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MESTRADO EM ENSINO DE CIÊNCIAS E MATEMÁTICA
PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENSINO DE CIÊNCIAS E
MATEMÁTICA - PGECM
HISTÓRIA E TECNOLOGIA NO ENSINO DE
MATEMÁTICA
ALUNAS: TICIANA DE SOUSA LIMA
MARIA MEIRE LUCIO MATOS
PROFa.: Dra. Ana Carolina Costa Pereira
MATEMÁTICA CHINESA
Um pouco sobre a História da China
 Localização: parte leste da Ásia
CHINA
Fonte: Profª. Elisabete Guerato – IFSP
Um pouco sobre a História da China
 Dois terços da China são montanhosos ou semidesérticos. A sua
parte oriental é formada por férteis planícies e deltas. Os rios
principais são: Yang-Tsé, Amarelo, Amur e Yu.
Fonte:http://blogchinatur.blogspot.com.br/2014/07/conhecendo-o-rio-
amarelo-huang-he-na.html
Fonte:http://www.sohistoria.com.br/ef2/china/p1.php
Um pouco sobre a História da China
Pode-se dividir a História Chinesa em quatro períodos :
De 2000 - 600 a.C. - China Antiga
De 600 a.C. - 221 d.C. - China Clássica
De 221– 1911- China Imperial
De 1911 até o presente - China Moderna
Um pouco sobre a História da China
 China antiga : governada por monarquias Hsia, Shang e Chou, o poder
real estava nas mãos de numerosos pequenos senhores, governantes
de pequenas cidades.
 Período caracterizado por inúmeras guerras, taxas sobre a população e
muita pobreza do povo.
Gruta YungangPunição aos prisioneirosArquitetura monumental
Um pouco sobre a História da China
A China Clássica e a China Imperial produziram uma cultura
rica e uma base intelectual sólida. Como consequência, a
matemática e a ciência chinesa se atrasaram em relação às
outras matérias.
Fonte:http://sinografia.blogspot.com.br/200
8/12/o-que-pode-ser-literatura-chinesa.html
Fonte: http://www.resumoescolar.com.br/artes/arte-
chinesa-era-classica/
Um pouco sobre a História da China
Confucionismo Taoismo
• Advogava uma
reestruturação política e
social;
• Pregava uma combinação
da regra de ouro (não
fazer aos outros o que
não queremos que nos
façam);
• Respeito pela autoridade,
cuidados para com a
pobreza, humildade e a
necessidade de ética por
parte dos governantes.
• Proclamava que há
uma ordem ou
harmonia natural
no Universo;
• Recomendava com
insistência a
simplicidade, a paz
e a benevolência
governamental.
Tanto o confucionismo como o taoismo representam reações contra
os desgovernos dos pequenos senhores e a miséria de seus súditos.
551- 479 a.C. VI a.C.
Características do Império Chinês
Durou mais de 1500 anos (excluindo um período de
397 anos entre as dinastias Han e Tang);
Monarcas absolutistas;
Os chineses criaram grandes impérios que
dominaram a maior parte da Ásia Oriental;
Foi um império unificado na maior parte da sua
história;
Se mostravam capazes de evitar invasões;
Foi invadido pelos Mongóis, estes rapidamente se
entrosaram na sociedade chinesa;
Características do Império Chinês
 Civilização mais antiga que a civilização egípcia e babilônica;
 Poucas fontes primárias da civilização chinesa chegou até nós,
devido aos povos da época fazerem muitos de seus registros em
bambu, um material perecível.
 O imperador Shï Huang-te ordenou em 213 a.C. uma lamentável
queima de livros;
 Embora nem todos os livros tenham sido queimados, muitos dos
que se perderam foram reconstituídos de memória;
 Hoje há dúvidas sobre a autenticidade de grande parte do
material bibliográfico que se alega ser anterior aquela data.
 Muito do conhecimento sobre a matemática chinesa primitiva
baseia-se em informações orais e interpretações posteriores de
textos originais.
Registros Chineses
Fontes: Google imagens
História da Matemática na China Antiga
 Período Shang (por volta de 1500 a.C.) – inscrições em ossos
e carapaças de tartarugas ;
 Sistema de Numeração Decimal;
 Sistema de Numeração Posicional;
 Período Han (206 a.C. a 221 d.C.) sistema de numeração em
barras que se utilizava arranjos com varetas de bambu e
representava o zero por um espaço em branco;
 Uso do Suan Pan, espécie de ábaco chinês (referência mais
antiga de 1436 a.C.)
Representação em Bambu e Suan Pan
Sistema de Numeração Chinês
Obras - Matemática Chinesas
 K’ui-ch’ang Suan-shu (Nove capítulos
sobre a arte da matemática)
 Escrito por Chang Tshang (200-142 aC);
 O mais importante texto de Matemática
Chinesa;
 O trabalho consta de 246 problemas sobre
agricultura, procedimentos em negócios,
engenharia, agrimensura, resolução de
equações e propriedades de triângulos
retângulos.
Obras - Matemática Chinesas
 CHÓU-PEÏ SUAN CHING (~500–200 A.C.)
O mais artigo texto sobre matemática;
Datada de antes do século 3 a.C.;
Texto que trata parcialmente de
matemática;
Valores de 
 A China, desde os primeiros séculos da era cristã, buscava
valores mais precisos para  (3,1547; 10; 92/29 e 142/45);
 No século III, Lui Hui, comentador do Nove capítulos, obteve
3,14 utilizando um polígono regular de 96 lados e a aproximação
3,14159 considerando um polígono de 3072 lados;
 Na obra de Tsu Ch’ung-chih, o valor de  (22/7) foi descrito
como “inexato”, segundo a obra seu valor “preciso” era 355/113;
 O teorema de Pitágoras por si só basta para dar uma
aproximação tão boa quanto se queira;
Algumas Contribuições Matemáticas
 Os tratados Suan-hsued ch’i-meng (Introdução aos estudos matemáticos) e
Ssu-yüan yü-chien (Espelho precioso dos quatro elementos) escrito pelo sábio
errante, Chu Shï-kié;
 Os quatro elementos: céu, terra, homem e matéria representavam as quatro
incógnitas em uma equação e as equações simultâneas marcam o ápice da
álgebra chinesa;
 Chu neste livro explicou o método de transformação para equações, fan-fa, o
método de Horner;
 O primeiro símbolo do zero: uma circunferência, dado por Ch’in Kiu-shao;
 Ch’in, generaliza o método da extração de raízes quadradas, conforme o livro
Nove capítulos e para as equações de grau superior, o método de Horner.
Liu Hui (220-280)
 Comentador da obra Nove capítulos da Arte
Matemática, deu provas completas para as soluções e
fórmulas, enquanto corrigia a obra;
 O primeiro a apresentar o conceito de número decimal;
 Calculou a aproximação mais “precisa” do valor de 
com cinco casas decimais;
 Haidao Suanjing (Manual de Matemática da Ilha
Marítima) consistiu em 9 problemas de medição;
 Dedicou-se a resolver problemas de área e volume.
Fonte: http://goo.gl/2dlKt4
Li Chih (ou Li Yeh, 1192-1279)
 Em 1248, completou sua obra Ts’e-yuan hai-
ching (Espelho marinho das medidas do
círculo) contendo 170 problemas que tratam
de círculos inscritos e circunscritos de um
triângulo retângulo e as relações entre os
lados e raios;
 Em 1260, Li recusou um posto no governo
oferecido por Khublai Khan;
 Introduziu uma notação para os números
negativos.
Fonte:http://goo.gl/4YqDwR
Problemas do livro Ts’e-yuan hai-ching
 Problema 2.2 : Duas pessoas A e B início a partir do portão oeste. B
caminha uma distância de 256 pu para o leste. Em seguida, A
caminha uma distância de 480 pu sul antes que ele possa ver B.
Localizar o diâmetro da cidade.
 Problema 3.4: Uma pessoa A deixa o portão oeste e caminha para o
sul para 480 pu. B deixa o portão leste e caminha para a frente uma
distância de 16 pu, quando ele apenas vê A. Encontre o diâmetro da
cidade.
 Problema 11.18: Uma árvore está 135 pu diretamente para fora do
portão sul. Se a pessoa caminha 15 pu fora do portão norte e depois
vira para o leste para uma distância de 208 pu, vem a árvore à
vista. Encontrar o diâmetro da cidade.
Ch’in Kiu-shao (1202-1261)
 Um governador desonesto, adquiriu imensas
riquezas após cem dias de posto;
 O primeiro a dar um símbolo específico para o zero;
 Escreveu o tratado Shushu Jiuzhang ( Tratado
Matemático em Nove Seções) o qual tratava de
análise indeterminada contendo o teorema do resto
chinês e soluções de equações lineares;
 Calculava os calendários utilizando a teoria das
congruências de primeira ordem.
Fonte:http://goo.gl/KQQSYW
Problemas do livro Shushu Jiuzhang
 Dada uma cidade circular murada de diâmetro desconhecido com quatro
portas, em cada uma, um dos quatro pontos cardeais. Uma árvore
encontra-se três li norte do portão norte. Se vira e for para nove li ao leste
imediatamente sairá no portão sul, só a árvore que à vista. Encontrar a
circunferência e o diâmetro da muralha da cidade.
 Resolva equações simultâneas lineares:
 140 X + 88 Y + 15 Z = 58800
792 x + 566 y + 815 Z = 392000
64 x + 30 Y + 75 Z = 29400
Yang Hui (1261-1275)
 Suas contribuições matemáticas estão
relacionadas aos antigos quadrados
mágicos chineses, círculos mágicos e o
teorema binomial;
 Sua obra inclui resultados quanto à soma de
séries e o chamado triângulo de Pascal;
 Trabalhou com as frações decimais.
Fonte: http://goo.gl/Vn1VxF
Chu Shï-kié(1260 -1320)
 Passou vinte anos viajando e ensinando matemática as pessoas que o
procurava;
 Suanxue Qimeng (Introdução aos estudos matemáticos):
 Em 1299, o livro foi publicado para iniciantes;
 Com exemplos os cálculos com frações e decimais, explicação da
regra de três, áreas e volumes e do estado da dupla posição falsa;
 Trata álgebra polinomial e equações polinomiais com o método do
coeficiente desconhecido;
 Siyuan Yujian( Espelho Precioso dos quatro elementos):
 Uma destas figuras é o triângulo de Pascal que dá os coeficientes
necessários para expandir somas de desconhecidos até à oitava
potência.
 Apresenta o método de transformação para a solução numérica de
equações que é aplicado a equações até grau 14.
Fonte: http://goo.gl/CmAup9
Problemas do livro Siyuan Yujian
 Um triângulo em ângulo reto tem uma área de 30 bu. A soma da base e altura do triângulo
é 17 bu. Quanto é a soma da base e hipotenusa?
 Seja D o diâmetro do círculo inscrito num triângulo (Zhu utiliza a relação d = X + Y - Z em que X,
Y, Z são como definido a seguir). Seja x, y ser os comprimentos das duas pernas e Z o
comprimento da hipotenusa do triângulo. Dado que dxy = 24 e x + z = 9 achado y.
 As fórmulas das somas de séries:
 1 + 2 + 3 + 4 + ... + N = N ( N + 1) / 2,
 1 + 3 + 6 + 10 + ... + n ( n + 1) / 2 = n ( n + 1) ( n + 2) / 6,
 1 + 4 + 10 + 20 + ... + n ( n + 1) ( n + 2) / 6 = n ( n + 1) ( n + 2) ( n + 3) / 24,
 1 + 5 + 15 + 35 + ... + n ( n + 1) ( n + 2) ( n + 3) / 24 = N ( N + 1) ( n + 2) ( n + 3) ( n + 4) / 120,
 1 + 6 + 21 + 56 + ... + n ( n + 1) ( n + 2) ( n + 3) ( n + 4) / 120 = n ( n + 1) ( n + 2) ( n + 3) ( n + 4)
( n + 5) / 720.
Fonte: https://goo.gl/a7c3om
Espelho Precioso dos quatro elementos
Algumas Contribuições Chinesas
 A primeira a criar um sistema de numeração posicional decimal;
 Reconhecer os números negativos;
 Obter valores precisos de ;
 Chegar ao método de Horner para soluções numéricas de equações algébricas;
 Apresentar o triângulo aritmético de Pascal;
 Se inteirar do método binomial;
 Empregar métodos matriciais para resolver sistemas de equações lineares;
 Resolver sistemas de congruências pelo método, pelo teorema do resto chinês;
 Desenvolver frações decimais;
 Desenvolver a regra de três;
 Aplicar a regra da falsa posição dupla;
 Desenvolver séries aritméticas de ordem superior e suas aplicações à interpolação;
 Desenvolver a geometria descritiva.
Referências Bibliográficas
BOYER, Carl B.. História da Matemática. 3ª ed. São Paulo: Blucher, 2010.
Eves, Howard. Introdução à história da matemática. 5ª ed. Campinas: Editora
Unicamp, 2011.

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Apresentação sobre matemática chinesa

  • 1. MESTRADO EM ENSINO DE CIÊNCIAS E MATEMÁTICA PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENSINO DE CIÊNCIAS E MATEMÁTICA - PGECM HISTÓRIA E TECNOLOGIA NO ENSINO DE MATEMÁTICA ALUNAS: TICIANA DE SOUSA LIMA MARIA MEIRE LUCIO MATOS PROFa.: Dra. Ana Carolina Costa Pereira
  • 2. MATEMÁTICA CHINESA Um pouco sobre a História da China  Localização: parte leste da Ásia
  • 4. Um pouco sobre a História da China  Dois terços da China são montanhosos ou semidesérticos. A sua parte oriental é formada por férteis planícies e deltas. Os rios principais são: Yang-Tsé, Amarelo, Amur e Yu. Fonte:http://blogchinatur.blogspot.com.br/2014/07/conhecendo-o-rio- amarelo-huang-he-na.html Fonte:http://www.sohistoria.com.br/ef2/china/p1.php
  • 5. Um pouco sobre a História da China Pode-se dividir a História Chinesa em quatro períodos : De 2000 - 600 a.C. - China Antiga De 600 a.C. - 221 d.C. - China Clássica De 221– 1911- China Imperial De 1911 até o presente - China Moderna
  • 6. Um pouco sobre a História da China  China antiga : governada por monarquias Hsia, Shang e Chou, o poder real estava nas mãos de numerosos pequenos senhores, governantes de pequenas cidades.  Período caracterizado por inúmeras guerras, taxas sobre a população e muita pobreza do povo. Gruta YungangPunição aos prisioneirosArquitetura monumental
  • 7. Um pouco sobre a História da China A China Clássica e a China Imperial produziram uma cultura rica e uma base intelectual sólida. Como consequência, a matemática e a ciência chinesa se atrasaram em relação às outras matérias. Fonte:http://sinografia.blogspot.com.br/200 8/12/o-que-pode-ser-literatura-chinesa.html Fonte: http://www.resumoescolar.com.br/artes/arte- chinesa-era-classica/
  • 8. Um pouco sobre a História da China Confucionismo Taoismo • Advogava uma reestruturação política e social; • Pregava uma combinação da regra de ouro (não fazer aos outros o que não queremos que nos façam); • Respeito pela autoridade, cuidados para com a pobreza, humildade e a necessidade de ética por parte dos governantes. • Proclamava que há uma ordem ou harmonia natural no Universo; • Recomendava com insistência a simplicidade, a paz e a benevolência governamental. Tanto o confucionismo como o taoismo representam reações contra os desgovernos dos pequenos senhores e a miséria de seus súditos. 551- 479 a.C. VI a.C.
  • 9. Características do Império Chinês Durou mais de 1500 anos (excluindo um período de 397 anos entre as dinastias Han e Tang); Monarcas absolutistas; Os chineses criaram grandes impérios que dominaram a maior parte da Ásia Oriental; Foi um império unificado na maior parte da sua história; Se mostravam capazes de evitar invasões; Foi invadido pelos Mongóis, estes rapidamente se entrosaram na sociedade chinesa;
  • 10. Características do Império Chinês  Civilização mais antiga que a civilização egípcia e babilônica;  Poucas fontes primárias da civilização chinesa chegou até nós, devido aos povos da época fazerem muitos de seus registros em bambu, um material perecível.  O imperador Shï Huang-te ordenou em 213 a.C. uma lamentável queima de livros;  Embora nem todos os livros tenham sido queimados, muitos dos que se perderam foram reconstituídos de memória;  Hoje há dúvidas sobre a autenticidade de grande parte do material bibliográfico que se alega ser anterior aquela data.  Muito do conhecimento sobre a matemática chinesa primitiva baseia-se em informações orais e interpretações posteriores de textos originais.
  • 12. História da Matemática na China Antiga  Período Shang (por volta de 1500 a.C.) – inscrições em ossos e carapaças de tartarugas ;  Sistema de Numeração Decimal;  Sistema de Numeração Posicional;  Período Han (206 a.C. a 221 d.C.) sistema de numeração em barras que se utilizava arranjos com varetas de bambu e representava o zero por um espaço em branco;  Uso do Suan Pan, espécie de ábaco chinês (referência mais antiga de 1436 a.C.)
  • 15. Obras - Matemática Chinesas  K’ui-ch’ang Suan-shu (Nove capítulos sobre a arte da matemática)  Escrito por Chang Tshang (200-142 aC);  O mais importante texto de Matemática Chinesa;  O trabalho consta de 246 problemas sobre agricultura, procedimentos em negócios, engenharia, agrimensura, resolução de equações e propriedades de triângulos retângulos.
  • 16. Obras - Matemática Chinesas  CHÓU-PEÏ SUAN CHING (~500–200 A.C.) O mais artigo texto sobre matemática; Datada de antes do século 3 a.C.; Texto que trata parcialmente de matemática;
  • 17. Valores de   A China, desde os primeiros séculos da era cristã, buscava valores mais precisos para  (3,1547; 10; 92/29 e 142/45);  No século III, Lui Hui, comentador do Nove capítulos, obteve 3,14 utilizando um polígono regular de 96 lados e a aproximação 3,14159 considerando um polígono de 3072 lados;  Na obra de Tsu Ch’ung-chih, o valor de  (22/7) foi descrito como “inexato”, segundo a obra seu valor “preciso” era 355/113;  O teorema de Pitágoras por si só basta para dar uma aproximação tão boa quanto se queira;
  • 18. Algumas Contribuições Matemáticas  Os tratados Suan-hsued ch’i-meng (Introdução aos estudos matemáticos) e Ssu-yüan yü-chien (Espelho precioso dos quatro elementos) escrito pelo sábio errante, Chu Shï-kié;  Os quatro elementos: céu, terra, homem e matéria representavam as quatro incógnitas em uma equação e as equações simultâneas marcam o ápice da álgebra chinesa;  Chu neste livro explicou o método de transformação para equações, fan-fa, o método de Horner;  O primeiro símbolo do zero: uma circunferência, dado por Ch’in Kiu-shao;  Ch’in, generaliza o método da extração de raízes quadradas, conforme o livro Nove capítulos e para as equações de grau superior, o método de Horner.
  • 19. Liu Hui (220-280)  Comentador da obra Nove capítulos da Arte Matemática, deu provas completas para as soluções e fórmulas, enquanto corrigia a obra;  O primeiro a apresentar o conceito de número decimal;  Calculou a aproximação mais “precisa” do valor de  com cinco casas decimais;  Haidao Suanjing (Manual de Matemática da Ilha Marítima) consistiu em 9 problemas de medição;  Dedicou-se a resolver problemas de área e volume. Fonte: http://goo.gl/2dlKt4
  • 20. Li Chih (ou Li Yeh, 1192-1279)  Em 1248, completou sua obra Ts’e-yuan hai- ching (Espelho marinho das medidas do círculo) contendo 170 problemas que tratam de círculos inscritos e circunscritos de um triângulo retângulo e as relações entre os lados e raios;  Em 1260, Li recusou um posto no governo oferecido por Khublai Khan;  Introduziu uma notação para os números negativos. Fonte:http://goo.gl/4YqDwR
  • 21. Problemas do livro Ts’e-yuan hai-ching  Problema 2.2 : Duas pessoas A e B início a partir do portão oeste. B caminha uma distância de 256 pu para o leste. Em seguida, A caminha uma distância de 480 pu sul antes que ele possa ver B. Localizar o diâmetro da cidade.  Problema 3.4: Uma pessoa A deixa o portão oeste e caminha para o sul para 480 pu. B deixa o portão leste e caminha para a frente uma distância de 16 pu, quando ele apenas vê A. Encontre o diâmetro da cidade.  Problema 11.18: Uma árvore está 135 pu diretamente para fora do portão sul. Se a pessoa caminha 15 pu fora do portão norte e depois vira para o leste para uma distância de 208 pu, vem a árvore à vista. Encontrar o diâmetro da cidade.
  • 22. Ch’in Kiu-shao (1202-1261)  Um governador desonesto, adquiriu imensas riquezas após cem dias de posto;  O primeiro a dar um símbolo específico para o zero;  Escreveu o tratado Shushu Jiuzhang ( Tratado Matemático em Nove Seções) o qual tratava de análise indeterminada contendo o teorema do resto chinês e soluções de equações lineares;  Calculava os calendários utilizando a teoria das congruências de primeira ordem. Fonte:http://goo.gl/KQQSYW
  • 23. Problemas do livro Shushu Jiuzhang  Dada uma cidade circular murada de diâmetro desconhecido com quatro portas, em cada uma, um dos quatro pontos cardeais. Uma árvore encontra-se três li norte do portão norte. Se vira e for para nove li ao leste imediatamente sairá no portão sul, só a árvore que à vista. Encontrar a circunferência e o diâmetro da muralha da cidade.  Resolva equações simultâneas lineares:  140 X + 88 Y + 15 Z = 58800 792 x + 566 y + 815 Z = 392000 64 x + 30 Y + 75 Z = 29400
  • 24. Yang Hui (1261-1275)  Suas contribuições matemáticas estão relacionadas aos antigos quadrados mágicos chineses, círculos mágicos e o teorema binomial;  Sua obra inclui resultados quanto à soma de séries e o chamado triângulo de Pascal;  Trabalhou com as frações decimais. Fonte: http://goo.gl/Vn1VxF
  • 25. Chu Shï-kié(1260 -1320)  Passou vinte anos viajando e ensinando matemática as pessoas que o procurava;  Suanxue Qimeng (Introdução aos estudos matemáticos):  Em 1299, o livro foi publicado para iniciantes;  Com exemplos os cálculos com frações e decimais, explicação da regra de três, áreas e volumes e do estado da dupla posição falsa;  Trata álgebra polinomial e equações polinomiais com o método do coeficiente desconhecido;  Siyuan Yujian( Espelho Precioso dos quatro elementos):  Uma destas figuras é o triângulo de Pascal que dá os coeficientes necessários para expandir somas de desconhecidos até à oitava potência.  Apresenta o método de transformação para a solução numérica de equações que é aplicado a equações até grau 14. Fonte: http://goo.gl/CmAup9
  • 26. Problemas do livro Siyuan Yujian  Um triângulo em ângulo reto tem uma área de 30 bu. A soma da base e altura do triângulo é 17 bu. Quanto é a soma da base e hipotenusa?  Seja D o diâmetro do círculo inscrito num triângulo (Zhu utiliza a relação d = X + Y - Z em que X, Y, Z são como definido a seguir). Seja x, y ser os comprimentos das duas pernas e Z o comprimento da hipotenusa do triângulo. Dado que dxy = 24 e x + z = 9 achado y.  As fórmulas das somas de séries:  1 + 2 + 3 + 4 + ... + N = N ( N + 1) / 2,  1 + 3 + 6 + 10 + ... + n ( n + 1) / 2 = n ( n + 1) ( n + 2) / 6,  1 + 4 + 10 + 20 + ... + n ( n + 1) ( n + 2) / 6 = n ( n + 1) ( n + 2) ( n + 3) / 24,  1 + 5 + 15 + 35 + ... + n ( n + 1) ( n + 2) ( n + 3) / 24 = N ( N + 1) ( n + 2) ( n + 3) ( n + 4) / 120,  1 + 6 + 21 + 56 + ... + n ( n + 1) ( n + 2) ( n + 3) ( n + 4) / 120 = n ( n + 1) ( n + 2) ( n + 3) ( n + 4) ( n + 5) / 720.
  • 28. Algumas Contribuições Chinesas  A primeira a criar um sistema de numeração posicional decimal;  Reconhecer os números negativos;  Obter valores precisos de ;  Chegar ao método de Horner para soluções numéricas de equações algébricas;  Apresentar o triângulo aritmético de Pascal;  Se inteirar do método binomial;  Empregar métodos matriciais para resolver sistemas de equações lineares;  Resolver sistemas de congruências pelo método, pelo teorema do resto chinês;  Desenvolver frações decimais;  Desenvolver a regra de três;  Aplicar a regra da falsa posição dupla;  Desenvolver séries aritméticas de ordem superior e suas aplicações à interpolação;  Desenvolver a geometria descritiva.
  • 29. Referências Bibliográficas BOYER, Carl B.. História da Matemática. 3ª ed. São Paulo: Blucher, 2010. Eves, Howard. Introdução à história da matemática. 5ª ed. Campinas: Editora Unicamp, 2011.