Aplicacion de la integral definida matematica 1

A P L I C A C I O N E S D E L A I N T E G R A L
D E F I N I D A
A L U M N O :
J A I D A L I F O N S E C A
C I : 2 7 . 2 0 9 . 1 8 4
P R O F E S O R : D O M I N G O M E N D E Z

A P L I C A C I Ó N D E L A I N T E G R A L D E F I N I D A
L a i n t e g r a l d e f i n i d a e s u n a h e r r a m i e n t a ú t i l e n l a s c i e n c i a s
f í s i c a s y s o c i a l e s , y a q u e m u c h a s c a n t i d a d e s d e i n t e r é s e n d i c h a s
c i e n c i a s p u e d e n d e f i n i r s e m e d i a n t e e l t i p o d e s u m a q u e s e
p r e s e n t a e n l a i n t e g r a l d e f i n i d a . A n t e s d e e s t u d i a r c a s o s
e s p e c í f i c o s e n q u e s e u t i l i z a l a i n t e g r a l d e f i n i d a , d a r e m o s l a s
s i g u i e n t e s d e f i n i c i o n e s :
D e f i n i c i ó n 1
R e c i b e e l n o m b r e d e p a r t i c i ó n d e u n i n t e r v a l o c e r r a d o [ a , b ] u n
c o n j u n t o d e i n t e r v a l o s c e r r a d o s :
{ [ X 0 , x 1 ] , [ x 1 , x 2 ] , [ x 2 , x 3 ] , . . . , [ x n − 2 , x n − 1 ] ,
[ x n − 1 , e n ] }
Q u e p o s e e l a s p r o p i e d a d e s :
1 . [ x 0 , x 1 ] ∪ [ x 1 , x 2 ] ∪ . . . ∪ [ x n − 2 , x n − 1 ] , [ x n − 1 , x n ] } = [ a , b ]
2 . [ x i − 1 , x i ] ∩ [ x i , x i + 1 ] = x i c o n i ∈ { 1 , 2 , . . . , n }
3 . [ x j − 1 , x j ] ∩ [ x k , x k + 1 ] = ∅ a m e n o s q u e k = j o j − 1 = k + 1 .
C a d a i n t e r v a l o e n u n a p a r t i c i ó n d e [ a , b ] s e l l a m a s u b i n t e r v a l o
[ a , b ] . U n a p a r t i c i ó n e s t á d e t e r m i n a d a p o r l o s n ú m e r o s q u e s o n
p u n t o s e x t e r n o s d e l o s s u b i n t e r v a l o s d e l a p a r t i c i ó n . A s í , u n a
p a r t i c i ó n q u e c o n t e n g a n s u b i n t e r v a l o s q u e d a d e t e r m i n a d a p o r
u n c o n j u n t o d e n + 1 n ú m e r o s .
{ x 0 , x 1 , x 2 , . . . , X n − 1 , X n } ,

D o n d e x 0 = a , X n = b , X i − 1 < X i p a r a i ∈ { 1 , 2 , 3 , . . . , n } .
D e n o t a r e m o s c o n P n l a p a r t i c i ó n d e t e r m i n a d a p o r e s t e
c o n j u n t o d e n + 1 n ú m e r o s , a s í
P n = { [ X 0 , X 1 ] , [ X 1 , X 2 ] , . . . , [ X n − 2 ,
X n − 1 ] , [ X n − 1 , X n ] }
S i P n e s u n a p a r t i c i ó n d e u n i n t e r v a l o [ a , b ] , l a n o r m a N p d e P n
e s e l m a y o r d e l o s n n ú m e r o s
( X 1 − X 0 ) , ( X 2 − X 1 ) , ( X 3 − X 2 ) , . . . , ( X n −
X n − 1 ) ,
D o n d e
∆ X 1 = X 1 − X 0 , ∆ X 2 = X 2 − X 1 , . . . , ∆ X n = X n −
X n − 1 ,
O s e a ∆ X i = X i − X i − 1 p a r a i ∈ { 1 , 2 , . . . , n } .
L a n o r m a N p d e u n a p a r t i c i ó n P n e s l a l o n g i t u d d e l m á s g r a n d e
d e l o s s u b i n t e r v a l o s e n l a g r á f i c a d e P n q u e s e m u e s t r a a
c o n t i n u a c i ó n :
S i P n e s u n a p a r t i c i ó n e n u n i n t e r v a l o [ a , b ] , u n a u m e n t o T n d e l a
p a r t i c i ó n e s u n c o n j u n t o d e n ú m e r o s { t 1 , t 2 , . . . , t n } t a l e s q u e

x 0 ≤ t 1 ≤ x 1 , x 1 ≤ t 2 ≤ x 2 , x 2 ≤ t 3 ≤ x 3 , . . . , x n − 1 ≤ t n ≤ x n ,
O s e a , x i − 1 ≤ t i ≤ x i c o n i ∈ { 1 , 2 , . . . , n } .
G r á f i c a m e n t e :
C a l c u l o d e á r e a s
S e a f u n a f u n c i ó n c u y o d o m i n i o e s t á e n e l i n t e r v a l o c e r r a d o [ a ,
b ] , t a l q u e f ( x ) ≥ 0 p a r a x ∈ [ a , b ] .
S e a R l a r e g i ó n p l a n a l i m i t a d a p o r l a s g r á f i c a s d e l a s
e c u a c i o n e s : y = f ( x ) , y = 0 ( e j e x ) , x = a , x = b .
S e a P n u n a p a r t i c i ó n d e [ a , b ] e n n s u b i n t e r v a l o s d e t e r m i n a d o s
p o r e l c o n j u n t o { x 0 , x 1 , x 2 , . . . , x n − 1 , x n } , c o n ∆ x i = x i − x i − 1 , i ∈ { 1 , 2 , . . . ,
n } .

S e a T n = { t 1 , t 2 , . . . , t n } u n a u m e n t o d e P n .
C o n s t r u i m o s n r e c t á n g u l o s c u y a s b a s e s s e a n l o s n i n t e r v a l o s d e
l a p a r t i c i ó n P n c u y a s a l t u r a s s e a n
F ( t 1 ) , f ( t 2 ) , . . . , f ( t i ) , . . . , f ( t n − 1 ) , f
( t n ) .
E l á r e a d e l i – e s i m o r e c t á n g u l o e s t á d a d a p o r f ( t i ) · ∆ x i ; y l a
s u m a
∑ 𝑓 ( 𝑡 𝑖 )
𝑛
𝑖 = 𝑛
∆ x 𝒾
D e l a s á r e a s d e l o s n r e c t á n g u l o s s e r á u n a a p r o x i m a c i ó n a l á r e a
d e R .
S i a u m e n t a m o s e l n ú m e r o d e s u b i n t e r v a l o s , e n t o n c e s d e c r e c e l a
l o n g i t u d d e c a d a s u b i n t e r v a l o d e l a p a r t i c i ó n P n , o b t e n i é n d o s e
u n a n u e v a s u m a q u e d a r á u n a m a y o r a p r o x i m a c i ó n a l á r e a d e R .
D e m o s a h o r a l a s i g u i e n t e d e f i n i c i ó n :

S i f ( x ) ≥ 0 p a r a x ∈ [ a , b ] , y s i e x i s t e u n n u m e r o A t a l q u e d a d a
u n a ² > 0 , e x i s t a δ > 0 t a l q u e
P a r a t o d a p a r t i c i ó n P n d e [ a , b ] , y t o d o a u m e n t o d e P n e n q u e N p
< δ , e n t o n c e s e s t e n ú m e r o A e s e l á r e a d e l a r e g i ó n l i m i t a d a p o r
l a s g r á f i c a s d e l a e c u a c i ó n y = f ( x ) , y = 0 , x = a , x = b . N o t e q u e
d e e s t a d e f i n i c i ó n s e t i e n e q u e
l im ⁡m a x ⁡∆ x i → 0 ( ∑ 𝑓 ( 𝑡 𝑖 )
𝑛
𝑡 = 1
∆ x 𝒾 ) ) = ⁡A
Y s i A e x i s t e , e n t o n c e s :
𝐴 = ∫ 𝑓 ( 𝑥 )
𝑎
E j e m p l o :
C a l c u l e m o s e l á r e a d e l a r e g i ó n R l i m i t a d a p o r l a s g r á f i c a s
d e
S o l u c i ó n
L a r e p r e s e n t a c i ó n g r a f i c a e s l a s i g u i e n t e :

E l á r e a d e l i − e s i m o r e c t á n g u l o e s :
L a s u m a d e a p r o x i m a c i ó n p a r a e l á r e a d e R e s
( E n l a g r á f i c a a n t e r i o r s e m u e s t r a e l i − e s i m o r e c t á n g u l o d e l a
a p r o x i m a c i ó n ) .
L u e g o d e l a d e f i n i c i ó n ? ? s e t i e n e q u e :

Á r e a d e u n a r e g i ó n c o m p r e n d i d a e n t r e d o s c u r v a s
S e a n f y g d o s f u n c i o n e s c o n d o m i n i o e n e l i n t e r v a l o [ a , b ] , t a l e s
q u e f ( x ) ≥ g ( x ) p a r a x ∈ [ a , b ] .
V a m o s a d e t e r m i n a r c u á l e s e l á r e a d e l a r e g i ó n R l i m i t a d a p o r
l a s g r á f i c a s d e y = f ( x ) , y = g ( x ) , x = a , x = b q u e s e m u e s t r a a
c o n t i n u a c i ó n :
C o n s t r u i m o s u n c o n j u n t o d e r e c t á n g u l o s t a l e s q u e l a s u m a d e
s u s á r e a s s e a u n a a p r o x i m a c i ó n a l á r e a d e R .

S e a P n u n a p a r t i c i ó n d e [ a , b ] e n n s u b i n t e r v a l o s d e t e r m i n a d o s
p o r e l c o n j u n t o
{ x 0 , x 1 , x 2 , . . . , x i − 1 , x i , . . . , x n − 1 , x n } ,
D o n d e ∆ x i = x i − x i − 1 , i ∈ { 1 , 2 , . . . , n }
S e a T n = { t 1 , t 2 , . . . , t i − 1 , t i , . . . , t n − 1 , t n } u n a u m e n t o d e P n .
C o n s t r u i m o s n r e c t á n g u l o s c u y o s a n c h o s s e a n l o s n
s u b i n t e r v a l o s d e l a p a r t i c i ó n P n , y c u y a s a l t u r a s s e a n :
f ( t 1 ) − g ( t 1 ) , f ( t 2 ) − g ( t 2 ) , . . . , f ( t i ) − g ( t i ) , . . . , f ( t n ) − g ( t n ) .
E l á r e a d e l i − e s i m o r e c t á n g u l o e s : [ f ( t i ) − g ( t i ) ] · ∆ x i , y l a s u m a
d e a p r o x i m a c i ó n p a r a e l á r e a d e R e s t á d a d a p o r :
S i a u m e n t a m o s e l n ú m e r o d e s u b i n t e r v a l o s , e n t o n c e s d e c r e c e l a
l o n g i t u d d e c a d a s u b i n t e r v a l o d e l a p a r t i c i ó n P n , o b t e n i é n d o s e
u n a n u e v a s u m a q u e d a r á u n a m a y o r a p r o x i m a c i ó n a l á r e a d e R .
S e t i e n e e n t o n c e s l a s i g u i e n t e d e f i n i c i ó n :

S i f ( x ) ≥ g ( x ) p a r a x ∈ [ a , b ] , y s i e x i s t e u n n u m e r o A , t a l q u e
d a d a u n a ² > 0 e x i s t a u n a δ > 0 p a r a l o c u a l
P a r a t o d a p a r t i c i ó n P n d e [ a , b ] y t o d o a u m e n t o d e P n c o n N p < δ ,
e n t o n c e s d i c h o n u m e r o A e s e l á r e a d e l a r e g i ó n l i m i t a d a p o r
l a s g r á f i c a s d e l a s e c u a c i o n e s y = f ( x ) , y = g ( x ) , x = a y x = b .
D e e s t a d e f i n i c i ó n s e t i e n e q u e :
S i h e s l a f u n c i ó n d e f i n i d a p o r h ( x ) = f ( x ) − g ( x ) p a r a x ∈ [ a , b ] ,
y s i A e x i s t e , e n t o n c e s :
E j e m p l o :
H a l l a r e l á r e a d e l a r e g i ó n R l i m i t a d a p o r l a s g r á f i c a s d e l a s
e c u a c i o n e s :
S o l u c i ó n
G r á f i c a m e n t e s e t i e n e :

N o t e q u e l a s g r á f i c a s d e s e i n t e r s e c a n e n e l
p u n t o ( − 1 , 0 ) .
E n e s t e c a s o , e l á r e a d e l i − e s i m o r e c t á n g u l o e s :
Y l a s u m a d e a p r o x i m a c i ó n e s t á d a d a p o r :
S e g ú n l a d e f i n i c i ó n ? ? S e t i e n e q u e :

E j e m p l o
H a l l a r e l á r e a d e l a r e g i ó n R l i m i t a d a p o r l a s g r á f i c a s d e l a s
e c u a c i o n e s
S o l u c i ó n
G r á f i c a m e n t e s e t i e n e :

L a r e c t a c o n e c u a c i ó n + 1 i n t e r s e c a a l e j e x e n e l p u n t o
( 2 , 0 ) .
N o t e q u e l a r e g i ó n R e s t á f o r m a d a p o r d o s p a r t e s , l a s r e g i o n e s
R 1 y R 2 , p o r l o q u e e l á r e a d e R = á r e a d e R 1 + á r e a d e R 2 .
L a r e g i ó n R 1 e s t á l i m i t a d a s u p e r i o r m e n t e p o r l a g r á f i c a d e
+ 1 , i n f e r i o r m e n t e p o r l a d e y = 0 , l a t e r a l m e n t e p o r l a d e x = − 2
y x = 2 .
L u e g o :
Á r e a d e
L a r e g i ó n R 2 e s t á l i m i t a d a s u p e r i o r m e n t e p o r l a g r á f i c a d e y =
0 , i n f e r i o r m e n t e p o r l a d e + 1 , l a t e r a l m e n t e p o r l a d e x
= 2 y x = 4 .

L u e g o :
Á r e a d e
P o r t a n t o , e l á r e a d e R e s i g u a l a : 4 + 1 = 5 ( u . l . )
2
.
V o l ú m e n e s d e s o l i d o s d e r e v o l u c i ó n
S e a f u n a f u n c i ó n d e f i n i d a e n e l i n t e r v a l o [ a , b ] .
R e c i b e e l n o m b r e d e s o l i d o d e r e v o l u c i ó n , e l s ó l i d o g e n e r a d o a l
g i r a r a l r e d e d o r d e l e j e x , l a r e g i ó n l i m i t a d a p o r l a g r á f i c a d e y =
f ( x ) , e l e j e x y l a s g r á f i c a s d e x = a y x = b . E l e j e x e s u n e j e d e
s i m e t r í a d e d i c h o s ó l i d o y u n a s e c c i ó n r e c t a p e r p e n d i c u l a r a l e j e
x e s u n c ı r c u l o .

P a r a d e t e r m i n a r e l v o l u m e n d e e s t e t i p o d e s ó l i d o s , s e g u i r e m o s
u n p r o c e d i m i e n t o s i m i l a r a l u t i l i z a d o p a r a e l á r e a d e u n a
r e g i ó n , a p r o x i m a n d o e l “ v o l u m e n ” d e u n s ó l i d o d e r e v o l u c i ó n
p o r m e d i o d e u n a s u m a d e v o l ú m e n e s d e s o l i d o s m á s
e l e m e n t a l e s , e n l o s q u e e l v o l u m e n y a h a s i d o d e f i n i d o .
V a m o s a c o n s i d e r a r d i s c o s o c i l i n d r o s c i r c u l a r e s c o m o l o s
s ó l i d o s e l e m e n t a l e s , a s u m i e n d o q u e e l v o l u m e n d e u n d i s c o
c i r c u l a r e s , p o r d e f i n i c i ó n , e l p r o d u c t o d e l á r e a A d e l a b a s e p o r
e l e s p e s o r h ( o a l t u r a )
C o n s i d e r e m o s u n a p a r t i c i ó n P n d e l i n t e r v a l o [ a , b ] d e t e r m i n a d a
p o r e l c o n j u n t o d e n ú m e r o s
{ x 0 , x 1 , x 2 , . . . , x i − 1 , x i , . . . , x n − 1 , x n } ,
D o n d e ∆ x i = x i − 1 − x i , c o n i ∈ { 1 , 2 , 3 , . . . , n } .
S e a T n = { t 1 , t 2 , . . . , t n } u n a u m e n t o d e P n .
C o n s i d e r e m o s a h o r a l o s n d i s c o s c i r c u l a r e s , c u y o s s e n s o r e s s o n
∆ x 1 , ∆ x 2 , . . . , ∆ x i , . . . , ∆ x n , y c u y a s b a s e s t i e n e n r a d i o s
f ( t 1 ) , f ( t 2 ) , . . . , f ( t i ) , . . . , f ( t n ) .
h

E l v o l u m e n d e l i − e s i m o d i s c o e s :
π [ f
( t i )
]
2
·
∆ x i
L a s u m a
D e l o s v o l ú m e n e s d e l a n d i s c o s n o s d a u n a a p r o x i m a c i ó n a l
v o l u m e n d e l s o l i d o d e r e v o l u c i ó n .
P o d e m o s s u p o n e r q u e m i e n t r a s m á s d e l g a d o s s e a n l o s d i s c o s ,
m a y o r s e r á l a a p r o x i m a c i ó n d e l a s u m a a n t e r i o r a l v o l u m e n d e l
s ó l i d o .
S e t i e n e e n t o n c e s l a s i g u i e n t e d e f i n i c i ó n :
S i e x i s t e u n n u m e r o V t a l q u e d a d a ² > 0 e x i s t a δ > 0 p a r a l a
c u a l

P a r a t o d a p a r t i c i ó n P n d e [ a , b ] y t o d o a u m e n t o T n d e P n , y c o n N p
< δ , e s t e n u m e r o V e s e l v o l u m e n d e l s o l i d o o b t e n i d o p o r
r e v o l u c i ó n d e l á r e a l i m i t a d a p o r l a s g r á f i c a s d e y = f ( x ) , y = 0 , x
= a , x = b a l r e d e d o r d e l e j e x .
S i h e s l a f u n c i ó n d a d a p o r h ( x ) = π [ f ( x ) ]
2
p a r a x ∈ [ a ] , e n t o n c e s
l a s u m a d e a p r o x i m a c i ó n :
U t i l i z a d a e n l a d e f i n i c i ó n d e l v o l u m e n d e l s o l i d o d e r e v o l u c i ó n ,
p u e d e e s c r i b i r s e c o m o :
D o n d e t i ∈ [ x i − 1 , x i ] , ∆ x i = x i − 1 − x i .
L u e g o , d e l a d e f i n i c i ó n d e i n t e g r a l y d e l a d e f i n i c i ó n d e V d a d a ,
s e t i e n e q u e
C o n s i d e r e m o s a h o r a d o s f u n c i o n e s f y g c o n t i n u a s e n e l
i n t e r v a l o c e r r a d o [ a , b ] , t a l e s q u e f ( x ) ≥ g ( x ) p a r a x ∈ [ a , b ] . S e a
R l a r e g i ó n d e l p l a n o l i m i t a d a p o r l a s c u r v a s c o n e c u a c i o n e s y =
f ( x ) , y = g ( x ) y l a s r e c t a s c o n e c u a c i o n e s x = a , x = b .

D e s e a m o s d e t e r m i n a r e l v o l u m e n V d e l s o l i d o d e r e v o l u c i ó n
g e n e r a d o a l g i r a r l a r e g i ó n R a l r e d e d o r d e l e j e x ( n o t e q u e e n
e s t e c a s o n o g i r a m o s l a r e g i ó n R a l r e d e d o r d e u n a d e s u s
f r o n t e r a s ) .
E l s ó l i d o g e n e r a d o s e m u e s t r a e n l a s i g u i e n t e f i g u r a :
S e a P n u n a p a r t i c i ó n d e l i n t e r v a l o [ a , b ] d e t e r m i n a d a p o r e l
c o n j u n t o d e n ú m e r o s { x 0 , x 1 , x 2 , . . . , x i − 1 , x i , . . . , x n } c o n ∆ x i = x i − x i − 1 p a r a
i ∈ { 1 , 2 , . . . , n } , y s e a T n = { t 1 , t 2 , . . . , t i , . . . , t n } u n a u m e n t o d e P n .
E n e s t e c a s o , l o s s ó l i d o s e l e m e n t a l e s u s a d o s p a r a o b t e n e r u n a
s u m a d e a p r o x i m a c i ó n d e l v o l u m e n d e l s o l i d o d e r e v o l u c i ó n ,
s e r á n a n i l l o s c i r c u l a r e s .
S e m u e s t r a a c o n t i n u a c i ó n e l i − e s i m o r e c t á n g u l o y e l i − e s i m o
a n i l l o c i r c u l a r g e n e r a d o a l r o t a r a q u e l a l r e d e d o r d e l e j e x .

L u e g o , e l á r e a d e l a n i l l o c i r c u l a r e s :
π [ f ( t i ) ]
2
− π [ g ( t i ) ]
2
P o r l o q u e e l v o l u m e n d e l i − e s i m o e l e m e n t o s o l i d o s e r á :
¡ ¢
∆ V i = π [ f ( t i ) ]
2
− [ g ( t i ) ]
2
· ∆ x i
E n t o n c e s , l a s u m a d e a p r o x i m a c i ó n p a r a e l v o l u m e n d e l s o l i d o
d e r e v o l u c i ó n e s :
P u e d e s u p o n e r s e q u e m i e n t r a s m á s d e l g a d o s s e a n l o s a n i l l o s
c i r c u l a r e s , m a y o r s e r á l a a p r o x i m a c i ó n d e l a s u m a a n t e r i o r a l
v o l u m e n d e l s ó l i d o .
S i e x i s t e u n n u m e r o V t a l q u e d a d a ² > 0 e x i s t a δ > 0 p a r a l a
c u a l

P a r a t o d a p a r t i c i ó n P n d e [ a , b ] y t o d o a u m e n t o T n d e P n , y c o n N p
< δ , e s t e n ú m e r o d e V e s e l v o l u m e n d e l s o l i d o o b t e n i d o p o r
r e v o l u c i ó n d e l á r e a l i m i t a d a p o r l a s g r á f i c a s d e y = f ( x ) , y =
g ( x ) , x = a , x = b , a l r e d e d o r d e l e j e x .
¡ ¢
S i h e s l a f u n c i ó n d a d a p o r h = π [ f ( x ) ]
2
− [ g ( x ) ]
2
p a r a x ∈ [ a , b ] ,
e n t o n c e s l a s u m a d e a p r o x i m a c i ó n
U t i l i z a d a e n l a d e f i n i c i ó n ? p u e d e e s c r i b i r s e c o m o :
D o n d e t i ∈ [ x i − 1 , x i ] , ∆ x i = x i − x i − 1 .
L u e g o s e t i e n e q u e :
E j e m p l o
H a l l a r e l v o l u m e n d e l s o l i d o d e r e v o l u c i ó n g e n e r a d o a l g i r a r
a l r e d e d o r d e l e j e √ x , l a r e g i ó n l i m i t a d a p o r l a g r á f i c a d e y = x ,
y = 0 , x = 1 , x = 4
S o l u c i ó n

O b s e r v e , e n l a f i g u r a d e l a d e r e c h a , i − e s i m o r e c t á n g u l o q u e a l
r o t a r a l r e d e d o r d e l e j e x g e n e r a u n d i s c o c i r c u l a r e n f o r m a d e
c i l i n d r o c i r c u l a r r e c t o .
E l v o l u m e n d e l i − e s i m o d i s c o c i r c u l a r e s :
2
· ∆ x i =
π ( √ t i )
2
· ∆ x i π [ f ( t i ) ]
L a s u m a d e a p r o x i m a c i ó n d e l
v o l u m e n :
E l v o l u m e n d e l s o l i d o e s t á d a d o p o r :
E j e m p l o
D e t e r m i n a r e l v o l u m e n d e l s o l i d o o b t e n i d o a l g i r a r l a r e g i ó n d e l
e j e m p l o a n t e r i o r , a l r e d e d o r d e l e j e y .

E l a n i l l o c i r c u l a r t i e n e c o m o r a d i o m á x i m o g ( t i ) , y c o m o r a d i o
m í n i m o f ( t i ) .
E n e s t e c a s o t o m a m o s x c o m o l a v a r i a b l e d e p e n d i e n t e , y s e t i e n e
q u e e l v o l u m e n d e l s o l i d o e s t á d a d o p o r :

L o n g i t u d d e u n a c u r v a p l a n o
V a m o s a d e t e r m i n a r l a l o n g i t u d s d e l a r c o d e u n a c u r v a c o n
e c u a c i ó n y = f ( x ) , c o m p r e n d i d a e n t r e l o s p u n t o s A ( a , f ( a ) ) ,
B ( b , f ( b ) ) .
C o m o s e m u e s t r a e n l a f i g u r a a n t e r i o r , d i v i d i m o s e l a r c o A B e n
n p a r t e s , u n i e n d o l u e g o l o s s u c e s i v o s p u n t o s d e d i v i s i ó n p o r
s e g m e n t o s r e c t i l í n e o s .
P o r e j e m p l o , e l s e g m e n t o D E t e n d r á c o m o l o n g i t u d
√ ( ∆ x i ) ⁡2 ⁡ + ⁡ ( ∆ y i ) ⁡2
L u e g o , t e n d r e m o s u n a a p r o x i m a c i ó n d e l a l o n g i t u d d e l a c u r v a
A B , m e d i a n t e l a s u m a :
.

S i a u m e n t a m o s i n d e f i n i d a m e n t e e l n ú m e r o d e p u n t o s d e
d i v i s i ó n , e n t o n c e s l a s l o n g i t u d e s d e l o s s e g m e n t o s t i e n d e n a
c e r o , p o r l o q u e :
N o s d a e l a r c o A B , s i e m p r e q u e e l l ı m i t e e x i s t a .
P a r a e x p r e s a r e l l ı m i t e c o m o u n a i n t e g r a l t e n e m o s l o s i g u i e n t e :
s u p o n g a m o s q u e l a f u n c i ó n c o n e c u a c i ó n y = f ( x ) e s c o n t i n u a y
p o s e e d e r i v a d a c o n t i n u a e n c a d a p u n t o d e l a c u r v a , d o n d e
A ( a , f ( a ) ) h a s t a B ( b , f ( b ) ) . L u e g o , p o r e l t e o r e m a d e l v a l o r
m e d i o p a r a d e r i v a d a s , e x i s t e u n p u n t o D ∗
( x ∗
i , y i
∗
) e n t r e l o s
p u n t o s D y E d e l a c u r v a , d o n d e l a t a n g e n t e e s p a r a l e l a a l a
c u e r d a D E , e s t o e s :
o s e a ∆ y i = f
0
( x ∗
i ) · ∆ x i
L u e g o
P u e d e e x p r e s a r s e c o m o :
!
Q u e p o r d e f i n i c i ó n c o r r e s p o n d e a l a i n t e g r a l :

( H e m o s e x p r e s a d o f
0
( x ) c o m o d y / d x ) .
C o m o l a l o n g i t u d d e u n a c u r v a n o d e p e n d e d e l a e l e c c i ó n d e l o s
e j e s c o o r d e n a d o s , s i x p u e d e e x p r e s a r s e c o m o f u n c i ó n d e y ,
e n t o n c e s l a l o n g i t u d d e l a r c o e s t á d a d a p o r
E n c a d a c a s o c a l c u l a r l a l o n g i t u d d e l a r c o d e c u r v a q u e s e
i n d i c a .
E j e m p l o :
, d e s d e x = 0 h a s t a x = 3 .
S o l u c i ó n
D e s i g n e m o s c o n L l a l o n g i t u d d e l a r c o .
C o m o , e n t o n c e s
L u e g o :

E j e m p l o
, d e s d e y
= 1 h a s t a y = 2
S o l u c i ó n
O b t e n e m o s d e n u e v o , p u e s x = h ( y )

C a l c u l o d e t r a b a j o c o n a y u d a d e l a i n t e g r a l d e f i n i d a
V a m o s a e s t u d i a r l a a p l i c a c i ó n d e l a i n t e g r a l d e f i n i d a a l
c o n c e p t o d e “ t r a b a j o ” .
S i u n a f u e r z a c o n s t a n t e F a c t ú a s o b r e u n o b j e t o d e s p l a z á n d o l o
u n a d i s t a n c i a x , a l o l a r g o d e u n a l í n e a r e c t a , y l a d i r e c c i ó n d e l a
f u e r z a c o i n c i d e c o n l a d e l m o v i m i e n t o , e n t o n c e s e l t r a b a j o
r e a l i z a d o W s e e x p r e s a c o m o e l p r o d u c t o d e l a f u e r z a F p o r e l
c a m i n o r e c o r r i d o .
E s d e c i r : W = F · x .

C u a n d o l a f u e r z a n o e s c o n s t a n t e , p o r e j e m p l o , c u a n d o s e
c o n t r a e o e s t i r a u n r e s o r t e , e l t r a b a j o n o s e p u e d e e x p r e s a r e n
f o r m a t a n s i m p l e .
C o n s i d e r e m o s u n a p a r t í c u l a P q u e s e d e s p l a z a s o b r e e l e j e x ,
d e s d e e l p u n t o ( a , 0 ) a l p u n t o ( b , 0 ) p o r m e d i o d e u n a f u e r z a f =
F ( x ) , x ∈ [ a , b ] .
D i v i d a m o s e l s e g m e n t o [ a , b ] e n n p a r t e s a r b i t r a r i a s d e
l o n g i t u d e s ∆ x 1 , ∆ x 2 , . . . , ∆ x i , . . . , ∆ x n , y t o m e m o s e n c a d a s u b i n t e r v a l o
[ x i − 1 , x i ] u n p u n t o a r b i t r a r i o t i c o m o s e m u e s t r a a c o n t i n u a c i ó n .
C u a n d o l a p a r t í c u l a s e m u e v e d e x i − 1 a x i , e l t r a b a j o r e a l i z a d o e s
a p r o x i m a d a m e n t e i g u a l a l p r o d u c t o F ( t i ) · ∆ x i .
L u e g o l a s u m a
N o s d a r á l a e x p r e s i ó n a p r o x i m a d a d e l t r a b a j o d e l a
f u e r z a F e n t o d o e l s e g m e n t o [ a , b ] .
L a s u m a
R e p r e s e n t a u n a s u m a i n t e g r a l , p o r l o q u e s i

E x i s t e , e n t o n c e s e s t e e x p r e s a e l t r a b a j o r e a l i z a d o p o r l a f u e r z a f
= F ( x ) a l m o v e r u n a p a r t í c u l a d e a a b , a l o l a r g o d e l e j e x . S e
t i e n e e n t o n c e s q u e
S i e n d o F ( x ) l a f u e r z a a p l i c a d a a l a p a r t í c u l a c u a n d o ´ e s t a s e
e n c u e n t r a e n e l p u n t o c u y a c o o r d e n a d a e s x .
S i l a u n i d a d d e f u e r z a e s e l k i l o g r a m o , y s i l a u n i d a d d e d i s t a n c i a
e s e l m e t r o , e n t o n c e s l a u n i d a d d e t r a b a j o e s e l k i l o g r á m e t r o .
T a m b i é n p u e d e n u t i l i z a r s e c o m o u n i d a d e s d e t r a b a j o l a l i b r a -
p i e y e l g r a m o - c e n t í m e t r o .
E l a l a r g a m i e n t o o l a c o m p r e s i ó n d e u n r e s o r t e h e l i c o i d a l , n o s
p r o p o r c i o n a u n e j e m p l o d e l t r a b a j o r e a l i z a d o p o r u n a f u e r z a
v a r i a b l e . L a l e y d e H o o k e a f i r m a q u e l a f u e r z a n e c e s a r i a p a r a
e s t i r a r u n r e s o r t e h e l i c o i d a l , e s p r o p o r c i o n a l a l a e l o n g a c i ó n d e l
r e s o r t e . A s í , l a f u e r z a n e c e s a r i a p a r a p r o d u c i r u n a e l o n g a c i ó n
d e x u n i d a d e s , e s t á d a d a p o r l a e x p r e s i ó n F = k x , d o n d e k e s l a
c o n s t a n t e d e p r o p o r c i o n a l i d a d , q u e d e p e n d e d e l m a t e r i a l , d e l
g r o s o r d e l a l a m b r e , d e l a t e m p e r a t u r a , e t c .
E j e m p l o
U n r e s o r t e t i e n e u n a l o n g i t u d n a t u r a l d e 8 p u l g a d a s . S i u n a
f u e r z a d e 2 0 l i b r a s e s t i r a e l r e s o r t e 1 / 2 p u l g a d a , d e t e r m i n a r e l

t r a b a j o r e a l i z a d o a l e s t i r a r e l r e s o r t e d e 8 p u l g a d a s a 1 1
p u l g a d a s .
S o l u c i ó n
C o n s i d e r e m o s e l r e s o r t e u b i c a d o a l o l a r g o d e l e j e x , c o n s u
e x t r e m o f i j o e n e l o r i g e n :
P o r l a l e y d e H o o k e s e s a b e q u e F = k x .
C o m o x = 0 , 5 p u l g a d a s c u a n d o F = 2 0 l i b r a s , e n t o n c e s 2 0 =
k ( 0 , 5 ) d e d o n d e k = 4 0 .
L u e g o , F = 4 0 x . S e d e s e a c a l c u l a r e l t r a b a j o r e a l i z a d o p o r e s t a
f u e r z a s i a u m e n t a l a e x t e n s i ó n d e 8 a 1 1 p u l g a d a s .
L u e g o :
= 1 8 0 p u l g a d a s - l i b r a s
E j e m p l o
U n a f u e r z a d e 2 5 k g a l a r g a u n r e s o r t e 3 c m . D e t e r m i n e e l
t r a b a j o r e q u e r i d o p a r a a l a r g a r e l r e s o r t e 2 c m m á s .

S o l u c i ó n
C o m o F = k x y x = 0 , 0 3 m , c u a n d o F = 2 5 k g , e n t o n c e s k =
2 5 0 0 / 3 .
E l t r a b a j o r e q u e r i d o p a r a a l a r g a r e l r e s o r t e 2 c m m á s ( e s d e c i r ,
h a s t a 5 c m ) , e s t á d a d o p o r :
k g

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