Unid 1 (1) matematica

Autoras: Profa. Isabel Cristina de Oliveira Navarro Espinosa
Profa. Valéria de Carvalho
Profa. Kelly Cristina Rosa
Colaboradores: Profa. Mirtes Mariano
Prof. Daniel Scodeler Raimundo
Tópicos de Matemática

© Todos os direitos reservados. Nenhuma parte desta obra pode ser reproduzida ou transmitida por qualquer forma e/ou
quaisquer meios (eletrônico, incluindo fotocópia e gravação) ou arquivada em qualquer sistema ou banco de dados sem
permissão escrita da Universidade Paulista.
Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP)
E77g Espinosa, Isabel Cristina de Oliveira Navarro
Geometria analítica e álgebra linear / Isabel Cristina de Oliveira
Navarro Espinosa; Valéria de Carvalho - São Paulo: Editora Sol, 2012.
288 p., il.
Nota: este volume está publicado nos Cadernos de Estudos e
Pesquisas da UNIP, Série Didática, ano XVII, n. 2-021/12 , ISSN 1517-9230.
1. Geometria analítica. 2. Álgebra linear. 3. Matemática I.Título.
CDU 51
Professoras conteudistas: Isabel Cristina de Oliveira Navarro Espinosa /
Valéria de Carvalho / Kelly Cristina Rosa
Isabel Cristina de Oliveira Navarro Espinosa
Isabel Cristina de Oliveira Navarro Espinosa, graduada em Matemática pela Faculdade Oswaldo Cruz e mestre em
Educação Matemática pela Pontifícia Universidade Católica (PUC – SP), leciona no Ensino Superior desde 1981.
Professora do curso de Pós-graduação lato sensu em Educação Matemática das Faculdades Oswaldo Cruz e
professora da Universidade Paulista – UNIP na modalidade presencial e na modalidade EaD – Educação a Distância.
Coautora dos livros:
• Geometria analítica para computação, editora LTC.
• Álgebra linear para computação, editora LTC.
• Matemática: complementos e aplicações nas áreas de ciências contábeis, administração e economia, editora Ícone.
Valéria de Carvalho
Valéria de Carvalho, especialista em Matemática pelo IMECC (Instituto de Matemática Estatística e Computação
Científica), mestre e doutora em Educação Matemática pela Faculdade de Educação – Unicamp é professora do Ensino
Superior desde 1988.
Trabalha com temas envolvendo Tecnologias da Informação e da Comunicação (TICs) em projetos de Educação
Continuada, envolvendo docentes de Matemática, no LEM (Laboratório de Ensino de Matemática – IMECC) e na
Faculdade de Educação, ambos na Unicamp, sempre como professora colaboradora.
Possui publicações em anais de congressos fora do Brasil e capítulos de livros em nossa língua pensando o trabalho
docente, a educação matemática crítica e a sociedade.
Atualmente, professora da Universidade Paulista – UNIP e coordenadora do curso de Matemática na modalidade
EaD – Ensino a Distância.
Kelly Cristina Rosa
LicenciadaemMatemáticapelaUniversidadePaulista,mestreemEducaçãoMatemáticapelaPontifíciaUniversidade
Católica de São Paulo.
Tem experiência na área de Educação Matemática e o uso de tecnologias aplicadas à Álgebra, à Geometria e ao
Cálculo. Participou do grupo de pesquisa em Tecnologias da Informação e Educação Matemática da PUC-SP.
Atualmente, ministra aulas no curso presencial de Licenciatura em Matemática e Administração de Empresas da
Universidade Paulista

Prof. Dr. João Carlos Di Genio
Reitor
Prof. Fábio Romeu de Carvalho
Vice-Reitor de Planejamento, Administração e Finanças
Profa. Melânia Dalla Torre
Vice-Reitora de Unidades Universitárias
Prof. Dr. Yugo Okida
Vice-Reitor de Pós-Graduação e Pesquisa
Profa. Dra. Marília Ancona-Lopez
Vice-Reitora de Graduação
Unip Interativa – EaD
Profa. Elisabete Brihy
Prof. Marcelo Souza
Prof. Dr. Luiz Felipe Scabar
Prof. Ivan Daliberto Frugoli
Material Didático – EaD
Comissão editorial:
Dra. Angélica L. Carlini (UNIP)
Dra. Divane Alves da Silva (UNIP)
Dr. Ivan Dias da Motta (CESUMAR)
Dra. Kátia Mosorov Alonso (UFMT)
Dra. Valéria de Carvalho (UNIP)
Apoio:
Profa. Cláudia Regina Baptista – EaD
Profa. Betisa Malaman – Comissão de Qualificação e Avaliação de Cursos
Projeto gráfico:
Prof. Alexandre Ponzetto
Revisão:
Ana Luiza Fazzio
Virgínia Bilatto

Sumário
Tópicos de Matemática
APRESENTAÇÃO.......................................................................................................................................................9
INTRODUÇÃO............................................................................................................................................................9
Unidade I
1 MATRIZ.................................................................................................................................................................13
1.1 Introdução................................................................................................................................................13
1.2 Igualdade de matrizes.........................................................................................................................18
1.3 Alguns tipos especiais de matrizes................................................................................................19
2 OPERAÇÕES COM MATRIZES.......................................................................................................................22
2.1 Adição........................................................................................................................................................22
2.2 Multiplicação por escalar...................................................................................................................26
2.3 Transposição ou matriz transposta................................................................................................29
2.4 Multiplicação de matrizes.................................................................................................................30
2.5 Matriz inversa ........................................................................................................................................40
2.6 Processo prático para determinar a matriz inversa ...............................................................43
2.7 Ampliando seu leque de exemplos................................................................................................48
Unidade II
3 SISTEMAS LINEARES.......................................................................................................................................59
3.1 Equações lineares .................................................................................................................................59
3.2 Sistemas lineares...................................................................................................................................60
3.3 Resolução por adição..........................................................................................................................63
3.4 Resolução por escalonamento.........................................................................................................66
3.5 Resolução de sistemas pelo método de eliminação de Gauss............................................73
4 SISTEMAS LINEARES: ALGUNS EXEMPLOS............................................................................................79
Unidade III
5 INTRODUÇÃO AO CONCEITO DE FUNÇÕES............................................................................................86
5.1 A álgebra dos conjuntos.....................................................................................................................86
5.1.1 Os conjuntos..............................................................................................................................................86
5.1.2 Os elementos.............................................................................................................................................86
5.1.3 Número de elementos...........................................................................................................................87
5.1.4 Representações.........................................................................................................................................87

5.2 Operações com conjuntos.................................................................................................................89
5.2.1 Operações....................................................................................................................................................89
5.2.2 União.............................................................................................................................................................89
5.2.3 Intersecção.................................................................................................................................................90
5.2.4 Diferença simétrica ................................................................................................................................91
5.2.5 Complementar..........................................................................................................................................92
5.3 Entendendo um diagrama de Venn-Euler .................................................................................93
5.3.1 Representação simbólica......................................................................................................................93
5.3.2 Resolvendo problemas concretos com conjuntos abstratos ................................................94
6 RELAÇÕES ........................................................................................................................................................102
6.1 Par ordenado.........................................................................................................................................102
6.1.1 Produto cartesiano................................................................................................................................102
6.1.2 Relação binária.......................................................................................................................................104
6.1.3 Representação gráfica.........................................................................................................................105
6.1.4 Representação gráfica dos pares ordenados..............................................................................106
6.1.5 Domínio, contradomínio e imagem de relações binárias ....................................................107
6.2 Funções polinomiais........................................................................................................................... 110
6.2.1 Função de 1º grau..................................................................................................................................110
6.2.2 Função linear ...........................................................................................................................................111
6.2.3 Função afim.............................................................................................................................................112
6.2.4 Função constante..................................................................................................................................112
6.2.5 Gráfico ......................................................................................................................................................113
6.3 Função de 2º grau ..............................................................................................................................120
6.3.1 Funções polinomiais............................................................................................................................ 120
6.3.2 Função quadrática................................................................................................................................ 120
6.3.3 Valor da função......................................................................................................................................121
6.3.4 Raízes da função....................................................................................................................................121
6.3.5 Gráfico da função quadrática ........................................................................................................ 122
6.3.6 Construção do gráfico........................................................................................................................ 123
6.3.7 Modelos gráficos................................................................................................................................... 123
Unidade IV
7 OUTRAS FUNÇÕES ........................................................................................................................................135
7.1 Função exponencial ..........................................................................................................................135
7.1.1 Propriedades........................................................................................................................................... 135
7.1.2 Domínio.................................................................................................................................................... 136
7.1.3 Gráficos..................................................................................................................................................... 136
7.1.4 Comparativo........................................................................................................................................... 137
7.2 Função logarítmica.............................................................................................................................138
7.2.1 Definição.................................................................................................................................................. 138
7.2.2 Propriedades........................................................................................................................................... 138
8 TRIGONOMETRIA............................................................................................................................................143
8.1 Trigonometria no triângulo retângulo.......................................................................................143
8.1.1 Relações métricas no triângulo retângulo ................................................................................ 144

8.1.2 Relações trigonométricas no triângulo retângulo.................................................................. 144
8.1.3 Ângulos notáveis................................................................................................................................... 147
8.1.4 Relação fundamental.......................................................................................................................... 149
8.1.5 Lei dos senos........................................................................................................................................... 150
8.1.6 Lei dos cossenos.................................................................................................................................... 150
8.2 Funções trigonométricas ................................................................................................................151
8.2.1 Círculo trigonométrico........................................................................................................................151
8.2.2 Seno de arcos notáveis....................................................................................................................... 152
8.3 Função seno...........................................................................................................................................154
8.3.1 Cosseno de arcos notáveis ............................................................................................................... 154
8.4 Função cosseno....................................................................................................................................156
8.5 Função tangente..................................................................................................................................157

9
APRESENTAÇÃO
Estudaremos, neste livro-texto, alguns conceitos fundamentais da geometria analítica. Esse
campo de estudo tem importantes aplicações na própria matemática e vem sendo cada vez mais
aplicado a outras ciências. Sua utilização na solução de diversos problemas tem crescido em ordem
proporcional ao avanço da tecnologia.
As aplicações desse poderoso campo de estudo podem ser encontradas na engenharia, ciência
da computação, matemática, física, biologia, economia, estatística e outras. Neste material, você
encontrará algumas dessas aplicações para contextualizar boa parte dos conceitos aqui abordados.
Estudaremos, inicialmente, o conceito de matrizes e sistemas lineares que são assuntos que
você já conhece, pois são conteúdos vistos no Ensino Médio. Em seguida, esperamos que o discente
possa se comunicar matematicamente, fornecendo o embasamento para que possa, a partir de
problemas do mundo real, interpretá-los, equacioná-los e resolvê-los utilizando as estruturas
matemáticas básicas. O aluno será capaz também de elaborar argumentações matemáticas, bem
como contextualizar e inter-relacionar conceitos matemáticos com aplicações em outras áreas de
conhecimento e em situações da vida cotidiana.
A terceira unidade aborda um conceito fundamental da Matemática, que é o conceito de função.
Embora algumas vezes necessite de um esforço maior para sua compreensão, o conceito de função
é o que possivelmente apresenta maior correlação com o cotidiano, permitindo vários exemplos
práticos e sendo extensivamente usado em diversas áreas. Começamos a unidade trabalhando com
a Álgebra dos conjuntos, em seguida será apresentado o conceito de relação com suas respectivas
propriedades. A partir daí entraremos efetivamente no estudo das funções, apresentando os
modelos de funções de 1º e 2º graus.
Na última unidade continuaremos trabalhando com funções, sendo apresentados três
novos modelos: as funções logarítmicas, as funções exponenciais e, por fim, as funções
trigonométricas. Porém, antes de iniciarmos as funções trigonométricas relembraremos
algumas propriedades da trigonometria.
INTRODUÇÃO
O que é matemática?
A matemática é a linguagem do raciocínio humano. Assim como o ser humano usa palavras para
transmitir informações, imagens para expressar ideias, músicas para expressar sentimentos, ele utiliza
a linguagem da matemática para estruturar e comunicar pensamentos lógicos. Podemos considerá-la
como uma ferramenta que nos ajuda a organizar e sintetizar o pensamento.
Como exemplo, imagine que recebamos a tarefa de ensinar alguém a calcular a quantidade de
refrigerante que cabe em uma latinha. Usando a linguagem matemática, podemos dizer o seguinte:
2
V h r= π , onde V é o volume da latinha, h é a altura e r é o raio da base. Já para fazer a mesma coisa

10
sem usar a linguagem matemática ( 2
V h r= π ), seria necessário fazer algo como: pegue a medida da
menor distância que vai do centro da base da latinha até sua borda (o raio), multiplique por ele mesmo
(elevar ao quadrado). Em seguida, multiplique o valor obtido pela constante 3,1416 (valor aproximado
de π) e, por último, multiplique novamente pela medida da altura da latinha. O número final obtido
corresponde à quantidade de refrigerante que pode ser armazenada no recipiente (o volume).
Como podemos perceber, utilizar a fórmula 2
V h r= π torna a informação muito mais simples e
concisa, permitindo uma rápida comunicação e a sintetização de como deve ser o procedimento para se
calcular o volume de um cilindro. E, além disso, a linguagem matemática é universal, ou seja, 2
V h r= π
pode ser entendida por qualquer pessoa que tenha estudado matemática em qualquer lugar do mundo,
não importando que língua essa pessoa fale.
O que são números?
O principal objeto de estudo da matemática não são os números, mas sim os padrões existentes
nas estruturas do nosso Universo. Os números exprimem apenas as ideias quantitativas que o
ser humano quer comunicar. Quanto mais nobre o pensamento matemático, menos números e
contas ele exige. Os matemáticos costumam dizer que os números são um caso particular do
raciocínio matemático, assim como um livro é um caso particular do que é literatura. Não se
pode dizer que a literatura é feita de letras, assim como não se pode dizer que a matemática
é feita de números. Assim como em um livro as letras são combinadas para formar palavras
que transmitem os pensamentos e ideias do autor, na matemática os números são usados para
representar as ideias quantitativas que o matemático quer registrar, transmitir ou organizar
naquele momento.
Matemática = fazer contas?
Os cálculos numéricos obedecem às regras da matemática, que nada mais são do que a formalização
do raciocínio lógico humano, mas fazer matemática não é fazer contas, senão qualquer calculadora
poderia ser considerada um grande matemático. Os cálculos constituem uma pequena parte da
matemática chamada aritmética. Fazer matemática é compreender, equacionar e resolver problemas, de
qualquer natureza, e envolve algumas fases, entre as quais:
• compreender o problema;
• identificar as variáveis que interferem no resultado;
• identificar as relações entre as variáveis;
• construir um modelo que represente a situação estudada;
• simular as variações possíveis e observar os resultados obtidos;
• validar o modelo proposto verificando sua adequação à situação.
Por que aprender matemática?

11
A matemática é a arte de resolver problemas e estudando matemática você está aperfeiçoando seu
cérebro para encontrar soluções racionais para problemas do dia a dia. Assim, uma pessoa que adquire
um bom raciocínio matemático terá mais facilidade para expressar suas ideias, para entender a leitura
de um texto, para acompanhar notícias econômicas e financeiras, para planejar atividades, para obter
uma visão global das situações e muitas outras aplicações cotidianas.
O matemático britânico Keith Devlin, em seu livro O gene da matemática, defende a ideia de que
a habilidade humana de comunicação (compreender e expressar ideias) utiliza as mesmas estruturas
cerebrais da habilidade de fazer matemática (compreender e desenvolver raciocínios lógicos). Portanto,
o desenvolvimento de um auxilia e potencializa o desenvolvimento do outro, e uma pessoa que aumente
seu conhecimento matemático provavelmente também aumentará sua capacidade de expressar e
defender suas ideias.

13
TÓPICOS DE MATEMÁTICA
1 MATRIZ
1.1 Introdução
Inicialmente, apresentaremos os conceitos básicos sobre matrizes. Esses conceitos aparecem
naturalmente na resolução de muitos tipos de problemas científicos ou do cotidiano e são essenciais
não apenas porque eles “ordenam e simplificam” tais problemas mas também porque fornecem
novos métodos de resolução.
Chamamos de matriz, uma tabela de elementos dispostos em linhas e colunas.
Por exemplo, ao fazer uma pesquisa e recolhermos os dados referentes à altura, peso e idade de
um grupo de quatro pessoas, podemos dispô-los na seguinte tabela:
Tabela 1
Altura (m) Peso (Kg) Idade (anos)
Pessoa 1 1,70 70 23
Pessoa 2 1,75 60 45
Pessoa 3 1,60 52 25
Pessoa 4 1,81 72 30
Ao abstrairmos os significados das linhas e colunas, temos a matriz:
170 70 23
175 60 45
160 52 25
181 72 30
,
,
,
,












É importante perceber que em um problema, no qual o número de variáveis de observações é
muito grande, essa disposição ordenada dos dados em forma de matriz torna-se absolutamente
indispensável.
Outros exemplos de matrizes são:
Unidade I

14
Unidade I
2 1
2 3
0
3 0 1 1
x
x
−









[ ] [ ]
Os elementos de uma matriz podem ser números (reais ou complexos), funções, vetores ou
ainda outras matrizes.
Por convenção, representa-se uma matriz de m linhas e n colunas da por: (ai j
) mxn
, com 1≤ ≤i m e
1≤ ≤j n, onde o elemento aij
indica a posição ocupada na matriz, linha i coluna j.
Ainda, por convenção, usaremos sempre letras maiúsculas para denotar matrizes, e
quando quisermos especificar a ordem de uma matriz A (isto é, o número de linhas e colunas),
escreveremos Amxn
:
A
a
a
a
a
a
a
a
a
a
amxn
m m
n
n
mn
ij mx
=












= ( )
11
21
1
12
22
2
1
2
 



 nn ij mxn
a=  
Podemos também utilizar, para representar uma matriz, a notação de parênteses ou duas barras,
além da notação de colchetes, como no exemplo abaixo:
ou: A
a
a
a
a
a
a
a
a
am m
n
n
mn
=












11
21
1
12
22
2
1
2
 




ou ainda:
A
a
a
a
a
a
a
a
a
am m
n
n
mn
=












11
21
1
12
22
2
1
2
 





A
a
a
a
a
a
a
a
a
am m
n
n
mn
=
11
21
1
12
22
2
1
2
 





15
Utilizaremos nesse material a representação por meio de colchetes ou de parênteses.
Para localizar um elemento de uma matriz, indicamos a linha e a coluna (nessa ordem) em que
ele está.
Saiba mais
Para saber sobre aplicações da geometria analítica e da álgebra
linear acesse:
<http://www.mat.ufmg.br/gaal/aplicacoes/aplicacoes.html>. Acesso
em: 06 fev. 2012.
Exemplos:
1) Considere uma matriz A3x3
, isto é, uma matriz com 3 linhas e 3 colunas. Vamos localizar alguns
elementos dessa matriz, utilizando a notação a ij
a) a 12
- é o elemento da 1ª linha e 2ª coluna:
A =








a12
b) a 31
– é o elemento da 3ª linha e 1ª coluna:
A =







a31
2) Considere a matriz A x2 3
1 0 4
4 3 2
=
−
−





. Determine os elementos indicados:
a) primeira linha e terceira coluna;
b) primeira linha e primeira coluna;
c) segunda linha e segunda coluna.

16
Unidade I
Resolução:
a) o elemento da primeira linha e terceira coluna “a13
” é - 4, isto é, a13
= - 4
A x2 3
1 0 4
4 3 2
=
−
−






b) elemento da 1ª linha e 1ª coluna “a11
” é 1, isto é, a11
= 1
A x2 3
1 0 4
4 3 2
=
−
−






c) elemento da 2ª linha e 2ª coluna “a22
”é - 3, isto é, a22
= - 3
A x2 3
1 0 4
4 3 2
=
−
−






Veremos no próximo exemplo uma situação que pode ser representada por uma tabela.
3) Dona Cotinha tem uma pequena confecção na qual fabrica moletons. Ela faz 3 tipos de modelos
A, B e C, nas cores branco, azul, preto e vermelho. No mês de fevereiro foram feitos do modelo
A: 15 brancos, 10 pretos, 8 azuis e 5 vermelhos; do modelo B: 12 brancos, 15 pretos, 6 azuis e
4 vermelhos; do modelo C: 9 brancos, 11 pretos, 9 azuis e 2 vermelhos. Determine a matriz que
representa a produção da confecção nesse mês.
Resolução:
Para montar a matriz que representa a produção da confecção da Dona Cotinha você deve
primeiro decidir qual informação será colocada na linha e qual será colocada na coluna e montar
uma tabela com os valores.
Por exemplo, vamos colocar nas linhas as cores branco, preto, azul e vermelho e nas colunas os
modelos A, B, C.
Para completar a tabela, você deve colocar cada dado sobre o modelo e a cor na posição
correta, assim, 15 unidades do modelo A na cor branca deve ficar na coluna do modelo A (1ª
coluna) e na linha da cor branca (1ª linha), desta mesma forma você vai colocando cada um dos
dados do enunciado.

17
A tabela obtida será:
Tabela 2
modelo
cor
A B C
Branco 15 12 9
Preto 10 15 11
Azul 8 6 9
Vermelho 5 4 2
Podemos agora montar a matriz correspondente:
Pfevereiro =












15 12 9
10 15 11
8 6 9
5 4 2
Note que essa matriz tem 4 linhas (cores) e 3 colunas (modelos).
Assim, para saber, por exemplo, quantas unidades foram fabricadas no mês de fevereiro da cor
preta do modelo B, devemos verificar quem é o elemento a22
.
Como a22
= 15, temos que foram fabricadas 15 unidades pretas do modelo B.
Da mesma forma, todos os outros elementos da matriz também terão um significado.
Lembrete
Semprequeumamatrizestiverrelacionadaaumproblema,suaslinhas
e suas colunas terão um significado, além da posição linha e coluna.
Podemos indicar na matriz o que significam as linhas e as colunas, por exemplo, reescrevendo a
matriz P, produção de fevereiro, temos:
Pfevereiro =












15 12 9
10 15 11
8 6 9
5 4 2
A B C
Branca
Preta
Azul
Vermelho

18
Unidade I
Observação
Quando for conveniente, você também poderá escrever
Pfevereiro = (ai j)cor x; modelo para indicar que as cores estão nas
linhas e que os modelos estão nas colunas.
1.2 Igualdade de matrizes
Duas matrizes A a e B bmxn i j r x s i j= ( ) = ( )m x n r x s são iguais, A = B, se elas têm o mesmo
número de linhas (m = r) e colunas (n = s), e todos os seus elementos correspondentes são iguais
(aij
= bij
).
Nos exemplos a seguir, você pode notar com detalhes como utilizar a definição de igualdade
de matrizes.
Exemplos:
1)
3 1 1
2 2 5
9
2
0
2 4 5
2
2
log







=








senπ
As matrizes são iguais, pois são do mesmo tipo, isto é, ambas são do tipo 2x3 e cada elemento
de uma é igual ao elemento correspondente da outra, isto é:
a b
a sen b
a b
a b
a
11
2
11
11 12
13 13
21 21
22
2
3 9
1
2
1 0
2 2
2
= = =
= = =
= = =
= = =
=
π
log
== =
= = =
4
5 5
22
23 23
b
a b
2) Determinar os valores de m e n para que as matrizes A
m
n
=
+
− +






1 2
2 6
e B
n
=






5 2
1 2
sejam iguais.
Para que as matrizes sejam iguais, você deve primeiro verificar se elas são do mesmo
tipo. Nesse caso, temos A = (ai j
)2 x 2
e B = (bi j
)2 x 2
, isto é, as matrizes são do mesmo tipo,
2 x 2.
Devemos agora comparar cada elemento de uma com o elemento correspondente da
outra, assim:

19
a b
a b
a b
a b
i
m11 11
12 12
21 21
22 22
1=
=
=
=







+
, sto Ø,
==
=
− + =
=







5
2 2
2 1
6 2
n
n
é,
Resolvendo o sistema, temos:
na 1ª equação : m + 1 = 5 ⇒ m = 4
a 2ª equação é sempre verdadeira 2 = 2 (V)
na 3ª equação: – 2 + n = 1 ⇒ n = 3
Substituindo o valor de n na 4ª equação, encontramos 6 = 6 (V).
Logo, para A = B, devemos ter m = 4 e n = 3.
1.3 Alguns tipos especiais de matrizes
Ao desenvolver um estudo com matrizes, observa-se que existem algumas que, seja pela
quantidade de linhas ou colunas, ou ainda, pela natureza de seus elementos, têm propriedades
que as diferenciam de uma matriz qualquer. Além disso, esses tipos de matrizes aparecem
frequentemente na prática e, por isso, recebem nomes especiais.
Estudemos algumas delas. Consideremos uma matriz com m linhas e n colunas que denotemos
por Amxn,
Matriz quadrada: tem o número de linhas igual ao número de colunas (m = n).
Exemplos:
A e B=
−









= [ ]
1 2 0
3 0 1
4 5 6
8
3 x 3
1 x 1
No caso de matrizes quadradas Amxm
, costumamos dizer que A é uma matriz de ordem m. No
nosso exemplo, a matriz A é de ordem 3 e a matriz B é de ordem 1.
Na matriz quadrada A de ordem m, definimos as seguintes sequências:
• diagonal principal de A: é a sequência dos elementos de A que apresentam os dois índices
iguais, ou seja: ( / ) ( , ,..., )a j i a a aij m m= = 11 22

20
Unidade I
A
a
a
a
a
a
a
a
a
am m
m
m
m m
=












11
21
1
12
22
2
1
2
 




m x m
• diagonal secundária de A: é a sequência dos elementos de A em que a soma dos índices é
igual a m + 1, isto é, a sequência: a a am m m1 2 1, , . . . ,)( 1−
A
a
a
a
a
a
a
a
a
am m
m
m
m m
=












11
21
1
12
22
2
1
2
 




m x n
Exemplo:
Dada a matriz
n n n nk1 2+ + + =...
, indique os elementos da diagonal principal e da diagonal
secundária.
Observando a matriz, temos:
(DP) diagonal principal formada por a11
= 1, a22
= 0, a33
= 6
(DS) diagonal secundaria formada por a13
= 0, a22
= 0, a31
= 4
n n n nk1 2+ + + =...
DP
DS
Matriz nula: é aquela em que aij
= 0, para todo i j.
Exemplos:
A e Bx x2 2 3 5
0 0
0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
=





 =










Matriz coluna: é aquela que possui uma única coluna (n = 1).

21
Exemplos:
1
4
3−















e
x
y
Matriz linha: é aquela que possui uma única linha (m = 1).
Exemplos:
3 0 1 1 2−[ ] [ ]e
Matriz diagonal: é uma matriz quadrada (m = n), onde ai j
= 0, para i≠j, isto é, os elementos
que não estão na “diagonal” são nulos.
Exemplos:
7 0 0
0 1 0
0 0 1
3 0 0 0
0 3 0 0
0 0 3 0
0 0 0 3
−






















e
Matriz identidade quadrada ou simplesmente matriz identidade: é aquela em que
ai i
= 1, para i = j e ai j
= 0, para i j≠ , isto é:
ai j
se i j
0, se i j
=
=
≠



1,
Exemplos:
I e I3 2
1 0 0
0 1 0
0 0 1
1 0
0 1
=










=






Lembrete
Note que a matriz identidade é uma matriz quadrada que tem valor
na diagonal principal e zero no restante da matriz.

22
Unidade I
Matriz triangular superior: é uma matriz quadrada, onde todos os elementos abaixo da
diagonal são nulos, isto é, m = n e ai j
= 0, para i > j.
Exemplos:
2 1 3
0 1 4
0 0 3
0
−
−















e
a b
c
Matriz triangular inferior é aquela em que m = n e ai j
= 0, para i < j.
Exemplos:
2 0 0 0
1 1 0 0
1 4 1 0
1 5 7 4
5 0 0
7 0 0
4 1 3






















e
Matriz simétrica: é aquela onde m = n e ai j
= aj i
.
Exemplos:
4 3 1
3 2 0
1 0 5
−
−






















e
a b c d
b e f g
c f h i
d g i k
Observação
Em uma matriz simétrica, a parte superior é uma “reflexão” da parte
inferior, em relação à diagonal.
2 OPERAÇÕES COM MATRIZES
Ao utilizar matrizes, surge naturalmente a necessidade de efetuarmos certas operações.
2.1 Adição
A soma de duas matrizes de mesma ordem, A a e B bi j i j= ( ) = ( )m x n m x n , é uma matriz m
x n, que chamaremos de A + B, cujos elementos são somas dos elementos correspondentes de A e
B. Isto é, A a bi j i jB m x n+ = +( ) :

23
A B
a b
a b
a b
a b
a b
a bm m m m
n n
mn mn
+ =
+
+
+
+
+
+





11 11
1 1
12 12
2 2
1 1
 

 
 



Exemplos:
1) Dadas as matrizes A e B=
−









= −










1
4
2
1
0
5
0
2
1
4
5
0
, determinar A + B.
Devemos primeiro verificar se as matrizes são do mesmo tipo, temos, então:
A = ( ai j
) 3x2
e B = ( bi j
) 3x2,
logo, A e B são do mesmo tipo.
Agora você deve somar cada elemento de A com o elemento correspondente de B, assim:
1 1
4 0
2 5
0 4
2 5
1 0
1 0 1 4
4 2 0 5
2 1
−









+ −










=
+ − +
− +
+ 55 0
1 3
2 5
3 5+










=










Você deve querer saber onde aplicar essa definição em um problema prático. Veja então o
próximo exemplo. Vamos retomar o problema da confecção da Dona Cotinha.
2) Dona Cotinha tem uma pequena confecção, na qual fabrica moletons. Ela faz 3 tipos de modelos
A, B e C, nas cores branco, azul, preto e vermelho.
No mês de fevereiro foram feitos do modelo A: 15 brancos, 10 pretos, 8 azuis e 5 vermelhos; do
modelo B: 12 brancos, 15 pretos, 6 azuis e 4 vermelhos; do modelo C: 9 brancos, 11 pretos, 9 azuis
e 2 vermelhos.
No mês de março foram feitos do modelo A: 21 brancos, 15 pretos, 12 azuis e 8 vermelhos;
do modelo B; 15 brancos, 13 pretos, 9 azuis e 6 vermelhos; do modelo C; 16 brancos, 14 pretos, 8
azuis e 4 vermelhos. Determine a matriz que representa a produção da confecção nesse bimestre e
a quantidade produzida no bimestre do modelo C na cor branca.
Resolução:
Para montar a matriz que representa a produção da confecção da Dona Cotinha no bimestre,
vamos utilizar a matriz referente a fevereiro, que já foi calculada, e vamos montar a matriz referente
ao mês de março.
Novamente, as linhas representarão as cores e as colunas os modelos, assim, a tabela que
representa a produção referente ao mês de março é igual a:

24
Unidade I
Tabela 3
modelo
cor
A B C
Branco 21 15 16
Preto 15 13 14
Azul 12 9 8
Vermelho 8 6 4
Montando a matriz correspondente ao mês de março, temos:
Pmar o =












21 15 16
15 13 14
12 9 8
8 6 4
Como queremos saber a produção no bimestre: fevereiro e março, devemos montar a tabela
correspondente a essa situação.
Tomando as tabelas de fevereiro e de março, vamos somar a produção de cada modelo e cor
correspondente nas duas tabelas e assim teremos a tabela referente ao bimestre:
Tabela 4
Produção em fevereiro
modelo
cor
A B C
Branco 15 12 9
Preto 10 15 11
Azul 8 6 9
Vermelho 5 4 2 e
Produção em março
modelo
cor
A B C
Branco 21 15 16
Preto 15 13 14
Azul 12 9 8
Vermelho 8 6 4
modelo
cor
A B C
Branco 36 27 25
Preto 25 28 25
Azul 20 15 17
Vermelho 13 10 6
Passando para notação de matrizes, a produção do bimestre é equivalente à soma das matrizes
de fevereiro e março, ficamos então com:

25
P Pfevereiro mar o+ =












+
15 12 9
10 15 11
8 6 9
5 4 2
21 15 16
15 13 14
12 9 8
8 6 4
21 15 15












=
+ +
P bimestre
112 16 9
15 10 13 15 14 11
12 8 9 6 8 9
8 5 6 4 4 2
+
+ + +
+ + +
+ + +












=
36 27 25
25 28 25
20 15 17
13 10 6












Assim, temos que a matriz que representa a produção bimestral da confecção é:
P bimestre (p )i j cor x modelo= =
36 27 25
25 28 25
20 15 17
113 10 6












Queremos também saber a quantidade produzida no bimestre do modelo C na cor branca, isto
é, queremos saber o valor do elemento da linha 1ª linha e 3ª coluna.
Assim, a13
= 25. Logo, foram fabricadas 25 unidades do modelo C na cor branca, nesse bimestre.
Utilizando uma notação conveniente para facilitar o entendimento do significado da linha e da
coluna, temos que a matriz referente ao bimestre pode ser escrita da seguinte forma:
A B C
Branca
Preta
Azul
Vermelho
P bimestre =












36 27 25
25 28 25
20 15 17
13 10 6
Lembrete
Note que sempre que as linhas e colunas representam um dado
definido, só poderemos fazer a adição das matrizes se o significado das
linhas e colunas forem os mesmos.

26
Unidade I
Propriedades da adição de matrizes
Para a adição de matrizes, valem as seguintes propriedades:
(I) associativa: A B C A B C A B C M IR+ +( )= +( )+ ∀ ∈ ( ), , , m x n ;
(II) comutativa: A B B A A B M IR+ = + ∀ ∈ ( )m x n, , ;
(III) matriz nula: existe uma matriz 0 ∈ ( )M IRm x n , tal que:
A A A M IR+ = ∀ ∈ ( )0 , m x n ;
(IV) matriz inversa: dada uma matriz A M IR∈ ( )m x n , existe uma matriz (-A), também m x n, tal
que A + (-A) = 0
2.2 Multiplicação por escalar
Seja A = (aij
)mxn
e k um número real, então definimos uma nova matriz k . A = (k . aij
)mxn
, isto é,
cada elemento da matriz será multiplicado por k.
A a ai j i j= ( ) ⇒ =
m x n m x nk . A (k . , isto Ø,) isto é:
A
a a a
a a am n
1 2 n
1 m m m x n
=








⇒
1 1 1
2




k . A
k .a k . a k . a
k . a k . a
1 1 1 2 1 n
m 1
= 


mm2 mn m x n
k . a








Observação
Observe que quando multiplicamos uma matriz por um escalar, o
número de linhas e colunas não se altera, isto é, se A = (ai j
) m x n
então
k . A também será do tipo m x n.
Exemplos:
1) Dada a matriz A =
−






2 10
1 3
, determine a matriz - 2 A.
Pela definição de multiplicação por escalar, devemos multiplicar cada elemento da matriz pelo
número (-2), mantendo as posições iniciais. Assim:
− = −
−





 =
−
2
2 10
1 3
2
2 . (-2) 10 . (-2)
1 . (-2) 3 . (-
A
22)





 =
− −
−






4 20
2 6

27
Lembrete
Não esqueça de que ao multiplicar por número negativo você deve
colocá-lo entre parênteses e depois deve utilizar as regras de sinal.
Vejamos no próximo exemplo uma aplicação em um problema prático. Novamente, usaremos o
exemplo da confecção da Dona Cotinha.
2) Dona Cotinha tem uma pequena confecção, na qual fabrica moletons. Ela faz 3 tipos de
modelos A,B e C, nas cores branco, azul, preto e vermelho. No mês de fevereiro foram feitos
do modelo A: 15 brancos, 10 pretos, 8 azuis e 5 vermelhos; do modelo B: 12 brancos, 15 pretos,
6 azuis e 4 vermelhos; do modelo C: 9 brancos, 11 pretos, 9 azuis e 2 vermelhos. Determine a
matriz que representa a produção da confecção no próximo mês, se Dona Cotinha pretende
duplicar a produção.
Resolução:
Retomando a tabela referente à produção de fevereiro, temos:
Tabela 5 – Produção em fevereiro
modelo
cor
A B C
Branco 15 12 9
Preto 10 15 11
Azul 8 6 9
Vermelho 5 4 2
A produção para março deve ser o dobro da produção de fevereiro. E então, a tabela
correspondente a essa expectativa de produção é:
Tabela 6 – Produção em março
modelo
cor
A B C
Branco 30 24 18
Preto 20 30 22
Azul 16 12 18
Vermelho 10 8 4
Utilizando a notação de matriz, temos que, para saber a matriz referente a março, devemos
multiplicar a matriz de fevereiro por 2, pois a produção será duplicada.

28
Unidade I
Assim, P março
= 2. P fevereiro
, isto é, a produção de março é igual ao dobro da produção de fevereiro.
P Pmar o fevereiro= =











2 2
21 15 16
15 13 14
12 9 8
8 6 4
.

=












=Pmar o 2
21 15 16
15 13 14
12 9 8
8 6 4
42 30 32
330 26 28
24 18 16
16 12 8












ç
ç
Logo, se for duplicada a produção, as quantidades produzidas serão dadas pela matriz:
çPmar o = ( ) =








p i j m x n
42 30 32
30 26 28
24 18 16
16 12 8




Propriedades da multiplicação de matriz por escalar
Para essa operação que transforma cada par (a, A) de IR x Mmxn
na matriz real
a . A ∈ Mmxn
(IR), valem as seguintes propriedades:
( ;
(
) , A M ,
)
m xnI A A e IR
I I
α β α β α β( ) = ( ) ∀ ∈ ∀ ∈
A M ,
)
m xnα β α β α β+( ) = + ∀ ∈ ∀ ∈A A A e IR
I I I
, ;
( A, B M
V )
m xnα α α αA B A B e IR
I A
+( )= + ∀ ∈ ∀ ∈
=
, ;
( 1 AA A M m xn∀ ∈ .
Você deve estar se perguntando como utilizar essas propriedades em nossos exercícios. Vejamos
então alguns exemplos.
Exemplos:
Dadas as matrizes A e B=
−


 =
−




1 2
0 1
3 1
1 2
determinar:
a) (2 . 3) A
b) 3A + 5 A
c) 2 (A + B)

29
Resolução:
a) Nesse caso, temos a = 2 e b = 3, na 1ª propriedade (ab)A = a(bA).
Na 1ª propriedade, podemos multiplicar os números e depois multiplicar o resultado pela
matriz A ou calcular 3A e depois multiplicar por 2, ou ainda podemos calcular 2A e depois
multiplicar por 3.
Vamos fazer os cálculos das três formas e mostrar que chegamos sempre ao mesmo resultado:
(2
1 2
0 1
6 12
0 6
2
. 3) 6
. ( 3
A
A
=
−


 =
−



)) =
−








 =
−


 =
−
2 3 2
1 2
0 1
3 6
0 3
6 12
0 66
3
1 2
0 1
2




=
−








 =
−
. (2 3 2 3A)
44
0 2
6 12
0 6



 =
−



Lembrete
Como saber de que modo fazer? Você vai utilizar o modo mais
prático, aquele que você achar mais fácil.
2.3 Transposição ou matriz transposta
Dada uma matriz A = (ai j
)m x n
, podemos obter outra matriz A’ = (bi j
)m x n
, cujas linhas são as
colunas de A, isto é, bi j
= a j i
.
Podemos utilizar as notações A’ ou AT
para indicar a matriz transposta de A:
A
a a a
a a am n
1 2 n
1 m m m x n
=








⇒
1 1 1
2




AT
1
1 2
21
n n m
=








a
a
a a
a a a
m
n
1 1
1 2


 






n x m
Observação
Observe que, a se a matriz A é do tipo m x n, então a sua transposta
AT
será do tipo n x m.

30
Unidade I
Exemplo:
A A A
x
T
x
=
−










= =
−





2 1
0 3
1 4
2 0 1
1 3 4
3 2
2 3
’
Propriedades:
(I) Uma matriz é simétrica se, e somente se, ela é igual à sua transposta, isto é, se, e somente se, A = AT
.
(II) (AT
)T
= A, isto é, a transposta da transposta de uma matriz é ela mesma.
(III) (A + B)T
= AT
+ BT
.
(IV) (k A)T
= k AT
, onde k é qualquer escalar.
2.4 Multiplicação de matrizes
Para podermos efetuar o produto de 2 matrizes, devemos ter que o número de colunas da 1ª
deve ser igual ao número de linhas da outra, isto é:
(ai k
)m x p
x (bkj
)p x n
= (ci j
)m x n
=
Assim:
A a com i m e k p e
B b com k p e j n
i k
k j
= ( ) ≤ ≤ ≤ ≤
= ( ) ≤ ≤ ≤ ≤
, ,
,
1 1
1 1
Chamamos de produto da matriz A pela matriz B a matriz:
C c com i m e j ni j= ( ) ≤ ≤ ≤ ≤, 1 1 , tal que:
c a b a b a bij i j i j ip pj= + + +1 1 2 2 ...
Ou seja, o elemento Cij
é obtido multiplicando-se ordenadamente os elementos da i-ésima linha de
A pelos elementos da j-ésima coluna de B e somando-se esses produtos.
Para indicar que C é o produto de A por B, escrevemos: A . B, A x B ou simplesmente AB.

31
Lembrete
É importante observarmos que só se define o produto de duas
matrizes quando o número de colunas da primeira é igual ao número
de linhas da segunda e o resultado será uma matriz com o número de
linhas da 1ª e o número de colunas da 2ª.
Vejamos alguns produtos para que você entenda bem a definição de produto de matrizes.
Note que das operações que vimos até agora, esta é a que exige maior atenção devido aos
cálculos necessários.
Exemplos:
1) Dadas as matrizes A B=
−
−



 = −








1 0 2
2 1 1
1 0
1 1
1 22 x 3
3 x 2
e determinar, se possível:
a) AB
b) BA
Resolução:
a) Para o produto AB devemos verificar se o número de colunas da 1ª é igual ao número de colunas
da 2ª, assim:
A = (ai k
)2 x 3
B = (bjk
)3 x 2
=
Logo, o produto AB é possível e a matriz resultante será do tipo 2 x 2. Vamos então calcular
esse produto. Para isso, o ideal é que as matrizes sejam colocadas uma ao lado da outra na ordem
em que o produto deve ser feito:
A B
1 0
-1 1
1 2
=
−
−












1 0 2
2 1 1
Para fazer o produto, multiplique os elementos da 1ª linha de A pelos elementos de cada coluna
de B, termo a termo, e some os resultados. Faça isso por todas as colunas de B, esse procedimento
dará todos os elementos da 1ª linha da nova matriz. Repita o processo para as outras linhas de A,
até que acabem as linhas de A.

32
Unidade I
Assim, os elementos da 1ª linha da matriz produto serão:
• elemento c11
: produto dos elementos da 1ª linha de A pelos elementos da 1ª coluna de B:
c11
= (-1) . 1 + 0 . (-1) + 2 . 1 = -1 + 0 + 2 = 1
• elemento c12
c12
= (-1) . 0 + 0 . 1 + 2 . 2 = 0 + 0 + 4 = 4
• elemento c21
c21
= 2 . 1 + 1 .(-1) + (-1) . 1 = 2 + (-1) - 1 = 0
• elemento c22
c22
= 2 . 0 + 1 . 1 + (-1) . 2 = 0 + 1 - 2 = - 1
Logo, A B
1 0
-1 1
1 2
=
−
−












=
−




1 0 2
2 1 1
1 4
0 1
b) Para o produto BA, devemos verificar se o número de colunas da 1ª é igual ao número de colunas
da 2ª, assim:
B = (bi j
)3 x 2
A = (ajk
)2 x 3
=
Logo, o produto BA também é possível e a matriz resultante será do tipo 3 x 3. Vamos então
calcular esse produto. Novamente, as matrizes devem ser colocadas uma ao lado da outra na
ordem em que o produto deve ser feito:
B A
1 0
-1 1
1 2
=








−
−




1 0 2
2 1 1
Para fazer o produto, multiplique os elementos da 1ª linha de B pelos elementos de cada coluna
de A, termo, a termo e some os resultados. Faça isso por todas as colunas de A. Esse procedimento
dará todos os elementos da 1ª linha da nova matriz. Repita o processo para as outras linhas de B,
até que acabem as linhas de B.

33
• elemento c11
: produto dos elementos da 1ª linha de B pelos elementos da 1ª coluna de A:
c11
= 1 . (-1) + 0 . 2 = - 1 + 0 = - 1
• elemento c12
c12
= 1 .0 + 0 . 1 = 0
• elemento c13
c13
= 1 . 2 + 0 . (- 1) = 2
• elemento c21
c21
= (- 1) . (- 1) + 1 . 2 = 1 + 2 = 3
• elemento c22
c22
= (- 1) . 0 + 1 . 1 = 0 + 1 = 1
• elemento c23
:produto dos elementos da 2ª linha de B pelos elementos da 3ª coluna de A:
c23
= (- 1) . 2 + 1 . (- 1) = - 2 - 1 = - 3
• elemento c31
c31
= 1 . (- 1) + 2 . 2 = - 1 + 4 = 3
• elemento c32
c32
= 1 . 0 + 2 . 1 = 0 + 2 = 2
• elemento c33
:produto dos elementos da 3ª linha de B pelos elementos da 3ª coluna de A:
c33
= 1 . 2 + 2 . (- 1) = 2 - 2 = 0

34
Unidade I
Logo, B A
1 0
-1 1
1 2
3
3 2 0
=








−
−



 =
−
−


1 0 2
2 1 1
1 0 2
1 3





2) Dadas as matrizes A B=
−
−



 =
−








1 0 2
2 1 1
0
1
12 x 3
3 x 1
e , determinar, se possível:
a) AB
b) BA
Resolução:
a) Para o produto AB, devemos verificar se o número de colunas da 1ª é igual ao número de colunas
da 2ª. Assim:
A = (ai j
)2 x 3
B = (bjk
)3 x 1
=
Logo, o produto AB é possível e a matriz resultante será do tipo 2 x 1. Vamos agora calcular esse
produto. Novamente, o ideal é que as matrizes sejam colocadas uma ao lado da outra, na ordem
em que o produto deve ser feito:
A B
0
1
-1
=
−
−












1 0 2
2 1 1
Para fazer o produto, multiplique os elementos da 1ª linha de A pelos elementos da 1ª coluna de B,
termo a termo, e some os resultados. Como só temos uma coluna em B, o resultado encontrado será o
único elemento da 1ª linha da nova matriz. Repita o processo para as outras linhas de A, até que acabem
as linhas de A.
Assim, o elemento da 1ª linha da matriz produto será:
• elemento c11
c11
= (-1) . 0 + 0 . 1 + 2 . (- 1) = 0 + 0 - 2 = - 2
Assim, o elemento da 2ª linha da matriz produto será:
• elemento c21:
produto dos elementos da 2ª linha de A pelos elementos da 1ª coluna de B:

35
c21
= 2 . 0 + 1 . 1 + (-1) . (- 1) = 0 + 1 + 1 = 2
Logo, A B
0
1
-1 2 x 1
=
−
−












=
−



1 0 2
2 1 1
2
2
b) Para o produto BA, devemos verificar se o número de colunas da 1ª é igual ao número de colunas
da 2ª, assim:
B = (bi j
)2 x 1
A = (ajk
)3 x 2
=
Logo, o produto BA não é possível, pois o número de colunas de B é diferente do número de
linhas de A.
Agora vamos retomar o problema da confecção da Dona Cotinha.
3) Dona Cotinha tem uma pequena confecção, na qual fabrica moletons. Ela faz 3 tipos de modelos,
nas cores branco, azul, preto e vermelho. No mês de fevereiro foram feitos do modelo A: 15 brancos,
10 pretos, 8 azuis e 5 vermelhos; do modelo B: 12 brancos, 15 pretos, 6 azuis e 4 vermelhos; do
modelo C: 9 brancos, 11 pretos, 9 azuis e 2 vermelhos.
Se o preço de venda dos moletons do modelo A é R$ 80,00, do modelo B é R$ 60,00 e do
modelo C é R$ 45,00, determine a renda obtida pela Dona Cotinha, nesse mês, com a venda dos
moletons de cor vermelha.
Resolução:
Observando o enunciado, notamos que temos duas matrizes, uma que relaciona modelo e cor
e a outra que relaciona o preço de venda e o modelo.
Já conhecemos a matriz que relaciona modelo e cor, é a matriz:
P =












15 12 9
10 15 11
8 6 9
5 4 2
Precisamos determinar a matriz que relaciona o modelo com o preço de venda, podemos montar
a matriz colocando modelo para linha e preço para a coluna ou podemos montar com modelo na
coluna e preço na linha.

36
Unidade I
Para decidir qual é a forma mais conveniente, precisamos observar qual delas permite que se
faça o produto de matrizes. Nesse caso, faremos a matriz com os modelos nas linhas e o preço de
venda na coluna:
A =








80
60
45
Para determinar a renda obtida com a venda nesse mês, é necessário fazer o produto P . A. Assim:
P =
















15 12 9
10 15 11
8 6 9
5 4 2 cor x modelo
80
60
45




=











modelo x pre o
x pr
2325
2195
1405
730 cor ee o
preço
preço
.
Logo, o valor obtido com a venda dos moletons vermelhos nesse mês, isto é, linha 4 (cor
vermelha) e coluna 1 (preço) foi R$ 730,00.
Propriedades da multiplicação de matrizes
Podemos demonstrar que, quaisquer que sejam as matrizes A, B e C (convenientes) e qualquer
que seja o número real a, valem as seguintes propriedades:
(I) associativa: (A B) C = A (B C)
(II) distributiva à esquerda: C (A + B) = CA + CB
(III) distributiva à direita: (A + B) C = A C + B C
(IV) elemento neutro: A In = In A =A
(V) (a A) B = A (a B) = a (A B)
(IV) A . 0 = 0 e 0 . A = 0
Observações importantes sobre a multiplicação de matrizes:
Obs 1) A multiplicação de matrizes não é comutativa. Vejamos quais são as possibilidades
de produto de duas matrizes A e B:
a) Pode existir o produto AB e não existir o produto BA.

37
Exemplo:
Se A é do tipo 3 x 4 e B é do tipo 4 x 2, existe AB (que é do tipo 3 x 2) e não existe BA.
−
−










=
−
−
−












1 1 0 1
0 1 2 1
2 0 1 3
1 2
0 1
3 1
1 13 x 4
44 x 2
temos:
A = (ai j
)3 x 4
B = (bjk
)4 x 2
=
Logo, o produto AB é possível. Vamos então calcular esse produto:
A . B
-1 2
0 -1
3 1
1 -1
=
−
−






















1 1 0 1
0 1 2 1
2 0 1 3
2 -4
7 2
4 2
=










O produto BA não é possível, pois o número de colunas de B não é igual ao número de linhas
de A:
B = (bi j
)4 x 2
A = (ajk
)3 x 4
=
b) Podem existir ambos os produtos AB e BA, sendo eles, porém, de tipos diferentes.
Exemplo:
Se A é do tipo 3 x 4 e B é do tipo 4 x 3, temos (AB)3x3
e (BA)4x4
.
−
−










=
−
−










1 1 0 1
0 1 2 1
2 0 1 3
1 0 1
2 1 2
0 1 1
1 2 03 x 4


4 x 3

38
Unidade I
temos:
A = (ai j
)3 x 4
B = (bjk
)4 x 3
=
Logo, o produto AB é possível e será uma matriz do tipo 3 x 3. Vamos então calcular esse produto:
A . B
1
2
0
1
0
-1
1
2
1
2
-1
0
=
−
−














1 1 0 1
0 1 2 1
2 0 1 3








=










2 1 1
-1 5 -4
5 7 1
B = (bi j
)4 x 3
A = (ajk
)3 x 4
=
Logo, o produto BA é possível e será uma matriz do tipo 4 x 4. Vamos então calcular esse
produto:
B . A
1
2
0
1
0
-1
1
2
1
2
-1
0
=












−
−
1 1 0 1
0 1 2 1
2 0 1 33










=












1 1 1 4
2 3 0 7
-2 -1 1 -2
-1 -1 4 3
Existem as matrizes AB e BA, mas são de tipos diferentes.
c) Podem existir os produtos AB e BA, sendo ambos do mesmo tipo e AB ≠ BA. Nesse caso, A e B são
matrizes quadradas de mesma ordem.
Exemplo:
Se A e B=
−





 =






1
3
2
1
3
4
1
3
, temos:
AB =
−











 =






=





 −


1
3
2
1
3
4
1
3
11
5
7
0
3
4
1
3
1
3
2
1
.
.BA 


 =






9
13
5
5

39
d) Podem existir ambos os produtos AB e BA. Sendo AB = BA, dizemos que as matrizes A e B são
comutáveis.
Exemplo:
Se A e B=
−





 =
−





1
1
1
0
0
1
1
1
, temos:
A
A
B
0 -1
1 1
B
0 -1
1 1
.
.
=
−











 =






=



1
1
1
0
1 0
0 1


 −





 =






1
1
1
0
1 0
0 1
Existem os produtos A B e B A e temos AB = BA.
Obs 2) Na multiplicação de matrizes, não vale a lei do anulamento do produto:
“Se a e b são números reais e a . b = 0, então, a = 0 ou b = 0”
Em outras palavras, se o produto é nulo, então um dos fatores (ou ambos) é nulo.
Isso, porém, não é um fato para o produto de matrizes, pois podemos ter uma multiplicação
entre as matrizes A e B, ambas não nulas, mas o resultado ser uma matriz nula.
Exemplo:
Considerando as matrizes:
A e B=





 =






2
3
0
0
0
4
0
1
, vamos calcular o produto AB. Assim:
AB A= =











 =





. B .
0 0
4 1
0 0
0 0
2
3
0
0
e, portanto, AB = 02x2
Entretanto, apesar de o produto ser nulo, nem A nem B são matrizes nulas.
Obs 3) Na multiplicação de matrizes, não vale a lei do cancelamento do produto:
Quando trabalhamos com números reais, a seguinte propriedade é verdadeira:
“Se c ≠ 0 e a . c = b . c, então, a = b”

40
Unidade I
Entretanto, tal propriedade não é verdadeira para o produto de matrizes.
Exemplo:
Sendo A e C=





 =






2
5
3
1
4
2
2
1
, temos:
A C .
4 2
2 1
. =











 =






2
5
3
1
14 7
22 11
Sendo B =






1
2
5
7
, temos:
BC =











 =






1
2
5
7
14 7
22 11
4 2
2 1
Nesse exemplo, temos: AC = BC e C ≠ 02x2
. Mas, A ≠ B.
2.5 Matriz inversa
Uma matriz quadrada A, de ordem n, tem inversa se existe uma matriz quadrada A-1
, de ordem
n,tal que a multiplicação de A por A-1
é igual a matriz identidade de mesma ordem que A:
A IA A . A- 1 - 1
n. = =
Observação
O produto de uma matriz por sua inversa é sempre comutativo.
Exemplos:
Utilizando a definição, determinar a inversa da matriz A:
a) A =
−



1 1
2 3
Pela definição, a matriz inversa deve ter a mesma ordem da matriz A, nesse caso, ordem 2.
Para determinar a inversa, precisamos fazer o produto e igualar à matriz identidade.
Assim, devemos escolher variáveis para montar uma matriz genérica e efetuar o produto.
O objetivo é resolver a igualdade de matrizes resultante e encontrar o valor das variáveis,
determinando a inversa.

41
Escolhendo a expressão para a inversa, temos:
A
a b
c d
−
=




1
Pela definição, temos:
A
.
- 1
nA I
a b
c d
. =
−






 =


1 1
2 3
1 0
0 1


Efetuando a multiplicação das matrizes, temos:
a c b d
a b
− −
+ +



 =



2 3 2 3
1 0
0 1c d
Igualando as matrizes, temos o sistema:
a c
a
b
− =
+ =
=
+ =







1
2 3
2 3
c 0
b-d 0
d 1
Resolvendo o sistema, temos:
a
b
c
d
=
=
= −
=











3
5
1
5
2
5
1
5
Logo, a inversa de A é a matriz A−
=
−










.1
3
5
1
5
2
5
1
5

42
Unidade I
Lembrete
Você pode fazer a verificação da solução efetuando o produto A. A-1
e igualando a I2
.
b) A =
−
−




1 2
1 2
Pela definição a matriz inversa, deve ter a mesma ordem da matriz A, nesse caso, ordem 2.
Escolhendo a expressão para a inversa, temos:
A
a b
c d
−
=




1
Pela definição, temos:
A
.
- 1
nA I
a b
c d
. =
−
−







 =
1 2
1 2
1 0
00 1




Efetuando a multiplicação das matrizes, temos:
a c b d
a b
− −
− + − +



 =




2
2 2
1 0
0 1
2
c d
Igualando as matrizes, temos o sistema:
c 0
b- 2 d 0
d 1
a c
a
b
− =
− + =
=
− + =







2 1
2
2
Da 2ª equação, temos a = 2c, substituindo na 1ª equação, vem:
2 c - 2 c = 1, isto é, 0 = 1 (F).
Logo, o sistema não tem solução e assim a matriz A não admite inversa.

43
Nem sempre é prático determinar a matriz inversa, principalmente se a matriz é de ordem 3 ou
mais. Para esses casos, você pode utilizar outro procedimento; no lugar da definição, o processo
prático que utiliza operações elementares com as linhas da matriz.
2.6 Processo prático para determinar a matriz inversa
Esse processo consiste em montar a matriz ampliada, formada pelos elementos da matriz A à
esquerda e pelos elementos da matriz identidade de mesma ordem que A.
O objetivo do processo, utilizando operações elementares com as linhas da matriz é transportar
a matriz identidade da parte direita para a parte esquerda. Como as operações são feitas com a
linha toda da matriz ampliada ao final do processo, na parte direita aparecerá a matriz inversa.
Você deve estar curioso para saber quais as operações elementares que serão utilizadas nas
linhas da matriz.
Vejamos, então, as três operações elementares:
• permutação de linhas;
• multiplicação de uma linha por um número real não nulo;
• substituição de uma linha por uma combinação linear dela com qualquer outra linha da matriz.
Essas operações transformam a matriz em uma matriz equivalente.
Vejamos como utilizar essas operações para determinar a inversa da matriz A.
Exemplos:
1) Determinar a inversa da matriz A, utilizando o método prático:
A =








2 1 1
1 0 1
2 2 1
Resolução:
Para utilizar o processo prático, precisamos inicialmente escrever a matriz ampliada:
2 1 2
1 0 1
2 2 1
1 0 0
0 1 0
0 0 1











44
Unidade I
Lembrando que para determinar a inversa, vamos transferir a matriz identidade da direita para
a esquerda da matriz ampliada, utilizando as operações elementares com as linhas da matriz.
Ao final do procedimento, a matriz que encontrarmos na parte direta da matriz ampliada será a
inversa de A.
Para zerar o elemento a21
da matriz, vamos substituir a linha 2 (L2
) pela expressão - 2 L2
+ L1
.
Note na matriz a seguir que marcamos com um círculo o elemento a ser zerado, isso deve facilitar
o entendimento do proceso.
Faremos a mesma indicação também para os outros elementos:
2 1 1
0 1 1
2 2 1
1 0 0
1 2 0
0 0 1
− −










�
2 1 1
1 0 1
2 2 1
1 0 0
0 1 0
0 0 1










�
L2 = -2 L2 + L1
Rascunho
-2 L2 -2 0 - 2 0 -2 0
L1 2 1 1 1 0 0
-2 L2 + L1 0 1 -1 1 -2 0
) pela expressão L3
- L1
:
L3 = L3 + L1
Rascunho
L3
2 2 1 0 0 1
- L1
- 2 -1 -1 -1 0 0
L3
- L1
0 1 0 -1 0 1
2 1 1
0 1 1
0 1 0
1 0 0
2 0
1 0 1
1− −
−










�
Agora queremos zerar o elemento a32
. Para isso, vamos substituir a linha 3 (L3
) pela
expressão L3
- L2
:
Observação
Nesse caso, não podemos escrever a expressão utilizando a 1ª linha,
pois teríamos o elemento a31
novamente diferente de zero.

45
2 1
0 1 1
0 0 1
1 0 0
2 0
2 2 1
1
1− −
−










�
L3 = L3 - L2
Rascunho
L3
0 1 0 -1 0 1
L2
0 -1 1 -1 2 0
L3
+ L2
0 0 1 -2 2 1
Já temos metade da matriz zerada, falta zerar a parte superior. Não vamos nos preocupar com
elementos da diagonal principal ainda, só ao final do processo vamos deixar todos iguais a 1.
Agora vamos zerar o elemento a23
. Vamos substituir a linha 2 (L2
+ L2
:
L3 = L3 + L2
Rascunho
L3
0 0 1 -2 2 1
L2
0 1 -1 1 -2 0
L3
+ L2
0 1 0 -1 0 1
2 1 1
0 1 0
0 0 1
1 0 0
0 1
2 2 1
-1
−










�
Devemos agora zerar o elemento a13
) pela expressão
L1
- L3
:
2 1 0
0 1 0
0 0 1
3 2 1
0 1
2 2 1
-1
− −
−










�
L1 = L1 + L3
Rascunho
L1
2 1 1 1 0 0
L3
0 1 -1 2 -2 -1
L1
- L3
2 1 0 3 -2 -1
Agora falta somente zerar o elemento a12
) pela expressão
L1
- L2
:
2 0 0
0 1 0
0 0 1
4 2 2
0 1
2 2 1
-1
− −
−










�
L1 = L1 - L2
Rascunho
L1
2 1 0 3 -2 -1
L2
0 -1 0 1 0 -1
L1
- L3
2 0 0 4 -2 -2

46
Unidade I
Já conseguimos transformar a parte esquerda da matriz ampliada numa matriz diagonal, falta
ainda deixar todos os elementos da diagonal principal iguais a 1.
Falta somente deixar o elemento a11
igual a 1. Para isso, vamos dividir a primeira linha por 2:
1 0
0 1 0
0 0 1
2 1 1
0 1
2 2 1
0
-1
− −
−










Logo, a inversa da matriz A é:
A -1- 1
=
− −
−








2 1 1
0 1
2 2 1
Lembrete
Para fazer o escalonamento, devemos seguir a ordem em que os
elementos da matriz foram zerados nesse exemplo. Isso agiliza o processo.
A =








1 0 1
2 1 2
1 1 1
Resolução:
Para utilizar o processo prático, precisamos inicialmente escrever a matriz ampliada. Para isso, monte
uma matriz dividida por uma barra; do lado esquerdo coloque a matriz A e do lado direito a matriz
identidade de mesma ordem de A.
Nesse caso, temos a matriz ampliada:
1 0 1
2 1 2
1 1 1
1 0 0
0 1 0
0 0 1










Lembrando que para determinar a inversa, vamos transferir a matriz identidade da direita
para a esquerda da matriz ampliada, utilizando as operações elementares com as linhas

47
da matriz. Ao final do procedimento, a matriz que encontrarmos na parte direta da matriz
ampliada será a inversa de A.
Para que você não se confunda durante o proceso, vamos escrever no rascunho as contas
que estamos fazendo. Depois que você estiver mais familiarizado com o proceso, pode eliminar
os rascunhos.
Iniciamos zerando os elementos a21
e a31
. Para zerar o elemento a21
da matriz, vamos substituir
a linha 2 (L2
) por expressão conveniente, de modo que a soma das linhas transforme a21
em zero.
Assim, vamos utilizar a expressão L2
- 2 L1
. Os resultados vamos colocar no lugar dos elementos
da linha 2 e vamos manter as outras linhas da matriz.
1 0 1
2 1 2
1 1 1
1 0 0
0 1 0
0 0 1










�
1 0 1
0 1 0
1 1 1
1 0 0
2 1 0
0 0 1
−










�
L2 = L2 - 2L1
Rascunho
L2 2 1 2 0 1 0
- 2L1 -2 0 -2 -2 0 0
L2 - 2 L1 0 1 0 -2 1 0
da matriz, vamos substituir a linha 3 (L3) pela expressão L3 - L1:
1 0 1
0 1 0
0 1 0
1 0 0
1
1 0 1
-2 0
−










�
L3 = L3 - L1
Rascunho
L3
1 1 1 0 0 1
L1
-1 0 -1 -1 0 0
L3
- L1
0 1 0 -1 0 1
) pela expressão
L3
- L2
:
Observação

48
Unidade I
1 0 1
0 1 0
0 0 0
1 0 0
1 0
1 1 1
-2
−










�
L3 = L3 - L2
Rascunho
L3
0 1 0 -1 0 1
- L2
0 -1 0 2 -1 0
L3
- L1
0 0 0 1 -1 1
Note que a última linha da metade esquerda da matriz ampliada tem os três números iguais a
zero. Logo, é impossível transformar essa parte na matriz identidade.
Portanto, a matriz não admite inversa.
2.7 Ampliando seu leque de exemplos
1) Determine os elementos a21
e a34
da matriz definida por
i j
i
− >
=
<





se i j
se i j
se i j
2
2
Resolução:
Para determinar os elementos da matriz, como ela é dada por várias sentenças, você vai observar
os índices dos elementos e determinar qual das condições deverá ser obedecida.
Assim, temos:
• elemento a21
:
i = 2 e j = 1, isto é, i > j, deve obedecer a condição ai j
= i – j
• elemento a34
:
i = 3 e j = 4, isto é, i < j, deve obedecer a condição ai j
= 2 i
Logo, a21
= 2 – 1 = 1 e a34
= 2 .3 = 6, isto é, a21
= 1 e a34
= 6
2) Dadas as matrizes A e B= −








=
−







1 2
1 1
0 2
1 2
0 0
2 1
, então o valor de X = - 3A + 3B

49
Resolução:
Substituindo os valores de A e B na expressão, temos:
X
X
= − +
= −








+


A 3 B
1 2
1 -1
0 2
3
-1 2
0 0
2 1
3
3 





Efetuando o produto dos números pelas matrizes, temos:
X =








+








-3 -6
-3 3
0 -6
-3 6
0 0
6 3
Assim:
X =








-6 0
-3 3
6 -3
−
−








=
− −
−




1 2
2 1
0 4
1 1 2
1 1 0
determinar o valor de X = A - BT
:
Resolução:
Para resolver esse exemplo, você deve inicialmente determinar a transposta da matriz B, assim,
B T
=
−
−
−








1 1
1 1
2 0
.
Substituindo as matrizes na expressão, temos:
X
X
A - B
-1 2
-2 1
0 4
-
-1 1
1 -1
-2 0
T
=
=
















=








X
0 1
-3 2
-2 4

50
Unidade I
4) Determinar o valor de x que torna iguais as matrizes A e B, sendo:
A
x
x
x
e=
+ −


 +



 =
− −



2 1 1
2
2
3 5
1 3
5 3
B
Resolução:
Inicialmente, vamos determinar os valores da matriz A:
A
x
x
x x x
x
x
=
+ −


 +



 =
+ + − +
+ +



 =
+ − +2 1 1
2
2
3 5
2 1 2 1
2 3 5
2 3 1 xx
x5 5+




Daí, temos:
2 3 1
5 5
1 3
5 3
x x
x
+ − +
+



 =
− −



Igualando as matrizes, vem:
2 3 1 2
1 3 1 2 3 3 3
x
x
+ = − ⇒ + = − ⇒ − = −
− + = − ⇒ − − = − ⇒ − = −
. (-2) 3 1 1 1 (V)
(V)
5 5
5 3 2
=
+ = ⇒ = −






x x
Resolvendo o sistema, encontramos x = - 2.



 =
−
−




3 2
1 2
1 1 4
0 1 2
, determinar o valor de:
a) A . B
b) B . A
Resolução:
a) A
A
. B .
. B
=




−
−




=
− +
3 2
1 2
1 1 4
0 1 2
3 1.( ) 22 0 3 1 2 1 3 4 2 2
1 1 2 0 1 1 2 1 1 4 2 2
. . . . .( )
.( ) . . . . .( )
+ + −
− + + + −




A . B =
−
−




3 5 8
1 3 0

51
b A) . B
-1 1 4
0 1 -2
.
2 X 3
=








3 2
1 2 2 x 2
≠
Não é possível efetuar o produto, pois o número de colunas da matriz B é diferente do número
de linhas da matriz A.
6) Sendo A e= −( ) =








3 1 0
1 0 1
0 1 0
0 0 1
I3 determinar o resultado de A . l3
.
Resolução:
Substituindo as matrizes dadas na expressão:
A . I ( 3 -1 0) .
A . I
3
3
=








=
1 0 1
0 1 0
0 0 1
33. 1 (-1) . 0 0 . 0 3. 0 (-1) . 1 0 . 0+ + + + 3. 0 (-1) . 0 0 . 1
A . I ( 3 -1 )3
+ +( )
= 0
Observação
A matriz resultante é do tipo 1 x 3, isto é, 1 linha e 3 colunas.
7) Determinar a inversa da matriz A =




5 1
0 1
, utilizando a definição.
Resolução:
Sabemos que a inversa de uma matriz A do tipo 2 x 2 é uma matriz do mesmo tipo, isto é,
também será 2 x 2.
Tomemos então A
a b
c d
−
=




1
como a inversa de A. Devemos determinar os valores de a, b, c, d.
Pela definição de matriz inversa, temos:
A I. A- 1
2=

52
Unidade I
Agora, substituindo os valores de A e de A-1
na expressão:
a b
c d
I







 =. 2
5 1
0 1
Efetuando o produto das matrizes e lembrando que a matriz identidade 2 x 2 é igual a
I 2 =




1 0
0 1
, temos:
5
5
1 0
0 1
a a b
c c d
+
+



 =




Igualando as matrizes:
5 1
0
5 0
1
a
a b
c
c d
=
+ =
=
+ =







Resolvendo o sistema, encontramos: a = 1/5, b = -1/5; c = 0 e d = 1
Logo, A 1−
=
−



1 5 1 5
0 1
/ /
é a inversa da matriz A.
8) Determinar o valor de x que torna verdadeira a equação matricial:
x
x
−


 +
−



 =
−




1 2
2 3
3 4
6 1
4 6
2 4
Resolução:
Para determinar o valor de x, você deve primeiro somar as matrizes e depois deve substituir na
expressão e resolver a igualdade:
x
x
x
x
−


 +
−



 =
−




− + +
− +




1 2
2 3
3 4
6 1
4 6
2 4
1 3 2 4
2 6 3 1
==
−




+
−



 =
−




4 6
2 4
2 6
2 6 4
4 6
2 4
x
x

53
Lembrando que matrizes são iguais quando cada elemento de uma é igual ao elemento
correspondente da outra, temos:
x
x
+ =
=
− = −
+ =







2 4
6 6
2 6 2
3 1 4
(V)
(V)
Resolvendo o sistema, encontramos x = 2.
A = −








1 2 0
1 1 2
1 1 1
Resolução:
Para utilizar o processo prático, precisamos inicialmente escrever a matriz ampliada:
1 2 0
1 1 2
1 1 1
1 0 0
0 1 0
0 0 1
−










Lembrando que, para determinar a inversa, vamos transferir a matriz identidade da direita
para a esquerda da matriz ampliada, utilizando as operações elementares com as linhas da matriz.
Ao final do procedimento, a matriz que encontrarmos na parte direta da matriz ampliada será a
inversa de A.
+ L1
:
L2 = L2 - 2L1
Rascunho
L2 -1 1 2 0 1 0
L1 1 2 0 1 0 0
L2 - L1 0 3 2 1 1 0
1 2 0
1 1 2
1 1 1
1 0 0
0 1 0
0 0 1
−










�
1 2 0
0 3 2
1 1 1
1 0 0
1 1 0
0 0 1










�

54
Unidade I
- L1
:
L3 = L3 - L1
Rascunho
L3 -1 1 1 0 0 1
-L1 -1 -2 0 -1 0 0
L3 - L1 0 -1 1 -1 0 1
1 2 0
0 3 2
0 1 1
1 0 0
1 0
1 0 1
1
− −










�
) pela expressão
3 L3
+ L2
:
Observação
1 2 0
0 3 2
0 0 5
1 0 0
1 0
2 1 3
1
−










�
L3 = 3L3 + L2
Rascunho
3L3 0 -3 3 -3 0 3
L2 0 3 2 1 1 0
3L3 + L1 0 0 5 -2 1 3
Já temos metade da matriz zerada, falta zerar a parte superior. Não vamos nos preocupar com
elementos da diagonal principal ainda, só ao final do processo vamos deixar todos iguais a 1.
Agora vamos zerar o elemento a23
. Vamos substituir a linha 2 (L2
) pela expressão -2 L3
+ 5 L2
.
Note que o objetivo de se multiplicar a linha 3 por (-2) e a linha 2 por 5 é obter um múltiplo
comum de 2 e 5 para efetuar o cancelamento.
1 2 0
0 1 0
0 0 5
1 0 0
3 6
2 1 3
5 9 −
−










�
L3 = 2L3 + 5L2
Rascunho
-2L3 0 0 -10 4 -2 -6
5L2 0 15 10 5 5 0
3L2 + 5L2 0 15 0 9 3 -6

55
Como o elemento a13
já é igual a zero, falta somente zerar o elemento a12
. Para isso, vamos
substituir a linha 1 (L1
) pela expressão -2 L2
+ 15 L1
:
15 0 0
0 1 0
0 0 5
3 6 12
3 6
2 1 3
5 9
− −
−
−










�
L3 = 2L3 + 5L2
Rascunho
-2L2 0 -30 0 -18 -6 12
15L1 15 30 0 15 0 0
-2L2 + 15L1 15 0 0 -3 -6 12
Já conseguimos transformar a parte esquerda da matriz ampliada numa matriz diagonal, falta
ainda deixar todos os elementos da diagonal principal iguais a 1.
Vamos dividir cada linha por um número conveniente: vamos dividir a linha 1 por 15, a linha 2
por 15 e a linha 3 por 5. Assim, temos:
1 0
0 1 0
0 0 1
3
15
6
15
12
15
3
15
6
15
2
5
1
5
3
5
0
9
15
− −
−
−
















Logo, a inversa da matriz A é:
A
9
15
ou- 1
=
− −
−
−
















3
15
6
15
12
15
3
15
6
15
2
5
1
5
3
5
simplificando A
3
5
- 1
=
− −
−
−










1
5
2
5
4
5
1
5
2
5
2
5
1
5
3
5






Caso você prefira, pode colocar (1/5) em evidência e daí:
A
1
5
3- 1
=
− −
−
−








1 2 4
1 2
2 1 3

56
Unidade I
Lembrete
Para conferir sua resposta, multiplique A por A – 1
. O resultado deve
ser a matriz identidade, isto é, A . A – 1
= I 3
.
Resumo
Vimos nessa unidade os conceitos de matriz, sistema linear e
determinante.
Matrizes
A
a
a
a
a
a
a
a
a
a
amxn
m m
n
n
mn
ij mx
=












= ( )
11
21
1
12
22
2
1
2
 



 nn ij mxn
a=  
O elemento ai j
indica elemento da linha i e da coluna j.
Alguns tipos especiais de matrizes:
Matriz quadrada: A a=   =, com m ni j m x n
Diagonal principal:
A
a
a
a
a
a
a
a
a
am m
m
m
m m
=












11
21
1
12
22
2
1
2
 




m x m
Matriz nula: A a a= ( ) =, com , para todo ij .i j m x n i j 0
Matriz coluna: A a= ( ) ,i j m x n
com n = 1, isto é, só tem 1 coluna.
Matriz linha: A a= ( ) ,i j m x n
com m = 1, isto é, só tem 1 coluna.
Matriz diagonal: A a= ( ) ,i j m x n
com aij
= 0, se i ≠ j.

57
Matriz identidade: A a ai= ( ) =
=
≠
com
se i j
0 se i ji j m x m j,
1


Matriz triangular:
• superior: todos elementos abaixo da diagonal principal são nulos;
• inferior: todos elementos acima da diagonal principal são nulos.
Matriz simétrica: A a a ai= ( ) =com .i j m x m j j i,
Matriz transposta:
A
a a a
a a am n
1 2 n
1 m m m x n
=








⇒
1 1 1
2




A AT - 1
1
1 2
21
n n m
= =
a
a
a a
a a a
m
n
1 1
1 2


 












n x m
Matriz inversa:
A a A b= ( ) = ( ). Ai j n x n
- 1
i j n x n
-
, , 11
- 1 - 1
n
inversa de A
A A . AA I. = =
Operações com matrizes:
Adição:
A a e B b A a bi j i j i j i j= ( ) = ( ) ⇒ + = +( )m x n m x n m xB n
Multiplicação por escalar:
A a ai j i j= ( ) ⇒ =
m x n m x nk . A (k . )
Multiplicação de matrizes:
(aik)mxp x (bkj)pxn = (cij)mxn
=
onde c a b a b a bij i j i j ip pj, ...= + + +1 1 2 2
Propriedades da álgebra matricial
• Adição

58
Unidade I
(I) associativa: A B C A B C A B C M IR+ +( )= +( )+ ∀ ∈ ( ), , , m x n ;
(II) comutativa: A B B A A B M IR+ = + ∀ ∈ ( )m x n, , ;
(III) matriz nula: existe uma matriz 0 ∈ Mmxn (IR), tal que:
A A A M IR+ = ∀ ∈ ( )0 , m x n ;
(IV) matriz inversa: dada uma matriz A M IR∈ ( )m x n existe uma matriz
(-A), também m x n, tal que A + (-A) = 0.
• Multiplicação por escalar
(
(
) , A M ,
)
m xnI A A e IR
I I
α β α β α β( ) = ( ) ∀ ∈ ∀ ∈
A M ,
I )
m xnα β α β α β
α
+( ) = + ∀ ∈ ∀ ∈A A A e IR
I I
,
( A, B M
V )
m xnA B A B e IR
I A
+( )= + ∀ ∈ ∀ ∈
=
α α α,
( 1 AA A M m xn∀ ∈
• Multiplicação de matrizes
(I) associativa: (A B) C = A (B C)
(II) distributiva à esquerda: C (A + B) = CA +CB
(III) distributiva à direita: (A + B) C = A C + B C
(IV) elemento neutro: A I I A An n= =
(V) (a A) B = A (a B) = a (A B)
(IV) A . 0 = 0 e 0 . A =0
Observações importantes sobre multiplicação de matrizes
1 – não vale a propriedade comutativa, isto é, A . B e B . A nem sempre
serão iguais;
2 – não vale a lei do anulamento do produto, isto é, podemos ter:
A . B = 0 com A ≠ 0 e B ≠ 0
3 – não vale a lei do cancelamento do produto, isto é, podemos ter:
A . C = B .C com C ≠ 0 e mesmo assim A ≠ B

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