Livro texto 1 de Algebra da UNIP do curso de matemática 2018

1. Autores: Profa. Valéria de Carvalho
Prof. Rogério Marques Ribeiro
Prof. Ranyere Deyler Trindade
Colaboradora: Profa. Ana Carolina Bueno Borges
Álgebra

2. Professores conteudistas: Valéria de Carvalho / Rogério Marques Ribeiro /
Ranyere Deyler Trindade
Valéria de Carvalho, especialista em Matemática pelo IMECC (Instituto de Matemática Estatística e Computação
Científica), mestre e doutora em Educação Matemática pela Faculdade de Educação da Unicamp, é professora do
Ensino Superior desde 1988.
Trabalha com temas abrangendo Tecnologias da Informação e da Comunicação (TICs) em projetos de educação
continuada, envolvendo docentes de Matemática, no LEM (Laboratório de Ensino de Matemática – IMECC) e na
Faculdade de Educação, ambos na Unicamp, sempre como professora colaboradora.
Atualmente, é professora da Universidade Paulista – UNIP e coordenadora do curso de Matemática na modalidade
EaD – Ensino a Distância.
Rogério Marques Ribeiro possui graduação em Licenciatura em Matemática pela Pontifícia Universidade
Católica de São Paulo (2002), graduação em Administração com ênfase em Finanças pela Universidade Paulista
– UNIP (1998) e mestrado em Educação Matemática pela Pontifícia Universidade Católica de São Paulo (2005). É
membro do colegiado do curso de Matemática das Faculdades Integradas de Ciências Humanas, Saúde e Educação
de Guarulhos e coordenador do curso de Licenciatura em Matemática. É professor concursado do Instituto Federal
de Educação, Ciência e Tecnologia de São Paulo – IFSP, membro do colegiado e coordenador do curso de Licenciatura
em Matemática. É professor concursado da Faculdade de Tecnologia de São Paulo – FATEC. Tem experiência na área
de Educação Matemática, atuando principalmente na formação de professores.
Ranyere Deyler Trindade é graduado em Física pela Universidade Federal de Goiás (UFG), mestre em Física pela mesma
instituição e doutorando em Física pela Universidade Estadual de Campinas. É professor do Ensino Superior desde 2008.
Trabalhou na área de Física Estatística com ênfase em simulação computacional. Ainda com foco em computação, atuou
na área de Física da Matéria Condensada e Física Aplicada. Foi professor assistido por dois anos e meio pela Unicamp.
Possui publicações em anais de congressos no Brasil e capítulos de livros em nossa língua, estando sempre
envolvido com trabalhos da área da Matemática diretamente ligados à física.
© Todos os direitos reservados. Nenhuma parte desta obra pode ser reproduzida ou transmitida por qualquer forma e/ou
quaisquer meios (eletrônico, incluindo fotocópia e gravação) ou arquivada em qualquer sistema ou banco de dados sem
permissão escrita da Universidade Paulista.
Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP)
C331a Carvalho, Valéria de
Álgebra / Valéria de Carvalho, Rogério Marques Ribeiro, Ranyere
Deyler Trindade. - São Paulo: Editora Sol, 2014.
140 p., il.
Nota: este volume está publicado nos Cadernos de Estudos e
Pesquisas da UNIP, Série Didática, ano XIX, n. 2-002/14, ISSN 1517-9230.
1. Conjuntos. 2. Relações binárias. 3. Grupos finitos e infinitos.
I. Título.
CDU 512

3. Prof. Dr. João Carlos Di Genio
Reitor
Prof. Fábio Romeu de Carvalho
Vice-Reitor de Planejamento, Administração e Finanças
Profa. Melânia Dalla Torre
Vice-Reitora de Unidades Universitárias
Prof. Dr. Yugo Okida
Vice-Reitor de Pós-Graduação e Pesquisa
Profa. Dra. Marília Ancona-Lopez
Vice-Reitora de Graduação
Unip Interativa – EaD
Profa. Elisabete Brihy
Prof. Marcelo Souza
Prof. Dr. Luiz Felipe Scabar
Prof. Ivan Daliberto Frugoli
Material Didático – EaD
Comissão editorial:
Dra. Angélica L. Carlini (UNIP)
Dr. Cid Santos Gesteira (UFBA)
Dra. Divane Alves da Silva (UNIP)
Dr. Ivan Dias da Motta (CESUMAR)
Dra. Kátia Mosorov Alonso (UFMT)
Dra. Valéria de Carvalho (UNIP)
Apoio:
Profa. Cláudia Regina Baptista – EaD
Profa. Betisa Malaman – Comissão de Qualificação e Avaliação de Cursos
Projeto gráfico:
Prof. Alexandre Ponzetto
Revisão:
Geraldo Teixeira Jr.
Amanda Casale

5. Sumário
Álgebra
Apresentação.......................................................................................................................................................7
Introdução............................................................................................................................................................7
Unidade I
1 Conjuntos e relações binárias...........................................................................................................9
1.1 Noções sobre conjuntos........................................................................................................................9
1.1.1 Conceituando conjuntos.........................................................................................................................9
1.1.2 Representações e características de um conjunto.....................................................................10
1.1.3 Operações entre conjuntos...................................................................................................................11
1.2 Relações binárias...................................................................................................................................15
1.2.1 Relações binárias entre dois conjuntos..........................................................................................16
1.2.2 Domínio e imagem de relações..........................................................................................................17
1.2.3 Representações de relações binárias...............................................................................................19
1.2.4 A inversa de uma relação.....................................................................................................................20
2 Propriedades das relações e aplicações..................................................................................27
2.1 Propriedades das relações..................................................................................................................27
2.1.1 Propriedade reflexiva..............................................................................................................................27
2.1.2 Propriedade simétrica............................................................................................................................28
2.1.3 Propriedade transitiva............................................................................................................................29
2.1.4 Propriedade antissimétrica..................................................................................................................29
2.2 Relações e aplicações..........................................................................................................................30
2.2.1 Relação de equivalência.......................................................................................................................30
2.2.2 Relação de ordem....................................................................................................................................31
2.2.3 Aplicações...................................................................................................................................................33
Unidade II
3 Operações: leis de composição interna.....................................................................................49
3.1 Propriedades das operações..............................................................................................................50
3.1.1 Propriedade associativa.........................................................................................................................50
3.1.2 Propriedade comutativa.......................................................................................................................51
3.1.3 Elemento neutro......................................................................................................................................52
3.1.4 Elementos simetrizáveis........................................................................................................................52
3.1.5 Elementos regulares...............................................................................................................................53
3.1.6 Propriedade distributiva........................................................................................................................54
3.1.7 Tábua de uma operação........................................................................................................................55

6. 4 Aplicações algébricas e conjuntos numéricos................................................................... 61
4.1 Algumas aplicações das estruturas algébricas.......................................................................... 61
4.2 Construção dos conjuntos numéricos..........................................................................................65
4.2.1 Conjunto dos números naturais........................................................................................................65
4.2.2 Conjunto dos números inteiros.........................................................................................................68
4.2.3 Conjunto dos números complexos...................................................................................................70
Unidade III
5 Estrutura de grupo.................................................................................................................................84
5.1 Subgrupo..................................................................................................................................................89
5.2 Semigrupo................................................................................................................................................90
5.3 Monoide....................................................................................................................................................90
6 Anéis e Corpos.............................................................................................................................................. 91
6.1 Anel com identidade............................................................................................................................92
6.2 Anel comutativo....................................................................................................................................92
6.3 Domínio de integridade......................................................................................................................92
6.4 Corpo..........................................................................................................................................................92
Unidade IV
7 aNÉIS E CORPOS............................................................................................................................................105
7.1 Anéis de números inteiros e anéis de polinômios.................................................................105
7.1.1 Congruência módulo m em Z...........................................................................................................105
7.1.2 Conjunto Zm
das classes de congruência módulo m...............................................................105
7.1.3 O anel em Zm
............................................................................................................................................106
7.1.4 Anéis de polinômios.............................................................................................................................106
7.1.5 Teorema Fundamental da Álgebra..................................................................................................107
7.2 Corpos racionais, reais e complexos............................................................................................109
7.2.1 Racionais...................................................................................................................................................109
7.2.2 Reais............................................................................................................................................................109
7.2.3 Complexos................................................................................................................................................110
8 Homomorfismo E GRUPOS FINITOS E INFINITOS......................................................................... 110
8.1 Homomorfismo.................................................................................................................................... 110
8.1.1 Homomorfismo de grupos.................................................................................................................110
8.1.2 Homomorfismo de anéis......................................................................................................................111
8.1.3 Tipos de homomorfismos...................................................................................................................113
8.1.4 Corpo ordenado..................................................................................................................................... 120
8.2 Grupos finitos e infintos...................................................................................................................120
8.2.1 Grupo cíclico........................................................................................................................................... 124
8.2.2 Conjuntos infinitos............................................................................................................................... 126

7. 7
Apresentação
Abordaremos neste livro‑texto algumas noções de Álgebra, como conjuntos, relações, operações,
grupos, anéis e corpos. Os tópicos, para sua compreensão e assimilação, serão tratados de modo intuitivo.
Essa proposta baseia‑se em alguns estudos desenvolvidos na Educação Matemática que evidenciam, nos
diversos níveis de ensino, as dificuldades apresentadas pelos estudantes em relação ao formalismo e ao
rigor matemático.
Sendo assim, optamos por fazer uma abordagem menos rigorosa sobre o assunto, ressaltando,
contudo, que o rigor e o formalismo são essenciais para a Matemática e que estes devem ser explorados
no aprofundamento dos temas aqui tratados.
A organização deste material foi inspirada nos livros e textos constantes da referência bibliográfica.
Nessas obras, que são um bom complemento ao curso, o estudante encontrará muitos exemplos e
também todas as demonstrações necessárias para o aprofundamento no assunto.
Sugerimos que os estudantes utilizem pelo menos um dos livros indicados como referência e que
busquem exemplos adicionais e exercícios complementares. É importante ressaltar que o estudo ou a
leitura de qualquer tipo de material que aborde conceitos, conteúdos, noções ou ideias relacionadas
à Matemática deve ser feito com lápis e borracha, pois estes são instrumentos essenciais para a
aprendizagem dessa ciência.
O conteúdo deste livro‑texto está dividido em quatro unidades, com o intuito de melhor organização:
na unidade I são abordadas as noções elementares de conjuntos e as relações, suas propriedades e suas
aplicações; na unidade II discutem‑se as operações e suas propriedades e a construção dos conjuntos
numéricos; na unidade III estudaremos as estruturas algébricas de grupo, anéis e corpos e, por fim, na
unidade IV, estudaremos algumas aplicações de anéis e corpos.
Desejamos ao estudante um bom curso desta disciplina, ressaltando que a persistência, a motivação
e o empenho serão fundamentais para o seu sucesso.
Introdução
Iniciaremos agora um estudo introdutório sobre as estruturas algébricas, em que devemos observar,
com atenção, os conjuntos e as operações envolvidas. Além disso, interessam‑nos saber quais são as
propriedades a que esses conjuntos, munidos de determinadas operações, satisfazem; de acordo com
estas, os classificaremos como grupos, anéis e corpos.
Estudaremos como os objetos matemáticos se relacionam, quais operações envolvem e em que ordem
podemos resolvê‑las. Em outras palavras, não nos interessa a natureza desses objetos matemáticos e os
significados filosóficos que lhes são atribuídos, mas sim a relação que existe entre eles.
Uma estrutura algébrica é um conjunto munido de uma ou mais operações n‑arias ou que apresenta
alguma relação entre seus elementos. Temos como exemplos de estruturas algébricas: os grupos, anéis,

8. 8
Unidade I
anéis de divisão, domínios de integridade e corpos. Uma estrutura algébrica é exemplo do conjunto dos
números naturais munido da relação de ordem estrita (isto é, “maior que”).
Podemos dizer que conferiremos uma estrutura algébrica a um determinado conjunto A quando
ele estiver munido de uma ou mais operações. Essa estrutura algébrica será denominada segundo as
propriedades dessas operações em A.

9. 9
Álgebra
Unidade I
1 Conjuntos e relações binárias
1.1 Noções sobre conjuntos
Iniciaremos, neste texto, uma breve abordagem a respeito das noções mais elementares sobre os
conjuntos e ressaltamos que um maior aprofundamento sobre o assunto pode ser contemplado com a
leitura do livro Teoria ingênua dos conjuntos, do matemático Paul Halmos, uma referencia clássica sobre
o tema.
A teoria dos conjuntos foi sistematizada relativamente tarde, tendo sua base organizada,
principalmente, pelo matemático George Cantor. Esta teoria não é algo tão simples e natural, pois
envolve, muitas vezes, questões complexas, como a teoria dos números transfinitos. Sendo assim, nos
restringiremos a fazer uma breve retomada sobre as noções básicas dos conjuntos, em especial aquelas
que serão necessárias para um curso introdutório das estruturas algébricas (um dos objetivos deste
livro-texto).
Buscaremos maior objetividade, abordando as propriedades elementares dos conjuntos, como a
relação de pertinência e outras, assim como algumas operações com conjuntos, por exemplo, a união e
a intersecção entre eles.
1.1.1 Conceituando conjuntos
Compreendemos como conjunto qualquer coleção de objetos, e a esses chamaremos elementos de
um determinado conjunto. Essa não é uma noção muito diferente da utilizada em nosso cotidiano que
relaciona aos conjuntos, por exemplo, os agrupamentos, as classes, entre outros. É importante ressaltar
que conjunto é um conceito primitivo e, sendo assim, desprovido de uma definição. Estamos apenas
citando uma possível característica dos conjuntos e não o definindo.
Podemos citar vários exemplos de conjuntos, como o conjunto de cadeiras de uma loja especifica, ou
dos jogadores de um time de futebol. Entretanto, o que interessa para os nossos estudos nesse módulo
são os conjuntos numéricos e, em geral, serão esses o nosso objeto de estudo.
Utilizaremos aqui a notação usual para conjuntos e para seus elementos, ou seja, letras maiúsculas
para simbolizar conjuntos e minúsculas para simbolizar seus elementos (as exceções serão explicitadas).
Denotaremos ainda o conjunto vazio, ou seja, o conjunto desprovido de elementos com o símbolo ∅.
Sempre que um elemento x pertencer a um conjunto A denotaremos esse fato simbolicamente com
x ∈ A (leia-se “x pertence a A”); caso contrário, denotaremos que x ∉ A (leia-se “x não pertence a A”).

10. 10
Unidade I
1.1.2 Representações e características de um conjunto
Convencionalmente, representam-se conjuntos nos quais os elementos são enumerados entre
chaves e separados por vírgula ou ponto e vírgula, sendo este último utilizado para evitar possíveis
confusões com números decimais. Vejamos alguns exemplos:
• A = {0, 1; 0, 2; 0, 3; 0, 4; 0, 5};
• B = {0, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}.
Conjuntos finitos e com “poucos” elementos podem ser representados por meio de diagramas, como
segue:
a b
c d
e h
f g
1 2
1 4
3 6
7 8
7 8
A B
Figura 1
Neste livro-texto, estaremos mais interessados nos conjuntos numéricos mais conhecidos e, para
representar esses conjuntos, usaremos as seguintes nomenclaturas:
• N = {0, 2, 3, 4, ...} Conjunto dos números naturais;
• Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...} Conjunto dos números inteiros;
• Q = {a/b: a, b ∈ Z e b ≠ 0} Conjunto dos números racionais;
• ℜ: Números reais, ou seja, números racionais e números irracionais;
• C = {a+bi: a, b ∈ ℜ, i = √-1} Conjunto dos números complexos.
Pode-se ainda representar um conjunto por uma característica comum a todos os seus elementos,
vejamos alguns exemplos:
• P = {2x | x ∈ Z}, onde se lê: P é o conjunto dos elementos 2x tal que x pertence a Z;
• A = {x ∈ ℜ| x > 4}, onde se lê: A é o conjunto dos elementos x pertencentes aos números reais
tal que x é maior que 4.

11. 11
Álgebra
1.1.2.1 Igualdade
A igualdade entre dois conjuntos A e B ocorre quando todo elemento de A pertence a B e,
reciprocamente, todo elemento de B pertence a A. Simbolicamente, temos:
A = B ⇔ (∀x)(x ∈ A ⇔ x ∈ B)
1.1.2.2 Subconjunto de um conjunto
Um conjunto A é um subconjunto de B (está contido em) se, e somente se, todo elemento x
pertencente a A também pertencer a B. Simbolicamente, temos:
A ⊂ B ⇔ (∀x)(x ∈ A ⇒ x ∈ B)
Observação
Observação: a notação A ⊂ B significa que “A está contido em B” ou
“A é um subconjunto de B”. A leitura da notação no sentido inverso é feita
como “B contém A”. Consideraremos que o conjunto vazio está contido em
qualquer conjunto.
Vejamos um caso específico em que A ⊂ B, representado por meio de diagramas:
A
B
Figura 2
Se o conjunto A não está contido em B, usaremos a notação A ⊄ B. Vejamos a relação de inclusão
aplicada aos conjuntos numéricos que apresentamos anteriormente: N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ ℜ ⊂ C.
1.1.3 Operações entre conjuntos
1.1.3.1 Intersecção e união entre conjuntos
Denotaremos o conjunto formado por elementos que pertencem simultaneamente a um conjunto
A e a um conjunto B da seguinte forma:
• A ∩ B = {x | x ∈ A e x ∈ B}. Esse conjunto é chamado de intersecção de A e B.

12. 12
Unidade I
Denotaremos o conjunto formado por elementos que pertencem a um conjunto A ou a um conjunto
B da seguinte forma:
• A ∪ B = {x | x ∈ A ou x ∈ B}. Esse conjunto é chamado de união de A e B.
Vejamos um exemplo de intersecção e união de conjuntos:
• considere o conjunto A = {-1, 1, 2, 3, 4} e B = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}
a) A ∩ B = {1, 2, 3, 4}. Observe que esse conjunto é formado pelos elementos comuns aos dois
conjuntos.
b) A ∪ B = {-1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}. Observe que esse conjunto é formado pelos elementos que
pertencem ao conjunto A ou ao conjunto B.
Vejamos algumas propriedades da intersecção entre conjuntos: Os fatos anteriores nos dizem que a
intersecção B é um subconjunto de A e de B, ou seja:
A ∩ B ⊂ A
A ∩ B ⊂ B
Considere A, B e C três conjuntos quaisquer. Então, são verdadeiras as seguintes propriedades:
1. comutativa: A ∩ B = B ∩ A;
2. elemento neutro: o conjunto universo U é o elemento neutro da intersecção de conjuntos:
A ∩ U = A;
3. associativa: A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C.
Observação
Quando dois conjuntos quaisquer A e B não têm elemento comum,
dizemos que A e B são conjuntos disjuntos. Em outras palavras, dois
conjuntos são disjuntos quando a intersecção entre eles é igual ao conjunto
vazio.
Vejamos algumas propriedades da união entre conjuntos: os fatos anteriormente relacionados à
união afirmam que dizer que um elemento x pertence a A ∪ B é equivalente a dizer que uma das
proposições “x pertence a A” ou “x pertence a B” é verdadeira. Desse fato, decorre que:
A ⊂ A ∪ B e B ⊂ A ∪ B

13. 13
Álgebra
Considerando A, B e C três conjuntos quaisquer, são verdadeiras as seguintes propriedades:
1. comutativa: A U B = B U A;
2. elemento neutro: Ø U A = A U Ø = A. O conjunto Ø é o elemento neutro da união de conjuntos;
3. associativa: (A U B) U C = A U (B U C).
1.1.3.2 Propriedades da união e da intersecção
Consideremos A, B e C três conjuntos quaisquer. Então, valem as seguintes propriedades que
inter‑relacionam a união e a intersecção de conjuntos:
1. A ∪ (A ∩ B) = A
2. A ∩ (A ∪ B) = A
3. A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
4. A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
Observe que a propriedade 3 é a distributiva da união em relação à intersecção, assim como a
propriedade 4 é a distributiva da intersecção em relação à união.
1.1.3.3 Diferença entre dois conjuntos
Vamos apresentar esse conceito considerando A e B dois conjuntos quaisquer. A diferença entre A
e B é o conjunto dos elementos de A que não pertencem a B. Simbolicamente, podemos representar a
diferença de A por B da seguinte forma:
A - B = {X ∈ U | X ∈ A e X ∉ B}.
Observe no diagrama a seguir a diferença, a intersecção e a união de A por B:
A-B A∩B
BA
Figura 3
1.1.3.4 Complementar de B em A
Dados os conjuntos A e B quaisquer, com B contido em A, chama-se complementar de B em relação
a A o conjunto A - B, e o indicamos como:
C A A BA
B
= = − .

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Unidade I
Observe o exemplo: consideremos os conjuntos A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} e B = {1, 2}. Temos o
complementar: CA
B = A - B = {2, 4, 5, 6}.
Observe que, no exemplo, a condição para que o complementar de B em relação a A esteja definido
é cumprida, isto é, B contido em A.
1.1.3.5 Propriedades da complementação entre conjuntos
Sejam B e C subconjuntos de A, valem as propriedades a seguir:
1. C B e C B AA
B
A
B
∩ = ∅ ∪ =
2. C e C AA
A
A= ∅ =∅
3. C BA
CA
B
=
4. C C CA
B C
A
B
A
C( )∩
= ∪
5. C C CA
B C
A
B
A
C( )∪
= ∩
Saiba mais
A palavra heurística tem origem na Grécia e seu significado é “descubro”
ou “acho”. A heurística é uma metodologia simplificadora (embora não
simplista) que nos auxilia a enfrentar questões difíceis envolvendo a
substituição destas por outras de resolução mais fácil, a fim de encontrar
respostas viáveis, mesmo que imperfeitas ou aproximadas. Para saber mais
sobre a heurística e suas aplicações leia os artigos:
OLIVEIRA, M. R. O princípio da invariância. Eureka! n. 14, p. 35-42,
2002. Disponível em: <http://www.obm.org.br/export/sites/default/revista_
eureka/docs/eureka14.pdf>. Acesso em: 22. abr. 2013.
CARVALHO, P. C. P. O princípio das gavetas. Eureka! n. 5, p. 27-33,
1999. Disponível em: <http://www.obm.org.br/export/sites/default/revista_
eureka/docs/eureka5.pdf>. Acesso em: 22. abr. 2013.
MOREIRA, C. G. T. A. O teorema de Ramsey. Eureka! n. 14, p. 23-29,
1999. Disponível em: <http://www.obm.org.br/export/sites/default/revista_
eureka/docs/eureka6.pdf>. Acesso em: 22. abr. 2013.
POLLMAN, H. S. Equações de recorrência. Eureka! n. 9, p. 33-40, 2000.
Disponível em: <http://www.obm.org.br/export/sites/default/revista_
eureka/docs/eureka9.pdf>. Acesso em: 22. abr. 2013.

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Álgebra
1.2 Relações binárias
Abordaremos aqui alguns aspectos elementares sobre as relações binárias e, consequentemente,
as aplicações (sempre que os conjuntos envolvidos forem numéricos, vamos nos referir às aplicações
como funções). É imprescindível que o estudante compreenda cada uma das definições e as utilize para
tomar decisões e para resolver os diversos problemas e exercícios propostos. Além disso, serão propostas
algumas demonstrações e nessas, sem dúvidas, teremos que recorrer aos axiomas e às definições.
Inicialmente, vamos definir produto cartesiano como uma combinação específica entre dois
conjuntos. Sendo assim:
Definição: considerando dois conjuntos A e B, não vazios, chamaremos de produto cartesiano de
A por B o conjunto formado por todos os pares ordenados (x, y) com x em A, e y em B. Normalmente,
indica-se o produto cartesiano de A por B da seguinte forma: A X B (lê-se A cartesiano B).
Simbolicamente, podemos representar esse conjunto da seguinte forma:
• A X B = {(x, y)| x ∈ A e y ∈ B}
Em outras palavras, o produto cartesiano de A por B será um conjunto formado por todos os pares
ordenados que satisfaçam à condição de que o primeiro elemento “x” pertença ao conjunto A, e de que
o segundo elemento “y” pertença ao conjunto B. Cada par ordenado que satisfaça à definição anterior
é um elemento do conjunto A X B. Vejamos alguns exemplos:
1. Seja A = {a, b, c} e B = {d, e, f, g}, o conjunto que representa A X B é o seguinte:
A X B = {(a, d), (a, e), (a, f), (a, g), (b, d), (b, e), (b, f), (b, g), (c, d), (c, e), (c, f), (c, g)}
2. Consideremos os conjuntos M = {1, 2, 3} e N = {3, 4}, o conjunto que representa
M X N (M cartesiano N) é:
M X N = {(1, 3), (1, 4), (2, 3), (2, 4), (3, 3), (3, 4)}
É importante ressaltar que se os conjuntos A e B forem distintos, então A X B ≠ B X A, ou seja, se
A é diferente de B, então o produto cartesiano de A por B é diferente do produto cartesiano de
B por A. Observe o exemplo a seguir.
3. Seja A = {3, 4, 5} e B = {1 , 2}, então:
A X B = {(3, 1), (3, 2), (4, 1), (4, 2), (5, 1), (5, 2)}
B X A = {(1, 3), (1, 4), (1, 5), (2, 3), (2, 4), (2, 5)}
Observe que A X B ≠ B X A. É importante verificar também que os pares ordenados (3, 1) e (1, 3) são
distintos, ou seja, (3, 1) ≠ (1, 3). Esse fato pode ser facilmente verificado em um plano cartesiano.
Abordaremos mais adiante as representações de pontos no plano cartesiano, mas, em geral,
sempre que tivermos x ≠ y, temos também (x, y) ≠ (y, x).

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Unidade I
Podemos, ainda, obter o produto cartesiano de A por A, cuja representação simbólica é A X A ou
simplesmente A2, observe o exemplo 4.
4. Seja A = {a, b, c}, o produto cartesiano de A por A é:
A X A = {(a, a), (a, b), (a, c), (b, a), (b, b), (b, c), (c, a), (c, b), (c, c)}
Apesar de utilizarmos apenas conjuntos finitos nos exemplos anteriores, com o intuito de facilitar
a compreensão do produto cartesiano entre dois conjuntos, podemos também realizar o produto
cartesiano entre conjuntos infinitos, sem que haja modificações na definição e nem mesmo nas
notações, pois essas incluem qualquer tipo de conjuntos, finitos ou infinitos. Desta forma, o
produto cartesiano dos números naturais será representado por N X N, ou N2
. Analogamente, o
produto cartesiano dos números reais será representado por ℜXℜ ou ℜ2
.
1.2.1 Relações binárias entre dois conjuntos
Vamos agora definir a relação binária entre dois conjuntos.
Definição: chamaremos de relação binária de A em B todo subconjunto R de A cartesiano B.
Simbolicamente, temos que R é relação de A em B ↔ R ⊂ A X B.
Da definição de relação binária, podemos concluir imediatamente que toda relação é um conjunto
de pares ordenados (com exceção do conjunto vazio, que também é uma relação, pois qualquer conjunto
contém o conjunto vazio; logo, esse também é uma relação).
Para indicar que um determinado par ordenado (x, y) pertence a uma relação, eventualmente
utilizaremos a notação xRy, que pode ser interpretada como “x está relacionado com y considerando-se
a relação R”. Analogamente, para indicar que o par ordenado (x, y) não pertence a determinada relação,
eventualmente utilizaremos a notação xRy, que pode ser interpretada como “x não está relacionado com
y considerando-se a relação R”.
Para simplificar ainda mais as ideias aqui discutidas, podemos classificar o conjunto A como conjunto
de partida e o conjunto B como conjunto de chegada. Vejamos, a seguir, alguns exemplos:
1. Sendo A = {a, b, c} e B = {d, e, f}, temos que:
A X B = {(a, d), (a, e), (a, f), (b, d), (b, e), (b, f), (c, d), (c, e), (c, f)}
Qualquer subconjunto de A X B representa uma relação de A em B. Observe alguns exemplos:
R1 = {(a, d), (c, f)}
R2 ={(b, d)}
R3 = {(a, d), (a, e), (a, f), (b, d), (b, e)}

17. 17
Álgebra
R4 = {(a, d), (a, e), (a, f), (b, d), (b, e), (b, f), (c, d), (c, e), (c, f)}
R5 = ∅
2. Sejam A = {0, 2, 4, 6} e B = {1, 3, 4, 5, 9}, vamos enumerar os elementos da relação R
= {(x, y) ∈ A X B | y = x + 1}:
R = {(0, 1), (2, 3), (4, 5)}
Observe que R é formado apenas pelos pares ordenados que satisfazem à condição y = x + 1.
3. Sejam A = {0, 2, 3, 4, 6} e B = {0, 1, 3, 4, 5}, vamos enumerar os elementos da relação
R = {(x, y) ∈A X B | y = x2
}:
R = {(0, 0), (2, 4)}
Observe que, neste caso R, é formado apenas pelos pares ordenados que satisfazem à condição
y = x2
.
1.2.2 Domínio e imagem de relações
Vamos agora definir dois aspectos fundamentais do estudo das relações que são o domínio e a
imagem de relações. É importante observar que essas definições caracterizam a ideia que os estudantes
já têm sobre esse conceito, e o que estamos propondo aqui é um estudo mais sistemático das relações,
buscando uma compreensão mais aprofundada, com ênfase nas definições. Isso não que dizer que o
estudante não deva recorrer às suas concepções prévias de domínio e imagem, e sim que se apoiem
em tais concepções, visto que o estudo de relações, assim como o de domínio e imagem, inicia-se no
Ensino Fundamental e permeia todo o Ensino Médio com as funções, que são, em última análise, casos
particulares de relações atendendo a algumas especificidades.
Para definir domínio e imagem, iremos partir do pressuposto de que R é uma relação de A em B.
Definição: chamamos de domínio de R o subconjunto de A formado por todos os elementos
x, de forma que para cada um desses exista um correspondente y em B satisfazendo à condição
“x está relacionado com y segundo R”, ou xRy. Podemos representar essa definição simbolicamente
por:
• D(R) = {x ∈ A | ∃ y ∈ B : xRy}.
Definição: chamamos de imagem de R o subconjunto de B formado por todos os
elementos y, de forma que para cada um desses exista algum correspondente x em A tal que
x esteja relacionado com y segundo R, ou xRy. Podemos representar essa definição simbolicamente por:
• Im(R) = {y ∈ B | ∃ x ∈ A : xRy}.

18. 18
Unidade I
Buscando maior objetividade, podemos afirmar que o domínio de R será formado pelos primeiros
termos dos pares ordenados que constituem R e que a imagem de R será formada pelos segundos
termos dos pares ordenados de R. Vejamos alguns exemplos:
1. Sendo A = {a, b, c} e B = {d, e, f} e R = {(a, d), (a, e), (a, f), (b, d), (b, e)} uma relação de A em B,
temos, então, que o domínio de R é o conjunto:
D(R) = {a, b}
Enquanto a imagem de R é o conjunto:
Im (R) = {d, e, f}
Observação
É importante ressaltar que, para determinar o domínio e a imagem de
uma relação, devemos analisar somente os elementos do conjunto que
compõem essa relação, evitando, assim, confundir o domínio e a imagem
do produto cartesiano entre os conjuntos com o domínio e a imagem da
relação (exceto no caso em que a relação em questão é o próprio produto
cartesiano).
2. Sejam A = {0, 2, 4, 6} e B = {1, 3, 4, 5, 9} e a relação R = {(x, y) ∈A X B | y = x + 1}, ou seja,
R = {(0, 1), (2, 3), (4, 5)}. O domínio de R é o conjunto: D(R) = {0, 2, 4}. E a imagem de R é o
conjunto: Im (R) = {1, 3, 5}.
3. Sejam A = {0, 2, 3, 4, 6} e B = {0, 1, 3, 4, 5} e a relação R = {(x, y) ∈A X B | y = x2
}, ou
seja R ={(0, 0), (2, 4)}. O domínio de R é formado pelo conjunto: D(R) = {0, 2}, enquanto
a imagem de R é formada pelo conjunto: Im (R) = {0, 4}.
4. Sendo A = {a, b, c} e B = {d, e, f} e a relação R = {(a, d), (a, e), (a, f), (b, d), (b, e), (b, f), (c, d), (c, e), (c, f)},
temos o domínio de R idêntico ao conjunto A, ou seja, D(R) = A, e a imagem de R igual ao
conjunto B, isto é, Im (R) = B.
Saiba mais
Saiba mais sobre números inteiros lendo o artigo:
FUJIWARA, G. Inteiros de Gauss e inteiros de Eisenstein. Eureka! n. 14, p.
23-31, 2002. Disponível em: <http://www.obm.org.br/export/sites/default/
revista_eureka/docs/eureka14.pdf>. Acesso em: 22. abr. 2013.

19. 19
Álgebra
1.2.3 Representações de relações binárias
Discutiremos agora duas formas de representar relações binárias, quais sejam: gráfico
cartesiano e esquema de flechas. Em geral, abordaremos as relações entre conjuntos numéricos
onde cada par ordenado será representado por um ponto no plano. O gráfico da relação é
o conjunto de pontos de um plano dotado de um sistema de coordenadas cartesianas, cujas
abscissas são os primeiros termos e as ordenadas os segundos termos dos pares que constituem
a relação.
Sempre que os conjuntos de A e B forem conjuntos finitos, com poucos elementos, podemos
representar uma relação R de A em B utilizando diagramas, como segue: representamos A (conjunto
de saída) e B (conjunto de chegada) por meio de diagramas, em seguida indicamos cada par ordenado
(x, y) da relação R com uma flecha, sendo a “origem” x e a “extremidade” y.
Exemplos
1. Seja A = {1, 2, 3, 4} e B = {2, 4, 6, 8, 10, 12} e R = {(x, y) ∈A X B | y = 2x}.
Representação de R por meio de diagramas:
A
1
2
3
4
2
4
6
8
10
12
B
R
Figura 4
2. Consideremos novamente os conjuntos e a relação do exemplo 1. Observe a representação da
mesma relação em um plano cartesiano:

20. 20
Unidade I
8
6
4
2
0 1 2 3 4
x
y
Figura 5
3. Consideremos agora o produto cartesiano de ℜ por ℜ(ℜ representa o conjunto dos números
reais) e a relação R = {(x, y) ∈ℜxℜ | y = 2x}:
8
6
4
2
x
y
Figura 6
1.2.4 A inversa de uma relação
Vejamos agora como definir a inversa de uma relação.
Definição: considere uma relação R de A em B. Chamaremos de relação inversa de R a relação de B em A.
É comum indicar a inversa por R–1
. Simbolicamente, podemos representar a relação inversa da seguinte forma:
• R–1
= {(y, x) ∈ B x A | (x, y) ∈ R}.
Observe que a imagem de R passa a ser o domínio de R-1
, e que o domínio de R passa a ser a imagem
de R-1
. Vejamos alguns exemplos:
1. Sendo A = {1, 2, 3}, B = {4, 5, 6} e R ={(1, 4), (2, 5), (3, 6)}, temos então que o domínio de R é
o conjunto: D(R) = {1, 2, 3}. Enquanto a imagem de R é o conjunto: Im (R) = {4, 5, 6}. Vejamos

21. 21
Álgebra
agora a inversa de R: R-1
= {(4, 1), (5, 2), (6, 3)}, o domínio de R-1
é D(R-1
) = {4, 5, 6}, enquanto a
imagem de R-1
é Im(R-1
) = {1, 2, 3}.
2. Seja A = {1, 2, 3, 4}, B = {2, 4, 6, 8, 10, 12} e R = {(x, y) ∈A X B | y = 2x}.
Enumerando os elementos de R, temos: R = {(1, 2), (2, 4), (3, 6), (4, 8)}, o D(R) = {1, 2, 3, 4} e a
Im (R) = {2, 4, 6, 8}. A inversa de R é R-1
={(y, x) ∈ B X A | x = 2y}. Enumerando os elementos de
R-1
temos: R-1
= {(2, 1), (4, 2), (6, 3), (8, 4)}. O domino de R-1
= {2, 4, 6, 8}, enquanto sua imagem
é R-1
= {1, 2, 3, 4}. Vejamos a representação de R-1
por meio de diagramas:
A
1
2
3
4
2
4
6
8
10
12
B
R-1
Figura 7
Observação
Podemos obter a representação de R-1
por meio de diagramas
simplesmente invertendo o sentido das flechas na representação de R.
Se representarmos a relação R por meio de um gráfico cartesiano, a representação de R-1
nesse
mesmo plano será simétrica do gráfico de R em relação à reta de equação x=y. Observe o exemplo
a seguir.
3. Seja R = {(x, y) ∈ ℜxℜ | y = 2x}, temos como a inversa de R a relação R-1
= {(y, x) ∈ ℜxℜ| x = 2y}.
Observe a representação gráfica de R e R-1
em um mesmo plano cartesiano:
8
6
4
2
0
x
y R
x = y
R-1
Figura 8

22. 22
Unidade I
Observação
Se os conjuntos A e B forem iguais, e considerarmos uma relação de
A em B, podemos afirmar que R é uma relação sobre A ou ainda R é uma
relação em A. Observando ainda que será um subconjunto do produto
cartesiano de A por A, ou seja, R ⊂ A X A.
Exemplo de aplicação
1. Dados os conjuntos A = {1, 3, 5, 7}, B = {1, 2, 3, 4} e C = {2, 3}, determine o conjunto (A ∩ B) ∪ (A ∩ C):
Resolução:
Calculando inicialmente A ∩ B, temos A ∩ B = {1, 3}, depois devemos calcular A ∩ C = {3}, agora
fazendo a união dos dois conjuntos temos (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) = {1, 3} ∪ {3} = {1, 3}.
2. Dados os conjuntos A = {a, b, c, d, e} e B = {b, c, e}, qual é o conjunto que representa A – B?
Resolução:
Pela definição, o conjunto A – B é o conjunto formado pelos elementos de A que não estão em B,
assim A – B = {a, d}.
3. Se A = {a, b} e B = {1, 2, 3}, determine o produto cartesiano de B por A, ou seja:
B x A
Resolução:
Lembrando, B x A é um conjunto dos pares ordenados, com 1º elemento de B e 2º elemento de A,
assim B x A = {(1, a), (1, b), (2, a), (2, b), (3, a), (3, b)}.
4. Considerando o diagrama a seguir, discuta a veracidade ou não de cada alternativa:
A
B
U
10
9
11 12
2
3
7
6
5
8
4
1
Figura 9

23. 23
Álgebra
a) CU
B
= {1, 4}
b) CU
A
= {2, 3, 6, 7}
c) A – B = {1, 4, 5, 8}
d) B – A = {2, 3, 6, 7}
e) A ∪ B = U
Resolução:
A alternativa correta é a “d)”. A seguir, apresentamos a justificativa para cada alternativa:
• a alternativa “a)” está errada, pois, como CU
B
= U - B, temos que CU
B
= {1, 4, 9, 10, 11, 12}.
• a alternativa “b)” está errada, pois, como CU
A
= U - A, temos que CU
A
= {2, 3, 6, 7, 9, 10, 11, 12}.
• a alternativa “c)” está errada, pois A – B = {1, 4}.
• a alternativa “d)” está correta, pois (B – A) é o conjunto dos elementos que estão em B e não estão
em A, isto é B – A = {2, 3, 6, 7}.
• a alternativa “e)” está errada, pois A ∪ B = {1, 4, 5, 8} ∪ {2, 3, 5, 6 , 7, 8}, logo A ∪ B = {1, 2, 3,
4, 5, 6, 7, 8} que é diferente de U, pois faltam os elementos 9, 10, 11, 12.
5. Sendo A = {x ∈ IN / 1 ≤ x ≤ 6} e B = {y ∈ IN / 0 ≤ y < 4}, qual é a alternativa que representa o
complementar de B em relação a A, ou seja, CA
B
? Justifique sua resposta.
a) CA
B
= {0, 4, 5, 6}
b) CA
B
= {4, 5, 6}
c) CA
B
= {0, 2, 5, 6}
d) CA
B
= {1, 4, 5, 6}
e) CA
B
= {0, 2, 6}
Resolução:
A alternativa correta é a “b)”. A seguir, apresentamos a justificativa.
Como CA
B
= A - B, sabendo que A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} e B = {0, 1, 2, 3}, temos que CA
B
= {4, 5, 6}.
Deixamos sob sua responsabilidade, verificar por que as demais alternativas são falsas.

24. 24
Unidade I
6. Avalie o diagrama a seguir e discuta a veracidade ou não de cada alternativa:
A B
C
10
9
2
3
7
6
5
8
4
1
Figura 10
a) A ∩ B = {3, 4}
b) B ∩ C = {3}
c) A - (B ∩ C) - {1, 2, 6}
d) n(C) = 4
e) A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5}
Resolução:
A alternativa correta é a “c)”. A seguir, apresentamos a análise para cada alternativa.
• a alternativa “a)” está errada, pois A ∩ B = {2, 3, 4}.
• a alternativa “b)” está errada, pois B ∩ C = {3, 4, 10}.
• a alternativa “c)” está correta, pois A - (B ∩ C) = {1, 2, 6}.
• a alternativa “d)”) está errada, pois n(C) = 7.
• a alternativa “e)” está errada, pois A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 10}.
7. Em um grupo, há n pessoas. Sabemos que 24 delas falam só inglês, 11 falam inglês e francês,
34 não falam francês, e 42 falam inglês ou francês. Determine o valor de n.
Resolução:
Como 11 pessoas falam inglês e francês, e 24 só falam inglês, temos que:
24 + 11 = 35 (que falam inglês)
Como 42 pessoas falam inglês ou francês, e 35 falam inglês, temos que:
42 – 35 = 7 (que falam só francês)

25. 25
Álgebra
Como 34 não falam francês, e 24 só falam inglês, temos que:
34 – 24 = 10 pessoas (que não falam inglês e não falam francês)
Resumindo:
• pessoas que falam apenas inglês: 24;
• pessoas que falam apenas francês: 7;
• pessoas que falam francês e inglês: 11;
• pessoas que não falam nenhuma das duas línguas: 10.
Logo, temos:
24 + 7 + 11 + 10 = 52 pessoas
8. Considerando a relação R ⊂ A x B, sendo A = {0, 1, 2, 3} e B = {a, b, c, d} com R dada pelos pares
ordenados R = {(0, a), (1, c), (2, d)}, qual das alternativas a seguir é verdadeira?
a) D(R) = A
b) D(R-1
) = B
c) Im (R) = B
d) Im (R-1
) = A
e) D(R-1
) = {a, c, d}
Resolução:
Observando os pares ordenados de R, temos que D(R) = {0, 1, 2} e Im (R) = {a, c, d}.
Assim, R-1
⊂ B x A e R-1
= {(a, 0), (c, 1), (d, 2)}, D(R-1
) = {a, c, d} e Im (R-1
) = {0, 1, 2}. Deste modo, a
alternativa correta é a “e)”.
Deixamos sob sua responsabilidade verificar por que as demais alternativas são falsas.
9. Sendo A = {0, 1, 2, 3} e B = {1, 2, 4} os pares ordenados da relação R dada por:
R = {(x, y) ∈ A X B / y = x2
+ 1} são:
a) R = {(1, 1), (2, 1)}
b) R = {(1, 2), (2, 2)}
c) R = {(0, 1), (1, 2)}

26. 26
Unidade I
d) R = {(3, 1), (1, 1)}
e) R = {(1, 1), (2, 4)}
Resolução:
No produto cartesiano A x B, devemos procurar os elementos que satisfazem à condição dada, isto
é, y = x2
+ 1.
Assim, temos y = x2
+ 1. Vamos substituir cada valor de x (x ∈ A) na expressão dada e verificar se o
resultado de y pertence a B. Caso y ∈ B, o par (x, y) estará na relação R, se y ∉ B o par (x, y) não estará
na relação R.
Fazendo as contas, temos então que os únicos pares que satisfazem à condição são (0, 1) e (1, 2).
Logo, a alternativa correta é a “c)”.
10. Considere os conjuntos A = {a, b, c, d}, B = {a, b, c, e, f} e C = {b, g}, a alternativa verdadeira
para o conjunto (A – B) ∪ C é:
a) (A – B) ∪ C = {b}
b) (A – B) ∪ C = {b, g}
c) (A – B) ∪ C = {b, d, g}
d) (A – B) ∪ C = ∅
e) (A – B) ∪ C = {g}
Resolução:
Primeiramente, fazemos A – B, sendo que A – B = {d}. Na sequência, fazemos a união desse conjunto
com o conjunto C e temos (A – B) ∪ C = {d} ∪ {b, g}, assim:
(A – B) ∪ C = {b, d, g}.
Logo, a alternativa correta é a “c)”.

27. 27
Álgebra
Saiba mais
Para saber mais sobre relações binárias, leia:
SANTOS,J.C.S.O.Formaçãocomplementaremmatemática.Universidade
do Porto – Departamento de Matemática da Faculdade de Ciências, jan.
2012. Disponível em: <http://www.fc.up.pt/mp/jcsantos/PDF/FCMatI.pdf>.
Acesso em: 22. abr. 2013.
MARQUES, P. Relações binárias. Feira de Santana – BA, [s.d.]. Disponível em:
<http://www.paulomarques.com.br/arq1-5.htm>. Acesso em: 22. abr. 2013.
RELAÇÕES binárias. Universidade Federal do Maranhão, [s.d.]. Disponível
em: <http://www.deinf.ufma.br/~vidal/mdl/12-relacoesBinarias.pdf>.
Acesso em: 22. abr. 2013.
2 Propriedades das relações e aplicações
2.1 Propriedades das relações
Estudaremos a seguir as principais propriedades de uma relação R sobre um determinado
conjunto A. Deve-se aqui tomar certo cuidado para não acreditar que as propriedades que serão
expostas sejam vistas como dependentes umas das outras. O estudo dessas propriedades deve
ser feito de forma independente, estando atento apenas às definições e à aplicação da lógica
matemática, ou seja, o fato de uma relação sobre um determinado conjunto A ser simétrica não
quer dizer que ela não será necessariamente antissimétrica, pois, como ressaltamos antes, elas
são independentes e, sendo assim, é possível apresentar vários exemplos de relações simétricas e
antissimétricas ao mesmo tempo.
2.1.1 Propriedade reflexiva
Dizemos que uma relação R sobre um determinado conjunto A é reflexiva quando está
satisfeita a seguinte condição: (∀ x) (x ∈ A → xRx), ou seja, a relação é reflexiva somente
se todo elemento de A se relaciona consigo mesmo. Vejamos a seguir alguns exemplos e um
contraexemplo.
Exemplo 1
Considere o conjunto A = {a, b, c} e a R = {(a, a), (b, b), (c, c), (a, c)} sobre A. R é uma
relação reflexiva, pois todo elemento pertencente a A relaciona-se consigo, isto é, temos aRa,
bRb, e cRc.

28. 28
Unidade I
Exemplo 2
Considere o conjunto A formado por todas as retas de um plano e a relação de paralelismo definida
sobre A, ou seja, sRt ↔ s // t. R é uma relação reflexiva, pois toda reta pertencente ao plano é paralela a
si própria, isto é, para toda reta s temos s // s.
Contraexemplo
Consideremos novamente o conjunto A = {a, b, c}, só que agora devemos analisar a seguinte
relação R = {(a, a), (b, b), (a, c), (c, a), (b, c), (c, b)} sobre A. A relação R não goza da propriedade
reflexiva, pois não temos todos os elementos de A relacionados consigo segundo a relação R.
Em outras palavras, R não é reflexiva, pois c pertence a A, no entanto o par ordenado (c, c) não
pertence à relação, simbolicamente, cRc.
2.1.2 Propriedade simétrica
Uma relação R sobre um determinado conjunto A goza da propriedade simétrica quando a seguinte
condição é satisfeita: a relação R é simétrica quando, estando a relacionado com b, tivermos também b
relacionado com a. Simbolicamente, temos:
(∀ a, b ∈ A) (aRb → bRa)
Vejamos a seguir alguns exemplos e um contraexemplo.
Exemplo 1
Considere o conjunto A = {a, b, c} e a R = {(a, a), (b, b), (c, a), (a, c)} sobre A. R é uma relação
simétrica, pois estando c relacionado com a temos também a relacionado com c, ou seja, se cRa,
então aRc.
Exemplo 2
Considere o conjunto A formado por todas as retas de um plano e a relação de perpendicularismo
definida sobre A, ou seja, sRt ↔ s ⊥ t. R é uma relação simétrica, pois se a reta s é perpendicular à
reta t, implica que t é perpendicular à s, isto é, sempre que s ⊥ t → t ⊥ s.
Contraexemplo
Considere o conjunto A = {a, b, c} e a R ={(a, a), (b, b), (c, a), (c, c)} sobre A. R não é uma relação
simétrica, pois temos c relacionado com a, mas não temos a relacionado com c, ou seja, se cRa, mas aRc,
em outras palavras, o par ordenado (a, c) não pertence à relação R.

29. 29
Álgebra
2.1.3 Propriedade transitiva
Uma relação R sobre um determinado conjunto A goza da propriedade transitiva quando é
satisfeita a seguinte condição: A relação R é transitiva quando, estando a relacionado com b e
estando b relacionado com c, implicar a relacionado com c. Simbolicamente, temos o seguinte:
(∀ a, b, c ∈ A) (aRb e bRc) → aRc. Vejamos a seguir alguns exemplos e um contraexemplo.
Exemplo 1
Considere o conjunto A = {a, b, c} e a R = {(a, a), (b, b), (c, c), (a, c), (a, b), (b, c)} sobre A. R é uma
relação transitiva, pois a está relacionado com b e b está relacionado com c, então a está relacionado
com c, ou seja, temos: aRb, bRc, e aRc.
Exemplo 2
Considere o conjunto N dos números naturais e a relação R de divisibilidade definida sobre N. R goza
da propriedade transitiva, pois se a divide b, e b divide c, implica que a divide c, ou seja, simbolicamente,
ab e bc, então ac. Logo, aRb, bRc, e aRc.
Contraexemplo
Considere o conjunto A = {a, b, c} e a R = {(a, a), (b, b), (c, c), (a, b), (b, c)} sobre A. R não é
uma relação transitiva, pois a está relacionado com b e b está relacionado com c, mas não temos a
relacionado com c, ou seja: aRb, bRc, mas a Rc. Em outras palavras, o par ordenado (a, c) não pertence
à relação R, simbolicamente, (a, c) ∉ R.
2.1.4 Propriedade antissimétrica
Dizemos que uma relação R sobre um determinado conjunto A é antissimétrica quando está satisfeita
a seguinte condição: se a relaciona-se com b, e b relaciona-se com a, então a é igual a b. Simbolicamente,
temos: (∀ a, b ∈ A) (aRb e bRa → a = b). Vejamos alguns exemplos e um contraexemplo.
Exemplo 1
Considere o conjunto A = {a, b, c} e a R = {(a, a), (b, b), (c, a), (c, c)} sobre A. R é uma
relação antissimétrica, pois temos c relacionado com a, mas não temos a relacionado com c.
Simbolicamente, temos: cRa, mas aRc. Em outras palavras, o par ordenado (a, c) não pertence à
relação R, isto é, (a, c) ∉ R.
Exemplo 2
Considere o conjunto N dos números naturais e a relação R de divisibilidade definida sobre N.
R é uma relação antissimétrica, pois se a divide b, e b divide a, então, necessariamente, a é igual a b.
Simbolicamente, temos: se a | b e b | a, então a = b.

30. 30
Unidade I
Contraexemplo
Considere o conjunto A = {a, b, c} e a R = {(a, a), (b, b), (c, c), (a, b), (b, a)} sobre A. R não é uma relação
antissimétrica, pois a está relacionado com b e b está relacionado com a, mas a não é necessariamente
igual a b. Simbolicamente, temos: aRb e bRa, com a ≠ b.
2.2 Relações e aplicações
2.2.1 Relação de equivalência
Consideremos um conjunto A não vazio e uma determinada relação R sobre esse conjunto. Diremos que R é
uma relação de equivalência sobre A se, e somente se, R gozar das propriedades reflexiva, simétrica e transitiva.
Simbolicamente,podemosdizerqueRéumarelaçãodeequivalênciasobreA,sesatisfizeràsseguintescondições:
I. (∀ a) (a ∈A → aRa)
II. (∀ a, b ∈ A) (aRb → bRa)
III. (∀ a, b, c ∈ A) (aRb e bRc → aRc)
Vejamos alguns exemplos e um contraexemplo.
Exemplo 1
Considere o conjunto:
A = {a, b, c} e a R = {(a, a), (b, b), (c, c), (a, c), (c, a), (a , b), (b, a), (b, c), (c, b)} sobre A.
R é uma relação de equivalência sobre A, pois R goza das propriedades reflexiva, simétrica e transitiva.
Simbolicamente, temos: propriedade reflexiva: (para todo a ∈ A) (a ∈ A → aRa); propriedade
simétrica: (∀ a, b ∈ A) (aRb → bRa); propriedade transitiva (∀ a, b, c∈ A) (aRb e bRc → aRc).
Exemplo 2
Considere o conjunto A formado por todas as retas de um plano e a relação de paralelismo definida
sobre A, ou seja, sRt ↔ s // t. R é uma relação de equivalência sobre A, pois satisfaz à propriedade
reflexiva, já que toda reta é paralela a si própria, temos então s//s. Satisfaz, também, à propriedade
simétrica, pois se a reta s é paralela à reta t, então a reta t também é paralela à reta s, temos então s // t
e t // s. E satisfaz, por fim, à propriedade transitiva, já que se s // t e t // r, então s // r.
Contraexemplo
Considere o conjunto N dos números naturais e a relação R de divisibilidade definida sobre N.
R não é uma relação de equivalência sobre esse conjunto, pois apesar de R satisfazer às propriedades

31. 31
Álgebra
reflexiva e transitiva, R não satisfaz à propriedade simétrica, pois se a divide b, não implica b dividir a.
Vejamos um caso particular desse fato: temos que 2 divide 4, mas 4 não divide 2.
Considerando um conjunto A não vazio e uma relação R sobre esse conjunto. Se R é uma relação
de equivalência sobre A e dado um elemento a pertencente ao conjunto A, chamaremos de classe de
equivalência determinada pelo elemento a, módulo R, o subconjunto de a do conjunto A, constituído
pelos elementos de x, de tal forma que xRa. Simbolicamente, temos: a = (x ∈ AxRa).
Um conjunto que seja formado pelas classes de equivalência módulo R será representado por A/R, e
chamaremo-lo de conjunto-quociente de A por R.
2.2.2 Relação de ordem
Consideremos um conjunto A não vazio e uma determinada relação R sobre esse conjunto. Diremos
que R é uma relação de ordem parcial sobre A se, e somente se, R gozar das propriedades reflexiva,
antissimétrica e transitiva. Simbolicamente, podemos dizer que R é uma relação de ordem parcial
sobre A se satisfizer às seguintes condições:
I. (∀ a) (a ∈A → aRa)
II. (∀ a, b ∈ A) (aRb e bRa → a = b)
III. (∀ a, b, c ∈ A) (aRb e bRc → aRc)
Chamaremos de conjunto parcialmente ordenado o conjunto no qual se definiu uma determinada
relação R de ordem parcial, ou seja, se consideramos um conjunto A e uma relação R sobre esse conjunto,
e se essa relação satisfizer à propriedade reflexiva, à antissimétrica e à transitiva, então esse conjunto
será chamado de conjunto parcialmente ordenado pela relação R.
Sempre que ocorrer aRb ou bRa para a, b ∈ A segundo R (neste caso, R é uma relação de ordem
parcial sobre A), diremos que a e b são comparáveis mediante R.
Se pudermos sempre comparar dois elementos quaisquer de A segundo a relação R em questão,
então chamaremos R de relação de ordem total sobre A. E, consequentemente, diremos que o
conjunto A, neste caso, é um conjunto totalmente ordenado por R.
Vejamos a seguir alguns exemplos e um contraexemplo.
Exemplo 1
Considere o conjunto A = {a, b, c} e a R = {(a, a), (b, b), (c, c), (a, b), (b, c), (a , c)} sobre A. R é uma
relação de ordem total sobre A, pois goza das propriedades reflexiva, antissimétrica e transitiva, desta
forma define ordem parcial, além disso, quaisquer elementos de A são comparáveis mediante R, logo
R é uma relação de ordem total; podemos afirmar também que A é totalmente ordenado segundo R.
Simbolicamente, temos:

32. 32
Unidade I
I. (∀ a) (a ∈ A → aRa)
II. (∀ a, b ∈ A) (aRb e bRa → a = b)
III. (∀ a, b, c ∈ A) (aRb e bRc → aRc)
IV. (∀ a, b) (a, b ∈ A → aRb ou bRa)
Exemplo 2
Considereoconjuntoℜdosnúmerosreaisearelação≤(menor ou igual)usualdefinidaemℜ.Arelação
≤ goza da propriedade reflexiva, da antissimétrica e da transitiva, além disso, quaisquer elementos de ℜ são
comparáveis segundo essa relação, portanto trata-se de uma relação de ordem total; consequentemente,
podemos afirmar que ℜ é totalmente ordenado pela relação ≤ (menor ou igual). Simbolicamente, temos:
I. (∀ a) (a ∈ ℜ → a ≤ a)
II. (∀ a, b ∈ ℜ) (a ≤ b e b ≤ a → a = b)
III. (∀ a, b, c ∈ ℜ) (a ≤ b e b ≤ c → a ≤ c)
IV. (∀ a, b) (a, b ∈ ℜ → a ≤ b ou b ≤ a)
Exemplo 3
Considere o conjunto A = {a, b, c} e a relação:
R = {(a, a), (b, b), (c, c), (a, b), (a, c), (b, c)} sobre A. R é uma relação de ordem parcial sobre A,
pois goza das propriedades reflexiva, antissimétrica e transitiva; desta forma, define ordem parcial,
mas nem todos os elementos pertencentes ao conjunto A são comparáveis segundo R, no caso os
pares ordenados (a, c) e (c, a) não pertencem à relação R, ou seja, não são comparáveis segundo R.
Simbolicamente, temos:
I. (∀ a) (a ∈ A → aRa)
II. ((∀ a, b ∈ A) (aRb e bRa → a = b)
III. ((∀ a, b, c ∈ A) (aRb e bRc → aRc)
Contraexemplo
Considere o conjunto A = {a, b, c} e a R = {(a, a), (b, b), (c, c), (a, b), (b, a)} sobre A. R não é uma
relação de ordem sobre A, pois a está relacionado com b, e b está relacionado com a, mas a não é
necessariamente igual a b, ou seja, não satisfaz à propriedade antissimétrica, portanto não define ordem
parcial e nem ordem total, visto que a segunda pressupõe a primeira.
Como acabamos de ver, se uma ordem R, sobre um determinado conjunto A, verificar a seguinte
condição de que quaisquer que sejam a e b pertencentes a A, ou simbolicamente (∀ a, b ∈ A) (aRb ou

33. 33
Álgebra
bRa), diremos que R é uma ordem total sobre A ou que A é um conjunto totalmente ordenado pela
ordem R. Na verdade, uma estrutura ordenada nada mais é do que um par ordenado (A, R), em que A é
um determinado conjunto, e R uma relação de ordem sobre esse conjunto.
No caso de analisarmos um conjunto finito e com poucos elementos, podemos utilizar também
a seguinte representação gráfica, procedendo da seguinte forma: liga-se um elemento a com um
elemento b por um traço ascendente se, e somente se, aRb. Nesta representação, ficam implícitas as
propriedades reflexiva (não se desenha um laço em torno de cada elemento de A) e a transitiva (se existe
um traço ascendente que liga a com b e um outro que liga b com c, fica subentendido que existe um
traço ascendente ligando a com c). Observe o exemplo a seguir:
6
12
4
2
1
3
Figura 11
A = {1, 2, 3, 4, 6, 12}; aRb ↔ a | b (a divide b). Verifica-se facilmente que R é uma relação de ordem
parcial, mas não é total, já que, por exemplo, os pares ordenados (2, 3) e (3, 2) não pertencem à relação R,
visto que 2 não divide 3 e 3 não divide 2.
2.2.3 Aplicações
Estudaremos, agora, alguns casos específicos de relações. Nosso interesse nessas relações justifica-
se pelas suas utilidades em diversas áreas do conhecimento, sendo fundamental para a elaboração
de modelos em situações práticas e em situações internas à Matemática. Estamos nos referindo às
aplicações. Logo, o estudante perceberá que não se trata de um objeto matemático novo, mas sim um
conceito já conhecido e estudado. Esse estudo normalmente inicia-se no final do Ensino Fundamental e
segue permeando todo o Ensino Médio e grande parte do Ensino Superior. Trata-se das funções.
As aplicações têm a mesma definição das conhecidas funções e, em última análise, trata-se do
mesmo objeto matemático, diferenciando-se apenas em relação aos conjuntos que estão relacionados.
Iremos nos referir às aplicações como funções sempre que os conjuntos envolvidos forem conjuntos
numéricos.
Definição: consideremos dois conjuntos A e B, e f uma relação de A em B. Dizemos que f é uma
aplicação de A em B se f satisfizer às seguintes condições:
I. D(f) = A
II. Dado a ∈ D(f), é único o elemento b ∈ B de modo que (a, b) ∈ f

34. 34
Unidade I
Sempre que f for uma aplicação de A em B, denotaremos b = f(a) (lê-se: b é a imagem de a pela f)
para significar que (a, b) ∈ f. f: A → B será a maneira simbólica de dizermos que f é uma aplicação
de A em B. Evidentemente, o conjunto A é o domínio de f, enquanto o conjunto B será chamado de
contradomínio de f.
Observação
Se f: A → B e g: A → B, devemos observar que: f = g ↔ f(x) = g(x), ∀ x ∈ A.
Se o contradomínio de uma aplicação f é um conjunto numérico, é usual
chamar-se f de função.
Vejamos a seguir alguns exemplos.
Exemplo 1
Consideremos os conjuntos A = {0, 1, 2, 3} e B = {4, 5, 6, 7, 8} e as seguintes relações de A em B:
• R1
= {(0, 5), (1, 6), (2, 7)}
• R2
= {(0, 4), (1, 5), (1, 6), (2, 7), (3, 8)}
• R3
= {(0, 4), (1, 5), (2, 7), (3, 8)}
• R4
= {(0, 5), (1, 5), (2, 6), (3, 7)}
A relação R1
não é aplicação de A em B, pois D(R1
) = {0, 1, 2} ≠ A, isto é, 3 ∉ D(R1
), portanto não
satisfaz à primeira condição (I).
A relação R2
não é aplicação de A em B, pois (1, 5) ∈ R2
e (1, 6) ∈ R2
, portanto, 1 tem dois
“correspondentes” em B, portanto não satisfaz à segunda condição (II).
As relações R3
e R4
são aplicações de A em B, pois satisfazem às duas condições da definição de aplicação.
Exemplo 2
Observe as relações representadas a seguir por meio de seus gráficos. Vamos analisar as relações R1
,
R2
e R3
, somente por meio de seus gráficos e decidir quais são aplicações de ℜ em ℜ.

35. 35
Álgebra
R1
R2
R3
yyy
x
x
x
Figura 12
Após observar os gráficos, podemos concluir facilmente que R1
e R3
são aplicações, pois satisfazem
às duas condições da definição de aplicação enunciada anteriormente, e seus gráficos representam
casos específicos das tão conhecidas funções lineares e funções quadráticas, respectivamente. Já a
relação R2
não é uma aplicação de ℜ em ℜ, pois não satisfaz a nenhuma das condições impostas na
definição de aplicação, pois, em primeiro lugar, o D(R2
) ≠ ℜ (e isso já é suficiente para justificar a nossa
conclusão); além disso, cada elemento a ∈ D(R2
) tem duas imagens correspondentes, sendo assim, não
satisfaz à segunda condição da definição de aplicação.
Observação
Devemos observar que toda aplicação é uma relação, mas que a
recíproca não é verdadeira, já que nem sempre uma relação é uma
aplicação. Podemos nos apoiar nas definições ou nos exemplos anteriores
para verificar tal afirmação.
2.2.3.1 Aplicações injetoras, sobrejetoras e bijetoras
Aplicação injetora
Consideremos uma aplicação f: A → B. Dizemos que f é uma aplicação injetora de A em B sempre
que estiver satisfeita a seguinte condição: sempre que elementos distintos pertencentes ao domínio de f
tiverem imagens distintas em B. Simbolicamente, temos:
(∀ x1
, x2
∈ A) (x1
≠ x2
→ f (x1
) ≠ f (x2
))
Outra forma equivalente de fazer essa mesma afirmação e definir quando uma função é injetora é a
seguinte: se dois elementos pertencentes ao domínio têm a mesma imagem, então esses elementos são
iguais. Simbolicamente, temos:
(∀ x1
, x2
∈ A) (f (x1
) = f (x2
) → x1
= x2
)

36. 36
Unidade I
Com base na definição anterior de aplicação injetora, podemos afirmar ainda que uma
aplicação não é injetora quando existirem dois elementos distintos em A com imagens iguais.
Simbolicamente:
(∃ x1
, x2
∈ A) (x1
≠ x2
→ f (x1
) = f (x2
))
Aplicação sobrejetora
Consideremos uma aplicação f: A → B. Dizemos que f é uma aplicação sobrejetora quando qualquer
elemento de B é imagem de algum elemento do domínio A, ou seja, não há elementos no conjunto B
sem correspondente em A. Simbolicamente, temos:
(∀ y) (y ∈ B → ∃ x ∈ A | y = f(x))
Podemos, ainda, ser mais objetivos em relação à definição de aplicação sobrejetora,
ressaltando que se a Im (f) = B (a imagem de f é igual ao contradomínio), então f é uma
aplicação sobrejetora.
Com base na definição de aplicação sobrejetora, podemos afirmar que uma aplicação não é
sobrejetora quando existe algum elemento y pertencente ao contradomínio B de f que não é imagem
de nenhum elemento x pertencente ao domínio de f. Simbolicamente, temos:
(∃ y) (y ∈ B e não existe x ∈ A | y = f (x))
Aplicação bijetora
Consideremos uma aplicação f: A → B. Se f é uma aplicação injetora e também sobrejetora, dizemos
simplesmente que f é uma aplicação bijetora ou bijeção de A em B.
Vejamos a seguir alguns exemplos de aplicações injetoras, sobrejetoras e bijetoras.
Exemplo 1
Consideremos os conjuntos A = {a, b, c, d} e B = {α, β, γ, δ, ε} e a aplicação
f = {(a, α), (b, β), (c, γ), (d, δ)} de A em B, f é injetora, visto que para todo elemento do domínio
x ≠ x1
implica f(x) ≠ f(x1
). Observe ainda que f não é sobrejetora, pois a Im (f) ≠ CD (f) já que
ε ∈ B e ε ∉ Im (f). Logo, f não é bijetora.
Exemplo 2
Consideremos os conjuntos A = {a, b, c, d} e B = {α, β, γ} e a aplicação f = {(a, α), (b, β), (c, β), (d, γ)}
de A em B. Observe que f não é injetora, b ≠ c e f (b) = β = f (c). Notemos que f é sobrejetora, já que
Im (f) = CD (f). Mas f não é bijetora.

37. 37
Álgebra
Exemplo 3
Considere a aplicação f: ℜ→ ℜ dada pela lei f(x) = 3x +1. Essa aplicação é injetora e sobrejetora,
portanto bijetora. Observe as justificativas que seguem:
I. dados x1
e x2
∈ ℜ, temos: f (x1
) = f (x2
) → 3x1
+ 1 = 3x2
+ 1 → x1
= x2
, portanto f é injetora;
II. dado y ∈ ℜ, provemos que existe x ∈ ℜ tal que f(x) = y: 3x + 1 = y → x = (y – 1)/3, portanto f é
sobrejetora.
Exemplo 4
Observe as aplicações f1
e f2
de ℜ em ℜ representadas a seguir por meio de seus gráficos:
f1
y
x
f2
y
x
Figura 13
Como podemos observar, f1
é uma aplicação bijetora, pois f1
é injetora, visto que
(∀ x1
, x2
∈ A) (x1
≠ x2
→ f (x1
) ≠ f (x2
)) e é sobrejetora já que Im (f1
) = CD (f1
).
Analisando a representação gráfica da aplicação f2
, podemos concluir que não é injetora, visto
que podemos ter (x1
≠ x2
→ f (x1
) = f (x2
)), ou seja, elementos distintos no domínio com imagens
iguais, já que essa é a representação gráfica de uma parábola. Além disso, f2
não é sobrejetora já
que a Im (f2
) ≠ CD (f2
), ou seja, a Im (f2
) = ℜ+
, enquanto que o CD (f2
) = ℜ.
Observação
As aplicações não podem ser divididas em injetoras ou sobrejetoras
porque existem muitas aplicações que não são nem uma coisa nem outra,
por exemplo: f : ℜ→ ℜ dada pela lei f(x) = x2
Vimos anteriormente que a relação R-1
é a inversa de uma relação R. Parece-nos plausível então
questionar se toda aplicação tem como inversa uma aplicação, ou seja, se considerarmos uma aplicação
f de A em B, então sua inversa f-1
, sempre será uma aplicação da B em A? Antes de responder a essa
questão, vamos observar o próximo exemplo.

38. 38
Unidade I
Exemplo
Consideremos os conjuntos A = {a, b, c}, B = {d, e} e a relação R = {(a, d), (b, d), (c, d)} de A em B.
A relação inversa R-1
= {(d, a), (d, b), (d, c)}. Facilmente, verificamos que R é uma aplicação de A em B,
no entanto sua inversa R-1
não é uma aplicação de B em A, pois não satisfaz às condições impostas na
definição de aplicação.
Podemos, agora, responder à questão posta anteriormente. Nem sempre a inversa de uma
aplicação é também uma aplicação, ou seja, pode acontecer de uma aplicação não ter uma
aplicação inversa. Vamos enunciar a seguir uma condição para que uma aplicação tenha sempre
uma aplicação inversa.
Consideremos uma aplicação f de A em B. Uma condição necessária e suficiente para que f-1
seja
uma aplicação de B em A é que f seja bijetora, ou seja, que f seja injetora e também bijetora. Observe o
exemplo a seguir.
Exemplo
Consideremos a aplicação f = {(x, y) ∈ ℜ x ℜ | y = 2x}, verifica-se que f é bijetora, portanto sua
inversa é a aplicação f-1
= {(y, x) ∈ ℜ x ℜ | x = 2y}. Observe a representação gráfica de f e f-1
em um
mesmo plano cartesiano:
8
6
4
2
0 x
y R
x = y
R-1
Figura 14
Observação
Demonstra-se que, se f é bijetora, f-1
também é bijetora. A
representação gráfica da inversa de uma aplicação é simétrica à
representação gráfica de f, em relação à reta x = y.
Exemplo de Aplicação
1. Considere as afirmações sobre a relação R:
I. R ⊂ E x E, R é reflexiva ⇔ (x, x) ∈R, ∀ x ∈ E

39. 39
Álgebra
II. R ⊂ E x E, R é simétrica ⇔ se (x, y) ∈R, então (y, x) ∈R
III. R ⊂ E x E, R é transitiva ⇔ se (x, y) ∈ R e (y, x) ∈ R, então x = y
É correto afirmar que:
a) Todas as afirmações são verdadeiras.
b) Todas as afirmações são falsas.
c) Apenas as afirmações I e II são verdadeiras.
d) Apenas as afirmações II e III são verdadeiras.
e) Apenas as afirmações I e III são verdadeiras.
Resolução:
As três afirmativas, ou seja, todas são verdadeiras, visto que:
R ⊂ E x E, R é reflexiva ⇔ (x, x) ∈ R, ∀ x ∈ E é uma afirmação verdadeira; que R ⊂ E x E, R é
simétrica ⇔ se (x, y) ∈ R, então (y, x) ∈ R também é uma sentença verdadeira e que se configura como
verdade; R ⊂ E x E, R é transitiva ⇔ se (x, y) ∈ R e (y, x) ∈ R, então x = y.
2. Considerando o conjunto dos números naturais (IN) com a relação “≤“, é correto afirmar que:
a) A relação é reflexiva e simétrica.
b) A relação é reflexiva, antissimétrica e não é transitiva.
c) A relação não é reflexiva.
d) A relação é reflexiva, antissimétrica e transitiva.
e) A relação não é transitiva.
Resolução:
A alternativa correta é a “d)”, pois a relação “≤” é reflexiva, antissimétrica e transitiva.
Não é simétrica, por exemplo, sendo a = 2 e b = 3, temos 2 ≤ 3, mas não temos 3 ≤ 2.
Apresente exemplos numéricos para mostrar que a relação “≤” é reflexiva, antissimétrica e transitiva.
3. Considere a relação representada no esquema de flechas a seguir:

40. 40
Unidade I
1
2
4
3
Figura 15
De acordo com o esquema de flechas visto, é correto afirmar que:
a) R é reflexiva.
b) R é simétrica.
c) R é transitiva.
d) R não é reflexiva.
e) R é antissimétrica.
Resolução:
Observando e refletindo sobre o esquema das flechas, construímos os pares ordenados:
(1, 1), (1, 3), (2, 2), (3, 2) (4, 3), (3, 4), com esses pares podemos afirmar que:
• R não é reflexiva, pois 3 ∈ A, mas (3, 3) ∉ R;
• R não é simétrica, pois (1, 3) ∈ R, mas (3, 1) ∉ R;
• R não é antissimétrica, pois (3, 4) ∈ R e (4, 3) ∈ R, mas 3 ≠ 4;
• pelo que foi analisado anteriormente, concluímos que a alternativa correta é a “d)”.
4. Considerando a aplicação dada pelos pares ordenados {(a, 1), (b, 2), (c, 0)}, podemos afirmar
que:
a) Domínio de f é o conjunto {2, 3}.
b) Imagem de f é o conjunto {a, b, c}.
c) Domínio de f é o conjunto {a, b, c}.
d) Domínio de f é o conjunto {a, c}.
e) A imagem de f é o conjunto {2}.

41. 41
Álgebra
Resolução:
Lembrando que os pares ordenados são formados tendo o primeiro elemento pertencente ao domínio
e o segundo elemento do par pertencente à imagem, temos que domínio de f é D(f) = {a, b, c} e Imagem
de f é Im(f) ={0, 1, 2}. Logo, a única alternativa correta é a “c)”.
5. Determine o domínio da função f definida por x - 1
f(x) = -----------------------------
3x - 6
.
Resolução:
A função tem uma expressão com x no denominador. Para determinarmos o domínio dessa função,
devemos então excluir os valores que tornam o denominador igual a zero, assim: 3x – 6 ≠ 0. Resolvendo
a equação, temos x ≠ 2.
6. Considerando A = {1, 2, 3, 4}, B = {0, 1, 2, 3, 4} e a aplicação f: A → B dada pelos pares ordenados
{(1, 1), (3, 2), (4, 2), (2, 3)}, avalie e justifique a correção ou incorreção de cada alternativa a seguir:
a) f é bijetora.
b) f é sobrejetora.
c) f é injetora.
d) D(f) = A.
e) Im f = B.
Resolução:
Observando os pares ordenados, notamos que:
• f não é injetora, pois temos 3 e 4 com a mesma imagem, isto é: (3, 2) ∈ R e (4, 2) ∈ R.
• f não é sobrejetora, pois Im(f) = {1, 2, 3} ≠ B.
• f não pode ser bijetora, pois deveria ser injetora e sobrejetora. Logo, a única sentença correta é a
D(f) = {1, 2, 3, 4} = A, ou seja, a alternativa “d)”.
7. Considerando A = {a, b, c, d} e a relação R = {(a, a), (b, b), (c, c), (c, b), (b, a)}, é correto afirmar que:
a) R é reflexiva.
b) R é transitiva.
c) R não é simétrica.
d) R é simétrica.
e) R é relação de equivalência.

42. 42
Unidade I
Resolução:
Observando os pares da relação, temos que:
• R não é reflexiva, pois falta o par (d, d);
• R não é simétrica, pois (c, b) ∈ R, mas (b, c) ∉ R;
• R não é transitiva, pois (c, b) ∈ R e (b, a) ∈ R, mas (c, a) ∉ R;
• R não pode ser relação de equivalência, pois deveriam valer as propriedades reflexiva, simétrica e
transitiva. Logo, a alternativa correta é a alternativa “c)”.
8. Considerando R a relação de paralelismo no conjunto das retas do plano e as afirmativas a seguir:
I. R é relação de equivalência.
II. R é relação de ordem.
É correto afirmar que:
a) Apenas a afirmativa I é verdadeira.
b) Apenas a afirmativa II é verdadeira.
c) As afirmativas I e II são verdadeiras.
d) As afirmativas I e II são falsas.
e) Nenhuma das alternativas anteriores está correta.
Resolução:
A relação de paralelismo no conjunto das retas do plano é reflexiva, simétrica e transitiva, logo: é
uma relação de equivalência. Porém, não é antissimétrica, por exemplo:
r //s e s //r, mas nem sempre r = s, logo: não é relação de ordem.
Deste modo, a alternativa correta é a “a)”
9. Considere os conjuntos A = {0, 1, 2} e B = {3, 4, 5, 6, 7} e as relações de A em B:
• R1
= {(0, 4), (1, 3), (1, 4), (2, 7)}
• R2
= {(0, 4), (2, 4)}
• R3
= {(0, 3)}
É correto afirmar que:

43. 43
Álgebra
a) R1
é uma aplicação.
b) R2
é uma aplicação.
c) R3
é uma aplicação.
d) D(R1
) = {0, 1}.
e) D(R2
) = {0, 2}.
Resolução:
• R1
não é aplicação, pois o elemento 1 de A tem duas imagens, não satisfaz à definição de aplicação;
• R2
não é aplicação, pois D(R2
) = {0, 2} ≠ A;
• R3
não é aplicação, pois D(R1
) = {0} ≠ A;
• D(R1
) = {0, 1, 2};
• D(R2
) = {0, 2};
• logo, a alternativa correta é a “e)”.
10. Sendo A = {0, 1, 2} e R uma relação de A, dada por R = {(0, 0), (1, 1), (2, 1), (2, 2), (0, 1)}, é correto
afirmar que:
a) R é simétrica.
b) R é relação de equivalência.
c) R é relação de ordem parcial.
d) R é relação de ordem total.
e) Im (R) = {0, 1}.
Resolução:
• R não é simétrica, pois (2, 1) ∈ R, mas (1, 2) ∉ R;
• R não é relação de equivalência, pois não vale a propriedade simétrica;
• R é relação de ordem, pois valem as propriedades reflexiva, antissimétrica e transitiva;
• R não é relação de ordem total, pois os elementos 0 e 2 não são comparáveis;
• Im (R) = {0, 1, 2};
• logo, a alternativa correta é a “c)”.

44. 44
Unidade I
Resumo
Nesta unidade revisamos a noção de conjuntos, suas operações e
representações, além de estudarmos também os conceitos de relações e
aplicações.
Sobre as noções básicas de conjunto, é preciso saber que: letras
maiúsculas simbolizarão conjuntos, e minúsculas simbolizarão seus
elementos; o conjunto vazio será representado por ∅ ou por { } e usamos
x ∈ A (quando x pertencer a A); caso contrario, x ∉ A.
Os conjuntos numéricos são: N = {0, 2, 3, 4,...}; Z= {..., –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3,...};
Q= {
a
b
; a,b∈Z e b≠0}; R= números reais (números racionais unido com os
irracionais); C= {a+bi /a, b ∈ R, i = −1 .
Das operações e propriedades entre conjuntos observou‑se que:
A = B ⇔ (∀x) (x ∈ A ⇔ x ∈ B);
A ⊂ B ⇔ (∀x) (x ∈ A ⇒ x ∈ B);
A ∩ B = {x | x ∈ A e x ∈ B};
A ∪ B = {x | x ∈ A ou x ∈ B}.
Na intersecção:
1) comutativa: A ∩ B = B ∩ A;
2) elemento neutro: o conjunto universo U é o elemento neutro da
intersecção de conjuntos;
3) associativa: A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C.
Na união:
1) A ⊂ A ∪ B e B ⊂ A ∪ B;
2) comutativa: A ∪ B = B ∪ A;
3) elemento neutro: ∅ ∪ A = A ∪ ∅ = A. O conjunto ∅ é o elemento
neutro da união de conjuntos;

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Álgebra
4) associativa: (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C).
A – B = {x ∈ U | x ∈ A e x ∉ B}.
C A A BA
B
= = − é o complementar de B em A.
Sobre relações binárias e aplicações, dados dois conjuntos A e B não
vazios, temos: A X B = {(x, y)| x ∈ A e y ∈ B}; o domínio será representado
por D(R) = {x ∈ A | ∃ y ∈ B: xRy}, a imagem por Im(R) = {y ∈ B | ∃ x ∈
A: xRy} e a inversa será representada por R y x A xB x y R−
= ( )∈ ( )∈{ }1
, | , .
As principais propriedades são:
Reflexiva: ∀ x, se x ∈ A, então xRx;
Transitiva: ∀ a, b, c ∈ A. Se aRb e bRc, então: aRc;
Antissimétrica: ∀ a, b ∈ A. Se aRb e bRa, então a = b.
Se uma relação R for: reflexiva, simétrica e transitiva, R será uma relação
de equivalência sobre A; R for reflexiva, antissimétrica e transitiva, R será
uma relação de ordem parcial sobre A.
Aplicações: dados dois conjuntos A e B, ambos não vazios, e f
uma relação de A em B, f será uma aplicação de A em B se forem
satisfeitas:
1) D(f) = A.
2) Dado a ∈ D(f), existe um único elemento b ∈ B, tal que (a, b) ∈ f.
As aplicações podem ser:
Aplicação injetora: ∀ x1, x2 ∈ A se x1 ≠ x2, então, f(x1) ≠ f(x2) ou ∀ x1, x2
∈ A se f(x1) = f(x2), então x1 = x2;
Aplicação sobrejetora: ∀ y se y ∈ f, então ∃ x ∈ A | y = f(x);
Aplicação bijetora: f é injetora e, ao mesmo tempo, sobrejetora.

46. 46
Unidade I
Saiba mais
Para saber mais sobre aplicações, leia:
ZUFFI, E. M. (Coord.). Funções e aplicações. Centro de Divulgação
Científica e Cultural, Universidade de São Paulo, mai. 2011. Disponível em:
<http://www.cdcc.usp.br/matematica/Apostilafuncoes.pdf>. Acesso em:
22. abr. 2013.
Exercícios
Questão 1. (ENADE, 2008, Computação) Considerando o conjunto A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, qual opção
corresponde a uma partição desse conjunto?
A) {{1}, {2}, {3}, {4}, {5}, {6}}.
B) {{1}, {1,2}, {3,4}, {5, 6}}.
C) {{ }, {1, 2, 3}, {4, 5, 6}}.
D) {{1, 2, 3}, {5, 6}}.
E) {{1, 2}, {2, 3}, {3, 4}, {4, 5}, {5, 6}}.
Resposta correta: alternativa A.
Análise das alternativas
Dado um conjunto A, uma partição de A é um conjunto de subconjuntos de A, tal que:
1. A união de todos os subconjuntos é igual a A.
2. Os subconjuntos são disjuntos, isto é, não há elementos comuns a dois ou mais subconjuntos e a
intersecção de cada par de subconjuntos é vazia.
3. Não é permitido o subconjunto vazio.
Mais formalmente, PA = {A1
, A2
, ... An
} para n>0 é uma partição de A, se:
1. A1
∪ A2
∪ ... ∪ An
= A

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Álgebra
2. Para todo 1 ≤ i < j ≤ n, Ai
∩ Aj
= ∅
3. Para todo 1 ≤ i ≤ n, Ai
≠ ∅
Um exemplo típico é quando o professor divide o conjunto de alunos em grupos de trabalho. Um
aluno não pode estar em mais de um grupo, não faz sentido um grupo sem alunos e cada aluno tem que
estar em um grupo, mesmo que seja apenas ele no grupo. A palavra “grupo” neste exemplo está sendo
usada de maneira informal, mas os termos “partição” e “particionamento” são termos técnicos, com
significados bastante precisos na Matemática. Quando a partição é definida por meio de uma relação de
equivalência, os subconjuntos da partição são então chamados de classes de equivalência.
A – Alternativa correta.
Justificativa: a união dos conjuntos {1}, {2}, {3}, {4}, {5} e {6} é precisamente o conjunto A = {1,
2, 3, 4, 5, 6}. Os conjuntos {1}, {2}, {3}, {4}, {5} e {6} são disjuntos entre si, isto é, não há elemento
repetido em mais de um conjunto, e nenhum conjunto é vazio.
B – Alternativa incorreta.
Justificativa: essa alternativa desrespeita a restrição 2: os conjuntos não são disjuntos, pois {1} e
{1, 2} têm elementos em comum.
C – Alternativa incorreta.
Justificativa: essa alternativa desrespeita a restrição 3: o subconjunto vazio não pode estar incluso.
D – Alternativa incorreta.
Justificativa: essa alternativa desrespeita a regra 1: falta o elemento 4.
E – Alternativa incorreta.
Justificativa: como na alternativa B, os subconjuntos não são disjuntos.
Questão 2. A seguir são dadas afirmações sobre o conjunto de todas as pessoas que visitam páginas
da Web. Lembre-se que pode determinar a relação R no conjunto de todas as pessoas que visitam as
páginas da Web como reflexiva, simétrica, antissimétrica e transitiva onde (x, y) ∈ R.
I. A relação R no conjunto de todas as pessoas que visitam a página da Web X que também visitam
a página da Web Y é reflexiva e transitiva. Todas as pessoas que visitam a página X também visitam a
página Web X.
II. A relação R no conjunto de todas as pessoas que visitam a página da Web X que também visitam
a página da Web Y é reflexiva e simétrica.

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Unidade I
III. A relação R no conjunto de todas as pessoas que visitam a página da Web X e que também visitam
a página da Web Y não é antissimétrica.
IV. A relação R do conjunto de não existem links comuns na página Web X e na página Web Y é
reflexiva e simétrica.
V. A relação R do conjunto de não existem links comuns na página Web X e na página Web Y é
transitiva.
Assinale a alternativa que contenha as afirmações verdadeiras:
A) I e III.
B) II.
C) II e III.
D) IV e V.
E) V.
Resolução desta questão na plataforma.