Mecânica dinâmica

-
1642-1727
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 Até agora apenas descrevemos os movimentos cinemática.
 É impossível, no entanto, prever movimentos usando somente a cinemática.
 Forças são as causas das modificações no movimento. Seu conhecimento
permite prever o movimento subseqüente de um objeto.
 O estudo das causas do movimento é a Dinâmica .
 A Mecânica Newtoniana (Isaac Newton, 1642-1727) estabelece a relação entre a
força e a aceleração por ela produzida em um corpo de massa m.
 Entretanto, a Mecânica Newtoniana não se aplica a todas as situações. Em casos de
altas velocidades, próximas à velocidade da luz, ela deve ser substituída pela Teoria
da Relatividade Restrita de Albert Einstein (1879-1955). Já, se as dimensões dos
corpos envolvidos nos movimentos são muito pequenas (massa muito pequena), da
ordem de dimensões atômicas, ela deve ser substituída pela Mecânica Quântica.

• Durante séculos, o estudo do movimento e suas causas
tornou-se o tema central da filosofia natural. Antes de
Galileu, a maioria dos pensadores acreditava que um corpo
em movimento encontrar-se-ia num estado forçado,
enquanto que o repouso seria o seu estado natural.
• A experiência diária parece confirmar essa afirmativa.
Quando depositamos um livro sobre uma mesa é fácil
constatar seu estado natural de repouso. Se colocarmos o
livro em movimento, dando-lhe apenas um rápido empurrão,
notamos que ele não irá se mover indefinidamente: o livro
deslizará sobre a mesa até parar. Ou seja, é fácil observar
que cessada a força de empurrão da mão, o livro retorna ao
seu estado natural de repouso. Logo, para que o livro
mantenha-se em movimento retilíneo uniforme é necessária
a ação contínua de uma força de empurrão.

Para Aristóteles havia dois tipos de movimento:
O movimento natural – Cada um dos 4 elementos (Terra, água, ar e fogo) possui um
lugar bem definido no Universo. O movimento natural de um corpo consiste em uma
busca pelo seu lugar natural. O movimento de queda de uma pedra ou da água, por
exemplo, é um movimento natural, pois visa retornar aos seus lugares naturais.
O movimento forçado – Quanto aos movimentos não naturais, como o empurrar de
uma caixa ou arremessar uma pedra, Aristóteles atribuiu uma força em constante
contato com o objeto, causando o movimento forçado. Embora Aristóletes nunca tenha
usado uma expressão matemática para mostrar suas idéias sobre o movimento, talvez
pudéssemos expressar sua idéias usando a expressão abaixo:
v = F/R,
onde: v = velocidade, F = força e R = resistência do meio
Através dessa expressão podemos perceber que para Aristóteles:
A velocidade é diretamente proporcional à força aplicada no corpo. Quanto maior a
força maior a velocidade. Ao cessar a força cessa o movimento.
A velocidade é inversamente proporcional à resistência oferecida pelo meio. De
acordo com suas idéias, um corpo abandonado longe de seu lugar natural retorna a ele
tanto mais rápido quanto o meio permitir. Vale frisar que a idéia de um vácuo hipotético
implicaria em uma velocidade infinita o que era (e continua sendo) uma idéia absurda.

Para Aristóteles a existência de uma força propulsora contínua era uma condição para
o movimento. Para explicar o movimento forçado de um projétil, que ocorre sem a
presença aparente de uma força propulsora, argumentava:
Para Aristóteles, a idéia de um movimento retilíneo eterno é totalmente inaceitável. A
justificativa de que o meio fornecia ao projétil a força necessária para manter o
movimento foi denominada de Antiperistasis. O meio não apenas oferecia resistência
como também sustentava o movimento. www.fisicaatual.com.br

 Hiparco de Nicéia (130 a.C.) discorda da Antiperistasis de Aristóteles,
argumentando que o lançador transmite uma força ao projétil que a absorve. A
força absorvida pelo corpo é consumida à medida que o corpo se move.
 A noção de força impressa reaparece no trabalho do filósofo árabe Avicena
(980 - 1037). Para ele, a força que um projétil adquire é algo análogo ao
que o fogo fornece à água. Avicena explica o movimento de um projétil
arremessado horizontalmente da seguinte forma: inicialmente o projétil move-se
em linha reta na direção em que foi lançado até que a força horizontal que
lhe foi impressa seja totalmente gasta. Quando isso acontece, o projétil para
momentaneamente, e logo passa a se mover pra baixo sob a ação de seu
“peso natural”. Para o filósofo Avicena, a trajetória de um projétil lançado
horizontalmente deveria ser um L invertido.
 Para Buridan, um ímpetus é adquirido pelo corpo através do agente
movedor (mão, canhão, etc.) e o corpo fica impregnado dele. Sobre o ímpetus,
Buridan afirmava que:
• Tinha caráter eterno e só podia ser dissipado por influências externas
(gravidade, resistência do meio, etc.).
• Era proporcional à quantidade de matéria e à velocidade do corpo. Um misto
entre o que chamamos de força e o que chamamos de quantidade de
movimento ou momento linear.

CONCEITO DE FORÇA
O conceito leigo de força é um conceito primário, intuitivo.
Por exemplo, é preciso “fazer força” para deformar uma mola,
empurrar um carrinho,etc.
Em Física, pode-se definir como força um agente capaz de
alterar o estado de movimento retilíneo uniforme de um corpo ou
de produzir deformações em um corpo elástico. Em muitos casos,
uma força faz as duas coisas ao mesmo tempo.
A velocidade de um corpo só pode ser alterada por uma força.
Mas um corpo não necessita sofrer a ação de uma força para
manter sua velocidade.
Como força é aquilo que altera a velocidade de um corpo e como a
aceleração é a alteração na velocidade de um corpo. A força deve
ter alguma relação com a aceleração

As forças podem, de maneira geral, ser classificadas em dois
grandes grupos: forças de ação à distância e forças de contacto . As
forças de contato envolvem contato físico entre os objetos. As forças
de ação à distância atuam através do espaço vazio. As forças que
agem á distância diminuem com esta.
contato à
distância

Nuclear Forte
Nuclear Fraca
estabiliza o
núcleo
Eletromagnética
estabiliza os átomos
decaimento
radioativo
Gravitacional
estabiliza o sistema
solar

Antes do século XVII acreditava-se que para manter um objeto em
movimento com velocidade constante era necessário aplicar uma força
constante. A experiência cotidiana parece confirmar essa crença, pois,
por exemplo, se pararmos de empurrar um carrinho de brinquedo, ele irá
parar.
No início do século XVII, Galileu começou a fazer experimentos com
bolas e planos inclinados. Soltou uma bola de uma certa altura num
plano inclinado. A bola desceu e subiu outro plano. Usando bolas e
planos muito lisos, Galileu observou que as bolas subiam quase até a
mesma altura de onde tinham sido soltas.
h h
Quase a mesma altura, mas não exatamente. Galileu percebeu que as
bolas estavam perdendo algo em seu caminho devido ao atrito. Mas se o
atrito fosse completamente eliminado, o que aconteceria? Galileu concluir
que as bolas atingiriam exatamente a mesma altura.

Galileu resolveu fazer uma variação em seu experimento: ele iria diminuir
gradualmente a inclinação do plano por onde as bolas sobem:
h h
As bolas irão percorrer distâncias cada vez maiores até pararem.
Galileu então se perguntou: Onde a bola irá parar se o segundo plano
não apresentar nenhuma inclinação?
h ???????
Galileu concluiu que, quando se elimina a força de atrito, os objetos
em movimento mantém seu movimento sem necessidade de força.
Para parar um objeto, ou para colocá-lo em movimento aí sim, é
necessário aplicar uma força.

F 0 R =
repouso
movimento retilíneo uniforme

Aristóteles achava que todo movimento era “forçado”. Se um corpo não
sofresse a ação de forças ele só poderia estar em repouso. O repouso
era o único estado natural para um corpo.
A 1ª Lei de Newton estabelece que movimento é tão natural quanto o
repouso. Um corpo não necessita sofrer a ação de força para manter
seu repouso, assim como não precisa sofrer a ação de força para
manter seu movimento. Ele necessita sofrer a ação de força para
alterar seu movimento ( sofrer aceleração).

Inércia consiste na tendência natural que os corpos possuem de
manter seu estado, seja ele de repouso ou movimento.

A inércia é um termo usado para medir a capacidade de um objeto para
resistir a uma mudança em seu estado de movimento
Um objeto que apresente uma grande inércia necessita de muita força
para iniciar um movimento ou parar. Um objeto que apresente uma
pequena inércia necessita de pouca força para iniciar um movimento
ou parar.
força
grande
inércia
grande
mudança
de
movimento
1 m/s2
força
pequena
inércia
pequena
mudança
de
movimento
1 m/s2
A massa de um corpo é a medida da sua
inércia.

Um corpo em
repouso irá
permanecer
em repouso
a não ser que ele
sofra a ação de
uma força.
Um objeto em
movimento continuará
em movimento
até que atue nele
uma força.

Imaginemos que empurramos uma caixa sobre uma superfície lisa (pode-se
desprezar a influência de atrito). Quando se exerce uma certa força
horizontal F, a caixa adquire uma aceleração a. Se se aplicar uma força 2
vezes superior, a aceleração da caixa também será 2 vezes superior e
assim por diante. Ou seja, a aceleração de um corpo é diretamente
proporcional à força resultante que sobre ele atua:
Faa
Entretanto, a aceleração de um corpo também depende da sua massa.
Imagine, como no exemplo anterior, que se aplica a mesma força F a um
corpo com massa 2 vezes maior. A aceleração produzida será, então, a/2.
Se a massa triplicar, a mesma força aplicada irá produzir uma aceleração
a/3. E assim por diante. De acordo com esta observação, conclui-se que:a
aceleração de um objeto é inversamente proporcional à sua massa:
a 1
m

A força da mão acelera a caixa;
Duas vezes a força, produz
duas vezes mais aceleração;
Duas vezes a força sobre
uma massa duas vezes
maior, produz a mesma
aceleração original.
A força da mão
acelera a caixa;
A mesma força sobre uma
massa duas vezes maior,
causa metade da
aceleração;
A mesma força sobre uma
massa três vezes maior,
causa um terço da
aceleração;
A A força força resultante que age age sobre sobre um
corpo é igual ao produto da massa do corpo
pela sua aceleração.
corpo é igual ao produto da massa do corpo
pela sua aceleração.

FR = m.a

massa aceleração massa mais
Força Mais
força
aceleração
velocidade
aumenta
velocidade
aumenta
mais rápido
massa mais
aceleração massa
Força Força
menos
aceleração
velocidade
aumenta
velocidade
aumenta
mais lento

O movimento abaixo é acelerado, e a velocidade tem o mesmo sentido
da aceleração:
V =5m/s
V = 10m/s V = 15m/s V =20m/s
a a a a
0,0 s 1,0 s 2,0 s 3,0 s
Como a resultante de forças tem o mesmo sentido da aceleração, então
a resultante de forças tem o mesmo sentido da velocidade:
V =5m/s
V = 10m/s V = 15m/s V =20m/s
a a a a
0,0 s 1,0 s 2,0 s 3,0 s
FR FR FR FR

O movimento abaixo é retardado, e a velocidade tem sentido contrário ao
da aceleração:
V =20 m/s V =15 m/s V = 10 m/s V =5,0 m/s
a a a a
0,0 s 1,0 s 2,0 s 3,0 s
Como a resultante de forças tem o mesmo sentido da aceleração, então
a resultante de forças tem sentido contrário ao da velocidade:
V =20 m/s V = 15 m/s V = 10 m/s V = 5,0 m/s
a a a a
0,0 s 1,0 s 2,0 s 3,0 s
FR
FR
FR FR

Vamos prender dois ímãs a dois carrinhos e a seguir colocar os carrinhos
sobre uma superfície plana, horizontal e lisa de uma forma tal que os
polos norte dos dois ímãs fiquem voltados um para o outro. Largando-se a
seguir os dois carrinhos observa-se que eles passam a se mover, com
movimentos acelerados, afastando-se um do outro. Tal fato ocorre porque
o ímã 1 exerce sobre o ímã 2 uma força, enquanto que o ímã 2 exerce
também uma outra força sobre o ímã 1, tais forças tendo sentidos
opostos.
f21 f12
Quando dois corpos interagem, as forças
Quando dois corpos interagem, as forças
que cada corpo exerce sobre o outro são sempre
iguais em módulo e têm sentidos opostos.
que cada corpo exerce sobre o outro são sempre
iguais em módulo e têm sentidos opostos.

A força F12 exercida pelo objeto 1 sobre o objeto 2 é igual em valor e de
sentido oposto à F21 exercida pelo objeto 2 sobre o objeto 1
F12 = - F21
CARACTERÍSTICAS ddoo ppaarr AAÇÇÃÃOO -- RREEAAÇÇÃÃOO
- MMeessmmoo mmóódduulloo
- MMeessmmaa ddiirreeççããoo
- SSeennttiiddooss ooppoossttooss
- AAttuuaamm eemm ccoorrppooss ddiiffeerreenntteess ((nnuunnccaa ssee aannuullaamm))
- GGeerraamm eeffeeiittooss ddiiffeerreenntteess

Força Gravitacional Força Gravitacional ((FFg) ou Peso (P) g) ou Peso (P)
Força gravitacional ou peso é a força de atração que a massa da Terra
exerce em corpos colocados próximos a sua superfície.
Quando um corpo colocado próximo da Terra é abandonado, se a única
força que nele atuar for o Peso ( P ), ele cairá sob ação da aceleração da
gravidade ( g ).
FRes = m.a
P = m.g

MEDIDA DE FORÇAS www.fisicaatual.com.br
Lei de Hooke: A força que atua numa mola é diretamente proporcional a
sua deformação:
F = K.x
onde: K = constante elástica da mola
x = deformação da mola posição equilíbrio
FX = 0
posição de equilíbrio
FX = kx
x
posição de equilíbrio
FX = kx
x

Um dinamômetro é uma mola calibrada que mede o valor de uma força. A
intensidade da força aplicada e a deformação são diretamente
proporcionais, isto é: se uma força de intensidade 1 newton produzir uma deformação
de 0,5 cm, uma força de intensidade 2 newtons produzirá uma deformação de 1 cm, e
assim por diante.

Balança de mola:
medida da força peso:
Balança de braços iguais:
comparação com massas-padrão
Mesmo resultado na Terra ou na Lua.
Resultados diferentes na Terra
e na Lua
massa a ser
medida Massas
padrões
Unidade SI de massa: kg (quilograma)
1 kg é a massa de 1 ℓ de água à temperatura de 40C e à pressão
atmosférica.
Em termos do padrão para a massa, encontramos a unidade de
força: a força que produz uma aceleração de 1 m/s2 em um corpo de 1
kg é igual a 1 N (newton), que é a unidade SI de força.

FFoorrççaa NNoorrmmaal l ((FFN) N)
Quando um corpo exerce uma força sobre uma superfície, a superfície se deforma e
empurra o corpo com uma força normal ( N ) que é perpendicular à superfície.
-N
N P
-P
A Terra exerce no bloco uma força para baixo: Peso ( P )
O bloco reage na Terra: reação ao Peso ( -P )
O bloco comprime a mesa: Normal ( N )
A mesa reage no bloco: reação à Normal ( -N )
Forças que atuam no bloco: N e P. Como não são
um para ação-reação podem se anular.
Se o bloco está em repouso, a resultante de forças
no bloco tem que ser nula. Logo, a reação da normal
anula o peso. Para isso:
N = P

Quando uma corda (ou um fio, um cabo, ...) é presa a um
corpo e esticada aplica ao corpo uma força de tração
orientada ao longo da corda. Essa força é chamada força de
tração porque a corda está sendo tracionada.

A Terra exerce no corpo uma força para baixo: Peso ( P )
O corpo reage na Terra: reação ao Peso ( -P )
O corpo exerce na corda uma tração: Tração ( -T )
A corda reage no corpo: reação à Tração ( T )
Forças que atuam no corpo: T e P. Como não são
um para ação-reação podem se anular.
Se o corpo está em repouso, a resultante de forças
no corpo tem que ser nula. Logo, a reação da tração
anula o peso. Para isso:
T = P

www.FORÇA DE ATRITO fisicaatual.com.br
 A força de atrito se origina de forças interatômicas, ou seja, da força
de interação entre os átomos. Quando as superfícies estão em contato,
criam-se pontos de aderência ou colagem (ou ainda solda) entre as
superfícies. É o resultado da força atrativa entre os átomos próximos uns
dos outros.
 Para existir a força de atrito deve haver movimentos relativo entre os
corpos em contato (atrito cinético), ou pelo menos a menos a tendência
de um se mover em relação ao outro (atrito estático) graças à ação de
outras força(s), externa(s) a ele(s) aplicadas.
 Se as superfícies forem muito rugosas, a força de atrito é grande
porque a rugosidade pode favorecer o aparecimento de vários pontos de
aderência, como mostra a figura abaixo.

O corpo da figura abaixo está sendo empurrado por uma força F. Ele
sofre a ação de uma força de atrito Fa . Atuam no corpo a força normal
( N ) e o peso ( P ).
Mesmo aumentado a força aplicada, o corpo continua em repouso. Atua atrito
estático:
V = 0 V = 0 V = 0 F
F F
Quando o corpo entra em movimento, podemos diminuir a força aplicada que ele se
mantém em movimento. Atua atrito cinético:
V ǂ 0
F

fe1
c
c
c
fe2
fc
 Se o corpo não se move, então a força de atrito estático fe e a componente F que é paralela à
superfície se equilibram. Elas são iguais em módulos, e fe possui sentido oposto ao dessa
componente de F. A força de atrito estático aumenta à medida que a força aplicada aumenta e
atinge um valor máximo dado por:
f .N e(máxima) e = m
onde μe é o coeficiente de atrito estático.
 Se o corpo começa a deslizar ao longo da superfície, o módulo da força de atrito diminui
rapidamente para um valor fc ( força de atrito cinético) dado por:
onde μC é o coeficiente de atrito cinético.
f .N C C = m
F 2 > F1
f e2 > fe1

repouso
Força de atrito estática
movimento
Força de atrito cinética
Força de atrito
estática
máxima
Comparação entre a força aplicada e a velocidade do
V(m/s) corpo.
F(N)
tempo (s)
tempo (s)

 A força de atrito estático varia de zero até um valor máximo dado por:
f .N (e)máxima e =m
 A força de atrito cinético que atua durante o movimento é constante e
dada por:
f .N c e =m
 A força de atrito estático máxima é sempre maior que a força de atrito
cinético. Isso se deve aos coeficientes de atrito:
e c m > m

Um corpo executa um MCU quando descreve uma trajetória circular
mantendo um valor de velocidade constante. O corpo sofrerá a ação
apenas da aceleração centrípeta.
De acordo com a 2ª Lei de Newton, se um corpo sofre aceleração, ele
sofrerá a ação de uma resultante de força no mesmo sentido da
aceleração. Essa resultante de forças é chamada de força centrípeta.
F m.a R = Fcentípeta = m.acentrípeta
a V
2
R
centrípeta =
F m.V
2
R
centrípteta =
ac
Fc
MOVIMENTO CIRCULAR UNIFORME

Um corpo gira sobre uma mesa lisa preso a uma corda:
v
Vista lateral
N
P
T
 A força peso é anulada pela reação da
normal.
 A tensão exercida pela corda é a
resultante de força que atua no corpo.
T = Fc
Vista de topo
Se a tensão exercida pela corda é a resultante
de forças que atua na direção do centro, ela
faz o papel de força centrípeta:
F m.V
2
R
centrípteta =
T m.V
2
R
=
Aumentando a velocidade do corpo, a tensão
na corda aumenta .

Pêndulo Simples
T
P
T’
P
Pêndulo em repouso: FR = 0 P = T
No ponto mais baixo existe uma resultante atuando
na direção do centro.
T' > P
F T P m.V
R
2
centrípteta = - =
Com o pêndulo oscilando, a tensão na corda é
maior do que com o pêndulo em repouso.

Movimento Circular
Vertical
No ponto mais
baixo
R
N
P v
N > T
Força resultante: N + P
N
P
F R = FC
R
v
Fc
F N P m.V
R
2
centrípteta = - =
PODEMOS
SUBSTITUIR
POR

SSuubbiinnddoo www.fisicaatual.com.br
v
N
P
A normal é a resultante de forças na direção do
centro:
F N m.V
R
2
centrípteta = =
NNoo ppoonnttoo mmaaiiss aallttoo
R
v
P
Força resultante: N + P
N
P
F R = FC
R
v
F R = FN C
F N P m.V
R
2
centrípteta = + =
Podemos
substituir
por

A velocidade mínima para passar pelo ponto mais alto dará quando a
reação da normal for nula:
N = 0
R
v
P = FC
2m
F P m.V
R
in
C = =
= in V g.R min =
2m
m.g m.V
R

www.fisicaatual.com.br Curvas
Planas
 o peso é anulado pela reação da
normal.
 a resultante de forças é a força de
atrito estático.
 a força de atrito estático faz o papel
de força centrípeta.
 se a velocidade aumenta, a força de
atrito estático aumenta.
 a maior velocidade para fazer a curva
sem derrapar é uma velocidade para
qual a força centrípeta é a força de
atrito estático máximo.
2m
F (F ) m.V
2 máxima
= = áxima
centrípteta atrito máxima R
R
.m.g m.V
e m = V .g.R máxima e = m
Se as rodas travarem e deslizarem, passa a atuar força de atrito cinético, que é
menor que a estático máxima. Assim, o carro tem probabilidade de derrapar.

www.fisicaatual.com.br Curvas Inclinadas
N N.cos θ
c
N.sen θ
Uma parte da normal ( N cosθ) anula o peso (m.g):
N.cos θ = m.g
A outra parte da normal ( N ) aponta para o centro da trajetória, e
se soma à força de atrito para aumentar a força centrípeta. A
velocidade máxima para descrever uma curva inclinada é maior
do que para descrever uma curva plana de mesmo raio.

Na Terra a sensação de peso ocorre devido a força de reação normal
( N ) que recebemos da superfície de apoio. Na situação de equilíbrio: N
= P = mg.
Suponha uma nave espacial, em forma de cilindro oco de raio R,
mostrada abaixo, girando com velocidade angular constante em torno de
um eixo E. No interior de naves espaciais podemos evitar a flutuação dos
cosmonautas através da rotação da nave. Esta rotação obriga os
astronautas a exercer uma força normal no piso da nave.
Um astronauta nessa nave girante,
recebe como reação do piso da nave uma
força normal que funciona como sua
resultante centrípeta, dando a sensação
de peso.
Gravidade Simulada em
Naves

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