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Aula 1
- 1. Defini¸c˜ao de Logaritmos Sistemade Logaritmo Consequˆencias da Defini¸c˜ao Propriedades dos logaritmos Medidas de tempo Progress˜ao Geom´etrica Exerc´ıcios Prof. Me. Josivaldo Nascimento dos Passos Matem´atica Financeira UNIVERSIDADE ESTADUAL DO MARANH˜AO 7 de fevereiro de 2017 Matem´atica Financeira
- 2. Defini¸c˜ao de Logaritmos Sistemade Logaritmo Consequˆencias da Defini¸c˜ao Propriedades dos logaritmos Medidas de tempo Progress˜ao Geom´etrica Exerc´ıcios Sum´ario Defini¸c˜ao de Logaritmos; Sistema de Logaritmo; Consequˆencias da Defini¸c˜ao; Propriedades dos logaritmos; Medidas de tempo; Progress˜ao Geom´etrica; Exerc´ıcios Matem´atica Financeira
- 3. Defini¸c˜ao de Logaritmos Sistemade Logaritmo Consequˆencias da Defini¸c˜ao Propriedades dos logaritmos Medidas de tempo Progress˜ao Geom´etrica Exerc´ıcios Logaritmo Defini¸c˜ao Sendo a e b n´umeros reais positivos, com a = 1, chama-se logaritmo de b na base a o expoente x ao qual se deve elevar a base a de modo que a potˆencia ax seja igual a b. Em s´ımbolos, temos: loga b = x ⇔ ax = b Na espress˜ao loga b = x, temos: a ´e a base do logaritmo b ´e o logaritmando x ´e o logaritmo. Matem´atica Financeira
- 4. Defini¸c˜ao de Logaritmos Sistemade Logaritmo Consequˆencias da Defini¸c˜ao Propriedades dos logaritmos Medidas de tempo Progress˜ao Geom´etrica Exerc´ıcios Sistema de Logaritmo Chama-se sistema de logaritmo de base a > 0 = 1, o conjunto dos logaritmos de todos os n´umeros reais positivos na base a. Dois sistemas de logaritmos destacam-se pelo seu importante papel no campo das Ciˆencias, s˜ao eles: sistema de logaritmos decimais (ou sistema de logaritmo de Briggs) e sistema de logaritmos neperianos (ou sistema de logaritmos naturais). LOGARITMOS DECIMAIS S˜ao aqueles na base 10. Indicaremos por log b = x, sem necessidade de colocar a base 10. LOGARITMOS NEPERIANO OU NATURAL ´E o conjunto dos logaritmos na base e (e ´e um n´umero irracio- nal que recebe o nome de n´umero de Euler, que vale 2, 7182 . . .). Matem´atica Financeira
- 5. Defini¸c˜ao de Logaritmos Sistemade Logaritmo Consequˆencias da Defini¸c˜ao Propriedades dos logaritmos Medidas de tempo Progress˜ao Geom´etrica Exerc´ıcios Consequˆencias da Defini¸c˜ao A partir da defini¸c˜ao, satisfeitas as condi¸c˜oes de existˆencia, temos: O logaritmo de 1 em qualquer base a ´e igual a 0. loga 1 = 0 O logaritmo da base, qualquer que seja ela, ´e igual a 1 loga a = 1 A potˆencia de base a e expoente loga b ´e igual a b. aloga b = b Se dois logaritmos em uma mesma base s˜ao iguais, ent˜ao os logaritmandos tamb´em s˜ao iguais. loga b = loga c ⇒ b = c Matem´atica Financeira
- 6. Defini¸c˜ao de Logaritmos Sistemade Logaritmo Consequˆencias da Defini¸c˜ao Propriedades dos logaritmos Medidas de tempo Progress˜ao Geom´etrica Exerc´ıcios Propriedades Logaritmo de um produto Considerando a, b e c n´umeros reais positivos e a = 1, temos loga(b.c) = loga b + loga c Logaritmo de um quociente Considerando a, b e c n´umeros reais positivos e a = 1, temos loga b c = loga b − loga c Matem´atica Financeira
- 7. Defini¸c˜ao de Logaritmos Sistemade Logaritmo Consequˆencias da Defini¸c˜ao Propriedades dos logaritmos Medidas de tempo Progress˜ao Geom´etrica Exerc´ıcios Propriedades Logaritmo de uma potˆencia Considerando a e b n´umeros reais positivos, com a = 1, e n um n´umero real, temos loga bn = n. loga b Mudan¸ca de Base Para passarmos loga b, com a e b positivos e a = 1, para a base c, com c > 0 e c = 1, utilizamos a seguinte express˜ao: loga b = logc b logc a , com logc a = 0 Matem´atica Financeira
- 8. Defini¸c˜ao de Logaritmos Sistemade Logaritmo Consequˆencias da Defini¸c˜ao Propriedades dos logaritmos Medidas de tempo Progress˜ao Geom´etrica Exerc´ıcios Medidas de tempo As medidas de tempo podem dar origem a numerais complexos ou n˜ao-decimais. Exemplo: 2 a 5 me 20 d . Vamos rever t´ecnicas de transforma¸c˜ao de numerais complexos re- sultantes de medidas de tempo em numerais n˜ao-complexos e vice- versa. Lembremos, ent˜ao, que: 1 ano =12 meses =360 dias 1 mˆes =30 dias Nota Ano comercial =360 d; ano civil =365 d; ano bissexto =366 d Matem´atica Financeira
- 9. Defini¸c˜ao de Logaritmos Sistemade Logaritmo Consequˆencias da Defini¸c˜ao Propriedades dos logaritmos Medidas de tempo Progress˜ao Geom´etrica Exerc´ıcios Progress˜ao Geom´etrica Defini¸c˜ao Uma sequˆencia, finita ou infinita, de n´umeros reais ´e uma pro- gress˜ao geom´etrica (PG) se, e somente se, o quociente da divis˜ao de cada termo, a partir do segundo, pelo termo imediatamente an- terior ´e constante. Essa constante ´e chamada raz˜ao da PG e indicada por q. F´ormula do termo geral Em toda PG, vale a seguinte express˜ao an = a1.qn−1 que ´e a f´ormula do termo geral. Matem´atica Financeira
- 10. Defini¸c˜ao de Logaritmos Sistemade Logaritmo Consequˆencias da Defini¸c˜ao Propriedades dos logaritmos Medidas de tempo Progress˜ao Geom´etrica Exerc´ıcios Soma dos termos de uma PG finita Seja a PG: (a1, a2, a3, . . . , an−1, an) Representando por Sn, a soma dos termos, temos: Sn = anq − a1 q − 1 ou, equivalentemente, Sn = a1.(qn − 1) q − 1 Matem´atica Financeira
- 11. Defini¸c˜ao de Logaritmos Sistemade Logaritmo Consequˆencias da Defini¸c˜ao Propriedades dos logaritmos Medidas de tempo Progress˜ao Geom´etrica Exerc´ıcios Exerc´ıcios 1) Se log √ a = 1, 236, quanto vale o log 3 √ a? 2) Sabendo que log 2 = x, log 3 = y e log 5 = z, calcule os seguintes logaritmos em fun¸c˜ao de x, y e z: a) log 20 b) log 27 c) log 7, 5 3) Calcule o log24 6 sabendo que log27 6 = x e que log27 4 = y 4) Uma pessoa aplicou a importˆancia de R$500, 00 numa insti- tui¸c˜ao banc´aria que paga juros mensais de 3, 5%, no regime de juros compostos. Quanto tempo ap´os a aplica¸c˜ao o montante ser´a de R$3500, 00? Matem´atica Financeira
- 12. Defini¸c˜ao de Logaritmos Sistemade Logaritmo Consequˆencias da Defini¸c˜ao Propriedades dos logaritmos Medidas de tempo Progress˜ao Geom´etrica Exerc´ıcios Exerc´ıcios 5) Transforme em dias; fra¸c˜ao do mˆes e fra¸c˜ao do ano: a) 4 me 12 d b) 1 a 3 me 8 d 6) Transforme em complexo: a) 885 dias b) 47 3 me c) 3, 475 a 7) Sabendo que o 1o de uma PG ´e 7, que a raz˜ao ´e igual a 3 e que o n´umero de termos ´e 8, calcule o 8o termo. 8) Sabendo que em uma PG a1 = 2, a2 = 4 e an = 512, calcule o n´umero de termos, bem como a soma desses termos. Matem´atica Financeira
- 13. Defini¸c˜ao de Logaritmos Sistemade Logaritmo Consequˆencias da Defini¸c˜ao Propriedades dos logaritmos Medidas de tempo Progress˜ao Geom´etrica Exerc´ıcios CRESPO, Antˆonio Arnot, MATEM´ATICA FINANCEIRA F´ACIL, 14 ed. S˜ao Paulo: Editora Saraiva, 2009 IEZZI, Gelson; HAZZAN, Samuel; DEGENSZAJN, David, FUNDAMENTOS DE MATEM´ATICA ELEMENTAR-Matem´atica comercial, Matem´atica financeira, Estat´ıstica descritiva, 2 ed. S˜ao Paulo: Atual Editora, 2013. Matem´atica Financeira