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MECANISMOS CAPÍTULO 4
78
4. ENGRENAGENS CILÍNDRICAS DE DENTES RETOS
4.1. INTRODUÇÃO A ENGRENAGENS CILÍNDRICAS DE DENTES RETOS EVOLVENTAIS
Considerando duas superfícies curvas em contato direto pode-se mostrar que a razão das velocidades
angulares é inversamente proporcional aos segmentos em que a linha de centros é cortada pela linha de
ação ou normal comum às duas superfícies em contato. Se a linha de ação sempre intercepta a linha de
centros em um ponto fixo, a razão das velocidades angulares permanece constante. Esta é a condição
desejada quando dois dentes de engrenagens se acoplam: a razão das velocidades angulares deve ser
constante. É possível supor a forma do dente em uma engrenagem e pela aplicação do princípio acima (a
normal comum intercepta a linha de centros em um ponto fixo) para determinar o contorno dos dentes
que se engrenam. Tais dentes são considerados dentes conjugados e as possibilidades são limitadas apenas
pela habilidade em construí-los. Das muitas formas possíveis, só a ciclóide e a evolvente foram
padronizadas. Primeiramente utilizava-se a ciclóide que, depois, foi substituída pela evolvente em todas as
aplicações, exceto em relógios. O dente com perfil da evolvente tem diversas vantagens, as mais
importantes das quais sua fácil fabricação e o fato de que a distância entre centros de duas engrenagens
evolventais pode variar sem alterar a razão de velocidades. O sistema evolvental de engrenamento é
discutido em detalhes nos parágrafos seguintes. A Fig. 4.1 mostra um par de engrenagens de dentes retos
evolventais.
Figura 4.1 Engrenagens cilíndricas de dentes retos
Considere duas polias ligadas por um fio cruzado como mostra a Fig. 4.2. É evidente que as duas polias
giram em direções opostas e que a relação das velocidades angulares é constante, desde que o fio não
deslize, e depende da razão inversa dos diâmetros. Vê-se também que a relação entre as velocidades
angulares não muda quando a distância de centros é modificada. Por conveniência, suponha que um lado
do fio seja removido e um pedaço de cartolina seja fixado na polia 1 (Fig. 4.3a). Coloque um lápis no ponto
Q, sobre o fio e guie a polia 2 no sentido anti-horário. Em relação ao papel, o ponto Q descreverá uma linha
reta, enquanto que em relação a polia 1, Q traçará uma evolvente na cartolina. A mesma evolvente poderia
ser gerada cortando-se o fio em Q e desenrolando-o da polia 1, mantendo-o tenso. Se uma cartolina for
agora fixada na polia 2 (Fig. 4.3b) e o processo for repetido, gera-se uma evolvente nesta cartolina. Se as
cartolinas forem agora cortadas ao longo das evolventes, forma-se um lado de um dente em ambas as
polias 1 e 2. A evolvente da polia 1 pode ser usada para impelir a evolvente da polia 2. A razão das
velocidades angulares será constante porque a linha de ação, que pelo processo de construção é normal às
evolventes no ponto de contato Q, corta a linha de centros em um ponto fixo. Como no caso das polias com
o fio cruzado, a relação das velocidades angulares será inversamente proporcional aos diâmetros das
polias.

79
Figura 4.2 Figura 4.3
Se a distância entre centros for modificada, a evolvente 1 ainda impelirá a evolvente 2, mas uma outra
parte das duas evolventes estará agora em contato. Enquanto os diâmetros das polias não forem
modificados, a relação das velocidades será a mesma.
As circunferências usadas como base para a geração das evolventes são conhecidas como
circunferências de base, e são o coração do sistema de engrenagens evolventais. Na Fig. 4.4 o ângulo
definido por uma linha perpendicular à linha de ação tirada pelo centro da circunferência de base e uma
linha de O1 a Q (ou O2 e Q) é conhecido como ângulo de pressão e é uma indicação do ponto da evolvente
onde está havendo contato. Se na Fig. 4.4, o ponto de interseção da linha de ação e da linha de centros é
chamado de P, a relação das velocidades angulares será inversamente proporcional aos segmentos em que
este ponto dividir a linha de centros.
Figura 4.4
É possível traçar circunferências passando por P usando primeiro O1 como centro e depois O2, como
mostra a Fig. 4.5. O ponto P é chamado de ponto primitivo e as circunferências que passam por ele são
conhecidas como circunferências primitivas. Pode-se provar que quando a evolvente 1 impele a evolvente
2, as duas circunferências primitivas movem-se uma em relação à outra em rolamento puro. A relação das
velocidades angulares é inversamente proporcional aos raios das duas circunferências primitivas porque os
segmentos em que P divide a linha de centros agora são os raios destas circunferências. Se o diâmetro da
circunferência primitiva 1 é d1 e o da circunferência 2 é d2, ω1/ω2 = d2/d1. Será mostrado em outra seção

80
que o número de dentes em uma engrenagem é diretamente proporcional ao diâmetro primitivo. Logo,
ω1/ω2 = d2/d1 = z2/z1.
Figura 4.5
4.2. EVOLVENTEMETRIA
Se considerarmos o perfil do dente como sendo evolvental, devemos saber calcular algumas
propriedades da evolvente.
A Fig. 4.6 mostra uma evolvente que foi gerada a partir de uma circunferência de base de raio rb. A
evolvente contém dois pontos A e B com raios correspondentes rA e rB e ângulos de incidência frontal αA e
αB. É fácil obter uma relação para esses raios porque a circunferência de base é a mesma para qualquer
ponto em consideração.
Figura 4.6
Então,
= cos [4.1]
ou
= cos

81
e
cos =

cos [4.2]
Da equação 4.2 é possível determinar o ângulo de incidência frontal em qualquer ponto de raio
conhecido sobre a evolvente.
A Fig. 4.7 mostra a Fig. 4.6 completa para incluir todo o dente da engrenagem. Deste diagrama é
possível desenvolver uma equação para determinar a espessura do dente em qualquer ponto B, dada a
espessura no ponto A.
Figura 4.7
Do processo de geração de uma evolvente, o arco DG é igual ao comprimento BG. Então,

=

=

tan

=
Assim,

= tan
Também

=
− = tan −
Pode ser mostrado também que

= tan −
A expressão (tg α – α) é chamada função evolvental e é às vezes escrita Ev α. É fácil calcular a função
evolvental quando o ângulo é conhecido; α é expresso em radianos. Entretanto, é difícil determinar α a
partir de Ev α, e por esta razão foram publicadas tabelas de funções evolventais (ver Apêndice 1).
Referindo-se ainda à Fig. 4.7,

=
+

#
$%

= +
'
2
Também

=
+

#
$(

= +
'
2

82
Das relações acima,
' = 2 )
'
2
+ − * [4.3]
Através da equação 4.3 é possível calcular a espessura do dente em qualquer ponto da evolvente,
dada a espessura em outro ponto. Uma interessante aplicação desta equação é determinar o raio em que o
dente se torna pontudo.
4.3. PARTICULARIDADES DE ENGRENAGENS CILÍNDRICAS DE DENTES RETOS
A fim de continuar o estudo de engrenagens evolventais é necessário definir os elementos básicos de
uma engrenagem, como mostram as Figuras 4.8a e b. Deve-se também mencionar que a menor das duas
engrenagens é chamada de pinhão; o pinhão é, em geral, a engrenagem motora. Se o raio r da
circunferência primitiva de uma engrenagem se torna infinito, resulta uma cremalheira, conforme as
Figuras 4.8c e 4.9. O perfil dos dentes de uma cremalheira é uma linha reta, que é a forma tomada por uma
evolvente quando gerada sobre uma circunferência de base de raio infinito. Na Fig. 4.8a o passo base pb é
a distância de um ponto sobre um dente ao ponto correspondente no próximo dente medida sobre a
circunferência de base. O passo frontal pt é definido da mesma maneira, exceto que é medido sobre a
circunferência primitiva. A altura de cabeça ha e a altura de pé hf, são distâncias radiais medidas conforme
mostrado. A porção do flanco abaixo da circunferência de base é aproximadamente uma linha radial. A
curva do dente é a linha de interseção da superfície do dente com a superfície primitiva.
Figura 4.8
Embora seja impossível mostrar na Fig. 4.8, o jogo primitivo é uma consideração importante em
engrenagens. Jogo primitivo é a quantidade pela qual a dimensão do espaço de um dente excede a
espessura do dente que se engrena, medidos na circunferência primitiva. Teoricamente, o jogo primitivo
deveria ser zero, mas na prática alguma tolerância deve ser dada para expansão térmica e erros de
fabricação. A não ser que seja especificado, supõe-se o jogo primitivo como zero neste texto. Em uma
seção posterior será abordado o método para calculá-lo em função de uma variação na distância entre
eixos.
Figura 4.9 Pinhão e cremalheira de dentes retos evolventais

83
4.4. CARACTERÍSTICAS DA AÇÃO EVOLVENTAL
Na discussão da geração da evolvente viu-se que a normal comum às duas superfícies evolventais é
tangente às duas circunferências de base. Esta normal comum é também chamada de linha de ação. O
início do contato ocorre quando a linha de ação intercepta a circunferência de cabeça da engrenagem
movida, e o fim do contato, quando a linha de ação intercepta a circunferência de cabeça da engrenagem
motora. Isto é evidente na Fig. 4.10 que mostra um par de dentes entrando em contato e o mesmo par
prestes a separar-se (mostrado tracejado). O ponto A é o início do contato e o ponto B, o fim. A trajetória
do ponto de contato está ao longo da linha reta APB. O perfil do dente (engrenagem 1) corta a
circunferência primitiva no ponto C no início do contato e no fim corta-a no ponto C’. Os pontos D e D' são
os correspondentes na engrenagem 2. Os arcos CC' e DD' são chamados arcos frontais de transmissão e
devem ser iguais para haver rolamento puro das circunferências primitivas, como já havia sido mencionado.
Os ângulos do movimento são geralmente divididos em duas partes, como mostra a Fig. 4.10, onde φF é o
ângulo de aproximação e φA o ângulo de afastamento. O ângulo de aproximação não é igual, em geral, ao
ângulo de afastamento. Para haver transmissão contínua, o arco de ação deve ser igual ou maior do que o
passo frontal. Sendo isto verdadeiro, um novo par de dentes entrará em ação antes que o par precedente
desfaça o contato.
Figura 4.10
A relação entre o arco frontal de transmissão e o passo frontal é conhecida como razão frontal de
transmissão. A razão frontal de transmissão para engrenagens evolventais é também igual à relação entre a
linha de movimentação ou comprimento de transmissão (isto é, a distância do início ao fim do contato
medido sob a linha de ação) e o passo base e geralmente é calculada desta maneira, como será mostrado
posteriormente. Considerada fisicamente, a razão frontal de transmissão é o número médio de dentes em
contato. Se, por exemplo, a razão é 1,6, não significa que há 1,6 dentes em contato. Significa que há
alternadamente um e dois pares de dentes em contato e que ao longo do tempo a média é 1,6. O valor
teórico mínimo da razão frontal de transmissão é 1,0. É claro que este valor deve ser aumentado em
condições reais de operação. Embora seja difícil especificar valores devido às diversas situações e fatores
envolvidos, 1,4 tem sido usado como mínimo prático e 1,2 para casos extremos. Deve-se notar, entretanto,
que quanto menor a razão frontal de transmissão, maior o grau de precisão necessário na usinagem dos
perfis para assegurar funcionamento silencioso.

84
A Fig. 4.10 também mostra um ângulo α, que é formado pela linha de ação e uma linha perpendicular
à linha de centros no ponto primitivo P. Este ângulo é conhecido como ângulo de pressão e deve ser
diferenciado do ângulo de incidência frontal em um ponto sobre a evolvente. Quando as duas engrenagens
estão em contato no ponto primitivo, o ângulo de pressão e os ângulos de incidência frontal das duas
evolventes são iguais. Estes ângulos podem ser vistos na Fig. 4.11.
Figura 4.11
Pode ser derivada uma equação para o comprimento de transmissão gα, a partir da Fig. 4.11, onde
A = início do contato
B = fim do contato
E1 e E2 = pontos de tangência da linha de ação e circunferência de base
ra = raio de cabeça
rb = raio base
α = ângulo de pressão
C = distância entre eixos
Da figura,
,- =
=
+ #
− #

Então,
,- = ./0
1
#
− (0
)² + ./5
1
#
− (5
)² − 6 '78 [4.4]
O passo base pb é dado por
9 =
2:
;
[4.5]
onde
rb = raio base
z = número de dentes
A razão frontal de transmissão εα é então

85
=- =
,-
9
[4.6]
A equação para a o comprimento de transmissão para cremalheira e pinhão pode ser derivada de
maneira similar como
,- = .()# − ()² − sen +
ℎ
'78
[4.7]
onde
r = raio primitivo
ha = altura de cabeça (adendo)
Se parece estranho calcular a razão frontal de transmissão dividindo uma medida em linha reta por
uma circunferencial, consideremos a Fig. 4.12. Na Fig. 4.12a são mostrados dois dentes adjacentes de uma
engrenagem pertencente a um par. O passo base pb está assinalado na circunferência de base de acordo
com sua definição. Um segmento sobre a linha de ação é também designado pb. Do modo como duas
evolventes adjacentes seriam geradas pode-se ver que os dois trechos chamados de pb têm que ser iguais.
Então o passo base pode também ser considerado como a distância normal entre lados correspondentes de
dentes adjacentes. A Fig. 4.12b ilustra como o passo base é medido em uma cremalheira.
Figura 4.12
Exemplo 4.1. Um pinhão de 24 dentes comanda uma engrenagem de 60 dentes com um ângulo de pressão
de 20°. O raio primitivo do pinhão é 1,5000 pol e o raio externo 1,6250 pol. O raio primitivo de engrenagem
é 3,7500 pol e o raio externo 3,8750 pol. Utilizando as Fig. 4.10 e 4.11, calcule o comprimento de
transmissão, razão frontal de transmissão e ângulos de aproximação e afastamento para o pinhão e a
engrenagem.
Solução
,- = ./0
1
#
− (0
)² + ./5
1
#
− (5
)² − 6 '78
ra1 = 1,6250 pol
rb1 = r1 cos α = 1,5000 cos 20° = 1,4095 pol
ra2 = 3,8750 pol
rb2 = r2 cos α = 3,7500 cos 20° = 3,5238 pol
C sen α = (1,5000 + 3,7500) sen 20° = 1,7956 pol
,- = B1,6250² − 1,4095 + B3,8750² − 3,5238² − 1,7956
= B2,6406 − 1,9867 + B15,0156 − 12,4175 − 1,7956
= 0,8099 + 1,6115 − 1,7926 = 0,6258 pol.
Então,
,- =
= 0,6258 pol.
=- =
,-
9
e 9 =
2:0
;
=
2: × 1,4095
24
= 0,3689 pol.
Logo,

86
=- =
0,6258
0,3689
= 1,6964
Dos cálculos acima,

= ./0
1
#
− (0
)² = 0,8099 pol.

=
−
= 0,8099 − 0,6258 = 0,1841 pol.
J
= '78 = 1,5000 '78 20° = 0,5130 pol.
J
= J
−
= 0,5130 − 0,1841 = 0,3289 pol.
J
=
− J
= 0,6258 − 0,3289 = 0,2969 pol.
A razão frontal de transmissão εα é também igual ao arco de ação CC’ dividido pelo passo frontal p,
=- =
66′
9
7 9 =
2:
;
=
2: × 1,5000
24
= 0,3927 pol.
Então,
66M
= 9 × =- = 0,3927 × 1,6964 = 0,6662 pol.
Da Fig. 4.10 sabe-se que o arco DD' deve ser igual ao arco CC’ de modo que arco DP = arco CP e arco PD' =
arco PC’. O arco de aproximação CP da engrenagem 1 pode ser determinado da seguinte relação:
J

=
6J
66′
Então
6J =
J
× 66′

=
0,3289 × 0,6662
0,6258
= 0,3501 pol.
Também
J

=
J6
66′
Assim
J6M
=
J
× 66′

=
0,2969 × 0,6662
0,6258
= 0,3161 pol.
Então
NO0
=
6J

=
0,3501
1,5000
= 0,2334 rad = 13,373°
NO5
=
J
#
=
0,3501
3,7500
= 0,0934 rad = 5,349°
N0
=
J6′

=
0,3161
1,5000
= 0,2107 rad = 12,074°
N5
=
J′
#
=
0,3161
3,7500
= 0,0843 rad = 4,829°
Como conferência,
NO0
+ N0
=
66′

=
0,6662
1,5000
= 0,4441 rad = 25,447°
NO5
+ N5
=
′
#
=
0,6662
3,7500
= 0,1777 rad = 10,179°
Então,
NO0
+ N0
= 13,373° + 12,074° = 25,447°

87
NO5
+ N5
= 5,349° + 4,829° = 10,179°
É possível também calcular os ângulos de aproximação e afastamento. A equação para o ângulo de
aproximação φF2 da engrenagem 2 é deduzida como se segue, usando-se a Fig. 4.26.
NO5
= R + S −
onde
R = ( + ) − (S + S)
= ( + tan − ) − (S + tan S − S)
= tan − tan S
com a substituição de θ
NO5
= tan − tan S + S −
Pelo fato de que D é um ponto sobre a evolvente na circunferência primitiva,
S =
Então
NO5
= tan # −
Equações para φF1, φA1 e φA2 podem ser desenvolvidas de modo semelhante utilizando-se figuras
apropriadas.
Figura 4.26

88
4.5. INTERFERÊNCIA EM ENGRENAGENS EVOLVENTAIS
Foi mencionado anteriormente que uma evolvente se inicia na circunferência de base e é gerada para
fora. É então impossível haver uma evolvente dentro da circunferência de base. A linha de ação é tangente
às duas circunferências de base de um par de engrenagens e os pontos de tangência representam os limites
extremos do comprimento de ação. Estes dois pontos são chamados de pontos de interferência. Se os
dentes forem de tais proporções que o início do contato ocorra antes do ponto de interferência, o trecho
evolvental da engrenagem movida encontrará um trecho não evolvental da engrenagem motora e diz-se
que ocorrerá interferência. Isto está mostrado na Fig. 4.13. E1 e E2 são os pontos de interferência que
deveriam limitar o comprimento de ação. A indica o início do contato e B o fim. Vê-se que o início do
contato ocorre antes do ponto de interferência E2; então há interferência. A extremidade do dente
comandado cortará o flanco do dente que comanda, como mostra a linha tracejada. Há muitas maneiras
para eliminar interferência, uma das quais é limitar a altura de cabeça da engrenagem comandada de modo
que a circunferência de cabeça passe pelo ponto de interferência E2, proporcionando assim um novo início
de contato. Se isto for feito, neste caso, a interferência será eliminada.
A interferência evolvental é indesejável por vários motivos. A interferência e o desgaste resultante não
só enfraquecem os dentes do pinhão como podem também remover um pequeno trecho de evolvente
junto à circunferência de base, o que pode causar séria redução no comprimento de transmissão.
Agora serão discutidas as condições para interferência entre pinhão e cremalheira. Na Fig. 4.15 são
mostrados um pinhão e uma cremalheira engrenados. O ponto de tangência da linha de ação na
circunferência de base do pinhão é chamado de ponto de interferência E, como no caso do pinhão e
engrenagem. O ponto de interferência fixa a altura de cabeça máxima para a cremalheira, para o ângulo de
pressão mostrado. Com a altura de cabeça da cremalheira, como a mostrada na Fig. 4.15, o contato se
inicia em A e ocorrerá adelgaçamento conforme a linha tracejada. Se a altura de cabeça da cremalheira se
estender só até a linha que passa pelo ponto de interferência E, este ponto se tornará o início do contato e
a interferência será eliminada.
Figura 4.13
Pode-se ver na Fig. 4.14 que se uma engrenagem de raio finito tendo a mesma altura de cabeça da
cremalheira (a linha de cabeça da cremalheira agora passando pelo ponto de interferência) se engrenasse
com o pinhão o início do contato ocorreria sobre a linha de ação em algum lugar entre o ponto primitivo P
e o ponto de interferência E. Então não haveria possibilidade de interferência entre o pinhão e a
engrenagem. Pode-se então concluir que se o número de dentes no pinhão é tal que ele se engrena com
uma cremalheira sem interferência, ele se engrenará sem interferência com qualquer outra engrenagem
que tenha o mesmo ou maior número de dentes.

89
Figura 4.14
Embora a interferência evolvental e o adelgaçamento resultante devam ser evitados, uma pequena
quantidade pode ser tolerada se ela não reduzir a razão frontal de transmissão, para um par de
engrenagens, abaixo de um valor adequado. Entretanto, o problema de determinar o comprimento de
transmissão quando ocorre adelgaçamento é difícil, e ele não pode ser obtido da Eq. 4.4. Foi desenvolvido
por Sportts um método para esta determinação. Pode-se ver da Fig. 4.11 e Eq. 4.4 que se o valor de
qualquer radical for maior do que C sen α, haverá interferência.
4.6. ENGRENAGENS INTERCAMBIÁVEIS
Até aqui não foi considerada a questão da padronização das engrenagens para facilitar o
desenvolvimento de engrenagens intercambiáveis: a discussão que se segue se aplica a engrenagens
cilíndricas de dentes retos em geral. Estreitamente ligada com o problema da intercambiabilidade está a
maneira como as engrenagens são usinadas.
Fig. 4.15a Corte de uma engrenagem de dentes retos com uma fresa.

90
Figura 4.15b Operação de fresagem.
Há muitos modos de gerar engrenagens de dentes retos e o mais antigo consiste na utilização de uma
ferramenta de corte para remover o material entre dois dentes quando o disco gira fixado a um divisor em
uma máquina de usinagem, até completar uma volta. Esse método pode produzir perfil evolvental ou
cicloidal e encontra aplicação inicialmente na usinagem de engrenagens de reposição que não podem ser
obtidas de forma econômica pela forma original. Esse método também é utilizado para produzir
engrenagens com dentes de grandes dimensões que não podem ser obtidos por geradoras de engrenagens
convencionais. As engrenagens modernas são geradas para produzir um perfil de dente evolvental. Os dois
métodos mais comuns para produção de engrenagens cilíndricas são o método de fresagem e o método
Fellows de modelagem. Os princípios de fresagem e do método Fellows para usinagem de engrenagem
externas são ilustrados nas Figs. 4.15 e 4.16, respectivamente. Para o corte de engrenagens internas
pequenas, é necessário o uso do método Fellows; porém, se há espaço disponível, engrenagens internas
grandes podem ser fresadas. O método Fellows também é utilizado para usinagem de engrenagens quando
o espaço é insuficiente em um dos lados dos dentes para possibilitar a saída da fresa, conforme mostrado
na Fig. 4.15a.
Conforme a tecnologia das engrenagens evoluiu, foi procurado um meio de classificar as ferramentas e
engrenagens produzidas. O método adotado nos Estados Unidos foi o de especificar a razão entre o
número de dentes e o diâmetro primitivo. O método recebeu o nome de passo diametral e é expresso por
JT =
;
U
[4.8]
onde
d = diâmetro primitivo em polegadas
Embora a unidade do passo diametral seja em dentes por polegada, não é usual informar a unidade quando
é especificado o valor numérico do passo diametral.
Na Europa, o método de classificação é o de especificar a razão entre o diâmetro primitivo e o número
de dentes, e essa razão é designada como módulo. Portanto, o módulo é recíproco ao passo diametral e é
expresso por
V =
U
;
[4.9]
onde
d = diâmetro primitivo em milímetros
m = módulo
Os valores numéricos do módulo são especificados em unidades de milímetros.
Deve ser observado que os valores de passo diametral e módulo são definidos como razões e não são
distancias físicas que podem ser medidas na engrenagem. O passo circunferencial, por outro lado, foi

91
previamente definido como a distância medida ao longo o círculo primitivo de um ponto em um dente ao
ponto correspondente no dente subsequente. A relação entre o passo circular e o passo diametral ou
módulo pode ser expresso conforme segue:
9 =
:U
;
=
:
JT
(U. S. A) [4.10]
e
9 =
:U
;
= :V (métrico) [4.11]
onde
p = passo circular
Pd = passo diametral
m = módulo
Com o propósito de especificar ferramentas de corte, os valores do passo diametral e do módulo
foram tomados como números inteiros, com certas exceções. A seguir é apresentada uma lista de passos
diametrais de fresas disponíveis comercialmente para engrenagens com ângulos de pressão 14,5° e/ou 20°:
2, 2½, 3, 3½, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28, 30, 32, 36, 40, 42, 48, 50, 64, 72, 80, 96,
120.
Os passos diametrais menores podem ser especificados por incrementos pares até 200. Os passos
comumente usados em engrenagens de precisão para instrumentos são 48, 64, 72, 80, 96 e 120. A AGMA
(Associação Americana de Fabricantes de Engrenagens) também lista passos diametrais de ½ e 1, embora
fresas dessas dimensões não sejam mantidas em estoque pelos fabricantes. A seguir é apresentada uma
lista de fresas padronizadas em módulo métrico (ângulo de pressão 20°): 1, 1.25, 1.5, 1.75, 2, 2.25, 2.75, 3,
5, 6, 8, 10, 12, 16, 20.
Fig. 4.16a Método Fellows para gerar engrenagens de dentes retos evolventais.

92
Fig. 4.16b Operação de formação.
Quando as ferramentas foram padronizadas, foi adotado um ângulo de pressão de 14,5°. Isto foi uma
conseqüência do processo de fundição de engrenagens que usava 14,5° porque o seno de 14,5° é
aproximadamente 1/4, o que era conveniente na fabricação do modelo. Mais tarde foi adotado também o
ângulo de pressão de 20°. Ambos foram usados durante muitos anos, mas a tendência, recentemente, é a
de maior utilização do ângulo de 20°. Será mostrado em uma seção posterior que é possível ter-se um
pinhão com menos dentes e sem adelgaçamento quando se usar 20° em lugar de 14,5°. Como resultado da
tendência aos ângulos de pressão maiores, a AGMA adotou 20° e 25° para engrenagens de passo frontal
normal (1 a 19,99Pd) e 20° para os de passo frontal pequeno (20 a 200Pd).
As normas inglesas e alemãs no sistema métrico especificam ângulo de pressão de 20°. A Sociedade
dos Engenheiros Automotivos em sua Norma Aeroespacial AS1560 (Fevereiro de 1979) para engrenagens
no sistema métrico recomenda um ângulo de pressão de 20° para propósitos gerais. Ângulos de pressão de
22,5° e 25° também estão incluídos porque esses ângulos de pressão elevados são utilizados em
engrenagens aeroespaciais.
As proporções dos dentes de engrenagens cilíndricas de dentes retos evolventais pelo padrão
americano são dadas na Tabela 4.1.
A Tabela 4.2 fornece as proporções de dentes para engrenagens de dentes normais de 14,5° e dentes
rebaixados de 20°. Embora essas engrenagens sejam raramente especificadas em novos projetos, elas são
essenciais para engrenagens de reposição em máquinas mais antigas.
Tabela 4.1 Proporções dos dentes - Engrenagens Cilíndricas de Dentes Retos Evolventais
Passo Frontal Normal
(1 a 19,99Pd)
Agosto de 1974
20° ou 25°
Dente Normal
Passo Frontal Pequeno
(20 a 200Pd)
AGMA 207.06
Novembro de 1977
20 ° Dente Normal
Saliência (ha) 1,000
JT
1,000
JT
Profundidade (hf) 1,250
JT
1,200
JT
+ 0,002 (mín)
Folga no fundo do dente (c = hf – ha) 0,250
JT
0,200
JT
+ 0,002 (mín)
Altura de trabalho do dente (hk)
(duas vezes a saliência)
2,000
JT
2,000
JT
Profundidade total (ht = ha + hf) 2,250
JT
2,200
JT
+ 0,002 (mín)
Raio de arredondamento da cremalheira básica (r) 0,300
JT
Não fornecido
Espessura do dente (s) 1,5708
JT
1,5708
JT
a
Para dentes ou retificador, c = 0,350/Pd + 0,002 (mÍn).

93
Tabela 4.2 Proporções dos Dentes – Engrenagens Cilíndricas de Dentes Retos Evolventais
14,5°
Dente Normal
20°
Dente Rebaixado
Saliência (ha) 1,000
JT
0,800
JT
Profundidade (hf) 1,157
JT
1,000
JT
Folga no fundo do dente (c) 0,157
JT
0,200
JT
Raio de arredondamento (r) 0,209
JT
0,304
JT
Espessura do dente (s) 1,5708
JT
1,5708
JT
Devido ao projeto de ferramentas formadoras de engrenagens, essas ferramentas são classificadas não
apenas pelo passo diametral ou módulo mas também de acordo com o passo diametral e o número de
dentes. A Tabela 4.3 mostra uma tabulação ferramentas formadoras de engrenagens padronizadas
classificadas pelo passo diametral, e a Tabela 4.4 mostra uma lista de ferramentas formadoras de
engrenagens no sistema métrico.
Tabela 4.3 Ferramentas Formadoras de Engrenagens Cilíndricas de Dentes Retosa
Passo Diametral Diâmetro Primitivo, pol. Número de Dentes
(a) Ângulo de Pressão 14,5°
4 4 5 16 20
5 4 20
6 4 5 24 30
8 4 5 32 40
10 3 4 5 30 40 50
12 3 4 36 48
16 3 4 48 64
20 3 4 60 80
24 3 72
32 3 96
(b) Ângulo de Pressão 20°
3 4 12
4 4 5 6 16 20 24
5 4 5 6 20 25 30
6 4 5 6 24 30 36
8 3 4 5 6 24 32 40 48
10 3 4 5 30 40 50
12 3 4 5 36 48 60
14 4 56
16 3 4 48 64
18 3 72
20 3 4 60 80
24 3 72
32 3 96
a
As seguintes ferramentas de passo fino também são fabricadas para a Fellow: Passo Diametral 32, 48, 64, 72, 80, 96
e 120.

94
Tabela 4.4 Ferramentas Métricas Formadoras de Engrenagens
Módulo
Passo
Diametral
Diâmetro
Primitivo, pol.
Número de
Dentes
1,0 25,400 2,992 76
1,5 16,933 2,953 50
2,0 12,700 2,992 38
2,5 10,160 2,953 30
3,0 8,466 3,071 26
3,5 7,257 3,031 22
4,0 6,350 4,094 26
4,5 5,644 3,897 22
5,0 5,080 3,937 20
6,0 4,233 4,252 18
8,0 3,175 5,039 16
Tabela 4.5 Módulos Métricos pela Norma Inglesa
(British Standard)a
Módulo Preferidos Segunda Opção de Módulos
1 1,125
1,25 1,375
1,5 1,75
2 2,25
2,5 2,75
3 3,5
4 4,5
5 5,5
6 7
8 9
10 11
12 14
16 18
20 22
25 28
32 36
40 45
50
a
Os valores são milímetros. Sempre que possível, os módulo preferidos
devem ser utilizados ao invés da segunda opção. B.S. 436: Parte 2: 1970.
Os módulos métricos da norma inglesa são mostrados na Tabela 4.5. As proporções dos dentes são as
seguintes:
Adendo (ha) 1,000m
Dedendo (hf) 1,250m
Ângulo de pressão (α) 20°

95
Os módulos métricos da norma inglesa são mostrados na Tabela 4.5. As proporções dos dentes são as
seguintes:
Adendo (ha) 1,000m
Dedendo (hf) 1,157m ou 1,167m
Ângulo de pressão (α) 20°
Tabela 4.6 Módulos Métricos pela Norma
Alemãa
0,3 2,5 8 27
0,4 2,75 9 30
0,5 3 10 33
0,6 3,25 11 36
0,7 3,5 12 39
0,8 3,75 13 42
0,9 4 14 45
1 4,5 15 50
1,25 5 16 55
1,5 5,5 18 60
1,75 6 20 65
2 6,5 22 70
2,25 7 24 75
a
Os valores são milímetros.
Tabela 4.7 Passo Diametral e Módulo Métrico
Passo
Diametral
Módulo
(mm)
Passo
Diametral
Módulo
(mm)
0,5000 50,8000 11 2,3091
0,7500 33,8667 12 2,1167
1 25,4000 13 1,9538
1,2500 20,3200 14 1,8143
1,5000 16,9333 15 1,6933
1,7500 14,5143 16 1,5875
2 12,7000 17 1,4941
2,2500 11,2889 18 1,4111
2,5000 10,1600 19 1,3368
2,7500 9,2364 20 1,2700
3 8,4667 24 1,0583
3,5000 7,2571 32 0,7938
4 6,3500 40 0,6350
5 5,0800 48 0,5292
6 4,2333 64 0,3969
7 3,6286 72 0,3528
8 3,1750 80 0,3175
9 2,8222 96 0,2646
10 2,5400 120 0,2117

96
Pelo fato das ferramentas para usinagem de engrenagens tanto no sistema americano como no
sistema métrico geralmente utilizarem números inteiros, a conversão do passo diametral para módulo em
milímetros não fornece números inteiros. Veja a Tabela 4.7.Os símbolos utilizados no sistema métrico para
denotar as proporções das engrenagens cilíndricas de dentes retos variam consideravelmente daqueles
recomendados pela AGMA. A Tabela 4.8 apresenta uma comparação entre a AGMA e a Norma
Internacional ISSO 701. No capítulo 6 são fornecidas tabelas similares para engrenagens cônicas, cilíndricas
helicoidais e parafuso sem-fim.
Tabela 4.8 Símbolos para Engrenagens Cilíndricas de Dentes Retos
AGMA ISO 701
Número de dentes N z
Raio primitivo R r
Diâmetro primitivo D d'
Raio externo Ro ra
Diâmetro externo Do da
Raio de base Rb rb
Largura da face F b
Adendo a ha
Dedendo b hf
Passo circunferencial p p
Passo de base pb pb
Ângulo de pressão φ α
Comprimento de ação Z gα
Razão frontal de transmissão mp εα
Distancia entre centros C a
Profundidade de trabalho hk –
Profundidade total ht h
Espessura do dente t s
Folga c c
Jogo primitivo B jt
Se usinarmos engrenagens com ferramentas padronizadas é possível fazê-las de modo que sejam
intercambiáveis. Para isto certas condições devem ser observadas:
1. Os passos diametrais ou módulos devem ser iguais.
2. Os ângulos de pressão das ferramentas devem ser iguais.
3. As engrenagens devem ter os mesmos adendos e os mesmos dedendos.
4. A espessura dos dentes deve ser a metade do passo frontal.
O termo engrenagem padronizada é frequentemente utilizado e significa que ela foi usinada por uma
das ferramentas padronizadas listadas previamente e que a espessura do dente é igual a metade do passo
circunferencial. As engrenagens padronizadas são intercambiáveis. As engrenagens cilíndricas retas que são
oferecidas em catálogos de fabricantes são padronizadas. Entretanto, a maioria das engrenagens utilizadas
nas indústrias automotivas e de aviação não são padronizadas para obter certas vantagens sobre as
engrenagens padronizadas. O capítulo 5 trata de engrenagens não padronizadas e mostra que elas podem
ser usinadas com ferramentas padronizadas.

97
4.7. NÚMERO MÍNIMO DE DENTES PARA EVITAR INTERFERÊNCIA
O problema da interferência foi considerado previamente para pinhões e engrenagem e pinhões e
cremalheira. Da discussão da Fig. 4.14 concluiu-se que se não houvesse interferência entre um pinhão e
uma cremalheira também não haveria interferência entre este mesmo pinhão e uma engrenagem de
dimensões iguais à sua ou maior. Naturalmente isto acontece supondo as mesmas dimensões de dentes
para os dois casos. Quando considerada uma engrenagem padronizada em que as dimensões dos dentes
são as dadas nas tabelas, é possível calcular o número mínimo de dentes em um pinhão que se engrene
com uma cremalheira sem interferência evolvental. Para solucionar este caso limite, a linha de cabeça da
cremalheira deve passar pelo ponto de interferência do pinhão.
Na Fig. 4.17, são mostradas as características essenciais de um pinhão e cremalheira, para este caso. O
ponto primitivo é P e o ponto de interferência é E.
Figura 4.17
Então,
'78 =
J

também
'78 =
ℎ
J

=
^ JT
⁄
J

onde k é uma constante que, quando dividida pelo passo diametral resulta no adendo (ha = k/p). Para o
sistema de dentes normais k = 1,0 e para o sistema de dentes rebaixados k = 0,8. Ao serem multiplicadas as
duas equações por sen α membro a membro temos
'78² =
^
JT
Mas
JT =
;
2
onde z = número de dentes. Portanto,
'78² =
2^
;
e
; =
2^
'78²
[4.12]
Desta equação pode ser calculado, para qualquer sistema padronizado de dentes, o menor número de
dentes para um pinhão engrenar-se com uma cremalheira, sem interferência. Isto é mostrado na Tabela 4.9
para os sistemas comuns. Devido a estes valores terem sido calculados para pinhão e cremalheira, eles

98
podem também ser usados como mínimos para pinhão e engrenagem sem perigo de interferência. Como
os valores da tabela foram calculados para um pinhão engrenado com uma cremalheira, eles podem ser
utilizados como o mínimo para um pinhão engrenar com uma coroa sem perigo de interferência.
Tabela 4.9 Número Mínimo de Dentes para Engrenar com Cremalheira Sem Interferência
14,5°
Dente Normal
20°
Dente Normal
20°
Dente Rebaixado
25°
Dente Normal
z 32 18 14 12
Devido ao fato da ação da fresa sobre o dente da engrenagem se assemelhar ao engrenamento de um
pinhão com uma cremalheira, a Eq. 4.12 pode ser utilizada para calcular o menor número de dentes que
podem ser usinados sem adelgaçamento. Nesse caso, o valor de k precisa ser maior que 1,000 para
possibilitar a usinagem da folga necessária entre um pinhão e uma coroa engrenados. Isso resulta em k =
1,157 para engrenagens com ângulo de pressão de 14,5° e k = 1,250 para engrenagens de 20° e 25°.
Portanto, o menor número de dentes que pode ser fresado é 37 para 14,5°, 21 dentes para 20°, e 14 dentes
para ângulo de pressão de 25°. A Fig. 4.18 mostra duas plotagens geradas por computador de engrenagens
cilíndricas de dentes retos de 10 dentes normais e ângulo de pressão 20°, com adelgaçamento severo.
Figura 4.18 Adelgaçamento de engrenagem com z = 10 produzida por fresa com Pd = 1 e α = 20°
Determinar o número mínimo de dentes que uma ferramenta pinhão pode usinar sem causar
adelgaçamento é mais difícil que determinar o número de dentes quando a ferramenta de usinagem é uma
fresa ou uma cremalheira. Uma equação para determinar o número aproximado de dentes pode ser
desenvolvida a partir da Fig. 4.19. Nessa figura, o círculo externo da engrenagem 2 passa pelo ponto de
interferência E da engrenagem 1. A relação para o raio externo da engrenagem 2 pode ser escrita como
5
= ./5
1
#
+ 6²'78²
Por substituição,
5
= # + ℎ =
;# + 2^
2JT
5
= # cos =
;#
2JT
cos
e
6 = + # =
; + ;#
2JT
Portanto,
;# + 2^
2JT
= c)
;#
2JT
*
#
cos² + )
; + ;#
2JT
*
#
'78²
e
(;# + 2^)#
= (;#)#
cos² + (; + ;#)#
'78²

99
Figura 4.19
Ao ser expandida e utilizada a relação '78² + '² = 1 é obtida a equação que fornece a maior coroa
(;#) que pode engrenar com um dado pinhão (;) sem causar interferência evolvental, conforme segue:
;# =
4^² − (;)#
'78²
2;'78² − 4^
[4.13]
A Eq. 4.13 pode ser expandida para fornecer
2;#;'78² − 4^;# = 4^#
− (;)#
'78²
e
(;)#
'78² + 2;#;'78² − 4^(;# + ^) = 0
Então,
(;)#
+ 2;#; −
4^
'78#
(;# + ^) = 0 [4.14]
A Eq. 4.14 pode ser simplificada conforme segue:
Se α = 14,5°, então
(;)#
+ 2;#; − 63,8^(;# + ^) = 0 [4.15]
Se α = 20°, então
(;)#
+ 2;#; − 34,2^(;# + ^) = 0 [4.15]
A Fig. 4.20 mostra uma curva plotada a partir da Eq. 4.16, que mostra a relação de z1 como função de
z2 para α = 20° e dente normal (k = 1). Essa curva também pode ser utilizada para aproximar o número
mínimo de dentes que pode ser usinado por uma ferramenta pinhão por considerar z1 como o número de
dentes a serem usinados na engrenagem e z2 como o número de dentes da ferramenta pinhão. Entretanto,
os valores de z1 serão apenas aproximados porque o raio externo na engrenagem 2 utilizado para
desenvolver a Eq. 4.13 foi tomado como 5
= # + ℎ. Se a engrenagem 2 é considerada como ferramenta
pinhão, seu raio externo deve ser aumentado para usinar a folga na engrenagem 1. Em outras palavras, o
adendo da ferramenta pinhão deve ser igual ao dedendo da engrenagem a ser usinada. Além disso, como
pode ser observado na Tabela 4.1, a equação para folga não é igual para passos diametrais grandes e
passos diametrais pequenos.
Uma curva tracejada foi adicionada à Fig. 4.20 para mostrar a relação de z1, o número de dentes
gerados sem adelgaçamento, ao número de dentes z2 assumidos na ferramenta pinhão quando a folga foi
acrescentada. Para este caso, foi adotada a folga para passo diametral grande, e os cálculos foram

100
realizados pela da utilização da Eq. 4.16 com k = 1,250.
Figura 4.20
4.8. Determinação do Jogo Primitivo
Na Fig. 4.21a é mostrado o perfil de um par de engrenagens com distância entre eixos de referência
6 =
; + ;#
2JT
(U. S. A)
6 =
(; + ;#)V
2
(métrico)
com jogo primitivo nulo. O círculos primitivos no qual essas duas engrenagens operam são círculos
primitivos de corte, e seus raios são dados por = ;/(2JT). Os círculos primitivos de corte são conhecidos
como círculos primitivos de referência. O ângulo de pressão α em que as engrenagens operam é o mesmo
em que foram usinadas, isto é, 14,5°, 20° ou 25°. Em outras palavras, as circunferências primitivas de
funcionamento e de referência são idênticas bem como os ângulos de pressão.
A Fig. 4.21(b) a seguir mostra o caso em que as duas engrenagens foram afastadas uma distância ΔC
para haver uma nova distância de centros C'. A linha de ação agora corta a linha de centros em um novo
ponto P'. Pode ser observado que as circunferências primitivas de referência ou de corte (raios r1 e r2) não
são mais tangentes uma à outra. O ponto primitivo P' divide a distância entre centros C' em segmentos que
são inversamente proporcionais à razão entre as velocidades angulares. Estes segmentos tornam-se os
raios
M
e #
M
das novas circunferências primitivas que se tangenciam no ponto P'. Estas circunferências são
conhecidas como circunferências primitivas de funcionamento, e as equações para seus raios podem ser
determinadas a partir de
d
d#
=
;#
;
=
#
M

M
e

M
+ #
M
= 6M
para fornecer

M
= )
;
; + ;#
* 6M
e
#
M
= )
;#
; + ;#
* 6M

101
Figura 4.21
Além da variação nas circunferências primitivas, o ângulo de pressão também aumenta. O ângulo α' é
conhecido como o ângulo de pressão de funcionamento e é maior do que o ângulo de pressão de corte α.
Uma equação para o ângulo de pressão α' pode ser facilmente derivada da Fig. 4.21b:
6M
=
0
+ 5
cos ′
= ( + #)
cos
cos ′
= 6
cos
cos ′
ou
cos′ =
6
6′
cos [4.17]
Também,
∆6 = 6M
− 6
= 6
cos
cos′
− 6
∆6 = 6 f
cos
cos ′
− 1g [4.18]

102
Quando as engrenagens são operadas nas condições da Fig: 4.21b, haverá jogo primitivo conforme
mostra a Fig. 4.21c. A relação das velocidades angulares não será afetada enquanto as engrenagens
permanecerem em contato. Entretanto, se a direção de rotação for invertida, haverá perda de movimento.
Pode ser derivada uma equação para o jogo primitivo, pelo fato de que a soma das espessuras dos
dentes mais o jogo primitivo deve ser igual ao passo frontal, todos medidos na circunferência
primitiva de funcionamento. Pela Fig. 4.21c, a seguinte equação pode ser escrita:
'
M
+ '#
M
+ hi =
2:
M
;
=
2:#
M
;#
[4.19]
onde
s' = espessura do dente na circunferência primitiva de funcionamento
jt = jogo primitivo
r' = raio de circunferência primitiva de funcionamento
Da Eq. 4.3 desenvolvida na seção sobre evolventemetria,
'
M
= 2
M
j
'
2
+ − ′k
=

M

' − 2
M( M
− ) [4.20]
'#
M
= 2#
M
j
'#
2#
+ − ′k
=
#
M
#
'# − 2#
M( M
− ) [4.21]
onde
s = espessura do dente na circunferência primitiva de referência (s = p/ 2 = π/2Pd)
r = raio de circunferência primitiva de referência (r = z/2Pd)
α = ângulo de pressão de referência (14,5°, 20° ou 25°)
α’ = ângulo de pressão de funcionamento
Também,

M =
#
#
M =
6
6′
[4.22]
e
6M
=
M
+ #
M
[4.23]
Ao serem substituídas as Eq. 4.20, 4.21 e 4.22 na Eq. 4.19 e ao ser lembrado que
2:
;
= 9 =
:
JT
hi =
6′
6
j
:
JT
− (' + '#) + 26( M
− )k (U. S. A) [4.24]
hi =
6′
6
[:V − (' + '#) + 26( M
− )] (métrico)
Para engrenagens padronizadas,
' = '# =
9
2
=
:
2JT
(U. S. A)
' = '# =
9
2
=
:V
2
(métrico)
e a Eq. 4.24 é simplificada para

103
hi = 26M( M
− ) [4.25]
Exemplo 4.2. (a) Um pinhão de 20 dentes, módulo 3 e ângulo de pressão 20°, engrena com uma coroa de
60 dentes. Calcule o comprimento de transmissão e a razão frontal de transmissão se as engrenagens
engrenam com jogo primitivo nulo.
=
;V
2
=
24 × 3
2
= 36,000 mm
# =
;#V
2
=
60 × 3
2
= 90,000 mm
0
= cos = (36,000) cos 20° = 33,829 mm
5
= # cos = (90,000) cos 20° = 84,572 mm
ℎ0
= ℎ5
= V = 3,0000 mm
0
= + ℎ0
= 36,000 + 3,0000 = 39,000 mm
5
= # + ℎ5
= 90,000 + 3,0000 = 93,000 mm
6 =
(; + ;#)V
2
=
(24 + 60)(3)
2
= 126,00 mm
,- = ./0
1² − /0
1² + ./5
1² − /5
1² − 6'78
= B39,000² − 33,829² + B93,000² − 84,572² − (126,00)'7820°
= 19,406 + 38,686 − 43,095
lm = no, ppq rr
=- =
,-
9
e 9 =
2:0
;
=
2:(33,829)
24
= 8,8564 mm
=- =
14,997
8,8564
Portanto,
=- = 1,6934
(b) Se a distancia entre centros for acrescida de 0,5000 mm, calcule os raios primitivos de funcionamento, o
ângulo de pressão de funcionamento, e o jogo primitivo produzido.
6M
= 6 + ∆6 = 126,00 + 0,5000 = 126,50 mm

M
= )
;
; + ;#
* 6M
= )
24
24 + 60
* × 126,50 = 36,143 mm
#
M
= 6M
−
M
= 126,50 − 36,143 = 90,357 mm
cos M
=
6 cos
6′
=
(126,00) cos 20°
126,50
M
= 20,61°
Pela Eq. 4.25
hi = 26′( M
− )
= 2 × 126,50( 20,61° − 20°) = 253,00(0,016362 − 0,014904)
hi = 0,3689 mm

104
4.9. ENGRENAGENS DE DENTES INTERNOS
Em muitas aplicações uma engrenagem evolvental de dentes internos é engrenada com um pinhão em
lugar de duas engrenagens de dentes externos, a fim de obter certas vantagens. Talvez a vantagem mais
importante seja um conjunto mais compacto. Também para as mesmas dimensões dos dentes, as
engrenagens de dentes internos terão maior comprimento de contato, maior resistência nos dentes e
menor deslizamento relativo entre dentes em contato do que as de dentes externos.
Em uma engrenagem de dentes internos, os perfis de dente são côncavos e não convexos como em
uma engrenagem de dentes externos. Devido a esta forma, pode ocorrer um tipo de interferência que não
é possível em uma engrenagem de dentes externos ou em uma cremalheira. Esta interferência ocorre entre
perfis inativos quando os dentes entram e saem de contato e não houver suficiente diferença entre os
números de dentes da engrenagem de dentes internos e do pinhão. A Fig. 4.22 mostra um pinhão
engrenado com uma engrenagem de dentes internos. Eles têm dimensões tão próximas que essa
interferência ocorre nos pontos a, b, c, d e e. Quando uma engrenagem de dentes internos é usinada, usa-
se uma ferramenta pinhão, tipo Fellows, com dois dentes a menos do que a engrenagem que está sendo
usinada. Isto automaticamente reduz as extremidades dos dentes para prevenir interferência nos pontos a,
b, c, d e e. Pode haver também interferência evolvental entre perfis ativos do mesmo modo que nas
engrenagens de dentes externos. Isto será discutido no próximo parágrafo.
Figura 4.22
A Fig. 4.23 mostra dois dentes da Fig. 4.22 em contato com a linha de ação tangente à circunferência
de base da engrenagem no ponto f e tangente à circunferência de base do pinhão no ponto g. Pode-se
iniciar no ponto f, um perfil evolvental para a engrenagem, mas a evolvente para o pinhão não pode
começar antes do ponto g. O ponto g é, então, o primeiro ponto possível de contato sem interferência
evolvental e determina a altura de cabeça máxima da engrenagem. O ponto h, interseção da circunferência
de cabeça do pinhão e a linha de ação, é o fim do contato, e o comprimento de ação é gPh. Deve-se
mencionar que a relação Pd = z/d vale tanto para uma engrenagem de dentes internos quanto para uma de
dentes externos. A Fig. 4.24 mostra uma fotografia de uma engrenagem interna em usinagem por uma
fresa.
Figura 4.23

105
Figura 4.24 Fresagem de engrenagem interna
4.10. ENGRENAGENS CICLOIDAIS
Embora a engrenagem cicloidal tenha sido grandemente substituída pela evolvental, o perfil cicloidal
possui certas vantagens dignas de nota. Estas serão discutidas brevemente. Para um tratamento detalhado
de engrenagens cicloidais o leitor poderá procurar uma das muitas referências sobre o assunto.
As engrenagens cicloidais não têm interferência e um dente cicloidal geralmente é mais forte do que
um dente evolvental porque tem flancos mais separados em contraste com os flancos radiais deste último.
Os dentes cicloidais têm também menos deslizamento e, em conseqüência, menos desgaste. A Fig. 4.25
mostra um dente de engrenagem cicloidal e para comparação, um dente evolvental. Entretanto, uma
importante desvantagem do engrenamento cicloidal é o fato de que para um par de engrenagens cicloidais
há só uma distância entre eixos, teoricamente correta, e com a qual elas transmitirão movimento a uma
relação constante de velocidades angulares. Outra desvantagem é que, embora seja possível o fresamento
de uma engrenagem cicloidal, a ferramenta não é usinada tão facilmente quanto uma evolvental, porque
os dentes das cremalheiras cicloidais não têm os lados retos como os das evolventais. Por esta razão as
engrenagens evolventais podem ser fabricadas com maior precisão e a custo mais baixo do que as
cicloidais.
Cicloidal Evolvental
Figura 4.25
As engrenagens evolventais substituíram completamente as cicloidais para transmissão de potência.
Entretanto, as cicloidais são largamente utilizadas em relojoaria e em certos instrumentos onde as
questões de interferência e resistência são considerações prioritárias. Em relojoaria o trem de engrenagens
da fonte de potência aumenta sua relação de velocidades angulares com a engrenagem impelindo o
pinhão. Em um relógio de pulso este aumento pode ser tão grande quanto 5000:1. As engrenagens serão
então tão pequenas que, a fim de impedir o uso de dentes excessivamente pequenos é necessário usar
pinhões (engrenagens movidas, neste caso) tendo somente 6 ou 7 dentes. O perfil de dente destes pinhões
deve também ser capaz de atuar em uma rotação de 60°. Para este propósito, as engrenagens cicloidais são
preferidas em relação às evolventais. O problema da distância entre eixos e relação de velocidades
angulares não é importante neste caso porque todo o trem, governado pelo escape pára e parte
novamente várias vezes por segundo. A operação do trem envolve assim tão grandes variações de
quantidade de movimento que o efeito da forma do dente sobre esta variação é desprezível. O efeito da
forma do dente na consistência da razão de velocidade não é, assim, intrinsecamente importante.

106
Problemas
4.1. A espessura de um dente de engrenagem evolvental é 7,98 mm com um raio de 88,9 mm e um
ângulo de pressão de 14,5°. Calcule o raio e a espessura do dente em um ponto na evolvente que tem um
ângulo de pressão de 25°.
4.2. Se as evolventes que formam o contorno de um dente de engrenagem forem prolongadas, seus
flancos se encontrarão e o dente ficará pontudo. Determine o raio em que isto ocorre para um dente que
tem uma espessura de 6,65 mm em um raio de 102 mm e um ângulo de pressão de 20°.
4.3. A espessura de um dente de uma engrenagem evolvental é 4,98 mm em um raio de 50,8 mm e
um ângulo de pressão de 20°. Calcule a espessura do dente na circunferência de base.
4.4. Os raios primitivos de duas engrenagens acopladas são 51,0 mm e 63,0 mm, e os raios externos
são 57,0 mm e 69,0 mm, respectivamente. O ângulo de pressão é 20°. O pinhão é a peça motora e gira no
sentido horário. Determine os ângulos de aproximação e afastamento para ambas as engrenagens.
4.5. Um pinhão de 50 mm de raio primitivo gira no sentido horário e aciona uma cremalheira. O
ângulo de pressão é 20° e a altura da cabeça do pinhão e da cremalheira é 5,00 mm. Determine os ângulos
de aproximação e afastamento para o pinhão.
4.6. Duas engrenagens de dentes retos normais, iguais, com 48 dentes, engrenam-se com raios
primitivos de 4,000 pol. e adendo de 0,1670 pol. Se o ângulo de pressão é 14,5°, calcule o comprimento de
ação gα e a razão frontal de transmissão εα.
4.7. Um pinhão com um raio primitivo de 38,0 mm impele uma cremalheira. O ângulo de pressão é
14,5°. Calcule a altura de cabeça máxima possível para a cremalheira sem haver interferência evolvental no
pinhão.
4.8. Um pinhão com 24 dentes, módulo 2 e ângulo de pressão 20°, impele uma engrenagem de 40
dentes. Calcule os raios primitivos, raios de base, adendo, dedendo, e a espessura de dente na
circunferência primitiva.
4.9. Um pinhão com 18 dentes, passo diametral 8 e ângulo de pressão 25°, dentes normais, impele
uma engrenagem de 45 dentes. Calcule os raios primitivos, raios base, adendo, dedendo, e a espessura do
dente na circunferência primitiva.
4.10. Um pinhão de 42 dentes, módulo 0,2 e ângulo de pressão 20°, dentes normais, impele uma
engrenagem de 90 dentes. Calcule a razão frontal de transmissão.
4.11. Um pinhão com 20 dentes, módulo 6 e ângulo de pressão 20°, aciona uma cremalheira. Calcule o
raio primitivo, raio base, altura de trabalho, altura total e a espessura dos dentes da cremalheira na linha
primitiva.
4.12. Uma cremalheira de dentes normais, ângulo de pressão de 20°, tem um adendo de 0,25 pol.
Calcule o passo de base.
4.13. Determine o número aproximado de dentes em uma engrenagem evolvental de dentes retos,
normais, ângulo de pressão 14,5°, tal que os diâmetros das circunferências de base e de pé sejam iguais.
4.14. Um pinhão com 30 dentes, usinado por uma fresa com ângulo de pressão 25° e módulo 4, impele
uma cremalheira. Calcule o comprimento de transmissão e a razão frontal de transmissão.
4.15. Duas árvores, cujos eixos estão afastados de 216 mm, devem ser acopladas com engrenagens de
dentes retos com uma razão de velocidades angulares de 1,5:1. Usando um módulo 4, selecione um par de
engrenagens que melhor se ajuste aos requisitos acima. Que modificação precisa ser tolerada nos dados
para o conjunto adotado?
4.16. Calcule o número mínimo de dentes para um pinhão com ângulo de pressão de 22,5°, dentes
normais, engrenar-se com uma cremalheira sem interferência evolvental. Também calcule o número de
dentes em um pinhão para engrenar-se com uma engrenagem de igual tamanho sem interferência
evolvental.
4.17. Um pinhão com 24 dentes normais, passo diametral 8, ângulo de pressão 20°, impele uma
engrenagem com 56 dentes. Determine o raio de cabeça de modo que a circunferência de cabeça de cada
engrenagem passe pelo ponto de interferência da outra. Calcule o valor de k para cada engrenagem.

107
4.18. Duas engrenagens iguais, módulo 5, ângulo de pressão 20°, engrenam-se de modo que a
circunferência de cabeça de cada uma passa pelo ponto de interferência da outra. Se a razão frontal de
transmissão é 1,622, calcule o número de dentes e o raio de cabeça para cada engrenagem.
4.19. Um pinhão com 40 dentes, módulo 2,5 e ângulo de pressão 20°, é montado com uma
cremalheira, sem folga. Se a cremalheira é afastada 1,27 mm calcule o jogo primitivo produzido.
4.20. Um pinhão com 18 dentes, módulo 2 e ângulo de pressão 20°, impele uma engrenagem de 54
dentes. Se a distância entre eixos com que as engrenagens operam é 73,27 mm, calcule o ângulo de
pressão de funcionamento.
4.21. Um pinhão com 36 dentes, passo diametral 10 e ângulo de pressão 14,5°, impele uma
engrenagem com 60 dentes. Se a distância entre eixos é aumentada em 0,0250 pol., calcule (a) os raios das
circunferências primitivas de funcionamento, (b) o ângulo de pressão de funcionamento e (c) o jogo
primitivo produzido.
4.22. Um pinhão com 24 dentes, módulo 6 e ângulo de pressão 20°, aciona uma engrenagem de 40
dentes. Calcule: (a) a distância entre eixos máxima teórica com que estas engrenagens podem operar
separadas para continuar a haver movimento, e (b) o jogo primitivo nas novas circunferências primitivas
quando as engrenagens são separadas da distância calculada.
4.23. Um pinhão com 25 dentes tem uma espessura de dentes de 6,477 mm em um raio primitivo de
corte de 37,50 mm e um ângulo de pressão de 20°. Uma engrenagem de 42 dentes tem uma espessura de
dentes de 5,842 mm em um raio primitivo de corte de 63,00 mm e um ângulo de pressão de 20°. Calcule o
ângulo de pressão e a distância entre eixos se estas engrenagens são montadas sem jogo primitivo.
4.24. Um pinhão de 34 dentes, módulo 0,3, impele uma engrenagem de 60 dentes. Se a distância
entre centros é aumentada de 0,127 mm, compare o jogo primitivo produzido utilizando os ângulos de
pressão de 14,5°, 20° e 25°.

108
Respostas dos problemas propostos
4.1. rB = 94,966 mm; sB = 3,8844 mm
4.2. rB = 109,46 mm
4.3. sb = 6,1026 mm
4.4. ϕF1 = 16,61°; ϕF2 = 13,45°; ϕA1 =16,04°; ϕA2 = 12,98°
4.5. ϕF1 = 17,83°; ϕA1 =14,01°
4.6. gα = 1,0739 pol; εα = 2,119
4.7. ha = 2,3822 mm
4.8. r1 = 24,000 mm; r2 = 40,000 mm; rb1 = 22,553 mm; rb2 = 37,588 mm; ha = 2,0000 mm; hf = 2,5000 mm;
s = 3,1416 mm
4.9. r1 = 1,125 pol.; r2 = 2,8125 pol.; rb1 = 1,0196 mm; rb2 = 2,5490 mm; ha = 0,1250 mm; hf = 0,1563 mm; s
= 0,1963 mm
4.10. εα = 1,782
4.11. r = 60,000 mm; rb = 56,382 mm; hk = 12,000 mm; ht = 13,500 mm; s = 9,4248 mm
4.12. pb = 0,7380 pol.
4.13. z ≈ 78 dentes
4.14. gα = 17,857 mm pol; εα = 1,568
4.15. z1 = 43 dentes; z2 = 65 dentes; É necessário tolerar pequena alteração na relação de transmissão.
4.16. zmín = 14 dentes; z = 10 dentes
4.17. k1 = 5,729; k2 = 1,656
4.18. z = 14 dentes; ra = 40,681 mm
4.19. jt = 1,0318 mm
4.20. α’ = 22,57°
4.21.
M
= 1,8094 pol.; #
M
= 3,0156 pol.; α’ = 15,61°; jt = 0,0135 pol.
4.22. 6st
M
= 204,00 mm; jt = 11,111 mm
4.23. α’ = 24,821°; C’ = 104,05 mm
4.24. α = 14,5°, jt = 0,0705 mm; α = 20°, jt = 0,0964 mm; α = 25°, jt = 0,1219 mm
Bibliografia
Mabie, H. H.; Reinholz, C. F.; Mechanisms and Dynamincs of Machinery. John Wiley Sons, 4th
Edition,
1987.

Graus 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9
0 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000001 0,000001 0,000001
1 0,000002 0,000002 0,000003 0,000004 0,000005 0,000006 0,000007 0,000009 0,000010 0,000012
2 0,000014 0,000016 0,000019 0,000022 0,000025 0,000028 0,000031 0,000035 0,000039 0,000043
3 0,000048 0,000053 0,000058 0,000064 0,000070 0,000076 0,000083 0,000090 0,000097 0,000105
4 0,000114 0,000122 0,000132 0,000141 0,000151 0,000162 0,000173 0,000184 0,000197 0,000209
5 0,000222 0,000236 0,000250 0,000265 0,000280 0,000296 0,000312 0,000330 0,000347 0,000366
6 0,000384 0,000404 0,000424 0,000445 0,000467 0,000489 0,000512 0,000536 0,000560 0,000586
7 0,000612 0,000638 0,000666 0,000694 0,000723 0,000753 0,000783 0,000815 0,000847 0,000880
8 0,000914 0,000949 0,000985 0,001022 0,001059 0,001098 0,001137 0,001178 0,001219 0,001262
9 0,001305 0,001349 0,001394 0,001441 0,001488 0,001536 0,001586 0,001636 0,001688 0,001740
10 0,001794 0,001849 0,001905 0,001962 0,002020 0,002079 0,002140 0,002202 0,002265 0,002329
11 0,002394 0,002461 0,002528 0,002598 0,002668 0,002739 0,002812 0,002887 0,002962 0,003039
12 0,003117 0,003197 0,003277 0,003360 0,003443 0,003529 0,003615 0,003703 0,003792 0,003883
13 0,003975 0,004069 0,004164 0,004261 0,004359 0,004459 0,004561 0,004664 0,004768 0,004874
14 0,004982 0,005091 0,005202 0,005315 0,005429 0,005545 0,005662 0,005782 0,005903 0,006025
15 0,006150 0,006276 0,006404 0,006534 0,006665 0,006799 0,006934 0,007071 0,007209 0,007350
16 0,007493 0,007637 0,007784 0,007932 0,008082 0,008234 0,008388 0,008544 0,008702 0,008863
17 0,009025 0,009189 0,009355 0,009523 0,009694 0,009866 0,010041 0,010217 0,010396 0,010577
18 0,010760 0,010946 0,011133 0,011323 0,011515 0,011709 0,011906 0,012105 0,012306 0,012509
19 0,012715 0,012923 0,013134 0,013346 0,013562 0,013779 0,013999 0,014222 0,014447 0,014674
20 0,014904 0,015137 0,015372 0,015609 0,015849 0,016092 0,016337 0,016585 0,016836 0,017089
21 0,017345 0,017603 0,017865 0,018129 0,018395 0,018665 0,018937 0,019212 0,019490 0,019770
22 0,020054 0,020340 0,020629 0,020921 0,021217 0,021514 0,021815 0,022119 0,022426 0,022736
23 0,023049 0,023365 0,023684 0,024006 0,024332 0,024660 0,024992 0,025326 0,025664 0,026005
24 0,026350 0,026697 0,027048 0,027402 0,027760 0,028121 0,028485 0,028852 0,029223 0,029598
25 0,029975 0,030357 0,030741 0,031130 0,031521 0,031917 0,032315 0,032718 0,033124 0,033534
26 0,033947 0,034364 0,034785 0,035209 0,035637 0,036069 0,036505 0,036945 0,037388 0,037835
27 0,038287 0,038742 0,039201 0,039664 0,040131 0,040602 0,041076 0,041556 0,042039 0,042526
28 0,043017 0,043513 0,044012 0,044516 0,045024 0,045537 0,046054 0,046575 0,047100 0,047630
29 0,048164 0,048702 0,049245 0,049792 0,050344 0,050901 0,051462 0,052027 0,052597 0,053172
30 0,053751 0,054336 0,054924 0,055518 0,056116 0,056720 0,057328 0,057940 0,058558 0,059181
31 0,059809 0,060441 0,061079 0,061721 0,062369 0,063022 0,063680 0,064343 0,065012 0,065685
32 0,066364 0,067048 0,067738 0,068432 0,069133 0,069838 0,070549 0,071266 0,071988 0,072716
33 0,073449 0,074188 0,074932 0,075683 0,076439 0,077200 0,077968 0,078741 0,079520 0,080305
34 0,081097 0,081894 0,082697 0,083506 0,084321 0,085142 0,085970 0,086804 0,087644 0,088490
35 0,089342 0,090201 0,091067 0,091938 0,092816 0,093701 0,094592 0,095490 0,096395 0,097306
36 0,098224 0,099149 0,100080 0,101019 0,101964 0,102916 0,103875 0,104841 0,105814 0,106795
37 0,107782 0,108777 0,109779 0,110788 0,111805 0,112829 0,113860 0,114899 0,115945 0,116999
38 0,118061 0,119130 0,120207 0,121291 0,122384 0,123484 0,124592 0,125709 0,126833 0,127965
39 0,129106 0,130254 0,131411 0,132576 0,133750 0,134931 0,136122 0,137320 0,138528 0,139743
40 0,140968 0,142201 0,143443 0,144694 0,145954 0,147222 0,148500 0,149787 0,151083 0,152388
41 0,153702 0,155025 0,156358 0,157700 0,159052 0,160414 0,161785 0,163165 0,164556 0,165956
42 0,167366 0,168786 0,170216 0,171656 0,173106 0,174566 0,176037 0,177518 0,179009 0,180511
43 0,182024 0,183547 0,185080 0,186625 0,188180 0,189746 0,191324 0,192912 0,194511 0,196122
44 0,197744 0,199377 0,201022 0,202678 0,204346 0,206026 0,207717 0,209420 0,211135 0,212863
45 0,214602 0,216353 0,218117 0,219893 0,221682 0,223483 0,225296 0,227123 0,228962 0,230814
46 0,232679 0,234557 0,236448 0,238353 0,240271 0,242202 0,244147 0,246105 0,248078 0,250064
47 0,252064 0,254078 0,256106 0,258149 0,260206 0,262277 0,264363 0,266464 0,268579 0,270709
48 0,272854 0,275015 0,277190 0,279381 0,281588 0,283810 0,286047 0,288301 0,290570 0,292856
49 0,295157 0,297475 0,299809 0,302160 0,304527 0,306912 0,309313 0,311731 0,314166 0,316619
50 0,319089 0,321577 0,324082 0,326605 0,329146 0,331706 0,334283 0,336879 0,339494 0,342127
51 0,344779 0,347450 0,350141 0,352850 0,355579 0,358328 0,361096 0,363884 0,366693 0,369521
52 0,372370 0,375240 0,378130 0,381042 0,383974 0,386928 0,389903 0,392899 0,395918 0,398958
53 0,402020 0,405105 0,408212 0,411342 0,414495 0,417671 0,420871 0,424093 0,427340 0,430610
54 0,433904 0,437223 0,440566 0,443933 0,447326 0,450744 0,454187 0,457656 0,461150 0,464670
55 0,468217 0,471790 0,475390 0,479016 0,482670 0,486351 0,490060 0,493797 0,497562 0,501355
56 0,505177 0,509027 0,512907 0,516816 0,520755 0,524724 0,528723 0,532753 0,536813 0,540905
57 0,545027 0,549182 0,553368 0,557586 0,561837 0,566121 0,570438 0,574789 0,579173 0,583591
58 0,588044 0,592531 0,597053 0,601611 0,606205 0,610834 0,615500 0,620203 0,624943 0,629720
59 0,634535 0,639389 0,644281 0,649212 0,654182 0,659192 0,664243 0,669333 0,674465 0,679638
60 0,684853 0,690110 0,695410 0,700753 0,706139 0,711570 0,717045 0,722564 0,728129 0,733740
TABELA DE FUNÇÕES EVOLVENTAIS
APÊNDICE 1

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