O documento explora as relações entre perímetros e áreas de figuras semelhantes, destacando que o perímetro de um polígono semelhante é multiplicado pela razão de semelhança, enquanto a área é multiplicada pelo quadrado dessa razão. Exemplos com triângulos, pentágonos e quadrados são apresentados para demonstrar a aplicação dessas relações. A resolução de exercícios ajuda a compreender melhor como calcular perímetros e áreas em figuras semelhantes.

1. Relação entre
perímetros e áreas
de figuras
semelhantes

2. Considera os polígonos e semelhantes, sendo a razão da semelhança que transforma em .
Relação entre perímetros de figuras semelhantes
×𝟏,𝟓
Como os polígonos são semelhantes, o comprimento de cada lado do segundo polígono obtém-se
multiplicando o comprimento do lado correspondente do primeiro polígono pela razão de semelhança.
𝐴′
𝐵′=𝟏,𝟓× 𝐴𝐵 𝐵′
𝐶′=𝟏,𝟓×𝐵𝐶 𝐶′
𝐷′ =𝟏,𝟓×𝐶𝐷 𝐷′
𝐸′=𝟏,𝟓× 𝐷𝐸 𝐸′
𝐴′=𝟏,𝟓×𝐸𝐴
Como sabes, o perímetro de um polígono é igual à soma dos comprimentos dos seus lados, logo:
Per í metro[ 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸]= 𝐴𝐵+ 𝐵𝐶+𝐶𝐷+𝐷𝐸+ 𝐸𝐴 e Per í metro[ 𝐴′ 𝐵′ 𝐶′ 𝐷′ 𝐸′ ]=𝐴′ 𝐵′+𝐵′𝐶′+𝐶′ 𝐷′+𝐷′ 𝐸′+ 𝐸′ 𝐴′

3. Relação entre perímetros de figuras semelhantes
×𝟏,𝟓
Atendendo às relações estabelecidas entre os comprimentos dos lados correspondentes dos dois
polígonos, tem-se que:
𝐴′
𝐵′=𝟏,𝟓× 𝐴𝐵 𝐵′
𝐶′=𝟏,𝟓×𝐵𝐶 𝐶′
𝐷′ =𝟏,𝟓×𝐶𝐷 𝐷′
𝐸′=𝟏,𝟓× 𝐷𝐸 𝐸′
𝐴′=𝟏,𝟓×𝐸𝐴
Per í metro[ 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸]= 𝐴𝐵+ 𝐵𝐶+𝐶𝐷+𝐷𝐸+ 𝐸𝐴 e Per í metro[ 𝐴′ 𝐵′ 𝐶′ 𝐷′ 𝐸′ ]=𝐴′ 𝐵′+𝐵′𝐶′+𝐶′ 𝐷′+𝐷′ 𝐸′+ 𝐸′ 𝐴′
Per í metro[ 𝐴′ 𝐵′ 𝐶′ 𝐷′ 𝐸′ ]=𝐴′ 𝐵′+𝐵′𝐶′+𝐶′ 𝐷′+𝐷′ 𝐸′+𝐸′ 𝐴′
¿𝟏,𝟓× 𝐴𝐵+𝟏,𝟓× 𝐵𝐶+𝟏,𝟓×𝐶 𝐷+𝟏,𝟓×𝐷𝐸+𝟏,𝟓×𝐸𝐴
¿𝟏,𝟓×( 𝐴𝐵+𝐵𝐶+𝐶𝐷 +𝐷𝐸+𝐸𝐴)
¿𝟏,𝟓×Perí metro[ 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸]
Aplicando a
propriedade distributiva
da multiplicação em
relação à adição.

4. Relação entre perímetros de figuras semelhantes
×𝟏,𝟓
Per í metro[ 𝐴′ 𝐵′ 𝐶 ′ 𝐷′ 𝐸′ ]=𝟏,𝟓× Perí metro[𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸]
Perí metro[𝐴′ 𝐵 ′𝐶 ′ 𝐷′ 𝐸′]
Per í metro[ 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸]
=𝟏,𝟓
, ou seja,
Sejam e duas figuras planas semelhantes.
Sendo a figura original e a figura final, o perímetro de é igual ao
perímetro de multiplicado pela razão da semelhança, , que
transforma em .
P er í metro de 𝐹2=𝒓 × Per í metro de 𝐹1
Perí metro de 𝐹2
Perí metro de 𝐹1
=𝒓
, ou seja,
𝐹1
𝐹2
×𝒓

5. Considera os retângulos e semelhantes, sendo a razão da semelhança que transforma em .
Relação entre áreas de figuras semelhantes
×𝟏,𝟓
Como os retângulos são semelhantes, o comprimento de cada lado do retângulo obtém-se multiplicando
o comprimento do lado correspondente do retângulo pela razão de semelhança.
𝐴
′
𝐵′=𝟏,𝟓× 𝐴𝐵 𝐵
′
𝐶′=𝟏,𝟓×𝐵𝐶
Como sabes, a área de um retângulo é igual ao produto do seu comprimento pela sua largura, logo:
Área[ 𝐴𝐵𝐶𝐷]=𝐴𝐵×𝐵𝐶 e Área[ 𝐴′ 𝐵′ 𝐶 ′ 𝐷′]=𝐴′ 𝐵′×𝐵′𝐶′

6. Relação entre áreas de figuras semelhantes
Atendendo às relações estabelecidas entre os comprimentos dos lados correspondentes dos dois
retângulos, tem-se que:
Área[ 𝐴′ 𝐵′ 𝐶′ 𝐷′]=𝐴′ 𝐵′×𝐵′𝐶 ′
¿𝟏,𝟓× 𝐴𝐵×𝟏 ,𝟓×𝐵𝐶
¿𝟏,𝟓×𝟏,𝟓× 𝐴𝐵×𝐵𝐶
¿𝟏,𝟓𝟐
× Á rea[𝐴𝐵𝐶𝐷]
Aplicando as propriedades
associativa e comutativa
da multiplicação.
×𝟏,𝟓
𝐴
′
𝐵′=𝟏,𝟓× 𝐴𝐵 𝐵
′
𝐶′=𝟏,𝟓×𝐵𝐶
Área[ 𝐴𝐵𝐶𝐷]=𝐴𝐵×𝐵𝐶 e Área[ 𝐴′ 𝐵′ 𝐶 ′ 𝐷′]=𝐴′ 𝐵′×𝐵′𝐶′

7. Relação entre áreas de figuras semelhantes
Á rea[ 𝐴′ 𝐵′ 𝐶 ′ 𝐷′]=𝟏,𝟓𝟐
× Á rea[𝐴𝐵𝐶𝐷]
Á rea[𝐴′ 𝐵 ′𝐶 ′ 𝐷′ ]
Á rea[ 𝐴𝐵𝐶𝐷]
=𝟏,𝟓𝟐
, ou seja,
Sejam e duas figuras planas semelhantes.
Sendo a figura original e a figura final, a área de é igual à área de
multiplicada pelo quadrado da razão da semelhança, , que transforma
em .
Á rea de 𝐹2=𝒓𝟐
× Á rea de 𝐹1
Á reade 𝐹2
Á reade 𝐹1
=𝒓𝟐
, ou seja,
𝐹1
𝐹2
×𝒓
×𝟏,𝟓

8. Exercício
Na figura estão representados dois triângulos e .
Sabe-se que o triângulo é uma redução do triângulo de
razão .
Qual é o perímetro do triângulo , sabendo que o perímetro
do triângulo é ?
Sugestão de resolução:
×𝟎 ,𝟕
A razão da semelhança que transforma o triângulo no triângulo é .
A razão da semelhança que transforma em é .
10
7 e são números inversos.
×
𝟏𝟎
𝟕
Per í metro[ 𝐴𝐵𝐶]=
10
7
× Per í metro[ 𝐷𝐸𝐹 ]
¿
10
7
× 42 cm
¿
4 20
7
cm
¿𝟔𝟎𝐜𝐦

9. Exercício
Na figura estão representados dois pentágonos regulares.
Sabe-se que:
 o comprimento do lado do pentágono exterior é do comprimento do lado
do pentágono interior;
 a área do pentágono interior é .
Qual é a área, em , da parte sombreada da figura?
Sugestão de resolução:
A razão da semelhança que transforma o pentágono interior no pentágono exterior é .
A área da região sombreada, , é a diferença entre as áreas dos dois pentágonos.
Áreado pent á gonoexterior=(5
2)
2
× Áreado pent á gonointerior
¿
25
4
× 20 cm
2
¿
5 00
4
cm
2
¿ 1 25 cm2
𝐴𝑆= Á reado pent á gonoexterior − Área do pent ágonointerior¿ 125 cm2
−20 cm2
¿𝟏𝟎𝟓𝐜𝐦𝟐
Os dois pentágonos são regulares, logo são semelhantes.

10. Para determinar a razão de semelhança, , basta determinar o quociente entre o comprimento do lado do
quadrado e o comprimento do lado do quadrado .
Como os quatro lados de um quadrado têm o mesmo comprimento e o perímetro do
quadrado é , tem-se que o comprimento do seu lado é .
Exercício
Na figura estão representados dois quadrados, e .
Sabe-se que a área do quadrado é igual a e o perímetro do
quadrado é igual a .
Qual é a razão de semelhança que transforma o quadrado no
quadrado ?
Sugestão de resolução:
×
𝟑
𝟓
Para determinar o comprimento do lado do quadrado com de área, basta calcular o número que
multiplicado por si próprio dá , ou seja, .
10cm
O perímetro de um polígono é a soma das medidas dos comprimentos dos seus lados.
6 cm
24 ÷ 4=6
¿
6
10
𝑟 =
Comprimento reduzido
Comprimento original
¿
𝟑
𝟓