Este documento descreve um experimento para testar qual método de amarrar cadarços nos sapatos usa menos comprimento de cadarço. Os alunos medem o comprimento necessário de cadarço para três métodos comuns usando um modelo de sapato. Eles tentam criar um método melhor. No final, o documento fornece uma demonstração geométrica de que o método americano usa o menor comprimento de cadarço.
Este documento fornece instruções sobre como realizar medições topográficas de campo usando diferentes equipamentos e técnicas. Ele inclui exemplos e exercícios práticos sobre croqui, medições lineares, nivelamento, curvas de nível, taquedometria e poligonal. O documento também fornece roteiros detalhados para os levantamentos topográficos de nivelamento, taquedometria e poligonal.
1) A apostila apresenta conceitos e exercícios práticos de topografia, incluindo croqui, medições, nivelamento, curvas de nível, taqueometria e poligonal.
2) São descritos exercícios para medição de comprimentos com trena e balizas, leitura de mira, uso do teodolito e nivel, e determinação de curvas de nível.
3) Inclui também explicações sobre o levantamento topográfico, roteiros, fórmulas e planilhas para registro de dados.
[1] O documento apresenta exercícios e explicações sobre o número pi (π) e seu uso no cálculo do perímetro e área do círculo. [2] Aborda métodos históricos para calcular π, distribuição dos algarismos de π, relação entre π e medidas de pneus e hodômetro de carros. [3] Explica como aproximar a área do círculo usando polígonos inscritos e circunscritos e como a precisão aumenta com polígonos de mais lados.
Arquimedes foi um importante matemático grego que viveu no século III a.C. e fez contribuições fundamentais para a física, engenharia e matemática, incluindo o desenvolvimento do método da exaustão e descobertas sobre áreas e volumes, cálculo aproximado de π, e espiral e sistema de numeração que levam seu nome.
O documento explica como calcular a área de retângulos e figuras compostas por retângulos. Apresenta exemplos de cálculo de área e conversão entre unidades de medida de área como metro quadrado, are e hectare. Também fornece exercícios para cálculo e conversão de áreas.
O documento descreve um estudo de análise sensorial realizando o teste triangular simples com barras de chocolate. Oito julgadores testaram amostras de chocolate ao leite de dois fabricantes e de chocolate meio amargo de dois fabricantes e tiveram que identificar a amostra diferente. Os resultados mostraram que os julgadores identificaram diferença entre as amostras de chocolate ao leite, mas não entre as amostras de chocolate meio amargo.
O documento explica como calcular o perímetro e a área de diferentes figuras geométricas. O perímetro de qualquer polígono é a soma das medidas de seus lados. A área de um retângulo é dada por comprimento x largura. A área de um quadrado é o lado ao quadrado, já que um quadrado é um retângulo especial onde comprimento e largura são iguais. Para calcular a área e perímetro de figuras complexas, elas devem ser decompostas em figuras básicas.
Papel ecológico da neblina e a absorção foliar de água em três espécies lenho...Aline Lima
Dissertação de mestrado da bióloga Aline Lopes e Lima em Ecologia Funcional de Plantas - Instituto de Biologia - Unicamp, orientação do Prof. Rafael Silva Oliveira.
Este documento fornece instruções sobre como realizar medições topográficas de campo usando diferentes equipamentos e técnicas. Ele inclui exemplos e exercícios práticos sobre croqui, medições lineares, nivelamento, curvas de nível, taquedometria e poligonal. O documento também fornece roteiros detalhados para os levantamentos topográficos de nivelamento, taquedometria e poligonal.
1) A apostila apresenta conceitos e exercícios práticos de topografia, incluindo croqui, medições, nivelamento, curvas de nível, taqueometria e poligonal.
2) São descritos exercícios para medição de comprimentos com trena e balizas, leitura de mira, uso do teodolito e nivel, e determinação de curvas de nível.
3) Inclui também explicações sobre o levantamento topográfico, roteiros, fórmulas e planilhas para registro de dados.
[1] O documento apresenta exercícios e explicações sobre o número pi (π) e seu uso no cálculo do perímetro e área do círculo. [2] Aborda métodos históricos para calcular π, distribuição dos algarismos de π, relação entre π e medidas de pneus e hodômetro de carros. [3] Explica como aproximar a área do círculo usando polígonos inscritos e circunscritos e como a precisão aumenta com polígonos de mais lados.
Arquimedes foi um importante matemático grego que viveu no século III a.C. e fez contribuições fundamentais para a física, engenharia e matemática, incluindo o desenvolvimento do método da exaustão e descobertas sobre áreas e volumes, cálculo aproximado de π, e espiral e sistema de numeração que levam seu nome.
O documento explica como calcular a área de retângulos e figuras compostas por retângulos. Apresenta exemplos de cálculo de área e conversão entre unidades de medida de área como metro quadrado, are e hectare. Também fornece exercícios para cálculo e conversão de áreas.
O documento descreve um estudo de análise sensorial realizando o teste triangular simples com barras de chocolate. Oito julgadores testaram amostras de chocolate ao leite de dois fabricantes e de chocolate meio amargo de dois fabricantes e tiveram que identificar a amostra diferente. Os resultados mostraram que os julgadores identificaram diferença entre as amostras de chocolate ao leite, mas não entre as amostras de chocolate meio amargo.
O documento explica como calcular o perímetro e a área de diferentes figuras geométricas. O perímetro de qualquer polígono é a soma das medidas de seus lados. A área de um retângulo é dada por comprimento x largura. A área de um quadrado é o lado ao quadrado, já que um quadrado é um retângulo especial onde comprimento e largura são iguais. Para calcular a área e perímetro de figuras complexas, elas devem ser decompostas em figuras básicas.
Papel ecológico da neblina e a absorção foliar de água em três espécies lenho...Aline Lima
Dissertação de mestrado da bióloga Aline Lopes e Lima em Ecologia Funcional de Plantas - Instituto de Biologia - Unicamp, orientação do Prof. Rafael Silva Oliveira.
Este documento discute a validação de métodos analíticos em laboratórios clínicos. Apresenta conceitos como validação qualitativa e quantitativa, e descreve estudos como replicação, comparação de métodos e interferências para avaliar a precisão e exatidão de um novo método. É importante validar métodos para garantir a qualidade dos resultados e atender às necessidades dos clientes.
O documento discute a metodologia de ensino e apresenta diversas técnicas pedagógicas. Ele descreve que a metodologia deve considerar os objetivos educacionais, a estrutura do assunto, as características dos alunos e as limitações do professor. Além disso, discute três modalidades básicas de métodos de ensino - individualizado, socializado e sócio-individualizado - e várias técnicas associadas a cada modalidade.
O documento discute os métodos de ensino, definindo-os como as ações do professor e alunos para alcançar os objetivos pedagógicos. Descreve vários métodos como o expositivo, trabalho independente, estudo dirigido, conversação didática e trabalho em grupo. Recomenda que o professor busque explicar os conteúdos cientificamente e assegurar a relação entre objetivos, conteúdos e métodos.
O documento discute métodos e técnicas de ensino, definindo-os como sequências organizadas de ações para atingir objetivos educacionais. Ele explora o método de ensino individualizado, focado nas diferenças individuais de cada aluno, e o método de ensino socializado, que envolve trabalho em grupo para promover integração social e capacidade de trabalho em equipe. Além disso, apresenta princípios orientadores e objetivos dos métodos de ensino.
1) O documento discute diferentes métodos e técnicas de pesquisa científica, incluindo pesquisa bibliográfica, documental, experimental, de campo e estudos de caso.
2) É explicado que a pesquisa pode ser exploratória, descritiva ou explicativa.
3) Detalhes são fornecidos sobre pesquisas experimentais, quase-experimentais, ex-post-facto e levantamentos.
Métodos de Ensino - Texto de Libâneo (1994)Mario Amorim
Apresentação do Capítulo 5, sobre 'os Métodos de Ensino', do livro de Didática de José Carlos Libâneo, páginas 149-176.
Fonte: LIBÂNEO, J.C. Didática. São Paulo: Cortez, 1994.
- O documento apresenta os conceitos de perímetro e área de figuras planas como polígonos, quadrados, retângulos, triângulos e paralelogramos. Fornece exemplos e exercícios de fixação para o cálculo do perímetro e área destas figuras.
Este experimento apresenta a geometria do táxi e conceitos de combinatória como:
1) A menor distância entre dois pontos na geometria do táxi não é sempre um segmento de reta;
2) Os alunos aprenderão a contar os caminhos mínimos entre dois pontos e a relação com o triângulo de Pascal;
3) A soma dos caminhos para chegar às esquinas vizinhas de um ponto é igual ao total de caminhos para aquele ponto.
O documento introduz a prova de matemática da segunda fase do vestibular da UNICAMP, explicando que ela avalia a capacidade de leitura, raciocínio abstrato e conhecimentos matemáticos dos candidatos. Também fornece instruções gerais sobre como responder às questões e comenta exemplos acima e abaixo da média para ilustrar erros comuns.
O documento apresenta exemplos de cálculo de perímetro de diversas figuras geométricas, como retângulos, quadrados e polígonos regulares. Explica como calcular o perímetro somando os comprimentos de todos os lados da figura. Também mostra problemas em que é necessário calcular primeiro as medidas laterais para depois encontrar o perímetro total.
Erros em demonstrações ideias principais [com minha participação]Elton Ribeiro da Cruz
1) O documento discute erros comuns em demonstrações matemáticas, como provar apenas casos particulares ao invés da proposição geral ou usar resultados não provados.
2) Explica que uma demonstração deve usar apenas proposições verdadeiras e estruturar corretamente as conclusões.
3) Recomenda usar análise para encontrar a sequência de raciocínios correta e síntese para expor a demonstração.
O documento apresenta exemplos de cálculos de perímetros de figuras geométricas de diferentes formas e tamanhos. São mostrados passo a passo os cálculos para encontrar o perímetro somando as medidas dos lados. O objetivo é ensinar como calcular o perímetro.
2º Pró Formação escola leitura e escrita matemáticaweleslima
O documento discute conceitos de grandezas e medidas, incluindo perímetro. Aborda o que é perímetro e como calculá-lo, usando exemplos de figuras geométricas simples. Também apresenta atividades práticas para que os alunos possam praticar o cálculo do perímetro.
Este documento contém uma prova de matemática do 1o ciclo do ensino básico dividida em duas partes. A prova inclui questões sobre números, geometria e resolução de problemas matemáticos. As instruções indicam que as respostas devem ser dadas nos espaços reservados e apenas caneta preta deve ser usada.
Este documento contém uma prova de matemática do 1o ciclo do ensino básico dividida em duas partes. A prova inclui questões sobre números, geometria e resolução de problemas matemáticos. As instruções indicam que as respostas devem ser dadas nos espaços reservados e apenas caneta preta deve ser usada, exceto quando indicado o uso de lápis.
1) O documento discute como conceitos geométricos como retas paralelas, perpendiculares e circunferências são usados intuitivamente para resolver problemas da vida cotidiana e como esses conceitos foram formalizados pela matemática. 2) Exemplos históricos mostram como o Teorema de Pitágoras, relacionando os lados de um triângulo retângulo, já era usado por egípcios há milhares de anos para construir edifícios retos. 3) A geometria pode ser usada para modelar e explicar situações
Um documento contém vários exercícios matemáticos e suas respectivas resoluções. Os exercícios incluem: 1) construir um modelo de paralelepípedo dobrando um papel, 2) calcular o tempo para a próxima dose de três medicamentos tomados em intervalos diferentes, 3) calcular o volume de uma piscina olímpica com dimensões especificadas.
Questões Comentadas Raciocínio Lógico-Matemático do Concurso de Escrevente TJ-SPEstratégia Concursos
O documento resume a resolução de 10 questões de raciocínio lógico-matemático de uma prova para o Tribunal de Justiça de São Paulo. O professor Arthur Lima explica os passos para chegar à resposta correta de cada questão e fornece os resultados finais.
PP Slides Lição 11, Betel, Ordenança para exercer a fé, 2Tr24.pptxLuizHenriquedeAlmeid6
Slideshare Lição 11, Betel, Ordenança para exercer a fé, 2Tr24, Pr Henrique, EBD NA TV, 2° TRIMESTRE DE 2024, ADULTOS, EDITORA BETEL, TEMA, ORDENANÇAS BÍBLICAS, Doutrina Fundamentais Imperativas aos Cristãos para uma vida bem-sucedida e de Comunhão com DEUS, estudantes, professores, Ervália, MG, Imperatriz, MA, Cajamar, SP, estudos bíblicos, gospel, DEUS, ESPÍRITO SANTO, JESUS CRISTO, Comentários, Bispo Abner Ferreira, Com. Extra Pr. Luiz Henrique, 99-99152-0454, Canal YouTube, Henriquelhas, @PrHenrique
Este documento discute a validação de métodos analíticos em laboratórios clínicos. Apresenta conceitos como validação qualitativa e quantitativa, e descreve estudos como replicação, comparação de métodos e interferências para avaliar a precisão e exatidão de um novo método. É importante validar métodos para garantir a qualidade dos resultados e atender às necessidades dos clientes.
O documento discute a metodologia de ensino e apresenta diversas técnicas pedagógicas. Ele descreve que a metodologia deve considerar os objetivos educacionais, a estrutura do assunto, as características dos alunos e as limitações do professor. Além disso, discute três modalidades básicas de métodos de ensino - individualizado, socializado e sócio-individualizado - e várias técnicas associadas a cada modalidade.
O documento discute os métodos de ensino, definindo-os como as ações do professor e alunos para alcançar os objetivos pedagógicos. Descreve vários métodos como o expositivo, trabalho independente, estudo dirigido, conversação didática e trabalho em grupo. Recomenda que o professor busque explicar os conteúdos cientificamente e assegurar a relação entre objetivos, conteúdos e métodos.
O documento discute métodos e técnicas de ensino, definindo-os como sequências organizadas de ações para atingir objetivos educacionais. Ele explora o método de ensino individualizado, focado nas diferenças individuais de cada aluno, e o método de ensino socializado, que envolve trabalho em grupo para promover integração social e capacidade de trabalho em equipe. Além disso, apresenta princípios orientadores e objetivos dos métodos de ensino.
1) O documento discute diferentes métodos e técnicas de pesquisa científica, incluindo pesquisa bibliográfica, documental, experimental, de campo e estudos de caso.
2) É explicado que a pesquisa pode ser exploratória, descritiva ou explicativa.
3) Detalhes são fornecidos sobre pesquisas experimentais, quase-experimentais, ex-post-facto e levantamentos.
Métodos de Ensino - Texto de Libâneo (1994)Mario Amorim
Apresentação do Capítulo 5, sobre 'os Métodos de Ensino', do livro de Didática de José Carlos Libâneo, páginas 149-176.
Fonte: LIBÂNEO, J.C. Didática. São Paulo: Cortez, 1994.
- O documento apresenta os conceitos de perímetro e área de figuras planas como polígonos, quadrados, retângulos, triângulos e paralelogramos. Fornece exemplos e exercícios de fixação para o cálculo do perímetro e área destas figuras.
Este experimento apresenta a geometria do táxi e conceitos de combinatória como:
1) A menor distância entre dois pontos na geometria do táxi não é sempre um segmento de reta;
2) Os alunos aprenderão a contar os caminhos mínimos entre dois pontos e a relação com o triângulo de Pascal;
3) A soma dos caminhos para chegar às esquinas vizinhas de um ponto é igual ao total de caminhos para aquele ponto.
O documento introduz a prova de matemática da segunda fase do vestibular da UNICAMP, explicando que ela avalia a capacidade de leitura, raciocínio abstrato e conhecimentos matemáticos dos candidatos. Também fornece instruções gerais sobre como responder às questões e comenta exemplos acima e abaixo da média para ilustrar erros comuns.
O documento apresenta exemplos de cálculo de perímetro de diversas figuras geométricas, como retângulos, quadrados e polígonos regulares. Explica como calcular o perímetro somando os comprimentos de todos os lados da figura. Também mostra problemas em que é necessário calcular primeiro as medidas laterais para depois encontrar o perímetro total.
Erros em demonstrações ideias principais [com minha participação]Elton Ribeiro da Cruz
1) O documento discute erros comuns em demonstrações matemáticas, como provar apenas casos particulares ao invés da proposição geral ou usar resultados não provados.
2) Explica que uma demonstração deve usar apenas proposições verdadeiras e estruturar corretamente as conclusões.
3) Recomenda usar análise para encontrar a sequência de raciocínios correta e síntese para expor a demonstração.
O documento apresenta exemplos de cálculos de perímetros de figuras geométricas de diferentes formas e tamanhos. São mostrados passo a passo os cálculos para encontrar o perímetro somando as medidas dos lados. O objetivo é ensinar como calcular o perímetro.
2º Pró Formação escola leitura e escrita matemáticaweleslima
O documento discute conceitos de grandezas e medidas, incluindo perímetro. Aborda o que é perímetro e como calculá-lo, usando exemplos de figuras geométricas simples. Também apresenta atividades práticas para que os alunos possam praticar o cálculo do perímetro.
Este documento contém uma prova de matemática do 1o ciclo do ensino básico dividida em duas partes. A prova inclui questões sobre números, geometria e resolução de problemas matemáticos. As instruções indicam que as respostas devem ser dadas nos espaços reservados e apenas caneta preta deve ser usada.
Este documento contém uma prova de matemática do 1o ciclo do ensino básico dividida em duas partes. A prova inclui questões sobre números, geometria e resolução de problemas matemáticos. As instruções indicam que as respostas devem ser dadas nos espaços reservados e apenas caneta preta deve ser usada, exceto quando indicado o uso de lápis.
1) O documento discute como conceitos geométricos como retas paralelas, perpendiculares e circunferências são usados intuitivamente para resolver problemas da vida cotidiana e como esses conceitos foram formalizados pela matemática. 2) Exemplos históricos mostram como o Teorema de Pitágoras, relacionando os lados de um triângulo retângulo, já era usado por egípcios há milhares de anos para construir edifícios retos. 3) A geometria pode ser usada para modelar e explicar situações
Um documento contém vários exercícios matemáticos e suas respectivas resoluções. Os exercícios incluem: 1) construir um modelo de paralelepípedo dobrando um papel, 2) calcular o tempo para a próxima dose de três medicamentos tomados em intervalos diferentes, 3) calcular o volume de uma piscina olímpica com dimensões especificadas.
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O documento resume a resolução de 10 questões de raciocínio lógico-matemático de uma prova para o Tribunal de Justiça de São Paulo. O professor Arthur Lima explica os passos para chegar à resposta correta de cada questão e fornece os resultados finais.
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Atividade letra da música - Espalhe Amor, Anavitória.Mary Alvarenga
A música 'Espalhe Amor', interpretada pela cantora Anavitória é uma celebração do amor e de sua capacidade de transformar e conectar as pessoas. A letra sugere uma reflexão sobre como o amor, quando verdadeiramente compartilhado, pode ultrapassar barreiras alcançando outros corações e provocando mudanças positivas.
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Slides Lição 11, CPAD, A Realidade Bíblica do Inferno, 2Tr24.pptx
Como economizar cadarco
1. Experimento
Ministério da
Ciência e Tecnologia
Ministério
da Educação
Secretaria de
Educação a Distância
Como economizar cadarço
Objetivos da unidade
Permitir ao aluno criar e testar hipóteses;1.
Descrever situações e resolver problemas utilizando conceitos2.
de Geometria Plana.
O experimento
licença Esta obra está licenciada sob uma licença Creative Commons
geometrias
e medidas
2. O experimento
Sinopse
Qual método de colocar cadarços nos sapatos utiliza um cadarço menor?
Neste experimento, seus alunos poderão encontrar a resposta dessa
questão experimentalmente, bem como observar sua demonstração
geométrica.
Conteúdo
Geometria Plana, Problemas de otimização.
Objetivos
Permitir ao aluno criar e testar hipóteses;1.
Descrever situações e resolver problemas utilizando conceitos de2.
Geometria Plana.
Duração
Uma aula dupla.
Como
economizar
cadarço
3. Como economizar cadarço O Experimento 2 / 10
Introdução
Existem várias maneiras de amarrar os
sapatos e esses métodos diferem princi
palmente no apelo estético e no tempo
necessário para executá-los.
Dado um certo cadarço, suponhamos
que um usuário queira fazer o maior laço
que puder. Para conseguir fazer esse grande
laço, ele teria que usar a menor quantidade
possível de cadarço no ziguezague do
sapato, ou seja, teria que descobrir qual
método requer um cadarço mais curto.
Neste experimento, vamos tentar descobrir
que método é esse.
Inicialmente, seus alunos simularão
um sapato usando materiais bem simples
e medirão o comprimento necessário de
cadarço no ziguezague do sapato para três
maneiras habituais de amarração: o método
americano, o método europeu reto e o
método rápido das sapatarias. A partir daí,
eles poderão dizer qual é o método que
precisa de menos cadarço dentre os três
testados.
Após isso, eles tentarão criar um método
que utilize ainda menos cadarço e, por fim,
será apresentada a demonstração geométrica
do motivo por que o primeiro método utili
zado (método americano) é o melhor em usar
menos cadarço.
4. Como economizar cadarço O Experimento 3 / 10
O Experimento
Material necessário
Placa de Papelão de (20 cm × 7 cm);„„
Tesoura;„„
Furador;„„
Cadarço („„ ou barbante);
Barbante„„
Fita métrica;„„
Régua.„„
Comentários iniciais
Para a realização deste experimento,
é necessário saber exatamente como
se faz cada um dos métodos citados na
Introdução. Por isso, apresentamos a seguir
uma ilustração de cada um:
fig. 1
Método americano Método europeu reto Método rápido
das sapatarias
fig. 2
5. Como economizar cadarço O Experimento 4 / 10
Fazer um buraco no meio do sapato, como„
mostra a figura 4;
A placa com furos representará o local para„
o ziguezague do cadarço.
Passar o cadarço sem deixálo frouxo
segundo o método americano e medir
o comprimento utilizado apenas no
ziguezague. Uma maneira de fazer isso é
medir o comprimento total do cadarço e
subtrair o que sobrou fora do ziguezague;
Preparação
Divida a classe em duplas e forneça a cada
uma o material necessário.
Comparação dos compri-
mentos dos cadarços
Para esta etapa, os alunos deverão seguir
os passos abaixo:
Em um dos lados da placa de papelão, fazer„
oito furos equidistantes entre si e à mesma
distância da borda. Fazer o mesmo no outro
lado, de modo que cada furo fique exata
mente de frente com o correspondente;
etapa
1
As distâncias entre os!
furos do mesmo lado e
entre os furos de lados
opostos podem ser dife-
rentes para cada grupo.
Na verdade, é até melhor
que isso aconteça para
que haja mais variação
dos dados obtidos.
Peça para seus alunos
tomarem cuidado para
não deformar o papelão.
fig. 3
fig. 4
fig. 5
6. Como economizar cadarço O Experimento 5 / 10
Existe um método que usa
menos cadarço?
Peça para seus alunos utilizarem o molde
do sapato construído na etapa anterior para
tentar encontrar um método que utilize
menos cadarço do que o método americano.
Lembreos apenas das seguintes regras (que
foram utilizadas para todos os métodos
anteriores):
Todos os furos devem ser utilizados;„
O cadarço deve ser passado de maneira„
alternada entre a direita e a esquerda.
Vocês conseguiram encontrar algum método
melhor? Se sim, explique o método para a
classe, mostrando como a medida do cadarço
utilizado no método criado é menor do que
o utilizado no método americano.
Fazer o mesmo para os métodos europeu„
e da sapataria.
Qual método utilizou um comprimento menor
de cadarço no ziguezague e qual utilizou
um comprimento maior?
fig. 6
fig. 7
fig. 8 Ilustração do que não é permitido.Questão para os alunos
Questão para os alunos
Provavelmente, todos
obterão a resposta de
que o método americano
utilizou o menor compri-
mento de cadarço. Essa é
a resposta correta e
a demonstração está
no FECHAMENTO.
etapa
2
7. Como economizar cadarço O Experimento 6 / 10
também é o que menos usa cadarço dentre
todos os possíveis.
Uma representação geométrica dos métodos
Para demonstrar que o método americano é
melhor do que o europeu e que este é melhor
do que o da sapataria, temos que construir
uma figura que necessita de uma breve
explicação.
A figura 9 ilustra as representações
geométricas dos três métodos de passar
o cadarço nos sapatos. Ela é formada por 2n n n−1
linhas horizontais (2n n n−1é o número de pares
de furos, que no caso do nosso experimento
foram oito) com2n n n−1orifícios separados uns
dos outros por uma certa distância (que
representa a distância entre os furos de
Se alguém tiver encontrado esse método,
ele deve ter cometido algum engano, pois,
como demonstrado no Guia do Professor,
o americano é sempre o que menos usa
cadarço. Verifique se não houve violação de
regra ou deformação no sapato.
Fechamento
Provavelmente, no final do experimento,
os alunos já estarão um pouco convencidos
de que o método americano é o que menos
usa cadarço. Porém, ainda não poderão
afirmar com toda certeza, já que não viram
ainda uma demonstração formal disso. Por
isso, o professor deve aproveitar o momento
para fazer a demonstração desse fato.
A demonstração, ao contrário das provas
tradicionais, não necessita de manipu
lação algébrica e será feita logo abaixo.
Primeiramente, faremos a demonstração
de que o método americano utiliza menos
cadarço do que o europeu e depois de que
o europeu usa menos cadarço do que o da
sapataria. Sendo assim, chegaremos à con
clusão de que o americano é o que menos
usa cadarço dentre os três.
Depois, no Guia do Professor, usando
uma propriedade de reflexão, mostraremos
que o método americano não só é que menos
usa cadarço dentre os três citados, mas
lado esquerdo
americano
europeu
sapataria
lado direito
lado esquerdo
lado direito
lado esquerdo
lado direito
lado esquerdo
lado direito
lado esquerdo
lado direito
lado esquerdo
lado direito
lado esquerdo
lado direito
lado esquerdo
lado direito
fig. 9
8. Como economizar cadarço O Experimento 7 / 10
O método americano e o método europeu
Usando o diagrama, podemos comparar os
métodos americano e europeu. É possível
ver que em alguns pontos os métodos
coincidem, mas em outros não. Analisando
o pequeno trecho pintado na figura 10,
podemos ver que o traçado do método
americano é um dos lados de um triângulo
e o traçado do método europeu são os
outros dois. Podemos, então, concluir que
o traçado do padrão americano é menor do
que o do europeu neste trecho. Também
podemos perceber que o método europeu
sempre está ou coincidente com o americano
ou em trechos semelhantes ao analisado, de
onde finalmente concluímos que o método
europeu sempre usa mais cadarço do que
o americano.
um mesmo lado do sapato). As linhas
horizontais sucessivas estão separadas
verticalmente por uma distância igual à
distância entre o par de furos.
A primeira linha do diagrama representa
os orifícios de um dos lados do sapato
(chamemos de lado esquerdo, pois é o lado
esquerdo do ponto de vista do usuário do
sapato). A segunda linha representa os
orifícios do outro lado (lado direito). Por fim,
as fileiras representam alternadamente os
orifícios de um lado e de outro.
Os traçados poligonais do diagrama foram
feitos da seguinte maneira: imagine que
estamos começando a passar o cadarço no
sapato. Iniciamos no primeiro orifício do
lado esquerdo, depois passamos para um
orifício do lado direito, e, portanto, para a
linha debaixo do diagrama. Então, pelas
regras de passar o cadarço, temos que
passar para o lado esquerdo novamente,
mas, ao invés de fazer o traçado para a linha
de cima (que representa o lado esquerdo),
traçamos para a linha de baixo (que também
representa o lado esquerdo). Observemos
que o traçado que fizemos tem o mesmo
comprimento do que se o tivéssemos feito
para cima. Portanto, o desenho que fizemos
mantém o comprimento do cadarço para
qualquer um dos métodos. Fazemos isso em
todas as passadas, sempre fazendo o traçado
para a linha de baixo e não para a de cima.
americano
europeu
lado esquerdo
lado direito
lado esquerdo
lado direito
lado esquerdo
lado direito
lado esquerdo
lado direito
lado esquerdo
lado direito
lado esquerdo
lado direito
lado esquerdo
lado direito
lado esquerdo
lado direito
fig. 10
Lembre-se que a soma!!
dos comprimentos de
dois lados de um triângulo
sempre excede o compri
mento do terceiro lado,
a menos que os três lados
estejam alinhados.
Observe que o que fizemos!!
funciona para quaisquer
quantidade2n n n−1de pares
de furos, distância entre
orifícios e distância
entre linhas. Portanto, é
uma demonstração para
um caso geral.
9. Como economizar cadarço O Experimento 8 / 10
Se os segmentos de cima de cada
um dos métodos da figura 12 forem proje
tados, segundo suas reflexões em eixos
verticais situados nas pontas dos trajetos,
obtemos a figura 13. Por ela, fica fácil veri
ficar que o trajeto da sapataria é mais longo,
já que a menor distância entre dois pontos é
um segmento de reta.
O método europeu e o método das sapatarias
Acabamos de mostrar que o método
americano utiliza menos cadarço do que
o método europeu. Porém, não é tão fácil
ver que este último utiliza menos do que o
da sapataria. Para demonstrar isso, o mais
simples é eliminar todos os segmentos
verticais dos dois trajetos, já que eles contri-
buem com o mesmo comprimento nos dois
métodos (ambos têm2n n n−1segmentos
verticais). Devemos eliminar também dois
segmentos inclinados que são idênticos em
comprimento nos dois métodos. O resultado
dessa eliminação está ilustrado na figura 12
a seguir.
lado esquerdo
europeu
sapataria
lado esquerdo
lado esquerdo
lado esquerdo
lado esquerdo
lado esquerdo
lado esquerdo
lado esquerdo
lado direito
lado direito
lado direito
lado direito
lado direito
lado direito
lado direito
lado direito
europeu
sapataria
fig. 11
fig. 12
10. Como economizar cadarço O Experimento 9 / 10
O método americano é o que menos usa
cadarço
A demonstração de que o método americano
é o que menos usa cadarço utiliza uma
propriedade de reflexão e pode ser encon
trada no Guia do Professor. Dê uma olhada!
europeu
sapataria
fig. 13
11. Ficha técnica
Ministério da
Ciência e Tecnologia
Ministério
da Educação
Secretaria de
Educação a Distância
Matemática Multimídia
Coordenador Geral
Samuel Rocha de Oliveira
Coordenador de Experimentos
Leonardo Barichello
Instituto de Matemática,
Estatística e Computação
Científica (imecc – unicamp)
Diretor
Jayme Vaz Jr.
Vice-Diretor
Edmundo Capelas de Oliveira
Universidade Estadual
de Campinas
Reitor
Fernando Ferreira Costa
Vice-Reitor
Edgar Salvadori de Decca
Pró-Reitor de Pós-Graduação
Euclides de Mesquita Neto
licença Esta obra está licenciada sob uma licença Creative Commons
Autor
Samuel Rocha de Oliveira
Coordenação de redação
Rita Santos Guimarães
Redação
Felipe Mascagna B. Lima
Revisores
Matemática
Antonio Carlos do Patrocinio
Língua Portuguesa
Carolina Bonturi
Pedagogia
Ângela Soligo
Projeto gráfico
Preface Design
Ilustrador
Lucas Ogasawara de Oliveira
Fotógrafo
Augusto Fidalgo Yamamoto