O documento descreve o método de completar quadrados, desenvolvido pelo matemático persa Al-Khowarizmi no século IX, para resolver equações do segundo grau. O método envolvia interpretar os termos da equação como áreas e completar um quadrado perfeito através da adição estratégica de retângulos e quadrados. Aplicando os passos do método a um exemplo numérico, chega-se à solução positiva da equação.

1. O MÉTODO DE COMPLETAR QUADRADOS
O Método de Completar Quadrados serve para
resolver equações do 2º grau completas
expressa na forma: , cujo
primeiro membro não é um trinômio quadrado
perfeito.
Contudo, antigamente os matemáticos não
dispunham das mesmas ferramentas da álgebra
moderna. Usavam então, outras estratégias
para resolver problemas desse tipo. Uma delas
foi desenvolvida pelo matemático persa Al-
Khowarizmi, que viveu em Bagdá no século IX.
Considere o seguinte problema:
“A área de um quadrado acrescida de 8 vezes o
seu lado é igual a 65.Qual é a medida do lado
desse quadrado?”
Assim, o método desenvolvido por ele seguia os
seguintes passos:
1) As expressões e eram
interpretadas como as áreas de um quadrado e
de um retângulo. A solução do problema é,
então, a medida do lado do quadrado:
2) O retângulo era dividido em dois
retângulos de mesma área. A equação era
interpretada como:
3) Cada retângulo era arranjado de modo
que ficassem justapostos a dois lados do
quadrado. Com essa composição, a área da
figura continua sendo 65.
4) De modo a completar o quadrado
acrescentava-se um quadrado no canto da
figura anterior. A medida do lado desse
quadrado é a mesma do lado conhecido do
retângulo, ou seja, 4. Assim, a área do novo
quadrado é . Com esse
método,“completava-se um quadrado perfeito”
de lado e área igual a
5) Sendo a nova área 81, então a medida
do lado do novo quadrado é √ Assim, o
lado do quadrado , portanto
é a solução. Perceba que só utilizamos a
resposta positiva, pois estamos tratando de
uma área, e não existem áreas com números
negativos.