Tópicos elementares.

1. Defini¸c˜ao de Logaritmos
Sistema de Logaritmo
Consequˆencias da Defini¸c˜ao
Propriedades dos logaritmos
Medidas de tempo
Progress˜ao Geom´etrica
Exerc´ıcios
Prof. Me. Josivaldo Nascimento dos Passos
Matem´atica Financeira
UNIVERSIDADE ESTADUAL DO MARANH˜AO
7 de fevereiro de 2017
Matem´atica Financeira

2. Defini¸c˜ao de Logaritmos
Sistema de Logaritmo
Consequˆencias da Defini¸c˜ao
Propriedades dos logaritmos
Medidas de tempo
Progress˜ao Geom´etrica
Exerc´ıcios
Sum´ario
Defini¸c˜ao de Logaritmos;
Sistema de Logaritmo;
Consequˆencias da Defini¸c˜ao;
Propriedades dos logaritmos;
Medidas de tempo;
Progress˜ao Geom´etrica;
Exerc´ıcios
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3. Defini¸c˜ao de Logaritmos
Sistema de Logaritmo
Consequˆencias da Defini¸c˜ao
Propriedades dos logaritmos
Medidas de tempo
Progress˜ao Geom´etrica
Exerc´ıcios
Logaritmo
Defini¸c˜ao
Sendo a e b n´umeros reais positivos, com a = 1, chama-se logaritmo
de b na base a o expoente x ao qual se deve elevar a base a de modo
que a potˆencia ax seja igual a b.
Em s´ımbolos, temos:
loga b = x ⇔ ax
= b
Na espress˜ao loga b = x, temos:
a ´e a base do logaritmo
b ´e o logaritmando
x ´e o logaritmo.
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4. Defini¸c˜ao de Logaritmos
Sistema de Logaritmo
Consequˆencias da Defini¸c˜ao
Propriedades dos logaritmos
Medidas de tempo
Progress˜ao Geom´etrica
Exerc´ıcios
Sistema de Logaritmo
Chama-se sistema de logaritmo de base a > 0 = 1, o conjunto dos
logaritmos de todos os n´umeros reais positivos na base a.
Dois sistemas de logaritmos destacam-se pelo seu importante papel
no campo das Ciˆencias, s˜ao eles: sistema de logaritmos decimais (ou
sistema de logaritmo de Briggs) e sistema de logaritmos neperianos
(ou sistema de logaritmos naturais).
LOGARITMOS DECIMAIS
S˜ao aqueles na base 10. Indicaremos por log b = x, sem necessidade
de colocar a base 10.
LOGARITMOS NEPERIANO OU NATURAL
´E o conjunto dos logaritmos na base e (e ´e um n´umero irracio-
nal que recebe o nome de n´umero de Euler, que vale 2, 7182 . . .).
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5. Defini¸c˜ao de Logaritmos
Sistema de Logaritmo
Consequˆencias da Defini¸c˜ao
Propriedades dos logaritmos
Medidas de tempo
Progress˜ao Geom´etrica
Exerc´ıcios
Consequˆencias da Defini¸c˜ao
A partir da defini¸c˜ao, satisfeitas as condi¸c˜oes de existˆencia, temos:
O logaritmo de 1 em qualquer base a ´e igual a 0.
loga 1 = 0
O logaritmo da base, qualquer que seja ela, ´e igual a 1
loga a = 1
A potˆencia de base a e expoente loga b ´e igual a b.
aloga b
= b
Se dois logaritmos em uma mesma base s˜ao iguais, ent˜ao os
logaritmandos tamb´em s˜ao iguais.
loga b = loga c ⇒ b = c
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6. Defini¸c˜ao de Logaritmos
Sistema de Logaritmo
Consequˆencias da Defini¸c˜ao
Propriedades dos logaritmos
Medidas de tempo
Progress˜ao Geom´etrica
Exerc´ıcios
Propriedades
Logaritmo de um produto
Considerando a, b e c n´umeros reais positivos e a = 1, temos
loga(b.c) = loga b + loga c
Logaritmo de um quociente
Considerando a, b e c n´umeros reais positivos e a = 1, temos
loga
b
c
= loga b − loga c
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7. Defini¸c˜ao de Logaritmos
Sistema de Logaritmo
Consequˆencias da Defini¸c˜ao
Propriedades dos logaritmos
Medidas de tempo
Progress˜ao Geom´etrica
Exerc´ıcios
Propriedades
Logaritmo de uma potˆencia
Considerando a e b n´umeros reais positivos, com a = 1, e n um
n´umero real, temos
loga bn
= n. loga b
Mudan¸ca de Base
Para passarmos loga b, com a e b positivos e a = 1, para a base c,
com c > 0 e c = 1, utilizamos a seguinte express˜ao:
loga b =
logc b
logc a
, com logc a = 0
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8. Defini¸c˜ao de Logaritmos
Sistema de Logaritmo
Consequˆencias da Defini¸c˜ao
Propriedades dos logaritmos
Medidas de tempo
Progress˜ao Geom´etrica
Exerc´ıcios
Medidas de tempo
As medidas de tempo podem dar origem a numerais complexos ou
n˜ao-decimais.
Exemplo: 2 a 5 me 20 d .
Vamos rever t´ecnicas de transforma¸c˜ao de numerais complexos re-
sultantes de medidas de tempo em numerais n˜ao-complexos e vice-
versa.
Lembremos, ent˜ao, que:
1 ano =12 meses =360 dias
1 mˆes =30 dias
Nota
Ano comercial =360 d; ano civil =365 d;
ano bissexto =366 d
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9. Defini¸c˜ao de Logaritmos
Sistema de Logaritmo
Consequˆencias da Defini¸c˜ao
Propriedades dos logaritmos
Medidas de tempo
Progress˜ao Geom´etrica
Exerc´ıcios
Progress˜ao Geom´etrica
Defini¸c˜ao
Uma sequˆencia, finita ou infinita, de n´umeros reais ´e uma pro-
gress˜ao geom´etrica (PG) se, e somente se, o quociente da divis˜ao
de cada termo, a partir do segundo, pelo termo imediatamente an-
terior ´e constante.
Essa constante ´e chamada raz˜ao da PG e indicada por q.
F´ormula do termo geral
Em toda PG, vale a seguinte express˜ao
an = a1.qn−1
que ´e a f´ormula do termo geral.
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10. Defini¸c˜ao de Logaritmos
Sistema de Logaritmo
Consequˆencias da Defini¸c˜ao
Propriedades dos logaritmos
Medidas de tempo
Progress˜ao Geom´etrica
Exerc´ıcios
Soma dos termos de uma PG finita
Seja a PG:
(a1, a2, a3, . . . , an−1, an)
Representando por Sn, a soma dos termos, temos:
Sn =
anq − a1
q − 1
ou, equivalentemente,
Sn =
a1.(qn − 1)
q − 1
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11. Defini¸c˜ao de Logaritmos
Sistema de Logaritmo
Consequˆencias da Defini¸c˜ao
Propriedades dos logaritmos
Medidas de tempo
Progress˜ao Geom´etrica
Exerc´ıcios
Exerc´ıcios
1) Se log
√
a = 1, 236, quanto vale o log 3
√
a?
2) Sabendo que log 2 = x, log 3 = y e log 5 = z, calcule os
seguintes logaritmos em fun¸c˜ao de x, y e z:
a) log 20
b) log 27
c) log 7, 5
3) Calcule o log24 6 sabendo que log27 6 = x e que log27 4 = y
4) Uma pessoa aplicou a importˆancia de R$500, 00 numa insti-
tui¸c˜ao banc´aria que paga juros mensais de 3, 5%, no regime de
juros compostos. Quanto tempo ap´os a aplica¸c˜ao o montante
ser´a de R$3500, 00?
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12. Defini¸c˜ao de Logaritmos
Sistema de Logaritmo
Consequˆencias da Defini¸c˜ao
Propriedades dos logaritmos
Medidas de tempo
Progress˜ao Geom´etrica
Exerc´ıcios
Exerc´ıcios
5) Transforme em dias; fra¸c˜ao do mˆes e fra¸c˜ao do ano:
a) 4 me 12 d
b) 1 a 3 me 8 d
6) Transforme em complexo:
a) 885 dias
b)
47
3
me
c) 3, 475 a
7) Sabendo que o 1o de uma PG ´e 7, que a raz˜ao ´e igual a 3 e
que o n´umero de termos ´e 8, calcule o 8o termo.
8) Sabendo que em uma PG a1 = 2, a2 = 4 e an = 512, calcule o
n´umero de termos, bem como a soma desses termos.
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13. Defini¸c˜ao de Logaritmos
Sistema de Logaritmo
Consequˆencias da Defini¸c˜ao
Propriedades dos logaritmos
Medidas de tempo
Progress˜ao Geom´etrica
Exerc´ıcios
CRESPO, Antˆonio Arnot, MATEM´ATICA FINANCEIRA
F´ACIL, 14 ed. S˜ao Paulo: Editora Saraiva, 2009
IEZZI, Gelson; HAZZAN, Samuel; DEGENSZAJN, David,
FUNDAMENTOS DE MATEM´ATICA
ELEMENTAR-Matem´atica comercial, Matem´atica financeira,
Estat´ıstica descritiva, 2 ed. S˜ao Paulo: Atual Editora, 2013.
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