an+1 = 0, lim an = 0. Essa ´e uma condi¸c˜ao necess´aria por´em n˜ao suficiente para convergˆencia de s´eries. Corol´ario 1. Se f(k) n˜ao tende a zero a s´erie n˜ao pode convergir. Esse crit´erio ´e ´util para provar que algumas s´eries divergem. Veremos depois que esse crit´erio n˜ao ´e suficiente, pois existem s´eries em que o termo somado tende a zero mas a s´erie diverge, como ´e o caso da s´erie harmˆonica. Propriedade 7. Se ∞∑ k=1 ak ´e convergente ent˜ao ∞∑ k=1 a2k + a2k−1 ´e convergente e tem mesma soma que a primeira s´erie. Demonstra¸c˜ao. Seja sn = n∑ k=1 ak, ela converge, ent˜ao s2n = 2n∑ k=1 ak = n∑ k=1 a2k + n∑ k=1 a2k−1 = n∑ k=1 a2k + a2k−1 tamb´em converge e tende ao mesmo limite de sn. Exemplo 2. A s´erie ∞∑ k=1 a2k + a2k−1 pode convergir por´em ∞∑ k=1 ak, como ´e o caso de tomar ak = (−1)k a s´erie ∞∑ k=1 (−1)k n˜ao converge pois lim(−1)k ̸= 0, por´em a2k + a2k−1 = 1 − 1 = 0 e a primeira s´erie converge. Propriedade 8. A s´erie ∞∑ k=a f(k) converge ⇔ a s´erie ∞∑ k=b f(k) converge. Esta propri- edade nos diz que o estado de convergˆencia da s´erie n˜ao ´e alterado pela redu¸c˜ao ou adi¸c˜ao de um n´umero finito de termos, isto ´e, podemos alterar o limite inferior do somat´orio por outro n´umero real e a convergˆencia da s´erie n˜ao se altera.
  10. 10. CAP´ITULO 1. S´ERIES 9 Demonstra¸c˜ao.Tomamos g(n) = n∑ k=a f(k) e h(n) = n∑ k=b f(k). Se b = a n˜ao temos nada a mostrar, pois as s´eries ser˜ao iguais. Se b > a tem-se g(n) = n∑ k=a f(k) = b−1∑ k=a f(k) + n∑ k=b f(k) = b−1∑ k=a f(k) + h(n) g(n) − b−1∑ k=a f(k) = h(n) supondo g(n) convergente e tomando o limite n → ∞ temos que no lado esquerdo te- mos uma s´erie convergente e no lado direito a s´erie tamb´em ser´a convergente, se h(n) ´e convergente, usamos que g(n) = b−1∑ k=a f(k) + h(n) tomando o limite tem-se que h(n) convergente implica g(n) convergente. Se a > b usamos o mesmo procedimento h(n) = n∑ k=b f(k) = a−1∑ k=b f(k) + n∑ k=a f(k) = a−1∑ k=b f(k) + g(n). (1.1) h(n) − a−1∑ k=b f(k) = g(n) (1.2) se g(n) converge usamos 1.1 se h(n) converge usamos 1.2. Como o limite inferior do somat´orio n˜ao altera na convergˆencia, iremos em alguns momentos denotar a s´erie sem o limite inferior, da seguinte maneira ∞∑ k f(k) = ∞∑ f(k) Exemplo 3 (S´erie geom´etrica). Vamos estudar a convergˆencia da s´erie ∞∑ k=0 ak . Se a = 1 temos a soma n∑ k=0 1 = n + 1, lim n∑ k=0 1 = ∞. Se a ̸= 1 temos n−1∑ k=0 ak = ak a − 1 n 0 = an − 1 a − 1
  11. 11. CAP´ITULO 1. S´ERIES 10 quando a > 1 o limite lim an = ∞, com a < −1 a sequˆencia alterna valores tomando valores positivos para valores pares de n e negativos para valores ´ımpares de n, por´em com valor absoluto crescente, o limite n˜ao existe nesse caso. Caso a = −1 o resultado da soma finita ´e n−1∑ k=0 (−1)k = (−1)n − 1 −2 a sequˆencia alterna entre valor 0 para n par e 1 para n ´ımpar. Se |a| < 1 tem-se que lim an = 0 e o resultado da s´erie ´e ∞∑ k=0 ak = lim an − 1 a − 1 = −1 a − 1 = 1 1 − a . Podemos usar tamb´em a condi¸c˜ao necess´aria para convergˆencia de s´eries. Temos que ter lim an = 0 , isto s´o acontece quando |a| < 1, ent˜ao estes s˜ao os ´unicos valores de a para os quais a s´erie ´e convergente. Exemplo 4. A s´erie ∞∑ k=0 a2 (1 + a2)k converge com qualquer a ∈ R. Vale que 1 ≤ a2 +1 ∀ a ∈ R logo 0 < 1 1 + a2 ≤ 1, portanto a s´erie converge por ser s´erie geom´etrica. Sabemos que ∞∑ k=0 bk = 1 1 − b , substituindo b = 1 a2 + 1 , chegamos no resultado ∞∑ k=0 1 (1 + a2)k = a2 + 1 a2 ⇒ ∞∑ k=0 a2 (1 + a2)k = a2 + 1. Exemplo 5. Mostrar que a s´erie ∞∑ n=a (−1)n an n! onde an = n∏ k=1 2k diverge. Vamos chegar primeiro numa express˜ao para o termo geral an = n∏ k=1 2k = n∏ k=1 2 n∏ k=1 k = 2n .n!
  12. 12. CAP´ITULO 1. S´ERIES 11 logo a s´erie ´e ∞∑ n=a (−1)n 2n n! n! = ∞∑ n=a (−1)n 2n sendo bn = (−1)n 2n o limite lim bn = lim(−1)n 2n ̸= 0 o limite n˜ao existe pois a sub- sequˆencia b2n = 22n tem limite +∞ e a subsequˆencia b2n+1 = −22n+1 tem limite −∞. Exemplo 6. Dadas as s´eries ∞∑ k=1 ak e ∞∑ k=1 bk com an = √ n + 1− √ n , bn = log(1+ 1 n ) , mostre que lim an = lim bn = 0. Calcule explicitamente as n-´esimas reduzidas sn e tn destas s´eries e mostre que lim sn = lim tn = +∞. sn = n∑ k=1 ak = n∑ k=1 √ k + 1 − √ k = n∑ k=1 ∆ √ k = √ k n+1 1 = √ n + 1 − 1 logo lim sn = ∞ tn = n∑ k=1 log(1+ 1 k ) = n∑ k=1 log(k+1)−log(k) = n∑ k=1 ∆log(k) = log(k) n+1 1 = log(n+1)−log(1) = log(n+1) logo lim tn = +∞. O limite dos termos das s´eries an = √ n + 1 − √ n = 1 √ n + 1 + √ n lim an = 0 bn = log(1 + 1 n ) 0 < log(1 + 1 n ) = log[(1 + 1 n )n ] n ≤ (1 + 1 n )n n como lim(1+ 1 n )n = e ent˜ao tal sequˆencia ´e limitada, logo lim (1 + 1 n )n n = 0 de onde segue por teorema do sandu´ıche que lim log(1 + 1 n ) = 0. Usamos que log(n) < n. Assim temos duas s´erie cujos termos gerais tendem a zero, por´em as s´eries divergem, esse exemplo mostra que a condi¸c˜ao de lim f(k) = 0 em uma s´erie ∞∑ k=b f(k) ser satisfeita n˜ao garante que a s´erie ser´a convergente, a condi¸c˜ao ´e apenas uma condi¸c˜ao necess´aria. Propriedade 9. Seja (ak) sequˆencia com ak ≥ 0 ∀ k ou ak ≤ 0 ∀ k. Nessas condi¸c˜oes a s´erie ∞∑ k=a ak converge ⇔ s(n) = n∑ k=a ak forma uma sequˆencia limitada.
  13. 13. CAP´ITULO 1. S´ERIES 12 Demonstra¸c˜ao. ⇒). Seja s(n) limitada com ak ≥ 0 ∀ k , temos que s(n + 1) − s(n) = an+1 ≥ 0 ⇒ s(n + 1) ≥ s(n) assim s(n) ´e uma sequˆencia crescente limitada superiormente, portanto ´e convergente. Se ak ≤ 0 temos s(n + 1) − s(n) = an+1 ≤ 0 ⇒ s(n + 1) ≤ s(n) logo s(n) sendo limitada inferiormente e decrescente ´e convergente. ⇐). Agora se a s´erie ´e convergente ent˜ao s(n) ´e limitada , pois toda sequˆencia convergente ´e limitada. Defini¸c˜ao 2. Quando temos ak ≥ 0 e s(n) = n∑ k=a ak ´e limitada superiormente temos que a s´erie ∞∑ k=a ak converge, ent˜ao neste caso escrevemos ∞∑ k=a ak < ∞ para simbolizar que a s´erie ∞∑ k=a ak com ak ≥ 0 ´e convergente. 1.2.3 Crit´erio de compara¸c˜ao Propriedade 10 (Crit´erio de compara¸c˜ao). Sejam ∞∑ k=a ak e ∞∑ k=a bk s´eries de termos n˜ao negativos. Se existem c > 0 e n0 ∈ N tais que ak ≤ cbk para todo k ≥ n0 ent˜ao : 1. A convergˆencia de ∞∑ k=a bk implica a convergˆencia de ∞∑ k=a ak . 2. A divergˆencia de ∞∑ k=a ak implica a divergˆencia de ∞∑ k=a bk. Demonstra¸c˜ao. 1. De ak ≤ cbk segue n∑ k=n0 ak s(n) ≤ c n∑ k=n0 bk :=p(n) se n∑ k=a bk converge ent˜ao n∑ k=n0 bk converge de onde segue que s(n) ´e limitada supe- riormente e como ´e crescente s(n) converge implicando a convergˆencia de ∞∑ k=a bk .
  14. 14. CAP´ITULO 1. S´ERIES 13 2. Agora se s(n) diverge, como ´e crescente seu limite ´e infinito , pois ela ´e ilimitada superiormente, de c.p(n) ≥ s(n), p(n) ≥ s(n) c ent˜ao p(n) tamb´em ´e ilimitada su- periormente e ainda por ser crescente tem limite infinito, logo a s´erie associada p(n) = n∑ k=n0 bk tende a infinito. Exemplo 7. Mostrar que ∞∑ k=1 kk = ∞. De 1 < k elevamos a k, 1 < kk aplicamos a soma n∑ k=1 n = n∑ k=1 1 < n∑ k=1 kk por compara¸c˜ao (como s˜ao s´eries de termos positivos) segue que ∞∑ k=1 kk = ∞. Exemplo 8. Se 0 < c e 1 < |a| ent˜ao ∑ 1 c + ak converge. Vale 1 c + ak < 1 ak e a segunda s´erie converge, logo por compara¸c˜ao a primeira converge. Vamos usar o seguinte pequeno resultado em certas demonstra¸c˜oes. Propriedade 11. Sejam (xn) e (yn) sequˆencias, se ∆xn = ∆yn para todo n, ent˜ao xn = yn + c para alguma constante c. Demonstra¸c˜ao. Aplicamos o somat´orio n−1∑ k=1 em cada lado na igualdade ∆xk = ∆yk e usamos a soma telesc´opica, de onde segue xn − x1 = yn − y1 ⇒ xn = yn + x1 − y1 =c . Corol´ario 2. Se ∆xn = ∆yn ∀ n e existe t ∈ N tal que xt = yt ent˜ao xn = yn para todo n. Tal propriedade vale pois xn = yn + c, tomando n = t segue xt = yt + c que implica c = 0, logo xn = yn para todo n. Propriedade 12. Seja n > 0 ∈ N ent˜ao n−1∑ s=0 2s+1−1∑ k=2s f(k) = 2n−1∑ k=1 f(k).
  15. 15. CAP´ITULO 1. S´ERIES 14 Demonstra¸c˜ao.[1-Soma telesc´opica] n−1∑ s=0 2s+1−1∑ k=2s f(k) = n−1∑ s=0 [ 2s+1−1∑ k=0 f(k) − 2s−1∑ k=0 f(k) g(s) ] = n−1∑ s=0 ∆g(s) = g(n) − g(0) =0 = 2n−1∑ k=1 f(k). Demonstra¸c˜ao.[2] Para n = 1 0∑ s=0 2s+1−1∑ k=2s f(k) = 2−1∑ k=20 f(k) = 21−1∑ k=1 f(k) Temos que ∆ n−1∑ s=0 2s+1−1∑ k=2s f(k) = 2n+1−1∑ k=2n f(k) e ∆ 2n−1∑ k=1 f(k) = 2n+1−1∑ k=1 f(k) − 2n−1∑ k=1 1 kr = 2n+1−1∑ k=2n f(k) + 2n−1∑ k=1 f(k) − 2n−1∑ k=1 f(k) = 2n+1−1∑ k=2n f(k). logo est´a provada a igualdade. 1.2.4 Crit´erio de condensa¸c˜ao de Cauchy Propriedade 13 (Crit´erio de condensa¸c˜ao de Cauchy). Seja (xn) uma sequˆencia decrescente de termos positivos ent˜ao ∑ xk converge ⇔ ∑ 2k .x2k converge. Demonstra¸c˜ao. Usaremos a identidade n−1∑ s=0 2s+1−1∑ k=2s f(k) = 2n−1∑ k=1 f(k). ⇒). Vamos provar que se ∑ xk converge ent˜ao ∑ 2k .x2k converge, usando a contraposi- tiva, que ´e equivalente logicamente, vamos mostrar que se ∑ 2k .x2k diverge ent˜ao ∑ xk diverge. Como xk ´e decrescente ent˜ao vale 2s x2s+1 = 2s+1−1∑ k=2s x2s+1 ≤ 2s+1−1∑ k=2s xk
  16. 16. CAP´ITULO 1. S´ERIES 15 aplicando n−1∑ s=0 segue 1 2 n−1∑ s=0 2s+1 x2s+1 ≤ 2n−1∑ k=1 xk logo se ∑ 2s x2s diverge ent˜ao ∑ xk diverge. ⇐). Vamos provar que se ∑ 2k .x2k converge ent˜ao ent˜ao ∑ xk converge, de maneira direta. Usando que 2s+1−1∑ k=2s xk ≤ 2s+1−1∑ k=2s x2s = 2s x2s aplicando n−1∑ s=0 segue que 2n−1∑ k=1 xk ≤ n−1∑ s=0 2s x2s da´ı se ∑ 2s x2s converge ent˜ao ∑ xk converge . Exemplo 9. A s´erie ∞∑ k=3 1 [ln(k)]s diverge para qualquer valor real de s. Se s ≤ 0 o resultado vale pois temos s´erie com soma de [ln(k)]−s que n˜ao converge para zero, se s > 0 temos que ln(k + 1) > ln(k) logo [ln(k + 1)]s > [ln(k)]s e da´ı 1 [ln(k)]s > 1 [ln(k + 1)]s ent˜ao a sequˆencia ´e decrescente de termos positivos e podemos aplica o crit´erio de con- densa¸c˜ao de Cauchy ∞∑ k=3 2k [k]s[ln(2)]s tal s´erie diverge, pois o termo geral n˜ao tende a zero. 1.2.5 S´eries do tipo ∞∑ k=1 1 kp e divergˆencia da s´erie harmˆonica. Propriedade 14. A s´erie ∞∑ k=1 1 kp converge se p > 1 e diverge se p ≤ 1.
  17. 17. CAP´ITULO 1. S´ERIES 16 Demonstra¸c˜ao. Pelo crit´erio de condensa¸c˜ao de Cauchy a s´erie ∞∑ k=1 1 kp converge, se e somente se, ∞∑ k=1 2k 2kp = ∞∑ k=1 2k(1−p) , tal s´erie geom´etrica converge se 1 − p < 0, isto ´e, p > 1 e diverge caso 1 − p ≥ 0 ⇒ p ≤ 1. Exemplo 10. Estudar a convergˆencia da s´erie ∞∑ k=1 ( √ k + 1 − √ k)p . Primeiro racionalizamos o termo somado √ k + 1 − √ k = ( √ k + 1 − √ k)( √ k + 1 + √ k) √ k + 1 + √ k = k + 1 − k √ k + 1 + √ k = 1 √ k + 1 + √ k , √ k ≤ √ k + 1 ⇒ 2 √ k ≤ √ k + 1 + √ k ⇒ 1 √ k + 1 + √ k ≤ 1 2 √ k , elevando a p segue que ( 1 √ k + 1 + √ k )p ≤ 1 2pk p 2 por compara¸c˜ao se p 2 > 1 ⇔ p > 2, a s´erie converge . De maneira similar 1 2p(k + 1) p 2 ≤ ( 1 √ k + 1 + √ k )p , por compara¸c˜ao diverge caso p 2 ≤ 1. Exemplo 11 (IME-1964). Estude a convergˆencia das s´eries. 1. ∞∑ k=1 1 3 √ k . 2. ∞∑ k=1 1 ek . 3. ∞∑ k=1 ln(k) k . 1. A primeira s´erie diverge pois ∞∑ k=1 1 k 1 3 ´e uma s´erie do tipo ∞∑ k=1 1 kp , com p = 1 3 < 1, que vimos ser divergente.
  18. 18. CAP´ITULO 1. S´ERIES 17 2. A s´erie ∞∑ k=1 1 ek , converge por ser s´erie geom´etrica com 0 < 1 e < 1. 3. A s´erie ∞∑ k=1 ln(k) k diverge pois para k grande vale ln(k) > 1, da´ı ln(k) k > 1 k , como ∞∑ k=1 1 k diverge, ent˜ao por compara¸c˜ao ∞∑ k=1 ln(k) k tamb´em diverge. Exemplo 12. Calcular o limite lim n→∞ n∑ k=0 1 (n + k)r para r > 1 real. Escrevemos o somat´orio como n∑ k=0 1 (n + k)r = 2n∑ k=n 1 (k)r = 2n∑ k=1 1 (k)r − n−1∑ k=1 1 (k)r com r > 1 cada uma das s´eries lim n−1∑ k=1 1 (k)r = s e lim 2n∑ k=1 1 (k)r = s convergem e para o mesmo valor, como a diferen¸ca dos limites ´e o limite da diferen¸ca em sequˆencias conver- gentes, segue que lim n→∞ n∑ k=0 1 (n + k)r = lim( 2n∑ k=1 1 (k)r − n−1∑ k=1 1 (k)r ) = lim 2n∑ k=1 1 (k)r − lim n−1∑ k=1 1 (k)r = s − s = 0. Propriedade 15. Se ak ≥ 0 ∀k ∈ N e (a′ k) ´e uma subsequˆencia de (ak) ent˜ao ∞∑ k=c ak < ∞ implica que ∞∑ k=c a′ k < ∞. Demonstra¸c˜ao. Seja N1 o conjunto dos ´ındices da subsequˆencia (a′ k), definimos ck = ak se k ∈ N1 e ck = 0 se k /∈ N1 para todo k natural, ent˜ao temos que ck ≤ ak pois caso k ∈ N1 temos ck = ak caso k /∈ N1 ck = 0 ≤ ak logo em qualquer caso vale ck ≤ ak, tomando a soma em ambos lados temos g(n) = n∑ k=c ck ≤ n∑ k=c ak < ∞ logo a soma dos termos da subsequˆencia g(n) ´e limitada superiormente e temos tamb´em ∆g(n) = cn+1 ≥ 0 pois se cn+1 = 0 vale cn+1 ≥ 0 e se cn+1 = an+1 e por propriedade da
  19. 19. CAP´ITULO 1. S´ERIES 18 sequˆencia (an) temos an+1 ≥ 0 de onde segue cn+1 = an+1 ≥ 0, ent˜ao a sequˆencia g(n) ´e limitada superiormente e n˜ao-decrescente logo convergente e vale ∞∑ k=c ck < ∞. Mostramos ent˜ao que se (an) ´e uma sequˆencia tal que an ≥ 0 e a s´erie dos seus termos converge ent˜ao dada qualquer subsequˆencia de de (a′ n) de (an) ent˜ao a s´erie dos termos dessa subsequˆencia tamb´em converge. 1.2.6 Divergˆencia da s´erie harmˆonica. Exemplo 13 (S´erie Harmˆonica). Os n´umeros harmˆonicos s˜ao definidos como Hn = n∑ k=1 1 k temos que lim 1 n = 0 satisfaz a condi¸c˜ao necess´aria para convergˆencia de s´eries mas vamos mostrar que a s´erie lim Hn = ∞∑ k=1 1 k = ∞ , isto ´e, a s´erie diverge. Suponha que a s´erie harmˆonica seja convergente, denotando lim Hn = H Sejam N1 o subconjunto de N dos´ındices pares e N2 o conjunto dos n´umeros´ımpares. Se Hn converge temos que a s´erie sobre suas subsequˆencias tamb´em converge, sendo ent˜ao n∑ k=1 1 2k − 1 = tn, ∞∑ k=1 1 2k − 1 = t n∑ k=1 1 2k = sn, ∞∑ k=1 1 2k = s = 1 2 ∞∑ k=1 1 k = H 2 temos H2n = sn + tn tomando o limite lim H2n = H = lim(sn + tn) = s + t , como s = H 2 segue que t = H 2 pois a soma deve ser H, desse modo a diferen¸ca t − s = 0, mas tn − sn = n∑ k=1 1 2k − 1 − n∑ k=1 1 2k = n∑ k=1 1 (2k)(2k − 1) = 1 2 + n∑ k=2 1 (2k)(2k − 1) > 0 logo lim tn − sn = t − s > 0 de onde segue t > s que ´e absurdo. Pode-se mostrar que lim tn − sn = ln(2).
  20. 20. CAP´ITULO 1. S´ERIES 19 Exemplo 14. Na s´erie harmˆonica percebemos que 1 3 + 1 4 > 2 4 = 1 2 1 5 + 1 6 + 1 7 + 1 8 > 4 8 = 1 2 1 9 + 1 10 + 1 11 + 1 12 + 1 13 + 1 14 + 1 15 + 1 16 > 8 16 = 1 2 podemos continuar agrupando os termos das somas dessa maneira, vendo que a soma dos termos harmˆonicos n˜ao s˜ao limitados superiormente. Usando o crit´erio de condensa¸c˜ao de Cauchy ∞∑ k=1 2k 2k = ∑ 1 diverge. 1.2.7 Divergˆencia de ∞∑ k=1 1 kp com p < 1. Corol´ario 3. ∞∑ k=1 1 kp diverge se p < 1. Para p < 1 vale kp < k e da´ı 1 k < 1 kp , da´ı por compara¸c˜ao como ∞∑ k=1 1 k diverge isso implica que ∞∑ k=1 1 kp tamb´em diverge. Exemplo 15. A s´erie ∞∑ k=0 k √ 12 k + 3 diverge, pois vale que k √ 12 k + 3 > 1 k + 3 , onde a s´erie da segunda diverge. Propriedade 16. A s´erie ∞∑ k=2 1 k(ln(k) + c)r diverge se r ≤ 1 e converge se r > 1. c ≥ 0. Demonstra¸c˜ao. Usamos o crit´erio de condensa¸c˜ao de Cauchy ∑ 2k 2k(ln(2k) + c)r = ∑ 1 (k ln(2) + c)r que diverge se r ≤ 1 e converge se r > 1 . Corol´ario 4. A seguinte s´erie converge ∞∑ k=2 1 [ln(k)]k .
  21. 21. CAP´ITULO 1. S´ERIES 20 Como ln(k) > 2 para k suficientemente grande , tem-se [ln(k)]k > 2k ⇒ 1 [ln(k)]k < 1 2k , logo por crit´erio de compara¸c˜ao ∞∑ k=2 1 [ln(k)]k converge . Exemplo 16. Estudar a convergˆencia da s´erie ∞∑ k=1 1 kHk Hn = n∑ k=1 1 k . podemos mostrar que Hn ≤ 1 + ln(n) da´ı nHn ≤ n(1 + ln(n)) 1 n(ln(n) + 1) ≤ 1 nHn , logo a primeira diverge por crit´erio de compara¸c˜ao . Exemplo 17. A s´erie ∞∑ k=2 1 k ln(k)(ln(ln k))r diverge se r ≤ 1 e converge se r > 1. Aplicamos o m´etodo de condensa¸c˜ao de cauchy ∞∑ k=2 2k 2k ln(2k)(ln(ln 2k))r = ∞∑ k=2 1 k ln(2)(ln(k) + ln((ln 2)))r que converge se r > 1 e diverge se r ≤ 1. Exemplo 18. Provar que a s´erie ∑ ln(n) n2 converge. Pelo crit´erio de condensa¸c˜ao de Cauchy temos que ∑ 2n ln(2n ) 2n.2n = ∑ n ln(2) 2n tal s´erie converge, logo a primeira tamb´em converge. Exemplo 19. Mostrar que a s´erie ∞∑ k=1 1 k2 converge, usando o crit´erio de compara¸c˜ao. Come¸caremos com o somat´orio n∑ k=2 1 k(k − 1) = − n∑ k=2 1 k − 1 k − 1 = − 1 k − 1 n+1 2 == − 1 n + 1 = n − 1 n
  22. 22. CAP´ITULO 1. S´ERIES 21 onde usamos soma telesc´opica b∑ k=a ∆f(k) =f(k+1)−f(k) = f(b + 1) − f(a) = f(k) b+1 a , ∆f(k) = f(k+1)−f(k) ´e apenas uma nota¸c˜ao para essa diferen¸ca. Tomando o limite na express˜ao acima lim − 1 n + 1 = 1 = ∞∑ k=2 1 k(k − 1) . Vamos mostrar com esse resultado que a s´erie ∞∑ k=1 1 k2 converge , temos que para k > 1 1 k(k − 1) > 1 k2 pois k2 > k2 − k k > 0 e k > 1 por an´alise de sinal , logo aplicando o somat´orio ∞∑ k=2 1 k(k − 1) > ∞∑ k=2 1 k2 somando 1 em ambos lados e usando o resultado da s´erie que foi calculada 2 > 1 + ∞∑ k=2 1 k2 = ∞∑ k=1 1 k2 . Exemplo 20. Exemplo de sequˆencia x(n) que diverge, por´em, ∆x(n) converge para zero. Sabemos que uma condi¸c˜ao necess´aria mas n˜ao suficiente para convergˆencia de uma s´erie ∞∑ k=1 f(k) e que lim f(k) = 0, por´em n˜ao ´e suficiente pois existem s´eries em que lim f(k) = 0 e a s´erie diverge, um exemplo desse tipo de s´erie ´e a s´erie harmˆonica, se temos lim f(k) = 0 e a sequˆencias x(n) = n∑ k=1 f(k) diverge, temos que ∆x(n) = f(n + 1) cujo limite lim∆x(n) = f(n + 1) = 0 , no caso especial x(n) = n∑ k=1 1 k diverge, por´em ∆x(n) = 1 n + 1 converge para zero. Propriedade 17. Seja g(n) = n∑ k=a f(k) ent˜ao limf(k) = 0 equivale a lim∆g(n) = 0.
  23. 23. CAP´ITULO 1. S´ERIES 22 Demonstra¸c˜ao. Temos que ∆g(n) = f(n + 1) logo se limf(k) = 0 temos lim∆g(n) = 0 e se lim∆g(n) = 0 implica limf(k) = 0 . Propriedade 18. Sejam ∞∑ n=u an e ∞∑ n=s bn s´eries de termos positivos. Se ∞∑ n=s bn = ∞ e existe n0 ∈ N tal que an+1 an ≥ bn+1 bn para todo n > n0 ent˜ao ∞∑ n=u an = ∞. Demonstra¸c˜ao. an+1 an ≥ bn+1 bn , Qak ≥ Qbk tomando o produt´orio com k variando de k = n0 + 1 at´e n − 1 na desigualdade em ambos lados segue n−1∏ k=n0+1 Qak = an an0+1 ≥ n−1∏ k=n0+1 Qbk = bn bn0+1 , an ≥ an0+1 bn0+1 bn pois temos termos positivos, tomando a s´erie temos ∞∑ n=n0+1 an ≥ an0 bn0 ∞∑ n=n0+1 bn = ∞ logo a s´erie tende ao infinito por compara¸c˜ao. Exemplo 21. Mostre que a sequˆencia definida por f(n) = n∑ k=1 1 k + n converge para um n´umero em [0, 1]. Primeiro vamos mostrar que a sequˆencia ´e crescente f(n + 1) − f(n) = n+1∑ k=1 1 k + n + 1 − n∑ k=1 1 k + n = 1 2(n + 1) + n∑ k=1 1 k + n + 1 − n∑ k=1 1 k + n = = 1 2(n + 1) + n∑ k=1 ( 1 k + n + 1 − 1 k + n ) = 1 2(n + 1) + n∑ k=1 ∆ 1 k + n = = 1 2(n + 1) + 1 2n + 1 − 1 n + 1 = 1 2n + 1 − 1 2(n + 1) mas temos 1 2n + 1 − 1 2(n + 1) > 0 pois 1 2n + 1 > 1 2(n + 1) , 2n + 2 > 2n + 1, 2 > 1 agora vamos mostrar que a s´erie ´e limitada superiormente por 1 temos 1 n > 1 k + n
  24. 24. CAP´ITULO 1. S´ERIES 23 k + n > n pois nosso valor k ´e maior que zero, tomando o somat´orio em ambos lados com k em [1, n] temos n∑ k=1 1 n = n 1 n = 1 > n∑ k=1 1 k + n assim a s´erie ´e limitada superiormente , crescente e limitada inferiormente pelo seu pri- meiro termo 1∑ k=1 1 k + 1 = 1 2 logo a sequˆencia assume valores no intervalo [0, 1]. O limite dessa sequˆencia ´e ln(2), podemos mostrar isso transformando o limite numa integral2 podemos usar tamb´em a fun¸c˜ao digamma ∆ψ(k + n) = 1 k + n n∑ k=1 ∆ψ(k + n) = ψ(2n + 1) − ψ(n + 1) = n∑ k=1 1 k + n = H2n − Hn = 2n∑ k=1 (−1)k+1 k tendo limite3 ln(2). Exemplo 22. Mostre que a s´erie ∞∑ k=0 1 kk ´e convergente. Para k > 2 vale kk > k2 da´ı 1 kk < 1 k2 , da convergˆencia de ∑ 1 k2 segue a convergˆencia de ∞∑ k=0 1 kk . Exemplo 23. A s´erie ∞∑ k=0 1 kln(k) ´e convergente pois para k grande temos ln(k) > 2 da´ı segue 1 kln(k) < 1 k2 . 1.2.8 S´eries de fun¸c˜oes racionais Vamos estudar convergˆencia de s´eries do tipo ∑ p(x) g(x) onde p(x) e g(x) ̸= 0 s˜ao polinˆomios. 2 Resolvido no texto s´eries 2 3 Resolvido em fun¸c˜oes especiais
  25. 25. CAP´ITULO 1. S´ERIES 24 Propriedade 19. Sejam polinˆomios p ∑ k=0 akxk , p+1 ∑ k=0 bkxk e c > bp+1 ap com c > 0, ent˜ao existe x0 ∈ R tal que x > x0 implica 1 cx < p∑ k=0 akxk p+1∑ k=0 bkxk Exemplo 24. Estudar a convergˆencia da s´erie ∞∑ n=1 n∏ s=1 (p + s) (q + s) com p, q reais em [0, ∞) Para q ≤ p temos q + s ≤ p + s ⇒ 1 ≤ p + s q + s logo 1 ≤ n∏ s=1 (p + s) (q + s) = an portanto an n˜ao converge para zero e a s´erie n˜ao pode convergir . Suponha agora p < q, existe t real tal que p + t = q o termo an se escreve como n∏ s=1 (p + s) (p + t + s) . Vamos analisar os casos de t ≤ 1 e 2 ≤ t, no primeiro p + t + s ≤ p + s + 1 ⇒ p + s p + s + 1 ≤ p + s p + t + s aplicando n∏ s=1 na desigualdade acima temos um produto telesc´opico n∏ s=1 p + s p + s + 1 = p + 1 p + n + 1 ≤ n∏ s=1 p + s p + t + s por compara¸c˜ao com s´erie harmˆonica a soma de an diverge nesse caso . Sendo agora 2 ≤ t 2 ≤ t ⇒ p + s + 2 ≤ p + s + t ⇒ p + s p + s + t ≤ p + s p + s + 2 aplicando n∏ s=1 , novamente temos um produto telesc´opico n∏ s=1 p + s p + s + t ≤ n∏ s=1 p + s p + s + 2 = 2∏ s=1 p + s p + s + n = (p + 1)(p + 2) (p + 1 + n)(p + 2 + n) logo por crit´erio de compara¸c˜ao a soma de an converge .
  26. 26. CAP´ITULO 1. S´ERIES 25 1.2.9 Crit´erio de Cauchy para s´eries Propriedade 20 (Crit´erio de Cauchy para s´eries). Tem-se que uma sequˆencia ´e convergente em R ⇔ ela ´e de Cauchy, logo se definimos s(n) = n∑ k=a ak temos que a s´erie ´e convergente ⇔ para cada ε > 0 existe n0 ∈ N tal que n > n0 e para todo p ∈ N vale |s(n + p) − s(n)| < ε temos que s(n + p) − s(n) = n+p ∑ k=a ak − n∑ k=a ak = n+p ∑ k=n+1 ak + n∑ k=a ak − n∑ k=a ak = = n+p ∑ k=n+1 ak logo temos que ter | n+p ∑ k=n+1 ak| < ε Propriedade 21. Se f(k) ≥ 0 para k ∈ [a, ∞)Z, a ∈ Z ent˜ao a s´erie ∞∑ k=a f(k) ´e convergente ou diverge para +∞. Demonstra¸c˜ao. Definindo g(n) = n∑ k=a f(k) temos que ∆g(n) = f(n+1) ≥ 0 logo g(n) ´e uma sequˆencia n˜ao decrescente, se g(n) for limitada ent˜ao g(n) converge implicando que a s´erie converge, se g(n) n˜ao for limitada, por ser n˜ao decrescente ela diverge para +∞, implicando que a s´erie diverge para +∞. Da mesma maneira tem-se Propriedade 22. Se4 f(k) ≤ 0 para k ∈ [a, ∞)Z, a ∈ Z ent˜ao a s´erie ∞∑ k=a f(k) ´e convergente ou diverge para −∞. Demonstra¸c˜ao. Definindo g(n) = n∑ k=a f(k) temos que ∆g(n) = f(n+1) ≤ 0 logo g(n) ´e uma sequˆencia n˜ao crescente, se g(n) for limitada ent˜ao g(n) converge implicando que a s´erie converge, se g(n) n˜ao for limitada, por ser n˜ao crescente ela diverge para −∞, implicando que a s´erie diverge para −∞. 4 A demonstra¸c˜ao ´e a mesma que da propriedade anterior, apenas mudando ≥ por ≤, +∞ por −∞ e n˜ao decrescente por n˜ao crescente
  27. 27. CAP´ITULO 1. S´ERIES 26 Propriedade 23. ∞∑ k=a b converge ⇔ b = 0. Demonstra¸c˜ao. Seja g(n) = n∑ k=a b, Se b = 0 temos g(n) = n∑ k=a 0 = 0 assim temos que s´erie ´e o limite da sequˆencia constante 0, lim g(n) = 0 = ∞∑ k=a 0. Se ∞∑ k=a b converge, pela condi¸c˜ao necess´aria para convergˆencia temos que ter lim b = 0, como b ´e constante, por propriedade de limites tem-se lim b = b lim 1 = b = 0 logo b tem que ser zero para que a s´erie seja convergente ∞∑ k=a 0 = 0 = 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + · · · = 0. Se b ̸= 0 ent˜ao a s´erie diverge para +∞ ou −∞ pois ∆g(n) = b, se b > 0 tem-se que a s´erie ´e crescente e divergente logo seu limite ´e +∞ se b < 0 segue que ∆g(n) < 0 logo decrescente e divergente assim seu limite ´e −∞. As reduzidas s˜ao dadas por n∑ k=a b = b(n + 1 − a), se b < 0 ∞∑ k=a b = b + b + b + b + · · · = −∞ se b > 0 ∞∑ k=a b = b + b + b + b + · · · = +∞. Propriedade 24 (A s´erie harmˆonica diverge para +∞.). Seja 2n ≥ k (n, k naturais maiores que zero), ent˜ao 1 k ≥ 1 2n tomando a soma em [n + 1, 2n] 2n∑ k=n+1 1 k ≥ 2n∑ k=n+1 1 2n = n 2n = 1 2 assim o crit´erio de Cauchy, n˜ao ´e v´alido para s´erie harmˆonica, pois tomando ε = 1 2 e p = n n˜ao temos | 2n∑ k=n+1 1 k | < 1 2
  28. 28. CAP´ITULO 1. S´ERIES 27 para n suficientemente grande, pois vale para qualquer n 2n∑ k=n+1 1 k ≥ 1 2 sendo g(n) = n∑ k=1 1 k temos ∆g(n) = 1 n + 1 > 0 logo a s´erie ´e crescente. Sendo crescente e divergente ent˜ao ela tem limite +∞. Com a s´erie harmˆonica temos um exemplo de s´erie cujo termo somado tem limite 0 por´em a s´erie diverge lim 1 n = 0. 1.3 S´eries absolutamente convergentes Defini¸c˜ao 3 (S´eries absolutamente convergentes). Uma s´erie ∞∑ k=a ak ´e dita absoluta- mente convergente se ∞∑ k=a |ak| ´e convergente. Defini¸c˜ao 4 (S´erie condicionalmente convergente). Uma s´erie ∞∑ k=a ak ´e condicional- mente convergente se ∞∑ k=a ak converge por´em ∞∑ k=a |ak| diverge. 1.3.1 Toda s´erie absolutamente convergente ´e convergente ⋆ Teorema 1 (Toda s´erie absolutamente convergente ´e convergente). Se s(n) = n∑ k=b |ak| converge ent˜ao n∑ k=b ak converge. Demonstra¸c˜ao. Se n∑ k=b |ak| converge, podemos usar o crit´erio de Cauchy, que garante que para todo ε > 0 existe n0 ∈ N, tal que para n > n0 e p ∈ N vale | n+p ∑ k=n+1 |ak| | = n+p ∑ k=n+1 |ak| < ε mas vale a desigualdade | n+p ∑ k=n+1 ak| ≤ n+p ∑ k=n+1 |ak| < ε logo n∑ k=b ak ´e uma sequˆencia de Cauchy, portanto converge.
  29. 29. CAP´ITULO 1. S´ERIES 28 Demonstra¸c˜ao.[2] Temos5 que ak ≤ |ak| e tamb´em −ak ≤ |ak| logo dessa ´ultima 0 ≤ ak +|ak| que por sua vez ´e menor que 2|ak|, como 2 ∞∑ k=0 |ak| converge ent˜ao ∞∑ k=0 ak +|ak| tamb´em converge por compara¸c˜ao, da´ı ∞∑ k=0 ak + |ak| − ∞∑ k=0 |ak| = ∞∑ k=0 ak converge por ser soma de s´eries convergentes. Daremos uma outra demonstra¸c˜ao dessa propriedade usando o conceito de parte po- sitiva e negativa de uma s´erie. 1.3.2 Parte negativa e positiva de uma s´erie Defini¸c˜ao 5 (Parte negativa e positiva de uma s´erie). Seja ∑ ak uma s´erie, para cada k definimos a parte positiva pk da seguinte maneira pk =    ak se ak ≥ 0 0 se ak < 0 Definimos a parte negativa qk como qk =    −ak se ak ≤ 0 0 se ak > 0 Propriedade 25. Valem 1. an = pn − qn 2. |an| = pn + qn. Demonstra¸c˜ao. 1. Se an ≥ 0 ent˜ao qn = 0, an = pn, se an < 0 ent˜ao pn = 0 e an = −qn. 2. Se an ≥ 0 ent˜ao |an| = an = pn pois qn = 0. Se an < 0 ent˜ao |an| = −an = qn pois pn = 0. 5 Solu¸c˜ao de Diogenes Mota
  30. 30. CAP´ITULO 1. S´ERIES 29 Corol´ario 5. Vale que pn ≤ |an| e qn ≤ |an|, pois segue da rela¸c˜ao |an| = pn + qn e do fato de ambos serem n˜ao negativos. Corol´ario 6. Se ∑ |an| ´e convergente ent˜ao ∑ an ´e convergente. Vale que pn ≤ |an| e qn ≤ |an|, da´ı ∑ pn e ∑ qn s˜ao convergentes por crit´erio de compara¸c˜ao, da´ı ∑ (pn − qn) = ∑ pn − ∑ qn ´e convergente logo ∑ an ´e convergente. Propriedade 26. Se uma s´erie ∑ an ´e condicionalmente convergente ent˜ao ∑ pn = ∞ = ∑ qn. Demonstra¸c˜ao. Vale que n∑ k=b ak = n∑ k=b pk − n∑ k=b qk se ∑ pn fosse convergente, ent˜ao ∑ qn tamb´em o seria, logo ∑ |an| = ∑ pn + ∑ qn seria convergente o que contradiz a hip´otese. Corol´ario 7. Seja ∞∑ k=b ak uma s´erie absolutamente convergente ent˜ao ∞∑ k=b ak(−1)yk ´e convergente onde (yk) ´e uma sequˆencia qualquer de n´umeros naturais. A propriedade vale pois ∞∑ k=b |ak(−1)yk | = ∞∑ k=b |ak| ent˜ao ∞∑ k=b ak(−1)yk ´e absolutamente convergente portanto convergente. Esse resultado diz que se tomamos uma s´erie absolutamente convergente e trocamos os sinais dos termos da s´erie de maneira arbitr´aria ent˜ao ainda assim a s´erie continua sendo convergente. Exemplo 25. Analisar a convergˆencia da s´erie ∞∑ k=1 senka kr onde r > 1, real. Vale sempre |senka| ≤ 1, da´ı |senka| kr ≤ 1 kr por compara¸c˜ao temos ∞∑ k=1 |senka| kr ≤ ∞∑ k=1 1 kr a s´erie da direita converge, logo a s´erie ∞∑ k=1 senka kr ´e absolutamente convergente, e conver- gente. O mesmo argumento pode ser feito para mostrar que ∞∑ k=1 coska kr
  31. 31. CAP´ITULO 1. S´ERIES 30 ´e absolutamente convergente. Corol´ario 8. Seja ∞∑ k=d bk uma s´erie convergente, com bk ≥ 0 para todo k ∈ Z. Se existem c > 0 e n0 ∈ N tais que |ak| ≤ c.bk para todo k > n0, ent˜ao a s´erie ∞∑ k=d ak ´e absolutamente convergente. Tal propriedade vale pois podemos aplicar o crit´erio de compara¸c˜ao de s´eries para concluir que ∞∑ k=d |ak| converge, logo ∞∑ k=d ak ser´a absolutamente convergente. Corol´ario 9. Se para todo k > n0, tem-se |ak| ≤ c.bk onde 0 < b < 1 e c > 0, ent˜ao a s´erie ∞∑ k=d ak ´e absolutamente convergente. Pois a s´erie ∞∑ k=d bk ´e convergente pela condi¸c˜ao 0 < b < 1. Propriedade 27. Sejam an ≥ 0 e ∑ an convergente, ent˜ao ∑ anxn ´e absolutamente convergente ∀ x ∈ [−1, 1]. Demonstra¸c˜ao. Com x ∈ [−1, 1] vale |x| ≤ 1 da´ı ∑ |anxn | = ∑ an|x|n ≤ ∑ an logo ∑ anxn ´e absolutamente convergente. Propriedade 28. Se ∑ an ´e convergente com an ≥ 0 e x ∈ R arbitr´ario ent˜ao ∑ ansen(nx) e ∑ ancos(nx) s˜ao absolutamente convergentes. Demonstra¸c˜ao. Vale que ∑ |ansen(nx)| = ∑ an|sen(nx)| ≤ ∑ an ∑ |ancos(nx)| = ∑ an|cos(nx)| ≤ ∑ an logo ambas s´eries convergem absolutamente. Propriedade 29. Se ∑ ak ´e absolutamente convergente e lim bn = 0 ent˜ao cn = n∑ k=1 akbn−k → 0.
  32. 32. CAP´ITULO 1. S´ERIES 31 Demonstra¸c˜ao. Existe B > 0 tal que |bn| < B, ∀ n ∈ N. Vale ∞∑ k=1 |ak| = A. Dado ε > 0 existe n0 ∈ N tal que n > n0 implica |bn| < ε 2A e por n∑ k=1 |ak| ser de cauchy vale | n∑ k=n0+1 ak| < ε 2B ent˜ao para n > 2n0 (n − n0 > n0) segue que | n∑ k=1 akbn−k| ≤ n∑ k=1 |ak||bn−k| = n0∑ k=1 |ak||bn−k| + n∑ k=n0+1 |ak||bn−k| ≤ ≤ n0∑ k=1 |ak| ε 2A + n∑ k=n0+1 |ak|B ≤ Aε 2A + εB 2B ≤ ε 2 + ε 2 = ε isso implica que lim cn = 0. Propriedade 30. Seja ∑ an uma s´erie qualquer, denotamos S = { ∑ k∈A ak, tal que A ´e qualquer conjunto finito de ´ındices de (ak)}. ∑ ak ´e absolutamente convergente ⇔ S ´e limitado. Demonstra¸c˜ao. ⇒ Se ∑ ak ´e absolutamente convergente ent˜ao a soma dos termos positivos ´e no m´aximo p = ∑ pk e a soma dos termos negativos ´e no m´aximo −q = − ∑ qk, logo S ´e um conjunto limitado, pois qualquer outra combina¸c˜ao de soma de termos positivos e negativos do conjunto deve estar entre esses dois valores. ⇐. Se S ´e limitado ent˜ao ∑ pn e ∑ qn s˜ao limitados e por isso convergentes pois determinam sequˆencias n˜ao-decrescentes limitadas superiormente, da´ı segue que ∑ |an| = ∑ pn + ∑ qn ´e convergente. 1.3.3 Teste da raiz-Cauchy Propriedade 31 (Teste da raiz). Se existe b tal que k √ |ak| ≤ b < 1 para todo k > n0 ent˜ao ∞∑ k=d ak ´e absolutamente convergente. Se lim sup k √ |ak| = b < 1 temos essa condi¸c˜ao, pois o lim sup ´e o maior dos valores de aderˆencia da sequˆencia, se houvesse uma infinidade de valores da raiz em que k √ |ak| > b ter´ıamos o lim sup maior que b, ent˜ao temos apenas um n´umero finito de ´ındices em que a condi¸c˜ao colocada n˜ao vale.
  33. 33. CAP´ITULO 1. S´ERIES 32 Demonstra¸c˜ao. Temos |ak| ≤ bk para k > n0, logo por crit´erio de compara¸c˜ao segue o resultado, pois ≤ b < 1 ent˜ao a s´erie ∑ bk converge e da´ı tamb´em ∑ |ak| por crit´erio de compara¸c˜ao . Corol´ario 10 (Teste da Raiz de Cauchy). Se lim n √ |an| < 1 ent˜ao ∞∑ k=d ak ´e absolu- tamente convergente. Pois se lim n √ |an| < 1 existe n0 ∈ N tal que para n > n0 implica n √ |an| < 1. Se lim n √ |an| > 1 ent˜ao a s´erie ∑ ak diverge, pois existe n0 ∈ N tal que para k > n0 tem-se 1 < t < a − ε < k √ |ak| < a + ε logo tn < |ak| o que implica que lim ak ̸= 0 ent˜ao a s´erie ∑ ak diverge . Se lim n √ |an| = 1 ent˜ao o teste ´e inconclusivo. Por exemplo ∑ 1 k2 converge e ∑ 1 k diverge . Propriedade 32. Se |an| 1 n > 1 para uma infinidade de indices n ent˜ao lim an ̸= 0 e a s´erie ∑ an diverge. A mesma observa¸c˜ao vale se usamos o conceito de lim sup, isto ´e, se lim sup |an| 1 n = α > 1. Demonstra¸c˜ao. Se lim an = 0 ent˜ao existe n0 ∈ N tal que para n > n0 tem-se |an| < 1 2 , se |an| 1 n ≥ 1 para uma infinidade de indices n, ent˜ao existe um ´ındice n1 > n0 tal que |an1 | 1 n1 ≥ 1 logo |an1 | ≥ 1 o que entra em contradi¸c˜ao com a suposi¸c˜ao de que lim an = 0 ent˜ao tal propriedade n˜ao vale, de onde segue que a s´erie ∑ an diverge, pois se ela fosse convergente ent˜ao ter´ıamos lim an = 0. Propriedade 33. A s´erie ∞∑ k=d kp ak converge quando |a| < 1 e diverge quando |a| ≥ 1, onde p ≥ 0 . Demonstra¸c˜ao. Aplicamos o teste da raiz lim n √ |npan| = |a|(lim n √ n)p = |a| quando |a| < 1 ela ent˜ao converge, se |a| ≥ 1 tem-se que o limite lim np an ̸= 0 ent˜ao a s´erie diverge. Corol´ario 11. Seja g(k) um polinˆomio e |a| < 1, ent˜ao ∞∑ k=d g(k)ak
  34. 34. CAP´ITULO 1. S´ERIES 33 converge absolutamente. Exemplo 26. A s´erie ∞∑ k=1 ak ln k converge absolutamente quando |a| < 1 pois |a|k ln k ≤ |a|k k por compara¸c˜ao a s´erie converge. Exemplo 27. A s´erie ∞∑ n=2 1 (ln n)n converge pois lim n √ 1 (ln n)n = lim 1 ln n = 0 < 1, logo a s´erie converge. Exemplo 28. Estude a convergˆencia da s´erie ∞∑ k=1 ( k k + 1 )k2 . Aplicamos o teste da raiz (( k k + 1 )k2 )1 k = ( k k + 1 )k = 1 (1 + 1 k )k → 1 e < 1 pois e > 1 logo a s´erie converge . 1.3.4 Teste da raz˜ao-D’ Alembert ⋆ Teorema 2 (Teste da raz˜ao). Sejam ∞∑ k=d ak uma s´erie de termos n˜ao-nulos e ∞∑ k=d bk uma s´erie convergente com bk > 0 para todo k natural. Se existe n0 ∈ N tal que |ak+1| |ak| ≤ bk+1 bk para todo k ≥ n0 ent˜ao ∞∑ k=d ak ´e absolutamente convergente. O mesmo resulta se consi- deramos o conceito de lim sup, assim como fizemos no teste da raiz. Demonstra¸c˜ao. Podemos escrever a desigualdade como Q|ak| ≤ Qbk,
  35. 35. CAP´ITULO 1. S´ERIES 34 onde Qbk = bk+1 bk , aplicando o produt´orio em ambos lados com k ≥ n0 at´e n−1 tem-se por produto telesc´opico n−1∏ k=n0 Q|ak| = |an| |an0 | ≤ n−1∏ k=n0 Qbk = bn bn0 logo vale |an| ≤ c.bn onde c = |an0 | bn0 > 0. Ent˜ao por crit´erio de compara¸c˜ao ∞∑ k=d ak ´e absolutamente convergente. Corol´ario 12. Se existe uma constante c tal que 0 < c < 1 tomamos bk = ck e temos a s´erie ∞∑ k=d ck convergente e ainda ck+1 ck = c. Se vale |ak+1| |ak| ≤ c para todo k ≥ n0 ent˜ao ∞∑ k=d ak ´e absolutamente convergente pela propriedade anterior. Corol´ario 13 (Teste da raz˜ao de D’Alembert). Se lim |an+1| |an| < 1 ent˜ao a s´erie ∞∑ k=d ak ´e absolutamente convergente. Pois se vale lim |an+1| |an| < 1 existe n0 tal que para n > n0 tem-se |an+1| |an| < 1. Se lim |an+1| |an| > 1 ent˜ao a s´erie diverge, pois para k > n0 tem-se 1 < t < a + ε < |ak+1| |ak| aplicando n∏ n0+1 tem-se tn−n0 |xn0+1| < |xn+1| logo (xn) n˜ao converge para zero, logo a s´erie ∑ xk diverge. Caso lim |xn+1| |xn| = 1 ent˜ao o teste ´e inconclusivo. Nesse caso a s´erie pode divergir, como em ∑ 1, pode convergir como ∑ 1 k2 . Propriedade 34. Se an ̸= 0∀ n ∈ N e existe n0 ∈ N tal que para n ≥ n0 tem-se |an+1| |an| ≥ 1 ent˜ao ∑ an diverge.
  36. 36. CAP´ITULO 1. S´ERIES 35 Demonstra¸c˜ao. Para k > n0 vale |ak+1| |ak| ≥ 1 da´ı aplicando n∏ k=n0 de ambos lados, segue por produto telesc´opico que |an+1| an0 ≥ 1 ⇒ |an+1| ≥ |an0 | > 0 logo n˜ao vale que lim an = 0, portanto a s´erie ∑ an diverge. Propriedade 35. Para qualquer sequˆencia (cn), cn > 0, vale que lim sup(cn) 1 n ≤ lim sup cn+1 cn . Demonstra¸c˜ao. Seja α = lim sup cn+1 cn , finito, tomamos b > α qualquer, existe n0 suficientemente grande tal que ck+1 ck ≤ b para k ≥ n0 tomamos o produto n0+p−1 ∏ k=n0 em ambos lados pro produto telesc´opico (os termos se anulam no primeiro termo do produt´orio) temos cn0 + p n ≤ bp cn0 cn ≤ cn0 b−n0 bn da´ı tomando a raiz n-´esima n √ cn ≤ n √ cn0 b−n0 →1 b logo lim sup n √ cn ≤ b vale para qualquer b > α logo lim sup n √ cn ≤ α. Corol´ario 14. Se o teste da raz˜ao implica convergˆencia ent˜ao o crit´erio da raiz tamb´em lim sup(cn) 1 n ≤ lim sup cn+1 cn < 1 se o crit´erio da raiz implica divergˆencia ent˜ao o crit´erio da raz˜ao tamb´em 1 < lim sup(cn) 1 n ≤ lim sup cn+1 cn .
  37. 37. CAP´ITULO 1. S´ERIES 36 Exemplo 29. A s´erie ∞∑ k=1 ak = a + b + a2 + b2 + a3 + b3 + a4 + b4 + · · · definida como a2k = bk e a2k−1 = ak onde 0 < a < b < 1 converge. O teste de d’Alembert ´e inconclusivo pois ∀ k a2k a2k−1 = ( b a )k > 1 pois de a < b segue 1 < b a . O teste de Cauchy funciona pois para ´ındices pares 2n √ bn = √ b < 1 e para ´ındices ´ımpares 2n−1 √ an < 1, logo vale para todo n, n √ |an| < 1 e o teste de Cauchy implica que ∑ an converge. No caso do teste de d’Alembert, caso fosse a = b seguiria que a2k a2k−1 = ( b a )k = 1, por´em a s´erie s´eria convergente pois 2n∑ k=1 ak = n∑ k=1 a2k + n∑ k=1 a2k−1 = n∑ k=1 ak + n∑ k=1 bk sendo que a sequˆencia das reduzidas ´e convergente logo a s´erie ´e convergente, em especial esse argumento vale para a = b = 1 2 . Propriedade 36. A s´erie ∞∑ k=0 xk k! converge absolutamente para qualquer x ∈ R dado. Demonstra¸c˜ao. Se x = 0 a s´erie trunca , se n˜ao pelo teste da raz˜ao tomamos xn = xn n! e da´ı xn+1 xn = xn+1 (n + 1)! n! xn = x n + 1 cujo limite ´e 0, logo a s´erie converge absolutamente pelo crit´erio da raz˜ao. Corol´ario 15. No texto de sequˆencias tomamos limites da raz˜ao de algumas sequˆencias que nos permitem concluir que ∞∑ n=0 an .n!np nn converge se 0 < a < e, no caso especial de p = 0 e a = 1 tem-se que ∞∑ n=0 n! nn converge, tamb´em converge ∞∑ n=0 np an n! e se a > 1 ∞∑ n=0 np an .
  38. 38. CAP´ITULO 1. S´ERIES 37 Corol´ario 16. Por compara¸c˜ao com ∞∑ n=0 n! nn conclu´ımos que ∞∑ n=0 1 nn converge. Propriedade 37. A sequˆencia de termo ( ln(n + 1) (n + 1) )n ´e limitada. Demonstra¸c˜ao. Para n ≥ 3 vale ( n + 1 n )n < n da´ı (n + 1)n < nn+1 tomando o logaritmo n ln(n + 1) < (n + 1) ln(n) logo ln(n + 1) ln(n) < n + 1 n elevando `a n segue que ( ln(n + 1) (n + 1) )n < ( n + 1 n )n , sendo menor que uma sequˆencia limitada segue que ela ´e limitada. Exemplo 30. Mostrar que ∑ ( ln(n) n )n ´e convergente. Pelo crit´erio de D’Alembert, temos ( ln(n + 1) (n + 1) )n+1 ( (n) ln(n) )n = ln(n + 1) n + 1 ( ln(n + 1) (n + 1) )n ( n n + 1 )n o primeiro limite tende a zero, a segunda express˜ao ´e limitada e o terceiro limite converge, ent˜ao tal express˜ao tende a zero. Pelo crit´erio de Cauchy, n √ ( ln(n) n )n = ln(n) n → 0 logo a s´erie converge. Exemplo 31. Estudamos os valores x reais com os quais as s´eries a seguir convergem. 1. ∑ nk xn . n √ nk|x|n = n √ nk|x| → |x| ent˜ao a s´erie converge com |x| < 1, ela n˜ao converge se x = 1 ou x = −1 pois nesses casos o limite do termo somado n˜ao tende a zero. 2. ∑ nn xn . n √ nn|x|n = n|x| → ∞ se x ̸= 0 ela s´o converge para x = 0. 3. ∑ xn nn . n √ |x|n nn = |x| n → 0, logo ela converge independente do valor de x. 4. ∑ n!xn . n √ n!|x|n = n √ n!|x| → 0, logo ela s´o converge com x = 0. 5. ∑ xn n2 . n √ |x|n n2 → |x|, ent˜ao ´e garantida a convergˆencia com |x| < 1 , com x = 1 ela converge e com x = −1 tamb´em, pois ´e absolutamente convergente.
  39. 39. CAP´ITULO 1. S´ERIES 38 1.3.5 Crit´erio de Dirichlet Propriedade 38 (Crit´erio de Dirichlet). Sejam s(n) = n∑ k=1 ak uma sequˆencia limitada, (bn) uma sequˆencia decrescente de n´umeros positivos com lim bn = 0, ent˜ao a s´erie ∞∑ k=1 akbk ´e convergente. Demonstra¸c˜ao. Estamos denotando X ∆f(k) = f(k + 1) − f(k), X g(k) ]n+1 1 = g(n + 1) − g(1) X s(0) = 0∑ k=1 ak = 0 chamado de soma vazia. Usaremos a identidade chamada de soma por partes (de simples demonstra¸c˜ao) n∑ k=1 f(k)∆g(k) = f(k)g(k) ]n+1 1 − n∑ k=1 g(k + 1)∆f(k). Temos que s(0) = 0∑ k=1 ak = 0 por ser soma vazia e s(n − 1) = n−1∑ k=1 ak logo ∆s(n − 1) = s(n) − s(n − 1) = n∑ k=1 ak − n−1∑ k=1 ak = an isto ´e, ∆Sk−1 = ak, vamos usar a regra de soma por partes n∑ k=1 f(k)∆g(k) = f(k)g(k) n+1 1 − n∑ k=1 g(k + 1)∆f(k) tomando g(k) = sk−1 e f(k) = bk segue n∑ k=1 bk∆sk−1 = n∑ k=1 bkak = bksk−1 n+1 1 − n∑ k=1 sk∆bk = bn+1sn − b1s0 =0 − n∑ k=1 sk∆bk =
  40. 40. CAP´ITULO 1. S´ERIES 39 = bn+1sn − n∑ k=1 sk∆bk = bn+1sn + n∑ k=1 sk(−∆bk). Perceba que lim bn+1sn = 0 pois sn ´e limitada e lim bn = 0. Como bk ´e decrescente vale ∆bk = bk+1 − bk ≤ 0 ⇒ −∆bk ≥ 0 e a s´erie ∞∑ k=1 sk(−∆bk) ´e absolutamente convergente pois, como sk ´e limitada vale |sk| ≤ c > 0 e n∑ k=1 |sk||(−∆bk)| = n∑ k=1 |sk|(−∆bk) ≤ n∑ k=1 c(−∆bk) = −c(bn+1 − b1) logo por compara¸c˜ao n∑ k=1 sk(−∆bk) ´e absolutamente convergente, implicando que a s´erie ∞∑ k=1 akbk ´e convergente. Corol´ario 17. Sejam s(n) = n∑ k=1 ak uma sequˆencia limitada, (bn) uma sequˆencia crescente de n´umeros negativos com lim bn = 0, ent˜ao a s´erie ∞∑ k=1 akbk ´e convergente. Pois tomando ∞∑ k=1 ak(−bk), (−bk) ´e uma sequˆencia de n´umeros positivos e como vale bk+1 ≥ bk ent˜ao −bk ≥ −bk+1 e (−bk) ´e decrescente e converge para zero, ent˜ao podemos aplicar o crit´erio de Dirichlet para concluir que −s = ∞∑ k=1 ak(−bk) logo tamb´em converge s = ∞∑ k=1 akbk. Exemplo 32. Dado x fixo, as s´eries ∞∑ k=1 senxk k e ∞∑ k=1 coskx k convergem. Pois n∑ k=1 sen(xk) = −cos(xn + x 2 ) + cos(x 2 ) 2sen(x 2 ) , n∑ k=1 cos(xk) = sen(xn + x 2 ) − sen(x 2 ) 2sen(x 2 )
  41. 41. CAP´ITULO 1. S´ERIES 40 s˜ao limitadas e xk = 1 k ´e decrescente, pois ∆xk = −1 k(k + 1) < 0 com lim xn = 0. Propriedade 39. Sejam u0 > 0 , (an) positiva un+1 = un + an un . un ´e convergente ⇔ ∑ an ´e convergente. Demonstra¸c˜ao. Primeiro observamos que (un) ´e positiva pois un+1 = un + an un , por indu¸c˜ao, segue pois u0 > 0 e an > 0 ⇒). Usamos o crit´erio de Dirichlet. De un+1 = un + an un temos ∞∑ k=0 ak = ∞∑ k=0 uk∆uk queremos mostrar que a ´ultima converge. Suponha que c = lim un ent˜ao zn = c − un ´e sequˆencia positiva decrescente e lim ∆un = 0 ent˜ao a s´erie ∞∑ k=0 (c − uk)∆uk = lim n∑ k=0 c∆uk converge − n∑ k=0 uk∆uk converge, pois n−1∑ k=0 ∆uk = un − u0 ´e limitado (pois converge), logo aplicamos o crit´erio de Dirichlet. Portanto ∞∑ k=0 uk∆uk = ∞∑ k=0 ak converge. ⇐). (Solu¸c˜ao de Alexandre Cezar) Suponha que ∞∑ k=0 ak converge, vamos mostrar que (un) converge, j´a sabemos que tal sequˆencia ´e crescente, vamos mostrar que ´e limitada. Suponha que n˜ao seja limitada, ent˜ao existe n0 > 0 tal que un > 1 para n ≥ n0 un − u0 = n−1∑ k=n0 ∆uk = n−1∑ k=n0 ak uk ≤ n−1∑ k=n0 ak < ∞∑ k=n0 ak o que ´e absurdo pois un seria ilimitada e limitada. Propriedade 40 (Crit´erio de Abel). Se ∞∑ k=1 ak ´e convergente e (bn) ´e uma sequˆencia decrescente de n´umeros positivos ent˜ao a s´erie ∞∑ k=1 akbk ´e convergente.
  42. 42. CAP´ITULO 1. S´ERIES 41 Demonstra¸c˜ao. A sequˆencia (bn) ´e limitada inferiormente por zero, sendo decrescente ela converge, seja ent˜ao c seu limite, lim bn = c, lim bn − c = 0. (bn − c) ´e uma sequˆencia decrescente com limite 0, temos ent˜ao que a s´erie ∞∑ ak(bk − c) ´e convergente e vale n∑ k=1 ak(bk − c) = n∑ k=1 akbk − c n∑ k=1 ak ⇒ n∑ k=1 ak(bk − c) + c n∑ k=1 ak = n∑ k=1 akbk pela ´ultima identidade vemos que ∞∑ k=1 akbk ´e convergente. 1.3.6 Crit´erio de Leibniz Propriedade 41 (Crit´erio de Leibniz). Se (bn) ´e uma sequˆencia decrescente com lim bn = 0 ent˜ao a s´erie ∞∑ k=1 (−1)k bk ´e convergente. Demonstra¸c˜ao.[1] Se (bn) ´e uma sequˆencia decrescente com lim bn = 0 ent˜ao (bn) n˜ao o admite termo negativo, pois caso bn0 < 0 ent˜ao para n > n0 tem-se bn ≤ bn0 < 0 e o limite da sequˆencia n˜ao poderia ser zero. Se existe n0 tal que bn0 = 0 ent˜ao para todos n > n0 tem que valer bn = 0, pois ela n˜ao admite termo negativo, ent˜ao n˜ao pode decrescer ainda mais, nesse caso a soma ser´a uma soma finita, ent˜ao resta apenas o caso de bn > 0 para todo n, nesse caso temos uma sequˆencia decrescente de termos positivos com limite zero e n∑ k=1 (−1)k ´e limitada, ent˜ao pelo crit´erio de Dirichlet a s´erie ´e convergente. Demonstra¸c˜ao.[2] Seja sn = n∑ k=1 (−1)k+1 bk ent˜ao s2n+2 = 2n+2∑ k=1 (−1)k+1 bk = 2n∑ k=1 (−1)k+1 bk − b2n+2 + b2n+1 = s2n + b2n+1 − b2n+2 como (bn) ´e n˜ao-crescente tem-se que b2n+1 − b2n+2 ≥ 0, da´ı s2n+2 − s2n ≥ 0, implicando que (s2n) ´e n˜ao-decrescente. Da mesma maneira s2n+1 = 2n+1∑ k=1 (−1)k+1 bk = 2n−1∑ k=1 (−1)k+1 bk + b2n+1 − b2n = s2n−1 + b2n+1 − b2n,
  43. 43. CAP´ITULO 1. S´ERIES 42 dessa vez como (bn) ´e n˜ao-crescente, segue que b2n+1 − b2n ≤ 0 logo s2n+1 − s2n−1 ≤ 0 e a sequˆencia (s2n−1) ´e n˜ao-crescente. Ambas sequˆencias s˜ao limitadas pois s2n = 2n∑ k=1 (−1)k+1 bk = 2n−1∑ k=1 (−1)k+1 bk − b2n = s2n−1 − b2n logo s2n−1 − s2n = bn ≥ 0 ⇒ s2n−1 ≥ s2n, s1 ≥ s2n−1 ≥ s2n ≥ s2, as reduzidas de ordem par e ´ımpar s˜ao mon´otonas e limitadas logo convergentes lim s2n = L1, lim s2n−1 = L2, pela identidade s2n−1 − s2n = bn e lim bn = 0 segue na passagem de limite que lim s2n−1 − s2n = lim bn = 0 = L2 − L1 logo L1 = L2 e a s´erie ´e convergente. Propriedade 42. Seja (xn) uma sequˆencia n˜ao-crescente com lim xn = 0 ent˜ao a s´erie obtida somando p termos com sinais positivos da sequˆencia (xn) alternando com p termos negativos alternadamente ´e convergente. Demonstra¸c˜ao. A s´erie pode ser escrita como ∞∑ t=1 (−1)t+1 p ∑ k=1 xk+(t−1)p =yt = ∞∑ t=1 (−1)t+1 yt Vamos mostrar que essa s´erie satisfaz os crit´erio de Leibniz. Como lim xn = 0 ent˜ao o limite de qualquer subsequˆencia de (xn) tamb´em tende a zero, logo lim t→∞ xk+(t−1)p = 0 , para todo k fixo, tem-se lim yt = lim p ∑ k=1 xk+(t−1)p = 0. Agora vamos mostrar que a sequˆencia (yt) ´e n˜ao-crescente, como (xn) ´e n˜ao-crescente temos que xk+tp ≤ xk+(t−1)p para todo k, aplicando p ∑ k=1 tem-se yt+1 = p ∑ k=1 xk+tp ≤ p ∑ k=1 xk+(t−1)p = yt da´ı yt ´e n˜ao-crescente, logo vale o crit´erio de Leibniz, implicando que ∞∑ t=1 (−1)t+1 p ∑ k=1 xk+(t−1)p ´e convergente.
  44. 44. CAP´ITULO 1. S´ERIES 43 Exemplo 33. A s´erie obtida somando p termos com sinais positivos da sequˆencia (xn) = ( 1 n ) alternando com p termos negativos alternadamente ´e convergente, pois lim xn = 0 e xn ´e decrescente. Exemplo 34. Mostrar que a s´erie ∞∑ k=1 (−1)k (k2 + 1) k3 + 1 converge condicionalmente. Tomando ak = k2 + 1 k3 + 1 mostramos que ak > ak+1, k2 + 1 k3 + 1 > k2 + 2k + 2 k3 + 3k2 + 3k + 2 k5 + 3k4 + 4k3 + 5k2 + 3k + 2 > k5 + 2k4 + 2k3 + k2 + 2k + 2, k4 + 2k3 + 4k2 + k > 0 e temos lim (k2 + 1) k3 + 1 = 0 logo a s´erie ∞∑ k=1 (−1)k (k2 + 1) k3 + 1 converge pelo crit´erio de Leibniz. Vamos mostrar agora que ∞∑ k=1 (k2 + 1) k3 + 1 diverge, (k2 + 1) k3 + 1 ≥ 1 k , k3 + k > k3 + 1, k ≥ 1 logo temos ∞∑ k=1 (k2 + 1) k3 + 1 > ∞∑ k=1 1 k logo a s´erie diverge por compara¸c˜ao. Exemplo 35. A s´erie ∞∑ k=1 (−1)k √ k converge por crit´erio de Leibniz, pois lim 1 √ n = 0 e como √ n + 1 > √ n segue que 1 √ n > 1 √ n + 1 e da´ı 1 √ n − 1 √ n + 1 > 0 a sequˆencia ´e decrescente, podemos aplica o crit´erio de Leibniz. Observe tamb´em que a s´erie dada pelo quadrado do termo geral diverge pois o termo geral ´e (−1)2n √ n 2 = 1 n termo da s´erie harmˆonica que diverge. Propriedade 43. Se ∞∑ k=0 xk e ∞∑ k=0 yk convergem e (xk), (yk) s˜ao sequˆencias de termos n˜ao negativos, ent˜ao ∞∑ k=0 xk.yk converge.
  45. 45. CAP´ITULO 1. S´ERIES 44 Demonstra¸c˜ao. Sendo f(n) = n∑ k=0 xk.yk, vale ∆f(n) = xn+1.yn+1 ≥ 0, logo a sequˆencia das somas parciais ´e crescente. Vale ainda que a sequˆencia ´e limitada superior- mente pois n∑ k=0 xk.yk ≤ ( n∑ k=0 xk)( n∑ k=0 yk). Exemplo 36. A s´erie ∞∑ (−1)k k + 1 converge , pelo crit´erio de Leibniz temos que lim 1 n + 1 = 0 e ( 1 n + 1 ) ´e decrescente. Observamos tamb´em que essa s´erie ´e condicional- mente convergente pois ∞∑ 1 k + 1 diverge, pela s´erie harmˆonica. Exemplo 37. A s´erie ∞∑ k=2 (−1)k k ln(k) converge condicionalmente . Pois 1 k ln(k) → 0, a sequˆencia ´e decrescente, logo usamos o crit´erio de Leibniz, que implica a s´erie alternada ∞∑ k=2 (−1)k k ln(k) convergir . Tal s´erie n˜ao converge em m´odulo6 , isto ´e, ∞∑ k=2 1 k ln(k) diverge , portanto ∞∑ k=2 (−1)k k ln(k) ´e condicionalmente convergente . Exemplo 38. A s´erie ∞∑ k=1 (−1)k √ k3 − 6 converge. Pois sequˆencia de termo xn = 1 √ n3 − 6 ´e decrescente 1 √ n3 − 6 > 1 √ (n + 1)3 − 6 ⇔ (n + 1)3 − 6 > n3 − 6 que vale e temos lim xn = 0. Logo pelo crit´erio de Leibniz a s´erie converge. Propriedade 44. Seja (xn) tal que xn ̸= 0 para todo n e lim xn = ∞ ent˜ao ∞∑ k=1 ∆xk = ∞∑ k=1 xk+1 − xk 6 Vimos como aplica¸c˜ao do crit´erio de Cauchy
  46. 46. CAP´ITULO 1. S´ERIES 45 diverge e ∞∑ k=1 ∆ 1 xk = ∞∑ k=1 1 xk+1 − 1 xk+1 converge. Demonstra¸c˜ao. A primeira s´erie tem reduzida n∑ k=1 ∆xk = xk n+1 1 = xn+1 − x1 tomando o limite lim n∑ k=1 ∆xk = lim xn+1 − x1 = ∞ logo a s´erie diverge. A segunda s´erie tem reduzida n∑ k=1 ∆ 1 xk = 1 xk n+1 1 = 1 xn+1 − 1 x1 e tomando o limite mostramos que converge para − 1 x1 . Exemplo 39. Seja a s´erie ∞∑ k=1 ak(−1)k+1 = 2 3 − 1 3 + 2 4 − 1 4 + 2 5 − 1 5 + 2 6 − 1 6 +· · · onde a2k = 1 k + 2 e a2k−1 = 2 2 + k ent˜ao lim ak = 0 e tem termos alternados, por´em diverge. Por que ela n˜ao contradiz o teorema de Leibniz? Tal sequˆencia n˜ao satisfaz a propriedade de ser n˜ao-crescente, pois a2k+1 > a2k, 2 2 + k + 1 > 1 2 + k . Tal s´erie realmente diverge pois 2n∑ k=1 ak(−1)k+1 = n∑ k=1 a2k−1 − n∑ k=1 a2k = n∑ k=1 2 2 + k − 1 2 + k = n∑ k=1 1 k + 2 que diverge pela divergˆencia da s´erie harmˆonica (perceba acima que separamos os termos pares dos ´ımpares na soma). Exemplo 40. Uma s´erie ∑ an pode ser convergente e quando seus termos s˜ao multiplicados por uma sequˆencia limitada (xn) a s´erie ∑ anxn, pode divergir, como ´e o caso da s´erie ∑ (−1)n n com termos multiplicados pela sequˆencia limitada de termo (−1)n , gerando a s´erie ∑ 1 n que ´e divergente. (xn) pode ser convergente e ainda assim ∑ anxn
  47. 47. CAP´ITULO 1. S´ERIES 46 divergir como ´e o caso de ∑ (−1)n √ n que converge pelo crit´erio de Leibniz e tomando xn = (−1)n √ n ∑ (−1)n √ n (−1)n √ n = ∑ 1 n diverge. Propriedade 45. Se (xn) ´e limitada e ∑ an ´e absolutamente convergente ent˜ao ∑ anxn ´e convergente. Demonstra¸c˜ao. Existe m ∈ R tal que |xn| < m ∀ n ∈ N da´ı |xnan| ≤ m|an| da´ı segue por compara¸c˜ao que ∑ |xnan| ´e convergente logo ∑ xn.an converge. 1.3.7 Crit´erio de Kummer Propriedade 46 (Crit´erio de Kummer , parte I). Sejam (xn) com xn > 0 ∀ n ∈ N. Definindo f(n) = xn an an+1 − xn+1 com an > 0 ∀ n. Se existe m ∈ N tal que f(n) > α > 0, ∀ n > m, n, m ∈ N ent˜ao ∞∑ k=1 ak converge. Demonstra¸c˜ao. Seja n > m ent˜ao vale xn an an+1 − xn+1 > α como an+1 > 0 podemos multiplicar sem alterar a desigualdade xnan − xn+1an+1 > αan+1 ⇔ −∆(xnan) > αan+1 aplicando a soma com n variando de m + 1 at´e m + p a desigualdade continua v´alida − m+p ∑ n=m+1 ∆(xnan) = xm+1am+1 − xm+p+1am+p+1 > α m+p ∑ n=m+1 an+1 = α m+p+1 ∑ n=m+2 an por xm+p+1am+p+1 ser positivo segue α m+p+1 ∑ n=m+2 an < xm+1am+1 ⇔ m+p+1 ∑ n=m+2 an < xm+1am+1 α e m+p+1 ∑ n=m+2 an = m+p+1 ∑ n=1 an − m+1∑ n=1 an
  48. 48. CAP´ITULO 1. S´ERIES 47 logo m+p+1 ∑ n=1 an − m+1∑ n=1 an < xm+1am+1 α ⇔ m+p+1 ∑ n=1 an < m+1∑ n=1 an + xm+1am+1 α := K por m ser fixo, a s´erie dos termos ak ´e limitada superiormente e por ser soma de termo positivos ela converge. Propriedade 47 (Crit´erio de Kummer, parte II). Se existe m ∈ N tal que n > m implica f(n) ≤ 0 e ∞∑ k=1 1 xk diverge, ent˜ao ∞∑ k=1 ak diverge. Demonstra¸c˜ao. Para k > m Vale xk ak ak+1 − xk+1 ≤ 0 ⇔ xkak − xk+1ak+1 = −∆(xkak) ≤ 0 tomando a soma de k = m + 1 at´e n − 1 segue − n−1∑ k=m+1 ∆xkak ≤ 0 ⇔ xm+1am+1 =c ≤ xnan ⇔ c xn ≤ an ⇒ ∞∑ n c xn ≤ ∞∑ n an a s´erie ∞∑ n an diverge por compara¸c˜ao com a s´erie divergente ∞∑ n c xn . Corol´ario 18. Se lim f(n) > 0 ent˜ao a s´erie ∞∑ k ak converge. Pois vai existir m ∈ N tal que n > m implica f(n) > 0. Exemplo 41. A s´erie ∞∑ n=1 n∏ s=1 p + s q + s com q, p positivos, converge se q − p > 1 e diverge se q − p ≤ 1. Com an = n∏ s=1 p + s q + s temos an an+1 = q + n + 1 p + n + 1 , tomando xn = p+n+1 > 0, conclu´ımos que n∑ k=1 1 xk diverge pela s´erie harmˆonica e temos ainda que (p + n + 1) q + n + 1 p + n + 1 − p − n − 2 = q + n + 1 − p − n − 2 = q − p − 1 que n˜ao depende de n logo a s´erie converge para q − p − 1 > 0 ⇒ q − p > 1 e diverge para q − p − 1 ≤ 0 ⇒ q − p ≤ 1.
  49. 49. CAP´ITULO 1. S´ERIES 48 Defini¸c˜ao 6 (Crit´erio de Raabe). O crit´erio de Raabe para convergˆencia de s´eries ´e obtido por meio do crit´erio de Kummer, tomando xn = n. Resumindo o crit´erio: ∞∑ k=1 ak converge se existem α > 0 e m ∈ N tal que vale n an an+1 − n − 1 = n( an an+1 − 1) − 1 > α para n > m, em especial se lim n( an an+1 − 1) − 1 = l > 0 ⇔ lim n( an an+1 − 1) = s > 1 como ∞∑ k=1 1 k diverge, ent˜ao se n( an an+1 − 1) < 1 para n > m ent˜ao ∞∑ k=1 ak diverge o mesmo com limite lim n( an an+1 − 1) = l < 1 ent˜ao a s´erie diverge. 1.4 Comutatividade Defini¸c˜ao 7 (S´erie comutativamente convergente). Uma s´erie ∑ an ´e dita ser co- mutativamente convergente quando para qualquer bije¸c˜ao f : N → N ( sendo bn = af(n)), a s´erie ∑ bn ´e convergente. A defini¸c˜ao de s´erie comutativamente convergente tamb´em funciona para s´eries do tipo ∞∑ k=b+1 a′ k, pois nesse caso escrevemos a s´erie como ∞∑ k=1 a′ k+b ak . Corol´ario 19. Para que ∑ an seja comutativamente convergente ´e necess´ario que ∑ an seja convergente, pois f(n) = n ´e uma bije¸c˜ao. Defini¸c˜ao 8 (S´eries incondicionalmente convergentes). ´E uma s´erie que ´e comutati- vamente convergente e toda reordena¸c˜ao converge para o mesmo limite.
  50. 50. CAP´ITULO 1. S´ERIES 49 Propriedade 48. Se ∑ |an| converge ent˜ao ∑ an ´e comutativamente convergente e tem-se ∑ an = ∑ bn onde (bn) ´e qualquer reordena¸c˜ao dos termos de (an), (ela ´e incondicionalmente convergente.) Demonstra¸c˜ao. Seja ∑ akn ,com soma parcial s′ n, um rearranjo da s´erie ∑ an. Dado ε > 0 existe n0 ∈ N tal que m, n ≥ n0 implica m∑ k=n |ak| ≤ ε 2 . Escolhemos p suficientemente grande tal que {1, · · · , n0} ´e subconjunto da reordena¸c˜ao {k1, · · · , kp}. Se n > p + n0 os n´umeros de {a1, · · · , an0 } ser˜ao cancelados na diferen¸ca sn − s′ n pois s′ n = n0∑ s=1 as + n∑ ks>n0 aks sn = n0∑ s=1 as + n∑ k=n0+1 ak logo tomando a diferen¸ca |sn − s′ n| = | n∑ k=n0+1 ak + n∑ ks>n0 aks | ≤ n∑ ks>n0 |aks | + n∑ k=n0+1 |ak| < ε 2 + ε 2 = ε. Logo sn e s′ n convergem para o mesmo limite. ⋆ Teorema 3 (Riemann). Se uma s´erie ∑ an ´e condicionalmente convergente (n˜ao converge absolutamente) ent˜ao para qualquer c real, existe f : N → N bije¸c˜ao tal que ∑ af(n) = c, isto ´e, se uma s´erie ´e condicionalmente convergente ent˜ao existe uma reor- dena¸c˜ao dos termos de ∑ an tal que o resultado da s´erie resulte em c. Demonstra¸c˜ao. Como ∑ pn = ∞ ent˜ao podemos somar uma quantidade sufi- ciente de termos positivos da s´erie tal que a soma resulte em s1 tal que c < s1, da mesma maneira como ∑ qn = ∞ podemos somar uma quantidade suficiente de termos negativos tais que a soma total resulte em s2 tal que s2 < c < s1. Como lim an = 0 conforme n cresce os termos ficam cada vez menores , por isso podemos somar novamente uma quan- tidade finita de termos positivos tais que a soma total resulte em s3 com s2 < c < s3 < s1 , seguindo esse processo criamos uma reordena¸c˜ao da soma dos termos de ∑ an tais que ∑ af(n) = c
  51. 51. CAP´ITULO 1. S´ERIES 50 Propriedade 49. Se uma s´erie ´e condicionalmente convergente ent˜ao existem al- tera¸c˜oes na ordem da soma dos seus termos de modo a tornar a s´erie +∞ ou −∞. Demonstra¸c˜ao. Como vale ∑ qn = ∞ podemos somar uma quantidade suficiente de termos negativos da s´erie tal que a soma resulte em −s1 e qn seja arbitrariamente pequeno, da´ı como ∑ pn = ∞ somamos um n´umero suficiente de termos positivos para que o resultado seja s2 >0 + A >0 > 0, como qn ´e pequeno somamos um n´umero suficiente tal que o resultado seja s3 tal que A < s3 < s2 + A, novamente somamos uma quantidade de termos positivos tal que o resultado seja s4 = s2 +2A, somamos agora os termos negativos tal que o resultado seja s5 com 2A < s5 < s2 + 2A, continuamos o processo, sendo que para n suficientemente grande vale sn > p.A, onde p ´e natural e A > 0, logo a soma diverge para infinito. Para que a s´erie seja divergente para −∞ tomamos procedimento semelhante, por´em come¸cando a somar termos positivos at´e que pn seja pequeno e depois come¸camos a somar os termos negativos. Corol´ario 20. Somente as s´eries absolutamente convergentes s˜ao comutativamente convergentes. Se uma s´erie ´e comutativamente convergente ent˜ao ela ´e absolutamente convergente e incondicionalmente convergente. Se qualquer rearranjo da s´erie converge ela ´e absolutamente convergente e todos rearranjos convergem para mesma soma. Exemplo 42. Reordene os termos da s´erie ∞∑ k=1 (−1)k k de modo que sua soma se torne zero. Demonstrar que (hip´otese) −1 n < s(2n) = n∑ k=1 1 2k − 1 − 4n∑ k=1 1 2k < 0 < s2n−1 = n∑ k=1 1 2k − 1 − 4n−4∑ k=1 1 2k < 1 n da´ı lim sn = 0 , sn ´e uma reordena¸c˜ao da s´erie ∑ (−1)k k . Defini¸c˜ao 9 (Sequˆencia som´avel). Uma sequˆencia (an) ´e som´avel com soma s quando X ∀ ε > 0, existe J0 ⊂ N tal que ∀ J ⊂ N finito com J0 ⊂ J tem-se | ∑ k∈J ak − s| < ε. Propriedade 50. Se (an) ´e som´avel ent˜ao para toda bije¸c˜ao f : N → N, (bn) dada por bn = af(n) ´e som´avel com a mesma soma.
  52. 52. CAP´ITULO 1. S´ERIES 51 Demonstra¸c˜ao. Como (an) ´e som´avel ent˜ao dado ε > 0 existe j1 ⊂ N finito tal que ∀ A j ⊂ N com J1 ⊂ j tem-se | ∑ k∈j ak − s| < ε. Tomamos j0 ⊂ N tal que f(j0) = j1, da´ı f(j0) = j1 ⊂ j. Se j0 ⊂ j ent˜ao f(j0) = j1 ⊂ f(j) que implica | ∑ k∈f(j) ak − s| = | ∑ k∈j af(k) − s| = | ∑ k∈j bk − s| < ε Propriedade 51. (an) ´e som´avel com soma s ⇔ a s´erie ∑ an ´e absolutamente convergente e vale ∑ an = s. Demonstra¸c˜ao. Adotaremos a nota¸c˜ao sj = ∑ k∈j ak, lembrando que j ´e um conjunto finito. ⇒ Vamos mostrar que o conjunto das somas finitas ´e limitado e da´ı a s´erie ir´a convergir absolutamente , por resultado j´a demonstrado. Dado ε = 1 existe j0 ∈ N finito tal que ∀ j com j0 ⊂ j ⇒ |s − sj| < 1. Denotaremos a = ∑ k∈j0 |ak|. Seja A ⊂ N um conjunto finito arbitr´ario, por identidade de conjuntos vale A ∪ j0 = (j0 A) ∪ A sendo que essa uni˜ao ´e disjunta, da´ı tomando a soma sobre esses conjuntos finitos segue ∑ k∈A∪j0 ak = ∑ k∈j0A ak + ∑ k∈A ak ⇒ ∑ k∈A ak = ∑ k∈A∪j0 ak − ∑ k∈j0A ak sA = sA∪j0 − sj0A pois em geral se A e B s˜ao conjuntos disjuntos vale que7 ∑ k∈A∪B ak = ∑ k∈A ak + ∑ k∈B ak. Disso segue que |s − sA| = |s − sA∪j0 + sj0A| < |s − sA∪j0 | + |sj0A| < 1 + a pois j0 ⊂ A ∪ j0 logo |s − sA∪j0 | < 1 pela condi¸c˜ao de ser som´avel . conclu´ımos ent˜ao que o conjunto das somas finitas de ∑ ak ´e limitado, ent˜ao tal s´erie converge absolutamente. ⇐. Supondo agora que a s´erie ∑ an seja absolutamente convergente com ∑ an = ∑ pn u − ∑ qn v = u − v = s. Tomando uj = ∑ k∈J pk, vj = ∑ k∈J qk temos sj = uj − vj. Pela convergˆencia absoluta de ∑ an, dado ε > 0 arbitr´ario existe n0 ∈ N tal que, sendo 7 Isso pode ser tomado como parte da defini¸c˜ao de soma sobre conjuntos finitos
  53. 53. CAP´ITULO 1. S´ERIES 52 j0 = In0 = {1, · · · , n0}, j0 ⊂ j ⇒ |u − uj| < ε 2 , |v − vj| < ε 2 pela defini¸c˜ao de limite aplicada as somas, da´ı j0 ⊂ j ⇒ |s − sj| = |uj − vj − (u − v)| ≤ |u − uj| + |v − vj| < ε 2 + ε 2 = ε. da´ı a sequˆencia ´e som´avel. Exemplo 43. Dar o exemplo de uma sequˆencia (xn) tal que lim ∆xn = 0 e xn seja divergente por´em limitada. Tomamos x1 = 0, x2 = 1, temos um passo h = 1, tomamos agora o passo h = −1 2 , x3 = 1 2 , x4 = 0, tomamos agora o passo h = 1 4 e somamos at´e chegar em 1 novamente, continuamos o processo dividindo sempre o passo por 2 e fazendo a sequˆencia alternar entre 0 e 1. A sequˆencia constru´ıda dessa forma ´e divergente, pois possui subsequˆencias convergindo para valores distintos, ´e limitada pois est´a sempre em [0, 1] e a sequˆencia das diferen¸cas tende a zero |xn+1 − xn|. 1.5 Soma sobre um conjunto infinito arbitr´ario Defini¸c˜ao 10. Sejam A ⊂ R , f : A → R, tal que f(x) ≥ 0 para todo x ∈ A e o conjunto S = { ∑ k∈ F f(k) |F ⊂ A | F ´e finito}. se S ´e limitado superiormente definimos ∑ k∈A f(k) = sup S se n˜ao ∑ k∈A f(k) = ∞ nesse caso dizemos que a s´erie diverge.
  54. 54. CAP´ITULO 1. S´ERIES 53 1.6 S´eries em espa¸cos vetoriais normados Seja E um espa¸co vetorial normado. Defini¸c˜ao 11 (S´erie em espa¸co vetorial normado). Seja (xn) em E, definimos a s´erie ∞∑ k=1 xk como ∞∑ k=1 xk := lim n∑ k=1 xk quando tal limite existe, dizemos que a s´erie ´e convergente , caso contr´ario dizemos que ´e divergente. Propriedade 52. Se ∞∑ k=1 xk converge, ent˜ao lim xn = 0. 1.7 Soma de Ces`aro Defini¸c˜ao 12 (M´edia de Ces`aro). Dada uma sequˆencia (xn) definimos a m´edia de Ces`aro de (xn) como a sequˆencia (yn) dada por yn = 1 n n∑ k=1 xk yn ´e a m´edia aritm´etica dos n primeiros elementos de (xn) A seguir provaremos resultados dos quais a seguinte propriedade segue como corol´ario Se lim xn = a ent˜ao lim yn = a, isto ´e, a opera¸c˜ao de tomar a m´edia de Ces`aro preserva sequˆencias convergentes e seus limites. Defini¸c˜ao 13 (Ces`aro som´avel). Se lim n∑ k=1 xk n = L ent˜ao a sequˆencia (xn) ´e dita Ces`aro som´avel e associamos a essa sequˆencia o valor L como soma de Ces`aro . Dizemos que (xn) ´e (C, 1) som´avel para L, nesse caso escrevemos lim xn = L (C, 1). lim xn = L (C, 1) ⇔ lim n∑ k=1 xk n = L.
  55. 55. CAP´ITULO 1. S´ERIES 54 Toda sequˆencia convergente ´e Ces`aro som´avel, por´em existem sequˆencias n˜ao conver- gentes que s˜ao Ces`aro som´avel . ⋆ Teorema 4 (Teorema de Stolz-Ces`aro). Dada uma sequˆencia (xn) e uma sequˆencia (yn) crescente com lim yn = ∞ e lim ∆xn ∆yn = a ent˜ao lim xn yn = a. Essa propriedade ´e o an´alogo do teorema de L’Hospital para sequˆencias. Lembrando que estamos denotando ∆ como o operador que faz ∆xn = xn+1 − xn, toma a diferen¸ca de tais n´umeros consecutivos na sequˆencia. Demonstra¸c˜ao. Como lim ∆xn ∆yn = a ent˜ao para todo ε 3 > 0 existe n0 ∈ N tal que para k > n0 tem-se | ∆xk ∆yk − a| < ε 3 , e yn > 0 (pois tende ao infinito), como (yn) ´e crescente vale ∆yk > 0, logo podemos multiplicar por ele em ambos lados da desigualdade sem alterar |∆xk − a∆yk| < ε 3 ∆yk, aplicando a soma n−1∑ k=n0+1 em ambos lados e usando desigualdade triangular do tipo | ∑ xk| ≤ ∑ |xk|, segue que | n−1∑ k=n0+1 ∆xk − a n−1∑ k=n0+1 ∆yk| < ε 3 n−1∑ k=n0+1 ∆yk, usando a soma telesc´opica tem-se |xn − xn0+1 − ayn + ayn0+1)| < ε 3 (yn − yn0+1), agora como yn > 0 dividimos por esse termo de ambos lados | xn yn − xn0+1 yn − a + a yn0+1 yn )| < ε 3 (1 − yn0+1 yn ),
  56. 56. CAP´ITULO 1. S´ERIES 55 somando agora | xn0+1 yn | + | − a yn0+1 yn )| e usando a desigualdade triangular , temos | xn yn − a| < ε 3 (1 − yn0+1 yn ) ≤1 +| xn0+1 yn | + |a yn0+1 yn )| tem-se que 1 − yn0+1 yn ≤ 1 pois equivale a 0 ≤ yn0+1 yn , que vale pois yn0+1 e yn s˜ao positivos, como yn → ∞, podemos tomar para n suficientemente grande que | xn0+1 yn | < ε 3 e tamb´em |a yn0+1 yn )| < ε 3 , usando tais desigualdades, tem-se finalmente que | xn yn − a| ≤ ε 3 + ε 3 + ε 3 = ε portanto xn yn → a. Propriedade 53. Se limzn = a e (wn) ´e uma sequˆencia de n´umeros positivos com lim n∑ k=1 wk = ∞ ent˜ao lim n∑ k=1 wkzk n∑ k=1 wk = a. Demonstra¸c˜ao. Tomamos xn = n∑ k=1 wk.zk e yn = n∑ k=1 wk ent˜ao ∆xn = wn+1.zn+1 , ∆yn = wn+1 > 0 ent˜ao yn ´e crescente e lim yn = ∞, temos tamb´em que ∆xn ∆yn = wn+1zn+1 wn+1 = zn+1 cujo limite existe e vale a ent˜ao nessas condi¸c˜oes vale lim xn yn = lim n∑ k=1 wk.zk n∑ k=1 wk = a. Corol´ario 21. Tomando wn = 1 ent˜ao n∑ k=1 wk = n e seu limite ´e infinito, tomando uma sequˆencia (zn) tal que lim zn = a ent˜ao segue que lim n∑ k=1 zk n = a , isto ´e, se lim zn = a ent˜ao lim n∑ k=1 zk n = a. Provamos ent˜ao que se lim xn = a ent˜ao lim xn = a (C, 1).
  57. 57. CAP´ITULO 1. S´ERIES 56 Exemplo 44. Tomando zn = 1 n tem-se lim zn = 0 e da´ı lim n∑ k=1 1 k n = 0 = lim Hn n . Exemplo 45. Tomando zn = a 1 n com a > 0 tem-se lim zn = 1 e da´ı lim n∑ k=1 a 1 k n = 1. Propriedade 54 (Stolz-Ces`aro para limite infinito). Seja (bn) crescente e ilimitada . Se lim ∆an ∆bn = ∞ ent˜ao lim an bn = ∞ Demonstra¸c˜ao. Para qualquer A > 0 existe n0 ∈ N tal que k > n0 implica ∆ak ∆bk > A, como ∆bk > 0 e bk > 0, logo tem-se ∆ak > A∆bk, aplicando n∑ k=n0+1 segue por soma telesc´opica an+1 − an0+1 > A.(bn+1 − bn0+1) an+1 > an0+1 + A.(bn+1 − bn0+1) an+1 bn+1 > an0+1 bn+1 + A.(1 − bn0+1 bn+1 ) > A para n grande, da´ı lim an bn = ∞. Exemplo 46. A reciproca da propriedade nem sempre vale, yn = n, xn = (−1)n vale lim xn yn = lim (−1)n n = 0 e lim ∆xn ∆yn = lim (−2)(−1)n 1 n˜ao existe. Propriedade 55. Se lim an = ∞ e an > 0∀ n ∈ N ent˜ao lim n∑ k=1 ak n = ∞.
  58. 58. CAP´ITULO 1. S´ERIES 57 Demonstra¸c˜ao. Essa prova vale mesmo se (an) n˜ao tem a restri¸c˜ao de an > 0 . Aplicamos o teorema de Stolz-Ces`aro para limite infinito . an = n∑ k=1 ak , bn = n ´e crescente e ilimitada e vale ∆ n∑ k=1 ak = an+1 , ∆n = 1 logo lim ∆an ∆n = lim an+1 = ∞ ent˜ao lim n∑ k=1 ak n = ∞. Corol´ario 22. Esse resultado diz que se lim xn = ∞ ent˜ao lim xn = ∞ ∈ (C, 1) Demonstra¸c˜ao.[2] ∀ A > 0 ∃ n0 ∈ N tal que para n > n0 tem-se an > 2A ent˜ao para n > 2n0 ( que implica n − n0 n > 1 2 ) vale n∑ k=1 ak n ≥ n∑ k=n0+1 2A n = 2A n − n0 n ≥ 2A 2 = A logo lim n∑ k=1 ak n = ∞. Corol´ario 23. Se lim xn = ∞ e n˜ao vale xn > 0 ∀ n ∈ N ent˜ao a propriedade tamb´em vale pois existe n0 ∈ N tal que para n > n0 tem-se xn > 0 , da´ı n∑ k=1 ak n = n0∑ k=1 ak n + n∑ k=n0+1 ak n = n0∑ k=1 ak n + n−n0∑ k=1 xk ak+n0 n assim se define uma nova sequˆencia (xn) que satisfaz as propriedades do resultado anterior . Propriedade 56. lim ln(n + 1) − ln(n) = 0. Demonstra¸c˜ao. lim ln( n + 1 n ) = lim ln(1 + 1 n ) = ln(1) = 0.
  59. 59. CAP´ITULO 1. S´ERIES 58 Propriedade 57. lim ln(n + 1) n = 0. Demonstra¸c˜ao. Tomando yn = n e xn = ln(n + 1) vale que ∆yn = 1 > 0 e lim yn = ∞, ∆xn = ln( n + 1 n ) logo lim ∆yn ∆xn = lim ln( n + 1 n ) = 0 logo lim ln(n + 1) n = 0. Exemplo 47. Calcule o limite lim n∑ k=1 k ln(k) n2 ln(n) . Tomando xn = n∑ k=1 k ln(k) e yn = n2 ln(n) vale lim yn = m∞ e ∆yn > 0, logo por Stolz-Ces`aro podemos avaliar o limite lim (n + 1) ln(n + 1) (n + 1)2 ln(n + 1) − n ln(n) como para n grande ln(n + 1) ≈ ln(n) lim (n + 1) ln(n + 1) (n + 1)2 ln(n + 1) − n ln(n) = lim (n + 1) (n + 1)2 − n = lim (n + 1) 2n + 1 = 1 2 . Logo lim n∑ k=1 k ln(k) n2 ln(n) = 1. Propriedade 58. Se (xn) ´e limitada ent˜ao (xn) (C, 1) tamb´em ´e limitada, e no mesmo intervalo . Demonstra¸c˜ao. Existem c1, c2 tais que c2 < xk < c1, da´ı somamos em ambos lados nc2 < n∑ k=1 xk < nc1 dividindo por n segue c2 < n∑ k=1 xk n < c1.
  60. 60. CAP´ITULO 1. S´ERIES 59 1.7.1 S´erie de Grandi Defini¸c˜ao 14 (S´erie de Grandi). A s´erie de Grandi ´e a s´erie ∞∑ k=0 (−1)k . Luigi Guido Grandi (1671 − 1742) foi um padre italiano , fil´osofo, matem´atico, e engenheiro. Corol´ario 24. A s´erie de Grandi ´e divergente, pois n˜ao existe lim(−1)n . Propriedade 59. A s´erie de Grandi ´e Ces´aro som´avel e possui soma de Ces´aro de valor 1 2 . Demonstra¸c˜ao. n∑ k=0 (−1)k = (−1)n 2 + 1 2 da´ı n∑ k=1 (−1)k 2 + 1 2 = n 2 + (−1)n + 1 2 da´ı lim n 2n + (−1)n + 1 2n = 1 2 . Propriedade 60. Suponha que vale L−ε < n∑ k=1 xk n para k ≤ n, se vale L+ε( m + n m − n ) < xk para k > n ent˜ao L + ε < m∑ k=1 xk m . Demonstra¸c˜ao. Da desigualdade L+ε( m + n m − n ) < xk , aplicando m∑ k=n+1 em ambos lados tem-se (m − n)L + ε(m + n) < m∑ k=n+1 xk da primeira identidade tem-se n(L − ε) < m∑ k=1 xk somando as desigualdades segue (m)(L + ε) < m∑ k=1 xk da´ı L + ε < m∑ k=1 xk m .
  61. 61. CAP´ITULO 1. S´ERIES 60 1.8 Sequˆencias (C, P) som´aveis Defini¸c˜ao 15 (M´etodo regular de somabilidade). Um m´etodo de somabilidade M ´e regular se lim xn = L ent˜ao lim xn = L existe em M . Defini¸c˜ao 16 (Sequˆencias (C, P) som´aveis). Uma sequˆencia (xk) ´e dita (C, P) som´avel se existe L tal que lim n∑ k=1 (n+p−1−k n−k ) xk (n+p−1 n−1 ) = L. Propriedade 61. Se (xk) ´e (C, P) som´avel ent˜ao (xk) ´e (C, P + 1) som´avel . Demonstra¸c˜ao. 1.9 S´eries de termos n˜ao-negativos Nesta se¸c˜ao iremos estudar as s´eries de termos n˜ao-negativos, isto ´e, ∑ ak com ak ≥ 0. Propriedade 62. Sejam as s´eries ∑ ak e ∑ ak 1 + ak . ∑ ak converge ⇔ ∑ ak 1 + ak converge. Demonstra¸c˜ao. ⇒. ∑ ak converge e vale 0 ≤ ak ⇒ 1 ≤ 1 + ak ⇒ 1 1 + ak ≤ 1 ⇒ ak 1 + ak ≤ ak pelo crit´erio de compara¸c˜ao segue que ∑ ak 1 + ak converge. ⇐. ∑ ak 1 + ak converge ent˜ao lim ak 1 + ak = 0 ⇒ lim 1 − 1 ak + 1 = 0 ⇒ lim 1 ak + 1 = 1 da´ı por propriedade de limite lim ak + 1 = 1 ⇒ lim ak = 0 ent˜ao existe n0 tal que para k > n0 tem-se ak ≤ 1 ak + 1 ≤ 2 ⇒ 1 2 ≤ 1 ak + 1 ⇒ ak 2 ≤ ak ak + 1 logo por compara¸c˜ao ∑ ak converge .
  62. 62. CAP´ITULO 1. S´ERIES 61 1.9.1 Crit´erio de compara¸c˜ao por limite para s´eries de termos positivos Propriedade 63. 1. Sejam duas s´eries ∑ ak e ∑ bk de termos positivos, se existe lim ak bk = a ̸= 0 ent˜ao ∑ ak converge ⇔ ∑ bk converge . 2. Se lim ak bk = 0 ent˜ao a convergˆencia de ∑ bk implica convergˆencia de ∑ ak. Demonstra¸c˜ao. 1. Existe n0 ∈ N tal que para k > n0 tem-se 0 < t1 < a − ε < ak bk < a + ε < t2 como bk > 0 tem-se t1bk < ak < t2bk aplicamos a soma n∑ k=n0+1 , da´ı t1 n∑ k=n0+1 bk < n∑ k=n0+1 ak < t2 n∑ k=n0+1 bk usando essa desigualdade temos por compara¸c˜ao que se ∑ bk converge ent˜ao ∑ ak converge e se ∑ ak converge ent˜ao ∑ bk converge. 2. De maneira similar ao item anterior. Existe n0 ∈ N tal que para k > n0 tem-se 0 ≤ ak bk < ε < t2 como bk > 0 tem-se 0 ≤ ak < t2bk aplicamos a soma n∑ k=n0+1 , da´ı 0 ≤ n∑ k=n0+1 ak < t2 n∑ k=n0+1 bk usando essa desigualdade temos por compara¸c˜ao que se ∑ bk converge ent˜ao ∑ ak converge.
  63. 63. CAP´ITULO 1. S´ERIES 62 Exemplo 48. A s´erie ∑ sen( 1 k ) diverge pois ∑ 1 k diverge e lim k→∞ sen(1 k ) 1 k = 1, pois isso equivale tomando 1 k = x que x → 0 ent˜ao ca´ı no limite fundamental lim x→0 sen(x) x = 1. Notamos que sen( 1 k ) ´e positivo pois a fun¸c˜ao ´e positiva no intervalo (0, π 2 ). Por isso podemos aplicar o crit´erio . Propriedade 64. Seja (ak) uma sequˆencia positiva. n∑ k=1 ak converge ⇔ n∑ k=1 ak k∑ j=1 aj converge. Demonstra¸c˜ao. X Suponha que n∑ k=1 ak converge, vamos mostrar que n∑ k=1 ak k∑ j=1 aj tamb´em converge. Temos que a1 ≤ k∑ j=1 aj, logo 1 k∑ j=1 aj ≤ 1 a1 ⇒ ak k∑ j=1 aj ≤ ak a1 , somando, segue que n∑ k=1 ak k∑ j=1 aj ≤ n∑ k=1 ak a1 , portanto a convergˆencia de n∑ k=1 ak implica a convergˆencia de n∑ k=1 ak k∑ j=1 aj e a di- vergˆencia de n∑ k=1 ak k∑ j=1 aj implica divergˆencia de n∑ k=1 ak.
  64. 64. CAP´ITULO 1. S´ERIES 63 X Agora vamos provar que a divergˆencia de n∑ k=1 ak, implica a divergˆencia de n∑ k=1 ak k∑ j=1 aj . Vamos denotar Sk = k∑ j=1 aj. Temos que m∑ k=n+1 ak Sk ≥ m∑ k=n+1 ak Sm = 1 Sm ( m∑ k=1 ak − n∑ k=1 ak ) = = 1 Sm (Sm − Sn) = 1 − Sn Sm , como Sm → ∞ podemos concluir que ∞∑ k=n+1 ak Sk ≥ 1, para qualquer n, logo a sequˆencia n˜ao ´e de Cauchy e portanto n˜ao converge. Por fim n˜ao podemos ter convergˆencia de n∑ k=1 ak k∑ j=1 aj = Vn com divergˆencia de n∑ k=1 ak = Sn, pois a divergˆencia de Sn implica divergˆencia de Vn. Propriedade 65. Valem as desigualdades n∑ k=1 ak k∑ t=1 at ≤ 1 a1 n∑ k=1 ak, n∑ k=1 ak k∑ j=1 j∑ t=1 at ≤ 1 a1 n∑ k=1 ak. Demonstra¸c˜ao. A primeira j´a provamos, na propriedade anterior, vamos provar a segunda. Vamos denotar Tk = k∑ j=1 j ∑ t=1 at. Vale que a1 ≤ Tk, o que implica 1 Tk ≤ 1 a1 , multiplicando por ak e somando, segue n∑ k=1 ak Tk ≤ 1 a1 n∑ k=1 ak. Disso segue, que se n∑ k=1 ak converge, ent˜ao n∑ k=1 ak Tk tamb´em converge, se n∑ k=1 ak Tk diverge, ent˜ao n∑ k=1 ak tamb´em diverge.
  65. 65. CAP´ITULO 1. S´ERIES 64 Propriedade 66. Sejam (ak) sequˆencia de termos positivos e Sn = n∑ k=1 ak, ent˜ao ∞∑ n=1 2an (Sn)2 converge. Demonstra¸c˜ao. Sn ´e uma sequˆencia crescente, da´ı ela converge para um n´umero positivo ou tende a infinito, em qualquer dos casos o limite de 1 Sn existe. Temos que Sn−1 < Sn, da´ı Sn−1Sn < (Sn)2 e 1 (Sn)2 ≤ 1 Sn−1Sn , multiplicando por an segue an (Sn)2 ≤ an Sn−1Sn = Sn − Sn−1 Sn−1Sn = 1 Sn−1 − 1 Sn = −∆ 1 Sn−1 , aplicando a soma neste ´ultimo termo, tem-se por soma telesc´opica ∞∑ n=1 an Sn−1Sn = − ∞∑ n=1 ∆ 1 Sn−1 = 1 S0 − lim 1 Sn−1 , mas, como notamos, lim 1 Sn−1 existe, por isso a s´erie ∞∑ n=1 an Sn−1Sn converge e da´ı tamb´em converge ∞∑ n=1 an (Sn)2 por crit´erio de compara¸c˜ao. Propriedade 67. Seja (ak) sequˆencia em (0, 1). Ent˜ao n∑ k=1 ak k∑ j=1 j∑ t=1 at converge. Demonstra¸c˜ao. Sejam Tn = n∑ j=1 j ∑ t=1 at , Sn = n∑ k=1 ak. Primeiro, vamos mostrar que (Sn)2 2 ≤ Tn, isto ´e, ( n∑ k=1 ak )2 2 ≤ n∑ j=1 j ∑ t=1 at. Por indu¸c˜ao sobre n. Para n = 1, temos a2 1 2 ≤ a1 ⇔ a1 ≤ 2, logo vale, pois a1 < 1. Suponha validade para n, vamos provar para n + 1. Usando hip´otese da indu¸c˜ao e que (Sn+1)2 = (Sn + an+1)2 = (Sn)2 + 2an+1Sn + (an+1)2 , segue que (Sn+1)2 2 = (Sn)2 2 + an+1Sn + (an+1)2 2 ≤ Tn + Sn + an+1 =
  66. 66. CAP´ITULO 1. S´ERIES 65 = Tn + Sn+1 = n∑ j=1 j ∑ t=1 at + n+1∑ k=1 ak = n+1∑ j=1 j ∑ t=1 at = Tn+1, como quer´ıamos mostrar. Agora, de (Sn)2 2 ≤ Tn, segue que 1 Tn ≤ 2 (Sn)2 , multiplicando por an e somando de ambos lados, temos que ∞∑ n=1 an Tn ≤ ∞∑ n=1 2an (Sn)2 , essa ´ultima s´erie converge pela propriedade anterior, logo por compara¸c˜ao ∞∑ n=1 an Tn con- verge. Exemplo 49. Pode valer que ∑ ak converge, valendo lim ak bk = 0 e ∑ bk n˜ao converge, tome por exemplo ak = 1 k2 , bk = 1 k , ∑ bk n˜ao converge, lim ak bk = lim k k2 = lim 1 k = 0 e ∑ ak converge, logo a rec´ıproca do item 2 da propriedade anterior n˜ao vale. Exemplo 50. Se ∑ ak de termos positivos converge ent˜ao ∑ sen(ak) tamb´em converge, pois da primeira convergˆencia temos lim ak = 0 da´ı para k grande vale que sen(ak) > 0 e vale lim sen(ak) ak = 1 ent˜ao ∑ sen(ak) converge. Podemos ainda resolver sem esse crit´erio, pois se 0 < |x| < π 2 tem-se sen(x) < x, da´ı com 0 ≥ sen(ak) < ak e por compara¸c˜ao a primeira converge. Propriedade 68. Seja (an) uma sequˆencia n˜ao-crescente de n´umeros reais positivos. Se ∑ ak converge ent˜ao lim nan = 0. Demonstra¸c˜ao. Usaremos o crit´erio de Cauchy . Existe n0 ∈ N tal que para n + 1 > n0 vale 2na2n 2 = na2n ≤ 2n∑ k=n+1 ak < ε logo lim 2na2n = 0. Agora mostramos que a subsequˆencia dos ´ımpares tamb´em tende a zero. Vale a2n+1 ≤ a2n da´ı 0 < (2n + 1)a2n+1 ≤ 2na2n + a2n por teorema do sandu´ıche segue o resultado. Como as subsequˆencias pares e ´ımpares de (nan) tendem a zero, ent˜ao a sequˆencia tende a zero.
  67. 67. CAP´ITULO 1. S´ERIES 66 Corol´ario 25. A s´erie harmˆonica ∑ 1 k diverge, pois ( 1 n ) ´e decrescente e vale lim n n = 1 ̸= 0. Propriedade 69. Seja (xk) uma sequˆencia de n´umeros n˜ao negativos com a s´erie ∑ xk convergente ent˜ao ∑ x2 k ´e convergente. Demonstra¸c˜ao.[1] Como ∑ ak ´e convergente, vale lim ak = 0 e da´ı para k > n0 vale xk < 1 que implica x2 k ≤ xk logo por compara¸c˜ao ∑ x2 k converge. Demonstra¸c˜ao.[2] Como temos xk ≥ 0 segue tamb´em x2 k ≥ 0, sendo ent˜ao s(n) = n∑ k=b x2 k temos ∆s(n) = x2 n+1 ≥ 0, logo s(n) ´e n˜ao decrescente, se mostrarmos que a s´erie ´e limitada superiormente teremos uma sequˆencia que ´e limitada e mon´otona logo convergente. Temos que s(n) ´e limitada superiormente da seguinte maneira n∑ k=b x2 k ≤ ( n∑ k=b xk)( n∑ k=b xk) logo a s´erie ´e convergente. Corol´ario 26. Se ∑ ak ´e absolutamente convergente ent˜ao ∑ a2 k converge, usamos o resultado anterior com xk = |ak|, ent˜ao a convergˆencia de ∑ |ak| implica a convergˆencia de ∑ |ak|2 = ∑ a2 k. Exemplo 51. Se n˜ao vale xk > 0 ent˜ao podemos ter ∑ xk convergente e ∑ x2 k divergente, pois ∑ (−1)k √ k converge e ∑ 1 k diverge. Propriedade 70. Se ∑ ak, ak > 0 converge ent˜ao a s´erie ∑ √ ak k tamb´em converge . Demonstra¸c˜ao. Usando a desigualdade de Cauchy ( n∑ k=1 xkyk)2 ≤ ( n∑ k=1 x2 k)( n∑ k=1 y2 k) com yk = 1 k e xk = √ ak tem-se ( n∑ k=1 √ ak k )2 ≤ ( n∑ k=1 ak)( n∑ k=1 1 k2 )
  68. 68. CAP´ITULO 1. S´ERIES 67 logo n∑ k=1 √ ak k ≤ ( n∑ k=1 ak)( n∑ k=1 1 k2 ) a s´erie ´e limitada superiormente, sendo crescente, ela converge . Corol´ario 27. Se ∑ x2 k, converge ent˜ao a s´erie ∑ xk k tamb´em converge, basta usar o resultado anterior com ak = x2 k. Propriedade 71. Se ∑ x2 n e ∑ y2 n convergem ent˜ao ∑ xn.yn converge absoluta- mente. Demonstra¸c˜ao. Usando a desigualdade de Cauchy ( n∑ k=1 |xk||yk|)2 ≤ ( n∑ k=1 |xk|2 )( n∑ k=1 |yk|2 ) = ( n∑ k=1 x2 k)( n∑ k=1 y2 k) logo por crit´erio de compara¸c˜ao segue que ∑ xn.yn converge absolutamente. 1.10 Representa¸c˜ao decimal Defini¸c˜ao 17 (Representa¸c˜ao numa base b). Dado um n´umero natural b > 1, a representa¸c˜ao de um n´umero real x na forma x = n∑ k=−∞ bk ak onde ak ∈ {0, · · · , b − 1}, ´e chamada de representa¸c˜ao na base b do n´umero x . Cada ak ´e chamado de algarismo e k de seu ´ındice. Caso x = n∑ k=−∞ bk ak denotaremos tamb´em x = (an · · · a0, a−1 · · · a−t · · · )b que vamos denotar em nota¸c˜ao compacta x = (ak)n (k=−∞, b).
  69. 69. CAP´ITULO 1. S´ERIES 68 Caso de um n´umero natural x = (ak)n (b) = (a0, · · · , an)b o ´ındice b para simbolizar a base, o expoente n para simbolizar que k varia de 0 at´e n. Propriedade 72. Todo n´umero m ∈ N pode ser representado numa base a. Demonstra¸c˜ao. Pelo teorema de divis˜ao euclidiana, se tomarmos n´umeros f(0) = m e a ̸= 0 naturais, teremos n´umeros f(1) e R(0) determinados univocamente, tais que f(0) = af(1) + R(0) com 0 ≤ R(0) < a. Onde f(1) ´e o quociente, R(0) ´e o resto da divis˜ao de f(0) por a. Podemos assim definir uma sequˆencia f(n) = af(n + 1) + R(n) onde R(n) ´e sempre o resto da divis˜ao de f(n) por a, logo R(n) ∈ {0, · · · , a−1}, f(n+1) ´e o quociente. esse tipo de recorrˆencia podemos encontrar a f´ormula geral . Vamos resolver ent˜ao essa recorrˆencia. Tomamos f(n) = h(n) 1 an , substituindo temos f(n) a − R(n) a = f(n + 1) h(n) an+1 − R(n) a = h(n + 1) an+1 − R(n) a an+1 = −an R(n) = ∆h(n) aplicando o somat´orio em ambos termos, variando de k = 0 at´e n − 1 temos n−1∑ k=0 ∆h(k) = h(n) − h(0) = − n−1∑ k=0 ak R(k) h(n) = h(0) − n−1∑ k=0 ak R(k) logo temos f(n)an = h(0) − n−1∑ k=0 ak R(k)
  70. 70. CAP´ITULO 1. S´ERIES 69 tomando n = 0 temos f(0) = h(0) logo f(n)an + n−1∑ k=0 ak R(k) = f(0) se f(n) = R(n), podemos juntar ao limite superior do somat´orio, ficando com f(0) = n∑ k=0 ak R(k) Este resultado permite ver o mˆetodo para expressar um n´umero em termo de potˆencias de a que ´e chamado de base. Defini¸c˜ao 18. Um algarismos `a esquerda de um algarismo at dado de m∑ k=−∞ bk s˜ao os algarismos ak com k > t, caso existam . Algarismos `a direita de at s˜ao os algarismos, ak com k < t, caso existam . Dados dois algarismos at e aw distintos, w > t, os algarismos entre esses dois s˜ao os algarismos ak com t < k < w, caso w = t + 1 ent˜ao n˜ao existe algarismo entre at e aw. Defini¸c˜ao 19 (Representa¸c˜ao decimal de n´umero natural). Um n´umero natural pode ser representado da forma n∑ k=0 ak10k . Defini¸c˜ao 20 (Representa¸c˜ao decimal de um n´umero real). Seja dada uma sequˆencia (ak)∞ 0 = (a0, a1, a2, · · · ) onde a0 ´e um inteiro qualquer e ak com k > 0 pertence ao conjunto {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. Um n´umero real na forma decimal ´e representado por a0, a1a2a3 · · · onde cada ak ´e chamado de d´ıgito do n´umero na forma decimal .
  71. 71. CAP´ITULO 1. S´ERIES 70 Para dar sentido `a a0, a1a2a3 · · · como n´umero real, definimos a0, a1a2a3 · · · = ∞∑ k=0 ak 10k = a0 + ∞∑ k=1 ak 10k O sistema decimal para representar n´umeros naturais ´e variante do sistema sexagesimal utilizado pelos babilˆonios h´a cerca de 1700 anos antes de Cristo, ele foi desenvolvido na China e na ´India. Por neste sistema, todo n´umero ser representado por uma sequˆencia formada pelos algarismos 0, 1, , 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, sendo em n´umero de 10, o sistema ´e portanto chamado de decimal . O sistema decimal tamb´em ´e dito posicional, pois cada algarismo, al´em de seu va- lor intr´ınseco, possui um peso que lhe ´e atribu´ıdo em fun¸c˜ao de sua posi¸c˜ao dentro da sequˆencia. Esse peso ´e uma potˆencia de 10 e varia como exposto acima. Agora vamos mostrar que essa s´erie da representa¸c˜ao decimal sempre converge , logo a0, a1a2a3 · · · representa um ´unico n´umero real. Propriedade 73. Cada decimal representa um ´unico n´umero real. Demonstra¸c˜ao. ∞∑ k=1 ak 10k ´e uma s´erie de n´umeros positivos limitada superiormente pela s´erie ∞∑ k=1 9 10k que converge para 1 ent˜ao ∞∑ k=1 ak 10k converge para um n´umero real pelo crit´erio de compara¸c˜ao . O crit´erio de compara¸c˜ao usa que uma sequˆencia limitada superiormente e crescente converge para o supremo do conjunto, ent˜ao essa demonstra¸c˜ao em geral necessita que o corpo em que estamos trabalhando seja completo, por exemplo, nem toda representa¸c˜ao decimal converge para um n´umero racional. Com isso conclu´ımos que a0, a1a2a3 · · · = ∞∑ k=0 ak 10k = a0 + ∞∑ k=1 ak 10k = c ´e um n´umero real . Pela unicidade de limite o n´umero real que a0, a1a2a3 · · · representa ´e ´unico . Cada a0, a1a2a3 · · · representa um e apenas um n´umero real. Corol´ario 28. 0, 9999 · · · = 1
  72. 72. CAP´ITULO 1. S´ERIES 71 pois pela defini¸c˜ao de representa¸c˜ao decimal 0, 99 · · · = 0 + ∞∑ k=1 9 10k = 1 No caso mostramos que uma representa¸c˜ao decimal para 1 pode ser dada por a0 = 0 e ak = 9 para todo k > 0 ent˜ao associamos 0, 9999 · · · ao n´umero 1 . Perceba que o n´umero 1 tem pelos menos duas representa¸c˜oes decimais, pois 1 tamb´em tem a representa¸c˜ao 1, 00 · · · pois 1, 00 · · · = 1 + ∞∑ k=1 0 10k = 1. Corol´ario 29. Em geral a0, 0000 · · · = a0 e (a0 − 1), 9999 · · · = a0 pois (a0 − 1), 9999 · · · = a0 − 1 + ∞∑ k=0 9 10k = a0 − 1 + 1 = a0. Conclu´ımos ent˜ao que todo n´umero inteiro a0 possui pelo menos duas representa¸c˜oes decimais a0, 0000 · · · e (a0 − 1), 99 · · · . Exemplo 52. 0, 999 · · · = 1 1, 999 · · · = 2. Defini¸c˜ao 21 (Representa¸c˜oes decimais distintas). Duas representa¸c˜oes decimais a0, a1a2a3 · · · e b0, b1b2b3 · · · s˜ao ditas distintas quando as sequˆencias associadas (a0, a1, a2, · · · ) e (b0, b1, b2, · · · ) s˜ao distintas . Corol´ario 30. N´umeros reais podem ter duas representa¸c˜oes decimais distintas.
  73. 73. CAP´ITULO 1. S´ERIES 72 Considere B o conjunto das sequˆencias (a0, a1, a2, · · · ) associadas a uma representa¸c˜ao decimal, temos uma fun¸c˜ao f que associa a cada elemento de B a um n´umero real, definida como f(a0, a1, a2, · · · ) = ∞∑ k=0 ak 10k por´em f n˜ao ´e injetiva, pois existem sequˆencias x1 e x2 distintas tais que f(x1) = f(x2). Podemos mostrar que f ´e sobrejetora, isto ´e, para cada x real existe uma sequˆencia x1 tal que f(x1) = x. Defini¸c˜ao 22 (D´ızima peri´odica). Uma representa¸c˜ao decimal a0, a1a2 · · · ´e dita ser uma d´ızima peri´odica quando a sequˆencia dos d´ıgitos (ak) ´e peri´odica a partir de algum k = n. Defini¸c˜ao 23 (D´ızima peri´odica simples ou D´ızima simples). Uma d´ızima peri´odica, ´e dita ser simples, quando a sequˆencia dos d´ıgitos (ak) ´e peri´odica a partir de k = 1. Defini¸c˜ao 24 (D´ızima peri´odica composta ou D´ızima composta). Uma d´ızima peri´odica, ´e dita ser composta, quando a sequˆencia dos d´ıgitos (ak) ´e peri´odica a par- tir de k > 1. Em R se considera a adi¸c˜ao usual + e o produto usual ×, que fazem de R um corpo, al´em disso se considera o limite com a norma do m´odulo lim xn = a ⇔ ∀ ε > 0 ∃ n0 ∈ N | n > n0 ⇒ |xn − a| < ε Se usamos outra maneira de medir distˆancia ao inv´es do m´odulo, n˜ao se est´a traba- lhando em R de maneira usual, seria algo como dizer, 1 + 1 n˜ao ´e 2 pois estamos usando uma ”adi¸c˜ao”diferente, como por exemplo uma definida assim a +s b = (a + b).2 da´ı 1 +s 1 = (1 + 1)2 = 4. Em R usando adi¸c˜ao, multiplica¸c˜ao e norma usual, definindo a expans˜ao decimal como s´erie tem-se 0, 999 · · · = 1. Uma coloca¸c˜ao comum de alguns estudantes ´e que 0, 999 · · · n˜ao ´e 1 e sim tende a 1, o que n˜ao ´e verdade, pois 0, 999 · · · n˜ao ´e uma sequˆencia dessa forma n˜ao faz sentido dizer

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