Cap2 retificadores a diodo

CAPÍTULO 2
RETIFICADORES A DIODO
2.1 - RETIFICADOR MONOFÁSICO DE MEIA ONDA A DIODO
a) Carga Resistiva Pura
A estrutura do retificador monofásico de meia onda alimentando uma carga resistiva está
representada na figura 2.1.
D
vD+ -
+
-
vLRi Lv(t)
Fig. 2.1 - Retificador monofásico de meia onda com carga resistiva.
O diodo bloqueia o semiciclo negativo da tensão alternada de alimentação v(t). Desse
modo, somente os semiciclos positivos são aplicados à resistência de carga R.
As formas de onda relativas à estrutura em questão estão representadas na figura 2.2.

Cap. 2 - Retificadores a Diodo
Eletrônica de Potência
29
 
v
t
iL
V
R
o2
t
 
vD
t
  
Vo 2
Vo2
t
Vo2
vL
Fig. 2.2 - Formas de onda relativas à figura 2.1.
A tensão de alimentação é representada pela expressão (2.1).
v t V sen to( ) ( )  2 (2.1)
A tensão média na carga é calculada pela expressão (2.2).
V V sen t d tLmed o 
1
2
2
0

 

( ) ( ) (2.2)
Assim,
 V
V
t
V
Lmed
o o
  
2
2
2
0



cos( ) ou
V VLmed o 0 45, (2.3)
A corrente média na carga é obtida pela expressão (2.4).
I
V
R
sen t d tLmed
o
 
1
2
2
0

 

( ) ( ) (2.4)
I
R
V sen t d tLmed o








1 1
2
2
0

 

( ) ( ) (2.5)
Assim: I
V
RLmed
Lmed
 (2.6)

30
Ou ainda: I
V
RLmed
o

0 45,
(2.7)
A corrente de pico no diodo, igual à corrente de pico na carga, é dada pela expressão
(2.8).
I
V
RDp
o

2
(2.8)
A tensão de pico inversa no diodo é dada pela expressão (2.9).
V VDp o 2 (2.9)
Para o dimensionamento correto do diodo, é importante conhecer a sua corrente eficaz,
obtida a seguir.
I
V
R
sen t d tLef
o






1
2
2
2
2
0

 

( ) ( ) (2.10)
I
V
R
sen t d tLef
o 
2
2
2
2
2
0

 

( ) ( ) (2.11)
Tomando-se: sen t d t
t sen t2
0 02
2
4 2
( ) ( )
( )
 
  
 
  



  (2.12)
Obtém-se: I
V
R
V
RLef
o o
 
2
0 707, (2.13)
b) Carga RL
A estrutura do retificador monofásico de meia onda alimentando uma carga RL está
D
vD+ -
L
+
+
-
v
v
l
+
L
vR
i L
R
v(t)
-
+
-
Fig. 2.3 - Retificador monofásico de meia onda alimentando carga RL.
As formas de onda relativas à carga RL estão representadas na figura 2.4.

31
Devido a presença da indutância, o diodo não se bloqueia quando t = . O bloqueio
ocorre no ângulo , que é superior a . Enquanto a corrente de carga não se anula, o diodo se
mantém em condução e a tensão de carga, para ângulos superiores a , torna-se instantaneamente
negativa.
A corrente de carga é obtida pela solução da equação diferencial (2.14)
2 0
V sen R iL( t) = L
d i ( t)
dt
( t)L


 (2.14)
  
 
v
t
iL
t
vD
t
vL
  
Fig. 2.4 - Formas de onda relativas à figura 2.3.
A solução da equação diferencial (2.14) é representada pela expressão (2.15).
i
V
R X
sen I eL
o t
( t) t   


  2
0
2 2 1( ) ( ) (2.15)
Onde:      arc tg
L
R
X
R
X = L

32
A corrente da carga é composta de duas componentes distintas, representadas pelas
expressões (2.16) e (2.17).
i
V
R X
seno
1 2 2
2
( ( )  t) t

 (2.16)
i t I e t
2 1 0( ) ( ) /
 
  
(2.17)
As duas componentes estão representadas graficamente na figura 2.5. Para t = 0, tem-
se iL(t) = 0. Assim:
 I
V
R X
seno
1 2 2
0
2


( ) (2.18)
Portanto,  i
V
R X
sen sen eL
o t
( ( ) ( ) /
    
t) t

   2
2 2
(2.19)
I (0)1
i2
i1
  
iL
-I (0)1
t
Fig. 2.5 - Corrente de carga relativa à figura 2.3.
A componente i2(t) representa a parcela transitória da corrente; a componente i1(t)
representa a resposta em regime permanente da carga RL submetida à tensão alternada da rede.
Para que se possa estabelecer o valor médio da tensão na carga, é necessário que se
conheça o ângulo . De acordo com a figura 2.4, i(t) = 0 quando t = . Levando-se estes
valores na expressão 2.19 obtém-se a expressão (2.20).
sen sen e( ) ( ) /
    
  
0 (2.20)
Como  

 
L
R
tg , pode-se escrever:
sen sen e tg
( ) ( ) /
    
  
0 (2.21)

33
Esta função implícita, ao ser resolvida numericamente, dá como resultado a curva
mostrada na figura 2.6.


o
o
180 200 220 240 260 280 300 320 340 360 380
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
Fig. 2.6 - Ângulo de condução  em função do ângulo , para a figura 2.3.
Uma vez conhecido o ângulo de condução , pode-se determinar o valor médio da
tensão de carga.
O procedimento está descrito a seguir.
1
2
2
0

 

( ) ( ) (2.22)
 V
V
tLmed
o
 
2
2 0


cos( )
Assim, V
V
Lmed
o
 
2
2
1

( cos ) (2.23)
Ou:
V VLmed o 0 225 1, ( cos ) (2.24)
De acordo com a expressão (2.24), a presença da indutância causa uma redução na
tensão média na carga.
A seguir é descrito o procedimento destinado a estabelecer o valor médio da tensão no
indutor. Na figura 2.7 estão representadas a tensão de carga, a corrente de carga, a tensão no
resistor vR(t) e a tensão no indutor vl(t).

34

t
 
vR
Im
m
Sl
v
i

vl
S2
Fig. 2.7 - Formas de onda para o circuito da figura 2.3.
De acordo com a expressão (2.14), quando i(t) alcança o seu valor máximo, tem-se
di( t
dt
 )
 0. Por isto, nesse instante, quando t = m, tem-se vl(t) = 0 e vR(t) = v(t). A tensão
média no indutor é calculada do seguinte modo:
V
T
t dt tlmed l
t
t
tm
m
 









 
1
0
v v dtl( ) ( )

(2.25)
V t dt Ldil( )  (2.26)
Assim:
 V
T T
LI LIlmed
I
I
m m
m
m
 










  
1 1
0
0
Ldi Ldi (2.27)
Assim:
Vlmed  0 (2.28)
Conclui-se portanto que o valor médio da tensão na indutância é nulo. Este fato indica
também que S1 = S2. Mas S1 ou S2 representam o fluxo produzido no indutor. Desse modo, o
valor médio nulo da tensão indica que o indutor é desmagnetizado a cada ciclo de funcionamento
da estrutura.
A seguir, é descrito o procedimento que estabelece o valor da tensão média na
resistência de carga R.
V V VLmed lmed Rmed  (2.29)
Como Vlmed  0 obtém-se:
V VLmed Rmed (2.30)
Portanto,
V V VLmed Rmed o  0 225 1, ( cos ) (2.31)
Por isto a corrente média na carga e no diodo é obtida pela expressão (2.32).

35
I
V
RLmed
o
 
0 225
1
,
( cos ) (2.32)
A corrente média na carga pode também ser obtida do seguinte modo:
 I
V
Z
sen sen e d tLmed
o t
   

1
2
2
0

   

( t () ) ( )/
(2.33)
De modo análogo, pode-se estabelecer o valor eficaz da corrente de carga:
 I
V
Z
sen sen e d tLef
o t
  








1
2
2
2
0

   

( ) ) ( )/
t ( (2.34)
Seja: I
ZI
V
md
Lmed
o

2
(2.35)
E, I
ZI
V
ef
Lef
o

2
(2.36)
Sendo: Z R X 2 2
(2.37)
Assim:  I sen sen e d tmd
t
   

1
2
0

   

( t () ) ( )/
 I sen sen e def
t
   

1
2
2
0

   

( t ( t)) ) (/
(2.38)
Desse modo, Imd e Ief podem ser obtidos numericamente em função de . Tais funções
estão representadas na figura 2.8.
ef
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
1,2
1,4
I
mdI
o
Fig. 2.8 - Valores médio e eficaz da corrente de carga para a figura 2.3.

36
c) Carga RL com Diodo de "Roda-Livre"
Para evitar que a tensão de carga torne-se instantaneamente negativa devido à presença
da indutância, emprega-se o diodo de "roda-livre". A estrutura adquire assim a forma apresentada
na figura 2.9.
1D
DRL
L
R
v(t)
Fig. 2.9 - Retificador de Meia Onda com Diodo de "Roda-Livre".
O circuito apresentado na figura 2.9 apresenta duas etapas de funcionamento,
representadas nas figuras 2.10.a e 2.10.b.
1D
v
+
DRL
- (a)
L
+
+
-
v
v
l
+
L
vRR
-
+
-
Li
1D
v
-
DRL
+ (b)
L
vL
R
+
-
Li
Fig. 2.10 - Etapas de funcionamento do retificador com diodo de "roda-livre".
A primeira etapa ocorre durante o semiciclo positivo da tensão v(t) de alimentação. O
diodo D1 conduz a corrente de carga e o diodo DRL, polarizado reversamente, encontra-se
bloqueado.
A segunda etapa ocorre durante o semiciclo negativo da tensão v(t). O diodo D1,
polarizado reversamente, se bloqueia. A corrente de carga, por ação da indutância, circula no
diodo de "roda-livre" DRL.
As formas de onda relativas ao retificador de meia onda com diodo de "roda-livre" estão
representadas na figura 2.11.

37
 
v
t
iL
t
 
Vo2
t
Vo2
vL
Fig. 2.11 - Formas de onda para a estrutura da figura 2.9.
Se a corrente de carga se anula em cada ciclo de funcionamento da estrutura, a condução
é dita descontínua; caso contrário ela é dita contínua. O fato da condução tornar-se contínua ou
não, é conseqüência da constante de tempo da carga. Para constantes de tempo elevadas a
condução pode ser contínua. A condução contínua pode apresentar interesse prático, pois implica
numa redução das harmônicas da corrente de carga.
Para se fazer a análise matemática da corrente de carga, supõe-se a estrutura
funcionando em regime permanente e condução contínua. Tal situação está representada na figura
2.12.
Uma maneira simples de se obter a corrente de carga consiste no emprego da Série de
Fourier.
Decompondo-se vL(t) obtém-se:
v t
V V
sen t
V t t t
L
o o o
( ) ( )
cos( ) cos( ) cos( )




  
  












2 2
2
2 2 2
1 3
4
3 5
6
5 7
 (2.39)

38
 
iL
t
 
t
Vo2
vL
Fig. 2.12 - Tensão e corrente de carga para condução contínua.
Assim, a tensão e a corrente média de carga serão:
V VLmed o 0 45, (2.40)
I
V
RLmed
o

0 45,
(2.41)
A expressão da corrente de carga será:
i( t I i t i t i t i t i tLmed n     ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )       1 2 4 6   (2.42)
Onde:
i t
V
Z
sen to
1
1
1
2
2
( ) ( )  

 (2.43)
i t
V
Z
to
2
2
2
2 2
1 3
2( ) cos( )

 

  
 (2.44)
i t
V
Z
to
4
4
4
2 2
3 5
4( ) cos( )

 

  
 (2.45)
i t
V
Z
to
6
6
6
2 2
5 7
6( ) cos( )

 

  
 (2.46)
i t
V
n n Z
n tn
o
n
n( )
( ) ( )
cos( )

 

    

2 2
1 1
(2.47)
Onde: n  1

39
Z R n Ln  2 2 2 2
 (2.48)


n tg
n L
R
 1
(2.49)
O valor eficaz da corrente de carga é dado pela expressão (2.50).
I I I I I I ILef Lmed L L L L Ln       2
1
2
2
2
4
2
6
2 2  (2.50)
Onde:
I
V
ZL
o
1
12
 (2.51)
I
V
ZL
o
2
2
2
3


(2.52)
I
V
ZL
o
4
4
2
15


(2.53)
I
V
n n ZLn
o
n

 
2
1 1( )( )
, n  1 (2.54)
Os valores médios das correntes nos diodos podem ser considerados iguais à metade do
valor calculado para a carga, quando a constante de tempo for elevada.
d) Uso do Transformador
Em muitas aplicações, o retificador é alimentado a partir de um transformador, que
apresenta as seguintes propriedades:
- permite a adaptação da tensão da fonte à tensão da carga;
- permite o isolamento galvânico entre a rede e a carga.
A estrutura do retificador monofásico de meia onda com diodo de “roda-livre”
alimentado por transformador está representada na figura 2.13.
1N 1D2N R
L
DRL
2i iDRL
1i i L
v(t)
+
-
2v
Fig. 2.13 - Retificador monofásico de meia onda alimentado por transformador.
Para simplificar a análise do funcionamento da estrutura, a corrente de carga i(t) será
considerada isenta de harmônicas, hipótese que só é rigorosamente verdadeira quando a

40
indutância de carga for infinita. O transformador será considerado de ganho unitário, sem perda
de generalidade.
As correntes envolvidas estão representadas na figura 2.14. A corrente magnetizante do
transformador será considerada nula.
i2
RLiD
I2CC
i2CA
i1
    
iL
Io
Io
Io
Io
2
Io
2
Io
2
t
t
t
t
t
t
Fig. 2.14 - Formas da onda para a estrutura da figura 2.13.
Decompondo-se a corrente secundária i2(t) em Série de Fourier obtém-se:
i t
I I
t
I
t
I
to o o o
2
2
2 2
3
3
2
5
5( ) cos( ) cos( ) cos( )





      (2.55)
Seja I
I
CC
o
2
2
 (2.56)
i t
I
t
I
t
I
tCA
o o o
2
2 2
3
3
2
5
5( ) cos( ) cos( ) cos( )





     (2.57)
Assim:
i t I i tCC CA2 2 2( ) ( )   (2.58)

41
A componente secundária contínua I2CC não apresenta reflexos no primário do
transformador. Desse modo, a corrente primária será igual à corrente secundária alternada, visto
que:
N i t N i tCA1 1 2 2( ) ( ) 
e que N N1 2
A componente contínua secundária tende a saturar o transformador. Por isto esta
estrutura é reservada para pequenas potências.
Para uma potência de carga definida, é importante que se possa determinar a potência
nominal aparente do transformador de alimentação.
A potência de carga é dada pela expressão (2.59).
P V IL Lmed o (2.59)
mas, V VLmed  0 45 2, (2.60)
A potência primária aparente do transformador é dada pela expressão (2.61).
S V I ef1 1 1 (2.61)
Calculando-se o valor eficaz da corrente do primário, obtém-se:
I
I
ef
o
1
2
 (2.62)
Assim: S
V Io
1
1
2
 (2.63)
Mas: V V
VLmed
1 2
0 45
 
,
(2.64)
Assim: S V ILmed o1 111 , (2.65)
Ou: S PL1 111 , (2.66)
O valor eficaz da corrente secundária é dado por:
I
I
ef
o
2
2
 (2.67)
Portanto a potência aparente nominal do secundário será dada pela expressão (2.68).
S PL2 157 , (2.68)
De acordo com a expressão (2.68) o transformador é mal aproveitado nesta estrutura,
sendo esta mais uma razão para que ela seja utilizada para pequenas potências.
O maior interesse desta estrutura reside na sua simplicidade e no seu baixo custo.
2.2 - RETIFICADOR MONOFÁSICO DE ONDA COMPLETA COM PONTO MÉDIO

42
a) Carga Resistiva Pura
A estrutura do retificador monofásico de onda completa a diodo com ponto médio está
representada na figura 2.15, para carga resistiva pura.
1D
D2
2v
2v
R
v(t)
+
-
+
-
Li
Fig. 2.15 - Retificador monofásico de onda completa a diodo com ponto médio.
A estrutura apresenta duas etapas de funcionamento, mostradas na figura 2.16.
1D
+
R
D2
2v
2v
-
+
-
v
+
-
1D
2v
v
+
-
-
v
-
+
D2
2
+
R
Li
Li
Fig. 2.16 - Etapas de funcionamento para a estrutura da figura 2.15.
Durante o semiciclo positivo da rede, o diodo D1 conduz e D2 se mantém bloqueado.
Durante o semiciclo negativo, D1 se bloqueia e D2 conduz a corrente de carga.
As formas de onda correspondentes estão representadas na figura 2.17.

43
t
 
t
t
t
t
iL
V
R
22
vD2
V2-2 2
2V2
vL
V2-2 2
vD1
 
2V2
v2
Fig. 2.17 - Formas de onda para a figura 2.15.
O valor médio da tensão de carga é calculado pela expressão (2.69).
V V sen t d tLmed  
1
2 2
0

 

( ) ( ) (2.69)
Integrando-se ,obtém-se:
V VLmed  0 9 2, (2.70)
Sendo V2 o valor eficaz da tensão de um dos enrolamentos secundários. A corrente
média na carga é dada pela expressão (2.71).
I
V
RLmed 
0 9 2,
(2.71)
A corrente de pico na carga e nos diodos é dada pela expressão (2.72).
I
V
Rp 
2 2
(2.72)

44
O valor da tensão de pico inversa dos diodos é dado pela expressão (2.73).
V VDp  2 2 2 (2.73)
O fato da tensão de pico inversa dos diodos ser igual ao dobro da tensão de pico de um
dos enrolamentos secundários é uma das desvantagens da presente estrutura.
O valor médio da corrente em um diodo é igual à metade do valor médio da corrente de
carga. Assim:
I
V
RDmed 
0 9
2
2,
(2.74)
I
V
RLef  2
(2.75)
O valor eficaz da corrente em um diodo é dado pela expressão (2.76).
I
V
R
Def  2
2
(2.76)
b) Carga RL
A estrutura alimentando uma carga RL está representada na figura 2.18.
L
+
-
+
-
1D
D2
2v
2v
R
v(t)
Li
Fig. 2.18 - Retificador de onda completa alimentando carga indutiva.
As etapas de funcionamento são as mesmas já descritas para carga resistiva. A tensão e a
corrente de carga estão representadas na figura 2.19.
Para a obtenção da corrente de carga é recomendável o emprego da Série de Fourier.
Decompondo-se a tensão obtém-se a expressão (2.77).
v t V t tL( ) cos( ) cos( )
 


   



2
2 4
3
2
4
15
42  (2.77)

45

i
vL
L
t
Fig. 2.19 - Tensão e corrente de carga para a figura 2.18.
A corrente de carga será então dada pela expressão (2.78).
i t V
R Z
t
Z
tL( ) cos( ) cos( )
 
 

      





2
2 4
3
2
4
15
42
2
2
4
4  (2.78)
Onde: Z R n Ln  2 2 2 2
 (2.79)


n tg
n L
R
 1
(2.80)
Quando a constante de tempo da carga for elevada, pode-se ignorar as harmônicas de
ordem superior à fundamental no cálculo da corrente.
Segundo a expressão (2.77), a componente contínua da corrente é dada pela expressão
(2.81).
I
V
R
V
RLmed  
2 2 0 92 2

,
(2.81)
A componente de primeira ordem, com freqüência dupla da freqüência da tensão de
alimentação é dada pela expressão (2.82).
i t
V
Z
tL2
2
2
2
4 2
3
2( ) cos( )

   (2.82)
I
V
R
V
Z
Lef  








8 16
9
2
2
2 2
2
2
2
2
2 
(2.83)
O valor médio da corrente num diodo é igual à metade do valor médio da corrente de
carga e é representado pela expressão (2.84).

46
I
V
RDmed 
0 45 2,
(2.84)
Para o cálculo do valor eficaz da corrente em cada diodo a corrente de carga será
considerada isenta de harmônicas. A sua forma encontra-se representada na figura 2.20.
iD
ILmed
 
t
Fig. 2.20 - Corrente nos diodos para a figura 2.18.
O valor eficaz da corrente será dado pela expressão (2.85).
 I I d tDef Lmed 
1
2
2
0



( ) (2.85)
Assim: I
I
tDef
Lmed







2
0
2


(2.86)
Ou: I
I
Def
Lmed

2
(2.87)
Ou: I IDef Lmed 0 707, (2.88)
Como: I
V
ZCAef 
4
3
2
2
Obtém-se:
K
R
R L
i 

0 47
42 2 2
,

(2.89)
Sendo Ki o fator de ondulação da corrente de carga, definido pela relação: K
I
Ii
CAef
Lmed

c) Estudo do Comportamento do Transformador
Para o estudo do comportamento do transformador, serão adotadas as convenções
indicadas na figura 2.21.

47
s1i
I
1D
2v
v
+
-
+
i1
+
-
D2
2
-
s2i
v(t)
Fig. 2.21 - Convenções para o estudo do comportamento do transformador.
A corrente de carga será considerada isenta de harmônicas. As diversas correntes
envolvidas estão representadas na figura 2.22. Para efeito de simplificação o número de espiras do
enrolamento primário será considerado igual ao número de espiras do enrolamento secundário.
A corrente eficaz de um enrolamento secundário é representada pela expressão (2.90).
I I I d ts ef s1 2ef
2
0
1
2
  


( ) (2.90)
Assim: I I Is ef s ef1 2 0 707  , (2.91)
A potência aparente de um enrolamento secundário é dada pela expressão (2.92).
S V Is s ef1 2ef 1 (2.92)
Mas V
V
ef
Lmed
2
0 9

,
(2.93)
Assim:
S
V I
V Is
Lmed
Lmed1
0 707
0 9
0 785 
,
,
, (2.94)
A potência secundária total aparente do transformador será dada pela expressão (2.95).
S S Ss s2 1 2  (2.95)
S V ILmed2 157 , (2.96)
Como P V IL Lmed (2.97)
Obtém-se:
S PL2 157 , (2.98)
PL representa a potência transferida à carga. Segundo a expressão (2.98), o
transformador nesse tipo de estrutura é mal aproveitado, pois é exigido um dimensionamento em
potência aparente igual à 157% da potência de carga.

48
I
is1
I
I
is2
i1
I
-I
   
iL
t
t
t
t
   
Fig. 2.22 - Formas de onda das correntes para a figura 2.21.
O retificador de onda completa a diodo apresenta as seguintes vantagens em relação ao
retificador de meia onda:
- Não existe componente contínua de corrente circulando no secundário, não aparecendo
então o fenômeno da saturação do transformador;
- A tensão média na carga é duas vezes maior;
- A corrente de carga apresenta menor distorção harmônica.
2.3 - RETIFICADOR MONOFÁSICO DE ONDA COMPLETA EM PONTE
a) Carga Resistiva
A estrutura do retificador monofásico de onda completa em ponte alimentando carga
resistiva está representada na figura 2.23.a.
Durante a primeira etapa de funcionamento, representada pela figura 2.23.b, a tensão da
fonte é positiva. Os diodos D1 e D4 são polarizados diretamente e conduzem a corrente de carga.
Os diodos D2 e D3 são polarizados reversamente e permanecem bloqueados.
Durante a segunda etapa de funcionamento, representada pela figura 2.23.c, os diodos
D1 e D4 permanecem bloqueados, enquanto D2 e D3 conduzem a corrente de carga.

49
As formas de onda da tensão e da corrente de carga são idênticas às já estabelecidas para
o retificador de ponto médio e apresentadas na figura 2.17. Do mesmo modo, a tensão média e a
corrente média de carga são dadas pelas expressões (2.99) e (2.100).
D1 D2
+
vR
-
D4D3
RLiv(t)
(a)
D1 D2
+
-
vR
D3 D4
-
+
RLiv(t)
(c)
+
D1 D2
+
vR
--
D4D3
RLiv(t)
(b)
Fig. 2.23 - Configuração e etapas de funcionamento para o retificador monofásico em ponte.
V VLmed o 0 9, (2.99)
I
V
RLmed
o

0 9,
(2.100)
b) Carga RL
Para carga indutiva, as etapas de funcionamento são as mesmas apresentadas na figura
2.23. As formas de onda da corrente e da tensão de carga são idênticas àquelas estabelecidas para
o retificador de ponto médio, apresentadas na figura 2.19.
c) Estudo do Comportamento do Transformador
O retificador em ponte, contrariamente ao retificador com ponto médio, não depende de
um transformador para funcionar. Porém, em certas aplicações, nas quais se deseja isolamento
galvânico ou adaptação de tensão, o transformador é empregado. Para se analisar o
comportamento do transformador, a corrente de carga será considerada constante e os
enrolamentos secundário e primário serão considerados idênticos. O transformador será
considerado ideal. A estrutura associada ao transformador está representada na figura 2.24. As
formas de onda das correntes envolvidas estão representadas na figura 2.25.

50
i1
D1 D2
i2 I
D4D3
Fig. 2.24 - Retificador em ponte associado a um transformador.
I
I
-I
I
-I
   
iL
t
i2
i1
t
t
Fig. 2.25 - Correntes para a estrutura da figura 2.24.
O valor eficaz da corrente do enrolamento secundário do transformador é calculado pela
expressão (2.101).
I I d t2ef
2
0
1
2
 


( ) (2.101)
Assim: I Ief2  (2.102)
O valor eficaz da tensão secundária é dado pela expressão (2.103).
V
V
ef
Lmed
2
0 9

,
(2.103)
A potência aparente do transformador será:
S V I
V ILmed
2 2ef 2ef
0 9
 
,
(2.104)

51
Assim: S V ILmed2 111 , (2.105)
Mas: P V IL Lmed (2.106)
Assim: S PL2 111 , (2.107)
Comparando-se a expressão (2.107) com a expressão (2.98), verifica-se que o retificador
em ponte proporciona um melhor aproveitamento do transformador que o retificador de ponto
médio.
d) Tensão de Pico Inversa dos Diodos
Seja a segunda etapa de funcionamento, representada na figura 2.26.
D1 D2
D3 D4
+-
+
-
vRLi
v(t)
R
Fig. 2.26 - Segunda etapa de funcionamento do retificador.
De acordo com a figura, a máxima tensão inversa é igual ao valor de pico da tensão da
fonte. Assim:
V VDp  2 2 (2.108)
Sendo V2 o valor eficaz da tensão da fonte de alimentação ou do secundário do
transformador.
Comparando a expressão (2.108) com a expressão (2.73), verifica-se que a tensão de
pico inversa para o retificador em ponte é igual à metade da tensão de pico inversa para o
retificador de ponto médio.
2.4 - RETIFICADOR TRIFÁSICO COM PONTO MÉDIO
a) Comportamento com Carga Resistiva
A estrutura do retificador trifásico com ponto médio está representada na figura 2.27.

52
1DR
2D
1i
SN
2i
3D
3i
T
+
-
Rv
1v (t)
2v (t)
3v (t) Ri R
Fig. 2.27 - Retificador trifásico com ponto médio.
A estrutura apresentada na figura 2.27 pode ser considerada uma associação de três
retificadores monofásicos de meia onda. Cada diodo é associado a uma das fases da rede. Nesse
tipo de retificador é indispensável o emprego do neutro do sistema de alimentação.
As formas de onda representativas do comportamento da estrutura alimentando uma
carga resistiva estão representadas na figura 2.28. Cada diodo do retificador conduz durante um
intervalo de tempo que corresponde a 120 graus elétricos da tensão da rede.
v
2Vo
1
0 
t
v2 v3 v1
vR
5
6

6

D1 D2 D3
t
2Vo
Fig. 2.28 - Formas de onda para a estrutura da figura 2.27.
O valor da tensão média da carga é calculado pela expressão (2.109).
3
2
2
6
5 6

 


( ) ( ) (2.109)

53
Assim:  V
V
tLmed
o
 
3 2
2 6
5 6




cos( ) (2.110)
V
V
Lmed
o

3 3 2
2
(2.111)
Ou: V VLmed o117, (2.112)
A corrente média na carga é representada pela expressão (2.113).
I
V
RLmed
o

117,
(2.113)
A corrente média nos diodos é dada pela expressão (2.114).
I
I
Dmed
Lmed

3
(2.114)
Assim: I
V
RDmed
o

117
3
,
(2.115)
A corrente de pico é dada pela expressão (2.116).
I
V
RDp
o

2
(2.116)
A corrente instantânea em cada diodo está representada na figura 2.29. A partir dela será
obtida a corrente eficaz nos diodos.
2
5
66
V
R
i
o
D
0 
t
Fig. 2.29 - Corrente em um diodo para carga resistiva.
O valor eficaz da corrente será:

54
I
V
R
sen t d tDef
o






1
2
2
2
6
5 6

 


( ) ( ) (2.117)
Assim: I IDef Lmed 0 59, (2.118)
b) Comportamento com Carga Indutiva
No estudo do comportamento da corrente de carga na presença de indutância, será
adotado o mesmo procedimento do estudo relativo às estruturas precedentes. A freqüência da
componente fundamental da tensão de carga é igual a três vezes a freqüência da tensão de
alimentação.
No desenvolvimento da tensão de alimentação em Série de Fourier, serão ignoradas as
demais harmônicas, por serem de freqüências elevadas, de pequena amplitude e
conseqüentemente por produzirem correntes de valores desprezíveis em face do valor assumido
pela corrente média da carga.
Assim, a tensão da carga será expressa pela relação (2.119).
v t V V sen tL o o( ) ,
,
( )  

117
2 117
8
3 (2.119)
Ou: v t V V sen tL o o( ) , , ( )  117 0 3 3 (2.120)
A corrente de carga desse modo será expressa pela relação (2.120).
i t
V
R
V
R L
sen tL
o o
( )
, ,
( )

  


117 0 3
9
3
2 2 2
3 (2.121)
Onde 

3
3
 arc tg
L
R
(2.122)
O valor eficaz da corrente de carga é calculado pela expressão (2.123)
 I I ILef Lmed ef 2
3
2
(2.123)
Onde I
V
RLmed
o

117,
(2.124)
e I
V
R L
ef
o
3 2 2 2
0 3
2 9


,

(2.125)
Para o cálculo do valor eficaz da corrente em cada diodo, será ignorada a componente
alternada da corrente de carga. Desse modo, a corrente em cada diodo tem a forma apresentada
na figura 2.30.

55
iD
ILmed
3

3
 0
t
Fig. 2.30 - Corrente em um dos diodos.
O valor eficaz da corrente em cada diodo será:
1
2
2
0
2 3



( ) (2.126)
Assim I
I
Def
Lmed

3
(2.127)
O valor médio da corrente em cada diodo é calculado pela expressão (2.128).
I
I
Dmed
Lmed

3
(2.128)
O fator de ondulação da corrente de carga é definido pela expressão (2.129).
K
I
Ii
CAef
Lmed
 (2.129)
Assim: K
V
R L
R
Vi
o
o



0 3
2 9 1172 2 2
,
,
(2.130)
Portanto, K
R
R L
i 



0 3
2 117 92 2 2
,
, 
(2.131)
Nos casos em que 92
L2
>> R2
, obtém-se:
K
R
L
R
Li 
 
 
0 3
2 117 3
0 06,
,
,
 
(2.132)
c) Tensão de Pico Inversa dos Diodos
Para o cálculo da tensão de pico inversa dos diodos, será considerada a etapa de
funcionamento na qual D2 conduz a corrente de carga. Será calculada a tensão nos terminais do
diodo D1. Tal etapa está representada na figura 2.31.

56
- +
+
D1v +-
-
- +
1D
2D
Ri
3D
+
-
Rv
1v (t)
2v (t)
3v (t) Ri R
Fig. 2.31 - Segunda etapa de funcionamento da estrutura.
De acordo com a figura 2.31, a tensão nos terminais do diodo D1 é dada pelas
expressões (2.133) e (2.134).
V V VD1 1 2  (2.133)
V V VD1 2 1  (2.134)
A composição fasorial das tensões V1 e V2 para a obtenção de VD1 está mostrada na
figura 2.32.
V3
V11-V
VD1
V2
Fig. 2.32 - Diagrama fasorial para o cálculo da tensão VD1.
Seja Vo o valor eficaz das tensões de alimentação. Seja V Vo1 2 o valor de pico da
tensão de alimentação. Assim, como resultado da figura 2.32 obtém-se o seguinte valor de pico
para a tensão do diodo D1.
V VD p o1 3 2 ou
V VD p o1 2 45 , (2.135)
d) Estudo do Comportamento do Transformador

57
Para o estudo do comportamento do transformador que alimenta o retificador trifásico
de ponto médio, serão admitidas as simplificações já empregadas nas demais estruturas, ou seja:
- o transformador será considerado ideal e com relação de transformação igual a um;
- a corrente de carga será considerada isenta de harmônicas.
As correntes dos enrolamentos secundários estão representadas na figura 2.33. Em cada
enrolamento a corrente é composta de pulsos de corrente com duração de 120o
, sendo portanto
unidirecional. A corrente de cada enrolamento pode ser então decomposta numa componente
alternada com valor médio nulo e numa componente constante.
iS1
iS2
iS3
ILmed
3

3

0
ILmed2
3 Lmed1
3
I
t
t
t
Fig. 2.33 - Correntes nos enrolamentos secundários do transformador.
corrente real no enrolamento.
componente alternada.
componente contínua.
Como as componentes contínuas das correntes secundárias não são refletidas no
primário, o circuito para as componentes contínuas, conseqüentemente, necessita para a sua
representação, somente dos enrolamentos secundários, como está representado na figura 2.34.

58
1D
2D
ILmed
3
1
2
3
3D
ILmed
ILmed
3
ILmed
3
Fig. 2.34 - Componentes contínuas das correntes secundárias.
As componentes contínuas das correntes secundárias produzem os fluxos 1, 2 e 3
representados na figura 2.34. Como eles são iguais em valor e direção, o transformador não se
torna saturado. Convém observar que esta conclusão não seria válida se no lugar de um
transformador trifásico de três colunas fosse empregado um trifásico de quatro colunas ou três
monofásicos. Neste dois últimos casos, haveria saturação do núcleo, a exemplo do retificador
monofásico de meia onda.
Na figura 2.35 está representada a estrutura completa do retificador alimentado por um
transformador, cujo enrolamento primário está ligado em .
+ -vp1
ip1
iA 1D
2D
is1+
vs1
-ip2
ip3
3D
ILmed
Fig. 2.35 - Retificador associado a um transformador -.
As correntes dos enrolamentos primários do transformador estão representadas na figura
2.36. Há uma defasagem de trinta graus entre a componente fundamental da corrente de linha
iA(t) e a tensão do enrolamento primário vp1(t).
De acordo com a expressão (2.127) a corrente eficaz num enrolamento secundário, que é
igual a corrente eficaz num diodo, é dada pela expressão (2.136).
I
I
sef
Lmed

3
(2.136)

59
vsl
ILmed
t
isl
vpl
ILmed2
3
ipl
ILmed-1
3
ILmed2
3
ip3
ILmed-1
3
ILmed
-ILmed
iA1
iA
t
t
t
Fig. 2.36 - Correntes para a estrutura na figura 2.35.
Assim a potência aparente secundária por fase será:
S V Io sef2f  (2.137)
Mas V
V
o
Lmed

117,
(2.138)
Assim: S
V I
V ILmed Lmed
Lmed Lmed2f
117 3
0 493 
,
, (2.139)
A potência aparente secundária total será:
S S2 2f3 (2.140)
Ou: S V ILmed Lmed2 148 , (2.141)
Como: P V IL Lmed Lmed (2.142)
Obtém-se: S PL2 148 , (2.143)

60
Para o cálculo do fluxo de potência aparente no primário do transformador, deve-se do
mesmo modo determinar o valor eficaz da corrente primária por fase.
A forma da corrente primária por fase está representada na figura 2.37.
ipl
ILmed2
3
3

0
ILmed-1
3
t
Fig. 2.37 - Corrente de fase de um enrolamento primário do transformador.
O valor eficaz da corrente num enrolamento primário será dado por:
I
I
d t
I
d tLef
Lmed Lmed





 
















 
1
2
2
3 3
2
0
2 3 2
2 3
2

 



( ) ( ) (2.144)
Realizando-se a integração, obtém-se:
I
I
Lef
Lmed

2
3
(2.145)
Assim, a potência primária por fase será:
S V I
V I
f o Lef
Lmed Lmed
1
117
2
3
 
,
(2.146)
Ou: S V If Lmed Lmed1 0 402 , (2.147)
Ou: S PL1 121 , (2.148)
O fluxo de potência aparente secundária é maior que o fluxo de potência aparente no
primário porque no secundário circulam, além das componentes alternadas, componentes
contínuas de corrente.
O fator de potência que a montagem apresenta à rede é definido pela expressão:
FP
P
S
L
1
(2.149)
Assim: FP  0 83, (2.150)
2.5 - RETIFICADOR TRIFÁSICO DE ONDA COMPLETA (PONTE DE GRAETZ)
a) Estudo Geral da Estrutura
A ponte de GRAETZ, uma das estruturas mais empregadas industrialmente, encontra-se

61
D1 D2 D3
D5D4 D6
+
-
Rv
1v (t)
2v (t)
3v (t)
Ri R
Fig. 2.38 - Ponte de GRAETZ.
Para efeito de estudo, a ponte de GRAETZ pode ser considerada como uma associação
série de dois retificadores trifásicos de ponto médio, cuja representação se encontra na figura
2.39.
1D
2D A
R
+
-
v
N
-
AN
2
3D
6D
5D
4D
+
v
B
BN
1v (t)
2v (t)
3v (t)
R
2
Fig. 2.39 - Associação série de dois retificadores de ponto médio.
Observando-se a figura 2.40 pode-se estabelecer as seguintes conclusões iniciais a
respeito da figura 2.39.
- cada diodo conduz durante um intervalo igual a 120o
;
- existe sempre dois diodos em condução, um no grupo positivo e outro no grupo
negativo do conversor;
- ocorre uma comutação a cada 60o
;
- a freqüência da componente fundamental da tensão é igual a 6 vezes a freqüência das
tensões de alimentação.

62
v
2Vo
1
0 
t
v2 v3 v1
t
t
t
2Vo
2Vo-
vAN
vBN
vAB
2Vo3
3

D1 D2 D3 D1
D5 D6 D4 D5 D6
D1 D2 D3 D1D1 D2 D3 D1
D5 D6 D4 D5D6 D4 D5 D6
Fig. 2.40 - Formas de onda para a figura 2.39.
Para o cálculo do valor médio da tensão de carga, será considerada a figura 2.41.
vL
6

t
6
 0
Fig. 2.41 - Observação de 1/6 de período para o cálculo da tensão de carga.
Seja v t V tL o( ) cos( )  3 2 (2.151)
Assim: V V t d tLmed o


3
3 2
6
6

 


cos( ) ( ) (2.152)

63
Conseqüentemente,
V VLmed o 2 34, (2.153)
Sendo Vo o valor eficaz da tensão de fase de alimentação.
Para o cálculo das correntes nos diodos será considerada a figura 2.42.
iD
ILmed
0 2
3
2 
Fig. 2.42 - Corrente em um dos diodos da Ponte de GRAETZ.
Tendo-se em vista que a corrente de carga, mesmo para resistência pura, é praticamente
isenta de harmônicas, o cálculo a seguir não faz distinção quanto a natureza da carga.
A corrente média é dada pela expressão (2.154).
I I d tDmed Lmed 
1
2
0
2 3



( ) (2.154)
Assim: I
I
Dmed
Lmed

3
(2.155)
A corrente eficaz é dada pela expressão (2.156).
1
2
2
0
2 3



( ) (2.156)
Assim: I
I
Def
Lmed

3
(2.157)
A tensão de pico inversa dos diodos, a exemplo do retificador trifásico com ponto
médio, é dada pela expressão (2.158).
V VDp o 3 2 (2.158)
Ou: V VDp o 2 45, (2.159)
A decomposição da tensão de carga em Série de Fourier dá como resultado a expressão
(2.160).
v t V V t V tL o o o( ) , , cos( ) , cos( )     2 34 0134 6 0 033 12  (2.160)

64
De acordo com a expressão (2.160), a harmônica fundamental, além de ser de amplitude
muito reduzida em relação à componente contínua da tensão de carga, possui freqüência igual a
seis vezes a freqüência da tensão de alimentação.
O valor eficaz da componente fundamental da corrente de carga será dada pela expressão
(2.161).
I
V
R L
ef
o
6 2 2 2
0134
2
1
36
 

,

(2.161)
O fator de ondulação da corrente de carga definido pela expressão:
K
I
Ii
CAef
Lmed
 (2.162)
Será:
K
V
R L
R
Vi
o
o
 


0134
2
1
36 2 342 2 2
,
,
(2.163)
Ou K
R
R L
i 

0134
2 34 2 362 2 2
,
, 
(2.164)
Como em geral:
36 2 2 2
 L R
Obtém-se:
K
R
L
R
Li 
 
 
0134
2 34 2 6
0 007,
,
,
 
(2.165)
b) Estudo do Comportamento do Transformador
A representação da estrutura completa incluindo o transformador está apresentada na
figura 2.43.
A conexão mais comum do transformador, representada na figura, é aquela em que o
primário é ligado em delta e o secundário ligado em estrela.

65
D3D1 D2
iD1
i
i2
1 ip1
ip2
+ -vp1
is1+
vs1
-
: N2
L
iL
R
D6D5D4
+ -v-s3v s2+
ip3
+ -
+ -
vp2
i3
vp3
N1
Fig. 2.43 - Ponte de GRAETZ associada a um transformador.
is1
ILmed
ILmed
ILmed
ILmed
ILmed
ILmed
ip1
ip3
iD4
iD1
vL
D4 D4 D4 D4
D1 D1 D1 D1
2ILmed
i1
t
t
t
t
t
t
t
Fig. 2.44 - Correntes nos enrolamentos do transformador.

66
Para efeito de análise, o transformador será considerado ideal. A relação de
transformação entre fases será considerada unitária.
Para os ciclos positivos da tensão vs1(t), a corrente no enrolamento secundário é igual à
corrente no diodo D1. Para os ciclos negativos da tensão vs1(t), a corrente é igual à do diodo D4.
As correntes de fase primárias são iguais às respectivas correntes secundárias por fase. A
corrente de linha primária i1(t) é dada pela expressão (2.166).
i t i t i tp p1 1 3( ( (  ) ) )  (2.166)
As demais correntes de linha são iguais a i1(t), na forma e no valor, mas defasadas de
120o
e 240o
em relação a esta.
A corrente eficaz no enrolamento secundário do transformador é calculada a seguir:
   I I d t I d tsef Lmed Lmed 







 
1
2
2
0
2 3
2
5 3

 



( ) ( ) (2.167)
Ou:  I I d tsef Lmed 







2
1
2
2
0
2 3



( ) (2.168)
Assim: I Isef Lmed
2
3
(2.169)
O valor eficaz da tensão de fase secundária é obtido em função do valor médio da tensão
de carga, pela expressão:
V V
V
sef o
Lmed
 
2 34,
(2.170)
A potência aparente que circula nos enrolamentos secundários do transformador será:
S V Io sef2 3 (2.171)
Assim: S
V
ILmed
Lmed2
3
2 34
2
3
 
,
(2.172)
Ou ainda: S PL2 105 , (2.173)
De acordo com a expressão (2.173), o retificador trifásico de seis pulsos ou a ponte de
GRAETZ é a estrutura retificadora que propicia o melhor aproveitamento do transformador.
Como as correntes primária e secundária são iguais, a potência aparente que a rede
entrega ao transformador é igual a S2.
Assim:

67
S S1 2 (2.174)
Desse modo, o fator de potência teórico que a estrutura apresenta à rede é dado pela
expressão (2.175).
FP
P
S
L  
1
1
105
0 95
,
, (2.175)
_____________________________________________________________________________
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
1) Para o retificador da figura abaixo funcionando em regime permanente, onde
v t sen t( ) ( )  2 220 , f = 60Hz, Dp = DRL = SKN20/04, rT = 11m, V(T0) = 0,85V,
Rthjc = 2C/W, Rthcd = 1C/W e Ta = 30C:
pD
iL
DRL v
+
R
LL
E
-
a) Considere L = 0, R = 10 e E = +100V.
1.1) Calcule a corrente média na carga.
As formas de onda da tensão e corrente na carga são apresentadas na figura abaixo:
vL
iL
t
t
0 22 1

68
1
2
100
2 220
0 33  arcsen
E
V
arcsen
o
, radianos
   2 1 0 33 2 81    , , radianos
V
T
V sen t d t E d tLmed o 










 

1
2
1
2
2
12
( ) ( ) ( )  



 
V sen t d t d t VLmed   










 

1
2
2 220 100 154 2
0 33
2 81
2 81
2 0 33

  

( ) ( ) ( ) ,
,
,
,
,
I
V E
R
ALmed
Lmed





154 2 100
10
5 4
,
, 
1.2) Calcule a corrente média no diodo DRL.
Como o diodo de roda livre nunca entra em condução a corrente média neste é nula.
ILmed  0 
b) Considerando-se L = 600mH, R = 5 e E = +50V.
Considerar-se-á condução contínua devido ao alto valor da constante de tempo da carga
e do pequeno valor de E frente ao pico da fonte de alimentação.
iL
iDp
t
t
0 2
iDRL
t
v /30L
1.3) Calcule a corrente média na carga.
I
V E
R
V E
R
ALmed
Lmed o







0 45 99 50
5
9 8
,
, 

69
1.4) Calcule a corrente média no diodo Dp.
Como o diodo Dp conduz durante meio ciclo, a corrente média neste é igual a metade da
corrente média da carga.
I
I
ADpmed
Lmed
 
2
4 9, 
c) Considerando-se que R= 3 e E = 0.
0 2
iL
t
v /3L
3 4
1.5) Calcule a indutância crítica para a carga.
Considerar-se-á que após cinco constantes de tempo a corrente na carga se anula, logo:
 tc  onde: t
L
Rc
c

5
L
R
mHc  

  




5
3
5 2 60
5 
1.6) Para L = 600mH, calcule a resistência térmica do dissipador para o diodo Dp.
iL
t
t
0 2
iDp

70
Considerar-se-á condução contínua, com a corrente isenta de harmônicas, devido ao alto
valor da constante de tempo da carga.
I
V
R
ALmed
o
 


0 45 0 45 220
3
33
, ,
Como o diodo Dp conduz durante meio ciclo, a potência dissipada neste será:
P r
I
V
I
WD T
Lmed
TO
Lmed






 





   





  





 
2 2
11 10
33
2
0 85
33
2
20
2
3
2
( ) ,
Considerando a temperatura da junção igual a Tj = 180o
C.
R
T
P
R R C Wthda thjc thcd
o
   

  
 180 30
20
2 1 4 5, / 
d) Considerando-se que é retirado o diodo DRL e que L = 60mH, R = 10 e E = 62V.
1.7) Calcule a tensão média na carga.
t
t
0 2 1
vL
iL
O valor de  será determinado com o Ábaco de Puschlowski (Capítulo 3).
a
E
Vo
 


2
62
2 220
0,2
cos cos cos
,
,
 






 
 




 arctg
L
R
arctg
2 60 0 06
10
0 4
Do Ábaco obtém-se:  = 232o
= 4,05

71
1
2
62
2 220
0 2 

arcsen
E
V
arcsen
o
, radianos
V
T
V sen t d t Ed tLmed o 










 

1
2
1
12
( ) ( ) ( )  



 










 

1
2
2 220 62 103
0 2
4 05
4 05
2 0 2

  

( ) ( ) ( )
,
,
,
,

_____________________________________________________________________________
2) Considere a estrutura da figura abaixo, funcionando em regime permanente, onde f =
60Hz e  = 2f. Tiristores: D1 = D2 = D3 = SKN20/06, rT = 11m, V(T0) = 0,85V, Rthjc = 2C/W,
Rthcd = 1C/W e Ta = 40C.
1D
2D
iL
R
3D
LvL
+
- E
v t1( )
v t2( )
v t3( )
2.1) Calcule a resistência térmica do dissipador para cada diodo (R = 4, L = 225mH e
E = 50V).
v t sen t
v t sen t
v t sen t
1
2
3
2 220
2 220 120
2 220 120
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
 
 
 
 
   
   

72
vL
t
0 2
iL
iD1
2
3

< >
t
t
Considerar-se-á condução contínua, com a corrente isenta de harmônicas, devido ao alto
valor da constante de tempo da carga.
I
V E
R
ALmed
o



 

117 117 220 5
4
51
, ,
,85
Corrente média em cada diodo: I
I
ADmed
Lmed
  
3
5185
3
17
,
,3
Pelo ábaco da Fig. 1.27, obtém-se que: PD  24W com Ta = 40o
C. Com a forma de onda
rec. 120o
tem-se que Rthca = 3,8o
C/W.
Logo : R R R C Wthda thca thcd
o
    38 1 2,8, / 
2.2) Calcule o valor da corrente média em cada diodo (R = 10, L = 225mH e E = 0V).

73
vL
t
0 2
iL
iD1
2
3

< >
t
t
Considerar-se-á condução contínua devido ao alto valor da constante de tempo da carga.
I
I V
R
ADmed
Lmed o
  



3
117
3
117 220
3 10
8 6
, ,
, 
2.3) Calcule o valor da tensão média na carga (R = 10, L = 0 e E = 250V).
vL
t
0 21 2 3
Tomando como referência a tensão v1(t):
1
2
250
2 220
0 93 

arcsen
E
V
arcsen
o
, radianos
   2 1 0 93 2 21    , , radianos




3 1
2
3
2
3
0 93 3 03    , , radianos

74
V
T
V sen t d t Ed tLmed o 










 
3
2
1
2
2
3
( ) ( ) ( )  














 
3
2
2 220 250 275 2
0 93
2 21
2 21
3 03

  ( ) ( ) ( ) ,
,
,
,
,

_____________________________________________________________________________
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
1 - Considere a seguinte estrutura:
50mH
50A
380V
200V

Considere os seguintes parâmetros dos diodos : V(TO) = 0,85V; rT = 11m; Rjc = 2o
C/W;
Rcd = 1o
C/W.
Considerando o transformador ideal, calcular:
(a) A potência perdida em cada diodo;
(b) A resistência térmica dos dissipadores, tomando Tj = 150o
C e Ta = 40o
C;
(c) As tensões e correntes do transformador
_____________________________________________________________________________
2 - Seja a seguinte estrutura:
D
v sen t
T C
T C
R C W
j
o
a
o
ja
o
 



2 220
150
50
7 7
( )
, /
t( )
v t( ) R
Determinar o menor valor de R que mantém a temperatura de junção inferior a 150o
C.
_____________________________________________________________________________

75
D
L
E
+
vL
-
f Hz
L mH
E V
60
50
70



v sen t 2 110 ( )t( )
v t( )
(a) Descrever o funcionamento e apresentar as formas de onda;
(b) Determinar o valor da tensão média na carga;
(c) Determinar a corrente média na carga e a potência média entregue à fonte E;
(d) Calcular as correntes média e eficaz no diodo.
_____________________________________________________________________________
4- Seja o seguinte circuito:
D
R f Hz
R
60
10

 
v sen t 2 220 ( )t( )
v t( )
Calcular:
(a) a tensão média na carga;
(b) a corrente média na carga;
(c) a corrente eficaz na carga;
(d) a tensão de pico inversa do diodo;
(e) a potência dissipada no resistor R;
(f) obter a série de Fourier da tensão e da corrente de carga;
(g) encontrar o valor da corrente de pico no diodo.
_____________________________________________________________________________
5 - Considere a seguinte equação diferencial:
2 V sen t L
d i t
dt
R i to ( )
( )
( )

 
Obter a expressão da corrente i(t). Esta questão diz respeito ao retificador monofásico
de meia onda com carga RL.
_____________________________________________________________________________

76
6 - Seja o seguinte circuito:
D
L
R
R
L mH
f Hz



10
50
60

v sen t 2 220 ( )t( )
v t( )
Calcular:
(a) a tensão média na carga;
(b) a corrente média na carga;
(c) o ângulo ;
(d) o ângulo ;
(e) a corrente eficaz na carga;
(f) a potência dissipada no resistor R;
Comparar os resultados deste exercício com aqueles obtidos no exercício 4.
_____________________________________________________________________________
1D
2D
3D
R
1v (t)
2v (t)
3v (t)
v1
E

-E
v2
v3
 








t
t
t

77
Determinar:
(a) a forma da tensão de carga;
(b) a forma da corrente de carga;
(c) o valor médio da tensão de carga;
(d) o valor médio da corrente de carga;
(e) o valor eficaz da corrente de carga;
(f) a potência média consumida pela carga;
(g) a corrente média em um diodo;
(h) a corrente eficaz em um diodo;
(i) a forma da tensão sobre o diodo D1;
(j) o valor máximo da tensão em um diodo;
(k) Seja:
E V
R
T C
T C
V V
r m
j
o
a
o
TO
T






200
5
120
50
0 8
10


( ) ,
Qual deve ser a resistência térmica entre a junção de um diodo e o ambiente ?
_____________________________________________________________________________
8 - Seja a seguinte estrutura, onde i( t Isen t ) ( ) 2 .
Di( t ) R
(a) Funciona como retificador ?
(b) Determinar as etapas de funcionamento.
(c) Determinar as formas de onda das correntes e das tensões envolvidas.
(d) Determinar a expressão da potência dissipada no resistor R.
_____________________________________________________________________________
9 - Seja a seguinte estrutura, onde i( t Isen t ) ( ) 2

78
Ci( t ) R
Fazer o mesmo estudo proposto para o exercício número oito.
_____________________________________________________________________________

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