Metodologia da matematica4

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METODOLOGIA DA MATEMATICAIV

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Metodologia da matematica4

  1. 1. Metodologia e Prática do Ensino da Matemática e Ciências Pedagogia U412.11
  2. 2. Autores: Prof. Guilherme Santinho Jacobik Profa. Verônica Azevedo Colaboradores: Profa. Silmara Maria Machado Prof. Nonato Assis de Miranda Metodologia e Prática do Ensino da Matemática e Ciências
  3. 3. Professores conteudistas: Guilherme Santinho Jacobik / Verônica Azevedo O professor Guilherme Santinho Jacobik é graduado em Pedagogia, mestre em Educação Matemática e Ciências pela Universidade de São Paulo e doutorando em Matemática pela Universidade Estadual de Campinas. Professor do Ensino Fundamental desde 1989 e docente universitário desde 2003, é também formador de educadores em escolas públicas e particulares desde 1994 e autor de artigos e livros educacionais. Realizou inúmeras palestras, workshops e assessorias voltadas ao ensino da Matemática, Ciências e organização curricular. Atualmente no doutorado, desenvolve um projeto de pesquisa relacionado à história de vida dos alunos e seus desempenhos no início da escolaridade. É docente da Universidade Paulista – UNIP e professor de Ensino Fundamental – ciclo I no Colégio Santa Cruz de São Paulo. A profa. Verônica Azevedo é mestre em educação e doutora em ciência da comunicação pela Universidade de São Paulo. Verônica é psicopedagoga e artista plástica. Dedica-se às artes plásticas desde 1960. Como pedagoga participou de vários projetos de pesquisa em educação matemática (USP, CAPES, CNPQ, Estação Ciência, Universidade de Laval – Canadá), foi responsável por vários cursos de aperfeiçoamento para professores das redes estaduais e particulares de São Paulo, Minas Gerais e Bahia. Como docente do Ensino Superior desenvolveu projetos pioneiros em didática do Ensino Superior. Realizou pesquisas sobre o ensino de matemática junto ao Laboratório de Educação Matemática da USP, o qual ajudou a criar. Suas publicações anteriores versam sobre sua larga experiência didática: a coleção Matemática Através de Jogos, o livro Jogando e Construindo Matemática e Telejornalismo e Educação para a Cidadania. Além disso, mantém um site de apoio a professores e pais com orientações de estudos: <www.veronicaweb.com.br>. Desde 1998 participa de grupos de pesquisa sobre a interface comunicação e educação, tendo desenvolvido projetos de educação para a cidadania, voltados para crianças e jovens. Esta pesquisa foi sistematizada em sua tese de doutorado defendida na ECA-USP. Atualmente desenvolve projetos de educação e comunicação e é docente do ensino superior. É professora titular da Universidade Paulista – UNIP. © Todos os direitos reservados. Nenhuma parte desta obra pode ser reproduzida ou transmitida por qualquer forma e/ou quaisquer meios (eletrônico, incluindo fotocópia e gravação) ou arquivada em qualquer sistema ou banco de dados sem permissão escrita da Universidade Paulista. Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP) J16m Jacobik, Guilherme Santinho Metodologia e prática do ensino de matemática e ciências / Guilherme Santinho Jacobik; Verônica Azevedo. – São Paulo, 2012. 192 p. il. 1. Metodologia. 2. Ensino - matemática. 3. Ensino - ciências I. Título. CDU 37.013
  4. 4. Prof. Dr. João Carlos Di Genio Reitor Prof. Fábio Romeu de Carvalho Vice-Reitor de Planejamento, Administração e Finanças Profa. Melânia Dalla Torre Vice-Reitora de Unidades Universitárias Prof. Dr. Yugo Okida Vice-Reitor de Pós-Graduação e Pesquisa Profa. Dra. Marília Ancona-Lopez Vice-Reitora de Graduação Unip Interativa – EaD Profa. Elisabete Brihy Prof. Marcelo Souza Profa. Melissa Larrabure Material Didático – EaD Comissão editorial: Dra. Angélica L. Carlini (UNIP) Dr. Cid Santos Gesteira (UFBA) Dra. Divane Alves da Silva (UNIP) Dr. Ivan Dias da Motta (CESUMAR) Dra. Kátia Mosorov Alonso (UFMT) Dra. Valéria de Carvalho (UNIP) Apoio: Profa. Cláudia Regina Baptista – EaD Profa. Betisa Malaman – Comissão de Qualificação e Avaliação de Cursos Projeto gráfico: Prof. Alexandre Ponzetto Revisão: Lucas Ricardi Aiosa
  5. 5. Sumário Metodologia e Prática do Ensino da Matemática e Ciências Apresentação.......................................................................................................................................................7 Introdução............................................................................................................................................................7 Unidade I 1 Blocos de conteúdos para o Ensino Fundamental.............................................................11 1.1 O sistema de numeração decimal....................................................................................................11 1.2 Operações.................................................................................................................................................16 1.2.1 Ensinando o algoritmo convencional: compreendendo as características das faixas etárias.................................................................................................................................................19 1.2.2 Utilizando o ábaco..................................................................................................................................23 1.2.3 Multiplicação.............................................................................................................................................28 1.2.4 Divisão..........................................................................................................................................................31 1.2.5 Frações..........................................................................................................................................................32 1.3 Espaço e forma.......................................................................................................................................38 1.4 Geometria e medidas...........................................................................................................................39 1.4.1 Dimensões...................................................................................................................................................42 1.4.2 Identificação de figuras .......................................................................................................................43 1.4.3 Simetria........................................................................................................................................................47 1.4.4 Conceito de medida................................................................................................................................48 1.4.5 Conceito de área .....................................................................................................................................55 1.4.6 Conceito de perímetro...........................................................................................................................56 1.5 Tratamento da informação...............................................................................................................56 2 Sugestões de conteúdos do 1º ao 5º anos do Ensino Fundamental.......................60 3 RECURSOS PARA O PLANEJAMENTO DA MATEMÁTICA NO ENSINO FUNDAMENTAL.........69 3.1 Resolução de problemas.....................................................................................................................69 3.2 Portadores numéricos.......................................................................................................................... 81 3.3 Jogos...........................................................................................................................................................85 4 ATIVIDADES E ENCAMINHAMENTOS INTERESSANTES NO ENSINO DA MATEMÁTICA.......103 4.1 Sequências didáticas no ensino da Matemática....................................................................103 4.2 Projetos didáticos como metodologia de trabalho também no ensino da Matemática.............................................................................................................................................106 4.3 Importância das atividades permanentes em Matemática................................................108
  6. 6. Unidade II 5 O Ensino de CiênciaS segundo os Parâmetros Curriculares Nacionais .........120 5.1 Objetivos gerais de Ciências Naturais para o Ensino Fundamental ...............................122 5.2 Os conteúdos para o ensino de Ciências Naturais.................................................................122 5.2.1 Blocos temáticos................................................................................................................................... 123 6 Ações didáticas interessantes nas aulas de Ciências Naturais no Ensino Fundamental..................................................................................................................................140 Unidade III 7 Experiências Práticas para você fazer com seus alunos...........................................154 7.1 Área temática “corpo humano”.....................................................................................................154 7.1.1 Olhos.......................................................................................................................................................... 154 7.1.2 Dentes........................................................................................................................................................ 155 7.1.3 Tato............................................................................................................................................................. 156 7.2 Área temática “seres vivos”: plantas e animais.......................................................................157 7.2.1 Classificações: pena, pelo, escamas............................................................................................... 157 7.2.2 Cadeia alimentar................................................................................................................................... 158 7.2.3 Sapo, rã ou perereca?...........................................................................................................................161 7.3 Área temática “conceitos físicos”..................................................................................................163 7.3.1 Boia ou afunda?.................................................................................................................................... 163 7.3.2 Relógio de sol......................................................................................................................................... 165 7.3.3 Cata-vento............................................................................................................................................... 166 7.3.4 Translúcido, opaco e transparente................................................................................................. 167 7.3.5 Gelinho...................................................................................................................................................... 168 7.3.6 Ilusão de ótica........................................................................................................................................ 169 7.4 Área temática “conceitos químicos”............................................................................................171 7.4.1 Papel reciclado........................................................................................................................................171 7.4.2 Fogo............................................................................................................................................................ 173 7.4.3 Substâncias parecidas ........................................................................................................................ 174 7.4.4 Separação de misturas........................................................................................................................ 175 7.4.5 Misturas: bolo de laranja maluco................................................................................................... 176 8 A Importância dos Estudos do meio...........................................................................................177
  7. 7. 7 Apresentação Este livro destina-se a você, educador(a), que está estudando para dar aulas de Matemática e Ciências para crianças do Ensino Fundamental. Aqui serão estudados os objetivos do ensino de Matemática e Ciências conforme as orientações das discussões mais avançadas na abordagem metodológica dessas áreas do conhecimento. São aqui apresentadas sugestões de conteúdos para o ensino do 1º ao 5º ano do Ensino Fundamental juntamente com exemplos de atividades interessantes para inspirar você em seus futuros planejamentos. Também apresentamos três possibilidades de recursos didáticos que favorecem o aprendizado de seus futuros alunos. Na Unidade I apontamos algumas questões que o(a) educador(a) deve considerar ao ensinar Matemática. Elas são representativas das preocupações que têm sido debatidas no ensino dessa área do conhecimento. Na Unidade II apresentamos questões que devem fazer parte das reflexões do(a) educador(a) ao se preparar para ensinar Ciências. Também serão apresentados os objetivos, os conteúdos e exemplos práticos que lhe serão úteis para aprender mais. As contribuições que serão apresentadas nesse livro-texto são pilares de sustentação para que o futuro professor tenha condições de saber o que se ensina, como se ensina e por que se ensina. Dessa forma, além de uma listagem de conteúdos, pretendemos problematizar as práticas e sugerir formas de intervenção na relação professor-aluno. Acreditamos que aliando teoria e prática você terá a possibilidade de uma ampliação significativa de seus conhecimentos. Introdução Nas últimas décadas, os currículos do ensino da Matemática e das disciplinas científicas foram alvo de revisões, críticas e novos direcionamentos, e sofreram mudanças nos vários níveis escolares. Essas mudanças foram resultados de estudos analíticos sobre o papel das várias ciências na educação, pesquisas sobre a aprendizagem de conceitos científicos pelas crianças, do estudo do papel da linguagem, da motivação e do interesse nas diferentes faixas etárias, tendo motivado a produção de diferentes materiais didáticos. Todo esse estudo resultou em novos campos de conhecimento. Houve o movimento da chamada matemática moderna nos anos setenta, passando pela modelagem matemática e a etnomatemática dos anos noventa. Na primeira década de nosso século a corrente teórica didática da matemática dominou o cenário brasileiro. Surgiram as Metodologias do Ensino da Matemática e das Ciências. A Metodologia do Ensino da Matemática se preocupa, atualmente, não apenas com métodos de ensino, mas com a formação cultural matemática do aluno e da sociedade. Transita entre as técnicas,
  8. 8. 8 os sujeitos e a interpretação do mundo por intermédio dos saberes da matemática como área do conhecimento. Quanto às Ciências, nos dias de hoje, cientistas e educadores do nosso país concordam sobre os objetivos do ensino dessa disciplina: pensar lógica e criticamente. Apesar dessa concordância sobre o papel das disciplinas científicas na educação, os resultados práticos não condizem com as aspirações teóricas. Essa situação sugere questões a serem discutidas, entre elas o papel da experimentação e seus significados no ensino de Ciências. As revisões das teorias nos últimos anos devem ser conhecidas de forma mais aprofundada por você, futuro professor, para que possa escolher, se posicionar e desenvolver novas contribuições. Por essa razão, sugerimos que não se limite ao material apresentado, mas busque em referências teóricas e outras fontes mais informações além das apresentadas aqui. A nova expectativa sobre o papel do docente, que o denomina “professor protagonista” e “professor pesquisador”, faz com que ele não seja alguém passivo, mero executor de práticas sem reflexão, mas sujeito do fazer docente, alguém autor consciente de seu papel como formador, exigindo do estudante, futuro educador, uma postura rigorosa de constante formação. Da mesma forma que se revisa o papel de quem ensina – normalmente o professor –, pesquisas sobre a aprendizagem de conceitos científicos pelas crianças, do estudo do papel da linguagem, da motivação e do interesse nas diferentes faixas etárias conduzem a um novo pensamento sobre aquele que aprende – o aluno –, e essa preocupação deu origem à produção de novos e diferentes materiais didáticos. Nos textos que se seguem, nos inspiramos em experiências bem sucedidas no ensino da Matemática e das Ciências. Além de nossas vivências pessoais como docentes e de nossa contribuição teórica, trazemos as práticas e teorias de documentos de referência. Eles nos serviram de base para a escrita deste livro-texto e se aliam a outras contribuições referenciadas ao longo deste. Observação Em sua época de estudante do Ensino Fundamental, provavelmente você deve ter se sentido desconfortável com a forma como o ensino era desenvolvido sem levar em consideração a participação dos alunos, não é mesmo? Esperamos poder ajudá-lo a refletir sobre a importância que atualmente a construção do conhecimento junto ao aluno tem e como a Ciência e a Matemática ajudam nesse processo de conhecimento e participação social mais amplo.
  9. 9. 9 Saiba mais As recomendações dos PCN agregam boas recomendações e ainda apresentam uma interessante divisão de objetivos e conteúdos do 1º ao 5º ano. Para complementar a leitura deste conteúdo, acesse o site: <http://lemad.fflch.usp.br/sites/lemad.fflch.usp.br/files/prefeitura_fundi_ saopaulo_geral_2007[1].pdf>.
  10. 10. 11 Metodologia e Prática do Ensino da Matemática e Ciências Unidade I 1 Blocos de conteúdos para o Ensino Fundamental Na história do ensino da Matemática, durante muito tempo, a natureza interdisciplinar e significativa dos conteúdos não foi considerada, ou seja, apostava-se em uma listagem de conceitos e atividades com fim em si mesmo, que pouco contribuía para que o aluno encontrasse aplicação ao que estava vendo e, teoricamente, aprendendo. O ensino pautado em atividades estanques dificultava ao aluno compreender o sentido e aplicação do que vivenciava. No Brasil, foram os Parâmetros Curriculares Nacionais e as mais recentes discussões acadêmicas acerca dessas questões que contribuíram para que fosse repensada a forma de organizar os conteúdos. Para fins didáticos, é possível agrupar os conteúdos de ensino recomendados aos alunos do Ensino Fundamental (1º ao 5º ano) em cinco grandes blocos: sistema de numeração; operações; espaço e forma; grandezas e medidas e tratamento da informação. Agrupados, eles possuem objetivos similares que se complementam. Ao educador cabe organizá-los de forma que façam sentido aos alunos, permitindo a eles resgatar o aprendido e utilizá-lo em novas situações (o que se vem chamando de transposição didática). 1.1 O sistema de numeração decimal A partir de um processo histórico de milhares de anos, o homem desenvolveu o sistema que hoje denominamos numeração decimal, composto por apenas dez símbolos (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 e 0) e que nos permite representar qualquer número. O valor representado pelo numeral depende de sua posição na composição deste, por isso dizemos que nosso sistema é posicional. É também denominado decimal, pois o que diferencia uma posição de outra são os agrupamentos de dez em dez. Sendo assim, para formar uma dezena, utilizamos dez unidades; para uma centena, dez dezenas (ou dez agrupamentos de dez unidades); para um milhar, dez centenas, e assim por diante, infinitamente. Estes conceitos são complexos e precisam ser trabalhados com os alunos ao longo de todo o Ensino Fundamental. Segundo Castro e Rodrigues apud Brocardo (2007, p. 118-119): De um modo geral, o sentido de número diz respeito à compreensão global e flexível dos números e operações com o intuito de compreender os números e as suas relações e desenvolver estratégias úteis e eficazes para utilizarmos no nosso dia a dia, na nossa vida profissional, ou como cidadãos ativos. Inclui a capacidade de compreendermos que os números podem ter diferentes significados e podem ser usados em contextos muito distintos. É, pois, uma construção de relações e de modelos numéricos realizada ao longo da vida e não apenas na escola.
  11. 11. 12 Unidade I O que nos foi descrito pelos autores citados nos remete à importância que este bloco tem em relação à construção das relações matemáticas que as crianças estabelecem. Fazemos questão de dizer a você, estudante da UNIP, que os blocos de conteúdos aqui apresentados são trabalhados em todas as séries do Ensino Fundamental e que o sistema de numeração deve ser objeto de planejamento em todas elas, assim como os demais blocos apresentados. Muitos educadores consideram desnecessária a manutenção de atividades relacionadas ao ensino do sistema de numeração, mas veremos adiante que algumas situações devem se tornar atividades permanentes, como por exemplo recorrer ao calendário como forma de controlar e antecipar eventos, algo essencial à vida do ser humano. Lembrete Ainvençãodonúmeroéfrutodeumlongoprocessohistórico,bemcomo outras conquistas matemáticas; por essa razão deve ser apresentada ao aluno, para que ele compreenda a importância dessa área do conhecimento. Saiba mais Recomendamos, para os alunos de todo o Ensino Fundamental, a leitura do livro O bibliotecário que mediu a Terra, de Kathryn Lasky. Trata-se da biografia de Eratóstenes, importante estudioso e matemático Líbio que viveu há mais de 2000 anos. No entanto, o bloco de conteúdos e objetivos sistema de numeração decimal, que desde cedo faz parte da vida do aluno, possui uma característica muito especial: ele é a base dos demais blocos, pois é composto de diversos conceitos-chave. Nele se estuda a grafia dos numerais (o traçado correto do 0, 1, 2, 3, ... 9), o sentido quantitativo do registro com algarismos (quando representa uma quantia a ser contada, por exemplo, sendo chamado número), os algarismos como representação simbólica (como o numeral de uma casa ou um telefone), e as noções de posição e grandeza numérica (quando o 1 pode ser uma unidade, uma dezena, ou uma centena, por exemplo). Há muitas dúvidas sobre a nomenclatura correta, por essa razão, apresentamos a seguir um resumo que apresenta a explicação dos conceitos de número, numeral e algarismo. Saiba mais Recomendamosaconsultaaointeressantetexto-fontedoqualpesquisamos os significados em: <http://www.mat.ufrgs.br/~portosil/passa7a.html>.
  12. 12. 13 Metodologia e Prática do Ensino da Matemática e Ciências Quadro 1 – Diferenciação entre número, numeral e algarismo Número Numeral Algarismo É a ideia de quantidade que nos vem à mente quando contamos, ordenamos e medimos. Assim, estamos pensando em números quando contamos as portas de um automóvel, enumeramos a posição de uma pessoa numa fila ou medimos o peso de uma caixa. É toda representação de um número, seja ela escrita, falada ou indigitada. É todo símbolo numérico que usamos para formar os numerais escritos. Infelizmente, nas escolas de maneira geral, ainda se observam atividades “mecânicas” em que os alunos copiam exaustivamente os numerais, ou colam bolinhas de papel ou sementinhas sobre numerais traçados pelo educador. Aprender a grafia correta dos numerais é importante, mas isso deve ser realizado de forma mais contextualizada, pedindo aos alunos que escrevam a idade que possuem e a data de seu aniversário, o numeral da residência ou do telefone dos pais em uma agenda de contatos, por exemplo. Também é importante que os numerais componham cartazes que se encontram no ambiente do aluno, como o calendário e a tabela de 0 a 100, para sua consulta autônoma. Principalmente nos primeiros anos (1º, 2º e 3º) do Ensino Fundamental, devemos planejar situações didáticas que envolvam os números naturais, principalmente porque eles fazem parte do cotidiano das crianças, utilizados em diferentes situações e em perguntas realizadas por elas, tais como: comparação de idades; “quanto” tem?; “quanto” tenho?; se eu já tenho X, quanto falta para Y?; qual seu telefone?; entre outras. A experiência de vida da criança, mesmo que comparativamente menor que a do adulto, deve ser levada em conta, e cabe à escola ajudá-la a ampliar o que sabe e construir novas relações e pensamentos matemáticos. Dessa forma, como metáfora, seria interessante que a escola fosse uma continuidade da casa, da vida social mais ampla. Desvendar o que a criança já sabe – seus conhecimentos prévios – e, partindo deles, oferecer novas situações, que a permita avançar no que sabe para construir o que ainda não sabe, constitui o importante papel mediador do educador. Quando menos experientes, as crianças têm mais dificuldade em grafar corretamente os numerais; muitas invertem a ordem (ao invés de 21, grafam 12, por exemplo) ou os espelham (3 ao invés de 3). Também apresentam dificuldade quanto à compreensão do valor posicional e tendem a grafar como escutam. Neste caso, a forma oral como o numeral é enunciado leva as crianças a erros construtivos, escrevendo, por exemplo, 301 para 31, pois entendem ser equivalente a trinta (30) e um (1), o que resulta em 301 (30 + 1). Isso ocorre porque no processo de construção do conceito de número as crianças aplicam aquilo que compreendem sobre a “leitura” que fazem do que está ao seu redor. É o que chamamos de hipóteses de escrita, que ocorrem com as letras, palavras e também com os numerais.
  13. 13. 14 Unidade I Observação Mesmo nas séries finais do Ensino Fundamental (4º e 5º anos), o bloco de conteúdos sistema de numeração continua a ser essencial. Erros ocasionados pela elaboração de hipóteses ocorrem constantemente, e as crianças precisam ser respeitadas em seu processo e naturalmente orientadas de forma a construir uma relação positiva com o erro e a possibilidade do acerto. Exemplo de atividade Sistema de numeração decimal – Construindo e explorando uma tabela numérica • Identificar números até 100. • Ler, escrever e comparar números em diferentes contextos de uso. • Perceber algumas regularidades do sistema de numeração decimal, tais como: o valor posicional (quanto vale um numeral em sua posição na composição de um número) – por exemplo o 3, em 34, que vale 30; a possibilidade de saber a grandeza do número por sua quantidade de algarismos – por exemplo, que 45 (dois algarismos) é maior que 9 (um algarismo); e observar a ideia de “família de números”, o que significa que todos os números daquela sequência se iniciam pelo mesmo numeral, modificado a cada dez unidades – por exemplo, que após o 29 vem o 30 (31, 32, 33, 34, ... 39). Conteúdos • Ordem de grandeza e regularidade do sistema de numeração. • Leitura e escrita numérica. Anos 1º e 2º. Tempo estimado Ao longo de todo o ano escolar. Material necessário • Um cartaz como o do modelo a seguir, que vá até 100, deve ser afixado para servir de “dicionário” e ser consultado. Uma sugestão é digitar os números, recortá-los,
  14. 14. 15 Metodologia e Prática do Ensino da Matemática e Ciências distribuí-los aos alunos e pedir a eles que o auxiliem na colagem sob um cartaz similar (quadriculado, com dez espaços em cada linha e dez em cada coluna), mas com lacunas, sem os números escritos. • Providencie uma cópia menor para cada aluno (com os números) e mantenha ao alcance objetos que portem sequências numéricas similares como calendários e volantes de jogos de casas lotéricas. • As primeiras tabelas devem começar com 1 e não com 0, pois muitos alunos se apoiam na contagem para encontrar as escritas que não conhecem. • Organize a série de 10 em 10 para a identificação das regularidades. O cartaz deverá ficar assim: tabela 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 Desenvolvimento Primeiro divida os cem números da tabela entre seus alunos e oriente-os a vir colá-los conforme as comandas que fizer. A seguir, sugerimos ideias que os levarão a compreender algumas regularidades do sistema numérico decimal: • Chame para colar sobre o cartaz aqueles que tiverem números iniciados pelo numeral 3. Dessa forma, crianças que tenham a “família do trinta” colarão seus números e todos poderão perceber a ideia de “família” e que o primeiro numeral é o mandante do número. • Chame em seguida as crianças que tiverem números terminados pelo numeral 5. Virão aqueles que têm o 5, 15, 25, 35, 45, 65, 75, 85 e 95, formando a coluna do 5 (como se observa na tabela). • Pode-se pedir, também, outras regularidades; por exemplo, que venham aqueles que tenham números maiores que 13 e menores que 20; o número que vem imediatamente depois do 39; o número que vem imediatamente antes de 67; o número que está entre 72 e 74; entre outras possibilidades.
  15. 15. 16 Unidade I Experiências cotidianas interessantes que podem se transformar em situações didáticas escolares Receitasdealimentos(envolvemnúmerosnasquantidadesdeingredientesecardinalidade na ordem do modo de fazer); desenvolver uma coleção com os alunos (tampinhas, pedras, conchas, figurinhas etc.) e ajudar as crianças a registrar as quantidades obtidas (por exemplo, marcar riscos em uma tabela do 1 ao 100 como mecanismo de controle); grafar em um calendário no mural da classe os dias idos à escola. Saiba mais Recomendamos a leitura do livro Os números: a história de uma grande invenção, de Georges Ifrah. Trata-se da história da Matemática, em que o autor nos faz acompanhar a evolução do raciocínio de nossos ancestrais desde a pré-história, passando por diversas civilizações. 1.2 Operações Por conta das necessidades cada vez mais complexas do homem, o sistema de numeração decimal foi sendo desenvolvido para, por exemplo, controlar quantidades pequenas de animais e quantificar o número de pessoas, consequentemente calculando a quantia de alimentos necessários para saciar a fome de cada um. Da mesma forma, as estratégias de cálculo também evoluíram e foram se tornando cada vez mais complexas. Atualmente somos capazes de realizar cálculos que nos permitem compreender e alcançar até mesmo o que ainda não palpamos. Antes mesmo de o homem pousar na Lua, engenheiros astronautas já calculavam essa possibilidade. Podemos dizer que a criança que entra no Ensino Fundamental refaz essa trajetória humana e repete etapas evolutivas da construção desse conhecimento. É comum vermos crianças realizando contas com os dedos (base decimal = dez dedos), utilizando riscos e outros grafismos não convencionais, exatamente como observamos nas inscrições rupestres (desenhos em paredes de cavernas, ossos e peles de animais) encontradas em sítios arqueológicos de muitas localidades do planeta. Assim, a criança segue evoluindo, passando da necessidade absoluta do elemento concreto à total possibilidade de abstração e pura imaginação. Da mesma forma o homem, ao longo da história, evoluiu do uso de instrumentos rudimentares como pedras e riscos à utilização da calculadora e do computador, pois é capaz de inventar instrumentos para superar as limitações de sua mente, e a ferramenta faz o que o homem seria incapaz de fazer. Relembrar que a aprendizagem de cálculos é a construção junto ao aluno de conhecimentos milenares nos serve de alerta para respeitar o seu desenvolvimento e fornecer a ele elementos que lhe permitam avançar em seu conhecimento. Quando simplesmente substituímos a forma de pensar do aluno pelo ensino forçado de técnicas e fórmulas, substituímos a reflexão pela memorização, trocamos a tentativa que leva ao erro construtivo pela exercitação mecânica de algoritmos predefinidos.
  16. 16. 17 Metodologia e Prática do Ensino da Matemática e Ciências Nas escolas, de maneira geral, observamos educadores bem intencionados ensinando contas no modelo “arme e efetue”. O que se nota é que muitas crianças não compreendem por que devem realizar uma conta do menor valor ao maior, ou seja, da unidade para a dezena e desta para a centena. Além do mais, em adições com reservas, aquelas cujas somas das unidades (ou das dezenas ou centenas) ultrapassam 9, muitas vezes o aluno não compreende por que deve conservar a unidade e elevar a dezena (contas de “vai”), por exemplo. Essas contas são comumente chamadas de algoritmos convencionais. Na verdade, todo algoritmo é um “dispositivo prático, elaborado para facilitar a execução de uma certa tarefa” (BRASIL, 2007, p. 7). Um exemplo é ordenarmos os ingredientes de uma receita de forma a facilitar a execução das etapas de elaboração do alimento, outro exemplo são os procedimentos para dirigir um carro ou armar e instalar um produto em nossa casa. Há pessoas que farão uso dessas técnicas sem refletir sobre sua ação; estas estão sujeitas a tornarem-se pouco autônomas, agindo mecanicamente, sem saber como proceder caso algo saia do controle. De maneira análoga, “quem não dispõe de boas estratégias de cálculo passa por dificuldades em inúmeras situações do dia a dia, que exigem autonomia de decisões sobre ‘que cálculo fazer’ e ‘como fazê-lo’”. (Ibidem, p. 8). Os algoritmos das quatro operações são estratégias de cálculos que se beneficiam da organização do sistema de numeração decimal, mas que devem ser ensinadas no momento em que as crianças já dominarem com segurança alguns conceitos, ou pré-requisitos, envolvidos nessas operações e necessários para que operem com consciência. A seguir apresentamos alguns desses conhecimentos: Exemplo de atividade Algoritmos • Domínio dos fatos básicos: trata-se de operações em que são empregados numerais de um só algarismo. São os cálculos realizados em uma operação que devem ser realizados mentalmente, sem o auxílio do algoritmo (não fazendo uso, por exemplo, de “arme e efetue”). Aos poucos o aluno deve memorizar resultados que podem ser aplicados em diversas situações. As tabuadas de multiplicação e de soma são exemplos de exercícios de aprendizagem dos fatos básicos. • Sugestão de atividade: pedir às crianças que retirem de seu estojo cinco lápis de cor e desafiá-las a formar diferentes composições com esses. Exemplos: III + II = 5, II + III = 5, I + IIII = 5 etc. • Conhecimento de outras estratégias de resolução: é muito importante que, antes de ensinar a técnica operatória convencional (“arme e efetue”) – que obriga a criança a operar da unidade em direção à dezena e desta para a centena (e assim por diante), ela possa conhecer outras formas de resolução, ou estratégias de resolução. Para que se compreenda melhor essa possibilidade, demonstramos, a seguir, algumas operações executadas por alunos do 4º ano de uma escola do município de São Paulo.
  17. 17. 18 Unidade I • Conteúdo: ensinando a decompor. • Pré-requisitos: saber contagens salteadas de 10 em 10 e 100 em 100. Exemplos: 1) 156 + 234 1a etapa 156 + 234 100 200 50 30 6 4 2a etapa 300 80 10 3a etapa 300 80 + 10 = 90 4a etapa 300 + 90=390 2) 342 + 839 1a etapa 300 + 800 = 1100 (ou 800 + 200 = 1000 + 100 = 1100) 2a etapa 40 + 30 = 70 3a etapa 2 + 9 = 11 4a etapa 300 + 800 = 1100 5a etapa 70 + 10 = 80 + 1 = 81 6a etapa 1000 + 100 + 81 = 1181
  18. 18. 19 Metodologia e Prática do Ensino da Matemática e Ciências 3) 321 + 547 3 2 1 + 5 4 7 8(800) 6(60) 8(8) Observação Este modo deve vir após a compreensão dos valores posicionais; do contrário, ficará apenas no ato mecânico. É preciso reforçar a leitura correta da soma ao realizar esse tipo de estratégia, exemplo de 3 + 5, que se lê “trezentos mais quinhentos”. Deve-se tomar cuidado com as contas de “vai”, pois essa estratégia ocasiona confusões. As crianças devem ser estimuladas a pensar na melhor estratégia para resolver um cálculo. 4) Crianças do 1º ano de uma escola de São Paulo resolveram a seguinte conta dessa forma: 34 + 28 1a etapa 34 = 10 + 10 + 10 + 4 28 = 10 + 10 + 8 2a etapa 10 + 10 + 10 + 10 + 10 = 50 3a etapa 8 + 4 = 12 (10 + 2) 4a etapa 50 + 10 = 60 5a etapa 60 + 2 = 62 1.2.1 Ensinando o algoritmo convencional: compreendendo as características das faixas etárias Como vimos, é necessário construir com a criança estratégias de resolução variadas, levando em conta sua capacidade de reflexão. Evite exercícios mecânicos e repetitivos. Mais adiante
  19. 19. 20 Unidade I apresentaremos alguns recursos interessantes que você, futuro educador, possa utilizar para diversificar suas aulas. Para ensinar o algoritmo convencional, é preciso conhecer as características das faixas etárias compreendidas entre o 1º e o 5º ano do Ensino Fundamental. Nessa fase a criança se encontra em transição, segundo Jean Piaget (1971), entre um estágio de desenvolvimento chamado pré-operatório (2 a 7 anos) e estágio das operações concretas (7 a 11 anos). Vamos conhecer esses estágios para podermos planejar intervenções e atividades eficientes? Estágio pré-operatório (2 a 7 anos) Manipular objetos e observar os resultados dessas ações é uma das características marcantes dessa fase. A criança não depende exclusivamente das sensações para entender e interagir com o ambiente, o fazendo também na compreensão e uso tanto das palavras e suas representações como dos símbolos e suas imagens. Ela associa, por exemplo, uma palavra ao seu significado, mesmo que o objeto nomeado não esteja em seu campo visual, ou seja, sua capacidade de abstração amplia-se em relação ao estágio anterior (sensório-motor), em que era necessária a presença física do objeto para nomeá-lo. Em termos matemáticos, a criança nessa fase é capaz de ordenar, classificar e fazer correspondências entreobjetos.Namaioriadasvezes,nãoécapazdeentenderareversibilidadenemconservaraquantidade por meio de seu pensamento. Um exemplo: há dois copos, um baixo e largo e o outro comprido e estreito. Coloca-se uma certa quantidade de água em um e depois se verte a água no outro. A criança não compreende que a quantidade se manteve, e diz que há mais em um do que no outro. Sobre a reversibilidade, um exemplo: pede-se a criança que junte três figurinhas com mais duas figurinhas, essa operação ela realiza com sucesso. Agora se pede que de cinco figurinhas ela retire duas, ou seja, o inverso. Na maioria das vezes, ela encontra dificuldade. A incapacidade de a criança se colocar no lugar do outro e seu egocentrismo (que é a centralização dos pensamentos sobre si mesma), a partir de seu ponto de vista e não o do outro, também são característicos. Uma dica de trabalho com Matemática nessa fase é proporcionar jogos e situações-problema em que a criança tenha que partilhar impressões ou comparar o resultado das quantificações. Por exemplo, ao final de um jogo de palitinhos, pedir que os participantes contem o resultado obtido uns dos outros. É objetivo do trabalho de Matemática com crianças de seis anos de idade, no fim da Educação Infantil em algumas localidades ou no início do Ensino Fundamental em outras, desenvolver a capacidade de pensar a Matemática como algo dotado de sentido e possibilidade de uso real. A criança precisa reconhecer a aplicação para então conhecer de fato o conceito. Os jogos são fundamentais para o trabalho nessa área do conhecimento, assim como os problemas, não apenas os enunciados por escrito, mas todas as situações em que os alunos
  20. 20. 21 Metodologia e Prática do Ensino da Matemática e Ciências necessitem usar o raciocínio a fim de buscar soluções. Em ambos os casos, pensa-se em favorecer o desenvolvimento e o uso de estratégias pessoais. Para registrá-las, os alunos poderão fazer uso da “linguagem matemática” convencional (com seus símbolos numéricos e sinais próprios, como + e -) ou criar formas de representá-las. É recomendável garantir atividades em que as estratégias e as representações particulares sejam socializadas e discutidas em grupo, a fim de permitir a circulação de informações entre as crianças e a apropriação de estratégias e representações mais econômicas e eficientes. Paraaelaboraçãodassituações-problema,sugere-seutilizarfatosdodiaadiadascriançasparapensar sobre as quantidades, compará-las ou operá-las. Elas devem envolver principalmente cálculos de adição e subtração, noções aditivas da multiplicação e fracionárias da divisão. Contar, comparar, reconhecer e grafar corretamente os números e as quantidades e usar adequadamente sinais matemáticos básicos, como + (mais), - (menos) e = (igual), é desejável. Em todas as situações, reais ou fictícias, deve-se ter em mente a importância do lúdico, do prazer, e a possibilidade de explorar o interesse da criança, sua vontade em se arriscar sem medo do erro e suas possibilidades de comunicar estratégias por meio de uma linguagem que traduza com eficiência as bases de seu pensamento. Exemplo de aplicação Dicas e sugestões de atividades para essa fase Pensando em crianças que estejam entre 6 e 7 anos (equivalente ao 1º e 2º anos do Ensino Fundamental) e que tenham frequentado a Educação Infantil, considera-se que elas tenham muitas informações no que se refere ao nosso sistema de numeração decimal e suas relações, que saibam operar minimamente e que tenham algumas estratégias de resolução construídas ou aprendidas. Procura-se garantir situações em que as crianças se sintam desafiadas a arriscar e que criem ou aperfeiçoem estratégias pessoais para resolução dos problemas apresentados. Espera-se que identifiquem regularidades na contagem e na representação de números de diferentes grandezas, que conheçam e usem medidas convencionais e não convencionais, que continuem avançando na compreensão do sistema de numeração decimal e que consigam transpor os conteúdos aprendidos para as mais diversas situações. Sendo assim, o trabalho nessa faixa etária continua tendo nos jogos, nos problemas e nas situações cotidianas espaços privilegiados para se fazer relações matemáticas significativas. Deve-se garantir uma gama de jogos que possibilitem o estabelecimento de inúmeras relações matemáticas, que aprimorem inclusive conteúdos de procedimentos e atitudes. Baralhos, trilhas e percursos, bingos, xadrez, damas, dominós tradicionais ou pedagogicamente modificados são alguns dos jogos de que se pode lançar mão nos 1º e 2º anos. Uma boa dica para o ensino da Matemática nessa fase é ter à mão um kit com objetos que facilitem o cálculo e a contagem, como sementes, palitos, pedrinhas e miçangas, por exemplo.
  21. 21. 22 Unidade I Figura 1 - Materiais para jogos de Matemática Os problemas propostos devem envolver as quatro operações e podem ser desenvolvidos previamente pelo educador ou advir de uma situação cotidiana inesperada. Ainda se privilegiam as estratégias pessoais de resolução, sempre as partilhando com os demais colegas da classe e incentivando a troca, principalmente daquelas mais lógicas e econômicas. O educador deve ser modelo também de resoluções convencionais, a fim de introduzir a linguagem matemática mais formalizada, a exemplo de seu papel na escrita e notação numérica. Ou seja, não deve se eximir de seu papel de mediador do conhecimento. Estágio das operações concretas (7 a 11 anos) A criança nesse estágio, que perpassa o 3º, 4º e 5º anos, é ainda dependente, na maioria dos casos, da visualização dos objetos referidos para operar. Isso quer dizer que ela opera concretamente, apesar de seu nível de abstração estar cada vez maior. Ela consegue classificar, seriar e compreender a relação entre número e numeral, estruturas de espaço e tempo, e a realização de operações básicas com estratégias próprias e outras formalizadas. É também capaz de conservar a quantidade mesmo em situações desafiadoras, como apresentar as mesmas quantidades em disposições diferentes, por exemplo, agrupar sementes em um montinho e depois espalhar a mesma quantidade. A manipulação de objetos, como quantificar palitinhos e realizar cálculos utilizando os dedos ou sementes, ainda é necessária, principalmente no início do 3º ano do Ensino Fundamental. É possível, entre o 3º e o 4º anos, operar cálculos de valores elevados utilizando técnicas operatórias mais formais, principalmente o algoritmo convencional.
  22. 22. 23 Metodologia e Prática do Ensino da Matemática e Ciências Exemplo de aplicação Dicas e sugestões de atividades para essa fase Todo trabalho desenvolvido nessa faixa etária, que compreende o equivalente ao 3º, 4º e 5º anos, deve dar continuidade ao que vem sendo realizado desde os 1º e 2º anos, sem rupturas abruptas. Conteúdos como divisão e multiplicação ganham mais força, com valores de cálculo cada vez maiores e mais desafiadores, e aprimoram-se as estratégias de resolução para a subtração e a adição. Por meio de instrumentos como a calculadora, o ábaco e o material dourado, pode-se ensinar a “conta de armar”, ou algoritmo convencional. A criança deve ser motivada a aprimorar seu cálculo mental, inclusive memorizando a tabuada/fatos da adição, da subtração e da multiplicação, a chamada memorização compreensiva. O trabalho com medidas pode ser ampliado, bem como o ensino da Geometria, da leitura e interpretação de tabelas e gráficos, e da leitura e compreensão dos números fracionários (1/2, 1/3, 1/4). Montagem de um ábaco O ábaco é um dos muitos instrumentos de cálculo que ajudam na compreensão do sistema de numeração deciama, além de ser um ótimo auxiliar na compreensão do algorítimo convencional, ou contas de “armar”, facilitando o entendimento das noções de “vai um” ou de “empréstimo”. Pode ser construído com diversos materiais e formatos, um dos mais comuns é o vertical (foto), em que as argolas representam as unidades, dezenas, centenas e milhares, de acordo com a sua posição da direita para a esquerda. É possível encontrá-lo pronto para comprar no comércio, em geral em seu formato horizontal com argolas de “correr”. Figura 2 - Montagem de um ábaco Sempre que possível, os desafios matemáticos devem se aproximar das situações reais de uso; assim, além das atividades tradicionais escolares, deve-se fazer uso de jogos, incentivar a consulta de fontes diversas como jornais e revistas, e criar situações de compra e fatos cotidianos, como a simulação de um mercado na classe. 1.2.2 Utilizando o ábaco Vamos apresentar algumas formas de ensinar o algoritmo convencional (modelo “arme e efetue”) por meio de um instrumento simples, barato e muito útil.
  23. 23. 24 Unidade I O modelo “arme e efetue” é bastante importante e significativo, pois representa uma grande invenção humana, a possibilidade de operar cálculos que a mente não dá conta a partir da utilização dos princípios do sistema numérico decimal. Para que a criança possa se valer dessa estratégia de resolução, é necessário, como já dito, que ela tenha clareza do que está fazendo. Em geral ensinamos o chamado algoritmo convencional (arme e efetue) entre o 2º e o 3º anos do Ensino Fundamental. O ábaco é um instrumento que permite mostrar à criança noções de “vai um” (adição com reserva) e empréstimo (subtração com reserva). Portanto, ele é eficaz para essas duas operações, a adição e a subtração, mas é na sua capacidade de mostrar à criança o valor posicional que ele se apresenta como um excelente recurso didático. Exemplo de atividade Sequência utilizando o ábaco – compreensão do valor posicional 1) Represente no ábaco os números: a) 102 b) 1992 c) 73 d)836 1) Represente no ábaco os números: a) 102 b) 1992 c) 73 d)836
  24. 24. 25 Metodologia e Prática do Ensino da Matemática e Ciências 2) Desenhe o ábaco e represente os números pedidos: a) Sua idade hoje: b) O ano em que nós estamos: c) Um número par com três algarismos: d) Um número terminado em 0 maior que 90: e) Um número maior que 500 e menor que 1000: 2) Desenhe o ábaco e represente os números pedidos: a) Sua idade hoje: 6 b) O ano em que nós estamos: 2102 c) Um número par com três algarismos: 221 d) Um número terminado em 0 maior que 90: 001 e) Um número maior que 500 e menor que 1000: 136
  25. 25. 26 Unidade I 3) Represente no ábaco os números decompostos e escreva-os embaixo. a) 2 centenas e 4 unidades: ..................... b) 6 centenas: ..................... c) 2 dezenas e 6 unidades: ..................... d) 1 centena, 7 dezenas e 2 unidades: ..................... e) 5 dezenas: ..................... a) 2 centenas e 4 unidades: 204 ..................... b) 6 centenas: 600 .....................
  26. 26. 27 Metodologia e Prática do Ensino da Matemática e Ciências c) 2 dezenas e 6 unidades: 26 ..................... d) 1 centena, 7 dezenas e 2 unidades: 172 ..................... e) 5 dezenas: 50 ..................... 4) Decomponha os números a seguir e depois faça o registro deles no ábaco desenhado. Número Decomposição Registro no ábaco a) 249 ____ unidades ____ dezenas ____ centenas b) 942 ____ unidades ____ dezenas ____ centenas c) 603 ____ unidades ____ dezenas ____ centenas d) 129 ____ unidades ____ dezenas ____ centenas e) 227 ____ unidades ____ dezenas ____ centenas
  27. 27. 28 Unidade I Número Decomposição Registro no ábaco a) 249 9 unidades 4 dezenas 4 centenas b) 942 2 unidades 4 dezenas 9 centenas c) 603 3 unidades 0 dezenas 6 centenas d) 129 9 unidades 2 dezenas 1 centenas e) 227 7 unidades 2 dezenas 2 centenas 1.2.3 Multiplicação A multiplicação envolve uma gama de conhecimentos sobre as propriedades dos números e das operações, exigindo da criança estabelecer relações entre conceitos aprendidos, como as somas sucessórias (por exemplo: 3 + 3 + 3 ou 3 x 3). Também é desejável que tenha memorizado os fatos básicos (tabuada) do 1 ao 10, que servirão de base para que a criança possa compreender e operar o algoritmo convencional da multiplicação. Aaprendizagemdamultiplicaçãodeveserrealizadacombaseemdoisenfoques.Umdelesdiretamente interligado à adição de parcelas iguais e o outro como raciocínio combinatório. A adição de parcelas iguais pode ser exemplificada com o seguinte raciocínio: 2 X 4 = 4 + 4 4 X 2 = 2 + 2 + 2 + 2 O raciocínio combinatório equivale à verificação de quantas possibilidades há para se formar pares com duas coleções. Se uma menina tem 3 saias e 2 camisetas, de quantas maneiras diferentes ela pode se vestir sabendo que suas saias são vermelha, rosa e preta e suas camisetas amarela e branca?
  28. 28. 29 Metodologia e Prática do Ensino da Matemática e Ciências Quadro 2 – Possibilidades combinatórias Saia vermelha Saia rosa Saia preta Camiseta amarela * * * Camiseta branca * * * Resposta: seis combinações (2 X 3 = 6) Exemplo de atividade Sequências utilizando a adição de parcelas iguais Exemplo A 1) Pinte da mesma cor os quadros correspondentes: 4 x 5 3 + 3 + 3 + 3 + 3 5 x 3 2 + 2 3 + 8 5 + 5 + 5 + 5 5 x 7 2 x 6 4 x 10 2 x 2 8 + 8 + 8 10 + 10 + 10 6 + 6 7 + 7 + 7 + 7 + 7 2) Escreva a adição correspondente a estas multiplicações e dê o resultado: 2 x 5 = 5 + 5 = 10 . 8 x 2 = _______________________= ___________ 5 x 6 = _______________________= ___________ 4 x 5 = _______________________= ___________ 3 x 7 = _______________________= ___________ 5 x 5 = _______________________= ___________ 3 x 4 = _______________________= ___________ 3 x 8 = _______________________= ___________ 4 x 3 = _______________________= ___________ 5 x 0 = _______________________= ___________ 4 x 1 = _______________________= ___________ 6 x 2 = _______________________= ___________ 3) Escolha 2 multiplicações do exercício 2 e monte um único problema usando estas operações e outras que achar necessário:
  29. 29. 30 Unidade I Exemplo B 1) Pinte de azul a casinha do 8 e continue pintando de 8 em 8: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 2) Quais os resultados que você encontrou nas multiplicações por 8? 3) Monte as multiplicações por 8: 1 x 8 = 2 x 8 = Exemplo C 1) Efetue as multiplicações por 9: 1 x 9 = 2 x 9 = 3 x 9 = 4 x 9 =
  30. 30. 31 Metodologia e Prática do Ensino da Matemática e Ciências 5 x 9 = 6 x 9 = 7 x 9 = 8 x 9 = 9 x 9 = 10 x 9 = 2) Observe os resultados e registre suas descobertas: 3) Pinte de amarelo a casinha do 10 e continue pintando de 10 em 10: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 4) Monte as multiplicações por 10: 1 x 10 = 2 x 10 = 1.2.4 Divisão A divisão também tem dois enfoques. De início, a criança será levada a explorar apenas a chamada divisão-repartição, para chegar depois à divisão-comparação ou medida.
  31. 31. 32 Unidade I • Divisão-repartição: a ação de repartir encontra-se em situações nas quais é conhecido o número de grupos que deve ser formado com um determinado total de objetos, e é preciso definir a quantidade de objetos de cada grupo. Por exemplo: se 12 lápis precisam ser separados em 4 subconjuntos iguais, quantos lápis haverá em cada subconjunto? • Divisão comparação ou medida: ações que envolvem este tipo de divisão são encontradas em situações nas quais é preciso saber quantos grupos podemos formar com um determinado total de objetos, sendo conhecida a quantidade que cada grupo deve ter. Por exemplo: se 12 lápis serão separados em subconjuntos de 3 lápis cada um, quantos conjuntos serão feitos? Em atividades de divisão-repartição, a criança sabe, por exemplo, que deve distribuir os 12 lápis em 4 caixas ou pelos 4 cantos da mesa. Isso permite a aplicação de uma estratégia simples: ela pode distribuir 1 lápis de cada vez, até que os lápis se esgotem. Após essa ação, ela verifica, então, quantos lápis ficaram em cada caixa ou canto da mesa. Já na divisão-comparação, a criança tem os mesmos 12 lápis sobre a carteira e sabe que deve formar grupinhos de 3 lápis. Ela deverá aplicar outra estratégia: separar seu material de 3 em 3 e verificar, ao final da atividade, “quantos cabem”, ou seja, qual a quantidade de grupos formados (BRASIL. (a), 1997). Exemplo de atividade Sequências usando a divisão repartição 1) Um video game custa em média R$ 1.000,00. Quanto custará cada parcela, se o valor for dividido em 4 vezes? 2) Um álbum de figurinhas tem 576 figurinhas. Quero distribuí-las igualmente em 64 páginas. Quantas figurinhas deverão ser coladas em cada página? Sequências usando a divisão comparação ou medida 1) Em um prédio de apartamentos, uma reforma custou R$ 6.150,00. Para cobrir as despesas, os moradores de cada apartamento deram R$ 150,00. Quantos eram os apartamentos? 2) Preciso distribuir 1.230 refrigerantes em caixas. Cada caixa cabe 24 refrigerantes. a) Quantas caixas ficarão completas? b) Quantos refrigerantes caberão na caixa incompleta? 1.2.5 Frações As frações surgem, depois de todas as operações com números naturais terem sido inventadas, da necessidade do homem quantificar e registrar partes (frações/farturas) de um todo, que pode ser um objeto ou uma quantidade numérica abstrata.
  32. 32. 33 Metodologia e Prática do Ensino da Matemática e Ciências As operações com frações tornam-se um difícil aprendizado para os alunos se partirmos para a explicação dos conceitos sem que eles tenham atingido a compreensão de sua utilização na prática. É indispensável o contato com material concreto e com dados da realidade, como uma forma de ajudar os alunos a perceberem a utilidade prática de aprender a lidar com números fracionários. Apresentamos a seguir uma sequência interessante que busca sistematizar a leitura, o registro e o uso dos números representados por frações mais comuns. Visa levar o aluno a compreender e calcular frações de quantidades utilizando pesquisa, desenho e material concreto e o ensina a comparar frações e atingir a noção de equivalência de frações. Saiba mais Você encontrará observações e sugestões interessantes de atividades no endereço <http://portal.mec.gov.br/arquivos/pdf/fasciculo_mat.pdf>. A fração é um conceito matemático amplamente utilizado na nossa vida prática. Quando fazemos receitas em nossa cozinha, ou quando enchemos o tanque de combustível, estamos operando com frações, sem necessariamente estar entendendo os conceitos envolvidos. Nessa aula, pretendemos utilizar os conhecimentos trazidos pelos alunos e suas experiências do dia a dia para dar significado aos conceitos sistematizados sobre as operações com frações, estabelecendo assim um diálogo entre os conhecimentos empíricos (da experiência dos alunos) e os sistematizados pela escola (teóricos). Exemplo de atividdade Sequência de frações Estas atividades são recomendadas para o 3º e 4º anos. Método de trabalho: análise e reflexão em grupo, experimentação e pesquisa em grupo e individual, registro coletivo de informações, atividades escritas para serem resolvidas coletiva e individualmente, resolução de situações-problema e aulas expositivas. Material necessário: recipientes (garrafas, vasos, copos, xícaras e outros), diversos alimentos (de acordo com a receita utilizada), folhas de sulfite e cartolina (para cartazes). Avaliação: contínua e progressiva. A cada passo o professor avalia, por meio de diversos instrumentos (observação, atividades avaliativas escritas, entre outras), e com base nessas avaliações ele planeja suas ações.
  33. 33. 34 Unidade I Descrição da aula Primeiro passo Levaralgumasreceitasemqueapareçamfraçõesparaasaladeaula,epedirqueosalunos, em grupos, destaquem a forma como estão registradas as quantidades de ingredientes. Abordar com os grupos suas conclusões e dúvidas, destacando na lousa as informações obtidas e ressaltando de que maneira se lê e se interpreta os números representados por frações. Oprofessornãoprecisanecessariamenteutilizarostermos“numerador”e“denominador”, porém precisará explicar aos alunos como se lê um número fracionário. Deverá deixar claro que o número que fica acima do traço (numerador) lê-se exatamente como é (um, dois, três etc.), e que o número abaixo do traço (denominador), possui um nome particular: “2” lê-se meio, “3” lê-se terço, “4” lê-se quarto, e assim por diante. É importante explicar que o número fracionário representa uma parte do todo que se quer utilizar. Portanto, quando se diz 1/4 (um quarto) do quilo de café, significa que ao dividirmos o quilo de café em quatro partes, queremos utilizar apenas uma delas. Esta explicação deverá ser retomada a todo instante, seja na orientação teórica, seja na utilização de material concreto, para fixar com os alunos o seu significado. Dica: Utilizar um quadro pode ser uma boa maneira de deixar esta explicação exposta para futuras consultas. Quadro 3 – Números e frações de 1 a 9 2 3 4 5 6 7 8 9 meio terço quarto quinto sexto sétimo oitavo nono Segundo passo Propor algumas atividades, tais como: • fazer com os alunos algumas receitas em que sejam utilizadas frações; • utilizar recipientes (copo, vaso, xícara, garrafa) para medir quantidades, por exemplo: 1/2 xícara de açúcar, 1/4 de litro de leite, entre outros; • utilizar alimentos que possam ser divididos, como pizza 1/2 mussarela 1/2 calabresa, 1/4 de quilo de café, entre outros. Observação: nesta atividade o professor deverá retomar a ideia inicial, explicando que o número fracionário representa uma parte do todo que se vai utilizar. Por exemplo, que 1/2 é a metade de um todo, ou seja, de um todo divido em duas partes.
  34. 34. 35 Metodologia e Prática do Ensino da Matemática e Ciências Terceiro passo Pedir aos alunos que pesquisem em quais situações do cotidiano se utilizam frações. O professor também pode sugerir portadores de fração (receitas, cartazes etc.), caso os alunos não tragam material suficiente. É possível que surjam respostas como: • receitas: 1/2 xícara, 1/4 de copo, 1/2 litro, 1/2 quilo; • relógio: meia hora, meio-dia, meia-noite, 1/4 de hora; • tanque de combustível: 1, 3/4, 1/2, 1/4; • meias: meia 3/4, meia 7/8; • construção civil: 1/2 metro, 1 1/2 polegada, 1/4 de areia; • estatísticas: 1/3 da população; 1/4 das urnas foram apuradas até o momento. As informações devem ficar registradas em local de fácil consulta (caderno, mural, cartaz). Tendo como base as informações obtidas, portadoras de fração, o professor poderá desenvolver diversas situações-problema, como por exemplo: 1) Para ir para o trabalho meu pai utiliza 15 litros de gasolina, ou 1/4 de tanque de combustível. Responda: a) Quanto ele gasta para ir e voltar? ( ) 3/5 ( ) 1/4 ( ) 1/2 ( ) 3/4 b) Quantos litros ele gastará deixando o tanque vazio, sabendo que 1/4 corresponde a 15 litros? 2) Se 1/3 das urnas foram apuradas em 4 horas, quantas horas levará a apuração inteira? 3) Numa sala de aula há 36 alunos, e 1/3 deles possuem animais de estimação. Quantos não possuem? Dicas: • Redigir receitas com os alunos pode ser uma boa maneira para que aprendam a registrar números fracionários. Elaborar as receitas também pode ajudar a fixar os conceitos aprendidos. • O trabalho com estatísticas pode enriquecer a aprendizagem. Por exemplo, pode-se montar com os alunos um gráfico representando diversas situações, como a fração
  35. 35. 36 Unidade I de alunos do sexo masculino e feminino, a fração de alunos que moram em casa ou apartamento, e assim por diante. Quarto passo A partir do trabalho com os números fracionários na prática, e verificando a real compreensão dos alunos, o professor poderá introduzir conceitos importantes para as operações com números fracionários. Numerador e denominador Numerador: é o número que fica acima do traço. Ele numera a quantidade de partes utilizada do todo. Denominador: é o numero que fica abaixo do traço. Ele denomina a quantidade de partes em que foi dividido o todo. 1/4 Frações equivalentes e simplificação de frações Exercícios com papel podem ajudar os alunos a entenderem a noção de equivalência e facilitar a compreensão na hora de operar a adição de frações com mesmo denominador. Uma forma de realizar esse trabalho é entregar a cada aluno várias tiras de papel de mesmo comprimento e altura. Elas deverão ser dobradas ou cortadas para formarem as seguintes operações: 1/2 + 1/2 = 2/2 ou 1 inteiro 1/3 + 1/3 + 1/3 = 3/3 ou 1 inteiro 1/4 + 1/4 + 1/4 + 1/4 = 4/4 ou 1 inteiro 1/5 + 1/5 + 1/5 + 1/5 + 1/5 = 5/5 ou 1 inteiro 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 = 6/6 ou 1 inteiro
  36. 36. 37 Metodologia e Prática do Ensino da Matemática e Ciências 1/7 + 1/7 + 1/7 + 1/7 + 1/7+ 1/7 + 1/7 = 7/7 ou 1 inteiro 1/8 + 1/8 + 1/8 + 1/8 + 1/8 + 1/8 +1/8 + 1/8 = 8/8 ou 1 inteiro Com o material nas mãos, o professor poderá trabalhar com os alunos a equivalência entre frações, mostrando que existem certas porções iguais em inteiros de um mesmo tamanho, quando divididos (é o que acontece quando tomamos 1/2, 2/4, 3/6 ou 4/8, e assim por diante). Ainda utilizando esse tipo de material, o professor poderá trabalhar com os alunos a simplificação de frações. Em vez de apenas ensinar o processo de divisão do denominador pelo numerador, ele poderá comprovar, na prática, que 12/36 equivalem a 1/3, quando se trata de inteiros de mesmo tamanho. Exemplo de atividade Alguns problemas envolvendo frações 1) Numa área reservada foram plantadas 396 árvores. A terça parte desse total é de pinheiros. Quantos pinheiros existem nessa área? 2) Karim e Luiza estão lendo um livro de crônicas que contém 348 páginas. Karim já leu 3/4 do livro, e Luiza já leu 3/6. a) Sem fazer nenhum cálculo, você consegue saber quem leu mais páginas? Explique. b) Quantas páginas faltam para cada uma terminar de ler esse livro? 3) O pipoqueiro da escola ganha R$ 273,00 por semana. Quanto ele receberá se trabalhar 19 dias? 4) Toda 6ª feira vou para a escola com R$ 36,00 e só gasto 2/6 deste dinheiro. Com quanto volto para casa?
  37. 37. 38 Unidade I 5) Recebo de meu pai R$ 210,00 de semanada. a) Quanto posso gastar por dia de forma que eu tenha dinheiro a semana toda? b) Quero comprar um tênis que custa 3/7 da minha mesada. Quanto custa o tênis? c) Quanto vai me sobrar em dinheiro? d) Do restante do meu dinheiro, vou gastar 2/4 em roupa. Quanto vou gastar em roupa? 6) Numa sala de aula com 40 alunos, 3/4 são meninos e o restante meninas. Quantas são as meninas? Desenhe a fração. 7) Juliana já leu 1/7 do livro “A droga da obediência”. a) Desenhe a fração. b) Sabendo-se que o livro tem 105 páginas, quanto Juliana já leu? c) Quanto em fração falta para ela terminar de ler o livro? 8) Na prova de Ciências, Cláudia acertou 5/7 das questões. Sabendo-se que ela errou 6 questões, responda: a) Quantas questões Cláudia acertou? b) Quantas questões havia na prova toda? c)Desenhe a fração. Saiba mais Para conhecer outras maneiras de trabalhar as quatro operações e a fração/porcentagem, acesse o site do Programa de Formação Continuada de Professores dos Anos/Séries Iniciais do Ensino Fundamental: <portal. mec.gov.br/seb/arquivos/pdf/livro03.pdf>. Sugerimos especial atenção aos fascículos 2 e 4. 1.3 Espaço e forma Trabalhamos os objetivos e conteúdos de espaço e forma durante todo o Ensino Fundamental (1º ao 5º anos). Espera-se que as crianças se aproximem do uso de instrumentos e sistemas de medidas convencionais, utilizando procedimentos pessoais e unidades de medida não convencionais – por exemplo, medindo objetos e espaços com os pés, as mãos e pedaços de barbante. Futuramente, aprendem
  38. 38. 39 Metodologia e Prática do Ensino da Matemática e Ciências a usar régua, metros, trenas e outros instrumentos padronizados de medidas, além de se familiarizarem com conceitos de metro (m), centímetro (cm), metro linear, metro quadrado e metro cúbico. Oobjetivo,segundoosPCNdeMatemática(BRASIL,1997),équeosalunospossamteraoportunidade delidarcomesseselementosemsituaçõesdocotidiano,equerealizemalgumasestimativasderesultados de medições. Espera-se que o aluno utilize elementos de posição como referência para situar-se e movimentar-se em espaços que lhe sejam familiares, assim como para definir a situação de um objeto num determinado espaço. Acerca da forma (ou geometria), deseja-se que o aluno seja capaz de estabelecer semelhanças e diferenças entre os objetos, pela observação de suas formas. Nas aulas sobre espaço e forma, devemos proporcionar diferentes situações que levem o aluno a realizar observações e chegar a conclusões associadas ao que observa no cotidiano. Não se trata, de forma absoluta, de “decorar conceitos”, saber de memória o nome dos sólidos geométricos ou das formas planificadas. As crianças devem ser incentivadas a se expor de forma gráfica, oral, trazendo e mostrando materiais etc. 1.4 Geometria e medidas Geometria é o estudo das propriedades dos objetos e das transformações às quais podem ser submetidas,comoalteraçãodeposição,alteraçãodetamanhooudeformações.Porcausadenecessidades humanas, o nosso mundo é constituído de objetos que agem uns sobre os outros, transformando-se mutuamente, e de ações humanas que causam modificações a esses objetos. Podemos mesmo dizer que o mundo em que vivemos é geométrico. Talvez seja por isso que a Geometria foi o primeiro corpo de conhecimento a se organizar historicamente em um sistema ordenado e coerente de ideias a respeito do mundo. O método criado para isso, o dedutivo, serviu depois de modelo para todas as demais ciências ao longo da história. Desde o seu nascimento, as ações da criança ao explorar o espaço e conhecê-lo revelam uma geometria espontânea, isto é, independente dos ensinamentos escolares, mas influenciada pelo meio social e pela riqueza das experiências da criança. É por isso que a criança é um ser inquieto, que se movimenta, sem descanso, por todos os lados, manipulando e explorando ativamente os objetos que a rodeiam, primeiro pelos sentidos e, mais tarde, pela razão. A Geometria está também presente na natureza. Malba Tahan (2001) expressa bem esta questão: É notável a variedade de formas geométricas que os organismos vivos nos apresentam. Os alvéolos das abelhas apresentam a forma de prismas hexagonais que se fecham por meio de três losangos iguais e ligados. Pode- se ver a hélice cônica rigorosamente desenhada no perfil de uma concha. No girassol vemos um feixe de espirais logarítmicas e as curvas, com um ponto em comum, formam um entrelaçamento de rara beleza. Um caramujo se desenvolve segundo uma espiral logarítmica. A geometria, disse Platão,
  39. 39. 40 Unidade I existe por toda parte. No disco do Sol, na folha da tamareira, no arco-íris, no diamante, na estrela do mar, na teia de aranha, na flor de maracujá. Vamos encontrar, no perfil de certas palmeiras, uma curva que os matemáticos estudam e analisam como todas as minúcias. É a curva logarítmica. É a forma adotada por um princípio de economia, pois o vegetal, adotando o perfil logarítmico, pode, com a menor quantidade de material, resistir melhor ao empuxo do vento. O engenheiro, depois de longas e laboriosas transformações de cálculo infinitesimal, demonstra que a curva logarítmica é o perfil mais conveniente para uma torre de farol. A palmeira parecia conhecer esse segredo (TAHAN, 2001 pp. 45-46). Saiba mais Sugerimos que o educador conheça a obra O homem que calculava, escrita por Malba Tahan, na qual é encontrado um importante referencial sobre a história da Matemática e diversos conteúdos matemáticos em forma de romance, que podem ser adaptados a crianças de qualquer idade. A Geometria está presente em várias áreas da atividade humana, como a do engenheiro, do arquiteto, do decorador de ambientes, do paisagista, dos operários da construção civil, do artista plástico, do coreógrafo, da organização do tráfego de uma cidade, da costureira, do estilista de moda, do piloto de avião, do comandante de um navio e até mesmo do menino que dobra e recorta papéis ou madeira para fazer um brinquedo. Sendo assim, poderíamos pensar que a aquisição racional das relações espaciais se daria espontaneamente no indivíduo, decorrendo naturalmente de estímulos ambientais aleatórios. Mas isso não é verdade. São precisos vários anos de desenvolvimento da criança para que se possa construir o espaço perceptual, com a participação fundamental da maturação orgânica e psicológica. Por outro lado, a construção do espaço conceitual, ou lógico, é devida em grande parte à aprendizagem e ao desenvolvimento de relações perceptivas e do raciocínio lógico. É aí que entra o papel da escola com o ensino da Geometria. Saiba mais Sugerimos também o acesso ao endereço eletrônico do programa Arte na Matemática, que trata de maneira instigante a Geometria e outros conteúdos matemáticos. Disponível em: <http://www2.tvcultura.com.br/ artematematica/home.html>.
  40. 40. 41 Metodologia e Prática do Ensino da Matemática e Ciências Para muitos professores, o ensino de Geometria no Ensino Fundamental é associado apenas ao trabalho de nomear figuras simples, como quadrado, triângulo, retângulo e círculo, e calcular a área e perímetro dessas figuras. Isso, além de não esgotar o conteúdo geométrico necessário no Ensino Fundamental, se constitui em seus assuntos terminais. Para ensinar Geometria para crianças, há que se buscar um ensino conceitual construtivista que propicie um aprendizado não apenas por meio dos sentidos, mas baseado em conceituação e construção em uma exploração ativa dos objetos reais, funcionando como retificadores de erros resultantes da mera avaliação perceptiva ou de ideias preconcebidas. Lembrete A manipulação de objetos concretos não conduz necessariamente à formação de conceitos. Os objetos concretos devem permear todo o processo de aprendizagem, mas só se prestam à análise geométrica quando mediados pelos conceitos e construções. Não é suficiente afirmar que o ensino de Geometria deve se iniciar pelo estudo dos objetos reais e desenvolver-se no sentido espaço-plano. É preciso que o ensino-aprendizagem de Geometria não tenha um sentido único e obrigatório de percurso. Deve ser um “ir e vir” de explorações de superfícies e sólidos do espaço tridimensional sempre que possível e necessário, favorecendo o estabelecimento de relações entre essas dimensões. Saiba mais Para obter algumas sugestões de atividades envolvendo geometria, acesse o site: <http://revistaescola.abril.com.br/matematica/pratica- pedagogica/tangram-geometria-figuras-planas-618928.shtml>. O ensino de Geometria para crianças deve priorizar a exploração conceitual e lógica de fenômenos relativos: • à forma dos objetos, distinção, reconhecimento e representação; • às relações posicionais dos objetos entre si e de suas partes; • às relações métricas dos objetos; • às propriedades das transformações aplicadas aos objetos. Para tanto, o professor deve proporcionar aos seus alunos experiências de classificações sucessivas utilizando critérios ou conceitos, indo dos mais gerais aos mais específicos. Dessa forma, as figuras
  41. 41. 42 Unidade I mais utilizadas na escola aparecerão no final do processo, pois as crianças precisarão de conceitos intermediários para construírem autonomamente essas figuras, conhecendo com profundidade tais figuras e as relações entre elas. Um bom exemplo disso é o trabalho didático que se pode fazer com o tangram, um antigo jogo chinês que, com sete peças geométricas, admite a montagem de um grande número de figuras. As peças são sempre um quadrado, um paralelogramo e cinco triângulos retângulos. Essas peças têm relações de tamanho entre elas, de tal forma que, dois dos triângulos podem formar o quadrado por justaposição, isto é, se colocados lado a lado sem superposição. Esses mesmos dois triângulos podem formar um outro triângulo e também um paralelogramo. E essas cinco peças menores podem todas juntas formar os dois triângulos grandes do jogo. É fácil concluir que existem várias relações de forma e tamanho entre as peças, o que permite ao professor trabalhar com os alunos situações que vão desde as posições das peças até o conceito de fração mediante a comparação dos tamanhos das peças. Saiba mais Você pode conhecer mais sobre o uso de dobraduras no ensino de Geometria consultando os sites: <http://euler.mat.ufrgs.br/~ensino2/alunos/02/index.html>; <http://www.feg.unesp.br/extensao/teia/2007/trab_finais/EF-TrabFinal- Edney.pdf>. 1.4.1 Dimensões O critério geométrico mais comum para a classificação de objetos está baseado no conceito de dimensão. Considerando um objeto como uma linha, podemos verificar que, ao cortá-la em duas partes, o corte utiliza só um ponto. Assim, todo objeto que tem como seção um ponto é unidimensional. É chamado de curva ou caminho. Uma folha de papel sulfite, por exemplo, se for dividida em dois pedaços, o corte será feito sobre uma curva ou caminho. Objetos cujo corte é uma curva ou caminho são objetos bidimensionais. Um objeto bidimensional é chamado de superfície. Se uma bola de isopor for cortada em duas partes, o corte será uma seção bidimensional. Objetos cujo corte é bidimensional, como uma bola, são chamados tridimensionais. Todo objeto que for tridimensional é um sólido.
  42. 42. 43 Metodologia e Prática do Ensino da Matemática e Ciências Para o desenvolvimento de noções geométricas, o professor deve preparar para as aulas um universo de objetos variados com a participação dos alunos. Esse universo deve ser composto por rolhas, borrachas de várias formas, objetos de isopor, massa de modelar, barras de sabão, pedaços de linha de várias cores, fios de cobre recobertos e coloridos, barbante, dobraduras de papel colorido, embalagens, copinhos de plástico, pratinhos de papelão, sólidos geométricos de madeira, bolinhas de pingue-pongue, bolinhas de gude, poliedros de cartolina, legumes, lâminas de alumínio, molas, fios flexíveis, moedas, anéis, figuras geométricas planas que podem ser acopladas com elásticos para montar sólidos. Inicialmente, o professor deve pedir aos alunos para que separem os objetos em grupos, usando critérios de semelhança. São classificações espontâneas, que deverão ser exploradas pelo professor com o objetivo de verificar quais os critérios que inspiraram tais classificações. Esses critérios são geométricos? O professor deve pedir que os alunos verbalizem e expliquem tais separações, observando a linguagem geométrica espontânea da criança. Aos poucos, o professor vai escolhendo certos grupos de objetos que permitem a exploração de intuições geométricas propriamente ditas. O professor pode escolher objetos de dimensões diferentes e, com ajuda de uma faca ou tesoura, trabalhar com os alunos o conceito de corte como recurso de classificação, introduzindo os conceitos de curva, superfície e sólido. A seguir o professor pode iniciar com os alunos o estímulo às representações dos diferentes objetos estudados. Exemplo: uma argola, uma moeda e uma bola de gude. Propor que os alunos desenhem esses objetos de modo que o aluno os reconheça nas suas diferenças, apenas observando os desenhos. O professor deve comentar com toda a classe os vários trabalhos dos alunos, discutindo com eles a necessidade de fixar alguns critérios para representar figuras parecidas em uma folha de papel, levantando questões como quais foram as figuras de maior dificuldade de representar e por que. Deve- se ainda associar essas dificuldades à noção de dimensão e discutir as formas de representação feitas pelos alunos e as vantagens de se adotar padrões de representação. 1.4.2 Identificação de figuras Além de definir a dimensão do objeto, o segundo critério para classificação de objetos é o conceito de planicidade. As superfícies dividem-se em planas e não-planas. Uma superfície é considerada plana quando não possuir ondulações, depressões, dobras ou rugosidades em qualquer de suas partes. Intuitivamente, toda superfície plana deve resistir ao teste da mesa. Ao colocá-la sobre uma mesa, todos os seus pontos devem tocar na mesa. Caso contrário, será não plana. Chamamos todas as linhas de curvas, e podem ser abertas ou fechadas. As abertas têm começo e fim, e as fechadas podem ser percorridas indefinidamente e sempre se volta ao ponto inicial. As curvas planas encostam todos os seus pontos em um plano, e as não planas não encostam. Uma curva é simples quando, ao ser percorrida, não passa mais de uma vez por nenhum dos seus pontos, ou seja, não há intersecção em nenhum ponto dela.
  43. 43. 44 Unidade I Exemplos: curva plana simples fechada curvas planas simples abertas curva plana não simples fechada curva plana não simples aberta Figura 3 Exemplo de atividade Curvas Recorte pedaços de 20 cm de barbante, um para cada aluno. Peça que eles joguem o barbante sobre a mesa e copiem o formato das linhas em uma folha de sulfite, escrevendo ao lado do desenho sua classificação (se é curva plana simples fechada, curva plana simples aberta, curva plana não simples fechada e curva plana não simples aberta). Os alunos podem colar o barbante na última jogada, classificar a curva e colocar seu trabalho em um mural para que todos da sala possam consultar. O conceito de reta define que ela é ilimitada dos dois lados. Quando se delimita uma parte da reta por dois pontos, a parte que está entre os dois pontos é um segmento de reta. Quando vários segmentos de reta estão se tocando e têm direções diferentes, temos uma linha poligonal e, se essa linha for fechada, teremos um polígono. Exemplos: linha poligonal aberta linha poligonal fechada – polígono Figura 4 Os segmentos de reta podem ser classificados pela sua posição relativa no espaço: • segmentos paralelos nunca se cruzam e os pontos de ambos estão em um mesmo plano; • segmentos concorrentes possuem um único ponto em comum e não são coincidentes;
  44. 44. 45 Metodologia e Prática do Ensino da Matemática e Ciências • segmentos colineares ocorrem quando os seus prolongamentos são coincidentes; • segmentos reversos não se cruzam e não pertencem ao mesmo plano. Exemplos: segmentos paralelos segmentos concorrentes A B C segmentos colineares Figura 5 Esses critérios de classificação de linhas e segmentos permitem definir os polígonos. Um polígono é uma curva plana, fechada, simples, formada por segmentos de reta consecutivos e não colineares. Ou melhor, é uma superfície plana delimitada por uma linha poligonal fechada. Exemplos de polígonos: Figura 6 No quadro a seguir é possível ver a posição dos polígonos em relação às figuras do espaço. Quadro 4 – Polígonos Sólidos Superfícies Curvas abertas Curvas fechadas Sólidos geométricos Planas Abertas simples Fechadas simples e não polígonos Polígonos Simples Planas Abertas não simples Fechadas não simples Não simples Não planas Não planas Cadasegmentoderetadopolígonoseráumdeseuslados,ecadapontodeintersecçãooucruzamento de dois lados será um vértice do polígono. Os polígonos podem ser classificados pelo número de lados. O número mínimo de lados é três e será o triângulo. Veja a lista: • 3 lados – triângulo;
  45. 45. 46 Unidade I • 4 lados – quadrilátero; • 5 lados – pentágono; • 6 lados – hexágono; • 7 lados – heptágono; • 8 lados – octógono; • 9 lados – eneágono; • 10 lados – decágono. Se os lados do polígono são todos do mesmo comprimento, então é um polígono regular. Se os lados são diferentes é um polígono irregular. A classificação dos quadriláteros é bem interessante. Se os 4 lados são paralelos dois a dois, chama-se paralelogramo. Se dois lados são paralelos e dois não, então é um trapézio. Se os quatro ângulos são retos (com 90º), é um retângulo. Se todos os lados são iguais e paralelos, é um losango. Quando o quadrilátero for ao mesmo tempo retângulo e losango, ele será um quadrado. Veja no esquema a seguir: • os quadriláteros dentro da linha marrom são trapézios; • os quadriláteros dentro da linha preta são todos paralelogramos; • os quadriláteros dentro da linha azul são losangos; • os quadriláteros dentro da linha vermelha são retângulos. Observe onde estão os quadrados. Eles são ao mesmo tempo retângulos e losangos. Figura 7 Para que os alunos cheguem a estabelecer essas relações, é interessante oferecer a eles atividades de construção de figuras com quebra-cabeças de cartão ou madeira (como o tangram), montagem de figuras com palitos de sorvete, percevejos de metal e um geoplano, que é uma placa com vários pregos onde se podem criar figuras com elásticos. Atividades de recortes de papel e colagem e dobraduras.
  46. 46. 47 Metodologia e Prática do Ensino da Matemática e Ciências 1.4.3 Simetria Além de classificar as figuras, é interessante propor aos alunos a observação das posições dos objetos no espaço, bem como as transformações dessas posições sem alteração de forma e tamanho: transformações isométricas. As transformações isométricas nos permitem perceber as simetrias, que podem ser por translação, por rotação e por reflexão. As translações são resultado de movimentos das figuras sobre retas paralelas, como os vagões de um trem sobre seus trilhos. As rotações são movimentos das figuras sobre circunferências, como, por exemplo, os ponteiros do relógio. As reflexões são movimentos das figuras em volta de um eixo, como o fenômeno de reflexão diante de um espelho. Oestudodessesmovimentos,quemudamasposiçõesdasfigurassemalterarsuasformasedimensões, é importante para desenvolver a percepção espacial das crianças e tem influência na alfabetização, pois nosso alfabeto possui letras que têm a mesma forma e se diferenciam apenas pela sua posição no espaço, como visto em: • “b”, “p” e “q”; • “u” e “n”, • “6” e “9”, • “E” e “3”. Entre as letras “p” e “q” há uma simetria por reflexão. Veja a representação a seguir na qual a linha vertical representa o espelho. p q Entre as letras “b” e “q” há uma simetria por rotação, o mesmo que entre “n” e “u” e entre os números 6 e 9. 6 9 b q n u Figura 8
  47. 47. 48 Unidade I Para ajudar a criança a descobrir esses conceitos e os efeitos dessas transformações, o professor pode recorrer a atividades de dobradura, recorte e colagem, montagem de figuras (como quebra-cabeças), construções com blocos de montagem e observação dessas construções diante de um espelho, além de desenhar em frente ao espelho e observar fatos do cotidiano, como o letreiro das ambulâncias. Podem também ser realizadas atividades de artes plásticas, como desenhar rosáceas com ajuda de compasso e régua, observar mosaicos antigos e padrões de cerâmicas encontrados em pisos e revestimentos de paredes, assim como criar, por meio de desenho ou mediante recorte e colagem, padrões e montagem de mosaicos. Há também as dobraduras acompanhadas de recortes que dão um efeito mágico para crianças, como aqueles bonecos de papel que, quando são desdobrados, parecem de mãos dadas. Também são úteis as atividades de ginástica rítmica em frente ao espelho e exercícios de mímica. Como você pode ver aqui, a geometria pode ser integrada às aulas de alfabetização, de artes e educação física. Saiba mais Você pode conhecer mais sobre Matemática e arte visitando exposições de arte como a do artista Escher ou visitando o site da Fundação Escher: <http://www.mcescher.com>. Há também artistas brasileiros que pesquisam simetrias em mandalas como Marisa Nunes. Você pode conhecer algumas obras dela no site: <http://www.girassol355.com.br/marisa.nunes/Mandalas/Mandalas.htm>. 1.4.4 Conceito de medida O conceito de medida apoia-se na noção de comparação de tamanhos. Pode-se iniciar as atividades com os alunos pela comparação dos tamanhos das curvas entre si, com a finalidade de levantar, discutir e desfazer as possíveis ilusões dos alunos associadas à noção de comprimento. Uma ilusão muito frequente é a de que apenas a comparação das extremidades das curvas entre si é suficiente para decidir a respeito dos seus comprimentos. Nesse sentido, as curvas 1 e 2 a seguir teriam, para muitos alunos, o mesmo comprimento, ao passo que as curvas 3 e 4 teriam comprimentos diferentes, pelo simples fato de a curva 4 avançar em relação à curva 3, desprezando, ou não se atendo ao fato, de que esse avanço da curva 4 é compensado pelo mesmo avanço em sentido oposto da curva 3. Curva 1 Curva 2 Curva 3 Curva 4 Figura 9
  48. 48. 49 Metodologia e Prática do Ensino da Matemática e Ciências Outra ilusão que ocorre é a de que a mudança da forma de uma curva altera o seu comprimento. Assim, se imprimirmos um fio esticado à forma de uma mola, ou então ligarmos as suas extremidades formando uma curva fechada, muitos alunos acreditarão que o comprimento da curva inicial foi alterado. Um trabalho prévio de comparação de curvas entre si é necessário para que o professor avalie o estágio em que a maioria dos alunos se encontra em relação à noção de comprimento. É também um pré-requisito para a determinação do comprimento por meio do método de cobrimento do objeto por uma unidade de medida. Para isso é interessante apresentar situações de vários tipos: • curvas que possuem a mesma forma e mesmo comprimento; • curvas que possuem a mesma forma e comprimentos diferentes; • curvas que possuem formas diferentes e mesmo comprimento; • curvas que possuem formas diferentes e comprimentos diferentes. Essas atividades podem ser feitas com a manipulação de fios maleáveis de cobre, uns cortados em comprimentos diferentes e outros em comprimentos iguais. Mudando as formas dos pedaços de fios e apresentando-os aos alunos, esses devem observar e decidir quais têm o mesmo comprimento. Pede-se que os alunos organizem os fios de comprimento diferente em ordem crescente. A seguir eles devem conferir mudando as formas para melhor compararem. Outro tipo de atividade é fornecer curvas impressas em uma folha de papel, barbante para medir, cola, tesoura e pedir que façam as comparações. Veja no exemplo: Curva 1 Curva 2 Curva 3 Curva 4 Figura 10 Lembrete Você pode usar vários materiais como fios de náilon, corda, lã, barbante e fios de cobre flexíveis, cobertos de várias cores, cortados de vários tamanhos iguais e diferentes, e pedir aos alunos que criem formas variadas e depois que comparem os comprimentos. Depois eles mesmos devem conferir, criando um método próprio de comparação.
  49. 49. 50 Unidade I Devem também ser abordados com os alunos outros tipos de atividades que possibilitam a comparação de tamanhos das superfícies planas entre si, a partir do método do cobrimento, como, por exemplo, o que os pedreiros fazem ao colocar cerâmica em um piso ou azulejos em paredes. Outro tipo de exercício é o que se faz decompondo uma superfície por recorte e transformando-a em outra, pela desmontagem e remontagem com outra forma. Muitas vezes os alunos pensarão que a nova figura é maior ou menor que a figura inicial, porque mudou de forma, mesmo sem perder nenhum pedaço. Atividades com esse objetivo podem ser feitas com recorte e colagem de formas em papel colorido, para recobrir uma superfície previamente desenhada com a formação de mosaicos, por exemplo. Outro tipo de recurso pode ser feito com montagens variadas a partir de um mesmo conjunto de figuras, como é o caso do tangram. Dizemos que duas superfícies são do mesmo tamanho quando uma das seguintes hipóteses se verifica: • É possível sobrepor exatamente uma à outra pela simples mudança de posição de uma delas, ou seja, por meio de movimentos de rotação, translação, reflexão ou de combinação desses movimentos. • Existe pelo menos uma maneira de cortar uma delas em um certo número de partes que, dispostas de outra forma, sem superposição de partes, cobrem exatamente a outra superfície, como no caso das figuras feitas com as sete peças do tangram. Exemplos: A B C D Figura 11 As figuras A e B podem ser sobrepostas exatamente por movimento combinado de rotação e translação. As figuras C e D podem ser sobrepostas cortando-se o retângulo C na linha que o atravessa no desenho e com os dois triângulos obtidos pelo corte da figura D. Outra forma é cortar o triângulo D e com as duas partes obtidas sobrepor o retângulo C.
  50. 50. 51 Metodologia e Prática do Ensino da Matemática e Ciências Observação Você pode facilmente recortar um jogo de tangram a partir de um quadrado de cartolina, cortando-o em diagonal obtendo dois triângulos retângulos. Um dos triângulos você corta ao meio, obtendo dois triângulos. Reserve essas duas peças. O outro triângulo grande você corta em cinco partes conforme o esquema abaixo. Assim você junta as sete peças do jogo: um quadrado, um paralelogramo e cinco triângulos de três tamanhos. Veja a figura a seguir: Figura 12 Essas atividades de movimentos de figuras, recorte e montagem ajudam o desenvolvimento dos alunos. Esse tipo de abordagem inicial justifica-se pelo fato de o desenvolvimento do aluno passar por certos estágios, durante os quais o seu pensamento prende-se a certas ilusões perceptivas relacionadas com o conceito de área de uma superfície. Com tais atividades, o professor estará favorecendo esse desenvolvimento. Em uma segunda etapa, para medir comprimentos e superfícies, o professor deve apresentar aos alunos os instrumentos de medida convencionais e propor o uso desses instrumentos para medir objetos com os quais os alunos têm contato no seu cotidiano, assim como elaborar problemas que estimulem a imaginação. Medirosobjetos,asdistâncias,otempo,entreoutrascoisas,semprefoiumdesafioparaahumanidade. O homem conseguiu estabelecer medições de quase tudo o que o cerca. Desde o tempo em que a sobrevivência do ser humano dependia quase que totalmente do plantio e da colheita, e que as condições do clima ditavam o sucesso ou não dessas, o homem começou a olhar o céu para observar fenômenos, construir mapas celestes e fazer grandes medidas astronômicas. Quando descobriu os micro-organismos e elementos minúsculos, como átomos, começou a fazer medições microscópicas. Entretanto, nas trocas, no comércio e nas relações culturais em geral, cada povo usava unidades de medida diferentes. Na Inglaterra, a polegada, o pé, o estádio e a milha; na Rússia, o arcsin e o verstas; e assim por diante. Com o desenvolvimento do comércio, das comunicações, das trocas culturais e das ciências, foram fixadas, no século XIX, algumas unidades de medida internacionais,
  51. 51. 52 Unidade I a partir da fundação da Repartição de Pesos e Medidas, com sede em Paris. A primeira e mais simples medida padronizada é a medida de comprimento cuja unidade é o metro linear. Os alunos, que inicialmente tiveram a oportunidade de comparar os tamanhos das linhas em busca de igualdade ou não, têm agora que ampliar o conceito de medida a partir da introdução de unidades padronizadas para a medição do comprimento de objetos. Esse tema é importante porque trará o conceito de número para o domínio das relações espaciais, possibilitando a continuidade da exploração métrica do espaço com novos recursos. Assim, o aluno perceberá que a aritmética e a geometria são dois ramos da Matemática que se relacionam, se fundem e se completam, abrindo novos caminhos de conhecimento. Além disso, esse tema reforçará a compreensão do conceito de equivalência de frações e dará a todos maior amplitude a esse conceito aplicado. A medida é o resultado de um confronto, ou seja, só se pode medir o comprimento de um objeto comparando-o com o comprimento de outro objeto que se toma como unidade de medida. O processo de medição segue três passos: • escolher outro objeto para funcionar como unidade de medida; • verificar quantas vezes a unidade de medida escolhida cabe no objeto a ser medido; • tentar encontrar um número que possa expressar rigorosamente o resultado da medição. Existem casos específicos. A unidade de medida pode ser menor que o objeto e caber nele um número inteiro de vezes, resultando como medida um número inteiro. Às vezes, a unidade de medida escolhida pode não caber um número exato de vezes no objeto, sobrando um pedaço. A unidade precisará então ser dividida em pedaços menores, frações, que permitam medir o restante do objeto. Pode acontecer também do objeto ser menor do que a unidade de medida, precisando então de frações da unidade para que seja possível medir o objeto. Surge, assim, a necessidade dos submúltiplos da unidade. Se o objeto a medir for muitíssimo maior que a unidade de medida, o número que resulta da medição é muito grande. Então torna-se interessante a criação de unidades de medida maiores para facilitar a medição, surgindo os múltiplos. Desta forma surgem as frações do metro (decímetro, centímetro e milímetro) e os múltiplos do metro (decâmetro, hectômetro e quilômetro). Essas novas unidades de medida do sistema métrico são expressas pelos números decimais. O sistema métrico, surgido na França em 1790, é hoje utilizado em 138 países. Os Estados Unidos são o único país desenvolvido que não o adotou oficialmente, embora também o utilizem. O Brasil assumiu o sistema métrico decimal por meio da Lei Imperial, em 26 de junho de 1862. É necessário fazer o aluno conhecer o metro visualmente, mediante a régua, a trena, a fita métrica etc. A partir disso, basta proceder à construção dos seus submúltiplos. Depois, é preciso que o aluno utilize esses instrumentos para efetuar medidas de objetos reais, e só então passará a medir segmentos de retas das representações gráficas das figuras geométricas, podendo resolver problemas geométricos mais teóricos.
  52. 52. 53 Metodologia e Prática do Ensino da Matemática e Ciências Exemplo de atividade Sequência de trabalho com o conceito de medidas que pode ser aplicado aos alunos do 1º e 2º anos. Exemplo A Para esta atividade você precisará de: • Régua. • Estojo (com materiais). • Lápis para escrever. 1) Meça com a régua o comprimento do maior objeto que tiver dentro do estojo. Objeto: _________________ Medida: _________________ 2) Agora meça com a régua o comprimento do menor objeto que tiver dentro do estojo. Objeto: _________________ Medida: _________________ 3) Você usaria sua régua para medir a altura de uma pessoa? Por quê? Exemplo B 1) ________________ tem _____ centímetros de altura. Quantos centímetros faltam para ele chegar a 150? 2) ________________ tem _____ centímetros de altura e o professor tem _____ centímetros. Se ________________ crescer _____ centímetros, ele vai alcançar a altura do professor? Por quê? 3) ________________ tem _____ centímetros de altura. Se ele crescer 5 centímetros, ele vai ficar com _____ centímetros. Exemplo C Lição de casa
  53. 53. 54 Unidade I 1) Descubra a altura de sua mãe e escreva aqui. 2) Usando sua régua ou, se tiver, uma fita métrica ou trena, meça o tamanho da cama em que você dorme e escreva aqui. 3) Sua mãe caberia em sua cama sem precisar dobrar o corpo? Exemplo D Lição de casa 1) Cada vez que você escova os dentes, usa 2 centímetros de pasta de dente. Escovando os dentes 4 vezes ao dia você usará _____ centímetros por dia (se quiser use a régua). Exemplo E 1) Complete as informações do quadro: Quadro 5 Grupo/professor Nome Idade Altura Exemplo F 1) Complete este quadro com a sua altura e a de seus colegas:

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