exercicios de projeção cristalográfica

1. Exercícios
Índices de Miller

2. Exercícios
Índice de Miller

3. Exercícios
Índice de Miller

4. Exercícios
Índice de Miller

5. Exercícios
Índice de Miller

6. Exercícios
Índice de Miller

7. Projeção Cristalográfica
PROJEÇÕES DIRETAS E RECÍPROCAS
PROJEÇÕES CICLOGRÁFICAS E ESTEREOGRÁFICAS
COORDENADAS DE UM PONTO
REDE ESTEREOGRÁFICA
PROJEÇÃO ESTEREOGRÁFICA

8. 1. O propósito da projeção estereográfica na Cristalografia
A projeção estereográfica é uma projeção de
pontos sobre a superfície de uma esfera em seu
plano equatorial. A projeção é definida como
mostrado na Fig. 1. Se algum ponto P na superfície
da esfera é unido ao polo sul S e a linha PS corta o
plano equatorial em p, então p é a projeção
estereográfica de P. A importância da projeção
estereográfica na Cristalografia deriva do fato de
que um conjunto de pontos na superfície da esfera é
capaz de fornecer uma representação completa de
um conjunto de direções no espaço tridimensional,
sendo essas didreções o conjunto de linhas que
unem o centro da esfera ao conjunto de pontos
projetados.
Fig. 1: O ponto p é a projeção estereográfica do
ponto P na esfera

9. 1. O propósito da projeção estereográfica na Cristalografia
A aplicação mais comum é aquela em que os ângulos entre as
faces são representados no cristal, bem como as relações de
simetria entre eles. Em um cristal bem formado, todas as faces
estão relacionadas umas as outras pela simetria da estrutura
cristalina e a forma do cristal revela sua verdadeira simetria. No
entanto, cristais reais raramente são bem formados: acidentes
durante o crescimento do cristal tais como acesso desigual ao
líquido de cristalização ou interferência de um cristal ou objeto
adjacente, podem impedir o crescimento do cristal em certas
direções de forma a mascarar sua verdadeira simetria. No
entanto, esses acidentes não alteram os ângulos entre as
faces, apenas seus tamanhos relativos. Se um cristal é
imaginado dentro de uma esfera, as normais às suas faces
podem ser projetadas até a superfície da esfera (Fig. 2).
Fig. 2: Projeção esférica de um cristal.

10. 1. O propósito da projeção estereográfica na Cristalografia
Os pontos de interseção com a esfera representam as faces do cristal em termos de direção,
não influenciados pelos seus tamanhos relativos, e a simetria do arranjo desses pontos na
superfície da esfera revelam a verdadeira simetria do cristal, sendo ou não bem formado.
Essa simetria pode então ser reconhecida numa projeção estereográfica desses pontos.
O ponto onde a normal da face corta a esfera é chamado de polo da face. Assim, o ângulo
entre duas faces de um cristal é convencionalmente definido como o ângulo entre suas
normais, sendo equivalente ao ângulo entre dois polos.
Um ponto no hemisfério sul projeta um ponto fora do equador no infinito, tendo em vista que
por definição essa projeção deve atingir o polo sul. Por vários motivos, é conveniente
representar a esfera inteira no seu plano equatorial. Isso é possível se os pontos no hemisfério
sul sejam projetados no polo N ao invés do polo S. É então usual distinguir os pontos
projetados no polo S com o símbol X e os projetados no polo N com o símbolo O. Uma
projeção estereográfica completa de algum grupo particular de pontos usualmente é
chamada de estereograma.

11. 2. As propriedades de uma projeção estereográfica
Fig. 1: O ponto p é a projeção
estereográfica do ponto P na
esfera
Há, obviamente, uma variedade de diferentes projeções de uma
esfera em um plano que pode representar as relações angulares
entre polos e faces de um cristal. No entanto, o que faz a
projeção estereográfica útil para esse propósito é o fato de que
ela projeta qualquer círculo na esfera dentro do círculo da
projeção (embora em alguns casos esse círculo torna-se de raio
infinito, ex.: linha reta). É evidente pela Fig. 1 que se P for cair no
equador da esfera, então p coincidirá com ele. Em outras
palavras, o equador coincide com sua projeção. O círculo na
projeção estereográfica que representa o equador da esfera tem
um importante papel e é chamado de primitivo da projeção.
Distâncias angulares ao longo do equador da esfera obviamente
projeta a distância angular real. Isso fica claro na Fig. 1 em que o
polo N da esfera projeta-se no centro do plano primitivo

12. 2. As propriedades de uma projeção estereográfica
Figura 3 mostra que um
meridiano da esfera projeta-
se como um diâmetro do
plano primitivo (este é o caso
em que a projeção é um
círculo de raio infinito) e um
círculo de latitude no
hemisfério N projeta-se como
um círculo concêntrico com o
plano primitivo. Se o círculo
de latitude estivesse no
hemisfério S, poderia ser
projetado como um círculo
fora do plano primitivo.
Fig. 3: (a) Um meridiano na esfera projeta-se como um diâmetro no plano primitivo.
(b) Um círculo da latitude projeta-se como um círculo concêntrico ao plano primitivo.

13. 2. As propriedades de uma projeção estereográfica
O equador e um meridiano são
tipos especiais de grandes
círculos na esfera. Um grande
círculo numa posição qualquer é
mostrado na Fig. 4, sendo claro
que sua projeção estereográfica
é um círculo de raio maior que
aquele do plano primitivo. Ele
intersecta o último em dois
pontos no limite oposto de um
diâmetro do plano primitivo. A
metade um grande círculo que
está no hemisfério N projeta-se
como o arco que está contido
no plano primitivo.
Fig. 4. (a) Um grande círculo numa posição qualquer na esfera projeta-se em um
círculo que intersecta o plano primitivo no limite oposto de um diâmetro. (b) visão
perspectiva (projeção em si).

14. 2. As propriedades de uma projeção estereográfica
Para alguns propósitos é
necessário se considerar o círculo
completo, porém para outros é
mais conveniente utilizar-se da
projeção em meio arco do
hemisfério sul ao polo N,
confinando a projeção no plano
primitivo. Quando isso é feito, a
completa representação do
grande círculo consiste de dois
arcos de maior raio
simetricamente relacionados ao
longo do diâmetro do plano
primitido (Fig. 5)
Fig. 5. Linha pontilhada mostra a porção
da projeção do grande círculo da Fig. 4
que cai fora do plano primitivo,
reprojetada no polo N.

15. 2. As propriedades de uma projeção estereográfica
Se imaginarmos um globo terrestre girado como
mostrado na Fig.13 a, e projetarmos os pontos nele,
então a projeção de linhas de latitude e longitude
serão como aquelas mostradas na Fig. 13 b. Se
continuarmos a girar o globo até a posição em que o
eixo N-S estiver na horizontal, teremos a projeção
como a exibida na Fig. 13 c. Isto é equivalente ao que
obteremos projetando em seu polo S um globo cujas
linhas de longitude e latitude referem-se ao polo E e W.
Esta é a Rede de Wulff, sendo tão útil que comumente
é chamada de Rede Estereográfica.
Fig. 13: (a) Esfera girada com as linhas de longitude e latitude. (b) Projeção
estereográfica de (a). Projeção estereográfica das linhas de longitude e
latitude de uma esfera com o eixo N-S na horizontal.

16. 3. O uso das redes estereográficas
Projeções estereográficas podem ser obtidas por uma
construção matemática ou geométrica. No entanto,
frequentemente é mais conveniente que se preparem
estereogramas com o auxílio de redes estereográficas
já prontas. A rede estereográfica é simplesmente uma
projeção estereográfica de linhas de latitude e
longitude de uma esfera conhecida no plano central.
A forma mais óbvia de rede estereográfica é mostrada
na Fig. 12. O polo N projeta-se no centro e as linhas de
latitude projetam-se como um conjunto de círculos
concêntricos, sendo as linhas de longitude um
conjunto de diâmetros. No entanto, outras redes são
possíveis.
Fig. 12: Projeção estereográfica de linhas de latitude (90ºN a 30ºS) e longitude.

17. Projeções Diretas e Recíprocas
P
O
Plano A
R
Projeção direta: trata-se da projeção do elemento
geométrico diretamente na esfera
Projeção recíproca: trata-se da projeção de um elemento
geométrico ortogonal ao projetado diretamente na esfera

18. Projeções Ciclográficas e Estereográficas
P
U
R
Plano de
projeção
L
S
P’
S’
R’
Plano A
P’ pode representar:
(1) A projeção direta de uma linha OP. Dessa forma, o
Ponto P’ representa a projeção ciclográfica da linha
OP
(2) Projeção recíproca ou polar do plano A. Nesse caso,
P’ representa a projeção estereográfica do plano A.
O

19. Coordenadas de um ponto
Plano de
projeção
Plano A
ρ1
Φ1
Plano
auxiliar

20. Coordenadas de um ponto
Φ1
ρ1
U
L
R
S
U
L
R
S
Projeção no Hemisfério Superior
T
T
P P

21. Coordenadas de um ponto
Φ1
ρ1
U
L
T
T’ R
S
Projeção no Hemisfério Superior
Plano
Auxiliar
Plano de
Projeção
P
P’
P’

22. Coordenadas de um ponto
-Φ1
-ρ1
U
L
R
S
U
L
R
S
Projeção no Hemisfério Inferior
T T
Q
Q’ Q’
Q

23. Coordenadas de um ponto
-Φ1
-ρ1
U
L
T
T’ R
S
Projeção no Hemisfério Inferior
Plano
Auxiliar
Plano de
Projeção
Q’
P’
Q

24. Coordenadas de um ponto
-Φ1
-ρ1
R
S
Plotando um ponto
Plano de
Projeção
Plano
auxiliar
P
P’
Φ1
ρ1
U
T
P’
L
ρ1
___
2
ρ1
___
2
O
ρ1

25. Coordenadas de um ponto
Plotando um ponto
U
T
P’
L
ρ1
___
2
ρ1
___
2
OP’ = OL . tg ___
2
___
ρ1
___

26. Rede Estereográfica
As curvas que unem os pontos N e S são grandes círculos;
Na construção formal de redes de projeção, a diferença
angular entre cada um dos planos hachurados é de 2º;
Os grandes círculos são proporcionais à inclinação do
plano representado segundo o sistema NS/EW;
O plano perpendicular ao plano do hemisfério apresenta
90º de inclinação, enquanto o plano paralelo ao plano
do hemisfério apresenta inclinação de 0º
U
E
L
W

27. Rede Estereográfica

28. Rede Estereográfica
As curvas em vermelho que cortam os grandes círculos os
são conhecidas como pequenos círculos (ou paralelos);
Na construção formal de redes de projeção, a diferença
angular entre cada uma das curvas em vermelho é de
2º;
Os pequenos círculos são proporcionais ao azimute do
plano representado segundo o sistema NS/EW;
Um plano perpendicular ao hemisfério de projeção pode
apresentar azimute de 0 a 360º; sendo de 0º quando sua
intersecção ao hemisfério de projeção se dá ao longo de
NS e de 90º ao longo de EW.
U
E
L
W

29. Rede de Wulff George (Yuri Viktorovich) Wulff (1863-1925)

30. Projeção Estereográfica
"Wulff net central angle 2" by Perditax - Own work. Licensed under CC0 via Commons -
https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Wulff_net_central_angle_2.jpg#/media/File:Wulff_net_central_angle_2.jpg