O documento discute métodos para resolver o problema quadrático de alocação (QAP), incluindo métodos construtivos gulosos, busca local 2-opt e busca tabu. Os métodos construtivos propõem algoritmos FIA e NFI para gerar soluções iniciais, enquanto a busca local 2-opt e a busca tabu são usadas para melhorar soluções através de trocas de pares de alocações. A busca tabu evita repetições mantendo uma lista de movimentos proibidos e usa critérios como aspiração para

1. Problema quadrático de alocação (QAP)
Métodos construtivos
Busca local 2-opt
Busca tabu
Daniel Lemes Gribel
daniel.gribel@uniriotec.br
18 de dezembro de 2013

2. Métodos construtivos
Foram elaborados dois métodos construtivos gulosos,
ambos orientados a construir uma solução de tal forma
que o custo total seja mínimo.
1. FIA (Facilidade inicial arbitrária)
2. NFI (N facilidades iniciais)

3. Métodos construtivos
Método 1: FIA (Facilidade inicial arbitrária)
Algoritmo guloso que consiste em obter o menor custo total a cada atribuição
de facilidade a um local, sendo que a atribuição da primeira facilidade a um
local é arbitrária.
1. A facilidade 0 é alocada ao local 0.
2. Verifica-se dentre as facilidades disponíveis qual facilidade deveria ser
escolhida para ser alocada ao próximo local i, de tal forma que o custo total
seja mínimo.
3. Executa-se o passo 2 até a n-ésima facilidade, gerando uma permutação
que corresponde à solução final.

4. Métodos construtivos
Método 1: FIA (Facilidade inicial arbitrária)
1.
(n-1) iterações
2.
(n-2) iterações
3.
(n-3) iterações
4.
(n-4) iterações
5.
(n-5) iterações
…
n-1.(n-(n-1)) iterações
Complexidade:
O((n² - n)/2) ⇒ O(n²)

5. Métodos construtivos
Método 2: NFI (N facilidades iniciais)
Este método é um aprimoramento da construção FIA. Ele consiste em n execuções
do algoritmo FIA, atribuindo cada uma das n facilidades à facilidade inicial.
1. Executa-se o algoritmo FIA (com a facilidade i alocada ao local 0).
2. Armazena-se o custo da permutação pi
3. Repete-se os passos 1 e 2 atribuindo a facilidade i+1 ao local 0 até que todas as
n facilidades sejam testadas como sendo a facilidade inicial no algoritmo FIA.
4. A iteração que gerar o menor custo é sempre armazenada e a solução final é
então escolhida.

6. Métodos construtivos
Método 2: NFI (N facilidades iniciais)
1.
(n-1) iterações
2.
(n-2) iterações
3.
(n-3) iterações
4.
(n-4) iterações
5.
(n-5) iterações
…
n-1.(n-(n-1)) iterações
n vezes
Complexidade:
O(n × (n² - n)/2) ⇒ O(n³)

7. Métodos construtivos
Método 2: NFI (N facilidades iniciais)
def initial_solution(distance, flow):
n = int(math.sqrt(len(distance)))
best_cost_final = 0
m_x = []
for q in range(0, n):
m = [q]
m2 = [q]
j = 0

8. Métodos construtivos
# here FIA starts
while j < n-1:
k = get_minor(m, n)
m.append(k)
m2 = copy(m)
best_cost = cost(m, distance, flow)
if j == 0:
best_cost_final = best_cost
for i in range(0, n):
if i not in m:
m2[len(m2)-1] = i
c = cost(m2, distance, flow)
if c < best_cost:
m[len(m)-1] = i
best_cost = c
j = j + 1
# here FIA ends
if best_cost < best_cost_final:
best_cost_final = best_cost
m_final = copy(m)

9. Busca local
def iteration_2opt(p, dist, flow):
2-opt
Nesse método, as facilidades são transpostas
durante a execução do algoritmo. Se o número
de facilidades e locais for n, então o número de
transposições em cada iteração do algoritmo
será (n²-n)/2. Inicialmente, o algoritmo
considera a transposição das facilidades
alocadas nos locais 0 e 1. Se o valor da função
objetivo resultante para a solução for menor
que o valor da solução inicial, então esta
solução é armazenada como uma solução
candidata para o futuro. Caso contrário, ela é
descartada. O procedimento de transposições
continua até que todas as trocas de pares
sejam consideradas.
best_solution = []
best_solution = copy(p)
best_cost = cost(p, dist, flow)
size = len(p)
i = 0
for i in range(0, size-1):
for j in range(i+1, size):
posI = p.index(i)
posJ = p.index(j)
p[posI] = j
p[posJ] = i
current_cost = cost(p, dist, flow)
if(current_cost < best_cost):
best_solution = copy(p)
best_cost = current_cost

10. Busca local
2-opt
Effective heuristics and meta-heuristics for the quadratic assignment problem with tuned
parameters and analytical comparisons. Mahdi Bashiri, Hossein Karimi

11. Busca Tabu
A origem da palavra tabu remonta ao Tongan, um idioma da
Polinésia. A palavra era utilizada pelos nativos da ilha Tonga
para indicar objetos que não podiam ser tocados por serem
sagrados.
O nome deste método vem das listas tabu, que consistem em
listas com soluções (movimentos) não permitidas. Na sua forma
mais básica, contém os últimos elementos visitados. Outras
listas podem conter soluções proibidas devido a, por exemplo,
certos atributos da solução ou movimentos ilegais no contexto
do problema.

12. Busca Tabu
Movimentos Tabu: Ro-TS
Exemplo
Metaheuristics for Hard Optimization: Methods and Case Studies. Pag.
64. Johann Dréo, Alain Pétrowski, Patrick Siarry, Eric Taillard.

13. Busca Tabu
Parâmetros
void tabu_search(long n,
// problem size
type_matrix & a,
// flows matrix
type_matrix & b,
// distance matrix
type_vector & best_sol,
// best solution found
long & best_cost,
// cost of best solution
long min_size,
// parameter 1: 0.9n
long max_size,
// parameter 2: 1.1n
long aspiration,
// parameter 3: 2n²
long 1000000)
// number of iterations
Robust taboo search procedure for the quadratic assignment problem (c++ program). Eric Taillard

14. Busca Tabu
Movimentos Tabu
★ Pequeno número de movimentos tabu ⇒ descoberta de ótimos locais
★ Pequeno número de movimentos tabu ⇒ repetição de soluções
★ Grande número de movimentos tabu ⇒ diminui possibilidade de
repetições (confinamento) ⇒ aumenta possibilidade de visitar boas
soluções
★ Grande número de movimentos tabu ⇒ diminui probabilidade de
encontrar bons ótimos locais

15. Busca Tabu
Pequeno número de
movimentos tabu

16. Busca Tabu
Grande número de
movimentos tabu

17. Busca Tabu
Duração tabu aleatória
Para se obter o benefício simultâneo das vantagens oferecidas por um
pequeno número de movimentos tabu (permite a exploração profunda de um
vale) e por um grande número de movimentos tabu (permite pular de um vale
para outro), uma possibilidade é modificar essa duração durante o processo
de busca.
Por exemplo, pode ser usado um valor aleatório entre um limite inferior e
superior a cada iteração ou a cada n iterações.
Estes limites podem ser identificados, inclusive podem ser aumentados ou
diminuídos com base em certas características observadas durante a busca.

18. Busca Tabu
Duração tabu aleatória
// forbid reverse move for a fixed number of iterations
if(min_size == max_size) {
tabu_list[i_retained][p[j_retained]] = current_iteration + min_size;
tabu_list[j_retained][p[i_retained]] = current_iteration + min_size;
}
// forbid reverse move for a random number of iterations
else {
tabu_list[i_retained][p[j_retained]] = current_iteration + unif(min_size,max_size);
tabu_list[j_retained][p[i_retained]] = current_iteration + unif(min_size,max_size);
}
Robust taboo search procedure for the quadratic assignment problem (c++ program). Eric Taillard

19. Resultados
Ajuste de parâmetros
Duração da condição tabu

20. Busca Tabu
Critério de aspiração
Um movimento vai passar no critério de aspiração se:
★ for um movimento que leve à maior redução no
custo da solução atual
★ o movimento levar as facilidades à locais em que
ambos não tenham ocupado nas últimas t
iterações

21. Busca Tabu
Critério de aspiração
Exemplo
p = {3, 4, 2, 1, 5, 6}
m = (2, 5): 4 → 5, 5 → 2
last_assignment(4, 5) = i2; last_assignment(5, 2) = i8
current_i = 22
2 < 22 - a ?
8 < 22 - a ?
Qual valor atribuir ao parâmetro a?
a grande ⇒ maior possibilidade de “libertar” movimento ⇒ aspiração aceita!
a pequeno ⇒ menor possibilidade de “libertar” movimento (mais rígido) ⇒ aspiração negada!

22. Resultados
Ajuste de parâmetros
Critério de aspiração

23. Resultados

24. Resultados

25. Resultados
NFI, 2-opt + Ro-TS

26. Referências
QAPLIB - A Quadratic Assignment Problem Library. R .E. Burkard, E. Çela, S.
E. Karisch, F. Rendl. http://www.seas.upenn.edu/qaplib/
Robust taboo search for the quadratic assignment problem. E. Taillard.
Metaheuristics for Hard Optimization: Methods and Case Studies. Johann
Dréo, Alain Pétrowski, Patrick Siarry, Eric Taillard.
Robust taboo search procedure for the quadratic assignment problem (c++
program). http://mistic.heig-vd.ch/taillard/codes.dir/tabou_qap.cpp

27. Obrigado.
https://github.com/danielgribel/qap