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O ENSINO DE ÁLGEBRA FRENTE ÀS NOVAS CONCEPÇÕES
METODOLÓGICAS DO ENSINO DE MATEMÁTICA
SILVA, Robson Santana da1
KUHLKAMP, Moacir Cesar2
RESUMO
Este trabalho tem como meta principal descobrir as influências das concepções
do ensino de álgebra no Brasil através de uma análise dos obstáculos
epistemológicos e didáticos presentes no processo de ensino de álgebra desde
as primeiras ideias de concepções de ensino de álgebra até o surgimento das
novas tendências no ensino de matemática. A metodologia utilizada neste
trabalho se caracteriza como pesquisa bibliográfica de material já elaborado,
constituído principalmente de livros e artigos científicos onde foram consultadas
base de dados digitais de acesso livre. No primeiro momento foram abordados
aspectos epistemológicos e didáticos relacionados ao ensino de álgebra, em
seguida fala-se sobre o ensino de álgebra no Brasil com o surgimento das
primeiras concepções do ensino de álgebra e por fim abordam-se segundo os
PCN, os novos direcionamentos do ensino de álgebra como também quais as
atuais tendências do ensino de matemática que poderiam contribuir para o
trabalho do professor no ensino de álgebra. Pôde-se perceber que as novas
tendências metodológicas de ensino surgem com a função de proporcionar
uma nova roupagem não somente ao ensino de álgebra, mas o ensino como
um todo, proporcionando assim os resultados que se espera da educação
atual: formar cidadãos críticos, reflexivos e atuantes.
Palavras-chave. Álgebra. Ensino e Aprendizagem. Pensamento algébrico.
INTRODUÇÃO
São perceptíveis em salas de aulas os inúmeros insucessos de alunos
no campo da álgebra como também a persistência dos mesmos erros
cometidos por eles. Essa problemática vem impulsionando pesquisas nas
áreas educacionais para saber como, onde e por que ou até mesmo analisar-
1
Licenciado no curso de Matemática da Universidade Federal do Piaui.
2
Matemático, Neuropsicólogo, Especialista em Educação Especial e em Educação das
Relações Étnico-Raciais. Orientador de TCC do Grupo UNINTER.
2
se em qual contexto surge tais dificuldades no ensino e aprendizagem de
álgebra. De acordo com os Parâmetros Curriculares Nacionais (PCNs de
Matemática), nos resultados do Sistema Nacional de Avaliação da Educação
Básica, por exemplo, os itens referentes à álgebra raramente atingem um
índice de 40% de acertos em muitas regiões do país (Brasil, 1998, p.115-116).
Segundo Kikuch (2012 p.8) “os índices de erros cometidos por alunos do
ensino fundamental em países como Inglaterra e os Estados Unidos, em
problemas relacionados à Álgebra, aproximam-se da realidade brasileira”.
Santos e Almeida (2015, p.543) mencionam que apesar de “diferentes estudos
(FALCÃO, 1996; POMERANTSEV; KOROSTELEVA, 2002; TELES, 2004),
porém, não conseguem delimitar com a devida clareza os tipos de obstáculos
que poderiam explicar a origem dos erros e dificuldades apontados”.
Brousseau (1976, 2000) citado por Kikuch (2012 p.42-44) explica que “esses
obstáculos podem ter origem epistemológicas ou didáticas e conhecê-los seria
um importante passo para compreender estas dificuldades”.
As tendências metodológicas de ensino que surgiram ao longo do
tempo contribuem fortemente para o aparecimento destes obstáculos
epistemológicos e didáticos hoje. Nestas tendências, teoricamente, estão as
diretrizes que podem nortear o trabalho do professor em sala de aula, prova
disto é que se veem professores do século XXI utilizando-se de metodologias
ou tendências do século XIX. Em síntese pode-se afirmar que o trabalho do
professor é influenciado por novas e velhas metodologias e que a maneira
como o professor conduz as atividades relacionadas à álgebra pode contribuir
para o sucesso ou fracasso dos alunos na apropriação dos conhecimentos
matemáticos. Saviani (2009) citado por Ferreira (2014, p. 12) nos diz que “a
universidade não se interessa pela formação de professores, o que se quer
dizer é que ela não se preocupa com o preparo pedagógico-didático dos
professores”, sabe-se que isso é decisivo para atuação do docente, pois se
espera que este profissional chegue à sala de aula com todas as habilidades e
competência para exercer a função e conseguir superar os obstáculos
encontrados no ambiente que vai atuar.
Questiona-se a final, qual tendência do ensino de matemática aflora
hoje no contexto escolar? Quais obstáculos, epistemológico ou didático,
prevalecem na prática docente hoje no ensino de álgebra? Este trabalho tem
3
por objetivo geral mostrar um pouco do histórico das concepções que foram
surgindo ao longo dos anos e sua influência no ensino, como também analisar
de forma mais específica as influências destas concepções no ensino de
álgebra. A metodologia utilizada neste trabalho baseia-se nos conceitos e
definições de pesquisa bibliográfica de materiais já elaborados, constituídos
principalmente de livros e artigos científicos onde foram consultadas base de
dados digitais de acesso livre cujo tema principal seria o ensino/aprendizagem
de álgebra. No primeiro momento foram abordados os aspectos
epistemológicos e didácticos relacionados ao ensino de álgebra tendo como
fundamentação os trabalhos de Gaston Bachelard, Vygotsky, Piaget e Guy
Brousseau, em seguida fala-se sobre o ensino de álgebra no Brasil com o
surgimento das primeiras concepções do ensino de álgebra classificadas por
Fiorentini, Miorim, Miguel em linguística-pragmática, fundamentalista-estrutural,
fundamentalista-estrutural observando-se também as novas tendências que
foram surgindo após estas. Por fim abordam-se segundo os PCN, os novos
direcionamentos do ensino de álgebra e quais as atuais tendências do ensino
de matemática que poderiam contribuir para o trabalho do professor no ensino
de álgebra.
Aspectos epistemológicos e didácticos relacionados ao ensino de
álgebra
Grandes teóricos como Gaston Bachelard (1996), Vygotsky (1989)
Piaget (1971), Guy Brousseau (1976) contemplam em suas obras os caminhos
para se compreender a complexidade envolvida no desenvolvimento do ser
humano no que diz respeito a sua aprendizagem no mundo. Da análise sucinta
de algumas de suas contribuições compreende-se facilmente que: Na fase
Operatório-formal o indivíduo tem estrutura psicológica para se compreender
algo abstrato (PIAGET, 1971), cita-se como exemplo a simbologia algébrica e o
significado abstrato dado a essa simbologia. Já para Vygotsky (1989) outro
elemento importante na aprendizagem seria que a formação da linguagem e
pensamento são interdependentes, mas ambos revezam-se na formação um
do outro, portanto elementos indispensáveis ao ensino de álgebra. Outro ponto
4
citado agora por Brousseau (1976) seria a importância do professor como um
pesquisador de sua prática, ter a capacidade de reconhecer os obstáculos
epistemológicos envolvidos no ensino/aprendizagem, pois ao constatá-los o
professor passará a ver “os erros” como aliados e não mais como mera
incapacidade do aluno.
O ensino de álgebra no Brasil
De acordo com Miguel, Fiorentini e Miorim (1992) citado por ARAUJO
(2008), desde 1799 até o início da década de 1960, período em que a álgebra
ganha espaço no currículo da escola brasileira, “prevaleceu um ensino de
caráter reprodutivo, sem clareza, em que tudo era essencial”. Nesse período,
ainda segundo aos autores Fiorentini, Miorim, Miguel (1993) o desenvolvimento
do ensino de álgebra no Brasil passou por três fases: as concepções
chamadas de linguística-pragmática, fundamentalista-estrutural,
fundamentalista analógica.
Na concepção linguística-pragmática acreditava-se que a aquisição do
conhecimento algébrico se dava, necessariamente, pelo desenvolvimento de
técnicas requeridas pelo “transformismo algébrico” e que pouco importava a
natureza verídica ou o grau de relevância de tais problemas algébricos, o
importante seria seguir a “sequência de tópicos já definidos”, fazendo
operações com as expressões algébricas, chegando a uma equação para
resolver o problema.
a crença de que a aquisição, ainda que mecânica, das técnicas
requeridas pelo ‘transformismo algébrico’ seria necessária e
suficiente para que o aluno adquirisse a capacidade de resolver
problemas, ainda que esses problemas fossem, quase sempre,
artificiais, no sentido de que não era a natureza e relevância deles
que determinavam os conteúdos algébricos a serem aprendidos, mas
a forma como ‘fabricar’ um problema para cuja solução tais e tais
tópicos, tidos como indispensáveis, deveriam ser utilizados
(FIORENTINI; MIORIM; MIGUEL, 1993, p. 83-84).
Já na segunda concepção, “fundamentalista-estrutural”, “predominante
nas décadas de 1970 e 1980, trouxe consigo uma nova forma de interpretar a
álgebra no ensino, tendo por base as propriedades estruturais, que serviam
5
para fundamentar e justificar as passagens do transformismo algébrico”
(FIORENTINI; FERNANDES; CRISTOVÃO, 2005, p. 4). Essa concepção surge
em meio ao Movimento da Matemática Moderna, movimento que tinha como
objetivo não somente superar os processos mecânicos e reprodutivos de
ensino de álgebra, mas também destacar o papel “fundamentador” da álgebra
em vários campos da matemática aplicada nas escolas.
Após o declínio do Movimento da Matemática Moderna ainda na
década de 70, surge a terceira concepção também chamada de
“fundamentalista analógica” que teria como fundamentação as duas
concepções já mencionada. O caráter instrumental e fundamentalista
predominaram nessa concepção, porém destacou-se a utilização de outros
recursos analógicos como: blocos de madeira, figuras geométricas ou balança
para visualizar ou justificar as passagens do transformismo algébrico.
Em síntese, as três concepções se encaminham a um pensamento
algébrico comum, o transformismo algébrico, ponto didaticamente negativo
citado por (FIORENTINI; MIORIM; MIGUEL, 1993 p.84).
Fazendo, enfim, uma síntese comparativa entre essas três
concepções de Educação Algébrica, podemos defender aqui a tese
de que o ponto comum, e aí nosso ver didaticamente negativo,
existente entre elas é a redução do pensamento algébrico à
linguagem algébrica. De fato, todas essas concepções de Educação
Algébrica tomam como ponto de partida a existência de uma álgebra
simbólica já constituída. Em todos esses casos, o ensino-
aprendizagem da álgebra reduz-se ao “transformismo algébrico”.
Os trabalhos de Lima Borba e Da Rocha Falcão (2004) citados por
Abraão (2009, p.17) identificaram duas concepções do ensino de álgebra
presentes nos professores de matemática. A primeira refere-se à álgebra como
generalização da aritmética e a segunda como campo da matemática
essencialmente abstrato. Araujo (2009, p. 275) em sua tese compara o ensino
de álgebra no Brasil e na França, concluindo a partir das análises dos
documentos oficiais e dos livros didático que “na França o ensino de conteúdos
algébricos é contemplado nos domínios dos números e cálculos, com também
na organização e gestão de dados” e que no Brasil apesar de possuir o mesmo
domínio, número e cálculos, tem como objetivo “levar os alunos a reconhecer
as diferentes funções da álgebra (aritmética generalizada, funcional e
equações estrutural)”.
6
Novos direcionamentos do ensino de álgebra
“Para uma tomada de decisões a respeito do ensino da Álgebra, deve-
se ter, evidentemente, clareza de seu papel no currículo, além da reflexão de
como a criança e o adolescente constroem o conhecimento matemático”
(BRASIL, 1998, p.116).
Nos PCNs encontra-se uma síntese das possíveis interpretações no
campo algébrico, (figura.1).
(figura 1). Brasil, 1998, p.116
Porém apesar de os PCN indicarem as diferentes interpretações da
Álgebra como: Aritmética Generalizada, Funcional, Equações e Estrutura este
documento não deixa claro as técnicas utilizáveis para o desenvolvimento da
aprendizagem no campo da álgebra como afirma Araujo (2009).
Embora os PCN atribuam aos procedimentos (técnicos) o status de
conteúdo, no caso da álgebra, como se pode observar [...] este
documento não sugere nem explica quais são os procedimentos a
serem elaborados (por alunos e professores) para resolver a grande
maioria dos tipos de tarefas apontados. Isto é, em termos de
praxeologias, os PCN não explicam quais são as técnicas existentes
para realizar grande parte dos diferentes tipos de tarefas proposta
para a aprendizagem de conteúdos algébricos. (ARAUJO 2009, p.
99).
7
Concorda-se que neste ponto a falta de caminho ou técnicas para
nortear os professores no trabalho de conceitos algébricos acaba por forçá-los
a recorrerem às suas próprias concepções de como ensinar a álgebra ou
mesmo a se prenderem a roteiros ou os “passo a passo” dos livros didáticos.
Nesses casos acabam por não terem habilidades e competências necessárias
para o ensino de matemática, fatos estes comprovados através de teste onde
“os resultados obtidos com a análise das resoluções revelam que os
professores desconhecem conteúdos básicos de Matemática do Ensino
Fundamental” (LAUTENSCHLAGER & RIBEIRO, 2014). Já em outro trabalho
os “resultados apontam que os licenciandos encontram dificuldades em
perceber indícios de pensamento algébrico nas respostas dos alunos da
educação básica” (SANTOS & ALMEIDA, 2015), ou seja, se a resposta não for
em “linguagem simbólica formal” então o aluno não está pensando
algebricamente.
D’Ambrosio (1993) citado por Silveira & Miola (2008, p.50) afirma que
“a matemática é a única disciplina ensinada aproximadamente da mesma
maneira e com o mesmo conteúdo para todas as crianças do mundo”. Para
esta afirmação além de ignorar-se o fator cultural fica evidente a utilização de
modelos universais de ensino e que de nada servem se estão fora do contexto
ou época da qual foram criados. Mostrando-se assim a necessidade de se
buscar reverter esse quadro atual, não somente do ensino de álgebra, mais do
ensino de matemática como um todo.
“Grupos de estudos foram criados em meados dos anos 70 visando
uma melhoria qualitativa no ensino de matemática, buscando novos rumos aos
problemas impulsionados pela democratização e o aumento de matrículas”
(SILVEIRA & MIOLA, 2008, p.51). Ainda segundo os autores, as pesquisas
impulsionaram o surgimento das seguintes tendências ou metodologias:
resolução de problemas; modelagem matemática; etnomatemática; história da
matemática; tecnologia da informação e comunicação; jogos na Educação
Matemática e investigação em sala de aula.
Apesar dessas linhas de pesquisas poucos trabalhos foram
direcionados realmente ao ensino de álgebra, “só a partir dos anos 80 é que se
8
intensificam as pesquisas em educação matemática com o objetivo de
entender os processos de ensino e aprendizagem da álgebra” (SANTOS &
ALMEIDA, 2015 p.549). Ainda segundo Santos & Almeida (2015) atualmente já
se percebe uma maior preocupação com o ensino de álgebra, isso é verificado
no aumento gradativo do número de artigos produzidos e apresentados no
Encontro Nacional de Educação Matemática (ENEM) de 2001 a 2013.
Gráfico 1. Números de artigos apresentados nos ENEM sobre educação algébrica.
Fonte: (Santos & Almeida p. 549)
As linhas de pesquisa desses artigos apresentados foram: Construção
de significado em álgebra; Uso das TIC no ensino da álgebra; Álgebra e
formação de professores; Representações algébricas. Já o levantamento
bibliográfico feito por Silvia et al (2013) trazem uma visão quantitativa e
qualitativa relativa às pesquisas com foco no ensino-aprendizagem da álgebra
no ensino fundamental destacando as principais linhas de pesquisa produzidas
de 2000 a 2012: formação de professores, teorias psicológicas e educacionais,
aplicação de técnicas, estudos empíricos, dentre outros que também segundo
os autores enriquece e oportuniza diversidade em futuros estudos.
De fato, já é considerável o grande número de pesquisas, todavia as
realidades em salas de aulas ainda não refletem esses números tão favoráveis.
Dentre todas as linhas de pesquisas a que mais se destaca atualmente como
uma das principais tendências do ensino de matemática é a resolução de
problema. “O Movimento da Educação Matemática Realista, criado pelo
alemão Hans Freudenthal no final da década de 60 baseava-se na ideia de que
os problemas deveriam partir preferencialmente do contexto dos alunos”
(WACHILISKI, 2012, p. 28). Nesta linha de pesquisa têm-se alguns nomes de
9
referência como o húngaro George Polya com sua publicação que após
tradução em 1977 denominou-se de A arte de resolver problemas. Para este
autor quatro fases auxiliam o aluno na resolução de problemas, a saber:
● Compreensão do problema: nesta fase o aluno deve identificar os dados
do problema, a incógnita, a condicionante do problema, entre outros.
● Estabelecimento de um plano: nesta fase o aluno deve encontrar a
conexão entre os dados e a incógnita, considerar problemas auxiliares se
não puder encontrar uma conexão imediata e chegar a um plano para a
resolução.
● Execução do plano: nesta fase o aluno executa o plano passo a passo
empregando estratégias e métodos adequados para resolução do
problema.
● Retrospecto: fase em que o aluno faz uma revisão com a intenção de
validar todos os passos empregados e certificar-se que nenhum tenha sido
esquecido ou realizado indevidamente.
Outro nome de destaque seria ‘’Butts (1997) que em seu artigo
apresentado em NCTM em 1980 e que tem como título Fundamentando
problemas adequadamente, nos traz cinco tipos ou categorias de
problemas’’(WACHILISKI 2012, p. 34). Butts, para muitos pesquisadores, é
considerado extremamente didático, cita ainda o autor.
A seguir se tem a definição e alguns exemplos das categorias de Butts
que facilmente poderiam ser aplicados ao ensino de álgebra e que também
ajudaria a romper, não de forma brusca, mas gradativas o modelo atual de
ensino, proporcionando assim diferentes abordagens dos conteúdos de
álgebra.
Tipos ou categorias
CATEGORIAS EXEMPLO
Exercícios de Reconhecimento:
exercícios onde os alunos apenas
necessitam recordar um fato, uma definição
Qual das expressões é chamada de polinômio
do 2º grau?
a) x2-2x+1 b) 3y5+6x c) 13x-739
10
ou um teorema;
Exercício Algorítmicos: todo aquele
que se resolve passo a passo seja por meio
de operações matemáticas, procedimentos
sequenciais, transformações algébricas ou
cálculos numéricos.
Desenvolva os seguintes produtos notáveis:
a) (3x + 2)2
b) (2y 6).(2y + 6) c) (x5
+ 2y2
)2
Problemas de aplicação: exercícios
presente no ensino tradicional Matemático e
que muitas vezes são resolvidos por
algoritmos.
Em um estacionamento há carros e motos,
num total de 79 veículos e 248 rodas. Qual o
número de motos e carros no
estacionamento?
x→Carro y→Moto
Problemas de pesquisa aberta:
exercícios sem palavras chaves para
resolução ou expressões que indique sua
solução. Exercícios que admitem soluções
distintas.
Encontre um valor inteiro que satisfaça a
seguinte inequação:
-x2 + 7x – 10 ≥ 0 2,3,4 ou 5
S ={ xϵ R/ 2 ≤ x ≤ 5 }
Situações–problema: situações às
vezes relacionadas com outras áreas
aproximando o aluno da realidade,
desenvolvendo a autonomia e sua
capacidade e habilidade para solucionar algo
em seu contexto.
Um Barbeiro se dirigiu até mim com um pedido
inesperado:
- Não poderia o senhor resolver-nos uns
problemas?
- Temos duas soluções de água oxigenada:
uma 30% e outra de 3%. Devemos misturá-las
de forma a obter uma solução a 12%, porém
não conseguimos encontrar a proporção certa.
.
METODOLOGIA
A metodologia utilizada neste trabalho se caracteriza como pesquisa
bibliográfica que de acordo com Gil (2008, p. 50) “é desenvolvida a partir de
material já elaborado, constituído principalmente de livros e artigos científicos”.
Foram consultados vários bancos digitais de domínio público como: A
Revista Científica Eletrônica EM TEIA, EMP, como também as bases de dados:
biblioteca digital ufmg; Biblioteca Digital de Teses e Dissertações da USP;
Revistas Eletrônicas da PUC-SP. Em cada base de dados foram feitas
11
consultas por palavras chaves como “ensino de matemática”, onde se
confirmou um grande número de trabalhos realizados. Para delimitar,
utilizaram-se palavras como “ensino de álgebra” e “álgebra” onde surgiram
trabalhos com temas mais relevantes para a pesquisa.
Após o delineamento da base de dados, realizou-se uma leitura
“exploratória” de todo o material selecionado, (resumos e introduções), como
também as leituras “seletiva” e “analítica” com o objetivo de se ter,
respectivamente, “uma leitura mais aprofundada das partes que realmente
interessam” como também se ter “à identificação das ideias-chaves do texto, à
sua ordenação e finalmente à sua síntese” (GIL, 2008, p.75). Após o
fechamento dessas etapas inicia-se a organização das ideias encontradas e
relacionando-as com a problemática da pesquisa.
CONSIDERAÇÕES FINAIS
Ao se observar a evolução das concepções metodológicas ao longo do
tempo não há dúvidas de que as pesquisas relacionadas ao ensino de
matemática vêm a cada dia avançando e proporcionando novas descobertas
para o ensino de modo geral, no entanto das pesquisas realizadas no campo
da matemática para o ensino de álgebra ficou perceptível que há um longo
caminho a ser percorrido até se chegar a um ensino-aprendizagem mais
significativo. Pode-se dizer ainda que as mudanças esperadas em salas de
aula não ocorrem com o mesmo entusiasmo em que são feitas as pesquisas
nestas áreas, talvez por se tratar de uma abordagem mais complexa.
O fato é que o papel do pesquisador frente a esta problemática pelo
que se pôde observar é de grande valia, pois sem pesquisas não haverá
avanços e assim fica-se sujeito aos conhecimentos já descobertos e dados
como verdade absoluta. Vale ressaltar também a importância de se estar a par
das evoluções ocorridas no ensino aprendizagem, atentar-se também que hoje
ser professor exige-se que este profissional tenha uma base de conhecimento
referente a outras áreas de ensino como a psicologia, filosofia e sociologia,
visto que analisando tais concepções citadas por Fiorentini et al fica evidente
que o aluno não é colocado como o centro do processo, um erro como este
12
considerado gravíssimo cometido por professores também atualmente. Hoje já
se sabe que os fatores culturais e psicológicos permeiam as salas de aula,
portanto o aluno é um ser crítico, reflexivo e atuante em seu contexto e não
colocá-lo como ser ativo no processo é negar a existência de tais fatores.
Em síntese, entender todo o processo de desenvolvimento do ensino
de álgebra ao longo do tempo pode tanto auxiliar o professor a compreender a
complexidade envolvida neste processo de ensino-aprendizagem como
também proporcionar-lhe a liberdade de buscar e aplicar métodos aos quais
possam possibilitar verdadeiramente a construção do pensamento algébrico
por parte dos alunos.
As novas tendências metodológicas de ensino surgem com a função de
proporcionar uma nova roupagem ao ensino, não somente na esfera intelectual
das tendências, mas sim como ferramenta para alcançar os resultados que se
espera da educação atual: formar cidadãos críticos, reflexivos e atuantes.
Conclui-se este trabalho com o objetivo de trazer uma reflexão ao contexto em
que se encontra a educação no ensino de álgebra, por conseguinte mostrar
também que para um bom desempenho na área docente deve-se “Identificar
as formas mais desenvolvidas em que se expressa o saber produzido
historicamente, reconhecendo as condições de sua produção e
compreendendo as suas principais manifestações, bem como as tendências
atuais de transformação”. (SAVIANI, 1944, p. 8)
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O ENSINO DE ÁLGEBRA FRENTE ÀS NOVAS CONCEPÇÕES METODOLÓGICAS DO ENSINO DE MATEMÁTICA

  • 1. O ENSINO DE ÁLGEBRA FRENTE ÀS NOVAS CONCEPÇÕES METODOLÓGICAS DO ENSINO DE MATEMÁTICA SILVA, Robson Santana da1 KUHLKAMP, Moacir Cesar2 RESUMO Este trabalho tem como meta principal descobrir as influências das concepções do ensino de álgebra no Brasil através de uma análise dos obstáculos epistemológicos e didáticos presentes no processo de ensino de álgebra desde as primeiras ideias de concepções de ensino de álgebra até o surgimento das novas tendências no ensino de matemática. A metodologia utilizada neste trabalho se caracteriza como pesquisa bibliográfica de material já elaborado, constituído principalmente de livros e artigos científicos onde foram consultadas base de dados digitais de acesso livre. No primeiro momento foram abordados aspectos epistemológicos e didáticos relacionados ao ensino de álgebra, em seguida fala-se sobre o ensino de álgebra no Brasil com o surgimento das primeiras concepções do ensino de álgebra e por fim abordam-se segundo os PCN, os novos direcionamentos do ensino de álgebra como também quais as atuais tendências do ensino de matemática que poderiam contribuir para o trabalho do professor no ensino de álgebra. Pôde-se perceber que as novas tendências metodológicas de ensino surgem com a função de proporcionar uma nova roupagem não somente ao ensino de álgebra, mas o ensino como um todo, proporcionando assim os resultados que se espera da educação atual: formar cidadãos críticos, reflexivos e atuantes. Palavras-chave. Álgebra. Ensino e Aprendizagem. Pensamento algébrico. INTRODUÇÃO São perceptíveis em salas de aulas os inúmeros insucessos de alunos no campo da álgebra como também a persistência dos mesmos erros cometidos por eles. Essa problemática vem impulsionando pesquisas nas áreas educacionais para saber como, onde e por que ou até mesmo analisar- 1 Licenciado no curso de Matemática da Universidade Federal do Piaui. 2 Matemático, Neuropsicólogo, Especialista em Educação Especial e em Educação das Relações Étnico-Raciais. Orientador de TCC do Grupo UNINTER.
  • 2. 2 se em qual contexto surge tais dificuldades no ensino e aprendizagem de álgebra. De acordo com os Parâmetros Curriculares Nacionais (PCNs de Matemática), nos resultados do Sistema Nacional de Avaliação da Educação Básica, por exemplo, os itens referentes à álgebra raramente atingem um índice de 40% de acertos em muitas regiões do país (Brasil, 1998, p.115-116). Segundo Kikuch (2012 p.8) “os índices de erros cometidos por alunos do ensino fundamental em países como Inglaterra e os Estados Unidos, em problemas relacionados à Álgebra, aproximam-se da realidade brasileira”. Santos e Almeida (2015, p.543) mencionam que apesar de “diferentes estudos (FALCÃO, 1996; POMERANTSEV; KOROSTELEVA, 2002; TELES, 2004), porém, não conseguem delimitar com a devida clareza os tipos de obstáculos que poderiam explicar a origem dos erros e dificuldades apontados”. Brousseau (1976, 2000) citado por Kikuch (2012 p.42-44) explica que “esses obstáculos podem ter origem epistemológicas ou didáticas e conhecê-los seria um importante passo para compreender estas dificuldades”. As tendências metodológicas de ensino que surgiram ao longo do tempo contribuem fortemente para o aparecimento destes obstáculos epistemológicos e didáticos hoje. Nestas tendências, teoricamente, estão as diretrizes que podem nortear o trabalho do professor em sala de aula, prova disto é que se veem professores do século XXI utilizando-se de metodologias ou tendências do século XIX. Em síntese pode-se afirmar que o trabalho do professor é influenciado por novas e velhas metodologias e que a maneira como o professor conduz as atividades relacionadas à álgebra pode contribuir para o sucesso ou fracasso dos alunos na apropriação dos conhecimentos matemáticos. Saviani (2009) citado por Ferreira (2014, p. 12) nos diz que “a universidade não se interessa pela formação de professores, o que se quer dizer é que ela não se preocupa com o preparo pedagógico-didático dos professores”, sabe-se que isso é decisivo para atuação do docente, pois se espera que este profissional chegue à sala de aula com todas as habilidades e competência para exercer a função e conseguir superar os obstáculos encontrados no ambiente que vai atuar. Questiona-se a final, qual tendência do ensino de matemática aflora hoje no contexto escolar? Quais obstáculos, epistemológico ou didático, prevalecem na prática docente hoje no ensino de álgebra? Este trabalho tem
  • 3. 3 por objetivo geral mostrar um pouco do histórico das concepções que foram surgindo ao longo dos anos e sua influência no ensino, como também analisar de forma mais específica as influências destas concepções no ensino de álgebra. A metodologia utilizada neste trabalho baseia-se nos conceitos e definições de pesquisa bibliográfica de materiais já elaborados, constituídos principalmente de livros e artigos científicos onde foram consultadas base de dados digitais de acesso livre cujo tema principal seria o ensino/aprendizagem de álgebra. No primeiro momento foram abordados os aspectos epistemológicos e didácticos relacionados ao ensino de álgebra tendo como fundamentação os trabalhos de Gaston Bachelard, Vygotsky, Piaget e Guy Brousseau, em seguida fala-se sobre o ensino de álgebra no Brasil com o surgimento das primeiras concepções do ensino de álgebra classificadas por Fiorentini, Miorim, Miguel em linguística-pragmática, fundamentalista-estrutural, fundamentalista-estrutural observando-se também as novas tendências que foram surgindo após estas. Por fim abordam-se segundo os PCN, os novos direcionamentos do ensino de álgebra e quais as atuais tendências do ensino de matemática que poderiam contribuir para o trabalho do professor no ensino de álgebra. Aspectos epistemológicos e didácticos relacionados ao ensino de álgebra Grandes teóricos como Gaston Bachelard (1996), Vygotsky (1989) Piaget (1971), Guy Brousseau (1976) contemplam em suas obras os caminhos para se compreender a complexidade envolvida no desenvolvimento do ser humano no que diz respeito a sua aprendizagem no mundo. Da análise sucinta de algumas de suas contribuições compreende-se facilmente que: Na fase Operatório-formal o indivíduo tem estrutura psicológica para se compreender algo abstrato (PIAGET, 1971), cita-se como exemplo a simbologia algébrica e o significado abstrato dado a essa simbologia. Já para Vygotsky (1989) outro elemento importante na aprendizagem seria que a formação da linguagem e pensamento são interdependentes, mas ambos revezam-se na formação um do outro, portanto elementos indispensáveis ao ensino de álgebra. Outro ponto
  • 4. 4 citado agora por Brousseau (1976) seria a importância do professor como um pesquisador de sua prática, ter a capacidade de reconhecer os obstáculos epistemológicos envolvidos no ensino/aprendizagem, pois ao constatá-los o professor passará a ver “os erros” como aliados e não mais como mera incapacidade do aluno. O ensino de álgebra no Brasil De acordo com Miguel, Fiorentini e Miorim (1992) citado por ARAUJO (2008), desde 1799 até o início da década de 1960, período em que a álgebra ganha espaço no currículo da escola brasileira, “prevaleceu um ensino de caráter reprodutivo, sem clareza, em que tudo era essencial”. Nesse período, ainda segundo aos autores Fiorentini, Miorim, Miguel (1993) o desenvolvimento do ensino de álgebra no Brasil passou por três fases: as concepções chamadas de linguística-pragmática, fundamentalista-estrutural, fundamentalista analógica. Na concepção linguística-pragmática acreditava-se que a aquisição do conhecimento algébrico se dava, necessariamente, pelo desenvolvimento de técnicas requeridas pelo “transformismo algébrico” e que pouco importava a natureza verídica ou o grau de relevância de tais problemas algébricos, o importante seria seguir a “sequência de tópicos já definidos”, fazendo operações com as expressões algébricas, chegando a uma equação para resolver o problema. a crença de que a aquisição, ainda que mecânica, das técnicas requeridas pelo ‘transformismo algébrico’ seria necessária e suficiente para que o aluno adquirisse a capacidade de resolver problemas, ainda que esses problemas fossem, quase sempre, artificiais, no sentido de que não era a natureza e relevância deles que determinavam os conteúdos algébricos a serem aprendidos, mas a forma como ‘fabricar’ um problema para cuja solução tais e tais tópicos, tidos como indispensáveis, deveriam ser utilizados (FIORENTINI; MIORIM; MIGUEL, 1993, p. 83-84). Já na segunda concepção, “fundamentalista-estrutural”, “predominante nas décadas de 1970 e 1980, trouxe consigo uma nova forma de interpretar a álgebra no ensino, tendo por base as propriedades estruturais, que serviam
  • 5. 5 para fundamentar e justificar as passagens do transformismo algébrico” (FIORENTINI; FERNANDES; CRISTOVÃO, 2005, p. 4). Essa concepção surge em meio ao Movimento da Matemática Moderna, movimento que tinha como objetivo não somente superar os processos mecânicos e reprodutivos de ensino de álgebra, mas também destacar o papel “fundamentador” da álgebra em vários campos da matemática aplicada nas escolas. Após o declínio do Movimento da Matemática Moderna ainda na década de 70, surge a terceira concepção também chamada de “fundamentalista analógica” que teria como fundamentação as duas concepções já mencionada. O caráter instrumental e fundamentalista predominaram nessa concepção, porém destacou-se a utilização de outros recursos analógicos como: blocos de madeira, figuras geométricas ou balança para visualizar ou justificar as passagens do transformismo algébrico. Em síntese, as três concepções se encaminham a um pensamento algébrico comum, o transformismo algébrico, ponto didaticamente negativo citado por (FIORENTINI; MIORIM; MIGUEL, 1993 p.84). Fazendo, enfim, uma síntese comparativa entre essas três concepções de Educação Algébrica, podemos defender aqui a tese de que o ponto comum, e aí nosso ver didaticamente negativo, existente entre elas é a redução do pensamento algébrico à linguagem algébrica. De fato, todas essas concepções de Educação Algébrica tomam como ponto de partida a existência de uma álgebra simbólica já constituída. Em todos esses casos, o ensino- aprendizagem da álgebra reduz-se ao “transformismo algébrico”. Os trabalhos de Lima Borba e Da Rocha Falcão (2004) citados por Abraão (2009, p.17) identificaram duas concepções do ensino de álgebra presentes nos professores de matemática. A primeira refere-se à álgebra como generalização da aritmética e a segunda como campo da matemática essencialmente abstrato. Araujo (2009, p. 275) em sua tese compara o ensino de álgebra no Brasil e na França, concluindo a partir das análises dos documentos oficiais e dos livros didático que “na França o ensino de conteúdos algébricos é contemplado nos domínios dos números e cálculos, com também na organização e gestão de dados” e que no Brasil apesar de possuir o mesmo domínio, número e cálculos, tem como objetivo “levar os alunos a reconhecer as diferentes funções da álgebra (aritmética generalizada, funcional e equações estrutural)”.
  • 6. 6 Novos direcionamentos do ensino de álgebra “Para uma tomada de decisões a respeito do ensino da Álgebra, deve- se ter, evidentemente, clareza de seu papel no currículo, além da reflexão de como a criança e o adolescente constroem o conhecimento matemático” (BRASIL, 1998, p.116). Nos PCNs encontra-se uma síntese das possíveis interpretações no campo algébrico, (figura.1). (figura 1). Brasil, 1998, p.116 Porém apesar de os PCN indicarem as diferentes interpretações da Álgebra como: Aritmética Generalizada, Funcional, Equações e Estrutura este documento não deixa claro as técnicas utilizáveis para o desenvolvimento da aprendizagem no campo da álgebra como afirma Araujo (2009). Embora os PCN atribuam aos procedimentos (técnicos) o status de conteúdo, no caso da álgebra, como se pode observar [...] este documento não sugere nem explica quais são os procedimentos a serem elaborados (por alunos e professores) para resolver a grande maioria dos tipos de tarefas apontados. Isto é, em termos de praxeologias, os PCN não explicam quais são as técnicas existentes para realizar grande parte dos diferentes tipos de tarefas proposta para a aprendizagem de conteúdos algébricos. (ARAUJO 2009, p. 99).
  • 7. 7 Concorda-se que neste ponto a falta de caminho ou técnicas para nortear os professores no trabalho de conceitos algébricos acaba por forçá-los a recorrerem às suas próprias concepções de como ensinar a álgebra ou mesmo a se prenderem a roteiros ou os “passo a passo” dos livros didáticos. Nesses casos acabam por não terem habilidades e competências necessárias para o ensino de matemática, fatos estes comprovados através de teste onde “os resultados obtidos com a análise das resoluções revelam que os professores desconhecem conteúdos básicos de Matemática do Ensino Fundamental” (LAUTENSCHLAGER & RIBEIRO, 2014). Já em outro trabalho os “resultados apontam que os licenciandos encontram dificuldades em perceber indícios de pensamento algébrico nas respostas dos alunos da educação básica” (SANTOS & ALMEIDA, 2015), ou seja, se a resposta não for em “linguagem simbólica formal” então o aluno não está pensando algebricamente. D’Ambrosio (1993) citado por Silveira & Miola (2008, p.50) afirma que “a matemática é a única disciplina ensinada aproximadamente da mesma maneira e com o mesmo conteúdo para todas as crianças do mundo”. Para esta afirmação além de ignorar-se o fator cultural fica evidente a utilização de modelos universais de ensino e que de nada servem se estão fora do contexto ou época da qual foram criados. Mostrando-se assim a necessidade de se buscar reverter esse quadro atual, não somente do ensino de álgebra, mais do ensino de matemática como um todo. “Grupos de estudos foram criados em meados dos anos 70 visando uma melhoria qualitativa no ensino de matemática, buscando novos rumos aos problemas impulsionados pela democratização e o aumento de matrículas” (SILVEIRA & MIOLA, 2008, p.51). Ainda segundo os autores, as pesquisas impulsionaram o surgimento das seguintes tendências ou metodologias: resolução de problemas; modelagem matemática; etnomatemática; história da matemática; tecnologia da informação e comunicação; jogos na Educação Matemática e investigação em sala de aula. Apesar dessas linhas de pesquisas poucos trabalhos foram direcionados realmente ao ensino de álgebra, “só a partir dos anos 80 é que se
  • 8. 8 intensificam as pesquisas em educação matemática com o objetivo de entender os processos de ensino e aprendizagem da álgebra” (SANTOS & ALMEIDA, 2015 p.549). Ainda segundo Santos & Almeida (2015) atualmente já se percebe uma maior preocupação com o ensino de álgebra, isso é verificado no aumento gradativo do número de artigos produzidos e apresentados no Encontro Nacional de Educação Matemática (ENEM) de 2001 a 2013. Gráfico 1. Números de artigos apresentados nos ENEM sobre educação algébrica. Fonte: (Santos & Almeida p. 549) As linhas de pesquisa desses artigos apresentados foram: Construção de significado em álgebra; Uso das TIC no ensino da álgebra; Álgebra e formação de professores; Representações algébricas. Já o levantamento bibliográfico feito por Silvia et al (2013) trazem uma visão quantitativa e qualitativa relativa às pesquisas com foco no ensino-aprendizagem da álgebra no ensino fundamental destacando as principais linhas de pesquisa produzidas de 2000 a 2012: formação de professores, teorias psicológicas e educacionais, aplicação de técnicas, estudos empíricos, dentre outros que também segundo os autores enriquece e oportuniza diversidade em futuros estudos. De fato, já é considerável o grande número de pesquisas, todavia as realidades em salas de aulas ainda não refletem esses números tão favoráveis. Dentre todas as linhas de pesquisas a que mais se destaca atualmente como uma das principais tendências do ensino de matemática é a resolução de problema. “O Movimento da Educação Matemática Realista, criado pelo alemão Hans Freudenthal no final da década de 60 baseava-se na ideia de que os problemas deveriam partir preferencialmente do contexto dos alunos” (WACHILISKI, 2012, p. 28). Nesta linha de pesquisa têm-se alguns nomes de
  • 9. 9 referência como o húngaro George Polya com sua publicação que após tradução em 1977 denominou-se de A arte de resolver problemas. Para este autor quatro fases auxiliam o aluno na resolução de problemas, a saber: ● Compreensão do problema: nesta fase o aluno deve identificar os dados do problema, a incógnita, a condicionante do problema, entre outros. ● Estabelecimento de um plano: nesta fase o aluno deve encontrar a conexão entre os dados e a incógnita, considerar problemas auxiliares se não puder encontrar uma conexão imediata e chegar a um plano para a resolução. ● Execução do plano: nesta fase o aluno executa o plano passo a passo empregando estratégias e métodos adequados para resolução do problema. ● Retrospecto: fase em que o aluno faz uma revisão com a intenção de validar todos os passos empregados e certificar-se que nenhum tenha sido esquecido ou realizado indevidamente. Outro nome de destaque seria ‘’Butts (1997) que em seu artigo apresentado em NCTM em 1980 e que tem como título Fundamentando problemas adequadamente, nos traz cinco tipos ou categorias de problemas’’(WACHILISKI 2012, p. 34). Butts, para muitos pesquisadores, é considerado extremamente didático, cita ainda o autor. A seguir se tem a definição e alguns exemplos das categorias de Butts que facilmente poderiam ser aplicados ao ensino de álgebra e que também ajudaria a romper, não de forma brusca, mas gradativas o modelo atual de ensino, proporcionando assim diferentes abordagens dos conteúdos de álgebra. Tipos ou categorias CATEGORIAS EXEMPLO Exercícios de Reconhecimento: exercícios onde os alunos apenas necessitam recordar um fato, uma definição Qual das expressões é chamada de polinômio do 2º grau? a) x2-2x+1 b) 3y5+6x c) 13x-739
  • 10. 10 ou um teorema; Exercício Algorítmicos: todo aquele que se resolve passo a passo seja por meio de operações matemáticas, procedimentos sequenciais, transformações algébricas ou cálculos numéricos. Desenvolva os seguintes produtos notáveis: a) (3x + 2)2 b) (2y 6).(2y + 6) c) (x5 + 2y2 )2 Problemas de aplicação: exercícios presente no ensino tradicional Matemático e que muitas vezes são resolvidos por algoritmos. Em um estacionamento há carros e motos, num total de 79 veículos e 248 rodas. Qual o número de motos e carros no estacionamento? x→Carro y→Moto Problemas de pesquisa aberta: exercícios sem palavras chaves para resolução ou expressões que indique sua solução. Exercícios que admitem soluções distintas. Encontre um valor inteiro que satisfaça a seguinte inequação: -x2 + 7x – 10 ≥ 0 2,3,4 ou 5 S ={ xϵ R/ 2 ≤ x ≤ 5 } Situações–problema: situações às vezes relacionadas com outras áreas aproximando o aluno da realidade, desenvolvendo a autonomia e sua capacidade e habilidade para solucionar algo em seu contexto. Um Barbeiro se dirigiu até mim com um pedido inesperado: - Não poderia o senhor resolver-nos uns problemas? - Temos duas soluções de água oxigenada: uma 30% e outra de 3%. Devemos misturá-las de forma a obter uma solução a 12%, porém não conseguimos encontrar a proporção certa. . METODOLOGIA A metodologia utilizada neste trabalho se caracteriza como pesquisa bibliográfica que de acordo com Gil (2008, p. 50) “é desenvolvida a partir de material já elaborado, constituído principalmente de livros e artigos científicos”. Foram consultados vários bancos digitais de domínio público como: A Revista Científica Eletrônica EM TEIA, EMP, como também as bases de dados: biblioteca digital ufmg; Biblioteca Digital de Teses e Dissertações da USP; Revistas Eletrônicas da PUC-SP. Em cada base de dados foram feitas
  • 11. 11 consultas por palavras chaves como “ensino de matemática”, onde se confirmou um grande número de trabalhos realizados. Para delimitar, utilizaram-se palavras como “ensino de álgebra” e “álgebra” onde surgiram trabalhos com temas mais relevantes para a pesquisa. Após o delineamento da base de dados, realizou-se uma leitura “exploratória” de todo o material selecionado, (resumos e introduções), como também as leituras “seletiva” e “analítica” com o objetivo de se ter, respectivamente, “uma leitura mais aprofundada das partes que realmente interessam” como também se ter “à identificação das ideias-chaves do texto, à sua ordenação e finalmente à sua síntese” (GIL, 2008, p.75). Após o fechamento dessas etapas inicia-se a organização das ideias encontradas e relacionando-as com a problemática da pesquisa. CONSIDERAÇÕES FINAIS Ao se observar a evolução das concepções metodológicas ao longo do tempo não há dúvidas de que as pesquisas relacionadas ao ensino de matemática vêm a cada dia avançando e proporcionando novas descobertas para o ensino de modo geral, no entanto das pesquisas realizadas no campo da matemática para o ensino de álgebra ficou perceptível que há um longo caminho a ser percorrido até se chegar a um ensino-aprendizagem mais significativo. Pode-se dizer ainda que as mudanças esperadas em salas de aula não ocorrem com o mesmo entusiasmo em que são feitas as pesquisas nestas áreas, talvez por se tratar de uma abordagem mais complexa. O fato é que o papel do pesquisador frente a esta problemática pelo que se pôde observar é de grande valia, pois sem pesquisas não haverá avanços e assim fica-se sujeito aos conhecimentos já descobertos e dados como verdade absoluta. Vale ressaltar também a importância de se estar a par das evoluções ocorridas no ensino aprendizagem, atentar-se também que hoje ser professor exige-se que este profissional tenha uma base de conhecimento referente a outras áreas de ensino como a psicologia, filosofia e sociologia, visto que analisando tais concepções citadas por Fiorentini et al fica evidente que o aluno não é colocado como o centro do processo, um erro como este
  • 12. 12 considerado gravíssimo cometido por professores também atualmente. Hoje já se sabe que os fatores culturais e psicológicos permeiam as salas de aula, portanto o aluno é um ser crítico, reflexivo e atuante em seu contexto e não colocá-lo como ser ativo no processo é negar a existência de tais fatores. Em síntese, entender todo o processo de desenvolvimento do ensino de álgebra ao longo do tempo pode tanto auxiliar o professor a compreender a complexidade envolvida neste processo de ensino-aprendizagem como também proporcionar-lhe a liberdade de buscar e aplicar métodos aos quais possam possibilitar verdadeiramente a construção do pensamento algébrico por parte dos alunos. As novas tendências metodológicas de ensino surgem com a função de proporcionar uma nova roupagem ao ensino, não somente na esfera intelectual das tendências, mas sim como ferramenta para alcançar os resultados que se espera da educação atual: formar cidadãos críticos, reflexivos e atuantes. Conclui-se este trabalho com o objetivo de trazer uma reflexão ao contexto em que se encontra a educação no ensino de álgebra, por conseguinte mostrar também que para um bom desempenho na área docente deve-se “Identificar as formas mais desenvolvidas em que se expressa o saber produzido historicamente, reconhecendo as condições de sua produção e compreendendo as suas principais manifestações, bem como as tendências atuais de transformação”. (SAVIANI, 1944, p. 8) REFERÊNCIAS ABRAÃO, Juvencio de A. O ensino de álgebra no Brasil e na França: estudo sobre o ensino de equações do 1º grau à luz da teoria antropológica do didático. 2009. Disponível em: <http://repositorio.ufpe.br:8080/xmlui/bitstream/handle/123456789/3947/arquivo 3433_1.pdf?sequence=1&isAllowed=y> Acesso em: 22.11.2015. ALMEIDA, Jadilson R.; CÂMARA, Marcelo. Pensamento Algébrico E Formação Inicial De Professores De Matemática. 2014. Disponível em:
  • 13. 13 <http://www.gente.eti.br/revistas/index.php/emteia/article/view/240/pdf_55 >. Acesso em: 10.12.2015. ARAUJO, Elizabeth A. DE. Ensino de álgebra e formação de professores. 2008. Disponível em: <http://revistas.pucsp.br/index.php/emp/article/view/1740/1130 >. Acesso em 15.11.2015. BACHELARD, Gaston. A formação do Espírito Científico. Vers. 2005. 1996. Disponível em:<http://www.filoczar.com.br/filosoficos/Bachelard/BACHELARD,%20G.%20 A%20Forma%C3%A7%C3%A3o%20do%20Esp%C3%ADrito%20Cient%C3%A Dfico.pdf >. Acesso em: 13.12.2015. BRASIL. Parâmetros curriculares nacionais 2º ciclo. 1998. Disponível em: <http://portal.mec.gov.br/seb/arquivos/pdf/matematica.pdf >. Acesso em: 08.02.2016. BROUSSEAU, Guy. Los Obstáculos Epistemológicos y los Problemas en Matemáticas. Disponível em: < http://fractus.uson.mx/Papers/Brousseau/obstaculos.pdf> Acesso em: 15.12.2015. FERREIRA, Maria C. C. Conhecimento Matemático Específico Para O Ensino Na Educação Básica: A Álgebra Na Escola E Na Formação Do Professor. 2014. Disponível em: < http://www.bibliotecadigital.ufmg.br/dspace/bitstream/handle/1843/BUOS- 9PMKNE/tese_vers_o_final.pdf?sequence=1 > Acesso em: 20.12.2015. FIORENTINI, Dario; PEREIRA, Fernandes F. L.; CRISTOVÃO, Eliane M. Um estudo das potencialidades pedagógicas das investigações matemáticas no desenvolvimento do pensamento algébrico. 2005. Disponível em <ftp://ftp.cefetes.br/cursos/Matematica/Alex/06- Um%20estudo%20das%20potencialidades%20pedagogicas.pdf >. Acesso em: 30.01.2016. FIORENTINI, Dario; MIORIM, Maria A.; MIGUEL, Antonio. Contribuições para um repensar a educação algébrica elementar. 1993. Disponível em:
  • 14. 14 <http://www.proposicoes.fe.unicamp.br/proposicoes/textos/10-artigos- fiorentinid_etal.pdf >. Acesso em: 13.01.2016 GIL, Antonio Carlos. Métodos e técnicas de pesquisa social. 6. ed. São Paulo: Atlas, 2008. Disponível em: < https://ayanrafael.files.wordpress.com/2011/08/gil-a-c-mc3a9todos-e- tc3a9cnicas-de-pesquisa-social.pdf>. Acesso em 16.04.2016. KIKUCH, Luzia M. Obstáculos à aprendizagem de conceitos algébricos no ensino fundamental: uma aproximação entre os Obstáculos Epistemológicos e a Teoria dos Campos Conceituais. Disponível em: <http://www.teses.usp.br/teses/disponiveis/48/48134/tde-23102012- 131046/publico/LUZIA_MAYA_KIKUCHI_rev.pdf>. Acesso em: 25.01.2016. Lautenschlager, Etienne ; Ribeiro, A. Jacques. “Reflexões Acerca Do Impacto Do Conhecimento Matemático Dos Professores No Ensino: A Álgebra Da Educação Básica.” 2014. Disponível em: < http://pgsskroton.com.br/seer/index.php/jieem/article/view/69/60>>. Acesso em: 19.01.2016 PIAGET, JEAN. A Epistemologia Genética. 1971. Disponível em:< http://materiadeapoioaotcc.pbworks.com/f/Jean_Piaget_- _Epistemologia_Gen%C3%A9tica.pdf > Acesso em: 10.10.2015 SAVIANI, Dermeval, 1944. Pedagogia histórico-crítica: primeiras aproximações. 11. ed.rev.— Campinas, SP: Autores Associados, 2011. — (Coleção educação contemporânea) Disponível em: < http://docslide.com.br/documents/pedagogia-historico-critica-primeiras- aproximacoes-dermeval-saviani.html> Acesso em: 11.04.16 SANTOS, Marcelo Câmara; ALMEIDA, Jadilson Ramos. Parâmetros Balizadores Da Pesquisa Em Educação Matemática No Brasil: Pesquisa Em Educação Algébrica. Disponível em: < http://revistas.pucsp.br/index.php/emp/article/viewFile/25670/pdf> .Acesso em: 29.10.2015
  • 15. 15 SILVA, Juciane T.; PEREIRA, Djalma G.; RESENDE, Marilene R.. A Necessidade De Estudos Sobre O Ensino-Aprendizagem Da Álgebra No Ensino Fundamental: Desafios E Perspectivas. 2013. Disponível em: <http://revistas.uniube.br/index.php/anais/article/view/803/921 >. Acesso em: 30.09.15 SILVEIRA, Everaldo; MIOLA, Rudiney José. Professor-Pesquisador em Educação em Matemática. Curitiba: Bpex, 2008. Vygotsky, Lev. S. Pensamento e linguagem (2a ed). 1989. Disponível em: <http://ruipaz.pro.br/textos/pensamentolinguagem.pdf > Acesso em: 02.07.2015 Wachiliski, Marcelo. Didática e Avaliação: Algumas Perspectivas da Educação Matemática. Curitiba: intersaberes, 2012.