1) O documento apresenta conceitos básicos de análise combinatória, incluindo o princípio multiplicativo, permutações, fatorial e combinações simples. 2) São apresentados exemplos de problemas e suas respectivas soluções utilizando esses conceitos. 3) Também são introduzidos conceitos básicos sobre conjuntos, como pertinência e inclusão.

1. ANÁLISE
COMBINATÓRIA
Profº
Cláudio
Mendes

2. Princípio
mul-plica-vo
Se
uma
decisão
A
pode
ser
tomada
de
x
modos
e
uma
outra
decisão
B
pode
ser
tomada
de
y
modos,
o
número
de
modos
que
podemos
tomar
a
decisão
A
seguida
da
decisão
B
é
x
·∙
y

3. (Correios-­‐RJ)
Quantos
números
de
três
algarismos
diferentes
podem
ser
formados,
uMlizando
os
algarismos
de
1
até
9?
a)
729.
b)
576.
c)
504.
d)
999.
e)
441.
9
8
7
9
·∙
8
·∙
7
=
504

4. Permutações
Permutar
é
arranjar
objetos
disMntos
em
ordens
diferentes
Ex:
De
quantos
modos
podemos
arranjar
4
pessoas
em
4
cadeiras
enfileiradas?
Fatorial
n!
=
n
·∙
(n-­‐1)
·∙(n-­‐2)
·∙
...
·∙
3
·∙
2
·∙
1
4!
=
4
·∙
3
·∙
2
·∙
1
=
24
modos

5. (Correios-­‐RJ)
De
quantas
maneiras
disMntas
seis
caixas
de
cores
diferentes
podem
ser
empilhadas?
a)
36.
b)
72.
c)
360.
d)
540.
e)
720.
6!
=
6
·∙
5
·∙
4
·∙
3
·∙
2
·∙
1
=
720

6. Combinação
simples
são
agrupamentos
formados
com
os
elementos
de
um
conjunto
que
se
diferenciam
somente
pela
natureza
de
seus
elementos.
Combinações
simples
)!pn(!p
!n
C p,n
−
=

7. (Correios-­‐RJ)
Um
departamento
de
uma
empresa
tem
10
funcionários,
sendo
6
homens
e
4
mulheres.
Quantos
grupos
de
trabalho
diferentes
podem
ser
formados,
contendo
4
homens
e
2
mulheres?
a)
45.
b)
90.
c)
30.
d)
60.
e)
115.
C6,4
·∙
C4,2
C6,4
=
6
·∙
5
·∙
4
·∙
3
4
·∙
3
·∙
2
·∙
1
=
30
2
=
15
C4,2
=
4
·∙
3
2
·∙
1
=
12
2
=
6
C6,4
·∙
C4,2
=
15
·∙
6
=
90

8. (Eletrobrás)
Uma
empresa
dispõe
de
12
seguranças,
dentre
eles,
João
e
José.
Os
seguranças
trabalham
diariamente,
em
três
turnos,
quatro
em
cada
turno.
João
avisou
que
irá
ao
médico
na
próxima
2ª
feira
pela
manhã,
portanto
não
poderá
trabalhar
no
1º
turno.
Sabendo-­‐se
que
José
já
foi
escalado
para
trabalhar
no
1º
turno
da
próxima
2ª
feira,
de
quantos
modos
disMntos
os
demais
integrantes
desse
turno
poderão
ser
escolhidos?
(A)
120
(B)
165
(C)
210
(D)
220
(E)
330
C10,3
=
10
·∙
9
·∙
8
3
·∙
2
·∙
1
=
3
4
120

9. (PETROBRAS)
Para
se
cadastrar
em
determinado
site,
é
necessário
criar
uma
senha
numérica
de
seis
dígitos.
Pedro
vai
uMlizar
os
algarismos
da
data
de
nascimento
de
seu
filho,
13/05/1997.
Se
Pedro
resolver
fazer
uma
senha
com
algarismos
disMntos
e
iniciada
por
um
algarismo
ímpar,
serão
n
possibilidades.
Pode-­‐se
concluir
que
n
é
igual
a:
(A)
600
(B)
720
(C)
1.440
(D)
2.880
(E)
6.720
Algarismos
disMntos:
0,
1,
3,
5,
7,
9
5
5!
5
·∙
5
·∙
4
·∙
3
·∙
2
·∙
1
=
600
5
·∙
5!
=

10. (EPE)
Quantas
são
as
possíveis
ordenações
das
letras
da
palavra
BRASIL,
tais
que
a
letra
B
figure
na
1ª
posição
ou
a
letra
R
figure
na
2ª
posição?
(A)
120
(B)
184
(C)
216
(D)
240
(E)
360
B
1
5!
=
5
·∙
4
·∙
3
·∙
2
·∙
1
=
120
R
1
5!
=
5
·∙
4
·∙
3
·∙
2
·∙
1
=
120
B
e
R
juntas:
4!
=
B
1
1
24
R
B
ou
R:
120
+
120
–
24
=
216

11. Conjuntos
Profº
Cláudio
Mendes

12. ∈ ∉
Conjunto
é
uma
coleção
de
elementos
que
segue
(ou
não)
uma
regra
definida.
Per-nência:
x
A
x
é
elemento
do
conjunto
A
x
∉
∈
A
x
não
é
elemento
do
conjunto
A
Ex:
A={a,
b,
c}
b
A
d
A
∈
∉

13. vmv
⊂ ⊂
⊂
Inclusão
A
B
Todo
elemento
de
A
é
elemento
de
B
ou
A
é
subconjunto
de
B.
A
B
Existe
pelo
menos
um
elemento
de
A
que
não
é
elemento
de
B
ou
A
não
é
subconjunto
de
B.
D
=
{a,
b,
c}
C
=
{b,
c,
d}
E
=
{b,
c,
d,
e}
EX:
C
E
D
C
⊂
⊂
⊄
⊄

14. { }Bxou ∈∈= Axx
{ }Bxou ∈∈= Axx
{ }Bxou ∈∈= Axx
OPERAÇÕES
COM
CONJUNTOS
A
∩
B
A
U
B
A
–
B
{ }Bxou ∈∈= Axx
{ }Bxe ∈∈= Axx
{ }Bxe ∉∈= Axx
Ex:
A
=
{a,
b,
c}
B
=
{b,
c,
d}
A
U
B
=
{a,
b,
c,
d}
A
∩
B
=
{b,
c}
A
–
B
=
{a}

15. DIAGRAMAS
DE
VENN
A
B
A
B
A
B
A
U
B
A
∩
B
A
–
B

16. (FINEP)
Sabemos
que:
–
X
é
um
conjunto
com
5
elementos;
–
Y
é
um
conjunto
com
7
elementos;
–
A
interseção
de
X
com
Y
possui,
no
mínimo,
4
elementos.
Portanto
concluímos
que:
(A)
X
⊄
Y
;
(B)
X
UY
possui
7
ou
8
elementos;
(C)
X
UY
possui
11
ou
12
elementos;
(D)
X
−Y
é
unitário;
(E)
Y
−
X
possui
2
elementos.
X
Y
X
Y
4
5
1
3
0
2

17. Realizada
uma
pesquisa
de
opinião
entre
os
moradores
de
uma
cidade,
para
saber,
dentre
as
marcas
de
sabão
em
pó
A
e
B ,
a
que
costumavam
usar
no
seu
dia
a
dia,
obMvemos
os
seguintes
dados
referentes
à
amostra
pesquisada:
30%
não
usavam
essas
duas
marcas
de
sabão
em
pó;
35%
usavam
a
marca
A ;
50%
usavam
a
marca
B ;
foram
consultadas
300
pessoas
e
todas
responderam
às
perguntas.
Podemos
afirmar
que,
na
amostra
pesquisada,
a
quanMdade
de
pessoas
dessa
cidade
que
uMliza
as
duas
marcas
de
sabão
(A
e
B),
é:
A)
75.
B)
100.
C)
45.
D)
50.
E)
60.
30%
de
300
=
90
35%
de
300
=
50%
de
300
=
150
105
Não
usa
A
nem
B
Usa
A
Usa
B
A
+
B
=
255
300
–
90
=
210
Usam
A
ou
B
255
–
210
=
45
Usam
A
e
B

18. Numa
sala
de
40
estudantes
constatou-­‐se
que
16
estudam
francês,
17
estudam
espanhol,
15
estudam
alemão,
4
estudam
francês
e
espanhol,
3
estudam
espanhol
e
alemão,
5
estudam
francês
e
alemão
e
1
estuda
as
três
línguas.
O
número
de
jovens
que
estudam
uma
única
língua
é:
(A)
16
(B)
20
(C)
25
(D)
27
(E)
31
F
A
E
1
8
11
8
3
2
4
Uma
única
língua:
8
+
8
+
11
=
27

19. DIVISÃO
PROPORCIONAL
Profº
Cláudio
Mendes

20. vmv
Divisão
proporcional
Dividir
um
número
em
partes
diretamente
proporcionais
a
outros
números
dados
significa
encontrar
parcelas
desse
número
que
são
diretamente
proporcionais
aos
números
dados
e
que,
somadas,
reproduzam
esse
número.

21. André,
Beto
e
Carlos
receberam
a
tarefa
de
limpar
um
terreno.
André
trabalhou
2
horas.
Beto
trabalhou
3
horas
e
Carlos
trabalhou
5
horas.
Os
três
receberam
R$
160,00
como
recompensa
pelo
trabalho.
Como
os
amigos
devem
repar-r
esta
quan-a
de
forma
justa?
2p
+
3p
+
5p
=
160
10p
=
160
p
=
160
10
p
=16
A
=
2p
B
=
3p
C
=
5p
Temos:
A
=
2·∙16
B
=
3·∙16
C
=
5·∙16
=
R$
32,00
=
R$
48,00
=
R$
80,00

22. (Correios-­‐RJ)Dividindo-­‐se
R$
3.375,00
em
partes
A,
B
e
C,
proporcionais
respecMvamente,
a
3,
5
e
7,
a
parte
correspondente
a
C
é
igual
a:
(a)
R$
675,00.
(b)
R$
1.125,00.
(c)
R$
2.025,00.
(d)
R$
1.575,00.
(e)
R$
1.350,00.
3p
+
5p
+
7p
=
3375
15p
=
3375
p
=
3375
15
p
=
225
A
=
3p
B
=
5p
C
=
7p
Temos:
C
=
7·∙225
=
R$
1.575,00

23. EQUAÇÕES
DO
1º
GRAU
PROFº
CLÁUDIO
MENDES
1ª
PARTE

24.
EQUAÇÃO
É
uma
sentença
algébrica
que
contém
uma
igualdade
3x
–
7
=
19
1º membro 2º membro
termos: 3x; –7; 19
incógnita: x
termo com incógnita: 3x
termos independentes: –7 ; 19

25. Resolver uma equação do 1º grau é
determinar o valor numérico da
incógnita de modo que a igualdade
da sentença seja verdadeira.
x
+
7
=
10
x
=
3
Resolução
de
uma
equação:

26. I
Vamos
resolver
a
equação
abaixo:
4x
+
13
=
25
4
12
4x
=
25
–
13
x
=
x
=
3
÷
–
4x
=
12

27. 2
20
Mais
um
exemplo:
x
–
9
=
3x
+
11
–
2x
=
20
2x
=
-­‐20
x
=
2
20
− x
=
-­‐10
(-­‐1)·∙(
)
·∙(-­‐1)
÷
+
–
x
–
3x
=
11
+
9

28. Resolva as equações:
a) x – 15 = 14
b) 2x + 9 = 23
c) 3x – 11 = 2x + 5
d) 2x + 8 = 5x – 10

29. Equações
do
1º
grau
2ª
Parte
Prof
Cláudio
Mendes

30. 385 −++− xx ( ) 764764 ++−−=−−+− xxxx
Expressões
com
parênteses:
( )=−−+− 764 xx
Sinais
antes
dos
parênteses
( )=−++−+ 385 xx
( )=−++−− 3242 xx 6248 +−−+ xx
764 ++−− xx
385 −++− xx
Número
antes
dos
parênteses

31. ( ) ( ) ( )5241323 +−+−=−++−− xxx
Eliminar
parênteses
524263 +−−=−+− xxx
Agrupar
os
termos
com
incógnita.
235426 +++−=++ xxx Efectuar
as
operações
69 =x
9
6
=x
3
2
=x
Ex:
÷3
÷3

32. 7
52 −
=
x
7
52 −
=
x
7
52 −
=
x
EQUAÇÕES
COM
DENOMINADORES
7
52 +−
−
x
Um
sinal
menos
antes
da
fração
afeta
todos
os
termos
do
numerador.
Observações:
Esta
fração
também
pode
ser
apresentada
na
forma:
7
5
7
2
−
x
7
52 −
=
x
Ex:

33. 3
1
42
3
5
+
−=+⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −
−
xxx
3
1
342
15
2
5
−−=++
− xxx
9044330 −−=++− xxx
4439030 −−=++− xxx
23
94
=x
9423 −=− x
12
4
12
4
12
3
12
90
12
30
−−=++
− xxx
Igualar
denominadores:
m.m.c.(2,3,4)=12
(6)
(6)
(3)
(4)
(4)
(6)
(6)
(3)
(4)
(4)
Todos
iguais.
Podem
ser
Mrados
x(–
1)
x(–
1)

34. NÚMEROS
RACIONAIS
Profº
Cláudio
Mendes

35. Número
racional
é
todo
número
indicado
pela
expressão
b
a
com
b
≠
0
e
é
representado
pela
letra
Q.
I
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
∈∈= *
ZbeZa
b
a
Q

36. 1
2
2 =
1
4
4
−
=−
1
5
5 =
Observações:
I)
Todo
número
natural
é
um
racional.
Ex:
II)
Todo
número
inteiro
rela-vo
é
racional.
Ex:
1
4
4
−
=−
1
5
5 =

37. FRAÇÕES
Fração
é
o
número
que
representa
uma
ou
mais
partes
de
uma
unidade
dividida
em
partes
iguais.
Exemplos:
1
hora
=
60
minutos
15
minutos
45
minutos
4
1
de
hora
=
4
3
de
hora
=

38. vmv
b
a numerador
denominador
indica
em
quantas
partes
foi
dividida
a
unidade
indica
quantas
partes
f o r a m
t o m a d a s
d o
denominador

39. 1000
89
100
27
10
3
,,
1000
89
100
27
10
3
,,
1000
89
100
27
10
3
,,
FRAÇÕES
ORDINÁRIAS
FRAÇÕES
DECIMAIS
São
frações
onde
o
denominador
é
representado
por
uma
potência
de
10.
Ex:
São
todas
as
outras
frações
Ex:
8
3
10
3
100
59
,
1000
341
,
81
32
,
193
307
,

40. 5
3
5
3
5
3
TIPOS
DE
FRAÇÕES
Frações
Próprias:
O
numerador
é
menor
que
o
denominador.
Frações
Impróprias:
O
numerador
é
maior
que
o
denominador.
Frações
Aparentes:
São
frações
onde
o
numerador
é
divisível
pelo
denominador.
5
3
2
1
26
15
5
8
6
13
12
29
5
10
2
6
8
8

41. 2
1
2
1
2
1
São
frações
que
representam
a
mesma
parte
do
inteiro,
logo,
são
frações
de
mesmo
valor.
FRAÇÕES
EQUIVALENTES
Ex:
2
1
4
2
6
3
8
4
10
5
=
=
=
=
Frações
equivalentes

42. 60
36
60
36
60
36
SIMPLIFICAÇÃO
DE
FRAÇÕES
Simplificar
uma
fração
é
encontrar
uma
outra
fração
equivalente
onde
o
numerador
e
o
denominador
são
primos
entre
si.
Ex:
=
÷
2
÷
2
60
36
30
18
15
9
5
3÷
3
÷
2
=
=
÷
2
÷
3
Fração
irredunvel

43. 24
36
24
36
24
36
Simplifique
as
frações:
a)
b)
c)
24
36
70
42
91
56

44. FUNÇÃO
DO
1º
GRAU
Profº
Cláudio
Mendes

45. Função
do
1º
grau
é
toda
função
reduƒvel
à
forma
f(x)
=
ax
+
b,
onde
a
e
b
representam
números
reais.
Também
pode
ser
chamada
de
função
afim.
FUNÇÃO
DO
1º
GRAU

46. Função
do
1º
grau
é
toda
função
reduƒvel
à
forma
f(x)
=
ax
+
b,
onde
a
e
b
representam
números
reais.
Também
pode
ser
chamada
de
função
afim.
O
gráfico
de
uma
função
do
1º
grau
é
sempre
uma
reta.
FUNÇÃO
DO
1º
GRAU

47. GRÁFICO
DE
UMA
FUNÇÃO
DO
1º
GRAU
f(x)
=
ax
+
b
x
y
b
x1
Interseção
com
eixo
x:
x1
é
a
solução
da
equação
ax
+
b
=
0
O
ponto
(x1,
0)
é
a
interseção
da
reta
y
=
ax
+
b
com
o
eixo
x.
Interseção
com
o
eixo
y:
O
ponto
de
interseção
da
reta
y
=
ax
+
b
com
o
eixo
y
sempre
será
o
ponto
(0,
b).

48. Um
produto
ao
sair
da
fábrica,
sofre
uma
desvalorização
em
virtude
do
seu
uso.
Esta
desvalorização
é
representada
pela
função
P(t)
=
50
-­‐
5t,
em
que
P
é
o
preço
do
produto
(em
reais)
e
t
é
o
tempo
de
uso
(em
anos).
O
custo
dessa
máquina
após
7
anos
de
uso
será
de:
(A)R$
10,00
(B)R$
35,00
(C)R$
50,00
(D)R$
25,00
(E)
R$
15,00

49. (DECEA)
O
gráfico
abaixo
apresenta
a
quanMdade
Q
de
água
que
jorra
do
chuveiro
da
casa
de
Maria,
em
função
do
tempo
t.
Ao
tomar
banho,
Maria
deixa
o
chuveiro
aberto
por
12
minutos.
Para
que
o
consumo
de
água
em
cada
banho
passasse
a
ser
de
128
litros,
Maria
teria
que
manter
o
chuveiro
fechado
por
x
minutos,
enquanto
se
ensaboa.
Conclui-­‐se
que
x
é
igual
a
(A) 4
(B)
5
(C)
6
(D)
7
(E)
8

50. (Petrobras)
O
gráfico
abaixo
apresenta
a
quanMdade
média
de
CO2,
em
gramas,
lançada
na
atmosfera
por
automóveis
modelos
luxo
e
mini ,
em
função
da
distância
percorrida,
em
km.
Considere
a
quanMdade
média
de
CO2
lançada
na
atmosfera
por
um
carro
luxo
ao
percorrer
600km.
Que
distância,
em
km,
deveria
ser
percorrida
por
um
carro
mini ,
de
modo
que
a
mesma
quanMdade
média
de
CO2
fosse
lançada
na
atmosfera?
(A)
800
(B)
900
(C)
1.000
(D)
1.100
(E)
1.200

51. (BNDES)
A
figura
abaixo
ilustra
o
gráfico
da
função
que
associa
o
volume
de
gás
consumido
pelos
domicílios
de
um
município
ao
valor
pago
por
esse
consumo.
O
valor
pago,
em
reais,
por
cada
metro
cúbico
consumido,
é
de:
(A)
4,00
(B)
4,20
(C)
5,00
(D)
5,60
(E)
7,00

52. Função
do
2º
grau
(ou
função
quadráMca)
é
toda
função
que
Pode
ser
reduzida
à
forma
f(x)
=
ax2
+
bx
+
c
O
gráfico
de
uma
função
do
2º
grau
sempre
será
uma
parábola.
Côncava
para
cima
Côncava
para
baixo
a
>
0
a
<
0

53. vmv
Interseção
com
o
eixo
y
Uma
parábola
sempre
interceptará
o
eixo
y
no
ponto
(0,
c)
c
Zeros
da
função:
Os
zeros
da
função
são
as
raízes
x1
e
x2
da
equação
ax2
+
bx
+
c
=
0
A
parábola
sempre
interceptará
o
eixo
x
nos
pontos
(x1,0)
e
(x2,0)
x1
x2
x
y

54. (Correios-­‐RJ)
A
função
do
2º
grau
y
=
f(x)
=
–
16x2
+
9x
corta
o
eixo
das
ordenadas
no
ponto
P,
tal
que:
a)
P
=
16.
b)
P
=
4.
c)
P
=
–
9.
d)
P
=
3.
e)
P
=
zero.
Eixo
das
ordenadas
=
eixo
y.
O
ponto
de
interseção
de
f(x)
=
ax2
+
bx
+
c
é
o
ponto
(0,
c).
f(x)
=
-­‐
16x2
+
9x
a
=
-­‐16
b
=
9
c
=
0
Logo,
P
=
0

55. Vér-ce
da
parábola:
O
vérMce
da
função
f(x)
=
ax2
+
bx
+
c
é
o
ponto
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ Δ
−−=
a
,
a
b
V
42
Se
a
>
0,
o
vérMce
é
ponto
mínimo
Se
a
<
0,
o
vérMce
é
ponto
máximo
V
V

56. a4
Δ
−
a4
Δ
−
f(x)
=
x2
–
6x
a
=
1
b
=
-­‐6
c
=
0
Valor
máximo
ou
valor
mínimo:
Δ
=
b2
-­‐
4ac
Δ
=
36
a4
Δ
−
a
p
4
Δ
−=
9
4
36
−=−=p
g(x)
=
6x
–
x2
–
8
a
=
-­‐1
b
=
6
c
=
-­‐8
Δ
=
b2
-­‐
4ac
Δ
=
4
a
q
4
Δ
−=
1
4
4
=
−
−=q
q
–
p
=
1
–
(–
9)
=
1
+
9
=
10
38(E)10(D)6(C)52(B)2)A(
(Infraero)
Na
figura
vemos
os
gráficos
das
funções
f(x)
=
x2
–
6x
e
g(x)
=
6x
–
x2
–
8.
Se
p
é
o
menor
valor
assumido
por
f(x)
e
q
é
o
maior
valor
assumido
por
g(x),
então
podemos
afirmar
que
q
–
p
é
igual
a:

57. =−=
a
b
xv
2
=−=
a
b
xv
2
=−=
a
b
xv
2
O
lucro
de
uma
fábrica
é
dado
em
reais
por
L(x)
=
1500.(80
-­‐
x).(x
-­‐
60),
onde
x
é
o
número
de
máquinas
produzidas
por
mês
na
fábrica.
O
número
de
máquinas
que
esta
fábrica
deve
produzir
mensalmente
para
obter
o
maior
lucro
possível
é:
(A)
50
(B)
60
(C)
70
(D)
80
(E)
90
Reduzindo:
L(x)
=
1500(-­‐x2
+
80x
+
60x
–
4800)
L(x)
=
1500(-­‐x2
+
140x
–
4800)
L(x)
=
-­‐1500x2
+
210000x
+
7200000
=−=
a
b
xv
2 )( 15002
210000
−⋅
−
=
−
−=
3000
210000
vx 70

58. GRANDEZAS
PROPORCIONAIS
Profº
Cláudio
Mendes

59. Entende-se por grandeza tudo aquilo que pode ser
medido, contado. As grandezas podem ter suas
medidas aumentadas ou diminuídas.
Ex: o volume, a massa, a superfície, o comprimento,
a capacidade, a velocidade, o tempo.
GRANDEZAS
PROPORCIONAIS

60. Duas
grandezas
são
diretamente
proporcionais
quando,
aumentando
(ou
diminuindo)
uma
delas,
a
outra
também
aumenta
(ou
diminui)
na
mesma
proporção.
Ex:
A
quanMdade
de
laranjas
em
uma
feira
e
o
preço
pago
por
elas.
Grandezas
diretamente
proporcionais

61. Duas
grandezas
são
inversamente
proporcionais
quando,
aumentando
uma
delas,
a
outra
diminui
na
mesma
proporção.
Ex:
A
velocidade
de
um
móvel
e
o
tempo
de
percurso.
Grandezas
inversamente
proporcionais

62. Número de pessoas em um churrasco e a
quantidade de carne consumida.
Número de erros em uma prova e a nota obtida.
Número de operários e o tempo necessário para
eles construírem uma casa.
Distância percorrida por um automóvel e o gasto de
combustível .
Outros
exemplos:
Grandezas
diretamente
proporcionais.
Grandezas
inversamente
proporcionais.
Grandezas
inversamente
proporcionais.
Grandezas
diretamente
proporcionais.