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ÍNDICE



INTRODUÇÃO AO ESTUDO DA CINEMÁTICA..................................................................................                                            02
MOVIMENTO RETILÍNEO UNIFORME.................................................................................................                                   05
GRÁFICO HORÁRIO DO MOVIMENTO RETILÍNEO UNIFORME....................................................                                                             06
MOVIMENTO RETILÍNEO UNIFORMEMENTE                                                                                                                               15
VARIADO................................................................
VETORES VELOCIDADE E ACELERAÇÃO.........................................................................................                                        22
ADIÇÃO DE VETORES............................................................................................................................                   24
MÉTODO DA POLIGONAL.....................................................................................................................                        24
REGRA DO PARALELOGRAMO............................................................................................................                              25
MÉTODO DAS PROJEÇÕES....................................................................................................................                        26
SUBTRAÇÃO DE VETORES....................................................................................................................                        27
MULTIPLICAÇÃO DE UM NÚMERO REAL POR UM VETOR...........................................................                                                         27
VETOR DESLOCAMENTO......................................................................................................................                        28
LEI DA INÉRCIA.......................................................................................................................................           31
LEI FUNDAMENTAL............................................................... ...............................................................                  32
LEI DA AÇÃO E REAÇÃO............................................................... ......................................................                      34
FORÇA PESO............................................................... .............................................................................         35
ACELERAÇÃO E CAMPO GRAVITACIONAL............................................................... .....................                                           36
APLICAÇÕES DAS LEIS DE NEWTON..................................................................................................                                 36
TRABALHO DE UMA FORÇA............................................................... .................................................                          41
O TRABALHO DA FORÇA – PESO............................................................... ...........................................                           43
EXERCÍCIOS............................................................... ..............................................................................        46
TERMOMETRIA............................................................... ........................................................................             49
ESCALA FAHRENHEIT............................................................... ............................................................                   50
ESCALA KELVIN............................................................... ......................................................................             50
ESCALA CELSIUS............................................................... ...................................................................               52
DILATAÇÃO DOS SÓLIDOS E DOS LÍQUIDOS...................................................................................                                         52
CONCEITO DE CALOR............................................................... ...........................................................                    56
CAPACIDADE TÉRMICA DE UM CORPO............................................................................................                                      58
ÓPTICA GEOMÉTRICA............................................................... ............................................................                   61
EXERCÍCIOS............................................................... ..........................................................................            67
ONDAS............................................................... ............................................................... ........................   68
CARACTERÍSTICAS DA ONDA.............................................................................................................                            70
REFLEXÃO DAS ONDAS SONORAS............................................................... .....................................                                 73
EXERCÍCIOS............................................................... .............................................................................         74
AUTOAVALIAÇÃO............................................................... ..................................................................                 76
ELETRICIDADE............................................................... ........................................................................            79
ISOLANTES E CONDUTORES............................................................... ................................................                          81
CAMPO ELÉTRICO............................................................... ...................................................................               82
CORRENTE ELÉTRICA............................................................... ...........................................................                    82
RESISTÊNCIA ELÉTRICA............................................................... .......................................................                     85
CIRCUITOS ELÉTRICOS............................................................... ..........................................................                   89
ASSOCIAÇÃO DE RESISTORES EM SÉRIE......................................................................................                                         91
ASSOCIAÇÃO DE RESISTORES EM PARALELO................................................................................                                            92
EXERCÍCIOS............................................................... ..............................................................................        94
BIBLIOGRAFIA A CONSULTAR............................................................................................................                            100




                                                                                                                                                                     1
Texto : INTRODUÇÃO AO ESTUDO DA CINEMÁTICA

        A Cinemática é a parte da mecânica que estuda e descreve os movimentos, sem se
preocupar com as suas causas. Ela se baseia em quatro conceitos fundamentais: posição,
tempo, velocidade e aceleração.
        É comum, ao estudarmos o movimento de um corpo qualquer , tratá-lo como uma
partícula. Dizemos que um corpo é uma partícula quando suas dimensões são muito
pequenas, desprezíveis , em comparação com as demais dimensões que participam do
fenômeno . Por exemplo: se um automóvel, de 3,5 m de comprimento , se desloca 15
metros, ele não pode ser considerado uma partícula mas, se ele se desloca por cerca de 200
quilômetros , seu comprimento é desprezível, em relação a essa distância .

       A todo instante você pode ver aviões cortarem o céu, automóveis percorrerem ruas e
estradas, pessoas andarem de um lado para outro na cidade. O movimento está presente em
cada momento do seu dia – a – dia .
       Como podemos verificar com exatidão se um corpo está em movimento ou em
repouso? Vejamos exemplo: uma pessoa está sentada dentro de um ônibus e você, parado
na calçada, a vê passar .

Essa pergunta tem duas respostas. Veja:

 Primeira resposta : poderíamos dizer que a pessoa está em movimento, em relação a
  você ( que estava parado na calçada ) ; ou
 Segunda resposta : poderíamos dizer que a pessoa está em repouso ( ausência de
  movimento ), em relação ao motorista do ônibus.

Veja que, dependendo do ponto tomado como referência, há ou não movimento de um
corpo, ......

REFERENCIAL É TODO CORPO OU PONTO EM RELAÇÃO AO QUAL SE
VERIFICA A MUDANÇA DE POSIÇÃO DE UM OUTRO CORPO.

Ou:

REFERENCIAL É UM CORPO RÍGIDO AO QUAL ASSOCIAMOS UM SISTEMA DE
EIXOS PARA FACILITAR A CARACTERIZAÇÃO DA POSIÇÃO DE UM CORPO OU
PARTÍCULA .


                                                           Movimento , repouso e trajetória
        Quando a posição de um corpo ou partícula varia, em relação a um dado referencial,
no decurso de um intervalo de tempo qualquer, diz-se que há movimento. Por outro lado, se
a posição de um corpo não varia , em relação a um referencial, durante um intervalo de
tempo, diz-se que esse corpo está em repouso.
        O caminho percorrido por uma partícula ou corpo em movimento é chamado de
trajetória.
        A trajetória de uma partícula em relação a um referencial é dada pela linha contínua
que une as sucessivas posições ocupadas pela partícula durante o seu movimento .

                                                                         Intervalo de tempo

       Para podermos situar um acontecimento em relação a outro, precisamos ordenar os
fatos em passado , presente e futuro, ou seja, precisamos estabelecer um referencial.
Assim, em um deslocamento de uma partícula qualquer, dizemos que ela passou por um

                                                                                          2
determinado ponto P0 em instante t0 , e está no ponto p1 no instante t1 . O tempo que a
partícula levou de sua posição inicial P0 a posição P1, denomina-se intervalo de tempo .
        O intervalo de tempo ∆t é então definido como a diferença entre o instante final e o
instante inicial .

                             ∆t = tf – t1

       O deslocamento dessa partícula pode também ser definido como a diferença entre a
sua posição final , no ponto P1, e a sua posição inicial no ponto P0 . Dessa forma, teremos,
chamado o deslocamento de ∆s, a posição final de Sf e a inicial de Si :

                             ∆s = Sf - Si

       A relação existente entre o deslocamento realizado por um móvel e o tempo gasto
por esse móvel para realizar esse deslocamento é chamado de velocidade média.
       A velocidade média vai, então, indicar a rapidez com que um móvel mudou de
posição . Representamos a velocidade média ( Vm ), assim :



                             Vm = ∆s = Sf - Si
                                  ∆t   tf - t i


       As grandezas físicas podem ser medidas usando-se diversas unidades. Por exemplo,
o comprimento pode ser medido em metros , centímetros, quilômetros, pés, milhas, etc.
       A medição das grandezas físicas deve ser feita de forma coerente . Para isso, foram
estabelecidos alguns sistemas de unidades físicas, dos quais os mais usados são três : O
Sistema Internacional (SI ) , também chamado de sistema MKS – metro, quilograma,
segundo; o sistema CGS centímetro , grama, segundo; e o sistema MK*S ou MKgfS –
Metro , quilograma – força, segundo.
       Na resolução de qualquer problema é necessário que todas as unidades sejam de um
mesmo sistema de unidades.
       Assim sendo, elaboramos a tabela que se segue, a fim de que você possa se
familiarizar com as grandezas dos vários sistemas. Pedimos que você tenha especial
atenção com os sistema MKS, CGS, pois serão os que você mais empregará no seu estudo.
( Decreto nº 52 423, de 30/08/63. )



  GRANDEZAS                      SI                   CGS                    MK*S
Comprimento            M                      Cm                      M
Massa                  Kg                     g                       utm (2 )
Tempo                  s ( ou seg )           s ( ou seg )            s ( ou seg )
Velocidade             m/s                    cm/s                    m/s


Seja , por exemplo, dada a velocidade de um móvel igual a 90 Km/h. Vamos transformar o
valor da sua velocidade para os sistema MKS e CGS.




                                                                                          3
1 ) Transformando para o sistema MKS, temos :

                90 km/h = 90 km = 90 000 = 25 m/s
                          1 hora 3 600s (3)

      2) Transformando para o sistema CGS, temos :

                90 km/h = 90 km = 9 000 000 cm = 2 500 cm / s
                          1 hora      3 600 s

       Pense e responda.

      A velocidade média reflete a velocidade de um móvel em cada ponto de sua trajetória ?
      não. Nós sabemos que durante um deslocamento qualquer, um móvel pode variar a sua
      velocidade e que a velocidade média pode ser, então, muito diferente da velocidade em
      determinado ponto da trajetória.

      A velocidade de um móvel em determinado instante é chamada de velocidade instantânea.
      (V) , que traduz a velocidade em cada ponto da trajetória .

      Nesse nosso curso, iremos tratar apenas da velocidade média.

1     EXERCÍCIO

      AGORA VOCÊ VAI FAZER A VERIFICAÇÃO DO QUE APRENDEU NESTE TEXTO,
      PARA RESOLVER OS EXERCÍCIOS QUE SE SEGUEM VOCÊ DEVE SABER:

     O QUE É CINEMÁTICA , REFERENCIAL, TRAJETÓRIA, INTERVALO DE TEMPO,
      DESLOCAMENTO E VELOCIDADE MÉDIA .
     TRANSFORMAR PARA OS SISTEMA MKS E CGS AS UNIDADES DE
      COMPRIMENTO, TEMPO E VELOCIDADE.
     1 – COMPLETE AS LACUNAS .
     1. A Cinemática á a parte da .......................................... que estuda e descreve os
         .................................... sem se preocupar com as suas causas.
     2. Referencial é um corpo ........................................ ao qual associamos um
         .................................. para facilitar a caracterização da ............................................de
         um corpo.
     3. Trajetória é o ............................................. percorrido por uma partícula em
         ....................
     4. Intervalo de tempo é definido como a ................................................... entre o
         ............................................... e o ................................................... .

      5. O deslocamento de uma partícula é definido como a ..........................................................
      entre a sua posição .......................................... e a posição ......................................................

      6. A relação entre o deslocamento realizado por um móvel e o tempo gasto por esse móvel
      para realizar esse deslocamento é chamado de .......................................................................


      II – Transforme os valores das velocidades para o sistema MKS.
      1. 108 quilômetros por hora
      2. 60 metros por minuto

      1 – Chave de Correção .
      I – 1 . Mecânica / movimentos


                                                                                                                                     4
2. Rígido / sistema de eixos / posição
3. caminho / movimento .
4. diferença / instante final / instante inicial
5. diferença / final / inicial
6. velocidade média

II – 1 . 108 km /h = 180 km = 180 000 m = 30 m/s
                     1 hora    3 6000

2. 60 m/m =     60 m = 60 m = 1 m/s
              1 minuto 60 s


                    MOVIMENTO RETILÍNEO UNIFORME

    Vimos que a velocidade de um corpo é a rapidez com que ele muda de posição . Essa
mudança de posição pode ser efetuada de diferentes maneira . Cada maneira caracteriza um
determinado tipo de movimento. Vejamos m desses tipos: o movimento retilíneo uniforme
(MRU ).
       Chamamos de MRU àquele em que o deslocamento do corpo ( em relação a um
referencial ) se dá em uma trajetória retilínea ( em linha reta ) com o valor de velocidade
constante.
       Assim, quando afirmamos que um móvel executa movimente retilíneo uniforme
com velocidade de 10 m/s, isto significa que em qualquer instante o valor da velocidade
deste móvel será de 10 m/s.

Sabemos que todo corpo em movimento sofre uma variação de posição . Para indicar a
posição de um corpo em um determinado instante, usamos a equação denominada equação
horária.
Veja o exemplo.
Um móvel está se movendo em MRU. Tomamos um ponto X com referencial. O móvel
parte do ponto 1 no instante t1 = 0 e chega ao ponto 2 no instante tf = t, como mostra o
esquema a seguir

                                                                                       2


        Ti = 0
                                                                                           Tf = t
                                                   ∆S
        Si

                                           S


Quando o móvel atinge o ponto 2, sua posição em relação ao ponto x é dada pela expressão
S = si + ∆s

Como a velocidade do móvel é constante, podemos aplicar a fórmula de Vm.
Vm = ∆s ⇒ ∆s = Vm . ∆t ou ∆s = Vm . ( tf – ti )
      ∆t
como, pelo enunciado tf - t , temos ainda que:
Vs = Vm . ( t – t1 ) , mas t1 = 0 , então




                                                                                           5
∆s = Vm . t , ou simplesmente

               ∆s = V . t

Se substituirmos ∆s por ( s – sj ) , teremos :
S – Sj = V . t , ou

               S = Sj + V t

Que é a equação horária do Movimento Retilíneo Uniforme.
Vejamos um problema resolvido.
1. A posição de um móvel em Movimento Retilíneo Uniforme é representada pela
    equação S = 2 + 5 t. Usando as unidades do sistema MKS. Calcule :
a) a posição inicial do móvel :
s = 2 + 5t : ( para t = 0 ) s = 2 + 5 . 0
s= 2 +0 :(s=2 )

Resp. A posição inicial do móvel é 2 metros.

b) A posição do móvel no instante t = 3
s=2 + 5t
s=2 +(5 .3 )
s = 2 + 15 .
S = 17

Resp. A posição do móvel no instante t = 3 é 17 metros.

c) O deslocamento do móvel no instante t = 10
s=2 + 5t
s = 2 + ( 5 . 10 )
s = 2 + 50
s = 52 ( posição do móvel em t= 10 )

∆s = s – sj
∆s = 52 – 2
∆s = 50                resp: o deslocamento do móvel é de 50 metros.

d) a velocidade do móvel
Vm = ∆s tomando –se              t= 10 e ∆s = 50 m
        ∆t


Vm = 50 m : Vm = 5m/s
     10s

Resp. A velocidade do móvel é de 5 m/s

       Os gráficos são de grande valia para análise dos movimentos e a resolução de
problemas. Sabendo-se interpretar um gráfico, dele extraímos um grande número de
informações .




                                                                                 6
GRÁFICO HORÁRIO DO MOVIMENTO RETILÍNEO UNIFORME
       O gráfico horário de um movimento retilíneo uniforme é a representação gráfica de
sua equação horária , num sistema de coordenadas cartesianas. Nele, marcamos os tempos
no eixo das abscissas e os espaços no eixo das ordenadas.
    Vamos fazer uma tabela tempo x posição para a equação s = 10 + 5t ; atribuindo
valores para o tempo, Assim teremos ;
 Para t = 0 ⇒ s = 10 + ( 5 . 0 ) = 10
 Para t = 1 ⇒ s = 10 + ( 5 . 1 ) = 15
 Para t = 2 ⇒ s = 10 + (5 . 2 ) = 20
 Para t = 3 ⇒ s = 10 + (5 . 3 ) = 25
 Para t = 4 ⇒ s = 10 + (5 . 4 ) = 30
 Para t = 5 ⇒ s = 10 + ( 5 . 5 ) = 35
 Para t = 6 ⇒ s = 10 + ( 5 . 6 ) = 40
 Para t = 7 ⇒ s = 10 + ( 5 . 7 ) = 45

    Vamos transportar os valores da tabela para o gráfico s x t , onde o eixo das abscissas
terá os valores do tempo e o eixo das ordenadas, os valores da posição.




        A equação horária do MRU é uma equação do 1º grau em t. Assim sendo, seu
gráfico sempre será uma reta.
        No gráfico que acabamos de construir , o movimento é progressivo, pois o valor de
s diminui com o aumento dos valores de t.
        Dizemos que um movimento é progressivo quando seu sentido coincide com o
sentido convencionado como positivo e que o movimento é regressivo quando, em caso
contrário, seu sentido é oposto ao convencionado com positivo.
1. Gráfico da velocidade do Movimento Retilíneo Uniforme
        O gráfico da velocidade é o gráfico que obtemos marcando o tempo no eixo das
abscissas e a velocidade no eixo das ordenadas.
        No caso do MRU, onde a velocidade é constante, a ordenada é a mesma para todos
os pontos.
Vejamos um exemplo.
        Um formiga percorre uma escala graduada, em movimento retilíneo uniforme, para
pegar um grão de açúcar. Sabendo-se que no instante t = 0 ela se achava na origem da
escala, e que após percorrer o espaço de 15cm , havia se passado 10 segundos , pede-se :
a) calcular a velocidade da formiga


                                                                                         7
b) fazer o gráfico da velocidade do movimento




Resolução
Dados : t = 0 ⇒ s = 0
        t = 10 ⇒ s = 15
Vm = ∆s .
      ∆t

Vm = 15 cm
     10 s

Vm = 1,5 cm/s

Resp. A velocidade da formiga é de 1,5 cm/s.
Observe que:
1º) a velocidade constante é um paralela
2º) a área hachurada, no gráfico, representa o deslocamento da formiga, pois ∆s = S1 = vt e
nesse caso Si = 0 ( ela estava na origem da escala no instante t = 0 ) , então ∆s = v. t. Isso
nos mostra que :

AO TRAÇARMOS O GRÁFICO DE UM MOVIMENTO RETILÍNEO UNIFORME, O
VALOR NUMÉRICO DO ESPAÇO PERCORRIDO ENTRE DOIS INSTANTES É
IGUAL A ÁREA DELIMITADA PELO EIXO DAS ABSCISSAS , PELA RETA DA
VELOCIDADE E PELAS DUAS PERPENDICULARES A ESTE EIXO, TRAÇADAS
PELOS PONTOS DOS DOIS INSTANTES CONSIDERADOS.



Exercícios
Faça a verificação do que você aprendeu nesse texto. Para resolver os exercícios que se
seguem, você deve saber:

O que é movimento retilíneo uniforme.
O que representa a equação horário .
Resolver problemas de movimento retilíneo uniforme.
Fazer tabelas e gráficos do movimento retilíneo uniforme.
Interpretar gráficos do MRU.

I – Escreva nos parênteses, (V) se afirmativa for verdadeira ou (f) se for falsa.

II – Preencha o quadro:

   Equação da       Posição Inicial     Deslocamento       Posição em 3s      Velocidade do
     posição             (t=0)             em 3s                             Móvel ( em m/s )
S = 2 + 3t
S = 5 + 2t
S = 4t

III – Resolva os Problemas . ( use folha avulsa.)



                                                                                            8
1. Um móvel percorre, num movimento uniforme, uma trajetória retilínea com a
   velocidade de 1,5 m/s. Sabendo-se que o espaço inicial é de 40 m , calcule o valor do
   espaço percorrido ao fim de 5 minutos.
2. Uma tartaruga encontra-se a quatro metros de uma folha de alface e começa a se mover
   em direção a folha com velocidade constante igual a um décimo de quilômetro por
   hora. Quanto tempo a tartaruga vai gastar para atingir a folha ?
3. Dois Móveis deslocam-se sobre uma reta, em movimento uniforme, partindo
   simultaneamente de dois pontos A e B da reta, afastados 70 cm . Quando eles se movem
   em sentidos opostos ( um ao encontro do outro ) , encontram-se 7 segundos após a
   partida. Quando eles se movem no mesmo sentido, um deles alcança o outro ao cabo de
   35 segundos . Calcule a velocidade dos dois móveis .


      2   Chave de correção

I–
1.(v);
2.(f) – um movimento retilíneo uniforme pode ser progressivo ou regressivo.
3.(v)

II-
   Equação da       Posição Inicial   Deslocamento       Posição em      Velocidade do
     Posição           (t=0)             em 3s               5s          Móvel ( em m/s)
S = 2 + 3t               2m                9m               17m              3m/s
S = 5 + 2t               5m                6m               15m              2m/s
S = 4t                    0               12m               20m              4m/s


III –
1. v = 1,5 m/s
Tj = 0        Sj = 40 m
Sf = ?        Tf = 5 min = 300s


Usando a equação horário S = Sj + v . t , teremos :
S = 40 + ( 1,5 . 300 )
S = 40 + 450
S = 490 metros
Resp. o espaço percorrido ao final de 5 minutos é de 490 metros.
A primeira coisa a se fazer em um problema é converter todos os dados para um mesmo
sistema de unidade, assim tf = 5 minutos que correspondem a 300 segundos.
2.




V = 0,1 km/h = 100 m = 100m = 0,027 m/s
                1h     3600s

s = sj + vt


                                                                                       9
4 = 0 0,027 . t
t = 4 t = 148 segundos
   0,027




resp. a tartaruga vai gastar 148 segundos para atingir a folha.
                                    A                       C          B
3.
                                              Sa                  Sb

AB = s = 70 cm
T1 = 7s                                            70 cm
T2 = 35s                      s = sj + v . t

Quando os dois móveis se deslocam em sentido opostos, encontram-se um ponto qualquer
do segmento AB ao qual chamaremos de C ( veja o desenho ) . Neste caso, a soma dos
espaços percorridos pelos dois móveis é de 70 cm e podemos escrever que :

Sa = Va . T1 ⇒ Sa = Va . 7 ⇒ Sa = 7 Va
Sb = Vb . T1 ⇒ Sb = Vb . 7 ⇒ Sb = 7 Vb

Somando membro a membro as duas equações, temos:


         Sa = 7 Va
         Sb = 7 Vb      .
    As + Sb = 7 Va + 7 Vb

Mas sa + sb = s = 70 cm, então :

               7 Va + 7 Vb = 70


dividindo ambos os membros por 7 ,
                    Va + Vb = 10 equação I




Por outro lado, quando os móveis se deslocam no mesmo sentido , temos :

A                     C                        B                           D
                                                            Sb

                      Sa




as = Va . 35 ⇒ Sa = 35 Vz
Sb = Vb + 35 ⇒ Sb = 35 Vb


                                                                                 10
Subtraindo membro a membro as duas equações , temos

                  Sa = 35 Va
                  Sb = 35 Vb       .
            As – Sb = 35 Va – 35 Vb

    Mas Sa - Sb é igual ao segmento AB = 70 cm , então
    35 Va – 35 Vb = 70
    Dividindo ambos os membros por 35,
    Va – Vb = 2 equação II

    Consideremos agora o sistema formado pelas duas equações

           Va + Vb = 10
           Va - Vb = 2 , resolvendo , temos :
           2 Va    = 12 ⇒ Va = 6


    Substituindo o valor de Va na primeira equação :
    Va + Vb = 10 ⇒ 6 + Vb = 10 ⇒ Vb = 10 – 6 = 4

    Como as unidades desse problema são do sistema CGS, as velocidade são :
    Va = 6 cm / s
    Vb = 4 cm/s
    Resp ⇒ as velocidades dos móveis são 6 cm/s e 4 cm/s.

    Atividades de ensino



    Movimento Retilíneo Uniformemente Variado

    Nestas atividades de ensino, você vai ler o texto e resolver exercícios que lhe permitirão :

1


    Caracterizar Aceleração .

2


    Resolver problemas e analisar gráficos sobre movimento retilíneo uniformemente variado,
3

    Identificar e resolver Problemas sobre queda livre.

    1 – Texto : Aceleração

           Nas atividades de ensino B, você estudou o movimento retilíneo uniforme , cuja
    característica fundamental é a velocidade constante.




                                                                                                   11
Na nossa vida diária , entretanto, o MRU é pouco comum . Se entrarmos em um
ônibus ou em um carro e ficarmos observando o ponteiro do velocímetro, veremos que a
velocidade raramente será constante, aumentando e diminuindo várias vezes .
        Assim, um ônibus ou automóvel no trânsito de uma cidade , um jogador de futebol
durante uma partida, uma criança brincado são exemplos típicos de movimento variado.
        O Movimento Retilíneo Uniforme Variado é aquele que se realiza em uma trajetória
retilínea e que o valor numérico da sua velocidade varia com o decorrer do tempo.

UM MOVIMENTO É RETILÍNEO E UNIFORMEMENTE VARIADO QUANDO UM
CORPO PERCORRE UMA TRAJETÓRIA RETILÍNEA , COM ACELERAÇÃO
ESCALAR CONSTANTE E DIFERENTE DE ZERO.

        Suponhamos que um automóvel esteja percorrendo uma estrada com uma
velocidade V1 qualquer e que seu motorista resolva ultrapassar outro veículo. Ele pisará
mais fundo no acelerador e o automóvel aumentará a velocidade, que passará para um valor
V2. Haverá , então , uma variação da velocidade ∆v = V2 – V1.
        Suponhamos ainda que esta variação da velocidade tenha ocorrido durante um
intervalo de tempo ∆t = t2 – t1 .
        A aceleração escalar média entre os instante t1 e t2 é definida, então , como sendo a
relação entre a variação da velocidade e a variação de tempo, assim :

a = ∆v = V2 - V1
    ∆t    t2 – t1

vejamos um exemplo. Um automóvel, com velocidade de 18 m/s em um instante t = 0 ,
passa por um ponto t = 5 s a uma velocidade de 26 m/s.
     a variação da velocidade foi : ∆ v = 26 m/s – 18 m/s = 8 m/s
     a variação do tempo foi : ∆t = 5s – 0s = 5s
     a aceleração foi : a = ∆ v = 8 m/s = 8 m ÷ 5s
                            ∆t     5s       1s
    a = 8 m x 1 = 8m ⇒a = 1,6 m/s      2

        1s    5s     5s2

        Voltamos a lembra-lhe que , antes de resolver qualquer problema, as unidades das
grandezas devem ser todas convertidas para um mesmo sistema.
        Você já sabe que a aceleração é a relação existente entre a variação da velocidade e
a variação do tempo: a = ∆v .
                          ∆t
O denominador dessa fração, ∆t, representa um intervalo de tempo e é sempre positivo.
O numerador , ∆v, pode ser positivo ou negativo, portanto a aceleração pode ser positiva ou
negativa.
        Relacionando as grandezas e aceleração, chegamos a quatro combinações
diferentes:
1. velocidade crescente, em módulo, no sentido positivo.




            VELOCIDADE MÉDIA MAIOR QUE ZERO
            ACELERAÇÃO MÉDIA MAIOR QUE ZERO
            VELOCIDADE, EM MÓDULO, CRESCENTE.

Neste caso, temos o movimento chamado de progressivo e acelerado.
2 . velocidade crescente, em módulo, no sentido negativo.

                                                                                          12
 VELOCIDADE MÉDIA MENOR QUE ZERO
    ACELERAÇÃO MÉDIA MENOR QUE ZERO
    VELOCIDADE, EM MÓDULO, CRESCENTE.

Neste caso, temos o movimento chamado de regressivo e acelerado.

2. velocidade decrescente , em módulo , no sentido negativo.




    VELOCIDADE MÉDIA MENOR QUE ZERO
    ACELERAÇÃO MÉDIA MAIOR QUE ZERO
    VELOCIDADE, EM MÓDULO , DECRESCENTE
Neste caso , temos o movimento chamado de regressivo e retardado.
Podemos, então , concluir que :
O MOVIMENTO É ACELERADO QUANDO A VELOCIDADE E A ACELERAÇÃO
TÊM O MESMO SINAL , OU SEJA, QUANDO AMBAS SÃO POSITIVAS OU
NEGATIVAS.
E que :
O MOVIMENTO É RETARDADO QUANDO A VELOCIDADE E A ACELERAÇÃO
TÊM SINAIS DIFERENTES , OU SEJA , QUANDO UMA É POSITIVA E A OUTRA ,
NEGATIVA.

       O movimento é acelerado quando o módulo da velocidade aumenta com o decorrer
do tempo – o móvel tende a andar mais rápido, mesmo que seu deslocamento seja em
sentido oposto ao convencionado com positivo.
       O movimento é retardado quando o módulo da velocidade diminui com o decorrer
do tempo – o móvel tende a parar, mesmo que seu deslocamento seja em sentido positivo.

1 – Exercícios

VOCÊ AGORA VAI VERIFICAR O QUE APRENDEU DO ESTUDO DO TEXTO E, SE
FOR O CASO O QUE PRECISA ESTUDAR MAIS .
SUGERIMOS QUE VOCÊ NÃO TENTE RESOLVER OS EXERCÍCIOS SEM QUE
TENHA CERTEZA DA RESPOSTA QUE VAI DAR.
PARA RESOLVÊ-LO , VOCÊ DEVE SABER :

    O QUE É ACELERAÇÃO
    QUAIS OS TIPOS DE MOVIMENTO EM FUNÇÃO DOS VALORES DA
     VELOCIDADE E DA ACELERAÇÃO.
    COMO CALCULAR OS VALORES DA VELOCIDADE E DA ACELERAÇÃO


I –RESPONDA
1 . O que é o movimento retilíneo uniformemente variado ?
_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________

2. O que é aceleração escalar média ?
_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________


                                                                                   13
3. Quando um movimento é acelerado ?
_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________

II – COMPLETE AS SEGUINTES FRASES.
1. No movimento progressivo e acelerado, temos
a ) velocidade média ________________________________________________________
b) aceleração média _________________________________________________________
c) módulo da velocidade _____________________________________________________

2. No movimento progressivo e retardado, temos
a) velocidade média _________________________________________________________
b) aceleração média _________________________________________________________
c) módulo da velocidade _____________________________________________________
III - Resolva ( use folha avulsa. )
     1. Um automóvel, percorrendo uma estrada retilínea, passa por um ponto t= a uma
        velocidade de 18 m/s . Um minuto depois, sua velocidade e de 48 m/s . Qual a sua
        aceleração ?
     2. Um carro de corrida, saindo do repouso, alcança uma velocidade de 234 km/h em
        13 segundos. Qual a sua aceleração ?

1 – Chave de correção
I – 1 . o movimento retilíneo uniformemente variado é aquele que se realiza em uma
trajetória retilínea e que o valor numérico da sua velocidade varia com o decorrer do
tempo .

2. Aceleração escalar média é a relação entre a variação da velocidade e a variação de
tempo entre dois instantes .
3. Um movimento é acelerado quando o módulo da velocidade aumenta com o decorre do
tempo.

II – 1.   No movimento progressivo e acelerado, temos
    a)    velocidade média maior que zero
    b)    aceleração média maior que zero
    c)    módulo da velocidade crescente.

2. No movimento progressivo e retardado, temos
    a) velocidade média maior que zero
    b) aceleração média menor que zero
    c) módulo da velocidade decrescente.

III – 1 - dados : to = 0             e t = 1 minuto = 60s
                  Vo = 18 m/s           v1 = 48 m/s

a= ∆v .
   ∆t

a = v1 - vo = 48 m/s - 18 m/s = 30 m/s ⇒ a = 0,5 m/s 2
    t1 - to       60 s - 0 s       60 s
resp ⇒ a aceleração do automóvel é de 0,5 m/s2




                                                                                     14
Texto : MOVIMENTO RETILÍNEO UNIFORMEMENTE VARIADO

        Terminado nosso estudo sobre aceleração, vamos nos aprofundar um pouco mais no
estudo do Movimento retilíneo uniformemente variado .
        Consideremos um móvel em MRUV com uma velocidade inicial a vo no instante
to = 0 , em que vamos começar o estudo do movimento. Se o móvel está em MRUV, ele
possui uma aceleração a constante; então , usando a equação a = ∆v , que nos define a
aceleração , podemos escrever :                                      ∆t
∆v = a . ∆t
como ∆v = v – vo e ∆t = t – to, temos que
v – vo = a ( t – to ), mas to = 0 , então
v – vo = a t,
e               v = vo + a . t, que é a equação que nos permite calcular a velocidade de um
móvel, depois de decorrido um tempo t qualquer .
        Para completar a descrição do MRUV , precisamos conhecer, além da aceleração e
da velocidade, a posição do corpo com o decorrer do tempo .
        No movimento retilíneo uniformemente variado, a variação da velocidade escalar é
proporcional ao tempo , o que nos permite dizer que a velocidade escalar média entre dois
pontos é igual a        media aritmética das velocidade escalares instantâneas nos pontos
considerados .

Vm = v + vo .
         2
os , substituindo v pela sua equação ( v = vo = at ),
 Vm = ( vo at ) + vo ⇒ vm = 2 vo + at ⇒ vm = vo + at .
              2                    2                  2
mas você sabe que Vm = s – so , ⇒ Vo + at ⇒ s – so = vo . t + a . t . t,
                            2                2                    2

daí s= s0 + vo t + at2 que é a equação horária do MRUV.
                 2

vejamos um problema resolvido.
1. um avião percorre a pista de decolagem de um aeroporto, com aceleração constante de
5m/s2. Em determinado instante o avião está com a velocidade de 40 m/s.
Responda .
 a) qual será a velocidade do avião 10 segundo após esse instante ?
 b) quantos segundos foram necessários para que o avião atingisse a velocidade de 40
    m/s ?
 c) qual será o espaço percorrido pelo avião nos primeiros 20 segundos de movimento e
    qual sua velocidade nesse instante ?

resolução :
a ) Dados : a = 5 m/s2                t = 10s
             vo = 40 m /s             v=?
                       v = vo + at
v = 40 + 5 . 10 ⇒ v = 40 + 50 ⇒ v = 90 m/s
resp : a velocidade do avião será de 90 m/s.

b) dados : a = 5 m/s2        vo = 0
       v= 40 m/s                      t=?
v = vo + a t

40 = 0 + 5 t ⇒ t = 40 ⇒ t = 8 s


                                                                                        15
5

resp: o tempo necessário para que o avião atingisse a velocidade de 40 m/s foi de 8
segundos.

c) dados : a = 5 m/s        so = 0
            t = 20 s        vo = 0
s = so + vo t + at2
                     2
s = 0 + 0 . t + 5 . ( 20 )2
                    2
s = 5 . 400 = 2000 ⇒ s = 1000 m
       2          2
 v = v o + at
v = 0 + 5 . 20 ⇒ v = 100 m/s
resp ⇒ o espaço percorrido pelo avião . nos primeiros 20 segundo de movimento , será de
1000 m e sua velocidade será 100 m /s.
Equação de Torricelli.

        A equação de Torricelli permite resolver problemas de movimento retilíneo
uniformemente variado, sem a utilização da grandeza tempo.
        Vejamos um exemplo: Um carro está desenvolvendo uma velocidade de 20 m/s
quando o motorista aciona o freio, produzindo uma desaceleração ( aceleração negativa ) de
2 m /s . Qual a distância que o carro vai percorre desse instante até parar ?
        Com os conhecimentos já adquiridos , você certamente resolveria esse problema em
duas etapas :
1ª etapa : cálculo do tempo que o veículo leva para parar
dados : a = - 2 m/s2
        v=0
vo = 20 m/s
t=?

v= vo + at
0 = 20 + (-2 )t ⇒ 2t = 20 ⇒ t = 10 s

2ª etapa : cálculo da distância que o móvel vai percorrer
dado : vo = 20 m/s
t = 10s
a = - 2 m/s2
so = 0
s = s0 + v . t + at2 .
                   2

s = 0 + 20 . 10 = ( - 2 ) . 102 ⇒ s = 200 + ( - 200 ) ⇒ s = 200 – 100 ⇒ s = 100 m
                         2                       2

vejamos .
temos os dados : a = - 2 m/s2
v=0
vo = 20 m/s

aplicando a equação de Torricelli, temos :
           2 = 202 + 2 . –2 . ( s – so ) , mas so = 0 , então:
           0 = 400 + 2 . –2s ⇒ 0 = 400 – 4s ⇒ 4s = 400 ⇒ s = 100 m
resolvemos o mesmo problema com maior rapidez e simplicidade, não foi ?

                                                                                       16
Antes de continuarmos , gostaríamos que você percebesse não ser necessário
memorizar todas as variantes das equações apresentadas. Qualquer problema sobre
movimento retilíneo uniformemente variado será resolvido por você com o auxílio de
apenas três fórmulas :


    a equação horária                   s = so + vot + at2 .
    a equação da velocidade                               2
    a equação de Torricelli             v = vo + at
                                         v2 = vo2 + 2a ( s – so )
                                                                    Gráficos do MRUV




    Assim como os gráficos do Movimento Retilíneo Uniforme, os do movimento retilíneo
uniformemente variado nos fornecem todos os dados necessários à análise do movimento.
    1. Gráfico v x t
    7O gráfico da equação da velocidade é uma função do 1º grau : v = vo + at 9 sempre
    com a ≠ 0 . Vamos construir a tabela e o gráfico para v= 2 + 3 t .




   O gráfico v x t nos dá, além da variação da velocidade em função do tempo, o valor da
   aceleração ( a = ∆v ⇒ a = 8 - 5 ⇒ a = 3 ou a = 17 - 11 = 6 = 3 ) e o valor do
   deslocamento , ∆t            2 - 1                    5 - 3      2
   Representado pela área hachurada

           No trapézio do gráfico anterior, o lado AB é a base maior, o lado 0C é a base
   menor e o lado 0A a altura. Calculando o valor numérico da área hachurada,
   obteremos 47,5 que é o mesmo valor que encontraremos se calcularmos o
   deslocamento,através da fórmula
   2 . Gárfico s x t
   a equação horária do MRUV é uma equação do 2º grau em t:
   s = so + vot + at2
                   2




                                                                                     17
A representação gráfica de uma equação do segundo grau é sempre uma parábola,
então , vamos construir o gráfico para um movimento que tenha a equação s = t + 2t2 .
                                                                                 2

    T          S                      12
    0           0
    1           2            20
    2           6
    3          12
    4          20            6

                                       1
                                               1        2   3    4




Observe o problema resolvido a seguir.
    1. Um móvel descreve um movimento uniformemente variado. Sua velocidade varia
       em função do tempo, de acordo com a tabela:
T(s)    0       1       2       3      4        5  6      7       8       9

V(m/s    16     12       8        4        0       -4       -8       -12   -16      -20

Determine :
   a) a velocidade inicial vo do movimento
   b) a aceleração a do movimento
   c) a equação horária da velocidade no intervalo de tempo da tabela
   d) em que intervalo de tempo o movimento é retardado
   e) em que intervalo de tempo o movimento é acelerado
   f) em que intervalo de tempo o movimento é progressivo
   g) em que intervalo de tempo o movimento é regressivo
   h) o espaço percorrido pelo móvel entre os instantes to e t9
   i) o gráfico da função v x t
   j) o gráfico da função s x t .

resolução :

a ) a velocidade inicial do movimento é a velocidade do móvel no instante t= 0s . Da tabela
obtemos vo = 16 m/s

c) pelo anunciado do problema , sabemos que o móvel está em MRUV e que sua
   aceleração e´constante em qualquer intervalo de tempo considerado. Entre os instantes t
   = 0s e t = 1s, temos : a = ∆s ⇒ a = 12 – 16 ⇒ a = -4 m/s


                                                                                          18
∆t            1

d) como o movimento é uniformemente variado, a equação da velocidade é expressa por v
   = vo + at. Com os valores já obtidos, temos :

                                      v = 16 – 4t

e) como o movimento é retardado quando o módulo da sua velocidade cresce com o
   decorrer do tempo, Portanto, o movimento é acelerado entre os instantes t = 4s e t = 9s,
   pois | 0 | < | -4 | < | - 8 | < | -12 | < | -16 | < | -20 | ⇒ 0 < 4 < 8 < 12 < 16 < 20 .

f) O movimento é progressivo quando sua velocidade é maior que zero, ou seja, é
    positiva. Pela tabela, temos que a velocidade do móvel é positiva entre os instantes
t= 0s e t = 4s , que é o intervalo de tempo no qual o movimento é progressivo.

g) O movimento é regressivo quando sua velocidade e negativa.Na tebela , vemos que isso
    ocorre entre os instantes t = 4s e t = 9s
h) Vamos calcular o espaço percorrido pelo móvel em duas etapas . A primeira entre os
    instantes t = 0s e t = 4s e a segunda entre os instantes t = 4s e t = 9s .
Entre os instantes t = 0s e t = 4s , o móvel percorreu :
S = so + vot + at2 ⇒ s = 0 + ( 16 . 4 ) + ( - 4 . 42 ) ⇒ s = 64 – 32 = 32 m
                 2                              2

entre os instantes t = 4s e t = 9s , o móvel percorreu :

s = so + vo t + at2 ⇒ s = 0 + 0 . 5 + | ( - 4 . 52 ) | ⇒ s = 100 = 50 m
                 2                           2                2

o espaço percorrido pelo móvel entre os instantes to e t 9 foi de 32m + 50 m = 82 m .
        Calculamos separadamente os espaços percorridos porque , caso contrário , a
aplicação direta da equação s= so + vot + at 2 /2 nos daria a distância entre os pontos t = 9s e
t = 0s , o que é completamente diferente, uma vez que o móvel, como se pode ver pela
tabela, fez o seguinte percurso como e ilustrado a seguir:




       Note que o instante t = 4s, quando a velocidade do móvel se anula, ocorre mudança
no sentido do movimento .
Poderíamos, também , resolver essa questão da seguinte forme:
Considerar o espaço inicial So como sendo o percorrido entre os instantes t = 0s e t = 4s
Calcular o módulo do espaço percorrido entre os instantes t = 4s e t = 9s e somá-lo ao
espaço inicial , assim :


                                                                                             19
S = So
( t = 0 ⇒ t = 4 f) + Vot + at2
                              2
⇒ s = 16 . 4 + ( - 4 . 42 ) + | 0 . 5 + ( -4 . 52) ⇒ s = 64 + ( - 32 ) + | - 50 |

⇒ s = 32 + 50 = 82 m                         2


j ) o gráfico v x t obedeceria a tabela dada no enunciado :




       Vamos aproveitar o gráfico V x T para calcular as áreas dos triângulos A e B que
somadas terão o valor do deslocamento do móvel.
       Sabe-se que a área de um triângulo retângulo ( A e B são triângulos retângulos ) é
calculada pela fórmula :

A = base x altura
         2

então a área do triângulo A é : 4 x 16 = 64 = 32 m
                                  2      2

e a área do triângulo B é : 9 – 4 x 20 = 5 x 20 = 50 m
                                2          2

        A soma do valor das áreas dos triângulos A e B , então, é 32m + 50m = 82m m que
é o valor do deslocamento do móvel.
J ) Vamos construir a tabela da função s x t , substituindo o valor de t na equação

S = Vot + at2     e transportar os dados para o gráfico
          2




                                                                                      20
2. Exercícios

Faça a verificação do que aprendeu do estudo deste texto, sugerimos a você não tentar
responder aos exercícios sem ter certeza do domínio do conteúdo apresentado.
Para resolvê-los você deverá saber :

Quais as principais equações do MRUV.
Como construir os gráficos do MRUV.
Como resolver problemas sobre MRUV.

I - Escreva , nos parênteses, (v) se a afirmação for verdadeira ou (f) se for falsa.
1 ( ) No movimento retilíneo uniformemente retardado, o gráfico sx t fornece uma reta
inclinada em relação ao eixo dos tempos.
2 ( ) No MRUV , a reta obtida ao se construir o gráfico V x T indica o espaço percorrido
pelo móvel.
3 ( ) A velocidade média de um móvel em MRUV , entre dois instantes, vale a média
aritmética das velocidades instantâneas que o móvel apresenta em cada um desses instantes.
4 ( ) No movimento retilíneo uniformemente variado, a variação da velocidade é
proporcional ao tempo.

II – Relacione a coluna da esquerda com seus correspondentes à direita escrevendo, nos
parênteses, a letra adequada.
1. ( ) Equação horária do MRUV                     A – v = vo + at
2. ( ) Equação da velocidade do MRUV               B - a = ∆v .
3. ( ) Equação da aceleração média                           ∆t
                                                   C - s = so + vot + at2
                                                                       2
                                                   D – v2 = vo2 + 2a ( s – so )
III – Resolva os problemas apresentados. ( use folha avulsa.)


                                                                                       21
1.Um móvel gasta 15 segundos para passar da velocidade de 11 m/s para 29 m/s . Qual é a
sua aceleração ?
2. Um móvel tem movimento retilíneo uniformemente acelerado, com aceleração de
 6 cm/s2. Sabendo-se que a velocidade inicial vale 4 cm/s e o espaço inicial vale 20 cm,
qual a equação horária desse movimento e qual será o espaço percorrido no instante t= 4s ?
3. Um automóvel acha-se a uma velocidade de 54 km/h e seu motorista é obrigado a frear
repentinamente. Sabendo-se que os freios imprimem ao carro uma aceleração negativa de
2m/s2, pergunta-se quanto tempo gasta o carro até parar e que distância percorre nesse
tempo?
4. Um cano de fuzil tem 90 cm de comprimento e uma bala deixa o fuzil com uma
velocidade de 600 m/s . Que aceleração média age sobre a bala durante seu percurso dentro
do cano e qual é o tempo gasto pela bala para percorrer o cano ?

2 . Chave de correção
I–
1. ( F ) no movimento retilíneo uniformemente retardado e no movimento retilíneo
uniformemente acelerado, o gráfico s x t fornece uma parábola.
2. ( F ) No MRUV, a reta que se obtém ao se construir o gráfico v x t indica a velocidade e
a aceleração do móvel. O espaço percorrido é indicado pela área delimitada pelo eixo dos
tempos ( abscissa ), pela reta e pelas perpendiculares ao eixo dos tempos traçadas pelos
pontos dos intervalos de tempo inicial e final .

3. ( V )           4. ( V )

II - 1. ( c ) ;    2. ( d ) ; 3 (a ) ; 4. ( b ) .

III – 1. Dados : vo = 11 m/s
               V = 29 m/s
V – vo + at ⇒ 29 = 11 + a . 15 ⇒ 29 – 11 = 15a ⇒ 15a = 18 ⇒ a = 1,2 m/s2

Resp. a aceleração do móvel e de 1,2 m/s2

2. Dados :
a = 6 cm/s2                   So = 20 cm
vo = 4 cm/s                   t =4s         s=?

a equação horária do MRUV é : s = so + vot + at2
                                               2
inserindo nessa equação os dados do problema, temos :



                  VETORES VELOCIDADE E ACELERAÇÃO
1. direção e sentido
        Quando automóveis se encontram em quatro pontos distintos de um cruzamento de
ruas , como indica a figura abaixo.




                                                                                        22
Se todos estão se movimentando a 36 km/h, podemos dizer que possuem a mesma
velocidade escalar. Entretanto, observe que:
 Os móveis A e C movimentam–se na mesma direção, indicada pela reta em que se
    encontram ( no caso, a rua ), mas em sentidos opostos( o sentido é indicado pela seta ),
    o mesmo ocorrendo com os móveis B e D;
 Os móveis A e B movimentam – se em direções e sentidos diferentes, o mesmo
    ocorrendo com os móveis C e D.

    A necessidade de associar os conceitos de direção e sentido aos valores numéricos da
    velocidade e da aceleração, torna-se clara quando analisamos os movimentos dos
    corpos no plano. Neste estudo, vamos aplicar uma parte de Matemática denominada
    Cálculo vetorial , que fornecerá base suficiente para a resolução de problemas
    envolvendo Cinemática vetorial .
       Antes, porém, vamos ver o que é vetor.
2. Vetor

       Se você observar um conjunto de retas paralelas, verá que elas apresentam uma
característica comum : têm a mesma direção .
_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________

A cada direção podemos associar uma orientação ou sentido:

A                            B

Sentido de B para A

A                            B
Sentido de A para B


      Um segmento de reta orientado possui, além de direção e sentido, uma medida
(número real não – negativo ) chamada módulo.


                   módulo

vetor ( do latim vector = condutor ) é o ente matemático que reúne em si módulo, direção e
sentido . Todo segmento que apresenta essas três características pode representar um vetor:

      direção
Vetor sentido
      Módulo ( número real não – negativo )




                                                                                         23
Representação vetorial :

             Gráfica                          Algébrica                       Do módulo
                               A
                                   X, Y, Z , M , a , b , ...
                                                                   |X|, |Y|, |Z|, |M|, | a |, | b | , ...
O

Dois vetores são
 Iguais quando apresentam mesmo módulo, mesma direção e mesmo sentido.
 Opostos quando apresentam mesmo módulo e mesma direção, mas sentidos contrários.
   O vetor oposto pode ser indicado pelo sinal negativo, precedendo a notação algébrica :
                                           C
                                              D

                                             C = D



                               ADIÇÃO DE VETORES
       Uma importante aplicação prática da adição de vetores é a determinação da rota de
embarcações e aviões. Por exemplo, quando um avião está está voando de um lugar ( A)
para outro ( B ) e enfrenta uma vento que sopra em ângulo reto em sua direção , o piloto
deve alterar sua rota, fazendo um desvio como o representado na figura. A nova direção é
dada pela adição dos vetores .
                 Rumo do avião                C
                                              Direção
     A                                        Do vento

               Rota a seguir
                                         B



      Existem várias maneiras de efetuar a adição de vetores. Veremos três delas : o
método da poligonal , a regra do paralelogramo e o método das projeções.

Método da poligonal

       Para efetuar a adição de vetores, devemos colocá-los em um plano, a partir de um
ponto de origem ( P ), escolhido arbitrariamente, de modo que a extremidade de um
coincida com a origem do outro.

       O vetor soma ( S ) é obtido ligando a origem do primeiro vetor ( A ) com a
extremidade do último ( C ) .

                                                       A
         A
                                             P
                                                  S
    C                  B                                           B
                                                           Q
                                                               C

                                                                                                       24
P : Ponto do plano no qual começa o processo
Q : Ponto do plano no qual termina o processo


Logo :         S=A+B+C

Observação :
                             P=Q       A
  A
                B                 C         B

                                      S=O
 C




               Nas adições vetoriais, pode acontecer que a extremidade do último vetor
coincida com a extremidade do primeiro. Nesses casos, o vetor soma ( S ) é chamado vetor
nulo ( O ) . Veja que A + B = - C , oposto do vetos C .

Regra do paralelogramo
     Para obter o vetor soma por esta regra, construímos um paralelogramo com origem
comum par cada par de vetores :




           A                            S=A+ B
                                       | S | = √ |A|2 + |B|2 + 2|A| |B| . cos ∝ ( obtido a partir
               ∝ S
          B                            da lei dos cossenos )



                         O arco – e flecha é um dos poucos esporte em que deficies
                         físicos podem competir em pé de igualdade com outras pessoas.
                         O que faz com que a flecha atinja altas velocidades é a ação da
                         soma vetorial de duas forças, que será denominada resultante
                         ( R ) , como veremos posteriormente no estudo da Dinâmica.



                            F1

                                   R


                            F2

                                                                                            25
Método das projeções

        A figura a seguir representa os vetores A, B, C e D e seus respectivos componentes
nos eixos x e y , obteremos traçando-se , pela origem e pela extremidade de cada vetor ,
retas perpendiculares ao sistema de eixos predeterminado .




      A medida algébrica do segmento obtido pela ligação dos pontos de intersecção das
perpendiculares com os eixos recebe o nome de projeção do vetor no eixo:



Ax, Bx, Cx e Dx : projeções dos vetores A,
    B, C e D no eixo x
Ay, By,Cy e D projeções dos vetores A, B
    C e D no eixo y

Somando todas as projeções, encontramos , em cada eixo, a projeção do vetor soma :

Sx = Ax + Bx + Cx + D
Sy = Ay + By + Cy + Dy

Compondo Sx e Sy, obtemos o vetor soma procurando ( S ) :




                                                                                       26
Observação :
 Para operar com vetores é importante conhecer as seguiste relações trigonométricas no
 triângulo retângulo:




 4. Subtração de Vetores
        Na figura a seguir, vemos que para subtrair dois vetores, devemos adicionar um
 deles ao oposto do outro.




 Então
       D = A – B = A + (-B)
 Sendo D o vetor diferença.

 5. Multiplicação de um número real por um vetor

        O resultado da multiplicação de um número real K por um vetor X é o vetor
 produto P, que apresenta as seguintes características:

         Direção : a mesma de P
P= ks    Sentido : para k > 0 : o mesmo de P
         Para k < 0 : contrário ao de P
         Módulo : |P| = |k| . |x|
         Por exemplo, vamos considerar o vetor A representado abaixo e os números k = 2 e
         k = -0,5

               A




                                                                                       27
Para determinar os vetores B = ka e C = K’A procedemos da seguinte maneira :


         Direção : a mesma de A
B        sentido : o mesmo de A
         |B| = 2|A|


                       B
         Direção : a mesma de A
C        sentido : contrário ao de A
         |C| = | - 0,5 | |A|

              c
1 . Dados os vetores abaixo, determine :
                     B
2


     A
                       C

    a)   o vetor soma pelo método poligonal ;
    b)   o vetor soma pelo método das projeções ;
    c)   o vetor diferença D = A – B;
    d)   os vetores produtos x = 2A, y = - 0,5 B e z = -4C.

6. Vetor deslocamento
       Um móvel parte da praça da Sé, em São Paulo , às 8h e chega à praça da Apoteose,
no Rio de Janeiro, às 13h.
       Com base nessa informação , podemos representar o vetor deslocamento ( ∆r) do
corpo e conhecer previamente sua trajetória, apenas ligando as posições iniciais e final,
através de um segmento orientado de reta.




      O vetor deslocamento possui direção, sentido e intensidade . Esta corresponde ao
módulo do vetor acompanhado da unidade de medida. Veja um exemplo:

                       10 km
                               ∆r      B

                               30º
              reta A




                                                                                      28
Direção : a mesma da reta que forma ângulo de 30º com a horizontal
Sentido : de A para B
Intensidade : 10 km(|Rr| = 10 ; unidade : km )


7 . Vetor velocidade média

       Imagine que um automóvel se desloca numa estrada como indica a figura :




Entre os pontos A e B, o automóvel efetuou um deslocamento ∆r, num intervalo de tempo
∆t.
        O quociente de ∆r
                        ∆t
é denominado vetor velocidade média ( Vm ) , o qual possui as seguintes características:

      direção a mesma de ∆r
  Vm sentido: o mesmo ∆r
      intensidade : Vm = ∆r .
                  ∆t
No SI, a unidade de intensidade da velocidade média é m/s

8 . vetor velocidade

       O vetor velocidade ( V) de um móvel, num determinado ponto de sua trajetória , é
obtido calculando o vetor deslocamento em intervalo de tempo infinitamente pequenos:

V = ∆r ( ∆t muito pequeno )
    ∆t

       A figura ao lado mostra a trajetória de um móvel .Para representar o vetor
velocidade no ponto A, devemos tomar pontos cada vez mais próximos de A e estudar de
que maneira a direção do vetor deslocamento varia :




                                                                                     29
A parti daí, concluímos que a direção do vetor velocidade nesse ponto é tangente à
trajetória e possui o sentido do movimento ; concluímos também que a intensidade da
velocidade vetorial em cada ponto coincide com a intensidade da velocidade escalar .
        Assim, para qualquer ponto de uma trajetória, o vetor velocidade é sempre
tangente a ela.
        Podemos observar evidências dessa conclusão em experiências simples como girar
uma pedra amarrada num barbante : soltando o barbante em qualquer posição , a pedra
prossegue na direção tangente à trajetória e no mesmo sentido do movimento.

A pedra é forçada a descrever uma trajetória curvilínea. Se o barbante arrebentar, ela
continuará o movimento na direção tangente à trajetória e no
sentido do movimento .
       Portanto, podemos estabelecer, para o vetor velocidade                        :
Direção :
       tangente à trajetória
  v    sentido : do movimento
       intensidade : igual à da velocidade escalar

0
10 . Vetor aceleração média
       Sempre que observamos uma variação no vetor velocidade de um móvel, podemos
determinar de que maneira essa variação ocorre no tempo . O resultado obtido recebe o
nome de aceleração vetorial média ou vetor aceleração média :

Direção : igual à de ∆v
Sentido : igual ao de ∆v
Intensidade : ym = |∆v| .
                   ∆t




11. Vetor aceleração

       Se durante um movimento observamos variação no vetor velocidade, podemos
dizer que em cada ponto o móvel possui um vetor aceleração y.
       Esse vetor pode ser representado como a soma de dois outros vetores
perpendiculares entre si, que são seus componentes : aceleração tangencial e aceleração
centrípeta .




                                                                                       30
Aceleração tangencial ( at): tem sempre a direção da velocidade do móvel, e o sentido
depende do movimento ser acelerado ou retardado :




Movimento acelerado at e v têm o mesmo sentido




                             Movimento retardado ar e v têm sentidos contrários.

        Sua intensidade coincide com a da aceleração escalar e ocorre sempre que há
variação na intensidade da velocidade vetorial (v):
               at = |a |
        Aceleração centrípeta ( ac) : é perpendicular à velocidade e aponta para o centro de
curvatura da trajetória. Ocorre sempre que há variação na direção de v.
        Sua intensidade pode ser calculada por :
                         V – velocidade escalar no instante t.
       2
ac = V , em que
      r                  r = raio da trajetória .




observação :
A aceleração centrípeta também pode ser chamada de aceleração normal ou aceleração
radial.


                                LEI DA INÉRCIA
       Aristóteles afirmava que o estado natural do corpo era o repouso, ou seja, quando
um corpo adquire velocidade, sua tendência natural é voltar ao repouso ( daí a explicação
dos antigos filósofos de que os corpos celestes deviam ser empurrados por anjo ...)
       Em oposição ao que afirmava Aristóletes, Galileu elaborou hipótese de que não há
necessidade de forças para manter um corpo com velocidade constante, pois uma
aceleração nula está necessariamente associada a uma força resultante nula :

                             V = o ( repouso ou equilíbrio estático )
R = O ⇒ v = constante
                             V ≠ O ( MRU ou equilíbrio dinâmico )

       Nos Diálogos sobre os dois principais sistemas do mundo, Galileu formulou pela
primeira vez a Lei da Inércia : Numa situação ideal ( como o caso de uma esfera lançada
sobre um plano horizontal perfeitamente polido ), o corpo adquire um movimento retilíneo
e uniforme.
       Nesse caso , o movimento seria perpétuo.
       Galileu não chegou a comprovar experimentalmente sua hipótese, pois, na prática, a
situação por ele imaginada é difícil de realizar-se . Uma comprovação experimental pode

                                                                                         31
ser feita em laboratório, com discos de bases polidas, que deslizam em movimento retilíneo o
                                                                        Puxando bruscamente
  Quando o ônibus parte, o motorista e os passageiros tendem a
e uniforme, sobre camadas de ar ou gás carbônico .                      cartão     na    direção
  continuar em repouso em relação ao solo. Quando o ônibus
         Mas podemos pensar num caso quase ideal , como , por exemplo, a patinação no cai
                                                                        horizontal , a moeda
  freia, o motorista e os passageiros tendem a continuar em             dentro do copo
gelo : quando o patinador é empurrado, seu movimento tende a persistir durante razoável
  movimento em relação ao solo
intervalo de tempo .




        Em os princípios, Newton formulou as três leis básicas do movimento , sendo a Lei
da Inércia a primeira : todo corpo tende a manter seu estado de repouso ou de movimento
retilíneo e uniforme, a menos que forças externas provoquem variação nesse movimento.
        As figuras a seguir ilustram algumas aplicações dessa lei.


Resolva:
   1. A lei da inércia é válida para qualquer referencial ?
   2. Indique a diferença entre o raciocínio de Aristóteles e o de Galileu , que levou à
       descoberta da Lei da Inércia .
   3. Newton ao enunciar suas leis, deu razão a Aristóteles ou a Galileu ? Justifique .
   4. Por que , na prática, o princípio da inércia é de difícil comprovação ?
   5. Os lançamentos espaciais se baseiam rigorosamente nas leis de Newton. O êxito
       desse lançamento solidifica a crença nessas leis ?
   6. Qual a importância do uso do cinto de segurança nos automóveis ?
   7. Um pára-quedista desce verticalmente , próximo à superfície da Terra, com
       velocidade constante . Qual a resultante das forças que agem sobre o conjunto ?


Lei Fundamental

        Considerando a queda livre dos corpos próximos à superfície da Terra, verificamos
que sobre eles atua uma força resultante diferente de zero, pois, de acordo com a Lei da
Inércia, se a resultante fosse nula, o corpo deveria estar em repouso ou em movimento
retilíneo e uniforme
        Vamos analisar, agora ,as experiências representadas nas figuras a seguir , feitas
com discos que deslizam sobre camadas de ar ou gás.
        Na figura 1, a força resultante ( r ) é medida através de um dinamômetro, e
verificamos que o disco desliza com movimento . uniformemente variado de aceleração y.
Na figura 2, o disco é o mesmo, mas a força resultante foi dobrada ( 2 r ) ; verificamos,
então , que a aceleração adquirida pelo corpo também dobrou ( 2y ).




                                                                        Fazendo uma série
de                                                                      experiências

                                                                                          32
semelhantes, chegamos à conclusão de que a resultante (R) e aceleração ( y) são grandezas
diretamente proporcionais. Levando em conta que a aceleração adquirida apresenta sempre
a mesma direção e o mesmo sentido da força aplicada, podemos escrever .

               R=ky

        Mas ,qual o significado físico da constante de proporcionalidade k ?
        É mais difícil acelerar uma locomotiva que um automóvel , e esse fato pode ser
verificado idealizando outra experiência, como a da figura:




       A força resultante, neste caso, é a mesma da figura 1 , mas aplicada a dois discos
idênticos e superpostos. Em conseqüência, a aceleração fica reduzida à metade.
       Podemos dizer , portanto, que o coeficiente k recebe o nome de massa inercial (m)
do corpo.
       Experiências desse tipo permitiram o surgimento da mais importante relação
Fundamental da Dinâmica, que é a formalização matemática da Segunda lei de Newton:

               R = my
As características de y são ;

Direção : a mesma de R
Sentido : o mesmo de R
Intensidade : y = R .
                 M

Devemos lembrar também que :
Y = at + a c
Nos movimentos retilíneos :
Y = at ⇒ |y| = |at| = |a |

No movimento circula uniforme :
|y| = |ac| = v2 .
              r

sendo r o raio da trajetória .
        A formalização dessa lei data de 1736, quando o matemático suíço Euler ( 1707 -
1783 ) elaborou o primeiro tratado científico do ponto material. Seu enunciado é: a
resultante R produz num corpo de massa m uma aceleração y na mesma direção e sentido
da resultante e de intensidade proporcional a R (Lei Fundamental da dinâmica).
        De acordo com essa equação, no SI, 1N corresponde à intensidade da força
resultante que , aplicada num corpo com 1 kb de massa , produz uma aceleração de 1 m/s2

1 N = 1 kg . 1 m/s2
 Exercícios resolvidos



                                                                                      33
1 – Sobre um corpo de 10 kg de massa agem duas forças constantes, que formam entre si
um ângulo de 60º e cujas intensidades são respectivamente iguais a 12N e 16N. Sabendo
que o corpo se encontrava inicialmente em repouso, determine:
    a) a aceleração do corpo;
    b) sua velocidade escalar após 5s;
    c) o movimento do corpo a partir do instante t = 5s, quando as forças deixam de agir.

 2 – Sob a ação exclusiva de duas forças, F1 e F2, de mesma direção , um corpo de 6,0 kg
de massa adquire aceleração de módulo igual a 4,0 m/s2. se o módulo de F1 vale 20 N, o
módulo de F2, em Newton , só pode valer :

a) 0.          b) 4,0         c)40.          d)44.         e)4,0 ou 44.

 3 – Um carrinho de massa m = 25 kg é puxado por uma força resultante horizontal F = 50
N , conforme a figura ao lado. De acordo com a Segunda Lei de Newton, a aceleração
resultante no carrinho será, em m/s2 , igual a :
a) 1 250.              b) 50.        c) 25.      d) 2.       e)
0,5.

4 – Um automóvel de 1 200 kg desloca-se em uma
trajetória retilínea e sua velocidade varia de 0s a 10s.
De acordo com o gráfico ao lado.
a) Determine a intensidade da resultante sobre o
automóvel de 0s a 4s; de 4s a 6s; de 6s a 10s.
b ) O deslocamento do automóvel de 0s a 10s.




                              Lei da Ação e Reação
       Imagine dois patinadores, de massas inercias iguais parado um em frente ao outro
numa superfície horizontal de gelo.
       Se um empurrar o outro, os dois adquirirão movimento na mesma direção e em
sentido opostos, e os deslocamentos serão efetuados no mesmo intervalo de tempo,
sugerindo que as forças aplicadas são opostas.




Essa situação ilustra a Terceira Lei de Newton, chamada Lei ou Princípio da Ação e
Reação.

Se um corpo A exercer força em um corpo B, este reage em A com força oposta.




                                                                                      34
Tipo de máquina a vapor, construída para explicar a Terceira lei de Newton. A
qualquer ação corresponde uma reação oposta.

       Essa lei sugere que na natureza as forças ocorrem sempre aos pares , não havendo
ação sem uma correspondente reação .




O remo troca forças com a água .
       Diretamente em tais sistemas, porque , para essas partículas, o aumento da massa,
em relação à massa de repouso , é suficientemente grande para que possa ser medido com
precisão .
       Os resultados de todas as experiências como essas, indicam que o efeito existe
realmente, sendo expresso exatamente pela equação acima.

Força peso
       Vimos anteriormente que a força peso (P) é uma força de campo, pois ocorre pela
ação a distância entre os corpos.
       Imagine, então, a seguinte situação: duas bolas, de massas m1 e m2, foram
abandonadas em repouso no mesmo nível e estão em queda livre vertical próximo à
superfície da Terra.
       Nesta situação , a única força que atua sobre cada bola é a força gravitacional P.
       A intensidade de P pode ser calculada multiplicando a massa m pela intensidade da
aceleração da gravidade g.
P = mg
Vetorialmente, temos :
P = mg

     De acordo com a Lei Fundamental da Dinâmica , a força P é resultante e tem a
mesma direção e o mesmo sentido da aceleração g.

Observe a figura. Sendo P1 e P2 as resultantes em cada corpo , temos :
P1 = m1 y1 = m1g ⇒ y1 = g                                                m2
                                                             m1
P2 = m2 y2 ⇒ m2g ⇒ y2 = g



Logo                                                h
                                                            P1
Y1 = Y2 = g                                                              P2

       Embora as massas dos dois corpos sejam diferentes, verificamos experimentalmente
que suas acelerações são iguais a g. Desprezando-se a resistência do ar. Se um dos corpos
tem o dobro da massa do outro, a força peso também é o dobro. Ser mais pesado quer dizer
exatamente ser mais puxado ou mais atraído pela Terra.


                                                                                      35
Aceleração e campo gravitacional
        Na queda de corpos muitos leves ou de baixo
densidade, a influência do ar é tão importante a ponto de
atrasá-los na queda. Por isso, alguns anos depois de Galileu,
Newton imaginou um tubo cujo interior o ar fosse retirado.
Não havendo ar, podemos ver uma pena e uma pedrinha
caírem juntas. Isso acontece também na Lua, onde não existe
atmosfera .
        A aceleração com que os corpos caem caracteriza o
campo gravitacional . Nos lugares em que os corpos caem
mais depressa, isto é , com maior aceleração, dizemos que o
campo gravitacional é mais intenso.

A experiência de Newton mostrou que, sem a resistência do
ar, dois corpos de massas diferentes , em queda livre a partir
do repouso, chegam juntos

        Uma forma prática de determinar a intensidade do peso é através do dinamômetro
        No caso da figura a seguir, o corpo pende estacionário
de um fio conectado ao dinamômetro. Apesar daTerra
continuar aplicando peso no corpo, ele é impedido de cair pela
força de tração T aplicado pelo fio, que tem a mesma
intensidade da força peso ( se a força de tração fosse menos
intensa que a força peso, o fio se ronperia e o corpo cairia). È
importante saber que a escala do dinamômetro apresenta a
intensidade da força de tração, e não a da força peso.

O peso de um corpo também não deve ser confundido com sua
massa: enquanto a massa é uma propriedade da matéria e seu valor é constante em qualquer
lugar, o peso é uma força e sua intensidade varia dependendo do local onde o corpo se
encontra.
        No SI, a unidade de massa é o quilograma (kg) e a unidade de peso é o Newton (n)
Observação
       Uma unidade de força muito utilizada na engenharia é o quilograma – força ( kgf).
Definido como a intensidade da força peso de um corpo de 1 kg de massa, próximo à
superfície terrena
                    1 kgf = 9,8 n

Aplicações das leis de Newton
As leis de Newton serão aplicadas na resolução de problemas que envolvem forças de
atrito, conforme veremos neste capítulo.
Força de atrito
        A força e atrito pode ser observada freqüentemente em nosso cotidiano : quando
caminhamos, acendemos um palito de fósforo, escovamos os dentes, escrevemos etc.
        O homem primitivo conseguiu obter o fogo das faíscas que saíam esfregar dois
pedaços de pedra ou madeira. Em ambos os casos, as faiscas deveriam atingir matérias de
fácil combustão, como folhas e gravetos, para que surgisse o fogo. Foi uma descoberta
fundamental na história da humanidade.




                                                                                         36
Mas , o que são forças de atrito?
       São forças tangenciais que aparecem quando há escorregamento ( ou tendência de
escorregamento ) entre superfícies sólidas que se comprimem. A ocorrência desse
fenômeno depende, entre outras coisas, do estado de polimento e da natureza das
superfícies.

       Vamos analisar a força de atrito conforme ela se apresenta na realidade : estático
( sem movimento relativo ) estético ( com movimento relativo ).

Força de Atrito Estático
        A força de atrito estático (FAe)ocorre quando existe tendência a um deslizamento
relativo entre duas superfícies que se comprimem.
        A figura a seguir representa um bloco apoiado numa superfície horizontal; nele é
aplicada uma força solicitadora de movimento (F) também horizontal .

                                     As faces de contato do bloco e da superfície são
                                comprimidas, trocando forças normais . A compressão
                                dessas faces é devida ao peso do bloco , que representa a
                                atração que a terra exerce sobre ele.



       Enquanto o bloco permanece em repouso, temos:

                      FAc = F
Aumentando gradativamente a intensidade de F, o bloco continua em repouso até que F
atinja um valor – limite entre o repouso e o movimento iminente. Nesse momento, o bloco
se encontra na iminência de movimento e temos;

                   FAe = Fams = F
     Experimentalmente , podemos estabelecer as seguiste leis para o atrito:
    A intensidade da força de atrito estático varia de zero até o valor máximo de Famx
    A intensidade da força de atrito máxima é diretamente proporcional à intensidade da
     força Normal (N) que a superfície aplica sobre o bloco.

FAmas = µeN

Sendo µe o coeficiente de atrito estático.
       O coeficiente de atrito estático depende do estado de polimento e da natureza das
duas superfícies em contato.
       A intensidade da força de atrito estático é independente da área de contato entre as
superfícies sólidas que se comprimem .




                                                                                        37
Força de Atrito Cinético

        Quando a força solicitadora do movimento (f) atinge o valor da força de atrito
máxima ( FAmax ) , o bloco fica na iminência de deslizamento . A partir daí, um pequeno
acréscimo na intensidade da força solicitadora produz o movimento do bloco , ocorrendo,
então , a força de atrito cinético ( FAe ).
        Experimentalmente, verificamos que, quando o bloco está em movimento , a força
de atrito é constante e não depende da velocidade de escorregamento das superfícies, desde
que essa velocidade não atinja valores muito elevados .


       O gráfico seguinte mostra de que maneira variam os atritos estático e cinético entre
as superfícies .




Para a força de atrito cinético, temos
        Fac = µeN
Em que µe é o coeficiente de atrito cinético. Comparando µe com µc, vem :

       µe > µc

       As forças de atrito possuem sentidos opostos ao sentido do deslizamento relativo
das superfícies. Mas isso não deve ser confundido com oposição ao movimento dos corpos.
Por exemplo, quando uma pessoa se movimenta sobre uma superfície, a força de atrito é
oposta ao escorregamento da sola do sapato.




A força de atrito é oposta ao movimento relativo .
       A força de atrito (FA) e a força normal ( N ) são perpendiculares entre si. Na
verdade, elas são componentes de uma mesma força de contato ( F ) que a superfície aplica
no corpo . Observe a figura a seguir. Dela, temos :

                                                                                        38
1 . um bloco de 5 kg de massa está em repouso numa superfície. Os coeficientes de atrito
estático e cinético são respectivamente iguais a 0,4 e 0,3 e g = 10 m/s2.
    a) Determine a intensidade da força horizontal com que o
        bloco deve ser puxado para que fique na iminência de
        deslizamento.
    b) Se o bloco for puxado por uma força 30 N que forma com
        a horizontal um ângulo de 60º , ele começará a se move? Justifique.
    c) Determine a intensidade da aceleração e da força normal sobre o bloco quando ele é
        puxado por uma força de 50N que forma um ângulo de 60º com a horizontal.

F’ = N + FA




   2. Um corpo de 2 Kg de massa se desloca sobre uma superfície horizontal lisa. Nele ,
   alem da força cuja intensidade é F = 8N, estão aplicadas apenas a força normal e o peso.
   Considerando sem 60º = 0,5, determine :
          a) a resultante sobre o corpo;
          b) a aceleração;
          c) a intensidade do peso
          d) a normal

3. Dois corpos, A e B, de massas respectivamente iguais a 2,0 kg e 3,0 kg estão apoiados
sobre uma superfície horizontal perfeitamente lisa. Uma força horizontal F = 20,0 N,
constante , é aplicada no bloco A. determine :
    a) a aceleração dos blocos;
    b) a intensidade da força F.


                                                         Superfície lisa


4. A figura representa um “trem de blocos” A e B , massa mA e mB. A intensidade da tração
no fio ideal é T = 9,6 N. Determine:
    a) em que sentido o bloco A se movimenta; justifique:
    b) a aceleração dos blocos
    c) a intensidade da tração no fio.

5. Na figura o bloco A tem massa mA = 80 kg, e o bloco b, mb = 20 kg. A força F tem
intensidade 600 N. Desprezando os atritos , determine :
    a) em que sentido o bloco A se movimenta; justifique
    b) a aceleração dos blocos;
    c) a intensidade da tração no fio.




                                                                                        39
6. Na figura ao lado a roldana e os fios são ideais e os atritos são desprezíveis. O corpo B
tem massa mB = 10 m/s . Determine :
   a) a tração no fio.
   b) a massa do bloco A




S = 20 + 4t + 6 t2 ⇒ s = 20 + 40 + 3 t2 que é a equação desse movimento

                2
para obter o espaço percorrido no instante t = 4 segundos , basta substituir nessa equação o
valor de t .
s = 20 + 4 . 4 + 3 . 42 ⇒ s = 20 + 16 + 48 ⇒ s = 84


resp: a equação horária do movimento é s = 20 + 4t + 3t2 e o espaço percorrido no instante t
= 4s será de 84 cm.



3 . Dados : Vo = 54 km/h = 15 m/s           a = -2 m/s2
             t=?                            s=?

Se queremos calcular o tempo que o carro gasta até parar V = 0 m/s, então temos :
V = Vo + at ⇒ 0 = 15 ( -2t ) ⇒ 2t = 15 ⇒ t = 7,5s

O espaço percorrido será dado por : S = 0 + 15 . 7,5 + ( - 2 + 7,52 ) ⇒ s = 112,5 – 56,25
⇒ s = 56 ,25 m ⇒ resp. O carro gasta 7,5 segundos para parar e percorre 56,25 metros
nesse tempo.


   4. Dados : Vo = 0                    s = 90 cm = 0,9 m
              V = 600 m/s               a=?

   A bala acelera desde Vo = 0 até a velocidade v = 600 m/s, em um espaço de 0,9 m
   (cano de fuzil). Aplicando a equação de Torricelli, temos :

   V2 = Vo2 + 2a . ( S – So ) ⇒ 6002 = 0 + 2a . 0,9 ⇒ 1,8a = 360 000 ⇒ a = 360 000 ⇒
   a = 200 00 m/s2                                                               1,8

o tempo de percurso da bala dentro do cano do fuzil é dado por : v = vo + at
600 = 0 + 200 000 + t ⇒ t = 600 ⇒ t = 0,003s
                           200 000


Resp. A aceleração média da bala durante seu percurso dentro do cano do fuzil é de
200.000 m/s2 e a bala gasta 0,003 s para percorrer o cano.




                                                                                         40
TEXTO : TRABALHO DE UMA FORÇA
       No nosso dia –a – dia , a palavra trabalho é usada para designar genericamente uma
atividade física ou intelectual : fabricar um móvel, dirigir um caminhão ou um ônibus,
cuidar da lavoura, escrever um livro são algumas formas de trabalho. Em física, o termo
trabalho está associado a forças e não a corpos; assim, para a física, se um operário estiver
parado segurando uma carga qualquer, ele não estará realizando nenhum trabalho, por
maior que seja essa carga.

EM FÍSICA , DEFINIMOS TRABALHO COMO O DESLOCAMENTO DO PONTO DE
APLICAÇÃO DE UMA FORÇA.

       Para uma força realizar um trabalho, é necessário que ela se desloque e que admita
um componente na direção desse deslocamento.
       Vamos considerar um ponto material que se desloca sobre uma reta, de A para B,
sob a ação de um sistema de força. Seja d o vetor deslocamento, F um força constante entre
as que atuam sobre o ponto , e θ o ângulo formado por F e d. O trabalho da força F no
deslocamento d é definido pela grandeza escalar:


                       τ = F . d . cos θ       F
                                                   θ
                                           A           d            B

onde F é a intensidade da força F e d, o módulo do vetor deslocamento d.


        Como F e d não têm sinal ( são módulos ) , o sinal do trabalho τ ( lê-se tau) é dado
pelo sinal do cosseno do ângulo θ. Vejamos
    a) se o ângulo θ for agudo, temos cós θ > 0 e , nesse caso , o trabalho da força F será
        positivo, o que significa que a força esta ajudando o movimento do ponto material;
    b) se o ângulo θ for abtuso, temos cós θ < 0 , e o trabalho da força F será negativo,
        significando que a força está agindo contra o movimento do ponto;
    c) se o ângulo θ for reto, temos cós θ = 0, o que fará com que o trabalho da força F
        seja nulo, o trabalho da força F não ajudará nem atrapalhará o movimento .


   Pense e responda.

       Se uma força F forma com o deslocamento de um corpo em movimento um ângulo
   de 90º , quem é o responsável por esse movimento ?
           Você deve ter respondido que, se o trabalho da força F é nulo, outras forças
   estão agindo sobre a partícula ou já agiram sobre ela para fazê-la entrar em movimento .


   Unidades de trabalho
           A unidade de trabalho no sistema SI é o joule (J) 2, equivalente ao trabalho de
   uma força constante de intensidade de 1N que desloca seu ponto de aplicação na
   direção e no sentido de uma força em um comprimento de um metro : J = N . m . São
   usadas, também , outras unidades como o erg = dyn . cm , no sistema CGS ; o kgm =
   kgf . m , no sistema MK*S. o quilowatt- hora ( kwh) = 3,6 . 106j; o elétron-volt ( eV) =
   1,602 . 10 –19 J e a caloría ( cal ) = 4,1868 j(3).


   Vejamos ,a seguir, um problema resolvido .

                                                                                          41
1. Determine o trabalho realizado pela força constante F, de intensidade F = 20N, que
atua sobre uma partícula , deslocando –a ao longo de uma reta com extensão de 5
metros, conforme os esquemas:




Resp. O trabalho realizado pela força F é de –50 joules.

    Nos itens a e d, você observou que a força F favorece o deslocamento da partícula
e, nesse caso, dizemos que a força F realiza um trabalho motor. Por outro lado, nos
itens b e e, a força F age contra o deslocamento e dizemos que ela realiza um trabalho
resistente. No item c, você viu que o trabalho da força f não influi no deslocamento da
partícula ( não age contra nem a favor ) e, nesse caso, sendo θ um ângulo reto,
chamamos o trabalho da força F de trabalho nulo.




                                                                                    42
O TRABALHO DA FORÇA – PESO
          Vamos , agora , estudar um caso muito particular. Trata-se do trabalho realizado
   quando uma partícula, sob a ação do seu peso, passa de uma posição inicial A para uma
   posição final B. Consideremos dois casos distintos.

   1º caso : a partícula desloca-se na vertical em sentido
   descendente. Neste caso, a força e o deslocamento têm o
   mesmo sentido . O ângulo θ formado pela força P e pelo
   deslocamento é 0º, então cos θ = 1 . O trabalho realizado pela
   força P é dado por
   τ = p . h , mas P = m . g , então τ = m g h

   2º caso: a partícula se desloca na vertical em sentido ascendente
   . Neste caso, a força e o deslocamento têm a mesma direção,
   mas sentidos opostos, O ângulo θ formado pela força P e pelo
   deslocamento é 180º , então cos θ = - 1. O trabalho realizado
   pela força P é u trabalho resistente e é dado por τ = p . h mas,
   neste caso . P = - m . g , então
   τ=-m g h

           Quando uma partícula descreve uma trajetória não
   vertical, o trabalho da força – peso é calculado como nos dois
   caso vistos, dependendo apenas do sentido do movimento,
   devido ao Princípio da Independência do Movimentos que você já estudou.

   Podemos , então , concluir que :

         ENTRE A MESMA POSIÇÃO INICIAL E A MESMA POSIÇÃO FINAL, O
   TRABALHO REALIZADO PELA FORÇA – PESO NÃO DEPENDE DA
   TRAJETÓRIA PERCORRIDA ENTRE A POSIÇÃO INICIAL E Á POSIÇÃO
   FINAL; ESSE TRABALHO DEPENDE EXCLUSIVAMENTE DA POSIÇÃO
   INICIAL E DA POSIÇÃO FINAL .

    Vejamos, agora , o que vem a ser potência . Suponhamos que , em um grande depósito
de materiais ,um empregado eleve uma caixa de 60 quilos a uma altura de um metro, em 30
segundos , e que uma empilhadeira gaste apenas 10 segundos para elevar a mesma caixa à
mesma altura . Embora o empregado tenha realizado o mesmo trabalho que a empilhadeira ,
a máquina realizou o trabalho em menos tempo.

A POTÊNCIA É UMA GRANDEZA FÍSICA, ESCALAR, QUE DEFINE A RAPIDEZ
COM QUE O TRABALHO DE UMA FORÇA É REALIZADO .

     Seja uma força F que , num intervalo de tempo ∆t qualquer, realiza um trabalho τ.
Chamamos de potência média (pm) da força F, no intervalo de tempo, ao quociente:

Pm = τ .
     ∆t

Vamos calcular a relação existente entre a potência e a velocidade quando uma partícula se
movimenta retilineamente sob a ação de uma força constante F, paralela ao deslocamento.
Suponhamos que uma partícula se desloque de A para B sob a ação de um força F.
Nesse caso, o trabalho da força F será dado por :
τ=F.d

                                                                                       43
A            F                                     B
A potência média de F será dada por:
                              d

Pm = τ .
     ∆t

mas τ = F . d , então : Pm = F . d
                              ∆t

sendo a relação existente entre o deslocamento e o espaço de tempo gasto igual á
velocidade média ,temos que

Pm = F . Vm

Unidade de Potência

Você já sabe que a potência é o quociente entre o trabalho e o intervalo de tempo, então as
unidades de potência serão quocientes das unidades trabalho pelas unidades de tempo,
assim temos:
    a) no sistema MKS (SI )
    unidade trabalho: J (joule )
    unidade de tempo: s (segundo )
    unidade de potência : J que recebe o nome de watt e tem o símbolo W.
                           s
    um watt (lw) é a potência de um sistema capaz de realizar uma trabalho de 1 joule em 1
    segundo.
    b) no sistema CGS
    unidade de trabalho : erg
    unidade de tempo : s
    unidade de potência : erg/s (erg por segundo ).
    Um erg por segundo é a potência de um sistema capaz de realizar o trabalho de 1 erg
    em 1 segundo .
    c) no sistema MK*S:
    unidade de trabalho : kgm ( quilogrâmetro )
    unidade de tempo : s
    unidade de potência : kgm / s ( quilogrametro por segundo ).

   Além dessas unidades temos , também , algumas unidades de potência e a sua relação
   com o watt.

          SISTEMA                UNIDADE DE POTÊNCIA             RELAÇÃO COM 1W
   MKS ( S. )                    Watt ( W )                   -
   CGS                           Erg /s                       1 erg/s = 10 –7w
   MK*S                          Kgm/s                        1 kgm/s = 908w
   MTS                           Kw                           1 kw = 103 w
   -                             Cv                           1 cv = 735,5 w
   -                             HP                           1 HP = 746 w

       É importante relembrar que o quilowatt – hora ( kwh ) , usado para medir o
   consumo de energia elétrica, não é uma unidade de potência mas sim, uma unidade de
   trabalho, como você já aprendeu.




                                                                                        44
O conceito de rendimento é comum em nossa vida diária “ meu carro não tem
apresentado bom rendimento” “ estou tendo um ótimo rendimento no estudo desta
disciplina”, são frases que você já deve ter dito e ouvido várias vezes . Para estudarmos o
que é rendimento , vejamos alguns conceitos novos.
        Consideremos um motor de um automóvel que tem a finalidade de fazer o veículo
se deslocar. Para que o motor possa funcionar, devemos fornecer uma certa quantidade de
combustível e, em troca, ele nos fornece um trabalho (o deslocamento do
     automóvel ).
        O trabalho que fornecemos ao sistema, chama-se trabalho motriz , e o trabalho que
o sistema nos devolve, chama-se trabalho útil. O trabalho útil é sempre menor que o
trabalho motriz, porque uma certa parte é gasta para vencer o atrito e outras resistências, a
que chamamos de resistências passivas ou trabalho passivo.

           TRABALHO ÚTIL = TRABALHO MOTRIZ – TRABALHO PASSIVO

       Para qualificar o motor quanto à sua eficiência, ou seja, quanto ao grau de
aproveitamento do trabalho motriz, é que foi definida a grandeza de rendimento .

O RENDIMENTO É A RELAÇÃO ENTRE O TRABALHO ÚTIL E O TRABALHO
MOTRIZ.

       Chamando o rendimento de R e lembrando que o trabalho útil é sempre menor que o
trabalho motriz, podemos escrever:

   R =τu .
        τm
   Onde R será sempre menor que a unidade.
       Sabendo que a potência é dada pela relação existente entre o trabalho e a unidade de
tempo, podemos calcular, também o rendimento R em função da potência :

   R=Pu
           Pm

       Onde, como você já sabe, R será menor que 1.
       Geralmente, o rendimento é expresso em percentual. Assim , se na resolução de um
problema chegarmos a obter : R = τ u ⇒ R = 80 ⇒ R = 0,8
                                    τm        100

é mais comum dizer que “ o rendimento é de 80%” do que “ o rendimento é de 0,8” ,
embora ambar as formas estejam corretas.
       Vejamos , agora , algumas aplicações do conteúdo estudado.
       1. um homem segura um corpo de peso P = 50 N suspendendo –o verticalmente
com velocidade constante, desde o assoalho até uma altura de 1,2 m do assoalho . Calcule:
   a ) o trabalho realizado pela força – peso do corpo
   b ) o trabalho realizado pela força aplicada pelo homem.

Resolução:
a) dados
P = 50 N velocidade constante
AB = h = 1,2m

O sentido do deslocamento do ponto de aplicação da força- peso é contrário ao sentido
desta força, então:
               τ = -p . h
               τ = -50 . 1,2 ⇒ τ = -60 j

                                                                                          45
b) como o corpo está sendo suspenso com velocidade constante, concluímos que o homem
equilibra a força – peso durante o trajeto, aplicando ao corpo uma força F de mesma
intensidade , mesma direção ( vertical ) . Porém de sentido oposto ao da força P : F = - P.

Sendo o sentido da força aplicada pelo homem, o mesmo do sentido do deslocamento, o
trabalho é dado por

τ=p. h

τ = 50 . 1,2 ⇒ τ = 60 j ⇒ τ = , o que já era de se esperar visto que F = - P
resp : A força aplicada pelo homem é de 60 j




2. Uma força realiza um trabalho de 25 j num intervalo de tempo ∆t = 5s , Calcule a
potência média da força em watts e em HP.

Resolução:
Dados : τ = 25j ∆t = 5s
Pm = τ ⇒ Pm = 25 ⇒ Pm = 5 j /s                ⇒ Pm = 5w
      ∆t                5

para transformar 5 watts em Hp, faz-se uma regra de três simples:

1 HP ------------- 746W
X HP------------- 5W

X = 5 J /S

Para acionar uma máquina são fornecidos 5 HP, dos quais 3 HP são gastos para vencer as
resistências passivas. Calcule o rendimento dessa máquina.

Resolução .

Dados : Potência motriz = 5 HP       potência útil = 2 HP

R = Pu ⇒ r = 2 ⇒ r = 0,4
     Pm        5
O rendimento da máquina é de 40% ( ou 0,4 ).



EXERCÍCIOS:

FAÇA A VERIFICAÇÃO DO QUE VOCÊ APRENDEU NO ESTUDO DO TEXTO,
REALIZANDO OS EXERCÍCIOS QUE SE SEGUEM.
PARA RESOLVÊ-LOS, VOCÊ DEVE SABER :



                                                                                        46
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  • 1. ÍNDICE INTRODUÇÃO AO ESTUDO DA CINEMÁTICA.................................................................................. 02 MOVIMENTO RETILÍNEO UNIFORME................................................................................................. 05 GRÁFICO HORÁRIO DO MOVIMENTO RETILÍNEO UNIFORME.................................................... 06 MOVIMENTO RETILÍNEO UNIFORMEMENTE 15 VARIADO................................................................ VETORES VELOCIDADE E ACELERAÇÃO......................................................................................... 22 ADIÇÃO DE VETORES............................................................................................................................ 24 MÉTODO DA POLIGONAL..................................................................................................................... 24 REGRA DO PARALELOGRAMO............................................................................................................ 25 MÉTODO DAS PROJEÇÕES.................................................................................................................... 26 SUBTRAÇÃO DE VETORES.................................................................................................................... 27 MULTIPLICAÇÃO DE UM NÚMERO REAL POR UM VETOR........................................................... 27 VETOR DESLOCAMENTO...................................................................................................................... 28 LEI DA INÉRCIA....................................................................................................................................... 31 LEI FUNDAMENTAL............................................................... ............................................................... 32 LEI DA AÇÃO E REAÇÃO............................................................... ...................................................... 34 FORÇA PESO............................................................... ............................................................................. 35 ACELERAÇÃO E CAMPO GRAVITACIONAL............................................................... ..................... 36 APLICAÇÕES DAS LEIS DE NEWTON.................................................................................................. 36 TRABALHO DE UMA FORÇA............................................................... ................................................. 41 O TRABALHO DA FORÇA – PESO............................................................... ........................................... 43 EXERCÍCIOS............................................................... .............................................................................. 46 TERMOMETRIA............................................................... ........................................................................ 49 ESCALA FAHRENHEIT............................................................... ............................................................ 50 ESCALA KELVIN............................................................... ...................................................................... 50 ESCALA CELSIUS............................................................... ................................................................... 52 DILATAÇÃO DOS SÓLIDOS E DOS LÍQUIDOS................................................................................... 52 CONCEITO DE CALOR............................................................... ........................................................... 56 CAPACIDADE TÉRMICA DE UM CORPO............................................................................................ 58 ÓPTICA GEOMÉTRICA............................................................... ............................................................ 61 EXERCÍCIOS............................................................... .......................................................................... 67 ONDAS............................................................... ............................................................... ........................ 68 CARACTERÍSTICAS DA ONDA............................................................................................................. 70 REFLEXÃO DAS ONDAS SONORAS............................................................... ..................................... 73 EXERCÍCIOS............................................................... ............................................................................. 74 AUTOAVALIAÇÃO............................................................... .................................................................. 76 ELETRICIDADE............................................................... ........................................................................ 79 ISOLANTES E CONDUTORES............................................................... ................................................ 81 CAMPO ELÉTRICO............................................................... ................................................................... 82 CORRENTE ELÉTRICA............................................................... ........................................................... 82 RESISTÊNCIA ELÉTRICA............................................................... ....................................................... 85 CIRCUITOS ELÉTRICOS............................................................... .......................................................... 89 ASSOCIAÇÃO DE RESISTORES EM SÉRIE...................................................................................... 91 ASSOCIAÇÃO DE RESISTORES EM PARALELO................................................................................ 92 EXERCÍCIOS............................................................... .............................................................................. 94 BIBLIOGRAFIA A CONSULTAR............................................................................................................ 100 1
  • 2. Texto : INTRODUÇÃO AO ESTUDO DA CINEMÁTICA A Cinemática é a parte da mecânica que estuda e descreve os movimentos, sem se preocupar com as suas causas. Ela se baseia em quatro conceitos fundamentais: posição, tempo, velocidade e aceleração. É comum, ao estudarmos o movimento de um corpo qualquer , tratá-lo como uma partícula. Dizemos que um corpo é uma partícula quando suas dimensões são muito pequenas, desprezíveis , em comparação com as demais dimensões que participam do fenômeno . Por exemplo: se um automóvel, de 3,5 m de comprimento , se desloca 15 metros, ele não pode ser considerado uma partícula mas, se ele se desloca por cerca de 200 quilômetros , seu comprimento é desprezível, em relação a essa distância . A todo instante você pode ver aviões cortarem o céu, automóveis percorrerem ruas e estradas, pessoas andarem de um lado para outro na cidade. O movimento está presente em cada momento do seu dia – a – dia . Como podemos verificar com exatidão se um corpo está em movimento ou em repouso? Vejamos exemplo: uma pessoa está sentada dentro de um ônibus e você, parado na calçada, a vê passar . Essa pergunta tem duas respostas. Veja:  Primeira resposta : poderíamos dizer que a pessoa está em movimento, em relação a você ( que estava parado na calçada ) ; ou  Segunda resposta : poderíamos dizer que a pessoa está em repouso ( ausência de movimento ), em relação ao motorista do ônibus. Veja que, dependendo do ponto tomado como referência, há ou não movimento de um corpo, ...... REFERENCIAL É TODO CORPO OU PONTO EM RELAÇÃO AO QUAL SE VERIFICA A MUDANÇA DE POSIÇÃO DE UM OUTRO CORPO. Ou: REFERENCIAL É UM CORPO RÍGIDO AO QUAL ASSOCIAMOS UM SISTEMA DE EIXOS PARA FACILITAR A CARACTERIZAÇÃO DA POSIÇÃO DE UM CORPO OU PARTÍCULA . Movimento , repouso e trajetória Quando a posição de um corpo ou partícula varia, em relação a um dado referencial, no decurso de um intervalo de tempo qualquer, diz-se que há movimento. Por outro lado, se a posição de um corpo não varia , em relação a um referencial, durante um intervalo de tempo, diz-se que esse corpo está em repouso. O caminho percorrido por uma partícula ou corpo em movimento é chamado de trajetória. A trajetória de uma partícula em relação a um referencial é dada pela linha contínua que une as sucessivas posições ocupadas pela partícula durante o seu movimento . Intervalo de tempo Para podermos situar um acontecimento em relação a outro, precisamos ordenar os fatos em passado , presente e futuro, ou seja, precisamos estabelecer um referencial. Assim, em um deslocamento de uma partícula qualquer, dizemos que ela passou por um 2
  • 3. determinado ponto P0 em instante t0 , e está no ponto p1 no instante t1 . O tempo que a partícula levou de sua posição inicial P0 a posição P1, denomina-se intervalo de tempo . O intervalo de tempo ∆t é então definido como a diferença entre o instante final e o instante inicial . ∆t = tf – t1 O deslocamento dessa partícula pode também ser definido como a diferença entre a sua posição final , no ponto P1, e a sua posição inicial no ponto P0 . Dessa forma, teremos, chamado o deslocamento de ∆s, a posição final de Sf e a inicial de Si : ∆s = Sf - Si A relação existente entre o deslocamento realizado por um móvel e o tempo gasto por esse móvel para realizar esse deslocamento é chamado de velocidade média. A velocidade média vai, então, indicar a rapidez com que um móvel mudou de posição . Representamos a velocidade média ( Vm ), assim : Vm = ∆s = Sf - Si ∆t tf - t i As grandezas físicas podem ser medidas usando-se diversas unidades. Por exemplo, o comprimento pode ser medido em metros , centímetros, quilômetros, pés, milhas, etc. A medição das grandezas físicas deve ser feita de forma coerente . Para isso, foram estabelecidos alguns sistemas de unidades físicas, dos quais os mais usados são três : O Sistema Internacional (SI ) , também chamado de sistema MKS – metro, quilograma, segundo; o sistema CGS centímetro , grama, segundo; e o sistema MK*S ou MKgfS – Metro , quilograma – força, segundo. Na resolução de qualquer problema é necessário que todas as unidades sejam de um mesmo sistema de unidades. Assim sendo, elaboramos a tabela que se segue, a fim de que você possa se familiarizar com as grandezas dos vários sistemas. Pedimos que você tenha especial atenção com os sistema MKS, CGS, pois serão os que você mais empregará no seu estudo. ( Decreto nº 52 423, de 30/08/63. ) GRANDEZAS SI CGS MK*S Comprimento M Cm M Massa Kg g utm (2 ) Tempo s ( ou seg ) s ( ou seg ) s ( ou seg ) Velocidade m/s cm/s m/s Seja , por exemplo, dada a velocidade de um móvel igual a 90 Km/h. Vamos transformar o valor da sua velocidade para os sistema MKS e CGS. 3
  • 4. 1 ) Transformando para o sistema MKS, temos : 90 km/h = 90 km = 90 000 = 25 m/s 1 hora 3 600s (3) 2) Transformando para o sistema CGS, temos : 90 km/h = 90 km = 9 000 000 cm = 2 500 cm / s 1 hora 3 600 s Pense e responda. A velocidade média reflete a velocidade de um móvel em cada ponto de sua trajetória ? não. Nós sabemos que durante um deslocamento qualquer, um móvel pode variar a sua velocidade e que a velocidade média pode ser, então, muito diferente da velocidade em determinado ponto da trajetória. A velocidade de um móvel em determinado instante é chamada de velocidade instantânea. (V) , que traduz a velocidade em cada ponto da trajetória . Nesse nosso curso, iremos tratar apenas da velocidade média. 1 EXERCÍCIO AGORA VOCÊ VAI FAZER A VERIFICAÇÃO DO QUE APRENDEU NESTE TEXTO, PARA RESOLVER OS EXERCÍCIOS QUE SE SEGUEM VOCÊ DEVE SABER:  O QUE É CINEMÁTICA , REFERENCIAL, TRAJETÓRIA, INTERVALO DE TEMPO, DESLOCAMENTO E VELOCIDADE MÉDIA .  TRANSFORMAR PARA OS SISTEMA MKS E CGS AS UNIDADES DE COMPRIMENTO, TEMPO E VELOCIDADE. 1 – COMPLETE AS LACUNAS . 1. A Cinemática á a parte da .......................................... que estuda e descreve os .................................... sem se preocupar com as suas causas. 2. Referencial é um corpo ........................................ ao qual associamos um .................................. para facilitar a caracterização da ............................................de um corpo. 3. Trajetória é o ............................................. percorrido por uma partícula em .................... 4. Intervalo de tempo é definido como a ................................................... entre o ............................................... e o ................................................... . 5. O deslocamento de uma partícula é definido como a .......................................................... entre a sua posição .......................................... e a posição ...................................................... 6. A relação entre o deslocamento realizado por um móvel e o tempo gasto por esse móvel para realizar esse deslocamento é chamado de ....................................................................... II – Transforme os valores das velocidades para o sistema MKS. 1. 108 quilômetros por hora 2. 60 metros por minuto 1 – Chave de Correção . I – 1 . Mecânica / movimentos 4
  • 5. 2. Rígido / sistema de eixos / posição 3. caminho / movimento . 4. diferença / instante final / instante inicial 5. diferença / final / inicial 6. velocidade média II – 1 . 108 km /h = 180 km = 180 000 m = 30 m/s 1 hora 3 6000 2. 60 m/m = 60 m = 60 m = 1 m/s 1 minuto 60 s MOVIMENTO RETILÍNEO UNIFORME Vimos que a velocidade de um corpo é a rapidez com que ele muda de posição . Essa mudança de posição pode ser efetuada de diferentes maneira . Cada maneira caracteriza um determinado tipo de movimento. Vejamos m desses tipos: o movimento retilíneo uniforme (MRU ). Chamamos de MRU àquele em que o deslocamento do corpo ( em relação a um referencial ) se dá em uma trajetória retilínea ( em linha reta ) com o valor de velocidade constante. Assim, quando afirmamos que um móvel executa movimente retilíneo uniforme com velocidade de 10 m/s, isto significa que em qualquer instante o valor da velocidade deste móvel será de 10 m/s. Sabemos que todo corpo em movimento sofre uma variação de posição . Para indicar a posição de um corpo em um determinado instante, usamos a equação denominada equação horária. Veja o exemplo. Um móvel está se movendo em MRU. Tomamos um ponto X com referencial. O móvel parte do ponto 1 no instante t1 = 0 e chega ao ponto 2 no instante tf = t, como mostra o esquema a seguir 2 Ti = 0 Tf = t ∆S Si S Quando o móvel atinge o ponto 2, sua posição em relação ao ponto x é dada pela expressão S = si + ∆s Como a velocidade do móvel é constante, podemos aplicar a fórmula de Vm. Vm = ∆s ⇒ ∆s = Vm . ∆t ou ∆s = Vm . ( tf – ti ) ∆t como, pelo enunciado tf - t , temos ainda que: Vs = Vm . ( t – t1 ) , mas t1 = 0 , então 5
  • 6. ∆s = Vm . t , ou simplesmente ∆s = V . t Se substituirmos ∆s por ( s – sj ) , teremos : S – Sj = V . t , ou S = Sj + V t Que é a equação horária do Movimento Retilíneo Uniforme. Vejamos um problema resolvido. 1. A posição de um móvel em Movimento Retilíneo Uniforme é representada pela equação S = 2 + 5 t. Usando as unidades do sistema MKS. Calcule : a) a posição inicial do móvel : s = 2 + 5t : ( para t = 0 ) s = 2 + 5 . 0 s= 2 +0 :(s=2 ) Resp. A posição inicial do móvel é 2 metros. b) A posição do móvel no instante t = 3 s=2 + 5t s=2 +(5 .3 ) s = 2 + 15 . S = 17 Resp. A posição do móvel no instante t = 3 é 17 metros. c) O deslocamento do móvel no instante t = 10 s=2 + 5t s = 2 + ( 5 . 10 ) s = 2 + 50 s = 52 ( posição do móvel em t= 10 ) ∆s = s – sj ∆s = 52 – 2 ∆s = 50 resp: o deslocamento do móvel é de 50 metros. d) a velocidade do móvel Vm = ∆s tomando –se t= 10 e ∆s = 50 m ∆t Vm = 50 m : Vm = 5m/s 10s Resp. A velocidade do móvel é de 5 m/s Os gráficos são de grande valia para análise dos movimentos e a resolução de problemas. Sabendo-se interpretar um gráfico, dele extraímos um grande número de informações . 6
  • 7. GRÁFICO HORÁRIO DO MOVIMENTO RETILÍNEO UNIFORME O gráfico horário de um movimento retilíneo uniforme é a representação gráfica de sua equação horária , num sistema de coordenadas cartesianas. Nele, marcamos os tempos no eixo das abscissas e os espaços no eixo das ordenadas. Vamos fazer uma tabela tempo x posição para a equação s = 10 + 5t ; atribuindo valores para o tempo, Assim teremos ;  Para t = 0 ⇒ s = 10 + ( 5 . 0 ) = 10  Para t = 1 ⇒ s = 10 + ( 5 . 1 ) = 15  Para t = 2 ⇒ s = 10 + (5 . 2 ) = 20  Para t = 3 ⇒ s = 10 + (5 . 3 ) = 25  Para t = 4 ⇒ s = 10 + (5 . 4 ) = 30  Para t = 5 ⇒ s = 10 + ( 5 . 5 ) = 35  Para t = 6 ⇒ s = 10 + ( 5 . 6 ) = 40  Para t = 7 ⇒ s = 10 + ( 5 . 7 ) = 45 Vamos transportar os valores da tabela para o gráfico s x t , onde o eixo das abscissas terá os valores do tempo e o eixo das ordenadas, os valores da posição. A equação horária do MRU é uma equação do 1º grau em t. Assim sendo, seu gráfico sempre será uma reta. No gráfico que acabamos de construir , o movimento é progressivo, pois o valor de s diminui com o aumento dos valores de t. Dizemos que um movimento é progressivo quando seu sentido coincide com o sentido convencionado como positivo e que o movimento é regressivo quando, em caso contrário, seu sentido é oposto ao convencionado com positivo. 1. Gráfico da velocidade do Movimento Retilíneo Uniforme O gráfico da velocidade é o gráfico que obtemos marcando o tempo no eixo das abscissas e a velocidade no eixo das ordenadas. No caso do MRU, onde a velocidade é constante, a ordenada é a mesma para todos os pontos. Vejamos um exemplo. Um formiga percorre uma escala graduada, em movimento retilíneo uniforme, para pegar um grão de açúcar. Sabendo-se que no instante t = 0 ela se achava na origem da escala, e que após percorrer o espaço de 15cm , havia se passado 10 segundos , pede-se : a) calcular a velocidade da formiga 7
  • 8. b) fazer o gráfico da velocidade do movimento Resolução Dados : t = 0 ⇒ s = 0 t = 10 ⇒ s = 15 Vm = ∆s . ∆t Vm = 15 cm 10 s Vm = 1,5 cm/s Resp. A velocidade da formiga é de 1,5 cm/s. Observe que: 1º) a velocidade constante é um paralela 2º) a área hachurada, no gráfico, representa o deslocamento da formiga, pois ∆s = S1 = vt e nesse caso Si = 0 ( ela estava na origem da escala no instante t = 0 ) , então ∆s = v. t. Isso nos mostra que : AO TRAÇARMOS O GRÁFICO DE UM MOVIMENTO RETILÍNEO UNIFORME, O VALOR NUMÉRICO DO ESPAÇO PERCORRIDO ENTRE DOIS INSTANTES É IGUAL A ÁREA DELIMITADA PELO EIXO DAS ABSCISSAS , PELA RETA DA VELOCIDADE E PELAS DUAS PERPENDICULARES A ESTE EIXO, TRAÇADAS PELOS PONTOS DOS DOIS INSTANTES CONSIDERADOS. Exercícios Faça a verificação do que você aprendeu nesse texto. Para resolver os exercícios que se seguem, você deve saber: O que é movimento retilíneo uniforme. O que representa a equação horário . Resolver problemas de movimento retilíneo uniforme. Fazer tabelas e gráficos do movimento retilíneo uniforme. Interpretar gráficos do MRU. I – Escreva nos parênteses, (V) se afirmativa for verdadeira ou (f) se for falsa. II – Preencha o quadro: Equação da Posição Inicial Deslocamento Posição em 3s Velocidade do posição (t=0) em 3s Móvel ( em m/s ) S = 2 + 3t S = 5 + 2t S = 4t III – Resolva os Problemas . ( use folha avulsa.) 8
  • 9. 1. Um móvel percorre, num movimento uniforme, uma trajetória retilínea com a velocidade de 1,5 m/s. Sabendo-se que o espaço inicial é de 40 m , calcule o valor do espaço percorrido ao fim de 5 minutos. 2. Uma tartaruga encontra-se a quatro metros de uma folha de alface e começa a se mover em direção a folha com velocidade constante igual a um décimo de quilômetro por hora. Quanto tempo a tartaruga vai gastar para atingir a folha ? 3. Dois Móveis deslocam-se sobre uma reta, em movimento uniforme, partindo simultaneamente de dois pontos A e B da reta, afastados 70 cm . Quando eles se movem em sentidos opostos ( um ao encontro do outro ) , encontram-se 7 segundos após a partida. Quando eles se movem no mesmo sentido, um deles alcança o outro ao cabo de 35 segundos . Calcule a velocidade dos dois móveis . 2 Chave de correção I– 1.(v); 2.(f) – um movimento retilíneo uniforme pode ser progressivo ou regressivo. 3.(v) II- Equação da Posição Inicial Deslocamento Posição em Velocidade do Posição (t=0) em 3s 5s Móvel ( em m/s) S = 2 + 3t 2m 9m 17m 3m/s S = 5 + 2t 5m 6m 15m 2m/s S = 4t 0 12m 20m 4m/s III – 1. v = 1,5 m/s Tj = 0 Sj = 40 m Sf = ? Tf = 5 min = 300s Usando a equação horário S = Sj + v . t , teremos : S = 40 + ( 1,5 . 300 ) S = 40 + 450 S = 490 metros Resp. o espaço percorrido ao final de 5 minutos é de 490 metros. A primeira coisa a se fazer em um problema é converter todos os dados para um mesmo sistema de unidade, assim tf = 5 minutos que correspondem a 300 segundos. 2. V = 0,1 km/h = 100 m = 100m = 0,027 m/s 1h 3600s s = sj + vt 9
  • 10. 4 = 0 0,027 . t t = 4 t = 148 segundos 0,027 resp. a tartaruga vai gastar 148 segundos para atingir a folha. A C B 3. Sa Sb AB = s = 70 cm T1 = 7s 70 cm T2 = 35s s = sj + v . t Quando os dois móveis se deslocam em sentido opostos, encontram-se um ponto qualquer do segmento AB ao qual chamaremos de C ( veja o desenho ) . Neste caso, a soma dos espaços percorridos pelos dois móveis é de 70 cm e podemos escrever que : Sa = Va . T1 ⇒ Sa = Va . 7 ⇒ Sa = 7 Va Sb = Vb . T1 ⇒ Sb = Vb . 7 ⇒ Sb = 7 Vb Somando membro a membro as duas equações, temos: Sa = 7 Va Sb = 7 Vb . As + Sb = 7 Va + 7 Vb Mas sa + sb = s = 70 cm, então : 7 Va + 7 Vb = 70 dividindo ambos os membros por 7 , Va + Vb = 10 equação I Por outro lado, quando os móveis se deslocam no mesmo sentido , temos : A C B D Sb Sa as = Va . 35 ⇒ Sa = 35 Vz Sb = Vb + 35 ⇒ Sb = 35 Vb 10
  • 11. Subtraindo membro a membro as duas equações , temos Sa = 35 Va Sb = 35 Vb . As – Sb = 35 Va – 35 Vb Mas Sa - Sb é igual ao segmento AB = 70 cm , então 35 Va – 35 Vb = 70 Dividindo ambos os membros por 35, Va – Vb = 2 equação II Consideremos agora o sistema formado pelas duas equações Va + Vb = 10 Va - Vb = 2 , resolvendo , temos : 2 Va = 12 ⇒ Va = 6 Substituindo o valor de Va na primeira equação : Va + Vb = 10 ⇒ 6 + Vb = 10 ⇒ Vb = 10 – 6 = 4 Como as unidades desse problema são do sistema CGS, as velocidade são : Va = 6 cm / s Vb = 4 cm/s Resp ⇒ as velocidades dos móveis são 6 cm/s e 4 cm/s. Atividades de ensino Movimento Retilíneo Uniformemente Variado Nestas atividades de ensino, você vai ler o texto e resolver exercícios que lhe permitirão : 1 Caracterizar Aceleração . 2 Resolver problemas e analisar gráficos sobre movimento retilíneo uniformemente variado, 3 Identificar e resolver Problemas sobre queda livre. 1 – Texto : Aceleração Nas atividades de ensino B, você estudou o movimento retilíneo uniforme , cuja característica fundamental é a velocidade constante. 11
  • 12. Na nossa vida diária , entretanto, o MRU é pouco comum . Se entrarmos em um ônibus ou em um carro e ficarmos observando o ponteiro do velocímetro, veremos que a velocidade raramente será constante, aumentando e diminuindo várias vezes . Assim, um ônibus ou automóvel no trânsito de uma cidade , um jogador de futebol durante uma partida, uma criança brincado são exemplos típicos de movimento variado. O Movimento Retilíneo Uniforme Variado é aquele que se realiza em uma trajetória retilínea e que o valor numérico da sua velocidade varia com o decorrer do tempo. UM MOVIMENTO É RETILÍNEO E UNIFORMEMENTE VARIADO QUANDO UM CORPO PERCORRE UMA TRAJETÓRIA RETILÍNEA , COM ACELERAÇÃO ESCALAR CONSTANTE E DIFERENTE DE ZERO. Suponhamos que um automóvel esteja percorrendo uma estrada com uma velocidade V1 qualquer e que seu motorista resolva ultrapassar outro veículo. Ele pisará mais fundo no acelerador e o automóvel aumentará a velocidade, que passará para um valor V2. Haverá , então , uma variação da velocidade ∆v = V2 – V1. Suponhamos ainda que esta variação da velocidade tenha ocorrido durante um intervalo de tempo ∆t = t2 – t1 . A aceleração escalar média entre os instante t1 e t2 é definida, então , como sendo a relação entre a variação da velocidade e a variação de tempo, assim : a = ∆v = V2 - V1 ∆t t2 – t1 vejamos um exemplo. Um automóvel, com velocidade de 18 m/s em um instante t = 0 , passa por um ponto t = 5 s a uma velocidade de 26 m/s.  a variação da velocidade foi : ∆ v = 26 m/s – 18 m/s = 8 m/s  a variação do tempo foi : ∆t = 5s – 0s = 5s  a aceleração foi : a = ∆ v = 8 m/s = 8 m ÷ 5s ∆t 5s 1s a = 8 m x 1 = 8m ⇒a = 1,6 m/s 2 1s 5s 5s2 Voltamos a lembra-lhe que , antes de resolver qualquer problema, as unidades das grandezas devem ser todas convertidas para um mesmo sistema. Você já sabe que a aceleração é a relação existente entre a variação da velocidade e a variação do tempo: a = ∆v . ∆t O denominador dessa fração, ∆t, representa um intervalo de tempo e é sempre positivo. O numerador , ∆v, pode ser positivo ou negativo, portanto a aceleração pode ser positiva ou negativa. Relacionando as grandezas e aceleração, chegamos a quatro combinações diferentes: 1. velocidade crescente, em módulo, no sentido positivo.  VELOCIDADE MÉDIA MAIOR QUE ZERO  ACELERAÇÃO MÉDIA MAIOR QUE ZERO  VELOCIDADE, EM MÓDULO, CRESCENTE. Neste caso, temos o movimento chamado de progressivo e acelerado. 2 . velocidade crescente, em módulo, no sentido negativo. 12
  • 13.  VELOCIDADE MÉDIA MENOR QUE ZERO  ACELERAÇÃO MÉDIA MENOR QUE ZERO  VELOCIDADE, EM MÓDULO, CRESCENTE. Neste caso, temos o movimento chamado de regressivo e acelerado. 2. velocidade decrescente , em módulo , no sentido negativo.  VELOCIDADE MÉDIA MENOR QUE ZERO  ACELERAÇÃO MÉDIA MAIOR QUE ZERO  VELOCIDADE, EM MÓDULO , DECRESCENTE Neste caso , temos o movimento chamado de regressivo e retardado. Podemos, então , concluir que : O MOVIMENTO É ACELERADO QUANDO A VELOCIDADE E A ACELERAÇÃO TÊM O MESMO SINAL , OU SEJA, QUANDO AMBAS SÃO POSITIVAS OU NEGATIVAS. E que : O MOVIMENTO É RETARDADO QUANDO A VELOCIDADE E A ACELERAÇÃO TÊM SINAIS DIFERENTES , OU SEJA , QUANDO UMA É POSITIVA E A OUTRA , NEGATIVA. O movimento é acelerado quando o módulo da velocidade aumenta com o decorrer do tempo – o móvel tende a andar mais rápido, mesmo que seu deslocamento seja em sentido oposto ao convencionado com positivo. O movimento é retardado quando o módulo da velocidade diminui com o decorrer do tempo – o móvel tende a parar, mesmo que seu deslocamento seja em sentido positivo. 1 – Exercícios VOCÊ AGORA VAI VERIFICAR O QUE APRENDEU DO ESTUDO DO TEXTO E, SE FOR O CASO O QUE PRECISA ESTUDAR MAIS . SUGERIMOS QUE VOCÊ NÃO TENTE RESOLVER OS EXERCÍCIOS SEM QUE TENHA CERTEZA DA RESPOSTA QUE VAI DAR. PARA RESOLVÊ-LO , VOCÊ DEVE SABER :  O QUE É ACELERAÇÃO  QUAIS OS TIPOS DE MOVIMENTO EM FUNÇÃO DOS VALORES DA VELOCIDADE E DA ACELERAÇÃO.  COMO CALCULAR OS VALORES DA VELOCIDADE E DA ACELERAÇÃO I –RESPONDA 1 . O que é o movimento retilíneo uniformemente variado ? _________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________ 2. O que é aceleração escalar média ? _________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________ 13
  • 14. 3. Quando um movimento é acelerado ? _________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________ II – COMPLETE AS SEGUINTES FRASES. 1. No movimento progressivo e acelerado, temos a ) velocidade média ________________________________________________________ b) aceleração média _________________________________________________________ c) módulo da velocidade _____________________________________________________ 2. No movimento progressivo e retardado, temos a) velocidade média _________________________________________________________ b) aceleração média _________________________________________________________ c) módulo da velocidade _____________________________________________________ III - Resolva ( use folha avulsa. ) 1. Um automóvel, percorrendo uma estrada retilínea, passa por um ponto t= a uma velocidade de 18 m/s . Um minuto depois, sua velocidade e de 48 m/s . Qual a sua aceleração ? 2. Um carro de corrida, saindo do repouso, alcança uma velocidade de 234 km/h em 13 segundos. Qual a sua aceleração ? 1 – Chave de correção I – 1 . o movimento retilíneo uniformemente variado é aquele que se realiza em uma trajetória retilínea e que o valor numérico da sua velocidade varia com o decorrer do tempo . 2. Aceleração escalar média é a relação entre a variação da velocidade e a variação de tempo entre dois instantes . 3. Um movimento é acelerado quando o módulo da velocidade aumenta com o decorre do tempo. II – 1. No movimento progressivo e acelerado, temos a) velocidade média maior que zero b) aceleração média maior que zero c) módulo da velocidade crescente. 2. No movimento progressivo e retardado, temos a) velocidade média maior que zero b) aceleração média menor que zero c) módulo da velocidade decrescente. III – 1 - dados : to = 0 e t = 1 minuto = 60s Vo = 18 m/s v1 = 48 m/s a= ∆v . ∆t a = v1 - vo = 48 m/s - 18 m/s = 30 m/s ⇒ a = 0,5 m/s 2 t1 - to 60 s - 0 s 60 s resp ⇒ a aceleração do automóvel é de 0,5 m/s2 14
  • 15. Texto : MOVIMENTO RETILÍNEO UNIFORMEMENTE VARIADO Terminado nosso estudo sobre aceleração, vamos nos aprofundar um pouco mais no estudo do Movimento retilíneo uniformemente variado . Consideremos um móvel em MRUV com uma velocidade inicial a vo no instante to = 0 , em que vamos começar o estudo do movimento. Se o móvel está em MRUV, ele possui uma aceleração a constante; então , usando a equação a = ∆v , que nos define a aceleração , podemos escrever : ∆t ∆v = a . ∆t como ∆v = v – vo e ∆t = t – to, temos que v – vo = a ( t – to ), mas to = 0 , então v – vo = a t, e v = vo + a . t, que é a equação que nos permite calcular a velocidade de um móvel, depois de decorrido um tempo t qualquer . Para completar a descrição do MRUV , precisamos conhecer, além da aceleração e da velocidade, a posição do corpo com o decorrer do tempo . No movimento retilíneo uniformemente variado, a variação da velocidade escalar é proporcional ao tempo , o que nos permite dizer que a velocidade escalar média entre dois pontos é igual a media aritmética das velocidade escalares instantâneas nos pontos considerados . Vm = v + vo . 2 os , substituindo v pela sua equação ( v = vo = at ), Vm = ( vo at ) + vo ⇒ vm = 2 vo + at ⇒ vm = vo + at . 2 2 2 mas você sabe que Vm = s – so , ⇒ Vo + at ⇒ s – so = vo . t + a . t . t, 2 2 2 daí s= s0 + vo t + at2 que é a equação horária do MRUV. 2 vejamos um problema resolvido. 1. um avião percorre a pista de decolagem de um aeroporto, com aceleração constante de 5m/s2. Em determinado instante o avião está com a velocidade de 40 m/s. Responda . a) qual será a velocidade do avião 10 segundo após esse instante ? b) quantos segundos foram necessários para que o avião atingisse a velocidade de 40 m/s ? c) qual será o espaço percorrido pelo avião nos primeiros 20 segundos de movimento e qual sua velocidade nesse instante ? resolução : a ) Dados : a = 5 m/s2 t = 10s vo = 40 m /s v=? v = vo + at v = 40 + 5 . 10 ⇒ v = 40 + 50 ⇒ v = 90 m/s resp : a velocidade do avião será de 90 m/s. b) dados : a = 5 m/s2 vo = 0 v= 40 m/s t=? v = vo + a t 40 = 0 + 5 t ⇒ t = 40 ⇒ t = 8 s 15
  • 16. 5 resp: o tempo necessário para que o avião atingisse a velocidade de 40 m/s foi de 8 segundos. c) dados : a = 5 m/s so = 0 t = 20 s vo = 0 s = so + vo t + at2 2 s = 0 + 0 . t + 5 . ( 20 )2 2 s = 5 . 400 = 2000 ⇒ s = 1000 m 2 2 v = v o + at v = 0 + 5 . 20 ⇒ v = 100 m/s resp ⇒ o espaço percorrido pelo avião . nos primeiros 20 segundo de movimento , será de 1000 m e sua velocidade será 100 m /s. Equação de Torricelli. A equação de Torricelli permite resolver problemas de movimento retilíneo uniformemente variado, sem a utilização da grandeza tempo. Vejamos um exemplo: Um carro está desenvolvendo uma velocidade de 20 m/s quando o motorista aciona o freio, produzindo uma desaceleração ( aceleração negativa ) de 2 m /s . Qual a distância que o carro vai percorre desse instante até parar ? Com os conhecimentos já adquiridos , você certamente resolveria esse problema em duas etapas : 1ª etapa : cálculo do tempo que o veículo leva para parar dados : a = - 2 m/s2 v=0 vo = 20 m/s t=? v= vo + at 0 = 20 + (-2 )t ⇒ 2t = 20 ⇒ t = 10 s 2ª etapa : cálculo da distância que o móvel vai percorrer dado : vo = 20 m/s t = 10s a = - 2 m/s2 so = 0 s = s0 + v . t + at2 . 2 s = 0 + 20 . 10 = ( - 2 ) . 102 ⇒ s = 200 + ( - 200 ) ⇒ s = 200 – 100 ⇒ s = 100 m 2 2 vejamos . temos os dados : a = - 2 m/s2 v=0 vo = 20 m/s aplicando a equação de Torricelli, temos : 2 = 202 + 2 . –2 . ( s – so ) , mas so = 0 , então: 0 = 400 + 2 . –2s ⇒ 0 = 400 – 4s ⇒ 4s = 400 ⇒ s = 100 m resolvemos o mesmo problema com maior rapidez e simplicidade, não foi ? 16
  • 17. Antes de continuarmos , gostaríamos que você percebesse não ser necessário memorizar todas as variantes das equações apresentadas. Qualquer problema sobre movimento retilíneo uniformemente variado será resolvido por você com o auxílio de apenas três fórmulas :  a equação horária s = so + vot + at2 .  a equação da velocidade 2  a equação de Torricelli v = vo + at v2 = vo2 + 2a ( s – so ) Gráficos do MRUV Assim como os gráficos do Movimento Retilíneo Uniforme, os do movimento retilíneo uniformemente variado nos fornecem todos os dados necessários à análise do movimento. 1. Gráfico v x t 7O gráfico da equação da velocidade é uma função do 1º grau : v = vo + at 9 sempre com a ≠ 0 . Vamos construir a tabela e o gráfico para v= 2 + 3 t . O gráfico v x t nos dá, além da variação da velocidade em função do tempo, o valor da aceleração ( a = ∆v ⇒ a = 8 - 5 ⇒ a = 3 ou a = 17 - 11 = 6 = 3 ) e o valor do deslocamento , ∆t 2 - 1 5 - 3 2 Representado pela área hachurada No trapézio do gráfico anterior, o lado AB é a base maior, o lado 0C é a base menor e o lado 0A a altura. Calculando o valor numérico da área hachurada, obteremos 47,5 que é o mesmo valor que encontraremos se calcularmos o deslocamento,através da fórmula 2 . Gárfico s x t a equação horária do MRUV é uma equação do 2º grau em t: s = so + vot + at2 2 17
  • 18. A representação gráfica de uma equação do segundo grau é sempre uma parábola, então , vamos construir o gráfico para um movimento que tenha a equação s = t + 2t2 . 2 T S 12 0 0 1 2 20 2 6 3 12 4 20 6 1 1 2 3 4 Observe o problema resolvido a seguir. 1. Um móvel descreve um movimento uniformemente variado. Sua velocidade varia em função do tempo, de acordo com a tabela: T(s) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 V(m/s 16 12 8 4 0 -4 -8 -12 -16 -20 Determine : a) a velocidade inicial vo do movimento b) a aceleração a do movimento c) a equação horária da velocidade no intervalo de tempo da tabela d) em que intervalo de tempo o movimento é retardado e) em que intervalo de tempo o movimento é acelerado f) em que intervalo de tempo o movimento é progressivo g) em que intervalo de tempo o movimento é regressivo h) o espaço percorrido pelo móvel entre os instantes to e t9 i) o gráfico da função v x t j) o gráfico da função s x t . resolução : a ) a velocidade inicial do movimento é a velocidade do móvel no instante t= 0s . Da tabela obtemos vo = 16 m/s c) pelo anunciado do problema , sabemos que o móvel está em MRUV e que sua aceleração e´constante em qualquer intervalo de tempo considerado. Entre os instantes t = 0s e t = 1s, temos : a = ∆s ⇒ a = 12 – 16 ⇒ a = -4 m/s 18
  • 19. ∆t 1 d) como o movimento é uniformemente variado, a equação da velocidade é expressa por v = vo + at. Com os valores já obtidos, temos : v = 16 – 4t e) como o movimento é retardado quando o módulo da sua velocidade cresce com o decorrer do tempo, Portanto, o movimento é acelerado entre os instantes t = 4s e t = 9s, pois | 0 | < | -4 | < | - 8 | < | -12 | < | -16 | < | -20 | ⇒ 0 < 4 < 8 < 12 < 16 < 20 . f) O movimento é progressivo quando sua velocidade é maior que zero, ou seja, é positiva. Pela tabela, temos que a velocidade do móvel é positiva entre os instantes t= 0s e t = 4s , que é o intervalo de tempo no qual o movimento é progressivo. g) O movimento é regressivo quando sua velocidade e negativa.Na tebela , vemos que isso ocorre entre os instantes t = 4s e t = 9s h) Vamos calcular o espaço percorrido pelo móvel em duas etapas . A primeira entre os instantes t = 0s e t = 4s e a segunda entre os instantes t = 4s e t = 9s . Entre os instantes t = 0s e t = 4s , o móvel percorreu : S = so + vot + at2 ⇒ s = 0 + ( 16 . 4 ) + ( - 4 . 42 ) ⇒ s = 64 – 32 = 32 m 2 2 entre os instantes t = 4s e t = 9s , o móvel percorreu : s = so + vo t + at2 ⇒ s = 0 + 0 . 5 + | ( - 4 . 52 ) | ⇒ s = 100 = 50 m 2 2 2 o espaço percorrido pelo móvel entre os instantes to e t 9 foi de 32m + 50 m = 82 m . Calculamos separadamente os espaços percorridos porque , caso contrário , a aplicação direta da equação s= so + vot + at 2 /2 nos daria a distância entre os pontos t = 9s e t = 0s , o que é completamente diferente, uma vez que o móvel, como se pode ver pela tabela, fez o seguinte percurso como e ilustrado a seguir: Note que o instante t = 4s, quando a velocidade do móvel se anula, ocorre mudança no sentido do movimento . Poderíamos, também , resolver essa questão da seguinte forme: Considerar o espaço inicial So como sendo o percorrido entre os instantes t = 0s e t = 4s Calcular o módulo do espaço percorrido entre os instantes t = 4s e t = 9s e somá-lo ao espaço inicial , assim : 19
  • 20. S = So ( t = 0 ⇒ t = 4 f) + Vot + at2 2 ⇒ s = 16 . 4 + ( - 4 . 42 ) + | 0 . 5 + ( -4 . 52) ⇒ s = 64 + ( - 32 ) + | - 50 | ⇒ s = 32 + 50 = 82 m 2 j ) o gráfico v x t obedeceria a tabela dada no enunciado : Vamos aproveitar o gráfico V x T para calcular as áreas dos triângulos A e B que somadas terão o valor do deslocamento do móvel. Sabe-se que a área de um triângulo retângulo ( A e B são triângulos retângulos ) é calculada pela fórmula : A = base x altura 2 então a área do triângulo A é : 4 x 16 = 64 = 32 m 2 2 e a área do triângulo B é : 9 – 4 x 20 = 5 x 20 = 50 m 2 2 A soma do valor das áreas dos triângulos A e B , então, é 32m + 50m = 82m m que é o valor do deslocamento do móvel. J ) Vamos construir a tabela da função s x t , substituindo o valor de t na equação S = Vot + at2 e transportar os dados para o gráfico 2 20
  • 21. 2. Exercícios Faça a verificação do que aprendeu do estudo deste texto, sugerimos a você não tentar responder aos exercícios sem ter certeza do domínio do conteúdo apresentado. Para resolvê-los você deverá saber : Quais as principais equações do MRUV. Como construir os gráficos do MRUV. Como resolver problemas sobre MRUV. I - Escreva , nos parênteses, (v) se a afirmação for verdadeira ou (f) se for falsa. 1 ( ) No movimento retilíneo uniformemente retardado, o gráfico sx t fornece uma reta inclinada em relação ao eixo dos tempos. 2 ( ) No MRUV , a reta obtida ao se construir o gráfico V x T indica o espaço percorrido pelo móvel. 3 ( ) A velocidade média de um móvel em MRUV , entre dois instantes, vale a média aritmética das velocidades instantâneas que o móvel apresenta em cada um desses instantes. 4 ( ) No movimento retilíneo uniformemente variado, a variação da velocidade é proporcional ao tempo. II – Relacione a coluna da esquerda com seus correspondentes à direita escrevendo, nos parênteses, a letra adequada. 1. ( ) Equação horária do MRUV A – v = vo + at 2. ( ) Equação da velocidade do MRUV B - a = ∆v . 3. ( ) Equação da aceleração média ∆t C - s = so + vot + at2 2 D – v2 = vo2 + 2a ( s – so ) III – Resolva os problemas apresentados. ( use folha avulsa.) 21
  • 22. 1.Um móvel gasta 15 segundos para passar da velocidade de 11 m/s para 29 m/s . Qual é a sua aceleração ? 2. Um móvel tem movimento retilíneo uniformemente acelerado, com aceleração de 6 cm/s2. Sabendo-se que a velocidade inicial vale 4 cm/s e o espaço inicial vale 20 cm, qual a equação horária desse movimento e qual será o espaço percorrido no instante t= 4s ? 3. Um automóvel acha-se a uma velocidade de 54 km/h e seu motorista é obrigado a frear repentinamente. Sabendo-se que os freios imprimem ao carro uma aceleração negativa de 2m/s2, pergunta-se quanto tempo gasta o carro até parar e que distância percorre nesse tempo? 4. Um cano de fuzil tem 90 cm de comprimento e uma bala deixa o fuzil com uma velocidade de 600 m/s . Que aceleração média age sobre a bala durante seu percurso dentro do cano e qual é o tempo gasto pela bala para percorrer o cano ? 2 . Chave de correção I– 1. ( F ) no movimento retilíneo uniformemente retardado e no movimento retilíneo uniformemente acelerado, o gráfico s x t fornece uma parábola. 2. ( F ) No MRUV, a reta que se obtém ao se construir o gráfico v x t indica a velocidade e a aceleração do móvel. O espaço percorrido é indicado pela área delimitada pelo eixo dos tempos ( abscissa ), pela reta e pelas perpendiculares ao eixo dos tempos traçadas pelos pontos dos intervalos de tempo inicial e final . 3. ( V ) 4. ( V ) II - 1. ( c ) ; 2. ( d ) ; 3 (a ) ; 4. ( b ) . III – 1. Dados : vo = 11 m/s V = 29 m/s V – vo + at ⇒ 29 = 11 + a . 15 ⇒ 29 – 11 = 15a ⇒ 15a = 18 ⇒ a = 1,2 m/s2 Resp. a aceleração do móvel e de 1,2 m/s2 2. Dados : a = 6 cm/s2 So = 20 cm vo = 4 cm/s t =4s s=? a equação horária do MRUV é : s = so + vot + at2 2 inserindo nessa equação os dados do problema, temos : VETORES VELOCIDADE E ACELERAÇÃO 1. direção e sentido Quando automóveis se encontram em quatro pontos distintos de um cruzamento de ruas , como indica a figura abaixo. 22
  • 23. Se todos estão se movimentando a 36 km/h, podemos dizer que possuem a mesma velocidade escalar. Entretanto, observe que:  Os móveis A e C movimentam–se na mesma direção, indicada pela reta em que se encontram ( no caso, a rua ), mas em sentidos opostos( o sentido é indicado pela seta ), o mesmo ocorrendo com os móveis B e D;  Os móveis A e B movimentam – se em direções e sentidos diferentes, o mesmo ocorrendo com os móveis C e D. A necessidade de associar os conceitos de direção e sentido aos valores numéricos da velocidade e da aceleração, torna-se clara quando analisamos os movimentos dos corpos no plano. Neste estudo, vamos aplicar uma parte de Matemática denominada Cálculo vetorial , que fornecerá base suficiente para a resolução de problemas envolvendo Cinemática vetorial . Antes, porém, vamos ver o que é vetor. 2. Vetor Se você observar um conjunto de retas paralelas, verá que elas apresentam uma característica comum : têm a mesma direção . _________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________ A cada direção podemos associar uma orientação ou sentido: A B Sentido de B para A A B Sentido de A para B Um segmento de reta orientado possui, além de direção e sentido, uma medida (número real não – negativo ) chamada módulo. módulo vetor ( do latim vector = condutor ) é o ente matemático que reúne em si módulo, direção e sentido . Todo segmento que apresenta essas três características pode representar um vetor: direção Vetor sentido Módulo ( número real não – negativo ) 23
  • 24. Representação vetorial : Gráfica Algébrica Do módulo A X, Y, Z , M , a , b , ... |X|, |Y|, |Z|, |M|, | a |, | b | , ... O Dois vetores são  Iguais quando apresentam mesmo módulo, mesma direção e mesmo sentido.  Opostos quando apresentam mesmo módulo e mesma direção, mas sentidos contrários. O vetor oposto pode ser indicado pelo sinal negativo, precedendo a notação algébrica : C D C = D ADIÇÃO DE VETORES Uma importante aplicação prática da adição de vetores é a determinação da rota de embarcações e aviões. Por exemplo, quando um avião está está voando de um lugar ( A) para outro ( B ) e enfrenta uma vento que sopra em ângulo reto em sua direção , o piloto deve alterar sua rota, fazendo um desvio como o representado na figura. A nova direção é dada pela adição dos vetores . Rumo do avião C Direção A Do vento Rota a seguir B Existem várias maneiras de efetuar a adição de vetores. Veremos três delas : o método da poligonal , a regra do paralelogramo e o método das projeções. Método da poligonal Para efetuar a adição de vetores, devemos colocá-los em um plano, a partir de um ponto de origem ( P ), escolhido arbitrariamente, de modo que a extremidade de um coincida com a origem do outro. O vetor soma ( S ) é obtido ligando a origem do primeiro vetor ( A ) com a extremidade do último ( C ) . A A P S C B B Q C 24
  • 25. P : Ponto do plano no qual começa o processo Q : Ponto do plano no qual termina o processo Logo : S=A+B+C Observação : P=Q A A B C B S=O C Nas adições vetoriais, pode acontecer que a extremidade do último vetor coincida com a extremidade do primeiro. Nesses casos, o vetor soma ( S ) é chamado vetor nulo ( O ) . Veja que A + B = - C , oposto do vetos C . Regra do paralelogramo Para obter o vetor soma por esta regra, construímos um paralelogramo com origem comum par cada par de vetores : A S=A+ B | S | = √ |A|2 + |B|2 + 2|A| |B| . cos ∝ ( obtido a partir ∝ S B da lei dos cossenos ) O arco – e flecha é um dos poucos esporte em que deficies físicos podem competir em pé de igualdade com outras pessoas. O que faz com que a flecha atinja altas velocidades é a ação da soma vetorial de duas forças, que será denominada resultante ( R ) , como veremos posteriormente no estudo da Dinâmica. F1 R F2 25
  • 26. Método das projeções A figura a seguir representa os vetores A, B, C e D e seus respectivos componentes nos eixos x e y , obteremos traçando-se , pela origem e pela extremidade de cada vetor , retas perpendiculares ao sistema de eixos predeterminado . A medida algébrica do segmento obtido pela ligação dos pontos de intersecção das perpendiculares com os eixos recebe o nome de projeção do vetor no eixo: Ax, Bx, Cx e Dx : projeções dos vetores A, B, C e D no eixo x Ay, By,Cy e D projeções dos vetores A, B C e D no eixo y Somando todas as projeções, encontramos , em cada eixo, a projeção do vetor soma : Sx = Ax + Bx + Cx + D Sy = Ay + By + Cy + Dy Compondo Sx e Sy, obtemos o vetor soma procurando ( S ) : 26
  • 27. Observação : Para operar com vetores é importante conhecer as seguiste relações trigonométricas no triângulo retângulo: 4. Subtração de Vetores Na figura a seguir, vemos que para subtrair dois vetores, devemos adicionar um deles ao oposto do outro. Então D = A – B = A + (-B) Sendo D o vetor diferença. 5. Multiplicação de um número real por um vetor O resultado da multiplicação de um número real K por um vetor X é o vetor produto P, que apresenta as seguintes características: Direção : a mesma de P P= ks Sentido : para k > 0 : o mesmo de P Para k < 0 : contrário ao de P Módulo : |P| = |k| . |x| Por exemplo, vamos considerar o vetor A representado abaixo e os números k = 2 e k = -0,5 A 27
  • 28. Para determinar os vetores B = ka e C = K’A procedemos da seguinte maneira : Direção : a mesma de A B sentido : o mesmo de A |B| = 2|A| B Direção : a mesma de A C sentido : contrário ao de A |C| = | - 0,5 | |A| c 1 . Dados os vetores abaixo, determine : B 2 A C a) o vetor soma pelo método poligonal ; b) o vetor soma pelo método das projeções ; c) o vetor diferença D = A – B; d) os vetores produtos x = 2A, y = - 0,5 B e z = -4C. 6. Vetor deslocamento Um móvel parte da praça da Sé, em São Paulo , às 8h e chega à praça da Apoteose, no Rio de Janeiro, às 13h. Com base nessa informação , podemos representar o vetor deslocamento ( ∆r) do corpo e conhecer previamente sua trajetória, apenas ligando as posições iniciais e final, através de um segmento orientado de reta. O vetor deslocamento possui direção, sentido e intensidade . Esta corresponde ao módulo do vetor acompanhado da unidade de medida. Veja um exemplo: 10 km ∆r B 30º reta A 28
  • 29. Direção : a mesma da reta que forma ângulo de 30º com a horizontal Sentido : de A para B Intensidade : 10 km(|Rr| = 10 ; unidade : km ) 7 . Vetor velocidade média Imagine que um automóvel se desloca numa estrada como indica a figura : Entre os pontos A e B, o automóvel efetuou um deslocamento ∆r, num intervalo de tempo ∆t. O quociente de ∆r ∆t é denominado vetor velocidade média ( Vm ) , o qual possui as seguintes características: direção a mesma de ∆r Vm sentido: o mesmo ∆r intensidade : Vm = ∆r . ∆t No SI, a unidade de intensidade da velocidade média é m/s 8 . vetor velocidade O vetor velocidade ( V) de um móvel, num determinado ponto de sua trajetória , é obtido calculando o vetor deslocamento em intervalo de tempo infinitamente pequenos: V = ∆r ( ∆t muito pequeno ) ∆t A figura ao lado mostra a trajetória de um móvel .Para representar o vetor velocidade no ponto A, devemos tomar pontos cada vez mais próximos de A e estudar de que maneira a direção do vetor deslocamento varia : 29
  • 30. A parti daí, concluímos que a direção do vetor velocidade nesse ponto é tangente à trajetória e possui o sentido do movimento ; concluímos também que a intensidade da velocidade vetorial em cada ponto coincide com a intensidade da velocidade escalar . Assim, para qualquer ponto de uma trajetória, o vetor velocidade é sempre tangente a ela. Podemos observar evidências dessa conclusão em experiências simples como girar uma pedra amarrada num barbante : soltando o barbante em qualquer posição , a pedra prossegue na direção tangente à trajetória e no mesmo sentido do movimento. A pedra é forçada a descrever uma trajetória curvilínea. Se o barbante arrebentar, ela continuará o movimento na direção tangente à trajetória e no sentido do movimento . Portanto, podemos estabelecer, para o vetor velocidade : Direção : tangente à trajetória v sentido : do movimento intensidade : igual à da velocidade escalar 0 10 . Vetor aceleração média Sempre que observamos uma variação no vetor velocidade de um móvel, podemos determinar de que maneira essa variação ocorre no tempo . O resultado obtido recebe o nome de aceleração vetorial média ou vetor aceleração média : Direção : igual à de ∆v Sentido : igual ao de ∆v Intensidade : ym = |∆v| . ∆t 11. Vetor aceleração Se durante um movimento observamos variação no vetor velocidade, podemos dizer que em cada ponto o móvel possui um vetor aceleração y. Esse vetor pode ser representado como a soma de dois outros vetores perpendiculares entre si, que são seus componentes : aceleração tangencial e aceleração centrípeta . 30
  • 31. Aceleração tangencial ( at): tem sempre a direção da velocidade do móvel, e o sentido depende do movimento ser acelerado ou retardado : Movimento acelerado at e v têm o mesmo sentido Movimento retardado ar e v têm sentidos contrários. Sua intensidade coincide com a da aceleração escalar e ocorre sempre que há variação na intensidade da velocidade vetorial (v): at = |a | Aceleração centrípeta ( ac) : é perpendicular à velocidade e aponta para o centro de curvatura da trajetória. Ocorre sempre que há variação na direção de v. Sua intensidade pode ser calculada por : V – velocidade escalar no instante t. 2 ac = V , em que r r = raio da trajetória . observação : A aceleração centrípeta também pode ser chamada de aceleração normal ou aceleração radial. LEI DA INÉRCIA Aristóteles afirmava que o estado natural do corpo era o repouso, ou seja, quando um corpo adquire velocidade, sua tendência natural é voltar ao repouso ( daí a explicação dos antigos filósofos de que os corpos celestes deviam ser empurrados por anjo ...) Em oposição ao que afirmava Aristóletes, Galileu elaborou hipótese de que não há necessidade de forças para manter um corpo com velocidade constante, pois uma aceleração nula está necessariamente associada a uma força resultante nula : V = o ( repouso ou equilíbrio estático ) R = O ⇒ v = constante V ≠ O ( MRU ou equilíbrio dinâmico ) Nos Diálogos sobre os dois principais sistemas do mundo, Galileu formulou pela primeira vez a Lei da Inércia : Numa situação ideal ( como o caso de uma esfera lançada sobre um plano horizontal perfeitamente polido ), o corpo adquire um movimento retilíneo e uniforme. Nesse caso , o movimento seria perpétuo. Galileu não chegou a comprovar experimentalmente sua hipótese, pois, na prática, a situação por ele imaginada é difícil de realizar-se . Uma comprovação experimental pode 31
  • 32. ser feita em laboratório, com discos de bases polidas, que deslizam em movimento retilíneo o Puxando bruscamente Quando o ônibus parte, o motorista e os passageiros tendem a e uniforme, sobre camadas de ar ou gás carbônico . cartão na direção continuar em repouso em relação ao solo. Quando o ônibus Mas podemos pensar num caso quase ideal , como , por exemplo, a patinação no cai horizontal , a moeda freia, o motorista e os passageiros tendem a continuar em dentro do copo gelo : quando o patinador é empurrado, seu movimento tende a persistir durante razoável movimento em relação ao solo intervalo de tempo . Em os princípios, Newton formulou as três leis básicas do movimento , sendo a Lei da Inércia a primeira : todo corpo tende a manter seu estado de repouso ou de movimento retilíneo e uniforme, a menos que forças externas provoquem variação nesse movimento. As figuras a seguir ilustram algumas aplicações dessa lei. Resolva: 1. A lei da inércia é válida para qualquer referencial ? 2. Indique a diferença entre o raciocínio de Aristóteles e o de Galileu , que levou à descoberta da Lei da Inércia . 3. Newton ao enunciar suas leis, deu razão a Aristóteles ou a Galileu ? Justifique . 4. Por que , na prática, o princípio da inércia é de difícil comprovação ? 5. Os lançamentos espaciais se baseiam rigorosamente nas leis de Newton. O êxito desse lançamento solidifica a crença nessas leis ? 6. Qual a importância do uso do cinto de segurança nos automóveis ? 7. Um pára-quedista desce verticalmente , próximo à superfície da Terra, com velocidade constante . Qual a resultante das forças que agem sobre o conjunto ? Lei Fundamental Considerando a queda livre dos corpos próximos à superfície da Terra, verificamos que sobre eles atua uma força resultante diferente de zero, pois, de acordo com a Lei da Inércia, se a resultante fosse nula, o corpo deveria estar em repouso ou em movimento retilíneo e uniforme Vamos analisar, agora ,as experiências representadas nas figuras a seguir , feitas com discos que deslizam sobre camadas de ar ou gás. Na figura 1, a força resultante ( r ) é medida através de um dinamômetro, e verificamos que o disco desliza com movimento . uniformemente variado de aceleração y. Na figura 2, o disco é o mesmo, mas a força resultante foi dobrada ( 2 r ) ; verificamos, então , que a aceleração adquirida pelo corpo também dobrou ( 2y ). Fazendo uma série de experiências 32
  • 33. semelhantes, chegamos à conclusão de que a resultante (R) e aceleração ( y) são grandezas diretamente proporcionais. Levando em conta que a aceleração adquirida apresenta sempre a mesma direção e o mesmo sentido da força aplicada, podemos escrever . R=ky Mas ,qual o significado físico da constante de proporcionalidade k ? É mais difícil acelerar uma locomotiva que um automóvel , e esse fato pode ser verificado idealizando outra experiência, como a da figura: A força resultante, neste caso, é a mesma da figura 1 , mas aplicada a dois discos idênticos e superpostos. Em conseqüência, a aceleração fica reduzida à metade. Podemos dizer , portanto, que o coeficiente k recebe o nome de massa inercial (m) do corpo. Experiências desse tipo permitiram o surgimento da mais importante relação Fundamental da Dinâmica, que é a formalização matemática da Segunda lei de Newton: R = my As características de y são ; Direção : a mesma de R Sentido : o mesmo de R Intensidade : y = R . M Devemos lembrar também que : Y = at + a c Nos movimentos retilíneos : Y = at ⇒ |y| = |at| = |a | No movimento circula uniforme : |y| = |ac| = v2 . r sendo r o raio da trajetória . A formalização dessa lei data de 1736, quando o matemático suíço Euler ( 1707 - 1783 ) elaborou o primeiro tratado científico do ponto material. Seu enunciado é: a resultante R produz num corpo de massa m uma aceleração y na mesma direção e sentido da resultante e de intensidade proporcional a R (Lei Fundamental da dinâmica). De acordo com essa equação, no SI, 1N corresponde à intensidade da força resultante que , aplicada num corpo com 1 kb de massa , produz uma aceleração de 1 m/s2 1 N = 1 kg . 1 m/s2 Exercícios resolvidos 33
  • 34. 1 – Sobre um corpo de 10 kg de massa agem duas forças constantes, que formam entre si um ângulo de 60º e cujas intensidades são respectivamente iguais a 12N e 16N. Sabendo que o corpo se encontrava inicialmente em repouso, determine: a) a aceleração do corpo; b) sua velocidade escalar após 5s; c) o movimento do corpo a partir do instante t = 5s, quando as forças deixam de agir. 2 – Sob a ação exclusiva de duas forças, F1 e F2, de mesma direção , um corpo de 6,0 kg de massa adquire aceleração de módulo igual a 4,0 m/s2. se o módulo de F1 vale 20 N, o módulo de F2, em Newton , só pode valer : a) 0. b) 4,0 c)40. d)44. e)4,0 ou 44. 3 – Um carrinho de massa m = 25 kg é puxado por uma força resultante horizontal F = 50 N , conforme a figura ao lado. De acordo com a Segunda Lei de Newton, a aceleração resultante no carrinho será, em m/s2 , igual a : a) 1 250. b) 50. c) 25. d) 2. e) 0,5. 4 – Um automóvel de 1 200 kg desloca-se em uma trajetória retilínea e sua velocidade varia de 0s a 10s. De acordo com o gráfico ao lado. a) Determine a intensidade da resultante sobre o automóvel de 0s a 4s; de 4s a 6s; de 6s a 10s. b ) O deslocamento do automóvel de 0s a 10s. Lei da Ação e Reação Imagine dois patinadores, de massas inercias iguais parado um em frente ao outro numa superfície horizontal de gelo. Se um empurrar o outro, os dois adquirirão movimento na mesma direção e em sentido opostos, e os deslocamentos serão efetuados no mesmo intervalo de tempo, sugerindo que as forças aplicadas são opostas. Essa situação ilustra a Terceira Lei de Newton, chamada Lei ou Princípio da Ação e Reação. Se um corpo A exercer força em um corpo B, este reage em A com força oposta. 34
  • 35. Tipo de máquina a vapor, construída para explicar a Terceira lei de Newton. A qualquer ação corresponde uma reação oposta. Essa lei sugere que na natureza as forças ocorrem sempre aos pares , não havendo ação sem uma correspondente reação . O remo troca forças com a água . Diretamente em tais sistemas, porque , para essas partículas, o aumento da massa, em relação à massa de repouso , é suficientemente grande para que possa ser medido com precisão . Os resultados de todas as experiências como essas, indicam que o efeito existe realmente, sendo expresso exatamente pela equação acima. Força peso Vimos anteriormente que a força peso (P) é uma força de campo, pois ocorre pela ação a distância entre os corpos. Imagine, então, a seguinte situação: duas bolas, de massas m1 e m2, foram abandonadas em repouso no mesmo nível e estão em queda livre vertical próximo à superfície da Terra. Nesta situação , a única força que atua sobre cada bola é a força gravitacional P. A intensidade de P pode ser calculada multiplicando a massa m pela intensidade da aceleração da gravidade g. P = mg Vetorialmente, temos : P = mg De acordo com a Lei Fundamental da Dinâmica , a força P é resultante e tem a mesma direção e o mesmo sentido da aceleração g. Observe a figura. Sendo P1 e P2 as resultantes em cada corpo , temos : P1 = m1 y1 = m1g ⇒ y1 = g m2 m1 P2 = m2 y2 ⇒ m2g ⇒ y2 = g Logo h P1 Y1 = Y2 = g P2 Embora as massas dos dois corpos sejam diferentes, verificamos experimentalmente que suas acelerações são iguais a g. Desprezando-se a resistência do ar. Se um dos corpos tem o dobro da massa do outro, a força peso também é o dobro. Ser mais pesado quer dizer exatamente ser mais puxado ou mais atraído pela Terra. 35
  • 36. Aceleração e campo gravitacional Na queda de corpos muitos leves ou de baixo densidade, a influência do ar é tão importante a ponto de atrasá-los na queda. Por isso, alguns anos depois de Galileu, Newton imaginou um tubo cujo interior o ar fosse retirado. Não havendo ar, podemos ver uma pena e uma pedrinha caírem juntas. Isso acontece também na Lua, onde não existe atmosfera . A aceleração com que os corpos caem caracteriza o campo gravitacional . Nos lugares em que os corpos caem mais depressa, isto é , com maior aceleração, dizemos que o campo gravitacional é mais intenso. A experiência de Newton mostrou que, sem a resistência do ar, dois corpos de massas diferentes , em queda livre a partir do repouso, chegam juntos Uma forma prática de determinar a intensidade do peso é através do dinamômetro No caso da figura a seguir, o corpo pende estacionário de um fio conectado ao dinamômetro. Apesar daTerra continuar aplicando peso no corpo, ele é impedido de cair pela força de tração T aplicado pelo fio, que tem a mesma intensidade da força peso ( se a força de tração fosse menos intensa que a força peso, o fio se ronperia e o corpo cairia). È importante saber que a escala do dinamômetro apresenta a intensidade da força de tração, e não a da força peso. O peso de um corpo também não deve ser confundido com sua massa: enquanto a massa é uma propriedade da matéria e seu valor é constante em qualquer lugar, o peso é uma força e sua intensidade varia dependendo do local onde o corpo se encontra. No SI, a unidade de massa é o quilograma (kg) e a unidade de peso é o Newton (n) Observação Uma unidade de força muito utilizada na engenharia é o quilograma – força ( kgf). Definido como a intensidade da força peso de um corpo de 1 kg de massa, próximo à superfície terrena 1 kgf = 9,8 n Aplicações das leis de Newton As leis de Newton serão aplicadas na resolução de problemas que envolvem forças de atrito, conforme veremos neste capítulo. Força de atrito A força e atrito pode ser observada freqüentemente em nosso cotidiano : quando caminhamos, acendemos um palito de fósforo, escovamos os dentes, escrevemos etc. O homem primitivo conseguiu obter o fogo das faíscas que saíam esfregar dois pedaços de pedra ou madeira. Em ambos os casos, as faiscas deveriam atingir matérias de fácil combustão, como folhas e gravetos, para que surgisse o fogo. Foi uma descoberta fundamental na história da humanidade. 36
  • 37. Mas , o que são forças de atrito? São forças tangenciais que aparecem quando há escorregamento ( ou tendência de escorregamento ) entre superfícies sólidas que se comprimem. A ocorrência desse fenômeno depende, entre outras coisas, do estado de polimento e da natureza das superfícies. Vamos analisar a força de atrito conforme ela se apresenta na realidade : estático ( sem movimento relativo ) estético ( com movimento relativo ). Força de Atrito Estático A força de atrito estático (FAe)ocorre quando existe tendência a um deslizamento relativo entre duas superfícies que se comprimem. A figura a seguir representa um bloco apoiado numa superfície horizontal; nele é aplicada uma força solicitadora de movimento (F) também horizontal . As faces de contato do bloco e da superfície são comprimidas, trocando forças normais . A compressão dessas faces é devida ao peso do bloco , que representa a atração que a terra exerce sobre ele. Enquanto o bloco permanece em repouso, temos: FAc = F Aumentando gradativamente a intensidade de F, o bloco continua em repouso até que F atinja um valor – limite entre o repouso e o movimento iminente. Nesse momento, o bloco se encontra na iminência de movimento e temos; FAe = Fams = F Experimentalmente , podemos estabelecer as seguiste leis para o atrito:  A intensidade da força de atrito estático varia de zero até o valor máximo de Famx  A intensidade da força de atrito máxima é diretamente proporcional à intensidade da força Normal (N) que a superfície aplica sobre o bloco. FAmas = µeN Sendo µe o coeficiente de atrito estático. O coeficiente de atrito estático depende do estado de polimento e da natureza das duas superfícies em contato. A intensidade da força de atrito estático é independente da área de contato entre as superfícies sólidas que se comprimem . 37
  • 38. Força de Atrito Cinético Quando a força solicitadora do movimento (f) atinge o valor da força de atrito máxima ( FAmax ) , o bloco fica na iminência de deslizamento . A partir daí, um pequeno acréscimo na intensidade da força solicitadora produz o movimento do bloco , ocorrendo, então , a força de atrito cinético ( FAe ). Experimentalmente, verificamos que, quando o bloco está em movimento , a força de atrito é constante e não depende da velocidade de escorregamento das superfícies, desde que essa velocidade não atinja valores muito elevados . O gráfico seguinte mostra de que maneira variam os atritos estático e cinético entre as superfícies . Para a força de atrito cinético, temos Fac = µeN Em que µe é o coeficiente de atrito cinético. Comparando µe com µc, vem : µe > µc As forças de atrito possuem sentidos opostos ao sentido do deslizamento relativo das superfícies. Mas isso não deve ser confundido com oposição ao movimento dos corpos. Por exemplo, quando uma pessoa se movimenta sobre uma superfície, a força de atrito é oposta ao escorregamento da sola do sapato. A força de atrito é oposta ao movimento relativo . A força de atrito (FA) e a força normal ( N ) são perpendiculares entre si. Na verdade, elas são componentes de uma mesma força de contato ( F ) que a superfície aplica no corpo . Observe a figura a seguir. Dela, temos : 38
  • 39. 1 . um bloco de 5 kg de massa está em repouso numa superfície. Os coeficientes de atrito estático e cinético são respectivamente iguais a 0,4 e 0,3 e g = 10 m/s2. a) Determine a intensidade da força horizontal com que o bloco deve ser puxado para que fique na iminência de deslizamento. b) Se o bloco for puxado por uma força 30 N que forma com a horizontal um ângulo de 60º , ele começará a se move? Justifique. c) Determine a intensidade da aceleração e da força normal sobre o bloco quando ele é puxado por uma força de 50N que forma um ângulo de 60º com a horizontal. F’ = N + FA 2. Um corpo de 2 Kg de massa se desloca sobre uma superfície horizontal lisa. Nele , alem da força cuja intensidade é F = 8N, estão aplicadas apenas a força normal e o peso. Considerando sem 60º = 0,5, determine : a) a resultante sobre o corpo; b) a aceleração; c) a intensidade do peso d) a normal 3. Dois corpos, A e B, de massas respectivamente iguais a 2,0 kg e 3,0 kg estão apoiados sobre uma superfície horizontal perfeitamente lisa. Uma força horizontal F = 20,0 N, constante , é aplicada no bloco A. determine : a) a aceleração dos blocos; b) a intensidade da força F. Superfície lisa 4. A figura representa um “trem de blocos” A e B , massa mA e mB. A intensidade da tração no fio ideal é T = 9,6 N. Determine: a) em que sentido o bloco A se movimenta; justifique: b) a aceleração dos blocos c) a intensidade da tração no fio. 5. Na figura o bloco A tem massa mA = 80 kg, e o bloco b, mb = 20 kg. A força F tem intensidade 600 N. Desprezando os atritos , determine : a) em que sentido o bloco A se movimenta; justifique b) a aceleração dos blocos; c) a intensidade da tração no fio. 39
  • 40. 6. Na figura ao lado a roldana e os fios são ideais e os atritos são desprezíveis. O corpo B tem massa mB = 10 m/s . Determine : a) a tração no fio. b) a massa do bloco A S = 20 + 4t + 6 t2 ⇒ s = 20 + 40 + 3 t2 que é a equação desse movimento 2 para obter o espaço percorrido no instante t = 4 segundos , basta substituir nessa equação o valor de t . s = 20 + 4 . 4 + 3 . 42 ⇒ s = 20 + 16 + 48 ⇒ s = 84 resp: a equação horária do movimento é s = 20 + 4t + 3t2 e o espaço percorrido no instante t = 4s será de 84 cm. 3 . Dados : Vo = 54 km/h = 15 m/s a = -2 m/s2 t=? s=? Se queremos calcular o tempo que o carro gasta até parar V = 0 m/s, então temos : V = Vo + at ⇒ 0 = 15 ( -2t ) ⇒ 2t = 15 ⇒ t = 7,5s O espaço percorrido será dado por : S = 0 + 15 . 7,5 + ( - 2 + 7,52 ) ⇒ s = 112,5 – 56,25 ⇒ s = 56 ,25 m ⇒ resp. O carro gasta 7,5 segundos para parar e percorre 56,25 metros nesse tempo. 4. Dados : Vo = 0 s = 90 cm = 0,9 m V = 600 m/s a=? A bala acelera desde Vo = 0 até a velocidade v = 600 m/s, em um espaço de 0,9 m (cano de fuzil). Aplicando a equação de Torricelli, temos : V2 = Vo2 + 2a . ( S – So ) ⇒ 6002 = 0 + 2a . 0,9 ⇒ 1,8a = 360 000 ⇒ a = 360 000 ⇒ a = 200 00 m/s2 1,8 o tempo de percurso da bala dentro do cano do fuzil é dado por : v = vo + at 600 = 0 + 200 000 + t ⇒ t = 600 ⇒ t = 0,003s 200 000 Resp. A aceleração média da bala durante seu percurso dentro do cano do fuzil é de 200.000 m/s2 e a bala gasta 0,003 s para percorrer o cano. 40
  • 41. TEXTO : TRABALHO DE UMA FORÇA No nosso dia –a – dia , a palavra trabalho é usada para designar genericamente uma atividade física ou intelectual : fabricar um móvel, dirigir um caminhão ou um ônibus, cuidar da lavoura, escrever um livro são algumas formas de trabalho. Em física, o termo trabalho está associado a forças e não a corpos; assim, para a física, se um operário estiver parado segurando uma carga qualquer, ele não estará realizando nenhum trabalho, por maior que seja essa carga. EM FÍSICA , DEFINIMOS TRABALHO COMO O DESLOCAMENTO DO PONTO DE APLICAÇÃO DE UMA FORÇA. Para uma força realizar um trabalho, é necessário que ela se desloque e que admita um componente na direção desse deslocamento. Vamos considerar um ponto material que se desloca sobre uma reta, de A para B, sob a ação de um sistema de força. Seja d o vetor deslocamento, F um força constante entre as que atuam sobre o ponto , e θ o ângulo formado por F e d. O trabalho da força F no deslocamento d é definido pela grandeza escalar: τ = F . d . cos θ F θ A d B onde F é a intensidade da força F e d, o módulo do vetor deslocamento d. Como F e d não têm sinal ( são módulos ) , o sinal do trabalho τ ( lê-se tau) é dado pelo sinal do cosseno do ângulo θ. Vejamos a) se o ângulo θ for agudo, temos cós θ > 0 e , nesse caso , o trabalho da força F será positivo, o que significa que a força esta ajudando o movimento do ponto material; b) se o ângulo θ for abtuso, temos cós θ < 0 , e o trabalho da força F será negativo, significando que a força está agindo contra o movimento do ponto; c) se o ângulo θ for reto, temos cós θ = 0, o que fará com que o trabalho da força F seja nulo, o trabalho da força F não ajudará nem atrapalhará o movimento . Pense e responda. Se uma força F forma com o deslocamento de um corpo em movimento um ângulo de 90º , quem é o responsável por esse movimento ? Você deve ter respondido que, se o trabalho da força F é nulo, outras forças estão agindo sobre a partícula ou já agiram sobre ela para fazê-la entrar em movimento . Unidades de trabalho A unidade de trabalho no sistema SI é o joule (J) 2, equivalente ao trabalho de uma força constante de intensidade de 1N que desloca seu ponto de aplicação na direção e no sentido de uma força em um comprimento de um metro : J = N . m . São usadas, também , outras unidades como o erg = dyn . cm , no sistema CGS ; o kgm = kgf . m , no sistema MK*S. o quilowatt- hora ( kwh) = 3,6 . 106j; o elétron-volt ( eV) = 1,602 . 10 –19 J e a caloría ( cal ) = 4,1868 j(3). Vejamos ,a seguir, um problema resolvido . 41
  • 42. 1. Determine o trabalho realizado pela força constante F, de intensidade F = 20N, que atua sobre uma partícula , deslocando –a ao longo de uma reta com extensão de 5 metros, conforme os esquemas: Resp. O trabalho realizado pela força F é de –50 joules. Nos itens a e d, você observou que a força F favorece o deslocamento da partícula e, nesse caso, dizemos que a força F realiza um trabalho motor. Por outro lado, nos itens b e e, a força F age contra o deslocamento e dizemos que ela realiza um trabalho resistente. No item c, você viu que o trabalho da força f não influi no deslocamento da partícula ( não age contra nem a favor ) e, nesse caso, sendo θ um ângulo reto, chamamos o trabalho da força F de trabalho nulo. 42
  • 43. O TRABALHO DA FORÇA – PESO Vamos , agora , estudar um caso muito particular. Trata-se do trabalho realizado quando uma partícula, sob a ação do seu peso, passa de uma posição inicial A para uma posição final B. Consideremos dois casos distintos. 1º caso : a partícula desloca-se na vertical em sentido descendente. Neste caso, a força e o deslocamento têm o mesmo sentido . O ângulo θ formado pela força P e pelo deslocamento é 0º, então cos θ = 1 . O trabalho realizado pela força P é dado por τ = p . h , mas P = m . g , então τ = m g h 2º caso: a partícula se desloca na vertical em sentido ascendente . Neste caso, a força e o deslocamento têm a mesma direção, mas sentidos opostos, O ângulo θ formado pela força P e pelo deslocamento é 180º , então cos θ = - 1. O trabalho realizado pela força P é u trabalho resistente e é dado por τ = p . h mas, neste caso . P = - m . g , então τ=-m g h Quando uma partícula descreve uma trajetória não vertical, o trabalho da força – peso é calculado como nos dois caso vistos, dependendo apenas do sentido do movimento, devido ao Princípio da Independência do Movimentos que você já estudou. Podemos , então , concluir que : ENTRE A MESMA POSIÇÃO INICIAL E A MESMA POSIÇÃO FINAL, O TRABALHO REALIZADO PELA FORÇA – PESO NÃO DEPENDE DA TRAJETÓRIA PERCORRIDA ENTRE A POSIÇÃO INICIAL E Á POSIÇÃO FINAL; ESSE TRABALHO DEPENDE EXCLUSIVAMENTE DA POSIÇÃO INICIAL E DA POSIÇÃO FINAL . Vejamos, agora , o que vem a ser potência . Suponhamos que , em um grande depósito de materiais ,um empregado eleve uma caixa de 60 quilos a uma altura de um metro, em 30 segundos , e que uma empilhadeira gaste apenas 10 segundos para elevar a mesma caixa à mesma altura . Embora o empregado tenha realizado o mesmo trabalho que a empilhadeira , a máquina realizou o trabalho em menos tempo. A POTÊNCIA É UMA GRANDEZA FÍSICA, ESCALAR, QUE DEFINE A RAPIDEZ COM QUE O TRABALHO DE UMA FORÇA É REALIZADO . Seja uma força F que , num intervalo de tempo ∆t qualquer, realiza um trabalho τ. Chamamos de potência média (pm) da força F, no intervalo de tempo, ao quociente: Pm = τ . ∆t Vamos calcular a relação existente entre a potência e a velocidade quando uma partícula se movimenta retilineamente sob a ação de uma força constante F, paralela ao deslocamento. Suponhamos que uma partícula se desloque de A para B sob a ação de um força F. Nesse caso, o trabalho da força F será dado por : τ=F.d 43
  • 44. A F B A potência média de F será dada por: d Pm = τ . ∆t mas τ = F . d , então : Pm = F . d ∆t sendo a relação existente entre o deslocamento e o espaço de tempo gasto igual á velocidade média ,temos que Pm = F . Vm Unidade de Potência Você já sabe que a potência é o quociente entre o trabalho e o intervalo de tempo, então as unidades de potência serão quocientes das unidades trabalho pelas unidades de tempo, assim temos: a) no sistema MKS (SI ) unidade trabalho: J (joule ) unidade de tempo: s (segundo ) unidade de potência : J que recebe o nome de watt e tem o símbolo W. s um watt (lw) é a potência de um sistema capaz de realizar uma trabalho de 1 joule em 1 segundo. b) no sistema CGS unidade de trabalho : erg unidade de tempo : s unidade de potência : erg/s (erg por segundo ). Um erg por segundo é a potência de um sistema capaz de realizar o trabalho de 1 erg em 1 segundo . c) no sistema MK*S: unidade de trabalho : kgm ( quilogrâmetro ) unidade de tempo : s unidade de potência : kgm / s ( quilogrametro por segundo ). Além dessas unidades temos , também , algumas unidades de potência e a sua relação com o watt. SISTEMA UNIDADE DE POTÊNCIA RELAÇÃO COM 1W MKS ( S. ) Watt ( W ) - CGS Erg /s 1 erg/s = 10 –7w MK*S Kgm/s 1 kgm/s = 908w MTS Kw 1 kw = 103 w - Cv 1 cv = 735,5 w - HP 1 HP = 746 w É importante relembrar que o quilowatt – hora ( kwh ) , usado para medir o consumo de energia elétrica, não é uma unidade de potência mas sim, uma unidade de trabalho, como você já aprendeu. 44
  • 45. O conceito de rendimento é comum em nossa vida diária “ meu carro não tem apresentado bom rendimento” “ estou tendo um ótimo rendimento no estudo desta disciplina”, são frases que você já deve ter dito e ouvido várias vezes . Para estudarmos o que é rendimento , vejamos alguns conceitos novos. Consideremos um motor de um automóvel que tem a finalidade de fazer o veículo se deslocar. Para que o motor possa funcionar, devemos fornecer uma certa quantidade de combustível e, em troca, ele nos fornece um trabalho (o deslocamento do automóvel ). O trabalho que fornecemos ao sistema, chama-se trabalho motriz , e o trabalho que o sistema nos devolve, chama-se trabalho útil. O trabalho útil é sempre menor que o trabalho motriz, porque uma certa parte é gasta para vencer o atrito e outras resistências, a que chamamos de resistências passivas ou trabalho passivo. TRABALHO ÚTIL = TRABALHO MOTRIZ – TRABALHO PASSIVO Para qualificar o motor quanto à sua eficiência, ou seja, quanto ao grau de aproveitamento do trabalho motriz, é que foi definida a grandeza de rendimento . O RENDIMENTO É A RELAÇÃO ENTRE O TRABALHO ÚTIL E O TRABALHO MOTRIZ. Chamando o rendimento de R e lembrando que o trabalho útil é sempre menor que o trabalho motriz, podemos escrever: R =τu . τm Onde R será sempre menor que a unidade. Sabendo que a potência é dada pela relação existente entre o trabalho e a unidade de tempo, podemos calcular, também o rendimento R em função da potência : R=Pu Pm Onde, como você já sabe, R será menor que 1. Geralmente, o rendimento é expresso em percentual. Assim , se na resolução de um problema chegarmos a obter : R = τ u ⇒ R = 80 ⇒ R = 0,8 τm 100 é mais comum dizer que “ o rendimento é de 80%” do que “ o rendimento é de 0,8” , embora ambar as formas estejam corretas. Vejamos , agora , algumas aplicações do conteúdo estudado. 1. um homem segura um corpo de peso P = 50 N suspendendo –o verticalmente com velocidade constante, desde o assoalho até uma altura de 1,2 m do assoalho . Calcule: a ) o trabalho realizado pela força – peso do corpo b ) o trabalho realizado pela força aplicada pelo homem. Resolução: a) dados P = 50 N velocidade constante AB = h = 1,2m O sentido do deslocamento do ponto de aplicação da força- peso é contrário ao sentido desta força, então: τ = -p . h τ = -50 . 1,2 ⇒ τ = -60 j 45
  • 46. b) como o corpo está sendo suspenso com velocidade constante, concluímos que o homem equilibra a força – peso durante o trajeto, aplicando ao corpo uma força F de mesma intensidade , mesma direção ( vertical ) . Porém de sentido oposto ao da força P : F = - P. Sendo o sentido da força aplicada pelo homem, o mesmo do sentido do deslocamento, o trabalho é dado por τ=p. h τ = 50 . 1,2 ⇒ τ = 60 j ⇒ τ = , o que já era de se esperar visto que F = - P resp : A força aplicada pelo homem é de 60 j 2. Uma força realiza um trabalho de 25 j num intervalo de tempo ∆t = 5s , Calcule a potência média da força em watts e em HP. Resolução: Dados : τ = 25j ∆t = 5s Pm = τ ⇒ Pm = 25 ⇒ Pm = 5 j /s ⇒ Pm = 5w ∆t 5 para transformar 5 watts em Hp, faz-se uma regra de três simples: 1 HP ------------- 746W X HP------------- 5W X = 5 J /S Para acionar uma máquina são fornecidos 5 HP, dos quais 3 HP são gastos para vencer as resistências passivas. Calcule o rendimento dessa máquina. Resolução . Dados : Potência motriz = 5 HP potência útil = 2 HP R = Pu ⇒ r = 2 ⇒ r = 0,4 Pm 5 O rendimento da máquina é de 40% ( ou 0,4 ). EXERCÍCIOS: FAÇA A VERIFICAÇÃO DO QUE VOCÊ APRENDEU NO ESTUDO DO TEXTO, REALIZANDO OS EXERCÍCIOS QUE SE SEGUEM. PARA RESOLVÊ-LOS, VOCÊ DEVE SABER : 46