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´e igual `a massa do objeto vezes a acelera¸c˜ao causada ao corpo por essa for¸ca.A acelera¸c˜ao ´e na mesma dire¸c˜ao da ...
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11.1 Gravita¸c˜ao universalObviamente, a Terra exerce uma atra¸c˜ao sobre os objetos que est˜ao sobresua superf´ıcie. Newt...
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M1K1 = M2K2 = .... = MnKn =4 π2GExistem casos de sistemas gravitacionais em que n˜ao podemos desprezara massa de nenhum co...
em massas solares ou massas terrestres. Como a massa do sat´elite ´e muitopequena comparada com a massa do planeta, a mass...
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Sabendo que:P⊕ = 365, 25 diasPD = 1, 262 diasa⊕ = 1, 5 × 108kmaD = 2, 35 × 104kmTemos:MMaM=365, 25 dias1, 262 dias22, 35 ×...
Temos:MMa =4π26, 67 × 10−11kg s2m3(2, 35 × 105m)3(1, 09 × 105s)2MMa = 6, 4 × 1023kgExemplo 2:Duas estrelas idˆenticas ao S...
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Astronomia e astrof´+¢sica parte 001

  1. 1. Cap´ıtulo 11NewtonEstudando o movimento dos corpos, Galileo Galilei (1564–1642) descobriu,atrav´es de experimentos, que “um corpo que se move, continuar´a em movi-mento a menos que uma for¸ca seja aplicada e que o force a parar.” Galileoargumentou que o movimento ´e t˜ao natural quanto o repouso, isto ´e, umcorpo que est´a em repouso permanece em repouso, a menos que seja subme-tido a uma for¸ca que o fa¸ca mover-se. Se um objeto j´a est´a se movimentando,ele continuar´a em movimento, a menos que seja submetido a uma for¸ca queo fa¸ca parar.Galileo, que descobriu os sat´elites de J´upiter, comunicou seus dados aKepler, que verificou que eles obedeciam `as Trˆes Leis de Kepler, por´em comum valor da constante K diferente na 3a. Lei.Sessenta anos depois, o inglˆes Isaac Newton (1643-1727) foi quem deuuma explica¸c˜ao completa ao movimento e `a forma como as for¸cas atuam. Adescri¸c˜ao est´a contida nas suas 3 leis.Primeira Lei: In´ercia, elaborada a partir de Galileo: em ausˆencia defor¸cas externas, um objeto em repouso permanece em repouso, e um objetoem movimento permanece em movimento, ficando em movimento retil´ıneoe com velocidade constante. Essa propriedade do corpo que resiste `a mu-dan¸ca, chama-se in´ercia. A medida da in´ercia de um corpo ´e seu momentum.Newton definiu o momentum de um objeto como sendo proporcional `a suavelocidade. A constante de proporcionalidade, que ´e a sua propriedade queresiste `a mudan¸ca, ´e a sua massa:p = mv = constante se F = 0Segunda Lei: Lei da For¸ca, relaciona a mudan¸ca de velocidade doobjeto com a for¸ca aplicada sobre ele. A for¸ca l´ıquida aplicada a um objeto83
  2. 2. ´e igual `a massa do objeto vezes a acelera¸c˜ao causada ao corpo por essa for¸ca.A acelera¸c˜ao ´e na mesma dire¸c˜ao da for¸ca.F = m × a = m ×dvdt=dpdtTerceira Lei: A¸c˜ao e Rea¸c˜ao, estabelece que, se o objeto exerce umafor¸ca sobre outro objeto, esse outro exerce uma for¸ca igual e contr´aria.Newton pˆode explicar o movimento dos planetas em torno do Sol, assu-mindo a hip´otese de uma for¸ca dirigida ao Sol, que produz uma acelera¸c˜aoque for¸ca a velocidade do planeta a mudar de dire¸c˜ao continuamente. Comofoi que Newton descobriu a Lei da Gravita¸c˜ao Universal? Considerando omovimento da Lua em torno da Terra e as leis de Kepler.Orvvvv.dtdvDEG112Acelera¸c˜ao em ´orbitas circulares: o holandˆes Christiaan Huygens(1629–1695), em 1673, e independentemente Newton, em 1665, (mas publi-cado apenas em 1687, no Principia), descreveram a acelera¸c˜ao centr´ıpeta.Consideremos uma part´ıcula que se move em um c´ırculo. No instantet a part´ıcula est´a em D, com velocidade v1 na dire¸c˜ao DE. Pela 1a. lei deNewton, se n˜ao existe uma for¸ca agindo sobre o corpo, ele continuar´a emmovimento na dire¸c˜ao DE. Ap´os ∆t, a part´ıcula est´a em G, e percorreu adistˆancia v × ∆t, e est´a com velocidade v2, de mesmo m´odulo v, mas emoutra dire¸c˜ao.84
  3. 3. Seja θ o ˆangulo entre o ponto D e o ponto G. θ tamb´em ´e o ˆangulo entrev1 e v2:θ =v∆tr=∆vve, portanto, a acelera¸c˜ao:a =∆v∆t=v2rSe a part´ıcula tem massa m, a for¸ca central necess´aria para produzir aacelera¸c˜ao ´e:F = mv2rClaramente, a dedu¸c˜ao ´e v´alida se ∆v e ∆t s˜ao extremamente pequenos, e´e um exemplo da aplica¸c˜ao do c´alculo diferencial, que foi desenvolvido pelaprimeira vez por Newton.Um pouco de hist´oriaEm sua pr´oprias palavras, Newton, como citado no pref´acio do cat´alogo dosPortsmouth Papers, descreve como utilizou as Leis de Kepler para derivar a gra-vita¸c˜ao universal. “In the year 1665, I began to think of gravity extending to the orbof the Moon, and having found out how to estimate the force with which [a] globerevolving within a sphere presses the surface of the sphere, from Kepler’s Rule ofthe periodical times being in a sesquialterate proportion of their distances from thecenters of their orbs I deduced that the forces which keep the Planets in their orbsmust [be] reciprocally as the squares of their distances from the centers about whichthey revolve: and thereby compared the force requisite to keep the Moon in her orbwith the force of gravity as the surface of the earth, and found them answer prettynearly.”Em 1668, Newton construiu um telesc´opio refletor, usado atualmente em todosos observat´orios profissionais, com um espelho curvo ao inv´es de uma lente, comonos telesc´opios refratores de Galileo e Kepler. O telesc´opio de Galileo, constru´ıdoem 1609, era composto de uma lente convexa e uma lenta cˆoncava. Kepler, no livroDioptrice, publicado em 1611, explicou que seria melhor construir um telesc´opiocom duas lentes convexas, como se usa atualmente. A descoberta de Newton doefeito de um prisma separando um feixe de luz branca ´e a base da espectroscopia.Christiaan Huygens (1629–1695), que tamb´em constru´ıa seus telesc´opios, des-cobriu, em 1655, o sat´elite Titan de Saturno, e que as “orelhas” de Saturno desco-bertas em 1610 eram, na verdade, an´eis (De Saturni Luna Observatio Nova, 1656e Sistema Saturnia, 1659). Em 1656, inventou o rel´ogio de pˆendulo e o patenteouno ano seguinte. Em 1673, publicou o Oscillatorium Horologium, no qual explicouo movimento do pˆendulo e descreveu a for¸ca centr´ıpeta.85
  4. 4. 11.1 Gravita¸c˜ao universalObviamente, a Terra exerce uma atra¸c˜ao sobre os objetos que est˜ao sobresua superf´ıcie. Newton se deu conta de que essa for¸ca se estendia at´e a Lua eproduzia a acelera¸c˜ao centr´ıpeta necess´aria para manter a Lua em ´orbita. Omesmo acontece com o Sol e os planetas. Ent˜ao, Newton levantou a hip´oteseda existˆencia de uma for¸ca de atra¸c˜ao universal entre os corpos em qualquerparte do Universo.A for¸ca centr´ıpeta que o Sol exerce sobre um planeta de massa m, quese move com velocidade v a uma distˆancia r do Sol, ´e dada por:F = mv2r.Assumindo, nesse instante, uma ´orbita circular, que mais tarde ser´a ge-neralizada para qualquer tipo de ´orbita, o per´ıodo P do planeta ´e dado por:P =2πrv=⇒ v =2πrPPela 3a. Lei de Kepler,P2= Kr3,onde a constante K depende das unidades de P e r. Temos, ent˜ao, quev2=4π2r2Kr3=4π2Kr=⇒ v2∝1r.Seja m a massa do planeta e M a massa do Sol. A express˜ao da for¸cacentr´ıpeta exercida pelo Sol no planeta pode, ent˜ao, ser escrita como:F ∝mr2,e, de acordo com a 3a. lei de Newton, o planeta exerce uma for¸ca igual econtr´aria sobre o Sol. A for¸ca centr´ıpeta exercida pelo planeta sobre o Sol,de massa M ´e dada por:F ∝Mr2,Newton deduziu, ent˜ao, que:F =GMmr2onde G ´e uma constante de proporcionalidade. Tanto o Sol quanto o pla-neta que se move em torno dele experimentam a mesma for¸ca, mas o Sol86
  5. 5. permanece aproximadamente no centro do sistema solar porque a massa doSol ´e aproximadamente mil vezes maior que a massa de todos os planetassomados.Newton, ent˜ao, concluiu que, para que a atra¸c˜ao universal seja correta,deve existir uma for¸ca atrativa entre pares de objetos em qualquer regi˜aodo universo, e essa for¸ca deve ser proporcional a suas massas e inversamenteproporcional ao quadrado de suas distˆancias. A constante de proporcionali-dade G depende das unidades das massas e da distˆancia.11.2 Deriva¸c˜ao da “constante” KSuponha dois corpos de massas m1 e m2, com velocidades v1 e v2, em ´orbitacircular em torno do centro de massa comum, cuja distˆancia a cada um ´e r1e r2, respectivamente.A atra¸c˜ao gravitacional ´e dada por:FG =Gm1m2(r1 + r2)2e as for¸cas centr´ıpetas por:F1 =m1v21r1eF2 =m2v22r2Como:v1 =2πr1P=⇒ v21 =4π2r21P2e o mesmo para m2,F1 = F2 = FG =Gm1m2(r1 + r2)2=m1v21r1=4π2m1r1P2eGm1m2(r1 + r2)2=m2v22r2=4π2m2r2P2Eliminando-se m1 na primeira e m2 na segunda e somando-se, obtemos:G(m1 + m2)(r1 + r2)2=4π2(r1 + r2)P2,87
  6. 6. ou:P2=4π2G(m1 + m2)(r1 + r2)3Comparando essa express˜ao com a forma original da 3a lei de Kepler:P2= Ka3vemos queK =4π2G(m1 + m2)(11.1)Isso nos diz que a “constante” K, definida como a raz˜ao P2a3 , s´o ´e constanterealmente se (m1 + m2) permanece constante. Isso ´e o que acontece no casodos planetas do sistema solar: como todos tˆem massa muito menor do quea massa do Sol, a soma da massa do Sol com a massa do planeta ´e sempreaproximadamente a mesma, independente do planeta. Por essa raz˜ao Kepler,ao formular sua 3a lei, n˜ao percebeu a dependˆencia com a massa.Mas, se considerarmos sistemas onde os corpos principais s˜ao diferentes,ent˜ao as raz˜oes P2a3 ser˜ao diferentes. Por exemplo, todos os sat´elites deJ´upiter tˆem praticamente a mesma raz˜ao P2a3 = KJ , que portanto podemosconsiderar constante entre elas, mas essa constante ´e diferente da raz˜aoP2a3 = K comum aos planetas do sistema solar. Para estabelecermos aigualdade temos que introduzir a massa:(M + mp)P2a3= (MJ + ms)P2a3J= constanteou, considerando as massas dos planetas desprez´aveis frente `a massa do Sol,e as massas dos sat´elites desprez´aveis frente `a massa de J´upiter, e represen-tando a raz˜ao P2a3 pela letra K, temos:M K = MJ KJ = constanteGeneralizando para quaisquer sistemas, podemos escrever:M1 K1 = M2 K2 = .... = Mn Kn = constanteonde Kn ´e a raz˜ao entre o quadrado do per´ıodo e o cubo do semi-eixo maiorda ´orbita para os corpos do sistema de massa Mn.Pela equa¸c˜ao 11.1 sabemos que o valor dessa constante ´e 4 π2G , e temosent˜ao:88
  7. 7. M1K1 = M2K2 = .... = MnKn =4 π2GExistem casos de sistemas gravitacionais em que n˜ao podemos desprezara massa de nenhum corpo frente `a do outro, como, por exemplo, muitossistemas bin´arios de estrelas.Nesses casos, ´e mais correto escrever:(M + m)1K1 = (M + m)2K2 = .... = (M + m)nKn =4 π2G(11.2)11.3 Determina¸c˜ao de massasA terceira lei de Kepler na forma derivada por Newton pode se escrita como:(M + m) =4π2Ga3P2(11.3)que nada mais ´e do que a ´ultima parte da equa¸c˜ao 11.2, onde foi substitu´ıdoK por P2a3 .No sistema internacional de unidades, G = 6, 673 × 10−11 N m2/kg2, ouG = 6, 67 × 10−11 m3/(kg s2) e foi medida em laborat´orio pelo f´ısico inglˆesHenry Cavendish (1731-1810) em 1798.Mas, em astronomia, muitas vezes ´e mais conveniente adotar outras uni-dades que n˜ao as do sistema internacional. Por exemplo, em se tratandode sistemas nos quais o corpo maior ´e uma estrela, costuma-se determinarsuas massas em unidades de massa do Sol, ou massas solares (massa doSol = M ), seus per´ıodos em anos e suas distˆancias entre si em unidadesastronˆomicas. Em sistemas em que o corpo maior ´e um planeta, ´e maisconveniente expressar sua massa em unidades de massas da Terra (massa daTerra = M⊕), seu per´ıodo em meses siderais e suas distˆancias relativas emtermos da distˆancia entre Terra e Lua. Em ambos os sistemas o valor de G´e 4π2, e a terceira lei de Kepler fica:M + m =a3P2a qual ´e especialmente ´util para a determina¸c˜ao de massas de corpos as-tronˆomicos.Por exemplo, se se observa o per´ıodo orbital e a distˆancia de um sat´elitea seu planeta, pode-se calcular a massa combinada do planeta e do sat´elite,89
  8. 8. em massas solares ou massas terrestres. Como a massa do sat´elite ´e muitopequena comparada com a massa do planeta, a massa calculada (m + M) ´eessencialmente a massa do planeta (M).Da mesma forma, observando-se o tamanho da ´orbita de uma estreladupla, e o seu per´ıodo orbital, pode-se deduzir as massas das estrelas nosistema bin´ario. De fato, pode-se usar a terceira lei de Kepler na formarevisada por Newton para estimar a massa de nossa Gal´axia e de outrasgal´axias.Exemplo 1:Deimos, o menor dos 2 sat´elites de Marte, tem per´ıodo sideral de 1,262dias e uma distˆancia m´edia ao centro de Marte de 23500 km. Qual a massade Marte?Podemos resolver este problema de diversas maneiras. Aqui vamos mos-trar algumas delas.1. Calculando a massa de Marte diretamente em massas terrestres. (Va-mos usar a nota¸c˜ao: Marte = Ma; Deimos = D; Terra = ⊕ e Lua =L).(a) Uma maneira de resolver o problema ´e compararando os parˆame-tros da ´orbita de Deimos em torno de Marte com os parˆametrosda ´orbita da Lua em torno da Terra, sem introduzir o valor daconstante.Desprezando a massa de Deimos e da Lua frente `as massas deseus respectivos planetas, podemos escrever:MMaKMa = M⊕K⊕sendo KMa = (PD)2/(aD)3e K⊕ = (PL)2/(aL)3. Ent˜ao:MMaM⊕=(PL)2/(aL)3(PD)2/(aD)3 =PLPD2aDaL3Sabendo que:PL = 27, 32 diasPD = 1, 262 diasaL = 384 000 km90
  9. 9. aD = 23 500 kmTemos:MMaM⊕=27, 32 dias1, 262 dias223500 km384000 km3= 0, 1MMa = 0, 1 M⊕(b) Podemos chegar ao mesmo resultado usando a express˜ao formalda 3a lei de Kepler (equa¸c˜ao 11.3), escrevendo as distˆancias emtermos da distˆancia Terra-Lua, as massas em massas terrestres,e os per´ıodos em termos do per´ıodo da Lua, ou seja, usando osistema de unidades [distˆancia T-L (dTL), massa terrestre (M⊕),mˆes sideral (mes)]:MMa + mD MMa =4π2G(aD)3(PD)2Fazendo as transforma¸c˜oes de unidades:PD = (1, 262/27, 32) meses = 4, 62 × 10−2mesesaD = (23500/384000) dTL = 6, 1 × 10−2dTLG = 4π2(dTL)3/(M⊕ meses2) =⇒4π2G= 1 (M⊕ meses2)/(dTL)3Temos:MMa =6, 1 × 10−2 3(4, 62 × 10−2)2 M⊕ =⇒ MMa = 0, 1 M⊕2. Calculando diretamente a massa de Marte em massas solares (M ).(a) Compararando o movimento de Deimos em torno de Marte como movimento da Terra em torno do Sol:MMaKMa = M Konde K = (P⊕)2/(a⊕)3e KMa = (PD)2/(aD)3Ent˜ao:MMaM=(P⊕)2/(a⊕)3(PD)2/(aD)3 =P⊕PD2aDa⊕391
  10. 10. Sabendo que:P⊕ = 365, 25 diasPD = 1, 262 diasa⊕ = 1, 5 × 108kmaD = 2, 35 × 104kmTemos:MMaM=365, 25 dias1, 262 dias22, 35 × 104 km1, 5 × 108 km3= 3, 2 × 10−7MMa = 3, 2 × 10−7M(b) Usando a equa¸c˜ao 11.3 e adotando o sistema de unidades [UA,M , ano]MMa + mD MMa =4π2GaD3PD2Fazendo a transforma¸c˜ao de unidades:PD = (1, 262/365, 25) anos = 3, 46 × 10−3anosaD = (2, 35 × 104/1, 5 × 108) UA = 1, 57 × 10−4UAG = 4π2UA3/(M ano2) =⇒ 4π2/G = 1 (M ano2)/UA3Temos:MMa =(1, 57 × 10−4)3(3, 46 × 10−3)2M =⇒ MMa = 3, 2 × 10−7M3. Calculando diretamente a massa de Marte em quilogramas, ou seja,usando os sistema internacional [m, kg, s]MMa + mD MMa =4π2G(aD)3(PD)2Escrevendo todos os dados em unidades do sistema internacional:PD = 1, 262 dias = 1, 09 × 105saD = 23 500 km = 2, 35 × 105mG = 6, 67 × 10−11m3/(kg s2)92
  11. 11. Temos:MMa =4π26, 67 × 10−11kg s2m3(2, 35 × 105m)3(1, 09 × 105s)2MMa = 6, 4 × 1023kgExemplo 2:Duas estrelas idˆenticas ao Sol giram uma em torno da outra a umadistˆancia de 0,1 UA. Qual o per´ıodo de revolu¸c˜ao das estrelas?2M =(0, 1UA)3P2=⇒ P =0, 0012= 0, 022 anos93

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