Este documento apresenta um sistema de controle para reduzir vibrações em máquinas de lavar causadas por desequilíbrio de carga durante a centrifugação. O sistema de controle proposto usa duas estratégias combinadas: linearização por realimentação e controle preditivo não linear. Os resultados da simulação indicam que a estratégia proposta atenua adequadamente as oscilações do sistema.

1. CONTROLE DE VIBRA¸C˜OES EM LAVADORAS DE ROUPAS VERTICAIS
Tiago de Ara´ujo Elias∗
, Guilherme Bencke Teixeira da Silva†
, Rafael Cabral Melo†
,
Julio Elias Normey-Rico∗
∗
Departamento de Automa¸c˜ao e Sistemas, UFSC
Florian´opolis, Santa Catarina, Brasil
†
Whirlpool SA
Joinville, Santa Catarina, Brasil
Emails: tiago.elias@grad.ufsc.br, guilherme_t_silva@whirlpool.com,
rafael_c_melo@whirlpool.com, julio.normey@ufsc.br
Abstract— This paper presents a control strategy to reduce vibrations in washer machines caused by un-
balanced load during centrifugation. The proposed control system uses two combinated strategies: feedback
linearization and nonlinear predictive control. The simulation results in planar phenomenological model of ma-
chine indicates that the proposed strategy adequately attenuates the system oscillations.
Keywords— predictive control, nonlinear systems, rotating machines.
Resumo— Este trabalho apresenta um sistema de controle em malha fechada para a atenua¸c˜ao das vibra¸c˜oes
em m´aquinas de lavar produzidas pelo desbalanceamento das roupas dentro do cesto no momento da centrifuga¸c˜ao.
O sistema de controle proposto ultiliza duas estrat´egias combinadas: lineariza¸c˜ao por realimenta¸c˜ao e controle
preditivo n˜ao linear. Resultados de simula¸c˜ao num modelo fenomenol´ogico planar da m´aquina mostram que a
estrat´egia proposta atenua satisfatoriamente as oscila¸c˜oes do sistema.
Palavras-chave— controle preditivo, sistemas n˜ao lineares, m´aquinas rotativas.
1 Introdu¸c˜ao
A m´aquina de lavar roupas ´e um eletrodo-
m´estico utilizado mundialmente. Um problema
comum nesses aparelhos ´e o ru´ıdo que o mesmo
emite quando em opera¸c˜ao, devido ao seu motor,
a movimenta¸c˜ao de ´agua ou ao cesto bater nas
laterais quando em alta rota¸c˜ao (Barpanda and
Tudor, 2009).
Eliminar ou diminuir o choque do cesto com
as laterais da m´aquina ´e um desafio nos ciclos de
centrifuga¸c˜ao que utilizam altas rota¸c˜oes para que
as roupas fiquem secas. Ao expormos a m´aquina `a
certas condi¸c˜oes de velocidade ela pode at´e mesmo
entrar em fase de autodestrui¸c˜ao devido a movi-
menta¸c˜ao do cesto. ´E importante ressaltar que
caso a m´aquina esteja com a sua carga uniforme-
mente distribu´ıda dentro do cesto ´e pouco prov´a-
vel que aconte¸cam vibra¸c˜oes de grande amplitude,
mas quando temos a presen¸ca de massa desbalan-
ceada a amplitude dessas oscila¸c˜oes podem ficar
fora de especifica¸c˜ao (Papadopoulos and Papadi-
mitriou, 2001).
Dessa forma depara-se com um problema que
tamb´em est´a presente em outros sistemas dinˆa-
micos rotativos-como podemos ver em (Lyndon
J. Brown, 2003), e que consiste em uma vibra-
¸c˜ao provocada por um desbalanceamento no eixo
em rota¸c˜ao provocado pela presen¸ca de uma carga
desbalanceada acoplada.
Diferentes estrat´egias de controle podem ser
aplicadas para a diminui¸c˜ao das vibra¸c˜oes, como
pode ser visto em (Lyndon J. Brown, 2003) com
uma t´ecnica de controle repetitivo, em (Han-
Qin Zhou, 2007) que utiliza um preditor de Smith
modificado com estrat´egias de controle repetitivo,
e em (H.S. Na, 1997) que prop˜oe um controlador
feedforward adaptativo para rejei¸c˜ao de pertur-
ba¸c˜oes peri´odicas. Uma abordagem diferente ser´a
tratada nesse artigo adicionando-se restri¸c˜oes para
as vibra¸c˜oes.
O sistema de controle proposto nesse artigo,
consiste em atuar no torque aplicado pelo motor
ao cesto de forma tal que as oscila¸c˜oes do mesmo
sejam controladas dentro de faixas especificadas
evitando que o cesto colida com a carca¸ca da m´a-
quina. Adicionalmente, o algoritmo de controle
pode trazer uma opera¸c˜ao com maior economia
de energia e maior seguran¸ca, melhorando dessa
forma a eficiˆencia das m´aquinas.
O que segue deste artigo est´a dividido em trˆes
se¸c˜oes, um para a defini¸c˜ao do problema de con-
trole e modelagem da m´aquina, outro para o de-
senvolvimento do algoritmo de Controle e um ter-
ceiro para os resultados. O artigo finaliza com as
conclus˜oes.
2 Problema de controle e modelagem
O modelo utilizado no sistema de controle
da m´aquina de lavar roupas foi desenvolvido
utilizando-se como ferramenta a Mecˆanica La-
grangeana chegando-se a um sistema multivari´avel
n˜ao linear (Bernstein, 2013). Em tese o modelo re-
presenta um fenˆomeno presente em m´aquinas ro-
tativas, incluindo turbinas e motores el´etricos, nas
quais o rotor est´a desbalanceado, ou seja, o centro
de rota¸c˜ao n˜ao corresponde com o centro de massa

2. (H.S. Na, 1997).
2.1 Modelagem
Simplifica¸c˜oes foram consideradas para
chegar-se no modelo utilizado para a lavadora de
roupas. Considera-se que a m´aquina ´e plana, n˜ao
possui inclina¸c˜ao no cesto e possui dois graus de
liberdade podendo se mover nas dire¸c˜oes x e y.
No caso real a m´aquina tamb´em pode se mover
na dire¸c˜ao vertical e possui inclina¸c˜ao no cesto.
Dessa forma o modelo usado para descrever o
comportamento dinˆamico da m´aquina consiste em
um disco externo que representa o tubo externo
que fica acoplado `a carca¸ca externa da m´aquina e
est´a preso por um sistema de dois amortecedores
e um disco interno representando o cesto interno
que gira ao ser aplicado torque pelo motor da m´a-
quina.
O cesto interno fica acoplado ao tubo externo
pelo eixo central. Representou-se a massa desba-
lanceada sobre o disco interno do modelo planar.
Figura 1: Modelo da m´aquina estudada
Aplicando a Formula¸c˜ao de Lagrange ao mo-
delo simplificado da m´aquina da figura 1 obtemos
as equa¸c˜oes (1) e (2) para o movimento translaci-
onal do conjunto tubo, cesto e massa desbalance-
ada:
Ms ¨x + c1 ˙x + k1x = mru(ω2
cos γ + ˙ω sin γ)
Ms ¨y + c2 ˙y + k2y = mru(ω2
sin γ − ˙ω cos γ)
(1)
(2)
onde
Ms - massa total, dada pela soma das massas
do cesto, tubo e massa desbalanceada (kg).
c1 - coeficiente de amortecimento ( N
ms ).
k1 - constante el´astica da mola (N
m ).
c2 - coeficiente de amortecimento ( N
ms ).
k2 - constante el´astica da mola (N
m ).
ω - velocidade angular do cesto com rela¸c˜ao
ao sistema de coordenadas da m´aquina (rad
s ).
γ - posi¸c˜ao angular do cesto com rela¸c˜ao ao
sistema de coordenadas da m´aquina (rad).
x - posi¸c˜ao do cesto na dire¸c˜ao horizontal (m).
y - posi¸c˜ao do cesto na dire¸c˜ao vertical (m).
m - massa da carga desbalanceada (kg).
ru - posi¸c˜ao da carga desbalanceada no cesto
(m).
Podemos observar de (1) e (2) que o sistema ´e
excitado pela presen¸ca de uma massa desbalance-
ada m, e sendo ela n˜ao nula teremos valores n˜ao
nulos para os deslocamentos x e y. O movimento
rotacional do conjunto ´e governado pela equa¸c˜ao:
J ˙ω + bω + c + mru(−¨x sin γ + ¨y cos γ) = T (3)
onde J ´e o momento de in´ercia do cesto (kgm2
), b
´e o coeficiente de amortecimento ( T
ms ), T ´e o tor-
que (Nm) e c ´e o coeficiente de atrito de Coulomb
(Nm).
O modelo tamb´em pode ser escrito em coor-
denadas polares, possibilitando a redu¸c˜ao do n´u-
mero de equa¸c˜oes. Para isso definimos x = ρ cos γ
e y = ρ sin γ e substituindo nas equa¸c˜oes (1),(2),
obtemos o modelo em coordenadas polares:



¨ρ = 1
Ms
[mruω2
− c1 ˙ρ − (k1 − Msω2
)ρ]
˙ω = 1
J+Msρ2+2mruρ [T − c−
(2Msρ ˙ρ + 2mru ˙ρ + c1ρ2
+ b)ω]
(4)
Utilizando essas equa¸c˜oes realizaram-se simu-
la¸c˜oes para an´alise da forma da resposta no tempo
e do regime permanente de opera¸c˜ao, que se con-
segue quando a m´aquina ´e operada a velocidade
constante. Nesta simula¸c˜ao se realiza a partida
da m´aquina com um torque constante T = 2.5Nm
por um tempo de 200s.
(a) Velocidade ω
(b) Deslocamento ρ
Figura 2: Simula¸c˜ao modelo. Para melhorar a
visualiza¸c˜ao, mostra-se o raio do deslocamento
ρ = x2 + y2.

3. Pode ser observado que a m´aquina ´e acelerada
possuindo um tempo de resposta de velocidade
ω de aproximadamente 63s. Da mesma forma o
cesto desloca-se nas posi¸c˜oes x e y de forma os-
cilat´oria na qual podemos observar a presen¸ca do
ciclo limite com uma amplitude de 1.49cm, que
pode ser melhor visto na figura 3. O sistema so-
fre os maiores deslocamentos x e y ao atingir a
frequˆencia de ressonˆancia, que pode ser calculada
por ωn = k
Ms
= 47.75rpm.1
Figura 3: Simula¸c˜ao ciclo limite
2.2 Problema de controle
O problema de controle a ser considerado tem
as seguintes caracter´ısticas:
• trata-se de um sistema dinˆamico n˜ao linear
com uma entrada de controle (Torque) e 3
vari´aveis a controlar, velocidade angular, des-
locamento x e y (ou apenas duas ω e ρ).
• o sistema de controle a ser implementado na
m´aquina tem por objetivos minimizar os des-
locamentos transit´orios x e y (ou equivalente
ρ) e seguir um perfil de velocidade estipulado
pelo ciclo de opera¸c˜ao.
• o torque aplicado no eixo da m´aquina deve
ser mantido entre valores m´aximos e m´ınimos
pr´e-definidos.
• por seguran¸ca, a acelera¸c˜ao angular deve ser
mantida menor que valores especificados.
Para diminuir os deslocamentos nas dire¸c˜oes x
e y causados pela vibra¸c˜ao no transit´orio da m´a-
quina e ao mesmo tempo, manter o torque e a
acelera¸c˜ao angular dentro dos limites, prop˜oe-se
neste trabalho uma estrat´egia de controle predi-
tivo. Utilizando essa metodologia pode-se defi-
nir uma fun¸c˜ao objetivo para o sinal de controle
que seguisse uma referˆencia para velocidade e ao
mesmo tempo diminu´ısse os deslocamentos nas di-
re¸c˜oes x e y.
A estrat´egia de controle preditivo corresponde
a m´etodos de controle que fazem uso expl´ıcito de
1Nota-se que, em estado estacion´ario, o deslocamento
de equil´ıbrio depende somente da velocidade de rota¸c˜ao do
cesto e dos parˆametros do sistema, independentemente do
controle utilizado.
um modelo do sistema a controlar para obter um
sinal de controle minimizando uma fun¸c˜ao obje-
tivo. Sendo ent˜ao, de fundamental importˆancia
um modelo matem´atico adequado do sistema es-
tudado.
3 Algoritmo de controle proposto
3.1 Controle preditivo baseado em modelo
A t´ecnica de controle preditivo utilizada pos-
sui a possibilidade de aplica¸c˜ao em sistemas m´ul-
tiplas entradas e m´ultiplas sa´ıdas-MIMO e a pos-
sibilidade da inclus˜ao de restri¸c˜oes de entrada e
sa´ıda em sua formula¸c˜ao atrav´es da otimiza¸c˜ao em
linha, motivos esse que levaram a sua aplica¸c˜ao no
sistema estudado. Juntamente, a capacidade de
compensa¸c˜ao intr´ınseca de atrasos de transporte e
a inclus˜ao de forma direta da realimenta¸c˜ao do sis-
tema e do controle feedforward na sua formula¸c˜ao
fazem com que essa seja uma das t´ecnicas avan¸ca-
das de controle mais usada na ind´ustria (Camacho
and Bordons, 2004).
O controle preditivo baseado em modelo-MPC
n˜ao ´e uma estrat´egia de controle espec´ıfica, mas ´e
o nome dado a um conjunto de m´etodos de con-
trole que foram desenvolvidos considerando algu-
mas ideias comuns baseadas no conceito de predi-
¸c˜ao (Camacho and Bordons, 1998).
Todos os Algoritmos MPC possuem elementos
comuns e diferentes op¸c˜oes podem ser escolhidas
para cada um desses elementos dando origem para
diferentes algoritmos. Estes elementos s˜ao:
• Modelo de Predi¸c˜ao
• Fun¸c˜ao Objetivo
• Obten¸c˜ao da Lei de Controle
Uma fun¸c˜ao objetivo t´ıpica do MPC ´e:
Fo =
p
j=1
R[ ˆZ(t+j|t)−w(t+j)]2
+
m
j=1
Q[∆u(t+j−1)]2
(5)
onde ˆZ(t + j) ´e a predi¸c˜ao da sa´ıda da planta, no
caso da m´aquina ˆZ = [ˆω, ˆρ]T
, w(t + j) ´e a refe-
rˆencia futura e ∆u s˜ao os incrementos de controle
futuro que se deseja calcular. As predi¸c˜oes s˜ao
calculadas com um modelo do processo e das per-
turba¸c˜oes. p ´e o horizonte de predi¸c˜ao e define a
janela onde a sa´ıda deve seguir a referˆencia. m ´e
o horizonte de controle, R e Q s˜ao as pondera¸c˜oes
do erro e do esfor¸co de controle. Todos esse va-
lores podem ser usados para sintonia fornecendo
um amplo escopo de op¸c˜oes.
Uma das vantagens do controle preditivo ´e que
se a evolu¸c˜ao futura da referˆencia ´e conhecida a
priori, o sistema pode reagir antes da mudan¸ca
ter efetivamente acontecido.
A fun¸c˜ao Fo pode ser minimizada conside-
rando restri¸c˜oes de v´arios tipos tanto nas vari´aveis

4. de controle como nas de processo. Essa ´e uma das
principais vantagens do MPC.
Finalmente, o MPC utiliza o princ´ıpio do ho-
rizonte deslizante, assim, mesmo calculando m
a¸c˜oes de controle, somente u(k) ´e aplicada ao pro-
cesso e todo o procedimento ´e repetido no pr´oximo
instante deslocando as janelas de predi¸c˜ao.
3.2 Controle preditivo PNMPC
A t´ecnica de controle preditivo PNMPC-MPC
Pr´atico para Sistemas N˜ao Lineares utilizada no
algoritmo foi desenvolvida por (Plucenio, 2010).
Ela utiliza uma aproxima¸c˜ao para a representa-
¸c˜ao do vetor de predi¸c˜oes ao longo do horizonte
p, Zp, como uma fun¸c˜ao linear do vetor de varia-
¸c˜oes na a¸c˜ao de controle ∆u. O PNMPC difere-se
das demais t´ecnicas MPC principalmente pelo fato
de utilizar modelos linearizados independentes dos
pontos de equil´ıbrio do sistema.
Assume-se que as predi¸c˜oes Zp dependem ape-
nas das entradas passadas u, das sa´ıdas passadas
Z e dos incrementos de controle futuros ∆u,
Zp = f(Z, u, ∆u) (6)
No modelo aproximado, o vetor com as predi-
¸c˜oes ´e reescrito como
Zp ≈ F + G∆u (7)
onde F = f(Z, u) ´e a resposta livre do sistema
(a resposta considerando incrementos de controle
futuro nulos) e ∆u s˜ao os controles futuros que se
deseja calcular. A matriz G ´e o Jacobiano de Zp:
G =
∂Zp
∂∆u
(8)
Tanto F como G podem ser obtidas de forma nu-
m´erica a partir do modelo n˜ao linear do processo.
Para calcular F executa-se um algoritmo que cal-
cula o vetor com as p predi¸c˜oes Zp, quando se
fornece os valores das entradas e sa´ıdas passadas
e o vetor com os m incrementos de entrada futura
∆u nulos. G ´e o gradiente das sa´ıdas preditas com
rela¸c˜ao ao vetor dos incrementos de controle ∆u
calculado para ∆u = 0.
A grande vantagem dessa representa¸c˜ao ´e que
as predi¸c˜oes s˜ao lineares no vetor de controle fu-
turo o que permite simplificar o problema de oti-
miza¸c˜ao, como ser´a apresentado na continua¸c˜ao.
Utilizando-se a equa¸c˜ao (7) como forma de ex-
pressar as predi¸c˜oes, pode-se escrever a fun¸c˜ao ob-
jetivo dada pela equa¸c˜ao (5) da seguinte forma:
Fo = (Zp − W)T
R(Zp − W) + ∆uT
Q∆u
A minimiza¸c˜ao da fun¸c˜ao custo para o caso
sem restri¸c˜oes pode ser obtida igualando-se a zero
o gradiente da fun¸c˜ao custo. Por´em, no sistema
estudado a vari´avel manipulada possui uma limi-
ta¸c˜ao dada pelos atuadores e deseja-se manter as
vari´aveis do processo x e y dentro de certos limi-
tes, assim ´e necess´ario calcular o m´ınimo de Fo
considerando essas restri¸c˜oes.
Nesse contexto os controladores MPC se mos-
tram eficazes, por possuir a capacidade de prever
poss´ıveis viola¸c˜oes ao longo do horizonte de predi-
¸c˜ao e incluir as restri¸c˜oes na solu¸c˜ao do problema
de otimiza¸c˜ao(da Costa Mendes, 2012).
O algoritmo PNMPC com restri¸c˜oes resolve a
cada instante k um problema de otimiza¸c˜ao qua-
dr´atica. Esses algoritmos resolvem problemas do
tipo:
min
X
Fo =
1
2
XT
QX + cT
X (9)
Sujeito a:
ArX br
Na forma de programa¸c˜ao quadr´atica a fun¸c˜ao
objetivo Fo pode ser rescrita da forma:
Fo(∆u) =
1
2
∆uT
H∆u + b∆u + f0 (10)
onde
H = 2(GT
RG + Q)
b = 2(F − W)T
RG
f0 = (F − W)T
(F − W)
As matizes Ar e br s˜ao calculadas usando as
restri¸c˜oes na entrada e na sa´ıda do processo e
colocando-as em fun¸c˜ao da vari´avel manipulada.
3.3 Controle preditivo por bandas
Em parte das aplica¸c˜oes industriais, como no
sistema estudado, as vari´aveis de sa´ıda s˜ao con-
troladas por faixas de opera¸c˜ao. Essa estrat´egia ´e
usualmente adotada nos casos em que o n´umero
de sa´ıdas controladas ´e maior que o n´umero de
entradas manipuladas, dado que n˜ao h´a graus de
liberdade suficientes para fixar referˆencias para to-
das as controladas(da Costa Mendes, 2012).
Dessa forma desejamos que uma vari´avel de
sa´ıda esteja em uma banda determinada por valo-
res de m´ınimo e m´aximo. No caso da m´aquina, a
vari´avel ρ ser´a controlada na banda. Para isso de-
finimos uma vari´avel auxiliar ρSP e uma restri¸c˜ao
hard para ela:
ρmin ρSP ρmax (11)
Caso ρ(t) esteja dentro da faixa ela ser´a igua-
lada `a vari´avel auxiliar ρSP . No contr´ario, caso
ρ(t) esteja fora da faixa, o algoritmo far´a com que
a vari´avel auxiliar seja igual ao valor limite da
faixa e que a sa´ıda tenda `a vari´avel auxiliar. Essa
vari´avel auxiliar passa a ser uma nova vari´avel de
decis˜ao do problema, assim devemos modificar a

5. fun¸c˜ao Fo colocando na fun¸c˜ao objetivo um termo
visando cumprir o objetivo de fazer a sa´ıda tender
`a vari´avel auxiliar e definimos ua:
ua =
u
ρSP
(12)
Fo = (Zp − W)T
R(Zp − W) + ∆uT
a Q∆ua+
(ˆρ − ρSP 1)T
RSP (ˆρ − ρSP 1)
(13)
Colocando na forma de programa¸c˜ao quadr´a-
tica:
Fo(∆ua) =
1
2
∆uT
a H∆ua + b∆ua + f0 (14)
onde 1 ´e um vetor de dimens˜ao N × 1 com todos
elementos iguais a 1 e
H =
GT
RG + GT
RSP G + Q −RSP G1
−RSP G1 1T
RSP 1
b = 2(F − W)T
RG + FT
RSP G −2FT
RSP 1
f0 = (F − W)T
R(F − W) + FT
RSP F
Nesse caso o algoritmo de programa¸c˜ao qua-
dr´atica ter´a que resolver o seguinte problema:
min
ua
Fo = uT
a Qaua + cT
ua (15)
Sujeito a:
Aa
r ua ba
r
onde a restri¸c˜ao (11) foi inclu´ıda nas matrizes
Ar e br.
4 Estrat´egia de controle e resultados de
simula¸c˜ao
Nesta se¸c˜ao apresentam-se o algoritmo desen-
volvido para a aplica¸c˜ao e os resultados.
4.1 PNMPC por bandas e realimenta¸c˜ao lineari-
zante
A ideia do algoritmo de controle que ser´a apre-
sentado nessa se¸c˜ao consiste em utilizar a t´ecnica
de realimenta¸c˜ao linearizante, um algoritmo predi-
tivo PNMPC e um controlador proporcional para
o modelo da m´aquina estudado. A ideia desta
abordagem ´e poder separar o problema de con-
trole em duas partes, uma para tratar o controle
de velocidade, que precisa apenas de um segui-
mento com erro limitado da sua referˆencia, do pro-
blema da atenua¸c˜ao das oscila¸c˜oes. A estrutura de
controle ser´a do tipo cascada, como se explica a
continua¸c˜ao e se mostra na figura 4.
Da equa¸c˜ao (3) definimos a realimenta¸c˜ao li-
nearizante:
U = T − c − mru(−¨xsinγ + ¨ycosγ)
Obtendo:
J ˙ω + bω = U
Aplicamos um controlador proporcional, com
o intuito de seguir a referˆencia ωr passada pelo
algoritmo PNMPC. O uso de um controle propor-
cional simples se justifica pela n˜ao necessidade de
erro de seguimento nulo e que a dinˆamica de ve-
locidade ´e de primeira ordem.
O algoritmo PNMPC calcular´a o sinal ωr tal
que o deslocamento ρ seja menor que 5 cm, sendo
que na fun¸c˜ao custo incluiremos os termos do
erro ωr − ωdesejada e do incremento ωr. Sendo
ωdesejada a rampa de referˆencia de velocidade.
Figura 4: Estrutura do controlador
Com o objetivo de adicionarmos graus de li-
berdade `a velocidade ωr, definimos uma banda
para essa vari´avel adicionando uma restri¸c˜ao no
algoritmo PNMPC. Para isso definimos um δ =
20π
30 rpm e a restri¸c˜ao no sinal de controle do algo-
ritmo:
ωdesejada − δ ωr ωdesejada + δ

6. (a) Velocidade ω
(b) Deslocamento ρ
(c) Torque T
Figura 5: Resultados de simula¸c˜ao em malha fe-
chada com o algoritmo proposto
Os parˆametros de sintonia utilizados na si-
mula¸c˜ao foram: Nρ = 350 (Horizonte de pre-
di¸c˜ao da vari´avel ρ), Ny = 350 (Horizonte de
predi¸c˜ao da vari´avel y), Nu = 5(Horizonte de
controle), Q = 0.001 (Pondera¸c˜ao do controle),
Rρ = 10000 (Pondera¸c˜ao do erro da vari´avel ρ),
Rwdesejada
= 350, (Pondera¸c˜ao do erro da vari´a-
vel wdesejada), RSPρ
= 16000000 (Pondera¸c˜ao do
erro da banda da vari´avel ρ), kp = 135 (Ganho
proporcional do controlador).
A figura 5 mostra os resultados obtidos numa
simula¸c˜ao de partida da m´aquina at´e atingir uma
velocidade de 200 rpm. Observa-se como o algo-
ritmo de controle libera as oscila¸c˜oes de velocidade
na banda especificada para poder manter ρ dentro
de especifica¸c˜ao. Se compararmos esses resultados
com os da partida em malha aberta, observa-se
uma redu¸c˜ao de aproximadamente 20% na ampli-
tude das oscila¸c˜oes no transit´orio.
5 Conclus˜oes
Esse artigo abordou um estudo do controle de
sistemas rotativos que possuem um desbalancea-
mento no eixo de rota¸c˜ao, provocando vibra¸c˜oes
indesej´aveis no sistema.
T´ecnicas de controle preditivo n˜ao linear fo-
ram utilizadas juntamente com realimenta¸c˜ao li-
nearizante e controle proporcional para atingir os
objetivos de atenuar os deslocamentos provocados
pelo desbalanceamento do eixo de rota¸c˜ao da m´a-
quina.
Futuramente pode-se trabalhar com a inclu-
s˜ao de outros requisitos no algoritmo, como res-
tri¸c˜oes de acelera¸c˜ao. Da mesma maneira, para
trabalhos futuros existe a possibilidade de estu-
dar a robustez do sistema de controle, assim como
aspectos pr´aticos de implementa¸c˜ao.
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