Livro de ..calculo 3

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Livro de ..calculo 3

  1. 1. Sumário Aula 1: Integrais Duplas 11 1.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.2 Integral Dupla: Domínios Retangulares . . . . . . . . 12 1.3 Integral Dupla: Domínios Não Retangulares Limitados 14 1.4 Interpretação Geométrica . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.5 Integrais Iteradas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.6 Propriedades das Integrais Duplas . . . . . . . . . . 19 1.7 Alguns Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1.8 Conclusão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 RESUMO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 PRÓXIMA AULA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ATIVIDADES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 LEITURA COMPLEMENTAR . . . . . . . . . . . 30 Aula 2: Mudança de Variáveis em Integrais Duplas 33 2.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 2.2 Mudança de Variáveis em Integrais Duplas . . . . . 34 2.3 Alguns Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 2.4 Conclusão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 RESUMO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 PRÓXIMA AULA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
  2. 2. ATIVIDADES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 LEITURA COMPLEMENTAR . . . . . . . . . . . 46 Aula 3: Algumas Aplicações da Integral Dupla 47 3.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 3.2 Preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 3.3 Algumas Aplicações da Integral Dupla . . . . . . . . 52 3.4 Conclusão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 RESUMO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 PRÓXIMA AULA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 ATIVIDADES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 LEITURA COMPLEMENTAR . . . . . . . . . . . 60 Aula 4: Integrais triplas 63 4.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 4.2 Integração Tripla: Domínios Paralelepípedais . . . . 64 4.3 Integração Tripla: Domínios Não Paralelepípedais Limitados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 4.4 Interpretação Geométrica . . . . . . . . . . . . . . . 67 4.5 Integrais Iteradas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 4.6 Propriedades das Integrais Triplas . . . . . . . . . . 68 4.7 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 4.8 Conclusão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 RESUMO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 PRÓXIMA AULA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 ATIVIDADES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 LEITURA COMPLEMENTAR . . . . . . . . . . . 81
  3. 3. Aula 5: Mudança de Variáveis em Integrais tríplas 83 5.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 5.2 Mudança de Variáveis em Integrais Triplas . . . . . . 84 5.3 Alguns Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 5.4 Conclusão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 RESUMO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 PRÓXIMA AULA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 ATIVIDADES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 LEITURA COMPLEMENTAR . . . . . . . . . . . 104 Aula 6: Algumas Aplicações das Integrais tríplas 105 6.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 6.2 Preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 6.3 Algumas Aplicações da Integral Tripla . . . . . . . . 110 6.4 Conclusão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 RESUMO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 PRÓXIMA AULA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 ATIVIDADES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 LEITURA COMPLEMENTAR . . . . . . . . . . . 120 Aula 7: Integrais de Funções Vetoriais sobre Curvas em R3 123 7.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 7.2 Curvas em R3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 7.3 Massa, Momento de Massa e Momento de Inércia de Curvas em R3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 7.4 Campos Vetoriais: Trabalho, Circulação e Fluxo . . . 128 7.5 Independência do Caminho . . . . . . . . . . . . . . 130 7.6 Algumas Aplicações das Integrais de Linha . . . . . 133
  4. 4. 7.7 Conclusão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 RESUMO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139 PRÓXIMA AULA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142 ATIVIDADES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142 LEITURA COMPLEMENTAR . . . . . . . . . . . 143 Aula 8: Integrais de Superfícies 145 8.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146 8.2 Superfícies em R3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146 8.3 Área de Superfícies em R3 . . . . . . . . . . . . . . 147 8.4 Momento de massa e Momento de Inércia de Superfícies de Casca Fina em R3 . . . . . . . . . . . . . . 151 8.5 Superfícies Parametrizadas . . . . . . . . . . . . . . 155 8.6 Conclusão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160 RESUMO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160 PRÓXIMA AULA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164 ATIVIDADES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164 LEITURA COMPLEMENTAR . . . . . . . . . . . 165 Aula 9: Teorema de Green e Teorema de Stokes 167 9.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168 9.2 Preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168 9.3 Teorema de Green 9.4 Estendendo o Teorema de Green para Outras Regiões 175 9.5 Verificação do Teorema de Green . . . . . . . . . . 178 9.6 Teorema de Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181 9.7 Aplicação do Teorema de Stokes . . . . . . . . . . . 183 9.8 Conclusão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171 RESUMO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
  5. 5. PRÓXIMA AULA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187 ATIVIDADES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187 LEITURA COMPLEMENTAR . . . . . . . . . . . 188 Aula 10: Teorema de Divergência 189 10.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190 10.2 Preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190 10.3 Teorema da Divergência . . . . . . . . . . . . . . . 191 10.4 Estendendo o Teorema da Divergência . . . . . . . . 194 10.5 Algumas Aplicações do Teorema da Divergência . . 196 10.6 Conclusão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200 RESUMO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200 ATIVIDADES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202 LEITURA COMPLEMENTAR . . . . . . . . . . . 203
  6. 6. AULA Integrais Duplas META: Apresentar integrais duplas de funções de valores reais e domínio em R2 . OBJETIVOS: Ao fim da aula os alunos deverão ser capazes de: Definir a integral dupla de funções de valores reais e domínio em R2 . Calcular algumas integrais duplas de funções de valores reais e domínio em R2 . PRÉ-REQUISITOS Os conhecimentos de integrais de funções de valores reais com domínio em R, da disciplina Cálculo I. 1
  7. 7. Integrais Duplas 1.1 Introdução Caros alunos iniciamos aqui nosso curso de Cálculo III com o tema “Integrais Dupla”. A integração dupla, em essência, é uma extensão natural da integral simples vista em Cálculo I e definida como limite de somas de Riemann. Na prática, a integração dupla é dada por duas integrações simples, cada uma efetuada sobre uma variável e considerando as demais como constantes. É o que denominamos de integrais interadas. Suas características e detalhes próprios serão vistas ao longo do nosso curso, nas próximas duas aulas. 1.2 Integral Dupla: Domínios Retangulares Começamos por considerar uma função f definida em um domínio retangular R = {(x, y) ∈ R2 |a ≤ x ≤ b∧c ≤ y ≤ d}. Formalmente f : [a, b]×[c, d] → R. Usando a imaginação, pensemos em R coberta por uma rede de retas paralelas aos eixos coordenados e que dividem R em pequenos retângulos (Fig. 1.1) . Oficialmente, consideraremos duas partições P [a, b] = {x0 = a, x1 , . . . , xj , xj+1 , . . . , xm = b} e P [c, d] = {y0 = c, y1 , . . . , yk , yk+1 , . . . , yn = d} onde como visto em Cálculo I temos: x0 < x1 < · · · < xj < xj+1 < · · · < xm e y0 < y1 < · · · < yk < yk+1 < · · · < yn . Desta forma cada um dos Ij = [xj−1 , xj ] e Jk = [yk−1 , yk ] pequenos subintervalos têm comprimentos ∆xj = xj − xj−1 e ∆yk = yk − yk−1 , respectivamente. Definimos, agora, a uma partição para o retângulo R por P = P [R] = P [a, b] × P [c, d], o produto cartesiano das partições P [a, b] e P [c, d]. As retas retalham a região R em uma série de retângulos Ajk = [xj−1 , xj ] × [yk−1 , yk ], 1 ≤ 12
  8. 8. Cálculo III AULA 1 Figura 1.1: Partição de R = [a, b] × [c, d] j ≤ m, 1 ≤ k ≤ n. A area de cada pequeno retângulo é dada por ∆Ajk = ∆xj ∆yk . Como tanto ∆xj quanto ∆yk são diferentes de zero, a área de cada pequeno retângulo é também diferente de zero. Podemos então definir a norma da partição por: |P | = max (∆Ajk ), que corresponde a maior área entre todos os 1≤j≤m 1≤k≤n pequeno retângulo. Pausa para respirar que já vamos definir a integral dupla sobre domínios retangulares. Para isto tomamos um ponto (ξj , ζk ) ∈ [xj−1 , xj ] × [yk−1 , yk ] em cada pequeno retângulo e definimos a seguinte soma de Riemann: m n Smn = f (ξj , ζk )∆Ajk j=1 k=1 A integral dupla da função f (x, y) sobre o retângulo R, denotada f (x, y)dxdy será então definida como o seguinte limite: R def f (x, y)dxdy = lim Smn R BIOGRAFIA Georg Friedrich Bernhard Riemann nasceu em Breselenz, Reino de Hanôver, 17 de Setembro de 1826 e morreu em Selasca, Itália, 20 de Junho de 1866, foi um matemático alemão, com contribuições fundamentais para a análise e a geometria diferencial. Wikipedia |P |→0 13
  9. 9. Integrais Duplas Figura 1.2: Soma de Riemann para f (x, y) em R = [a, b] × [c, d] 1.3 Integral Dupla: Domínios Não Retangulares Limitados Para definir a integral dupla de uma função f : D ⊂ R2 → R onde D é não é uma região retangular, porém é limitada, começamos por considerar uma função F definida em um domínio retangular R = {(x, y) ∈ R2 |a ≤ x ≤ b ∧ c ≤ y ≤ d} tal   f (x, y) , (x, y) ∈ D que D ⊂ R e F (x, y) = . Formalmente  0 , (x, y) ∈ D / F : [a, b] × [c, d] → R é uma extensão da função f (x, y). Usando a imaginação, pensemos em R coberta por uma rede de retas paralelas aos eixos coordenados e que dividem R em pequenos retângulos e procedemos como na integral dupla sobre domínios retangulares, considerando a uma partição para o retângulo R por 14
  10. 10. Cálculo III AULA P = P [R] = P [a, b] × P [c, d], o produto cartesiano das partições 1 P [a, b] e P [c, d] onde P [a, b] = {x0 = a, x1 , . . . , xj , xj+1 , . . . , xm = b} e P [c, d] = {y0 = c, y1 , . . . , yk , yk+1 , . . . , yn = d}. Do mesmo modo definimos a norma da partição por: |P | = max (∆Ajk ) 1≤j≤m 1≤k≤n onde ∆Ajk = ∆xj ∆yk , ∆xj = xj − xj−1 e ∆yk = yk − yk−1 . Tomamos um ponto (ξj , ζk ) ∈ [xj−1 , xj ] × [yk−1 , yk ] em cada pequeno retângulo e definimos a seguinte soma de Riemann para a função estendida F (x, y): m n Smn = F (ξj , ζk )∆Ajk j=1 k=1 A integral dupla da função f (x, y) sobre o domínio D ⊂ R2 , denof (x, y)dxdy será então definida como o seguinte limite: tada D def f (x, y)dxdy = lim Smn D |P |→0 Observem na partição (Fig. 1.3) que apenas os pequenos retângulos cinza claro contribuem para a soma de Riemann os demais têm contribuição nula visto que o ponto escolhido dentro destes estão fora de D ⊂ R2 e portanto F (ξj , ζk ) = 0. 1.4 Interpretação Geométrica Quando a função f (x, y) é positiva na região R, como a da (Fig. 1.2), vemos que a soma de Riemann aproxima o volume do prisma sólido reto limitado inferiormente por R e superiormente pela superfície z = f (x, y) e quanto maior for o refinamento da partição de R melhor será a aproximação. Podemos então, interpretar f (x, y)dxdy como o volume do prisma sólido a integral dupla R 15
  11. 11. Integrais Duplas Figura 1.3: Partição para F (x, y) em R = [a, b] × [c, d] reto limitado inferiormente por R e superiormente pela superfície z = f (x, y). 1.5 Integrais Iteradas Do mesmo modo que para a integral simples, na integral dupla a soma de Riemann não é um modo prático de se calcular uma integral dupla. Vejamos agora um procedimento que facilitará o cálculo de integrais duplas. Vamos exemplificar calculando o volume de um prisma reto de base retangular, limitado inferiormente por [a, b] × [c, d] e superiormente pela função de valores positivos f (x, y). para cada valor fixo de x no intervalo [a, b] consideremos o perfil A(x) (área da seção transversal em x) (Fig. 1.4) fazemos o produto por dx e integramos no intervalo [a, b]. Isto resulta no 16
  12. 12. Cálculo III AULA 1 Figura 1.4: A(x), x fixo, integramos em relação a y volume do citado prisma. b V = A(x)dx a Por outro lado o perfil A(x) é dada pela área abaixo da curva f (x, y), fixado o x, entre os valores de y no intervalo [c, d]. E como d f (x, y)dy. vimos em Cálculo I A(x) = c O volume do prisma pode ser então escrito como: b d V = f (x, y)dy dx a c . Podemos alternativamente calcular o mesmo volume considerando os perfis A(y) (área da seção transversal em y) (Fig. 1.5) fazemos o produto por dy e integramos no intervalo [c, d]. Isto resulta no volume do citado prisma. 17
  13. 13. Integrais Duplas Figura 1.5: A(y), y fixo, integramos em relação a x d A(y)dy V = c b Da mesma forma como vimos em Cálculo I A(y) = f (x, y)dx. a O volume do prisma pode ser então escrito como: d b V = f (x, y)dx dy c a . Como o volume dado pelas duas expressões é o mesmo temos que: b d d b f (x, y)dx dy = c a f (x, y)dy dx a c ou seja a ordem em que as integrais simples são executadas não altera o resultado final da integração dupla em domínios retangulares. Este procedimento e conhecido como integrais iteradas. 18
  14. 14. AULA Cálculo III 1.6 Propriedades das Integrais Duplas 1 Como nosso curso é de Cálculo, apenas listaremos, sem demonstração, alguma das propriedades das integrais duplas. Caso desejem conhecer a demonstração de algumas destas propriedades, recomendo livros de Cálculo Avançado como os citados na bibliografia abaixo. Propriedade 1.1. Sejam f : D ⊂ R2 → R uma função de valores reais integrável em D e c ∈ R, então vale: cf (x, y)dxdy = c f (x, y)dxdy D D Propriedade 1.2. Sejam f, g : D ⊂ R2 → R duas funções de valores reais integráveis em D, então vale: (f + g)(x, y)dxdy = D f (x, y)dxdy + D g(x, y)dxdy D Propriedade 1.3. Sejam f : D ⊂ R2 → R uma função de valores reais integrável em D tal que f (x, y) ≥ 0, ∀(x, y) ∈ D, então vale: f (x, y)dxdy ≥ 0 D Propriedade 1.4. Sejam f, g : D ⊂ R2 → R duas funções de valores reais integráveis em D tais que f (x, y) ≥ g(x, y), ∀(x, y) ∈ D, então vale: f (x, y)dxdy ≥ D g(x, y)dxdy D Propriedade 1.5. Seja f : D ⊂ R2 → R uma função de valores reais integrável em D onde D = A ∪ B e A ∩ B é a união de um 19
  15. 15. Integrais Duplas número finito de curvas em R2 , então vale: f (x, y)dxdy = D f (x, y)dxdy + A f (x, y)dxdy B OBS 1.1. As duas primeiras propriedades diz respeito à “linearidade” do operador integral dupla. As terceira e quarta propriedades são denominadas “dominação” enquanto que a quinta propriedade é denominada “aditividade”. 1.7 Alguns Exemplos Nada mais natural que ilustrar um novo conceito com exemplos e, vamos aqui fazer exatamente isto, ilustrar o conceito de integral dupla com dois exemplos. Antes porém, vale observar que a na prática uma integral dupla equivale a duas integrais simples e neste caso uma pergunta fica no ar e não deixaremos sem resposta. Qual das duas variáveis x ou y integraremos primeiro? Muito bem, a resposta é dada pela propria expressão da integral dupla. Isto f (x, y)dxdy primeiramente integramos na va- é, na integral R f (x, y)dydx riável x e depois na variável y. Já na integral R primeiramente integramos na variável y e depois na variável x. Vamos diretamente para o primeiro exemplo de integral dupla sobre domínios retangulares. A saber: Exemplo 1.1. Considere a função f : [0, 1] × [0, 1] → R (Fig. 1.6) dada por f (x, y) = exp(−x − y) e determine a integral dupla f (x, y)dxdy sobre a região R = {(x, y) ∈ R2 |0 ≤ x ≤ I = R 1 ∧ 0 ≤ y ≤ 1}. 20
  16. 16. Cálculo III AULA 1 Figura 1.6: Função f : [0, 1] × [0, 1] → R: f (x, y) = exp(−x − y) SOLUÇÃO: Passo 1 colocaremos os limites de integração que representam a região R dada, segundo a ordem de integração: 1 1 exp(−x − y)dxdy I= 0 0 Lembrando que: exp(−x − y) = exp(−x) exp(−y) temos: 1 1 exp(−x) exp(−y)dxdy I= 0 0 Passo 2 integraremos na variável x considerando a variável y como uma constante: 1 − exp(−x) I= 0 1 0 exp(−y)dy Substituindo os limites de integração temos: 1 (− exp(−1) − (− exp(−0))) exp(−y)dy I= 0 Efetuando os cálculos temos: 1 (1 − exp(−1)) exp(−y)dy I= 0 Passo 3 integraremos na variável y considerando a variável: I = (1 − exp(−1)) − exp(−y) 1 0 Substituindo os limites de integração temos: I = (1 − exp(−1)) (− exp(−1) − (− exp(−0))) Efetuando os cálculos temos: 21
  17. 17. Integrais Duplas I = (1 − exp(−1))2 OBS 1.2. Daremos aqui um método prático para determinar os limites de integração em uma integral dupla sobre domínio não retangular da forma: D. Passo 1 Fazer um desenho da região D. (Fig. 1.7) identificando as curvas inferior a(x) e superior b(x) que limitam a região D. Passo 2 Atravessar toda a região D e o eixo x com um segmento de reta paralelo e orientado na direção positiva ao eixo y (segmento AB na Fig. 1.7) Passo 3 Deslocar o segmento de reta AB paralelo ao eixo y na Figura 1.7: Determinação prática dos limites para D direção negativa do eixo x até tocar o ponto mais à esquerda de D marcando o limite inferior de x (ponto a na Fig. 1.7). Passo 4 Deslocar o segmento de reta AB paralelo ao eixo y na direção positiva do eixo x até tocar o ponto mais à direita de D marcando o limite superior de x (ponto b na Fig. 1.7). Passo 5 Tomando um ponto qualquer x ∈ (a, b) passamos o seg- 22
  18. 18. Cálculo III AULA mento de reta AB através da região D. O limite inferior para a 1 variável y será a função a(x), ponto da curva onde o segmento entra na região D e o limite superior para a variável y será b(x), ponto da curva onde o segmento de reta sai da região D. Nossa integral será efetuada assim: b b(x) f (x, y)dydx f (x, y)dxdy = D a a(x) Exemplo 1.2. Considere a função f : [0, 1] × [0, 1] → R (Fig. 1.8) dada por f (x, y) = y(3x − x2 − y) e determine a integral duf (x, y)dxdy sobre a região D ∈ R2 interseção das pla I = R curvas y = 0 e y = 3x − x2 . Figura 1.8: Função f : [0, 1] × [0, 1] → R: f (x, y) = x.y SOLUÇÃO: Passo 1 faremos o desenho das duas curvas que determinam os limites para a região D. A saber y = 0 e y = 3x − x2 (Fig. 1.9). Passo 2 usando o processo prático exposto acima determinamos os limites de integração. A saber: a = 0, b = 3, a(x) = 0 e b(x) = 3x − x2 . 23
  19. 19. Integrais Duplas Figura 1.9: Limites para o domínio D A integral passa a ser escrita como: 3x−x2 3 I= y(3x − x2 − y)dydx f (x, y)dxdy = 0 0 Operando no integrando fazendo o produto por y temos: 3x−x2 3 (y(3x − x2 ) − y 2 )dydx I= 0 0 Passo 3 efetuando a integração em y temos: 3 2 y y 3 3x−x2 I= ( (3x − x2 ) − ) dx 2 3 0 0 Substituindo os limit3es de integração temos: 3 (3x − x2 )2 (3x − x2 )3 I= ( (3x − x2 ) − )dx 2 3 0 Efetuando as simplificações teremos: 3 (3x − x2 )3 I= dx 6 0 Expandindo o binômio de Newton temos: 1 3 I= (27x3 − 27x4 + 9x5 − x6 )dx 6 0 Passo 4 efetuando a integração em x temos: 1 x4 x5 x6 x7 3 I = (27 − 27 + 9 − ) 6 4 5 6 7 0 Substituindo os limit3es de integração temos: 1 34 35 36 37 I = (27 − 27 + 9 − ) 6 4 5 6 7 Efetuando os cálculos, garantido muito trabalho, temos: 24
  20. 20. Cálculo III I= 1.8 AULA 1 729 280 Conclusão Na aula de hoje, vimos que a integral dupla é uma extensão natural do conceito de integral simples visto em Cálculo I. E se por um lado a integral simples pode ser interpretada como a área sob a curva descrita pela função a ser integrada, a integral dupla pode ser vista como o volume sob a superfície descrita pela função a ser duplamente integrada. RESUMO No nosso resumo da Aula 01 constam os seguintes tópicos: Integração Dupla: Domínios retangulares Considerando uma função f : R → R onde R = {(x, y) ∈ R2 |a ≤ x ≤ b ∧ c ≤ y ≤ d} é um retângulo em R2 . Podemos cobri-lo com uma malha de retas formada pela partição: P = P [R] = P [a, b] × P [c, d] onde cada P [a, b] = {x0 = a, x1 , . . . , xj , xj+1 , . . . , xn = b} e P [c, d] = {y0 = c, y1 , . . . , yk , yk+1 , . . . , ym = d} são partições dos intervalos [a, b] em x e [c, d] em y respectivamente. A malha divide R nos retângulos Ajk = [xj−1 , xj ] × [yk−1 , yk ], 1 ≤ j ≤ n, 1 ≤ k ≤ m de área ∆Ajk = ∆xj ∆yk onde ∆xj = xj − xj−1 e ∆yk = yk − yk−1 são os comprimentos dos subintervalos Ij = [xj−1 , xj ] e Jk = [yk−1 , yk ] respectivamente. Defini-se a norma da partição por: |P | = max (∆Ajk ). Toma-se um ponto (ξj , ζk ) ∈ 1≤j≤n 1≤k≤m 25
  21. 21. Integrais Duplas [xj−1 , xj ] × [yk−1 , yk ] em cada retângulo Ajk e definimos a seguinte soma de Riemann: n m Snm = f (ξj , ζk )∆Ajk j=1 k=1 A integral dupla da função f (x, ) sobre o retângulo R, denotada f (x, y)dxdy será então definida como o seguinte limite: R def f (x, y)dxdy = lim Snm |P |→0 R Integração Dupla: Domínios não Retangulares Para definir a integral dupla de uma função f : D ⊂ R2 → R onde D é não é uma região retangular, porém é limitada, começamos por considerar uma função F definida em um domínio retangular R = {(x, y) ∈ R2 |a ≤ x ≤ b ∧ c ≤ y ≤ d} tal   f (x, y) , (x, y) ∈ D que D ⊂ R e F (x, y) = . Formalmente  0 , (x, y) ∈ D / F : [a, b] × [c, d] → R é uma extensão da função f (x, y). A partir daqui todo o procedimento é semelhante ao da definição da integral dupla em domínios retangulares. Podemos definir a integral dupla de uma função f (x, y) em um domínio não retangular D por: def f (x, y)dxdy = lim Smn D onde: Smn = m j=1 |P |→0 n k=1 F (ξj , ζk )∆Ajk . é a soma de Riemann para F (x, y) Integrais Iteradas As integrais iteradas dizem que em um domínio retangular R = 26
  22. 22. Cálculo III AULA [a, b] × [c, d] a ordem de execução das integrais simples não alteram 1 o valor da integral dupla, que pode ser representada por: d b b d f (x, y)dy dx f (x, y)dx dy = c a a c . Propriedades das Integrais Duplas As integrais duplas são de certo modo semelhantes às propriedades das integrais simples que vimos em Cálculo I sendo quase que uma extensão natural destas. As integrais duplas têm, entre outras, as seguintes propriedades: Propriedade 1 Sejam f : D ⊂ R2 → R uma função de valores reais integrável em D e c ∈ R, então vale: cf (x, y)dxdy = c D f (x, y)dxdy D Propriedade 2 Sejam f, g : D ⊂ R2 → R duas funções de valores reais integráveis em D, então vale: (f + g)(x, y)dxdy = D f (x, y)dxdy + D g(x, y)dxdy D Propriedade 3 Sejam f : D ⊂ R2 → R uma função de valores reais integrável em D tal que f (x, y) ≥ 0, ∀(x, y) ∈ D, então vale: f (x, y)dxdy ≥ 0 D 27
  23. 23. Integrais Duplas Propriedade 4 Sejam f, g : D ⊂ R2 → R duas funções de valores reais integráveis em D tais que f (x, y) ≥ g(x, y), ∀(x, y) ∈ D, então vale: f (x, y)dxdy ≥ D g(x, y)dxdy D Propriedade 5 Seja f : D ⊂ R2 → R uma função de valores reais integrável em D onde D = A ∪ B e A ∩ B é a união de um número finito de curvas em R2 , então vale: f (x, y)dxdy = D f (x, y)dxdy + A f (x, y)dxdy B Determinação dos Limites de Integração Para determinar os limites de integração em uma integral dupla sobre domínio não retangular da forma: D seguimos os seguintes passos: Passo 1 Fazer um desenho da região D. (Fig. 1.7) identificando as curvas inferior a(x) e superior b(x) que limitam a região D. Passo 2 Atravessar toda a região D e o eixo x com um segmento de reta paralelo e orientado na direção positiva ao eixo y (segmento AB na Fig. 1.7) Passo 3 Deslocar o segmento de reta AB paralelo ao eixo y na direção negativa do eixo x até tocar o ponto mais à esquerda de D marcando o limite inferior de x (ponto a na Fig. 1.7). 28
  24. 24. Cálculo III AULA Passo 4 Deslocar o segmento de reta AB paralelo ao eixo y na 1 direção positiva do eixo x até tocar o ponto mais à direita de D marcando o limite superior de x (ponto b na Fig. 1.7). Passo 5 Tomando um ponto qualquer x ∈ (a, b) passamos o segmento de reta AB através da região D. O limite inferior para a variável y será a função a(x), ponto da curva onde o segmento entra na região D e o limite superior para a variável y será b(x), ponto da curva onde o segmento de reta sai da região D. Nossa integral será efetuada assim: b b(x) f (x, y)dxdy = D f (x, y)dydx a a(x) PRÓXIMA AULA Em nossa próxima aula veremos mudança de variáveis na integração dupla. O objetivo da mudança de variáveis em uma integral dupla será a de facilitar esta integração de uma de duas formas. A primeira será tornando o integrando mais simples. A segunda transformando o domínio D do integrando em um domínio de forma geométrica mais simples. ATIVIDADES Deixamos como atividades o cálculo de algumas integrais duplas. ATIV. 1.1. Seja f : [−1, +1] × [−1, +1] → R dada por f (x, y) = 29
  25. 25. Integrais Duplas x2 + y 2 . Determine a integral dupla f (x, y)dxdy. R Comentário: Volte ao texto e reveja com calma e atenção o cálculo de integrais duplas dos exemplos acima, elas lhe servirão de guia. ATIV. 1.2. Seja f : D ⊂ R2 → R dada por f (x, y) = x2 + y 2 , onde D = {(x, y) ∈ R2 |x ≥ 0 ∧ 0 ≤ y ≤ 1 − x2 }. • Determine os limites da integral dupla f (x, y)dxdy, D • esboce a região de integração e • calcule a integral dupla f (x, y)dxdy. D Comentário: Volte ao texto e reveja com calma e atenção o cálculo de integrais duplas dos exemplos acima, elas lhe servirão de guia. LEITURA COMPLEMENTAR ÁVILA, Geraldo, Cálculo 3: Funções de Várias Variáveis, Livros Técnicos e Científicos Editora, São Paulo, 3a edição, 1982. LEITHOLD, Louis, O Cálculo com Geometria Analítica. Volume 2, Editora Harbra, 1994. STEWART, James,Cálculo. Volume 3, 5a edição, Editora CENGAGE Learning, 2009. SWOKOWSKI, Earl E., Cálculo com Geometria Analítica, Volume 2, 2a edição, Makron Books do Brásil SP, 1994. THOMAS, George B., Cálculo, Volume 2, 10a, Addilson Wesley, 30
  26. 26. Cálculo III 2003. AULA 1 KAPLAN, Wilfred, Cálculo Avançado Vol.1 e vol.2 Editora Edgard Blücher 1991.// SPIEGEL, Murray R. Cálculo Avançado, Editora McGraw-Hill do Brasil, 1971. BOUCHARA, Jacques, Cálculo Integral Avançado, EDUSP, 2006. 31
  27. 27. AULA Mudança de Variáveis em Integrais Duplas META: Introduzir mudança de variáveis em integrais duplas de funções de valores reais e domínio em R2 . OBJETIVOS: Ao fim da aula os alunos deverão ser capazes de: Calcular o jacobiano de aplicações de R2 em R2 . Calcular integrais duplas de funções de valores reais e domínio em R2 utilizando mudança de variáveis. Calcular integrais duplas de funções de valores reais e domínio em R2 em coordenadas polares. PRÉ-REQUISITOS Os conhecimentos de integrais de funções de valores reais com domínio em R, da disciplina Cálculo I, curvas em R2 e coordenadas polares da disciplina Cálculo II e integrais duplas aula 01. 2
  28. 28. Mudança de Variáveis em Integrais Duplas 2.1 Introdução Caros alunos a segunda aula do nosso curso de Cálculo III tem com o tema “Mudança de Variáveis em Integrais Duplas”. As f (x, y)dxdy, dada a natureza ou de vezes, na integral dupla HISTÓRIA O teorema de mudança de variáveis em integrais duplas foi primeiro proposto por Euler quando ele desenvolveu a noção de integral dupla em 1769. Usado por Legendre, Laplace e Gauss, foi primeiramente generalizado para n variáveis por Mikhail Ostrogradski em 1836, resistiu a uma demonstração mais rigorosa por longo tempo (cerca de 125 anos). E foi satisfatóriamente demonstrado por Elie Cartan em uma série de artigos nos anos 1890. D f (x, y) ao do seu domínio D, fica mais fácil integrar se fizermos uma mudança nas variáveis de integração, como quando D é uma disco, um semi-disco, um setor circular ou mesmo uma faixa de disco, usando-se o sistema de coordenadas polares de modo geral a integral dupla é mais fácil de se determinar que em coordenadas cartesianas. 2.2 Mudança de Variáveis em Integrais Duplas Caros alunos começaremos revendo mudança de variáveis em integrais simples. Considere uma função f : [a, b] → R. A idéia é mudar a variável inicial x para uma nova variável ξ relacionadas por x = g(ξ), onde g(ξ) é uma função biunívoca estritamente crescente ou estritamente decrescente em [a, b]. Isto garante que podemos inverter a mudança de variáveis. Seja F (x) uma anti-derivada de f (x) tal que F (x) = f (x). Então, da regra da cadeia temos: d F (g(ξ)) = F (g(ξ))g (ξ) = f (g(ξ))g (ξ). dξ Integrando com respeito a ξ temos: d F (g(ξ))dξ = f (g(ξ))g (ξ)dξ dξ Das propriedades da integral temos: F (g(ξ)) + C = f (g(ξ))g (ξ)dξ Como x = g(ξ) temos: F (x) + C = 34 f (g(ξ))g (ξ)dξ
  29. 29. Cálculo III AULA Como F (x) é uma primitiva de f (x) a primeira expressão é a in- 2 tegral indefinida de f (x) com respeito a x e temos: f (x)dx = f (g(ξ))g (ξ)dξ Que representa a mudança de variáveis em uma integral simples. Para integrais definidas, se c = g(a) e d = g(b) então: d b f (g(ξ))g (ξ)dξ f (x)dx = c a A expressão acima funciona bem quando g(ξ) é crescente neste caso a < b e c < d. Porém, no caso de g(ξ) decrescente (g (ξ) < 0) pois neste caso a < b e d < c e portanto o limite inferior da segunda integral não conhecide com o limite inferior do intervalo da imagem de g(ξ) o mesmo acontecendo com o limite superior. Neste caso, usando as propriedades da integral simples temos: b c f (x)dx = − f (g(ξ))g (ξ)dξ a d De outra forma escrevemos: b c f (x)dx = a f (g(ξ))|g (ξ)|dξ. d e operaremos os limites inferiores e superiors das integrais como os limites inferiores e superiores dos domínios (intervalos) e a expressão acima vale tanto pra g(ξ) crescente quanto decrescente. Vamos agora diretamente ao assunto dando uma argumentação heurística para a expressão da mudança de variáveis em integrais duplas. f (x, y)dxdy sobre Para isto, consideremos a integral dupla D uma região D ∈ R2 do plano (x, y) e a transformação (x, y) = T (u, v) tal que o domínio D do plano (x, y) seja a imagem do domínio D do plano (u, v) (podemos expressar este fato como D = T (D )). Mais especificamente podemos escrever: x = x(u, v) ˆ e y = y (u, v) tomando uma partição para o domínio D no plano ˆ OBSERVAÇÃO heurística heu.rís.ti.ca sf (gr heuristiké) 1 Ciência ou arte do procedimento heurístico. 2 Método de ensino que consiste em que o educando chegue à verdade por seus próprios meios. 3 Ramo da ciência histórica que consiste na pesquisa dos documentos do passado. (u, v) cobrindo-o com pequenos retângulos e usando a transformação T podemos levar o pequeno retângulo Ajk na pequena figura 35
  30. 30. Mudança de Variáveis em Integrais Duplas plana Ajk = T (Ajk ) (ver Fig 2.1 e Fig 2.2). A área do pequeno retângulo no plano (u, v) é ∆Ajk a área da pequena figura Ajk no plano (x, j), e ai é que reside a argumentação heurística, será apro∂T ximada pela área do paralelogramo formado pelos vetores ∆vk ∂v ∂T e ∆uj e pelas linhas tracejadas (paralelas aos respectivos veto∂u res). Do calculo vetorial temos: ∂T ∂x ˆ ∂y ˆ ∆uj = ∆uj i + ∆uj j + 0k. ∂u ∂u ∂u ∂T ∂x ˆ ∂y ˆ ∆vk = ∆vk i + ∆vk j + 0k ∂v ∂v ∂v Vistos como vetores de R3 e a área do paralelogramo (ver Vetores e Geometria Analítica) dada pelo módulo do seguinte produto vetorial: ∂T ∂T ∆uj × ∆vk . ∂u ∂v Fazendo o cálculo do produto vetorial temos:  ∆Ajk =  i j k    ∂x  ˆ ∂y ˆ ∂T ∂T  ∆uj × ∆vk = det   ∂u ∆uj ∂u ∆uj 0  ∂u ∂v  ∂x  ∂y ˆ ˆ ∆vk ∆vk 0 ∂v ∂v Fazendo os cálculos temos: ∂T ∂T ∂x ∂y ∂x ∂y ˆ ˆ ˆ ˆ ∆uj × ∆vk = − ∆uj ∆vk k. ∂u ∂v ∂u ∂v ∂v ∂u Tomando o módulo da expressão acima, para a área de Ajk , temos: ˆ ˆ ∂x ∂y ∂x ∂y ˆ ˆ − ∆uj ∆vk . ∆Ajk ≈ ∂u ∂v ∂v ∂u A expressão dentro do módulo é o determinante de uma matrix 2 × 2 conhecida como jacobiano da transformação x = x(u, v) e ˆ y = y (u, v) e denotado: ˆ   ∂x ∂y ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ∂(x, y)   ∂x ∂y ∂x ∂y = det  ∂u ∂u  = − . ∂x ∂y ˆ ˆ ∂(u, v) ∂u ∂v ∂v ∂u ∂v ∂v Como a área do pequeno retângulo Ajk é dada por ∆Ajk = ∆uj ∆vk temos: ∆Ajk ≈ 36 ∂(x, y) ∆Ajk . ∂(u, v)
  31. 31. Cálculo III AULA 2 Figura 2.1: Plano (u, v) Figura 2.2: Plano (x, y) O que nos leva a considerar a seguinte fórmula para a mudança de variáveis em integrais duplas: ∂(x, y) dudv. ∂(u, v) D D Que representa a mudança de variáveis na integral dupla pela f (x, y)dxdy = f (ˆ(u, v), y (u, v)) x ˆ transformação (x, y) = T (u, v). OBS 2.1. Para o caso particular da mudança de variáveis do sistema de coordenadas cartesianas para o sistema de coordenadas polares (x, y) = T (r, ϑ) = (r cos(ϑ), r sin(ϑ)) onde x = x(r, ϑ) = ˆ r cos(ϑ) e y = (r, ϑ) = r sin(ϑ), o jacobiano é dado por: y ˆ    ∂x ∂y ˆ ˆ cos(ϑ) sin(ϑ) ∂(x, y)  ∂r ∂r   = r. = det  ∂ x ∂ y  = det  ˆ ˆ ∂(r, ϑ) −r sin(ϑ) r cos(ϑ) ∂ϑ ∂ϑ ∂(x, y) Portanto o jacobiano da transformação = r a mudança de ∂(r, ϑ) variáveis na integral dupla toma a forma: f (x, y)dxdy = D f (r cos(ϑ), r sin(ϑ))rdrdϑ. D OBS 2.2. Daremos aqui um método prático para determinar os limites de integração em uma integral dupla sobre domínio não retangular da forma: D em coordenadas polares. 37
  32. 32. Mudança de Variáveis em Integrais Duplas Passo 1 Fazer um desenho da região D (Fig. 2.3), identificando as curvas que limitam a região D. Passo 2 Atravessar toda a região D com um raio r (ϑ) orientado na direção positiva (Fig. 2.3) Passo 3 Deslocar o raio r (ϑ) na direção negativa do ângulo ϑ (diNOTA reção horária) até tocar o ponto mais à negativa de D marcando Por convenção a medida de ângulo tem sinal positivo quando o deslocamento é feito na direção anti-horária, direção contrária ao movimento dos ponteiros do relógio e tem sinal negativo quando o deslocamento é feito na direção horária, direção do movimento dos ponteiros do relógio. Figura 2.3: Determinação prática dos limites para D o limite inferior de ϑ (ângulo α na Fig. 2.3). Passo 4 Deslocar o raio r (ϑ) na direção positiva do ângulo ϑ (direção anti-horária) até tocar o ponto mais à positiva de D marcando o limite inferior de ϑ (ângulo β na Fig. 2.3). Passo 5 Tomando um ponto qualquer ϑ ∈ (α, β) passamos o raio r (ϑ) através de D o limite inferior para a variável r será a função α(ϑ), ponto da curva onde o raio r (ϑ) entra na região D e o limite superior para a variável r será β(ϑ), ponto da curva onde o raio r (ϑ) sai da região D. Nossa integral será efetuada assim: β β(ϑ) f (x, y)dxdy = D 38 f (r cos(ϑ), r sin(ϑ))rdrdϑ α α(ϑ)
  33. 33. AULA Cálculo III 2.3 2 Alguns Exemplos Caros alunos, nesta seção ilustraremos, com dois exemplos, a mudança de variáveis em integrais duplas. A rigor, trataremos apenas de exemplos em coordenadas polares. f (x, y)dxdy onde Exemplo 2.1. Determinar a integral dupla D D = {(x, y) ∈ R2 |x ≥ 0 ∧ y ≥ 0 ∧ x2 + y 2 ≤ 1} e f (x, y) = exp(−x2 − y 2 ). O domínio da função representa um quarto de disco (Fig 2.4). Figura 2.4: Gráfico do exemplo 1 SOLUÇÃO: Passo 1 Como o domínio D é um quarto de disco, o mais adequado é utilizar o sistema de coordenadas polares. Podemos usar o método prático de determinação dos limites da integral dupla π em coordenadas polares (Fig 2.5) e verificar que: α = 0, β = , 2 α(ϑ) = 0 e β(ϑ) = 1. Neste caso podemos descrever o domínio como: D = {(r, ϑ) ∈ R2 |0 ≤ r ≤ 1 ∧ 0 ≤ ϑ ≤ π/2}. E como x = r cos(ϑ) e y = r sin(ϑ) e 39
  34. 34. Mudança de Variáveis em Integrais Duplas Figura 2.5: Gráfico do exemplo 1 ∂(x, y) = r. ∂(r, ϑ) Quanto a variável r varia no intervalo [0, 1] independentemente de o módulo do jacobiano da transformação é dado por: ϑ e a variável ϑ varia no intervalo [0, π/2] ( a variação de ângulo no primeiro quadrante). Podemos reescrever a integral dupla como: 1 I= π/2 f (x, y)dxdy = D f (r cos(ϑ), r sin(ϑ))rdϑdr Subs0 0 tituindo f (x, y) temos: 1 π/2 exp(−(r cos(ϑ))2 − (r sin(ϑ))2 )rdϑdr I= 0 0 Efetuando as simplificações temos: 1 π/2 exp(−r2 )rdϑdr I= 0 0 Passo 2 Integrando primeiramente na variável ϑ e como o integrando não depende de ϑ temos: 1 exp(−r2 )ϑ I= 0 π/2 0 rdr Substituindo os limites de integração temos: 1 exp(−r2 )rdr I = π/2 0 Passo 3 A última integral (variável r) podemos efetuar por mudança de variáveis pondo ξ = r2  deste modo temos: dξ = 2rdr   1  1 1 ou seja rdr = − dξ e os limites r eξ . Daí, a integral  0  0 2 40
  35. 35. Cálculo III 2 passará a forma: 1 I = π/4 AULA exp(−ξ)dξ 0 Cuja integração é fácil e da forma: I = π/4 − exp(−ξ) 1 0 Efetuando os cálculo temos: π I = (1 − exp(−1)) 4 Vamos agora, diretamente ao nosso segundo exemplo. Trata-se de uma curva já conhecida de vocês (Cálculo II) a lemniscata. Exemplo 2.2. Determinar a área da região D, a parte da lemniscata, r = cos(2ϑ), que situa-se no primeiro quadrante. ver parte cinza da (Fig 2.6). Figura 2.6: Gráfico do exemplo 2 SOLUÇÃO: Passo 1 Como o domínio D é um quarto de uma lemniscata, o mais adequado é utilizar o sistema de coordenadas polares. Podemos usar o método prático de determinação dos limites da integral dupla em coordenadas polares (Fig 2.7) e verificar que: α = 0, 41
  36. 36. Mudança de Variáveis em Integrais Duplas β= π , α(ϑ) = 0 e β(ϑ) = 4 cos(2ϑ). Figura 2.7: Gráfico do exemplo 2 Neste caso podemos descrever o domínio como: D = {(r, ϑ) ∈ R2 |0 ≤ ϑ ≤ π/4 ∧ 0 ≤ r ≤ cos(2ϑ)}. E como, neste exemplo, queremos calcular área temos que f (x, y) = 1 e em coordenadas polares podemos escrever na forma da seguinte integral dupla: √ cos(2ϑ) π/4 A= rdrdϑ dxdy = D 0 0 Integrando em r temos: √ π/4 2 cos(2ϑ) r A= dϑ 2 0 0 Substituindo os limites de integração temos: 2 π/4 cos(2ϑ) dϑ A= 2 0 Simplificando o integrando temos: π/4 cos(2ϑ) A= dϑ 2 0 Integrando na variável ϑ temos: sin(2ϑ) π/4 A= 4 0 Substituindo os limites de integração temos: sin(π/2) − sin(0) A= 4 Portanto: 1 A= 4 42
  37. 37. Cálculo III AULA 2 OBS 2.3. Caros alunos, é muito importante neste ponto uma revisão cuidadosa e detalhada dos dois exemplos dados acima. Efetuar uma mudança de varáveis em integrais duplas não é tão simples quanto efetuar uma mudança de variáveis em integrais simples. 2.4 Conclusão Na aula de hoje, vimos que a mudança de variáveis em integrais dupla, nos permite, facilitar o cálculo das ditas integrais quando trabalhamos com domínios de integração de geometrias específicas, como a induzida pelas coordenadas polares. RESUMO No nosso resumo da Aula 02 constam os seguintes tópicos: Mudança de Variáveis em Integrais Duplas Consideramos a transformação (x, y) = T (u, v) tal que o domínio D do plano (x, y) seja transformado no domínio D do plano (u, v) (D = T (D )) e mais especificamente x = x(u, v) e y = y (u, v). ˆ ˆ ∂(x, y) Definindo o jacobiano da transformação, denotado , por: ∂(u, v)   ˆ ∂x ∂y ˆ ∂(x, y) ˆ ˆ ˆ ˆ   ∂x ∂y ∂x ∂y = det  ∂u ∂u  = − . ∂x ∂y ˆ ˆ ∂(u, v) ∂u ∂v ∂v ∂u ∂v ∂v Vale então,a seguinte fórmula para a mudança de variáveis en integrais duplas: 43
  38. 38. Mudança de Variáveis em Integrais Duplas f (ˆ(u, v), y (u, v)) x ˆ f (x, y)dxdy = D D ∂(x, y) dudv. ∂(u, v) Sistema de Coordenadas Polares Para o caso particular da mudança de variáveis do sistema de coordenadas cartesianas para o sistema de coordenadas polares no cálculo de integrais duplas temos: (x, y) = T (r, ϑ) = (r cos(ϑ), r sin(ϑ)) onde x = x(r, ϑ) = r cos(ϑ) e ˆ y = y (r, ϑ) = r sin(ϑ). ˆ Vale a seguinte transformação de variáveis: f (x, y)dxdy = D f (r cos(ϑ), r sin(ϑ))rdrdϑ. D Determinação dos Limites de Integração em Coordenadas Polares Daremos aqui um método prático para determinar os limites de integração em uma integral dupla sobre domínio não retangular da forma: D em coordenadas polares. Passo 1 Fazer um desenho da região D (Fig. 2.3), identificando as curvas que limitam a região D. Passo 2 Atravessar toda a região D com um raio r (ϑ) orientado na direção positiva (Fig. 2.3) Passo 3 Deslocar o raio r (ϑ) na direção negativa do ângulo ϑ (direção horária) até tocar o ponto mais à negativa de D marcando o limite inferior de ϑ (ângulo α na Fig. 2.3). Passo 4 Deslocar o raio r (ϑ) na direção positiva do ângulo ϑ (direção anti-horária) até tocar o ponto mais à positiva de D marcando o limite inferior de ϑ (ângulo β na Fig. 2.3). Passo 5 Tomando um ponto qualquer ϑ ∈ (α, β) passamos o raio 44
  39. 39. Cálculo III AULA r (ϑ) através de D o limite inferior para a variável r será a função 2 α(ϑ), ponto da curva onde o raio r (ϑ) entra na região D e o limite superior para a variável r será β(ϑ), ponto da curva onde o raio r (ϑ) sai da região D. Nossa integral será efetuada assim: β β(ϑ) f (x, y)dxdy = D f (r cos(ϑ), r sin(ϑ))rdrdϑ α α(ϑ) PRÓXIMA AULA Em nossa próxima aula veremos algumas das inúmeras aplicações da integral dupla. Nossa atenção estará voltada para o cálculo do centro de massa de perfis planos bem como no cálculo de seus momentos de inércia. ATIVIDADES Deixamos como atividades as seguintes questões. ATIV. 2.1. Determine a área da parte da cardióide r(ϑ) = 1 + cos(ϑ) que fica acima do eixo dos x (Fig 2.8) que está em cinza. Comentário: Volte ao texto e reveja com calma e atenção os exemplos acima, eles lhe servirão de guia. ATIV. 2.2. Determine a área entre a cardióide r(ϑ) = 1+cos(ϑ) e o círculo r(ϑ) = 1 acima do eixo do x (Fig 2.9) que está em cinza. Comentário: Volte ao texto e reveja com calma e atenção os exemplos acima, eles lhe servirão de guia. 45
  40. 40. Mudança de Variáveis em Integrais Duplas Figura 2.8: Atividade 1 Figura 2.9: Atividade 2 LEITURA COMPLEMENTAR ÁVILA, Geraldo, Cálculo 3: Funções de Várias Variáveis, Livros Técnicos e Científicos Editora, São Paulo, 3a edição, 1982. LEITHOLD, Louis, O Cálculo com Geometria Analítica. Volume 2, Editora Harbra, 1994. STEWART, James,Cálculo. Volume 3, 5a edição, Editora CENGAGE Learning, 2009. SWOKOWSKI, Earl E., Cálculo com Geometria Analítica, Volume 2, 2a edição, Makron Books do Brásil SP, 1994. THOMAS, George B., Cálculo, Volume 2, 10a, Addilson Wesley, 2003. KAPLAN, Wilfred, Cálculo Avançado Vol.1 e vol.2 Editora Edgard Blücher 1991.// SPIEGEL, Murray R. Cálculo Avançado, Editora McGraw-Hill do Brasil, 1971. BOUCHARA, Jacques, Cálculo Integral Avançado, EDUSP, 2006. 46
  41. 41. AULA Algumas Aplicações da Integral Dupla META: Apresentar algumas aplicações das integrais duplas de funções de valores reais e domínio em R2 . OBJETIVOS: Ao fim da aula os alunos deverão ser capazes de: Determinar área, massa, centro de massa, momento de massa e momento de inércia de figuras planas usando integrais duplas de funções de valores reais e domínio em R2 . PRÉ-REQUISITOS Os conhecimentos de integrais de funções de valores reais com domínio em R, da disciplina Cálculo I, curvas em R2 e coordenadas polares da disciplina Cálculo II e integrais duplas aula 01 e aula 02. 3
  42. 42. Algumas Aplicações da Integral Dupla 3.1 Introdução Caros alunos nesta terceira aula do nosso curso de Cálculo III com o tema “Algumas Aplicações das Integrais Duplas”. Dentre as inúmeras aplicações da integral dupla, veremos apenas duas pelo pouco tempo que dispomos. Veremos apenas como usar as integrais duplas para calcular a massa de uma região plana dada sua distribuição de densidade e como calcular seu centro de gravidade. Para outras aplicações recomendo uma busca na INTERNET 3.2 Preliminares Consideraremos uma região D ⊂ R2 finita, com uma distribuição de densidade mássica superficial (massa por unidade de superfície) (x, y), ∀(x, y) ∈ D. Determinação da massa Para determinar a massa consideremos uma função Φ definida em um domínio retangular R = {(x, y)  R2 |a ≤ x ≤ b ∧ c ≤ ∈  (x, y) , (x, y) ∈ D y ≤ d} tal que D ⊂ R e Φ(x, y) = .  0 , (x, y) ∈ D / Considerando a uma partição para o retângulo R dada por P = P [R] = P [a, b] × P [c, d], o produto cartesiano das partições P [a, b] e P [c, d] onde P [a, b] = {x0 = a, x1 , . . . , xj , xj+1 , . . . , xm = b} e P [c, d] = {y0 = c, y1 , . . . , yk , yk+1 , . . . , yn = d}. Tomamos um ponto (ξj , ζk ) ∈ [xj−1 , xj ] × [yk−1 , yk ] em cada pequeno retângulo e definimos a seguinte soma de Riemann: m n Smn = Φ(ξj , ζk )∆Ajk . j=1 k=1 48
  43. 43. Cálculo III AULA A massa da região D, denotada m(D), será a integral dupla da fun- 3 ção (x, y) sobre o domínio D ⊂ R2 , denotada (x, y)dxdy D será então definida como o seguinte limite: def (x, y)dxdy = lim Smn m(D) = |P |→0 D . OBS 3.1. Para a determinação do peso da região D toma-se a seguinte soma de Riemann: m n Smn = g(ξj , ζk )Φ(ξj , ζk )∆Ajk j=1 k=1 onde g(ξj , ζk ) é a aceleração da gravidade no ponto (ξj , ζk ). E o peso da região D, denotado p(D), será dado pela integral dupla: def p(D) = g(x, y) (x, y)dxdy = lim Smn |P |→0 D . Determinação do Momento de Massa Usando as mesmas considerações acima para o cálculo da massa de uma região D limitada com distribuição de densidade (x, y). Para calcular o momento de massa de um pequeno retângulo com relação ao eixo y tomamos o seguinte produto ξj Φ(ξj , ζk )∆Ajk . O momento de massa total em relação ao eixo y para a região D será aproximado pelo limite da soma de Riemann: m n Smn = ξj Φ(ξj , ζk )∆Ajk j=1 k=1 . O momento de massa da região D em relação ao eixo y será dada 49
  44. 44. Algumas Aplicações da Integral Dupla pelo limite: def x (x, y)dxdy = lim Smn My (D) = |P |→0 D . De forma semelhante chega-se ao momento de massa da região D em relação ao eixo x tomando-se a seguinte soma de Riemann: m n Smn = ζk Φ(ξj , ζk )∆Ajk j=1 k=1 . O momento de massa da região D em relação ao eixo x será dada pelo limite: def Mx (D) = y (x, y)dxdy = lim Smn D |P |→0 . Determinação do Centro de Massa O centro de massa de uma região plana D ⊂ R2 finita, com uma distribuição de densidade mássica superficial (x, y), ∀(x, y) ∈ D, é o ponto (¯, y ) definido por: x ¯ x= ¯ My (D) = m(d) x (x, y)dxdy D (x, y)dxdy D Mx (D) y= ¯ = m(d) y (x, y)dxdy D (x, y)dxdy D Determinação do Momento de Inércia Usando as mesmas considerações acima para o cálculo da massa 50
  45. 45. Cálculo III AULA de uma região D limitada com distribuição de densidade (x, y). 3 Para calcular o momento de inércia de um pequeno retângulo com 2 relação ao eixo y tomamos o seguinte produto ξj Φ(ξj , ζk )∆Ajk . O momento de inércia total em relação ao eixo y para a região D será aproximado pelo limite da soma de Riemann: m n 2 ξj Φ(ξj , ζk )∆Ajk Smn = j=1 k=1 . O momento de inércia da região D em relação ao eixo y será dada pelo limite: def x2 (x, y)dxdy = lim Smn Iy (D) = |P |→0 D . De forma semelhante chega-se ao momento de inércia da região D em relação ao eixo x tomando-se a seguinte soma de Riemann: m n 2 ζk Φ(ξj , ζk )∆Ajk Smn = j=1 k=1 . O momento da região D em relação ao eixo x será dada pelo limite: def y 2 (x, y)dxdy = lim Smn Ix (D) = D |P |→0 . O momento de inércia em relação a origem é dado pela seguinte integral dupla: 51
  46. 46. Algumas Aplicações da Integral Dupla (x2 + y 2 ) (x, y)dxdy I0 (D) = D . 3.3 Algumas Aplicações da Integral Dupla Faremos duas aplicações da integral dupla ao cálculo do centro de massa de duas figuras planas. Na primeira usaremos o sistema de coordenadas cartesiano. Na segunda usaremos uma mudança de variáveis para o sistema de coordenadas polares. Vamos aos nossos exemplos. Exemplo 3.1. Para o primeiro exemplo desejamos determinar o centro de massa de uma região triangular D dada pela interseção das retas x = 0, y = 0 e a reta que passa pelos pontos (0, a) e (b, 0) com a, b > 0 (Fig 3.1), cuja densidade superficial de massa é constante (x, y) = . Figura 3.1: Gráfico do exemplo 1 52
  47. 47. AULA Cálculo III 3 SOLUÇÃO: Começaremos por determinar os limites de integração inspeciox nando a (Fig 3.1) e verificando que 0 ≤ x ≤ a e 0 ≤ y ≤ b 1 − . a Em segundo calcularemos a massa da região D, m(D) e os respectivos momentos de massa com relação ao eixo x e ao eixo y Mx (D) e My (D) respectivamente. Passo 1 determinar a massa m(D), dada pela integral dupla: a m(D) = b(1−x/a) (x, y)dxdy = dydx 0 D 0 Integrando em y temos: a m(D) = b(1−x/a) y 0 0 dx Substituindo os limites de integração temos: a x m(D) = b 1 − dx a 0 Integrando em x temos: x2 a m(D) = b x − 2a 0 Substituindo os limites de integração temos: a2 m(D) = b a − 2a Simplificando temos: ab m(D) = 2 Passo 2 calcular o momento de massa Mx (D) dado pela integral dupla: Mx (D) = (x, y)ydxdy D Substituindo os limites temos: a Mx (D) = b(1−x/a) (x, y)ydxdy = D ydydx 0 0 Integrando em y teremos: a y 2 b(1−x/a) dx Mx (D) = 2 0 0 Substituindo os limites de integração temos: a (b(1 − x/a))2 Mx (D) = dx 2 0 Simplificando o integrando temos: 53
  48. 48. Algumas Aplicações da Integral Dupla a b2 b2 x b2 x2 dx − + 2 a 2a2 0 Integrando em x teremos: b2 x b2 x2 b2 x3 a Mx (D) = − + 2 2a 6a2 0 Substituindo os limites de integração temos: b2 a b2 a2 b2 a3 Mx (D) = − + 2 2a 6a2 Simplificando as frações temos: b2 a Mx (D) = 6 Passo 3 calcular o momento de massa My (D) dado pela integral Mx (D) = dupla: My (D) = (x, y)xdxdy D My (D) = (x, y)xdxdy D Substituindo os limites temos: a My (D) = b(1−x/a) (x, y)xdxdy = D xdydx 0 0 Integrando em y teremos: a b(1−x/a) xy My (D) = 0 0 dx Substituindo os limites de integração temos: a x My (D) = bx 1 − dx a 0 Integrando em x teremos: x2 x3 a My (D) = b − 2 3a 0 Substituindo os limites de integração temos: a3 a2 − My (D) = b 2 3a Simplificando as frações temos: ba2 My (D) = 6 Passo 4 Determinar o centro de massa de D pelas fórmulas: My (D) Mx (D) x= ¯ ey= ¯ . m(D) m(D) Usando os resultados anteriores temos: 54
  49. 49. Cálculo III ba2 b2 a x= 6 ey= 6 ¯ ¯ ab ab 2 2 Simplificando temos: a b x= ey= ¯ ¯ 3 3 AULA 3 Como segundo exemplo usaremos uma região em que o sistema de coordenadas polares facilita os cálculos. Exemplo 3.2. Para o segundo exemplo desejamos determinar o centro de massa de uma região D dada pelo quarto da coroa circular de raio interno a e raio externo b que situa-se no primeiro quadrante (Fig 3.2), cuja densidade superficial de massa é constante (x, y) = . Figura 3.2: Gráfico do exemplo 2 SOLUÇÃO: Começaremos por determinar os limites de integração inspecionando a (Fig 3.2) e verificando que 0 ≤ ϑ ≤ π/2 e a ≤ r ≤ b. Em segundo calcularemos a massa da região D, m(D) e os respectivos momentos de massa com relação ao eixo x e ao eixo y Mx (D) e My (D) respectivamente. 55
  50. 50. Algumas Aplicações da Integral Dupla Passo 1 determinar a massa m(D), dada pela integral dupla: π/2 m(D) = b (x, y)dxdy = D rdrdϑ 0 a Integrando em r temos: π/2 r2 b m(D) = dϑ 2 a 0 Substituindo os limites de integração temos: π/2 b2 a2 m(D) = dϑ − 2 2 0 Integrando em ϑ temos: π/2 b2 a2 m(D) = − ϑ 2 2 0 Substituindo os limites de integração temos: 1 π(b2 − a2 ) m(D) = 4 Passo 2 calcular o momento de massa Mx (D) dado pela integral dupla: Mx (D) = (x, y)ydxdy D Substituindo os limites em coordenadas polares e sabendo que y = r sin(ϑ) temos: π/2 Mx (D) = b (x, y)ydxdy = D r sin(ϑ)rdrdϑ 0 a Integrando em r temos: π/2 r3 b dϑ 3 a 0 Substituindo os limites de integração temos: π/2 b3 a3 − dϑ Mx (D) = sin(ϑ) 3 3 0 Integrando em ϑ temos: π/2 b3 a3 Mx (D) = − (− cos(ϑ)) 3 3 0 Substituindo os limites de integração temos: b3 a3 Mx (D) = − (− cos(π/2) − − cos(0)) 3 3 Simplificando temos: 1 3 Mx (D) = (b − a3 ) 3 Passo 3 calcular o momento de massa My (D) dado pela integral Mx (D) = dupla: 56 sin(ϑ)
  51. 51. AULA Cálculo III My (D) = 3 (x, y)xdxdy D My (D) = (x, y)xdxdy D Substituindo os limites em coordenadas polares e sabendo que x = r cos(ϑ) temos: π/2 b r cos(ϑ)rdrdϑ (x, y)ydxdy = Mx (D) = 0 D a Integrando em r temos: π/2 r3 b dϑ 3 a 0 Substituindo os limites de integração temos: π/2 b3 a3 Mx (D) = cos(ϑ) − dϑ 3 3 0 Integrando em ϑ temos: π/2 b3 a3 − (sin(ϑ)) Mx (D) = 3 3 0 Substituindo os limites de integração temos: b3 a3 − (sin(π/2) − sin(0)) Mx (D) = 3 3 Simplificando temos: 1 3 Mx (D) = (b − a3 ) 3 Passo 4 Determinar o centro de massa de D pelas fórmulas: My (D) Mx (D) x= ¯ ey= ¯ . m(D) m(D) Usando os resultados anteriores temos: 1 3 (b − a3 ) 3 x=y= ¯ ¯ 1 π(b2 − a2 ) 4 Levando em conta que b3 − a3 = (b − a)(b2 + ba + a2 ) e b2 − a2 = Mx (D) = cos(ϑ) (b − a)(b + a) temos: 1 (b − a)(b2 + ba + a2 ) 3 x=y= ¯ ¯ 1 π(b − a)(b + a) 4 Simplificando temos: 4 b2 + ba + a2 x=y= ¯ ¯ . 3π b+a 57
  52. 52. Algumas Aplicações da Integral Dupla 3.4 Conclusão Na aula de hoje, vimos que dentre as inúmeras aplicações da integral dupla, dentro da área da física destacamos, entre outras, algumas das mais importantes que são: a determinação da massa de uma região plana limitada por curvas, dada sua distribuição de densidade, o cálculo do momento de massa de uma região plana limitada por curvas, dada sua distribuição de densidade, o momento de inércia de uma região plana limitada por curvas, dada sua distribuição de densidade e o cálculo do centro de massa de uma região plana limitada por curvas, dada sua distribuição de densidade. RESUMO Massa, Momento de Massa e Momento de Inércia Dada uma região D ∈ R2 plana limitada com distribuição de densidade superficial (x, y) podemos calcular a massa de D, o momento de massa em relação ao eixo x, o momento de massa relativo ao eixo y, o momento de inércia em relação ao eixo x, o momento de inércia relativo ao eixo y e momento de inércia relativo a origem, denotados respectivamente m(D), Mx (D), My (D), Ix (D), Iy (D) e I0 (D), pelas integrais duplas: m(D) = (x, y)dxdy D Mx (D) = (x, y)ydxdy D My (D) = (x, y)xdxdy D (x, y)y 2 dxdy Ix (D) = D 58
  53. 53. Cálculo III (x, y)x2 dxdy e Iy (D) = AULA 3 D (x, y)(x2 + y 2 )dxdy I0 (D) = D Centro de Massa Podemos também calcular o centro de massa, denotado (¯, y ) usando x ¯ as seguintes fórmulas: My (D) x= ¯ = m(d) x (x, y)dxdy D (x, y)dxdy D y= ¯ Mx (D) = m(d) y (x, y)dxdy D (x, y)dxdy D PRÓXIMA AULA Em nossa próxima aula veremos as integrais triplas. Primeiramente definindo-as para funções de domínios retangulares através do limite de somas de riemann estendendo a definição para funções definidas em domínios não retangulares porém limitados. ATIVIDADES Deixamos como atividades dois problemas de determinação do centro de massa. ATIV. 3.1. Determine o centro de massa da região D dada pela interseção das retas y = 0, x = 1 e y = ax2 (Fig 3.3) região em cinza. Comentário: Volte ao texto e reveja com calma e atenção as 59
  54. 54. Algumas Aplicações da Integral Dupla Figura 3.3: Atividade 1 Figura 3.4: Atividade 2 demonstrações acima, elas lhe servirão de guia. Use para este caso coordenadas cartesianas. ATIV. 3.2. Determine o centro de massa da região D dada pelo semi-círculo superior x2 + y 2 = a2 (Fig 3.4) região em cinza. Comentário: Volte ao texto e reveja com calma e atenção as demonstrações acima, elas lhe servirão de guia. Use para este caso coordenadas polares. LEITURA COMPLEMENTAR ÁVILA, Geraldo, Cálculo 3: Funções de Várias Variáveis, Livros Técnicos e Científicos Editora, São Paulo, 3a edição, 1982. LEITHOLD, Louis, O Cálculo com Geometria Analítica. Volume 2, Editora Harbra, 1994. STEWART, James,Cálculo. Volume 3, 5a edição, Editora CENGAGE Learning, 2009. SWOKOWSKI, Earl E., Cálculo com Geometria Analítica, Volume 2, 2a edição, Makron Books do Brásil SP, 1994. 60
  55. 55. Cálculo III AULA THOMAS, George B., Cálculo, Volume 2, 10a, Addilson Wesley, 3 2003. KAPLAN, Wilfred, Cálculo Avançado Vol.1 e vol.2 Editora Edgard Blücher 1991.// SPIEGEL, Murray R. Cálculo Avançado, Editora McGraw-Hill do Brasil, 1971. BOUCHARA, Jacques, Cálculo Integral Avançado, EDUSP, 2006. 61
  56. 56. AULA Integrais triplas META: Apresentar integrais triplas de funções de valores reais e domínio em R3 . OBJETIVOS: Ao fim da aula os alunos deverão ser capazes de: Definir integral tripla e calcular algumas integrais triplas de funções de valores reais e domínio em R3 . PRÉ-REQUISITOS Os conhecimentos de integrais de funções de valores reais com domínio em R, da disciplina Cálculo I. 4
  57. 57. Integrais triplas 4.1 Introdução Caros alunos a quarta aula do nosso curso de Cálculo III com o tema “Integrais Triplas”. Bem como a integral dupla, vista na nossa primeira aula, a integração tripla, em essência, é uma extensão natural da integral simples vista em Cálculo I e definida como limite de somas de Riemann. Na prática, a integração tripla é dada HISTÓRIA A primeira técnica sistemática documentada para o cálculo de integrais triplas no cálculo de volume foi o método da exaustão de Eudoxus cerca de 370AC. O maior avanço no cálculo de integrais triplas veio do Iraque, no século 11, na figura de Ibn AL-Haythan (conhecido na Europa por Alhazen ). Enquanto resolvia o que ficou conhecido como “Problema de Alhazen” (um problema de ótica) ele calculou o volume de um parabolsóide usando um método de indução. Wikipédia. por três integrações simples, cada uma efetuada sobre uma variável e considerando as demais como constantes. É o que denominamos de integrais interadas. As características e detalhes próprios das integrais triplas serão vistas ao longo do nosso curso, nas próximas três aulas. 4.2 Integração Tripla: Domínios Paralelepípedais Começamos por considerar uma função φ definida em um domínio paralelepipedal R = {(x, y, z) ∈ R3 |a ≤ x ≤ b ∧ c ≤ y ≤ d ∧ e ≤ z ≤ f }. Formalmente φ : [a, b] × [c, d] × [e, f ] → R. Usando a imaginação, pensemos em R retalhada por uma rede de planos paralelos aos planos coordenados e que dividem R em pequenos paralelepípedos. Oficialmente, consideraremos três partições P [a, b] = {x0 = a, x1 , . . . , xi , xi+1 , . . . , xl = b}, P [c, d] = {y0 = c, y1 , . . . , yj , yj+1 , . . . , ym = d} e P [e, f ] = {z0 = e, z1 , . . . , zk , zk+1 , . . . , zn = f } onde como visto em Cálculo I temos: x0 < x1 < · · · < xi < xi+1 < · · · < xl , y0 < y1 < · · · < yj < yj+1 < · · · < ym e z0 < z1 < · · · < zk < zk+1 < · · · < zn . Desta forma cada um dos pequenos subintervalos Ii = [xi−1 , xi ], Jj = 64
  58. 58. Cálculo III AULA [yj−1 , yj ] e Kk = [zk−1 , zk ] têm comprimentos ∆xi = xi − xi−1 , 4 ∆yj = yj − yj−1 e ∆zk = zk − zk−1 , respectivamente. Definimos, agora, a uma partição para o paralelepípedo R por P = P [R] = P [a, b]×P [c, d]×P [e, f ], o produto cartesiano das partições P [a, b], P [c, d] e P [e, f ]. Os planos retalham a região R em uma série de pequenos paralelepípedos Vijk = [xi−1 , xi ] × [yj−1 , yj ] × [zk−1 , zk ], 1 ≤ i ≤ l, 1 ≤ j ≤ m, 1 ≤ k ≤ n. O volume de cada pequeno paralelepípedo é dado por ∆Vijk = ∆xi ∆yj ∆zk . Como tanto ∆xi quanto ∆yj quanto ∆zk são diferentes de zero, o volume de cada pequeno paralelepípedo é também diferente de zero. Podemos então definir a norma da partição por: |P | = max (∆Vijk ), que corresponde 1≤i≤l 1≤j≤m 1≤k≤n ao maior volume entre todos os pequenos paralelepípedos. Pausa para respirar que já vamos definir a integral tripla sobre domínios paralelepípedais. Para isto tomemos um ponto (ξi , ζj , ηk ) ∈ [xi−1 , xi ] × [yj−1 , yj ] × [zk−1 , zk ] em cada pequeno paralelepípedo e definimos a seguinte soma de Riemann: l m n Slmn = φ(ξi , ζj , ηk )∆Vijk i=1 j=1 k=1 A integral tripla da função φ(x, y, z) sobre o paralelepípedo R, φ(x, y, z)dxdydz será então definida como o se- denotada R guinte limite: def φ(x, y, z)dxdydz = lim Slmn R |P |→0 65
  59. 59. Integrais triplas 4.3 Integração Tripla: Domínios Não Paralelepípedais Limitados Para definir a integral tripla de uma função φ : D ⊂ R3 → R onde D é limitado não paralelepipedal, começamos por considerar uma função Φ definida em um domínio paralelepipedal R = {(x, y, z) ∈ R3 |a ≤ x ≤ b ∧ c ≤ y ≤ d ∧ e ≤ z ≤ f } tal   φ(x, y, z) , (x, y, z) ∈ D . Formalque D ⊂ R e Φ(x, y, z) =  0 , (x, y, z) ∈ D / mente Φ : [a, b] × [c, d] × [e, f ] → R é uma extensão da função φ(x, y, z). Usando a imaginação, pensemos em R coberta por uma rede de planos paralelos aos planos coordenados e que dividem R em pequenos paralelepípedos e procedemos como na integral tripla sobre domínios paralelepípedais, considerando a uma partição para o paralelepípedo R por P = P [R] = P [a, b] × P [c, d] × P [e, f ], o produto cartesiano das partições P [a, b], P [c, d] e P [e, f ] onde P [a, b] = {x0 = a, x1 , . . . , xi , xi+1 , . . . , xl = b}, P [c, d] = {y0 = c, y1 , . . . , yj , yj+1 , . . . , ym = d} e P [e, f ] = {z0 = e, z1 , . . . , zk , zk+1 , . . . , zn = f }. Do mesmo modo definimos a norma da partição por: |P | = max (∆Vijk ) onde ∆Vijk = ∆xi ∆yj ∆zk , 1≤i≤l 1≤j≤m 1≤k≤n ∆xi = xi − xi−1 , ∆yj = yj − yj−1 e ∆zk = zk − zk−1 . Tomamos um ponto (ξi , ζj , ηk ) ∈ [xi−1 , xi ] × [yj−1 , yj ] × [zk−1 , zk ] em cada pequeno paralelepípedo e definimos a seguinte soma de Riemann para a função estendida Φ(x, y, z): l m n Slmn = Φ(ξi , ζj , ηk )∆Vijk i=1 j=1 k=1 66
  60. 60. Cálculo III AULA A integral tripla da função φ(x, y, z) sobre o domínio D ⊂ R3 , 4 φ(x, y, z)dxdydz será então definida como o se- denotada D guinte limite: def φ(x, y, z)dxdydz = lim Slmn . |P |→0 D Observem que, semelhante ao caso das integrais duplas, apenas os pequenos paralelepípedos cujo ponto escolhido pertence ao domínio D ⊂ R3 , contribuem para a soma de Riemann os demais têm contribuição nula visto que o ponto escolhido dentro destes estão fora de D ⊂ R2 e portanto Φ(ξi , ζj , ηk ) = 0. 4.4 Interpretação Geométrica Quando a função φ : D ⊂ R3 → R é constante e igual a um (φ(x, y, z) = 1, ∀(x, y, z) ∈ D) e a região domínio D é limitada, vemos que a soma de Riemann aproxima o volume da região D e quanto maior for o refinamento da partição de R3 ⊃ R ⊃ D melhor será a aproximação. Podemos então, interpretar a integral tripla dxdydz como o volume da região D ⊂ R3 . D 4.5 Integrais Iteradas Dada uma função φ : R → R onde R = [a, b] × [c, d] × [e, f ], do mesmo modo que na integral dupla, valem as integrais interadas: b d f φ(x, y, z)dxdydz = 1. R φ(x, y, z)dz dy dx a c b e f d φ(x, y, z)dxdydz = 2. R φ(x, y, z)dy dz dx a e c 67
  61. 61. Integrais triplas d b f φ(x, y, z)dxdydz = 3. R φ(x, y, z)dz dx dy c a d e f b φ(x, y, z)dxdydz = 4. R φ(x, y, z)dx dz dy c e f a d b φ(x, y, z)dx dy dz φ(x, y, z)dxdydz = 5. e R c f a b d φ(x, y, z)dy dx dz φ(x, y, z)dxdydz = 6. R e a c Em outras palavras, quando o domínio da integral tripla é paralelepipedal a ordem de integração não importa. 4.6 Propriedades das Integrais Triplas Como nosso curso é de Cálculo, apenas listaremos, sem demonstração, alguma das propriedades das integrais triplas. Caso desejem conhecer a demonstração de algumas destas propriedades, recomendo livros de Cálculo Avançado como os citados na bibliografia abaixo. Propriedade 4.1. Sejam f : D ⊂ R3 → R uma função de valores reais integrável em D e c ∈ R, então vale: cf (x, y, z)dxdydz = c D f (x, y, z)dxdydz D Propriedade 4.2. Sejam f, g : D ⊂ R3 → R duas funções de valores reais integráveis em D, então vale: (f + g)(x, y, z)dxdydz = D f (x, y, z)dxdydz D + g(x, y, z)dxdydz D 68
  62. 62. Cálculo III AULA Propriedade 4.3. Sejam f : D ⊂ R3 → R uma função de valores 4 reais integrável em D tal que f (x, y, z) ≥ 0, ∀(x, y, z) ∈ D, então vale: f (x, y, z)dxdydz ≥ 0 D Propriedade 4.4. Sejam f, g : D ⊂ R3 → R duas funções de valores reais integráveis em D tais que f (x, y, z) ≥ g(x, y, z), ∀(x, y, z) ∈ D, então vale: f (x, y, z)dxdydz ≥ g(x, y, z)dxdydz D D Propriedade 4.5. Seja f : D ⊂ R3 → R uma função de valores reais integrável em D onde D = A ∪ B e A ∩ B é a união de um número finito de superfícies em R3 , então vale: f (x, y, z)dxdydz = D f (x, y, z)dxdydz A + f (x, y, z)dxdydz B OBS 4.1. As duas primeiras propriedades diz respeito à “linearidade” do operador integral tripla. As terceira e quarta propriedades são denominadas “dominação” enquanto que a quinta propriedade é denominada “aditividade”. 4.7 Exemplos Nada mais natural que ilustrar um novo conceito com exemplos e, vamos aqui fazer exatamente isto. Ilustrar o conceito de integral tripla com dois exemplos. Antes porém, vale observar 69
  63. 63. Integrais triplas que a na prática uma integral tripla equivale a três integrais simples e neste caso uma pergunta fica no ar. Qual das duas variáveis x, y ou z integraremos primeiro? Muito bem, a resposta é dada pela propria expressão da integral tripla. Isto é, na integral f (x, y, z)dxdydz primeiramente integramos na variável x, R depois na variável y e por último na variável z. Já na integral f (x, y, z)dzdydx primeiramente integramos na variável z, R depois na variável y e por último na variável x. Exemplo 4.1. Considere a função f : [0, 1] × [0, 1] × [0, 1] → R dada por f (x, y) = x2 + y 2 + z 2 e determine a integral tripla f (x, y, z)dxdydz sobre a região R = {(x, y, z) ∈ R3 |0 ≤ I= R x ≤ 1 ∧ 0 ≤ y ≤ 1 ∧ 0 ≤ z ≤ 1}. SOLUÇÃO: Passo 1 colocaremos os limites de integração que representam a região R dada, segundo a ordem de integração: 1 1 1 (x2 + y 2 + z 2 )dxdydz I= 0 0 0 Passo 2 integraremos na variável x considerando as variáveis y e z como constantes: 1 1 x3 I= + y 2 x + z 2 x dydz 3 0 0 Substituindo os limites de integração temos: 1 1 13 03 I= − + y 2 (1 − 0) + z 2 (1 − 0) dydz 3 3 0 0 Efetuando os cálculos temos: 1 1 1 I= + y 2 + z 2 dy 3 0 0 Passo 3 integraremos na variável y considerando a variável x como constante: 70
  64. 64. Cálculo III 1 1 1 y3 y+ + z2y dz 3 3 0 0 Substituindo os limites de integração temos: 1 1 13 03 I= (1 − 0) + − + z 2 (1 − 0) dz 3 3 3 0 Efetuando os cálculos temos: 1 1 1 + + z 2 dz I= 3 3 0 Passo 4 último passo, integraremos na variável z: 1 1 z3 1 I= z+ z+ 3 3 3 0 Substituindo os limites de integração temos: 1 1 13 03 I= (1 − 0) + (1 − 0) + − 3 3 3 3 Efetuando os cálculos temos: 1 1 1 I= + + =1 3 3 3 I= AULA 4 Figura 4.1: Determinação prática dos limites para D OBS 4.2. Daremos aqui um método prático para determinar os limites de integração em uma integral tripla sobre domínio não retangular da forma: D. Passo 1 Fazer um desenho da região D. (Fig. 4.1) identificando as superfícies inferior a(x, y) e superior b(x, y) que limitam a região 71
  65. 65. Integrais triplas D, bem como a sombra projetada no plano xy por D, denotada D∗ e identificar as curvas limites da região D∗ a(x) curva inferior e b(x) curva superior, como na AULA01. Passo 2 Atravessar toda a região D∗ e o eixo x com um segmento de reta paralelo e orientado na direção positiva ao eixo y (segmento r na Fig. 4.1) Passo 3 Deslocar o segmento de reta r paralelo ao eixo y na direção negativa do eixo x até tocar o ponto mais à esquerda de D∗ marcando o limite inferior de x (ponto a na Fig. 4.1). Passo 4 Deslocar o segmento de reta r paralelo ao eixo y na direção positiva do eixo x até tocar o ponto mais à direita de D∗ marcando o limite superior de x (ponto b na Fig. 4.1). Passo 5 Tomando um ponto qualquer x ∈ (a, b) passamos o segmento de reta r através da região D∗ paralelo ao eixo y na direção positiva do eixo x. O limite inferior para a variável y será a função a(x), ponto da curva onde o segmento entra na região D∗ e o limite superior para a variável y será b(x), ponto da curva onde o segmento de reta sai da região D∗ . Passo 6 Tomando um ponto qualquer (x, y) ∈ D∗ passamos o segmento de reta s através da região D, paralelo ao eixo z orientado na direção positiva de z. O limite inferior para a variável z será a função a(x, y), ponto da superfície onde o segmento entra na região D e o limite superior para a variável z será b(x, y), ponto da superfície onde o segmento de reta sai da região D. Nossa integral será efetuada assim: b b(x) b(x,y) f (x, y)dxdy = D 72 f (x, y, z)dzdydx a a(x) a(x,y)
  66. 66. AULA Cálculo III 4 Vamos diretamente para um segundo exemplo de integral dupla sobre domínios não retangulares. A saber: Exemplo 4.2. Considere a função f : D ⊂ R3 → R dada por f (x, y, z)dxdydz f (x, y) = xyz e determine a integral dupla D sobre a região D = {(x, y, z) ∈ R3 |0 ≤ x ≤ 1 ∧ 0 ≤ y ≤ x2 ∧ 0 ≤ z ≤ 1}, (Fig. 4.2). Figura 4.2: Domínio D para o exemplo 2 SOLUÇÃO: Passo 1 faremos o desenho das superfícies que determinam os limites para a região D. A saber x = 0, x = 1, y = x2 , x = 0 e z = 1 (Fig. 4.2). Usando o processo prático exposto acima determinamos os limites de integração. A saber: a = 0, b = 1, a(x) = 0, b(x) = x2 , a(x, y) = 0 e b(x, y) = 1. x2 1 1 I= xyzdzdydx 0 0 0 Passo 2 integraremos na variável z considerando a variável y 73
  67. 67. Integrais triplas e x como uma constante: 1 x2 z2 1 dydx I= xy 2 0 0 0 Substituindo os limites de integração temos: 1 x2 12 02 xy − xy ) dydx I= 2 2 0 0 Efetuando os cálculos temos: 2 1 1 x xydydx I= 2 0 0 Passo 3 integraremos na variável y considerando a variável x constante temos: 1 y 2 x2 I= x dx 2 0 0 Substituindo os limites de integração temos: 1 1 (x2 )2 02 I= x −x dx 2 0 2 2 Efetuando os cálculos temos: 1 1 5 x dx I= 4 0 Integrando , finalmente , na variável x temos: 1 x6 1 I= 4 6 0 Substituindo os limites de integração temos: 1 16 06 − I= 4 6 6 1 Efetuando os cálculos temos: I = 24 4.8 Conclusão Na aula de hoje, vimos que a integral tripla é uma extensão natural do conceito de integral simples visto em Cálculo I e também uma extensão natural do conceito de integral dupla, vista em nossa primeira aula do curso de Cálculo III. E se por um lado a integral simples pode ser interpretada como a área sob a curva descrita por 74
  68. 68. Cálculo III AULA função positiva f (x) em um domínio [a, b] e a integral dupla pode 4 ser vista como o volume de um prisma reto limitado superiormente pela a superfície descrita por uma função positiva f (x, y) e limitado inferiormente pelo domínio [a, b] × [c, d], a integral tripla só tem interpretação geométrica no caso simples em que f (x, y, z) = 1. Neste caso a integral tripla representa o volume da região limitada D ⊂ R3 . RESUMO Integração Tripla: Domínios Paralelepipedais Considerando uma função φ definida em um domínio paralelepipedal R = {(x, y, z) ∈ R3 |a ≤ x ≤ b ∧ c ≤ y ≤ d ∧ e ≤ z ≤ f }. Podemos dividir R em pequenos paralelepípedos considerando os planos paralelos ao planos cartesianos gerados pela partição P = P [R] = P [a, b]×P [c, d]×P [e, f ], o produto cartesiano das partições P [a, b], P [c, d] e P [e, f ] onde P [a, b] = {x0 = a, x1 , . . . , xi , xi+1 , . . . , xl = b}, P [c, d] = {y0 = c, y1 , . . . , yj , yj+1 , . . . , ym = d} e P [e, f ] = {z0 = e, z1 , . . . , zk , zk+1 , . . . , zn = f }. Os planos retalham a região R em uma série de pequenos paralelepípedos Vijk = [xi−1 , xi ] × [yj−1 , yj ] × [zk−1 , zk ], 1 ≤ i ≤ l, 1 ≤ j ≤ m, 1 ≤ k ≤ n. O volume de cada pequeno paralelepípedo é dado por ∆Vijk = ∆xi ∆yj ∆zk . A norma da partição fica estabelecida como: |P | = max (∆Vijk ). 1≤i≤l 1≤j≤m 1≤k≤n Toma-se um ponto (ξi , ζj , ηk ) ∈ [xi−1 , xi ] × [yj−1 , yj ] × [zk−1 , zk ] em cada pequeno paralelepípedo e definimos a seguinte soma de Riemann: 75
  69. 69. Integrais triplas l m n Slmn = φ(ξi , ζj , ηk )∆Vijk i=1 j=1 k=1 A integral tripla da função φ(x, y, z) sobre o paralelepípedo R, φ(x, y, z)dxdydz será então definida como o se- denotada R guinte limite: def φ(x, y, z)dxdydz = lim Slmn |P |→0 R Integração Tripla: Domínios Não Paralelepípedais Limitados Para definir a integral tripla de uma função φ : D ⊂ R3 → R onde D é não paralelepipedal limitado, começamos por considerar uma função Φ definida em um domínio paralelepipedal R = {(x, y, z) ∈ R3 |a ≤ x b ∧ c ≤ y ≤ d ∧ e ≤ z ≤ f } tal que ≤  φ(x, y, z) , (x, y, z) ∈ D D ⊂ R e Φ(x, y, z) = . Formalmente  0 , (x, y, z) ∈ D / Φ : [a, b] × [c, d] × [e, f ] → R é uma extensão da função φ(x, y, z). A partir daqui todo o procedimento é semelhante ao da definição da integral tripla em domínios paralelepipedais. Podemos definir a integral tripla de uma função φ(x, y, z) em um domínio não retangular D por: def φ(x, y, z)dxdydz = lim Slmn D onde Slmn = l i=1 m j=1 |P |→0 n k=1 Φ(ξi , ζj , ηk )∆Vijk é a soma de Rie- mann para Φ(x, y, z. Integrais Iteradas As integrais iteradas dizem que em um domínio retangular R = [a, b] × [c, d] × [e, f ] a ordem de execução das integrais simples não 76
  70. 70. Cálculo III AULA alteram o valor da integral tripla, que pode ser representada por: 4 b d f φ(x, y, z)dz dy dx φ(x, y, z)dxdydz = 1. a R c b e f d φ(x, y, z)dy dz dx φ(x, y, z)dxdydz = 2. a R e d c b f φ(x, y, z)dxdydz = 3. R φ(x, y, z)dz dx dy c a d e f b φ(x, y, z)dxdydz = 4. R φ(x, y, z)dx dz dy c e f a d b φ(x, y, z)dxdydz = 5. R φ(x, y, z)dx dy dz e c f a b d φ(x, y, z)dxdydz = 6. R φ(x, y, z)dy dx dz e a c Propriedades das Integrais triplas As integrais triplas são, de certo modo, semelhantes às propriedades das integrais simples que vimos em Cálculo I sendo quase que uma extensão natural destas. As integrais triplas têm, entre outras, as seguintes propriedades: Propriedade 1 Sejam f : D ⊂ R3 → R uma função de valores reais integrável em D e c ∈ R, então vale: cf (x, y, z)dxdydz = c D f (x, y, z)dxdydz D Propriedade 2 Sejam f, g : D ⊂ R3 → R duas funções de valores reais integráveis em D, então vale: (f + g)(x, y, z)dxdydz = D f (x, y, z)dxdydz D + g(x, y, z)dxdydz D 77
  71. 71. Integrais triplas Propriedade 3 Sejam f : D ⊂ R3 → R uma função de valores reais integrável em D tal que f (x, y, z) ≥ 0, ∀(x, y, z) ∈ D, então vale: f (x, y, z)dxdydz ≥ 0 D Propriedade 4 Sejam f, g : D ⊂ R3 → R duas funções de valores reais integráveis em D tais que f (x, y, z) ≥ g(x, y, z), ∀(x, y, z) ∈ D, então vale: f (x, y, z)dxdydz ≥ D g(x, y, z)dxdydz D Propriedade 5 Seja f : D ⊂ R3 → R uma função de valores reais integrável em D onde D = A ∪ B e A ∩ B é a união de um número finito de superfícies em R3 , então vale: f (x, y, z)dxdydz = D f (x, y, z)dxdydz A + f (x, y, z)dxdydz B Determinação dos Limites de Integração para Integrais Triplas Daremos aqui um método prático para determinar os limites de integração em uma integral tripla sobre domínio não retangular da forma: D. Passo 1 Fazer um desenho da região D. (Fig. 4.1) identificando as superfícies inferior a(x, y) e superior b(x, y) que limitam a região D, bem como a sombra projetada no plano xy por D, denotada 78
  72. 72. Cálculo III AULA D∗ e identificar as curvas limites da região D∗ a(x) curva inferior 4 e b(x) curva superior, como na AULA01. Passo 2 Atravessar toda a região D∗ e o eixo x com um segmento de reta paralelo e orientado na direção positiva ao eixo y (segmento r na Fig. 4.1) Passo 3 Deslocar o segmento de reta r paralelo ao eixo y na direção negativa do eixo x até tocar o ponto mais à esquerda de D∗ marcando o limite inferior de x (ponto a na Fig. 4.1). Passo 4 Deslocar o segmento de reta r paralelo ao eixo y na direção positiva do eixo x até tocar o ponto mais à direita de D∗ marcando o limite superior de x (ponto b na Fig. 4.1). Passo 5 Tomando um ponto qualquer x ∈ (a, b) passamos o segmento de reta r através da região D∗ paralelo ao eixo y na direção positiva do eixo x. O limite inferior para a variável y será a função a(x), ponto da curva onde o segmento entra na região D∗ e o limite superior para a variável y será b(x), ponto da curva onde o segmento de reta sai da região D∗ . Passo 6 Tomando um ponto qualquer (x, y) ∈ D∗ passamos o segmento de reta s através da região D, paralelo ao eixo z orientado na direção positiva de z. O limite inferior para a variável z será a função a(x, y), ponto da superfície onde o segmento entra na região D e o limite superior para a variável z será b(x, y), ponto da superfície onde o segmento de reta sai da região D. 79
  73. 73. Integrais triplas Nossa integral será efetuada assim: b b(x) b(x,y) f (x, y)dxdy = D f (x, y, z)dzdydx a a(x) a(x,y) PRÓXIMA AULA Em nossa próxima aula veremos mudança de variáveis na integração tripla. O objetivo da mudança de variáveis em uma integral tripla será a de facilitar esta integração de uma de duas formas. A primeira será tornando o integrando mais simples. A segunda transformando o domínio D do integrando em um domínio de forma geométrica mais simples. ATIVIDADES Deixamos como atividades o cálculo de algumas integrais tríplas. ATIV. 4.1. Seja f : [−1, +1] × [−1, +1] × [−1, +1] → R dada por f (x, y, z) = x2 + y 2 + z 2 . Determine a integral tripla: f (x, y, z)dxdydz. R Comentário: Volte ao texto e reveja com calma e atenção o cálculo de integrais duplas dos exemplos acima, elas lhe servirão de guia. ATIV. 4.2. Seja f : D ⊂ R3 → R dada por f (x, y, z) = 1, onde D = {(x, y, z) ∈ R3 |x ≥ 0 ∧ 0 ≤ y ≤ 1 − x2 ∧ 0 ≤ z ≤ 1 − x2 }. 80
  74. 74. Cálculo III AULA 4 • Esboce a região de integração • Determine os limites da integral tripla: f (x, y, z)dxdydz D • Calcule a integral tripla f (x, y, z)dxdydz. D Comentário: Volte ao texto e reveja com calma e atenção o cálculo de integrais duplas dos exemplos acima, elas lhe servirão de guia. LEITURA COMPLEMENTAR ÁVILA, Geraldo, Cálculo 3: Funções de Várias Variáveis, Livros Técnicos e Científicos Editora, São Paulo, 3a edição, 1982. LEITHOLD, Louis, O Cálculo com Geometria Analítica. Volume 2, Editora Harbra, 1994. STEWART, James,Cálculo. Volume 3, 5a edição, Editora CENGAGE Learning, 2009. SWOKOWSKI, Earl E., Cálculo com Geometria Analítica, Volume 2, 2a edição, Makron Books do Brásil SP, 1994. THOMAS, George B., Cálculo, Volume 2, 10a, Addilson Wesley, 2003. KAPLAN, Wilfred, Cálculo Avançado Vol.1 e vol.2 Editora Edgard Blücher 1991.// SPIEGEL, Murray R. Cálculo Avançado, Editora McGraw-Hill do Brasil, 1971. BOUCHARA, Jacques, Cálculo Integral Avançado, EDUSP, 2006. 81
  75. 75. AULA Mudança de Variáveis em Integrais tríplas META: Introduzir mudança de variáveis em integrais triplas de funções de valores reais e domínio em R3 . OBJETIVOS: Ao fim da aula os alunos deverão ser capazes de: Calcular integrais triplas de funções de valores reais e domínio em R3 utilizando mudança de variáveis. PRÉ-REQUISITOS Os conhecimentos de integrais de funções de valores reais com domínio em R, da disciplina Cálculo I, superfícies em R3 , de coordenadas polares da disciplina Cálculo II e integrais triplas aula 04. 5
  76. 76. Mudança de Variáveis em Integrais tríplas 5.1 Introdução Caros alunos o problema da mudança de variáveis em integrais triplas é inteiramente análogo ao problema de mudança de variáveis em integrais duplas. Analogias a parte, o fato de do espaço R3 ter uma dimensão a mais que o R2 , traz um esforço algébrico adicional ao tratamento geral da mudança de variáveis em integrais HISTÓRIA O teorema de mudança de variáveis em integrais tríplas foi primeiro proposto por Lagrange em 1773 e usado por Legendre, Laplace e Gauss, e primeiramente generalizado para n variáveis por Mikhail Ostrogradski em 1836, resistiu a uma demonstração mais rigorosa por longo tempo (cerca de 125 anos). E foi satisfatóriamente demonstrado por Elie Cartan em uma série de artigos nos anos 1890. triplas. Veremos dois casos particulares de mudança de variáveis em integrais tripla que correspondem aos: sistemas de coordenadas cilíndricos e sistema de coordenadas esféricos. 5.2 Mudança de Variáveis em Integrais Triplas Vamos considerar a integração de uma função f : D ⊂ R3 → R onde (x, y, z) ∈ D e conseqüentemente, ∀(x, y, z) ∈ D temos f (x, y, z) ∈ R. Consideraremos também, uma transformação T : D ⊂ R3 → D ⊂ R3 , biunívoca de modo que D = T −1 (D ), ∀(u, v, w) ∈ D , (x, y, z) = T −1 (u, v, w) ∈ D. Trocando em miúdos: x = x(u, v, w), y = y (u, v, w) e z = z (u, v, w). E suponhamos ˆ ˆ ˆ as funções contínuas e deriváveis e seu ∂(x, y, z) x, y, z ou : finido por: J u, v, w ∂(u, v, w)  ∂x ˆ  ∂u  ∂x ∂(x, y, z) x, y, z ˆ J = = det   ∂v u, v, w ∂(u, v, w)  ∂x ˆ ∂w jacobiano, denotado J, de- ∂y ˆ ∂u ∂y ˆ ∂v ∂y ˆ ∂w ∂z ˆ ∂u ∂z ˆ ∂v ∂z ˆ ∂w    .   Suponhamos uma partição de D feita partindo de planos paralelos aos planos coordenados vw (u constante), uw (v constante) e uv (w constante). Denotando ui+1 = ui + ∆ui , vj+1 = vj + ∆vj e 84
  77. 77. Cálculo III AULA wk+1 = wk + ∆wk , destacamos o pequeno paralelepípedo indexado 5 por ijk, (Fig 5.1). Suponhamos que Figura 5.1: Elemento de vo- Figura 5.2: Elemento de vo- lume em D lume em D este pequeno paralelepípedo de volume ∆Vijk = ∆ui ∆vj ∆wk seja mapeado por T −1 em um subdomínio em D de volume ∆Vijk (Fig 5.2). Seja: P = P (u, v, w) = (ˆ(u, v, w), y (u, v, w), z (u, v, w)). x ˆ ˆ Os segmentos de reta (u, vj , wk ), (ui , v, wk ) e (ui , vj , w) começando no ponto (ui , vj , wk ) são mapeados por T −1 em P (u, vj , wk ) P (ui , v, wk ) P (ui , vj , w) ver (Fig 5.2). ∂P No subdomínio Vijk ⊂ D traçamos os vetores tangentes ∆ui , ∂u ∂P ∂P ∆vj e ∆wk , ver (Fig 5.3). Em seguida traçamos segmentos ∂v ∂w de reta paralelos aos vetores tangentes completando um paralelepípedo em D, ver (Fig 5.4), cujo volume admitiremos aproximadamente igual ao ∆Vijk (esta é a argumentação heurística). Este volume é dado por: ∆Vijk ≈ ∂P ∂P ∂P ∆ui × ∆vj • ∆wk . ∂u ∂v ∂w 85
  78. 78. Mudança de Variáveis em Integrais tríplas Levando em conta que: ∂P ∂x ˆ ∂y ˆ ∂z ˆ = i+ j+ k ∂u ∂u ∂u ∂u ∂P ∂x ˆ ∂y ˆ ∂z ˆ = i+ j+ k ∂v ∂v ∂v ∂v ∂P ∂x ˆ ∂y ˆ ∂z ˆ = i+ j+ k ∂w ∂w ∂w ∂w e calculando o produto vetorial mixto teremos: Figura 5.3: Elemento de vo- Figura 5.4: Elemento de vo- lume em D lume em D    ∂P ∂P ∂P ∆ui × ∆vj • ∆wk = det   ∂u ∂v ∂w  ∂x ˆ ∂u ∂x ˆ ∂v ∂x ˆ ∂w ∂y ˆ ∂u ∂y ˆ ∂v ∂y ˆ ∂w ∂z ˆ ∂u ∂z ˆ ∂v ∂z ˆ ∂w     ∆ui ∆vj ∆wk   Daí, levando em conta a expressão do jacobiano em R3 , dada acima, temos: ∆Vijk ≈ ∂(ˆ, y , z ) x ˆ ˆ ∆ui ∆vj ∆wk ∂(u, v, w) O que nos leva à seguinte expressão para a mudança de variáveis em integrais triplas: F (u, v, w) |J| dudvdw f (x, y, z)dxdydz = D 86 D
  79. 79. Cálculo III onde: F (u, v, w) = f (ˆ(u, v, w), y (u, v, w), z (u, v, w)) e J é o jacox ˆ ˆ x, y , z ˆ ˆ ˆ . biano J = J u, v, w 5.3 AULA 5 Alguns Exemplos Nesta seção veremos dois exemplos de integrais triplas com mudança de variáveis. No primeiro aplicaremos a mudança de variáveis dada pelo sistema de coordenadas cilíndricas e no segundo o sistema de coordenadas esféricas Primeiramente veremos um exemplo em coordenadas cilíndricas. Antes porém, veremos como determinar os limites de integração em coordenadas cilíndricas. Figura 5.5: Coordenadas ci- Figura 5.6: Coordenadas ci- líndricas 1 líndricas 2 Passo 1 Esboçar o domínio D bem como sua projeção D∗ no plano xy (ver Fig. 5.5). Passo 2 Identificar as curvas que limitam a região D∗ . Atravessar a região D∗ com uma reta r começando na origem (ver Fig. 5.6). 87
  80. 80. Mudança de Variáveis em Integrais tríplas À medida em que a reta r percorre a região D∗ o ângulo ϑ que ela forma com o eixo x positivo varia do mínimo α que será o limite inferior da variável ϑ ao máximo β que será o limite superior da variável ϑ. Daí, a variável ϑ ∈ [α, β]. Passo 3 Para cada valor fixo da variável ϑ ∈ [α, β] atravessar a região D∗ com a reta r (ver Fig. 5.7). O ponto onde a reta r entra na região D∗ é o limite inferior α(ϑ) para a variável r e o ponto onde a reta r sai da região D∗ é o limite inferior β(ϑ) para a variável r. Daí, r ∈ [α(ϑ), β(ϑ)]. Passo 4 Para cada valor fixo da variável ϑ ∈ [α, β] e da variável r ∈ [α(ϑ), β(ϑ)] tomar o ponto (r, ϑ) ∈ D∗ em coordenadas polares e levantar a reta s atravessando a região D (ver Fig. 5.8). O ponto onde a reta s entra na região D é o limite inferior α(r, ϑ) para a variável z e o ponto onde a reta s sai da região D é o limite superior β(r, ϑ) para a variável z. Daí, z ∈ [α(r, ϑ), β(r, ϑ)]. Figura 5.7: Coordenadas ci- Figura 5.8: Coordenadas ci- líndricas 3 líndricas 4 Podemos agora encarar o nosso primeiro exemplo onde colocaremos 88
  81. 81. Cálculo III AULA em prática a determinação dos limites de integração em coordena- 5 das cilíndricas. Exemplo 5.1. Considere o sólido gerado pela intersecção das superfícies: z = y + a, (plano) x2 + y 2 − 2ay = 0, (cilindro) e z = 0, (plano) (Fig 5.9) e determine seu volume. Figura 5.9: exemplo 1 Superfícies do Figura 5.10: Interseção das superfícies do exemplo 1 SOLUÇÃO: Para uma melhor compreensão mostramos na (Fig 5.10) o sólido gerado pela interseção das superfícies dadas e na (Fig 5.11) as superfícies que compõem o sólido separadas no espaço. Usaremos para o caso o sistema de coordenadas cilíndricas, dada pela transformação: (x, y, z) → (r, ϑ, z) onde x = r cos(ϑ), y = r sin(ϑ) e z = z. O jacobiano da transformação é dado por: 89
  82. 82. Mudança de Variáveis em Integrais tríplas Figura 5.11: Domínio D para o exemplo 2 ∂x ˆ  ∂r  ∂x x, y, z ˆ = det  J =J  ∂ϑ r, ϑ, z  ∂x ˆ ∂z Efetuando as derivadas parciais temos:   cos(ϑ) ∂y ˆ ∂r ∂y ˆ ∂ϑ ∂y ˆ ∂z sin(ϑ) ∂z ˆ ∂r ∂z ˆ ∂ϑ ∂z ˆ ∂z 0            J = det  −r sin(ϑ) r cos(ϑ) 0    0 0 1 Fazendo as contas do determinante temos: J =r Aproveitaremos o exemplo para aplicar os passos, vistos acima, para determinação dos limites de integração de uma integral tripla no sistema de coordenadas cilíndricas. Passo 1: Esboçar a interseção das superfícies (sólido D), bem como sua projeção sobre o plano xy (superfície D∗ ), (ver Fig 5.10). A projeção sobre o plano xy (superfície D∗ ), conhecide com a superfície inferior do sólido, sendo o disco dado por x2 +y 2 −2ay ≤ 0. 90
  83. 83. Cálculo III AULA Passo 2: Os limites para r e ϑ são determinados em D∗ do mesmo 5 modo que para coordenadas polares em R2 . Neste caso 0 ≤ ϑ ≤ 2π e para r temos: que r vai de zero até a borda de D∗ que é dada por x2 + y 2 − 2ay = (r cos(ϑ))2 + (r sin(ϑ))2 − 2ar sin(ϑ) = 0. Daí, r2 − 2ar sin(ϑ) = r(r − 2a sin(ϑ)) = 0 Simplificando temos: 0 ≤ r ≤ 2a sin(ϑ). Passo 3: Para determinar os limites para z. Por cada par (r, ϑ) ∈ D∗ , traçamos uma reta paralela ao eixo z orientada no sentido positivo do eixo z atravessando o sólido. O limite inferior de z é o ponto onde a reta entra no sólido e o limite superior o ponto onde a reta sai do sólido. Neste caso: 0 ≤ z ≤ a + x ou como x = r cos(ϑ) temos: 0 ≤ z ≤ a + r cos(ϑ). Daí, o cálculo do volume de D será dado pela integral: 2π 2a sin(ϑ) a+r sin(ϑ) V ol(D) = rdzdrdϑ 0 0 0 Integrando na variável z temos: 2π 2a sin(ϑ) V ol(D) = a+r sin(ϑ) rz 0 0 drdϑ 0 Substituindo os limites de integração temos: 2π 2a sin(ϑ) r(a + r sin(ϑ) − 0)drdϑ V ol(D) = 0 0 Fazendo as contas temos: 2π 2a sin(ϑ) (ar + r2 sin(ϑ))drdϑ V ol(D) = 0 0 Integrando em na variável r temos: 2π V ol(D) = (a 0 r2 r3 + sin(ϑ)) 2 3 2a sin(ϑ) 0 dϑ 91
  84. 84. Mudança de Variáveis em Integrais tríplas Substituindo o limite superior pois, o limite inferior por ser r = 0 não contribui, temos: 2π V ol(D) = (a 0 (2a sin(ϑ))2 (2a sin(ϑ))3 + sin(ϑ))dϑ 2 3 Simplificando temos: 2π (2a3 sin2 (ϑ) + V ol(D) = 0 8a3 sin4 (ϑ) )dϑ 3 Reescrevendo temos: 2π sin2 (ϑ)dϑ + V ol(D) = 2a3 0 8a3 3 2π sin4 (ϑ)dϑ 0 Das tabelas de integrais temos: α sinn−1 (αu) cos(αu) an n−1 + sinn−2 (αu)du n u sin(2αu) − sin2 (αu)du = 2 4α sinn (αu)du = − Dai, temos: ϑ sin(2ϑ) − 2 4 sin3 (ϑ) cos(ϑ) 3 sin4 (ϑ)dϑ = − + 4 4 3 sin (ϑ) cos(ϑ) 3 = − + 4 4 sin2 (ϑ)dϑ = sin2 (ϑ)dϑ ϑ sin(2ϑ) − 2 4 Podemos agora calcular as integrais. Para a integral de sin2 (ϑ) temos: 2π ϑ sin(2ϑ) 2π − 2 4 0 2π sin(4π) = + − 2 4 0 sin(0) − + 2 4 = π sin2 (ϑ)dϑ = 0 92
  85. 85. AULA Cálculo III 5 Para a integral de sin4 (ϑ) temos: 2π 2π sin3 (ϑ) cos(ϑ) 3 ϑ sin(2ϑ) + − 4 4 2 4 0 3 sin (2π) cos(2π) 3 2π sin(4π) = + − + − 4 4 2 4 3 sin (0) cos(0) 3 0 sin(0) − − + − 4 4 2 4 3π = 4 sin4 (ϑ)dϑ = 0 − Substituindo no cálculo de V ol(D) temos: V ol(D) = 2πa3 + 8a3 3π 3 4 = 4πa3 Em nosso segundo exemplo utilizaremos coordenadas esféricas, Antes porém, veremos como determinar os limites de integração em coordenadas esféricas. Figura 5.12: Coordenadas es- Figura 5.13: Coordenadas es- féricas 1 féricas 2 Passo 1 Esboçar o domínio D bem como sua projeção D∗ no plano xy (ver Fig. 5.12). 93
  86. 86. Mudança de Variáveis em Integrais tríplas Passo 2 Identificar as curvas que limitam a região D∗ . Atravessar a região D∗ com uma reta r começando na origem (ver Fig. 5.13). Á medida em que a reta r percorre a região D∗ o ângulo ϑ que ela forma com o eixo x positivo varia do mínimo α que será o limite inferior da variável ϑ ao máximo β que será o limite superior da variável ϑ. Daí, a variável ϑ ∈ [α, β]. Passo 3 Para cada valor fixo da variável ϑ ∈ [α, β] atravessar Figura 5.14: Coordenadas es- Figura 5.15: Coordenadas es- féricas 3 féricas 4 a região D com o plano P que contem o eixo z e forma ângulo ϑ com o eixo x positivo (ver Fig. 5.14). Traçamos uma reta r que começa na origem e está contida no plano que corta D. À medida em que a reta r percorre a região D o ângulo ϕ que ela forma com o eixo z positivo varia do mínimo α(ϑ) que será o limite inferior da variável ϕ ao máximo β(ϑ) que será o limite superior da variável ϕ. Daí, a variável ϕ ∈ [α(ϑ), β(ϑ)]. Passo 4 Para cada valor fixo da variável ϑ ∈ [α, β] e da variável r ∈ [α(ϑ), β(ϑ)] plano P que contem o eixo z e forma ângulo ϑ com o eixo x positivo. No plano P traçar a reta s que forma ângulo ϕ 94
  87. 87. Cálculo III AULA com o eixo z positivo atravessando a região D (ver Fig. 5.15). O 5 ponto onde a reta s entra na região D é o limite inferior α(ϑ, ϕ) para a variável r e o ponto onde a reta s sai da região D é o limite superior β(ϑ, ϕ) para a variável r. Daí, r ∈ [α(ϑ, ϕ), β(ϑ, ϕ)]. Podemos agora encarar o nosso segundo exemplo onde colocaremos em prática a determinação dos limites de integração em coordenadas esféricas. Exemplo 5.2. Considere o sólido gerado pela interseção das superfícies: z = x2 + y 2 (cone), z = a2 − x2 − y 2 (esfera)(Fig 5.16) e determine seu volume. Figura 5.16: exemplo 2 Superfícies de Figura 5.17: Interseção das superfícies de exemplo 2 SOLUÇÃO: Para uma melhor compreensão mostramos na (Fig 5.17) o sólido gerado pela interseção das superfícies dadas e na (Fig 5.18) as superfícies que compõem o sólido separadas no espaço. 95
  88. 88. Mudança de Variáveis em Integrais tríplas Figura 5.18: Domínio D para o exemplo 2 Usaremos para o caso o sistema de coordenadas esféricas, dada pela transformação: (x, y, z) → (r, ϑ, ϕ) onde x = r cos(ϑ) cos(ϕ), y = r sin(ϑ) cos(ϕ) e z = r sin(ϕ). O jacobiano da transformação é dado por: J =J x, y, z r, ϑ, z  ∂x ˆ  ∂r  ∂x ˆ = det   ∂ϑ  ∂x ˆ ∂ϕ ∂y ˆ ∂r ∂y ˆ ∂ϑ ∂y ˆ ∂ϕ ∂z ˆ ∂r ∂z ˆ ∂ϑ ∂z ˆ ∂ϕ       Efetuando as derivadas parciais temos:  cos(ϑ) cos(ϕ) sin(ϑ) cos(ϕ) sin(ϕ)   J = det  −r sin(ϑ) cos(ϕ) r cos(ϑ) cos(ϕ) 0  −r cos(ϑ) sin(ϕ) −r sin(ϑ) sin(ϕ) r cos(ϕ)      Fazendo as contas do determinante temos: J = r2 sin(ϕ) Aproveitaremos o exemplo para aplicar os passos na determinação dos limites de integração de uma integral tripla no sistema de 96
  89. 89. Cálculo III AULA 5 Figura 5.19: Domínio D para o exemplo 2 coordenadas esféricas expostos acima. Passo 1: Esboçar a interseção das superfícies (sólido D), bem como sua projeção sobre o plano xy (superfície D∗ ), ver (Fig 5.19). A projeção sobre o plano xy (superfície D∗ ), é dada por x2 + y 2 ≤ a2 . Passo 2: Os limites para a variável ϑ são determinados em D∗ como em um sistema de coordenadas polares. No caso como D∗ é √ a temos que: 0 ≤ ϑ ≤ 2π. um disco de raio 2 Passo 3: Os limites para a variável ϕ são determinados em D do seguinte modo: para cada valor fixo de ϑ, em D∗ , cortamos o domínio D por um plano que passa no eixo z e forma ângulo ϑ com o eixo x. Traçamos uma reta M que passa na origem, pertence ao plano ϑ e atravessa o domínio D. O ângulo ϕ é o ângulo formado por M e o eixo z positivo. Para o caso o menor valor é ϕ = 0, quando M conhecide com o eixo Z e o maior valor de ϕ em D é quando M conhecide com a geratriz do cone z = x2 + y 2 e π ϕ= . 4 Passo 4: Os limites para a variável r são determinados em D 97
  90. 90. Mudança de Variáveis em Integrais tríplas do seguinte modo: para cada par fixo ϑ, ϕ) percorremos a reta M partindo da origem. O limite inferior de r é o ponto onde a reta entra em D e o limite superior o ponto onde M sai de D. Para o nosso caso: 0 ≤ r ≤ a (a reta sai na superfície da esfera z= a2 − x2 − y 2 . Podemos determinar o volume de D pela integral tripla: 2π π/4 a r2 sin(ϕ)drdϕdϑ V ol(D) = 0 0 0 Integrando primeiramente na variável r temos: 2π π/4 V ol(D) = 0 0 r3 3 a 0 sin(ϕ)dϕdϑ Substituindo os limites de integração temos: 2π π/4 a3 03 − 3 3 V ol(D) = 0 0 sin(ϕ)dϕdϑ Simplificando temos: V ol(D) = a3 3 2π π/4 sin(ϕ)dϕdϑ 0 0 Integrando na variável ϕ temos: V ol(D) = a3 3 2π − cos(ϕ) 0 π/4 0 dϑ Substituindo os limites de integração temos: V ol(D) = a3 3 2π (− cos(π/4) + cos(0)) dϑ 0 Simplificando temos: √ a3 2 − 2 V ol(D) = 3 2 2π dϑ 0 Integrando na variável ϑ temos: √ a3 2 − 2 V ol(D) = ϑ 3 2 98 2π 0
  91. 91. AULA Cálculo III Substituindo os limites de integração temos: 5 √ a3 2 − 2 V ol(D) = (2π − 0) 3 2 Finalmente, simplificando temos: πa3 (2 − V ol(D) = 3 5.4 √ 2) Conclusão Na aula de hoje, vimos que algumas vezes é conveniente fazer uma mudança nas variáveis de integração em uma integral tripla, para facilitar o cálculo da mesma. Vimos em particularmente duas mudanças de variáveis são muito importantes e correspondem aos: sistema de coordenadas cilíndricas e sistema de coordenadas esféricas. RESUMO Para o nosso resumo da aula 05 necessitamos algumas considerações iniciais para tratar da mudança de variáveis em integrais triplas. A saber: Consideramos a transformação (x, y, z) = T (u, v, w) tal que o domínio um ponto do domínio D ⊂ R3 , (x, y, z) seja transformado no ponto (u, v, w) do domínio D ⊂ R3 , (D = T (D )) e mais especificamente x = x(u, v, w), y = y (u, v, w) e z = z (u, v, w). Deˆ ˆ ˆ x, y, z ou finindo o jacobiano da transformação, denotado J, J u, v, w ∂(x, y, z) , por: ∂(u, v, w) 99

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