Atividade 4 aula 4 introduã‡ãƒo a analise

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Atividade 4 aula 4 introduã‡ãƒo a analise

  1. 1. UNIVERSIDADE FEDERAL DO CEARÁ INSTITUTO UFC VIRTUAL LICENCIATURA PLENA DE MATEMÁTICA - PÓLO DE QUIXADÁ DISCIPLINA: INTRODUÇÃO A ANÁLISE PROFESSOR: NOME: FRANCISCO ANDERSON MOREIRA FELIPE DATA: 19/03/2015 SEQUENCIAS DE NUMEROS REAIS Aula 04 QUIXADÁ – CE 2015.1
  2. 2. 1.Se lim nx a= , lim ny b= e n nx y ε− ≥ para todo n∈N , prove que a b ε− ≥ . A princípio temos que lim (xn - yn ) = lim xn – lim yn = a – b. Ou seja, e: Dado ε > 0, existe n N tal que n ≥ nϵ 0 → |( xn - yn) – (a - b)| < ε Entretanto, observe que: ||xn - yn |– |(a - b)|| ≤ → |( xn - yn) – (a - b)| < ε Para todo n ≥ n0 , portanto lim |xn - yn | = |a - b| = ε1 Suponhamos por absurdo que |a - b| < ε e |xn - yn | ≥ ε podemos tomar n > n0 tal que | yn -b| < ε2 e |xn - a| < ε3 teorema onde ε1 + ε2 + ε3 < ε que pode ser feito, basta tomar: ε2 + ε3 < ε - ε1 |yn - xn | ≤ |yn -b| + |a - b| + |xn - a| < ε1 + ε2 + ε3 = ε Logo um absurdo, pois contradiz que: |yn - xn | ≥ ε. 2.Dados ,a b + ∈R , defina indutivamente as sequências ( )nx e ( )ny pondo 1x ab= , 1 2 a b y + = e 1n n nx x y+ = , 1 2 n n n x y y + + = . Prove que ( )nx e ( )ny convergem para o mesmo limite. Sabemos que yn ≥ xn pela desigualdade das medias, então: xn. yn ≥ x²n → √ xn. yn ≥ xn → xn+1 ≥ xn Entao xn é crescente. Dessa mesma forma yn é decrescente pois de xn ≤ yn, tem-se xn + yn ≤ 2yn dai yn+1 = (xn + yn)/ 2 ≤ yn. Como vale x1 ≤ xn ≤ yn ≤ y1 para todo n concluímos que xn e yn são convergente por serem monótonas e limitadas. Em outras palavras se a = b, teríamos xn = yn = a , para todo n N, e assim xϵ n e yn convergiriam para o mesmo limite. Se a ≠ b, digamos, a < b, teríamos: a < x1 < x2 <...< xn<...< yn<...< y2< y1< b Dessa mesma forma xn e yn seriam sequencias monótonas limitadas com xn crescente e yn decrescente e, portanto convergentes. Sejam: y = lim yn e x = lim xn , temos:
  3. 3. 3.Seja 1 1 n nx n   = + ÷   e 1 1 1 1 n ny n +   = − ÷ +  . Mostre que lim 1n nx y× = e deduza daí que 1 1 lim 1 n n e   − = ÷   . Primeiro: Logo temos que: 4.Calcule os limites das sequências a) Então: Dividindo tudo pela maior potencia de n, temos: Temos que:
  4. 4. Logo temos que: b)(n+1)1/2 / (n+2)1/2 Logo: Dividindo pela maior potencia de n, temos: 5.Seja (xn) um sequência tal que toda subsequência converge para o número real a. Mostre que (xn) converge para a. Se temos xn uma sequencia (xn)n Nϵ é uma função s: N’ → R, onde N’ é uma subsequência (xnk)nk Nϵ , ou seja N’ N que é finito, como N’ é enumerável podemos escrever como: {xn1, xn2,..., xnk,... } um subsequência de xn. Temos que : a = lim xnk Dado ε > 0 , existe n0 N, tal que:ϵ n > n0 → | xn - a| < ε Como os índices da sequencia formam um subconjunto infinito, existe entre eles um nnk > n0. Então: nn > nnk → nn > n0 → | nnk - a | < ε Logo temos que : Logo lim nnk = lim xn = a lim = lim = a

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