El documento presenta definiciones matemáticas relacionadas con la integral definida. Define partición de un intervalo, subintervalos, norma y aumento de una partición. Explica cómo usar particiones y rectángulos para aproximar el área bajo una curva o entre dos curvas.
Este documento apresenta definições e aplicações da integral definida. Primeiramente, define partições de intervalos, subintervalos e normas de partições. Em seguida, mostra como usar partições e retângulos para aproximar a área sob uma curva ou entre duas curvas. Por fim, define o limite desta soma de áreas como sendo a área exata sob a curva.
El documento describe los conceptos básicos de vectores en el espacio, incluyendo: 1) Un vector es un segmento orientado con un origen y extremo; 2) Las coordenadas del extremo menos las del origen dan las componentes del vector; 3) El módulo de un vector es la longitud del segmento y sólo el vector nulo tiene módulo cero.
Este documento resume a história da Apple e do Mac OS X, incluindo suas principais versões. Começa descrevendo a fundação da Apple por Steve Jobs e Steve Wozniak e as primeiras versões do Mac OS X, como Jaguar, Panther e Tiger.
A Gofun Eventos é uma empresa de planejamento e produção de eventos corporativos fundada em 2010 por duas mulheres. Ela oferece serviços completos de criação, design, planejamento e execução de eventos B2B, B2C e de marketing, com experiência desde 2000.
O documento descreve os serviços e pacotes de membresia oferecidos pela Academia Golf Range Campinas, incluindo campos de golfe, driving range, aulas de golfe e pacotes para visitantes e sócios.
Este documento discute a história do Dia do Trabalho, comemorado em 1o de maio. Foi estabelecido em 1889 pela Segunda Internacional Socialista para homenagear os mártires anarquistas de Chicago, que foram executados por lutar pela jornada de oito horas de trabalho. O documento também descreve os eventos que levaram à greve geral de 1o de maio de 1886 nos Estados Unidos, que deu origem à data comemorativa.
I. O documento discute o fenômeno da crase em português e fornece exemplos de seu uso correto e incorreto.
II. Também aborda regras de pontuação, regência verbal e acentuação em português, fornecendo exemplos.
III. Por fim, discute a colocação pronominal correta de acordo com a norma culta da língua portuguesa.
importance des reseaux sociaux dans l'entreprise la cible 118Éric Delcroix
O documento discute três pontos principais sobre redes sociais e mídias sociais:
1) Como profissionais amadores, conhecidos como "ProAms", desempenham um papel importante na disseminação de conteúdo e ideias através de blogs e outras plataformas.
2) A teoria dos "laços fracos" mostra como pequenas conexões entre pessoas podem ser influentes.
3) As empresas podem beneficiar-se do uso estratégico de redes sociais internas para resolver problemas e gerar novas ideias entre funcion
Este documento apresenta definições e aplicações da integral definida. Primeiramente, define partições de intervalos, subintervalos e normas de partições. Em seguida, mostra como usar partições e retângulos para aproximar a área sob uma curva ou entre duas curvas. Por fim, define o limite desta soma de áreas como sendo a área exata sob a curva.
El documento describe los conceptos básicos de vectores en el espacio, incluyendo: 1) Un vector es un segmento orientado con un origen y extremo; 2) Las coordenadas del extremo menos las del origen dan las componentes del vector; 3) El módulo de un vector es la longitud del segmento y sólo el vector nulo tiene módulo cero.
Este documento resume a história da Apple e do Mac OS X, incluindo suas principais versões. Começa descrevendo a fundação da Apple por Steve Jobs e Steve Wozniak e as primeiras versões do Mac OS X, como Jaguar, Panther e Tiger.
A Gofun Eventos é uma empresa de planejamento e produção de eventos corporativos fundada em 2010 por duas mulheres. Ela oferece serviços completos de criação, design, planejamento e execução de eventos B2B, B2C e de marketing, com experiência desde 2000.
O documento descreve os serviços e pacotes de membresia oferecidos pela Academia Golf Range Campinas, incluindo campos de golfe, driving range, aulas de golfe e pacotes para visitantes e sócios.
Este documento discute a história do Dia do Trabalho, comemorado em 1o de maio. Foi estabelecido em 1889 pela Segunda Internacional Socialista para homenagear os mártires anarquistas de Chicago, que foram executados por lutar pela jornada de oito horas de trabalho. O documento também descreve os eventos que levaram à greve geral de 1o de maio de 1886 nos Estados Unidos, que deu origem à data comemorativa.
I. O documento discute o fenômeno da crase em português e fornece exemplos de seu uso correto e incorreto.
II. Também aborda regras de pontuação, regência verbal e acentuação em português, fornecendo exemplos.
III. Por fim, discute a colocação pronominal correta de acordo com a norma culta da língua portuguesa.
importance des reseaux sociaux dans l'entreprise la cible 118Éric Delcroix
O documento discute três pontos principais sobre redes sociais e mídias sociais:
1) Como profissionais amadores, conhecidos como "ProAms", desempenham um papel importante na disseminação de conteúdo e ideias através de blogs e outras plataformas.
2) A teoria dos "laços fracos" mostra como pequenas conexões entre pessoas podem ser influentes.
3) As empresas podem beneficiar-se do uso estratégico de redes sociais internas para resolver problemas e gerar novas ideias entre funcion
O documento descreve os três principais tipos de software: 1) Software de sistema, que permite aos usuários interagir com o sistema operativo; 2) Software de aplicação, que permite aos usuários realizar tarefas específicas; 3) Software de programação, que são ferramentas usadas por programadores para desenvolver programas de computador.
O documento descreve as diligências de investigação penal no 8/2014 realizadas pela Fiscalia Provincial de Granada sobre três licenças concedidas pelo Ayuntamiento de Cijuela. As diligências incluem pedidos de informação à Guardia Civil, à Junta de Governo local e à Consejería de Medio Ambiente sobre a legalidade das licenças.
Les progiciels d'assurance en France, aujourd'hui et demain - Une partition s...Charles Lepillier
O documento descreve o mercado francês de software para seguros, discutindo sua estrutura fragmentada, regulamentações em evolução e desafios digitais. Os critérios fundamentais para escolha de software incluem capacidade de atender regulamentações, oferecer serviços personalizados e integrar dados e dispositivos. Futuras tendências envolvem uso de IA, contratos inteligentes e modelos de negócios centrados no cliente.
1) O documento descreve o processo de produção de vídeos digitais em alta definição, desde a gravação até a pós-produção.
2) Detalha as características técnicas dos formatos HD, como resolução, taxa de quadros e relação de aspecto.
3) Fornece links para câmeras HD da Sony e JVC, assim como acessórios como tripés e microfones.
Este documento é um portfólio de projetos de design industrial de PHEHELLO MOSOANG. Ele contém detalhes de vários projetos de design realizados durante os anos de estudo, incluindo projetos do segundo ano como uma rampa para cadeiras de rodas e um organizador de banheiro, além de cinco projetos finais de formatura sobre itens como uma tocha portátil e um compactador de lixo.
Noções de higiene, saúde e segurança no trabalhoCatir
- O documento discute noções de higiene, saúde e segurança no trabalho (HSST), incluindo definições de termos como saúde, trabalho, higiene no trabalho e segurança no trabalho. Também fornece estatísticas sobre acidentes de trabalho.
Textos aula Prof. Robson Nunes dia 19/05/2016Caissa Ramos
Este documento apresenta a estrutura de trabalhos acadêmicos, incluindo elementos pré-textuais, textuais e pós-textuais. Detalha a estrutura externa, composta por capa e lombada, e a estrutura interna, subdividida em seções como introdução, desenvolvimento e conclusão. Fornece recomendações sobre formatação de elementos como margens, fontes e espaçamentos.
Este documento descreve atividades que os pais podem fazer com seus filhos para ajudá-los a desenvolver habilidades escolares. Ele fornece exemplos de atividades classificadas por faixa etária e ressalta que as bibliotecas públicas oferecem recursos gratuitos para realizá-las.
Theories of Urbanism Project 3 : Comparative AnalysisAdibah Awang
Este ensaio faz uma análise comparativa entre o South of Market em São Francisco e a Rua Petaling em Kuala Lumpur. Embora ambas as áreas tenham sido inicialmente industriais e agora estejam se tornando mais residenciais, elas diferem em padrões de gradeamento e desenvolvimento. O South of Market tem um gradeamento regular e equilíbrio de atividades, enquanto a Rua Petaling tem um padrão deformado devido a seu desenvolvimento ao longo de um rio.
O documento discute a importância do desenho técnico como ferramenta de comunicação no design e engenharia. Ao longo da história, representações gráficas foram usadas para descrever e explicar objetos antes de sua construção. O desenvolvimento tecnológico torna necessário um linguagem gráfico comum e normalizado para permitir a visualização de ideias desde o início até os detalhes finais de um projeto.
O documento discute como melhorar a visibilidade do aplicativo nos resultados de pesquisa do Google através do indexação de aplicativos. Ele aborda tópicos como: benefícios da indexação de aplicativos, como direcionar o tráfego móvel para o aplicativo e aumentar as instalações, e a implementação técnica para aplicativos Android.
Cronograma pgf-r-04 2013 ii semestre definitivo en pdfAnamaria Pinto
Este cronograma descreve as atividades planejadas para o Centro Piloto Simón Bolívar em janeiro de 2013, incluindo reuniões de planejamento, recepção de estudantes, eleição de representantes de turma e conselho diretivo.
Aula sobre principais fatores de Infertilidade Feminina e Técnicas de Reprodução Assistida ministrada em 09 de maio de 2017, no Congresso Médico Acadêmico da Faculdade de Medicina da Universidade Nove de Julho, em São Paulo, SP.
Lição 03 - Justificação, somente pela fé em Jesus Cristo Regio Davis
1. O documento discute a doutrina bíblica da justificação pela fé segundo o capítulo 4 de Romanos.
2. Paulo usa o exemplo de Abraão para mostrar que a justificação ocorre somente pela fé e não pelas obras.
3. A argumentação de Paulo é dividida em três partes: a justificação manifestada, a justificação contestada e a justificação exemplificada.
Altos Escondidos - Panama's Premier Eco-luxury resort community which straddles the continental divide with the views of Atlantic and Pacific Oceans. This development will consist of 75 Eco Luxury residences, 16 to 24 unit boutique hotel with rooms cascading down the Atlantic down the Pacific. Holistic Spa, for your body, mind and soul, Organic wine bar and a gourmet restaurant. Altos Escondidos -- natural luxury for body, mind and soul while living in harmony with the Earth ... your neighbors ... and living in bliss with yourself.
Website: www.altosescondidos.com
Jardim terapêutico - Arquitetura Hospitalar "Como a arquitetura pode beneficiar pacientes com câncer."
Trabalho de conclusão de curso de Arquitetura e Urbanismo (TCC2) - DEZ/2015
Instituição: UNILESTE - MG
Aluna: Ana Luisa Pereira Mesquita
Professor Orientador: Rogério Braga
US Realty Records hired Zebra Advertisement to help grow their business online using search campaigns. Zebra developed APIs to integrate US Realty's data with Google Analytics and AdWords to optimize bids and identify new keywords. This helped increase US Realty's report sales to over 74,000 and reach over 268 million consumers.
Este documento é um contrato de arrendamento de um local comercial por seis meses entre uma proprietária e uma arrendatária. A arrendatária pagará 250 soles por mês de aluguel e depositou 500 soles como garantia. Ela não poderá fazer melhorias, subarrendar ou transferir o local sem permissão.
Este documento descreve os ensaios de corte direto realizados em laboratório para determinar a resistência ao corte de amostras de solo. Existem três tipos de ensaios de acordo com a consolidação e drenagem da amostra: ensaios não consolidados e não drenados, consolidados e não drenados, e consolidados e drenados. Os resultados dos ensaios permitem calcular os parâmetros de coesão e atrito interno do solo.
Este documento descreve os ensaios de corte direto, um método para determinar a resistência ao corte de amostras de solo em laboratório. Existem três tipos de ensaios de corte direto de acordo com a consolidação e drenagem da amostra: ensaios não consolidados e não drenados, ensaios consolidados e não drenados, e ensaios consolidados e drenados. O documento explica o equipamento, procedimento e análise dos resultados dos ensaios de corte direto.
O documento descreve os três principais tipos de software: 1) Software de sistema, que permite aos usuários interagir com o sistema operativo; 2) Software de aplicação, que permite aos usuários realizar tarefas específicas; 3) Software de programação, que são ferramentas usadas por programadores para desenvolver programas de computador.
O documento descreve as diligências de investigação penal no 8/2014 realizadas pela Fiscalia Provincial de Granada sobre três licenças concedidas pelo Ayuntamiento de Cijuela. As diligências incluem pedidos de informação à Guardia Civil, à Junta de Governo local e à Consejería de Medio Ambiente sobre a legalidade das licenças.
Les progiciels d'assurance en France, aujourd'hui et demain - Une partition s...Charles Lepillier
O documento descreve o mercado francês de software para seguros, discutindo sua estrutura fragmentada, regulamentações em evolução e desafios digitais. Os critérios fundamentais para escolha de software incluem capacidade de atender regulamentações, oferecer serviços personalizados e integrar dados e dispositivos. Futuras tendências envolvem uso de IA, contratos inteligentes e modelos de negócios centrados no cliente.
1) O documento descreve o processo de produção de vídeos digitais em alta definição, desde a gravação até a pós-produção.
2) Detalha as características técnicas dos formatos HD, como resolução, taxa de quadros e relação de aspecto.
3) Fornece links para câmeras HD da Sony e JVC, assim como acessórios como tripés e microfones.
Este documento é um portfólio de projetos de design industrial de PHEHELLO MOSOANG. Ele contém detalhes de vários projetos de design realizados durante os anos de estudo, incluindo projetos do segundo ano como uma rampa para cadeiras de rodas e um organizador de banheiro, além de cinco projetos finais de formatura sobre itens como uma tocha portátil e um compactador de lixo.
Noções de higiene, saúde e segurança no trabalhoCatir
- O documento discute noções de higiene, saúde e segurança no trabalho (HSST), incluindo definições de termos como saúde, trabalho, higiene no trabalho e segurança no trabalho. Também fornece estatísticas sobre acidentes de trabalho.
Textos aula Prof. Robson Nunes dia 19/05/2016Caissa Ramos
Este documento apresenta a estrutura de trabalhos acadêmicos, incluindo elementos pré-textuais, textuais e pós-textuais. Detalha a estrutura externa, composta por capa e lombada, e a estrutura interna, subdividida em seções como introdução, desenvolvimento e conclusão. Fornece recomendações sobre formatação de elementos como margens, fontes e espaçamentos.
Este documento descreve atividades que os pais podem fazer com seus filhos para ajudá-los a desenvolver habilidades escolares. Ele fornece exemplos de atividades classificadas por faixa etária e ressalta que as bibliotecas públicas oferecem recursos gratuitos para realizá-las.
Theories of Urbanism Project 3 : Comparative AnalysisAdibah Awang
Este ensaio faz uma análise comparativa entre o South of Market em São Francisco e a Rua Petaling em Kuala Lumpur. Embora ambas as áreas tenham sido inicialmente industriais e agora estejam se tornando mais residenciais, elas diferem em padrões de gradeamento e desenvolvimento. O South of Market tem um gradeamento regular e equilíbrio de atividades, enquanto a Rua Petaling tem um padrão deformado devido a seu desenvolvimento ao longo de um rio.
O documento discute a importância do desenho técnico como ferramenta de comunicação no design e engenharia. Ao longo da história, representações gráficas foram usadas para descrever e explicar objetos antes de sua construção. O desenvolvimento tecnológico torna necessário um linguagem gráfico comum e normalizado para permitir a visualização de ideias desde o início até os detalhes finais de um projeto.
O documento discute como melhorar a visibilidade do aplicativo nos resultados de pesquisa do Google através do indexação de aplicativos. Ele aborda tópicos como: benefícios da indexação de aplicativos, como direcionar o tráfego móvel para o aplicativo e aumentar as instalações, e a implementação técnica para aplicativos Android.
Cronograma pgf-r-04 2013 ii semestre definitivo en pdfAnamaria Pinto
Este cronograma descreve as atividades planejadas para o Centro Piloto Simón Bolívar em janeiro de 2013, incluindo reuniões de planejamento, recepção de estudantes, eleição de representantes de turma e conselho diretivo.
Aula sobre principais fatores de Infertilidade Feminina e Técnicas de Reprodução Assistida ministrada em 09 de maio de 2017, no Congresso Médico Acadêmico da Faculdade de Medicina da Universidade Nove de Julho, em São Paulo, SP.
Lição 03 - Justificação, somente pela fé em Jesus Cristo Regio Davis
1. O documento discute a doutrina bíblica da justificação pela fé segundo o capítulo 4 de Romanos.
2. Paulo usa o exemplo de Abraão para mostrar que a justificação ocorre somente pela fé e não pelas obras.
3. A argumentação de Paulo é dividida em três partes: a justificação manifestada, a justificação contestada e a justificação exemplificada.
Altos Escondidos - Panama's Premier Eco-luxury resort community which straddles the continental divide with the views of Atlantic and Pacific Oceans. This development will consist of 75 Eco Luxury residences, 16 to 24 unit boutique hotel with rooms cascading down the Atlantic down the Pacific. Holistic Spa, for your body, mind and soul, Organic wine bar and a gourmet restaurant. Altos Escondidos -- natural luxury for body, mind and soul while living in harmony with the Earth ... your neighbors ... and living in bliss with yourself.
Website: www.altosescondidos.com
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Trabalho de conclusão de curso de Arquitetura e Urbanismo (TCC2) - DEZ/2015
Instituição: UNILESTE - MG
Aluna: Ana Luisa Pereira Mesquita
Professor Orientador: Rogério Braga
US Realty Records hired Zebra Advertisement to help grow their business online using search campaigns. Zebra developed APIs to integrate US Realty's data with Google Analytics and AdWords to optimize bids and identify new keywords. This helped increase US Realty's report sales to over 74,000 and reach over 268 million consumers.
Este documento é um contrato de arrendamento de um local comercial por seis meses entre uma proprietária e uma arrendatária. A arrendatária pagará 250 soles por mês de aluguel e depositou 500 soles como garantia. Ela não poderá fazer melhorias, subarrendar ou transferir o local sem permissão.
Este documento descreve os ensaios de corte direto realizados em laboratório para determinar a resistência ao corte de amostras de solo. Existem três tipos de ensaios de acordo com a consolidação e drenagem da amostra: ensaios não consolidados e não drenados, consolidados e não drenados, e consolidados e drenados. Os resultados dos ensaios permitem calcular os parâmetros de coesão e atrito interno do solo.
Este documento descreve os ensaios de corte direto, um método para determinar a resistência ao corte de amostras de solo em laboratório. Existem três tipos de ensaios de corte direto de acordo com a consolidação e drenagem da amostra: ensaios não consolidados e não drenados, ensaios consolidados e não drenados, e ensaios consolidados e drenados. O documento explica o equipamento, procedimento e análise dos resultados dos ensaios de corte direto.
Este documento descreve os ensaios de corte direto, um método para determinar a resistência ao corte de amostras de solo em laboratório. Existem três tipos de ensaios de corte direto de acordo com a consolidação e drenagem da amostra: ensaios não consolidados e não drenados, ensaios consolidados e não drenados, e ensaios consolidados e drenados. O documento explica o equipamento, procedimento e análise dos resultados dos ensaios de corte direto.
Andrea Corominas Bosch és una estudiant de 5é de primària que va assistir a una conferència interessant a Nova York l'any 2007 i li agradaria tornar-hi per visitar més coses.
Este documento apresenta exercícios sobre trigonometria aplicada a triângulos e identidades trigonométricas. No primeiro exercício, calcula-se os ângulos e lados de um triângulo aplicando lei do seno e cosseno. Nos exercícios seguintes, calculam-se razões trigonométricas em triângulos retângulos e identidades trigonométricas. Por fim, aplicam-se conceitos trigonométricos para encontrar lados de um paralelogramo.
O documento discute funções matemáticas. Apresenta funções como uma ferramenta útil para descrever, analisar e interpretar situações provenientes da matemática e outras ciências. Explica diferentes tipos de funções como funções constantes, afins, lineares e como representá-las graficamente.
O documento discute funções matemáticas. Apresenta funções como uma ferramenta útil para descrever, analisar e interpretar situações provenientes da matemática e outras ciências. Explica diferentes tipos de funções como funções constantes, funções afins e funções lineares, mostrando suas fórmulas e gráficos correspondentes.
Este documento descreve o ensaio edométrico ou de consolidação, que determina a velocidade e grau de assentamento de uma amostra de solo argiloso saturado sob uma série de incrementos de pressão ou carga. O fenômeno de consolidação ocorre quando o solo absorve gradualmente a carga aplicada, expulsando água dos poros e reduzindo seu volume. O ensaio mede as deformações da amostra sob diferentes níveis de pressão ao longo do tempo.
Este documento trata sobre tucanes y tucanetas, aves nativas de América. Describe las características, hábitat, alimentación y reproducción de los tucanes, los cuales son los más grandes y con picos más llamativos de su familia. También habla sobre dos tipos comunes de tucanetas, más pequeñas y de color verde.
Palestra sobre Dança e Neurociências: uma visão transdisciplinar, realizada para o Curso de Verão em Neurociências da UFSC no ano de 2023.
Ministrada pela Arte-Educadora Beatriz M. Pimenta.
Disponível também em: https://www.canva.com/design/DAFaZS7VnKo/aF1XsJT2c1FvT5oTo0z4aQ/view?utm_content=DAFaZS7VnKo&utm_campaign=designshare&utm_medium=link2&utm_source=sharebutton
1. O documento apresenta constantes físicas e exercícios sobre diversos tópicos da física atômica e ondas eletromagnéticas, como o modelo atômico de Bohr, espectroscopia atômica, efeito fotoelétrico e difração.
O documento discute como as atividades humanas estão afetando o meio ambiente através do aumento da população, desmatamento, poluição e mudanças climáticas. Isso pode levar a desertificação de zonas férteis, derretimento de geleiras e inundação de algumas áreas costeiras. É necessário encontrar soluções sustentáveis como uso de tecnologias de conservação, recursos renováveis e reciclagem.
O documento descreve as estruturas de controle de fluxo no C++, incluindo condicionais (if/else, switch), repetitivas (for, while, do-while) e subrotinas. Ele explica como cada estrutura funciona e dá exemplos de seu uso.
Divulgação da lista bibliográfica produzida na biblioteca da Escola Secundária da Amadora, escola sede do Agrupamento de Escolas Pioneiros da Aviação Portuguesa.
Este documento descreve métodos para determinar o conteúdo de umidade no solo, incluindo o método tradicional de secagem em forno e outros métodos como o da alcool metílico e Speedy. O método de secagem em forno envolve pesar a amostra antes e depois de secá-la a 110°C por 24 horas para calcular a porcentagem de umidade.
Este documento descreve métodos para determinar o conteúdo de umidade no solo, incluindo o método tradicional de secagem em forno e outros métodos como o da alcool metílico e Speedy. O método de secagem em forno envolve pesar a amostra antes e depois de secá-la a 110°C por 24 horas para calcular a porcentagem de umidade.
Este documento descreve os principais aspectos da geografia física da Península Ibérica em três frases:
1) Apresenta as principais formas de relevo como a Cordilheira Cantábrica, a Meseta Central, a Sierra Morena e os Sistemas Béticos dispostos de norte a sul.
2) Detalha as causas da diversidade de formas de relevo resultantes dos processos tectônicos e erosivos ao longo da história geológica.
3) Discutem as possíveis consequ
Julio Sanjuán fue un cantante lírico, actor de teatro , también se dedicó al celuloide en menor escala. Emigró a la Argentina , con el próposito de no hacer el servicio militar.
Semelhante a Aplicacion de la integral definida matematica 1 (20)
Atividade letra da música - Espalhe Amor, Anavitória.Mary Alvarenga
A música 'Espalhe Amor', interpretada pela cantora Anavitória é uma celebração do amor e de sua capacidade de transformar e conectar as pessoas. A letra sugere uma reflexão sobre como o amor, quando verdadeiramente compartilhado, pode ultrapassar barreiras alcançando outros corações e provocando mudanças positivas.
REGULAMENTO DO CONCURSO DESENHOS AFRO/2024 - 14ª edição - CEIRI /UREI (ficha...Eró Cunha
XIV Concurso de Desenhos Afro/24
TEMA: Racismo Ambiental e Direitos Humanos
PARTICIPANTES/PÚBLICO: Estudantes regularmente matriculados em escolas públicas estaduais, municipais, IEMA e IFMA (Ensino Fundamental, Médio e EJA).
CATEGORIAS: O Concurso de Desenhos Afro acontecerá em 4 categorias:
- CATEGORIA I: Ensino Fundamental I (4º e 5º ano)
- CATEGORIA II: Ensino Fundamental II (do 6º ao 9º ano)
- CATEGORIA III: Ensino Médio (1º, 2º e 3º séries)
- CATEGORIA IV: Estudantes com Deficiência (do Ensino Fundamental e Médio)
Realização: Unidade Regional de Educação de Imperatriz/MA (UREI), através da Coordenação da Educação da Igualdade Racial de Imperatriz (CEIRI) e parceiros
OBJETIVO:
- Realizar a 14ª edição do Concurso e Exposição de Desenhos Afro/24, produzidos por estudantes de escolas públicas de Imperatriz e região tocantina. Os trabalhos deverão ser produzidos a partir de estudo, pesquisas e produção, sob orientação da equipe docente das escolas. As obras devem retratar de forma crítica, criativa e positivada a população negra e os povos originários.
- Intensificar o trabalho com as Leis 10.639/2003 e 11.645/2008, buscando, através das artes visuais, a concretização das práticas pedagógicas antirracistas.
- Instigar o reconhecimento da história, ciência, tecnologia, personalidades e cultura, ressaltando a presença e contribuição da população negra e indígena na reafirmação dos Direitos Humanos, conservação e preservação do Meio Ambiente.
Imperatriz/MA, 15 de fevereiro de 2024.
Produtora Executiva e Coordenadora Geral: Eronilde dos Santos Cunha (Eró Cunha)
A festa junina é uma tradicional festividade popular que acontece durante o m...ANDRÉA FERREIRA
Os historiadores apontam que as origens da Festa Junina estão diretamente relacionadas a festividades pagãs realizadas na Europa no solstício de verão, momento em que ocorre a passagem da primavera para o verão.
PP Slides Lição 11, Betel, Ordenança para exercer a fé, 2Tr24.pptxLuizHenriquedeAlmeid6
Slideshare Lição 11, Betel, Ordenança para exercer a fé, 2Tr24, Pr Henrique, EBD NA TV, 2° TRIMESTRE DE 2024, ADULTOS, EDITORA BETEL, TEMA, ORDENANÇAS BÍBLICAS, Doutrina Fundamentais Imperativas aos Cristãos para uma vida bem-sucedida e de Comunhão com DEUS, estudantes, professores, Ervália, MG, Imperatriz, MA, Cajamar, SP, estudos bíblicos, gospel, DEUS, ESPÍRITO SANTO, JESUS CRISTO, Comentários, Bispo Abner Ferreira, Com. Extra Pr. Luiz Henrique, 99-99152-0454, Canal YouTube, Henriquelhas, @PrHenrique
1. A P L I C A C I O N E S D E L A I N T E G R A L
D E F I N I D A
A L U M N O :
J A I D A L I F O N S E C A
C I : 2 7 . 2 0 9 . 1 8 4
P R O F E S O R : D O M I N G O M E N D E Z
2. A P L I C A C I Ó N D E L A I N T E G R A L D E F I N I D A
L a i n t e g r a l d e f i n i d a e s u n a h e r r a m i e n t a ú t i l e n l a s c i e n c i a s
f í s i c a s y s o c i a l e s , y a q u e m u c h a s c a n t i d a d e s d e i n t e r é s e n d i c h a s
c i e n c i a s p u e d e n d e f i n i r s e m e d i a n t e e l t i p o d e s u m a q u e s e
p r e s e n t a e n l a i n t e g r a l d e f i n i d a . A n t e s d e e s t u d i a r c a s o s
e s p e c í f i c o s e n q u e s e u t i l i z a l a i n t e g r a l d e f i n i d a , d a r e m o s l a s
s i g u i e n t e s d e f i n i c i o n e s :
D e f i n i c i ó n 1
R e c i b e e l n o m b r e d e p a r t i c i ó n d e u n i n t e r v a l o c e r r a d o [ a , b ] u n
c o n j u n t o d e i n t e r v a l o s c e r r a d o s :
{ [ X 0 , x 1 ] , [ x 1 , x 2 ] , [ x 2 , x 3 ] , . . . , [ x n − 2 , x n − 1 ] ,
[ x n − 1 , e n ] }
Q u e p o s e e l a s p r o p i e d a d e s :
1 . [ x 0 , x 1 ] ∪ [ x 1 , x 2 ] ∪ . . . ∪ [ x n − 2 , x n − 1 ] , [ x n − 1 , x n ] } = [ a , b ]
2 . [ x i − 1 , x i ] ∩ [ x i , x i + 1 ] = x i c o n i ∈ { 1 , 2 , . . . , n }
3 . [ x j − 1 , x j ] ∩ [ x k , x k + 1 ] = ∅ a m e n o s q u e k = j o j − 1 = k + 1 .
D e f i n i c i ó n 2
C a d a i n t e r v a l o e n u n a p a r t i c i ó n d e [ a , b ] s e l l a m a s u b i n t e r v a l o
[ a , b ] . U n a p a r t i c i ó n e s t á d e t e r m i n a d a p o r l o s n ú m e r o s q u e s o n
p u n t o s e x t e r n o s d e l o s s u b i n t e r v a l o s d e l a p a r t i c i ó n . A s í , u n a
p a r t i c i ó n q u e c o n t e n g a n s u b i n t e r v a l o s q u e d a d e t e r m i n a d a p o r
u n c o n j u n t o d e n + 1 n ú m e r o s .
{ x 0 , x 1 , x 2 , . . . , X n − 1 , X n } ,
3. D o n d e x 0 = a , X n = b , X i − 1 < X i p a r a i ∈ { 1 , 2 , 3 , . . . , n } .
D e n o t a r e m o s c o n P n l a p a r t i c i ó n d e t e r m i n a d a p o r e s t e
c o n j u n t o d e n + 1 n ú m e r o s , a s í
P n = { [ X 0 , X 1 ] , [ X 1 , X 2 ] , . . . , [ X n − 2 ,
X n − 1 ] , [ X n − 1 , X n ] }
D e f i n i c i ó n 3
S i P n e s u n a p a r t i c i ó n d e u n i n t e r v a l o [ a , b ] , l a n o r m a N p d e P n
e s e l m a y o r d e l o s n n ú m e r o s
( X 1 − X 0 ) , ( X 2 − X 1 ) , ( X 3 − X 2 ) , . . . , ( X n −
X n − 1 ) ,
D o n d e
∆ X 1 = X 1 − X 0 , ∆ X 2 = X 2 − X 1 , . . . , ∆ X n = X n −
X n − 1 ,
O s e a ∆ X i = X i − X i − 1 p a r a i ∈ { 1 , 2 , . . . , n } .
L a n o r m a N p d e u n a p a r t i c i ó n P n e s l a l o n g i t u d d e l m á s g r a n d e
d e l o s s u b i n t e r v a l o s e n l a g r á f i c a d e P n q u e s e m u e s t r a a
c o n t i n u a c i ó n :
D e f i n i c i ó n 4
S i P n e s u n a p a r t i c i ó n e n u n i n t e r v a l o [ a , b ] , u n a u m e n t o T n d e l a
p a r t i c i ó n e s u n c o n j u n t o d e n ú m e r o s { t 1 , t 2 , . . . , t n } t a l e s q u e
4. x 0 ≤ t 1 ≤ x 1 , x 1 ≤ t 2 ≤ x 2 , x 2 ≤ t 3 ≤ x 3 , . . . , x n − 1 ≤ t n ≤ x n ,
O s e a , x i − 1 ≤ t i ≤ x i c o n i ∈ { 1 , 2 , . . . , n } .
G r á f i c a m e n t e :
C a l c u l o d e á r e a s
S e a f u n a f u n c i ó n c u y o d o m i n i o e s t á e n e l i n t e r v a l o c e r r a d o [ a ,
b ] , t a l q u e f ( x ) ≥ 0 p a r a x ∈ [ a , b ] .
S e a R l a r e g i ó n p l a n a l i m i t a d a p o r l a s g r á f i c a s d e l a s
e c u a c i o n e s : y = f ( x ) , y = 0 ( e j e x ) , x = a , x = b .
S e a P n u n a p a r t i c i ó n d e [ a , b ] e n n s u b i n t e r v a l o s d e t e r m i n a d o s
p o r e l c o n j u n t o { x 0 , x 1 , x 2 , . . . , x n − 1 , x n } , c o n ∆ x i = x i − x i − 1 , i ∈ { 1 , 2 , . . . ,
n } .
5. S e a T n = { t 1 , t 2 , . . . , t n } u n a u m e n t o d e P n .
C o n s t r u i m o s n r e c t á n g u l o s c u y a s b a s e s s e a n l o s n i n t e r v a l o s d e
l a p a r t i c i ó n P n c u y a s a l t u r a s s e a n
F ( t 1 ) , f ( t 2 ) , . . . , f ( t i ) , . . . , f ( t n − 1 ) , f
( t n ) .
E l á r e a d e l i – e s i m o r e c t á n g u l o e s t á d a d a p o r f ( t i ) · ∆ x i ; y l a
s u m a
∑ 𝑓 ( 𝑡 𝑖 )
𝑛
𝑖 = 𝑛
∆ x 𝒾
D e l a s á r e a s d e l o s n r e c t á n g u l o s s e r á u n a a p r o x i m a c i ó n a l á r e a
d e R .
S i a u m e n t a m o s e l n ú m e r o d e s u b i n t e r v a l o s , e n t o n c e s d e c r e c e l a
l o n g i t u d d e c a d a s u b i n t e r v a l o d e l a p a r t i c i ó n P n , o b t e n i é n d o s e
u n a n u e v a s u m a q u e d a r á u n a m a y o r a p r o x i m a c i ó n a l á r e a d e R .
D e m o s a h o r a l a s i g u i e n t e d e f i n i c i ó n :
D e f i n i c i ó n 5
6. S i f ( x ) ≥ 0 p a r a x ∈ [ a , b ] , y s i e x i s t e u n n u m e r o A t a l q u e d a d a
u n a ² > 0 , e x i s t a δ > 0 t a l q u e
P a r a t o d a p a r t i c i ó n P n d e [ a , b ] , y t o d o a u m e n t o d e P n e n q u e N p
< δ , e n t o n c e s e s t e n ú m e r o A e s e l á r e a d e l a r e g i ó n l i m i t a d a p o r
l a s g r á f i c a s d e l a e c u a c i ó n y = f ( x ) , y = 0 , x = a , x = b . N o t e q u e
d e e s t a d e f i n i c i ó n s e t i e n e q u e
l im m a x ∆ x i → 0 ( ∑ 𝑓 ( 𝑡 𝑖 )
𝑛
𝑡 = 1
∆ x 𝒾 ) ) = A
Y s i A e x i s t e , e n t o n c e s :
𝐴 = ∫ 𝑓 ( 𝑥 )
𝑎
E j e m p l o :
C a l c u l e m o s e l á r e a d e l a r e g i ó n R l i m i t a d a p o r l a s g r á f i c a s
d e
S o l u c i ó n
L a r e p r e s e n t a c i ó n g r a f i c a e s l a s i g u i e n t e :
7. E l á r e a d e l i − e s i m o r e c t á n g u l o e s :
L a s u m a d e a p r o x i m a c i ó n p a r a e l á r e a d e R e s
( E n l a g r á f i c a a n t e r i o r s e m u e s t r a e l i − e s i m o r e c t á n g u l o d e l a
a p r o x i m a c i ó n ) .
L u e g o d e l a d e f i n i c i ó n ? ? s e t i e n e q u e :
8. Á r e a d e u n a r e g i ó n c o m p r e n d i d a e n t r e d o s c u r v a s
S e a n f y g d o s f u n c i o n e s c o n d o m i n i o e n e l i n t e r v a l o [ a , b ] , t a l e s
q u e f ( x ) ≥ g ( x ) p a r a x ∈ [ a , b ] .
V a m o s a d e t e r m i n a r c u á l e s e l á r e a d e l a r e g i ó n R l i m i t a d a p o r
l a s g r á f i c a s d e y = f ( x ) , y = g ( x ) , x = a , x = b q u e s e m u e s t r a a
c o n t i n u a c i ó n :
C o n s t r u i m o s u n c o n j u n t o d e r e c t á n g u l o s t a l e s q u e l a s u m a d e
s u s á r e a s s e a u n a a p r o x i m a c i ó n a l á r e a d e R .
9. S e a P n u n a p a r t i c i ó n d e [ a , b ] e n n s u b i n t e r v a l o s d e t e r m i n a d o s
p o r e l c o n j u n t o
{ x 0 , x 1 , x 2 , . . . , x i − 1 , x i , . . . , x n − 1 , x n } ,
D o n d e ∆ x i = x i − x i − 1 , i ∈ { 1 , 2 , . . . , n }
S e a T n = { t 1 , t 2 , . . . , t i − 1 , t i , . . . , t n − 1 , t n } u n a u m e n t o d e P n .
C o n s t r u i m o s n r e c t á n g u l o s c u y o s a n c h o s s e a n l o s n
s u b i n t e r v a l o s d e l a p a r t i c i ó n P n , y c u y a s a l t u r a s s e a n :
f ( t 1 ) − g ( t 1 ) , f ( t 2 ) − g ( t 2 ) , . . . , f ( t i ) − g ( t i ) , . . . , f ( t n ) − g ( t n ) .
E l á r e a d e l i − e s i m o r e c t á n g u l o e s : [ f ( t i ) − g ( t i ) ] · ∆ x i , y l a s u m a
d e a p r o x i m a c i ó n p a r a e l á r e a d e R e s t á d a d a p o r :
S i a u m e n t a m o s e l n ú m e r o d e s u b i n t e r v a l o s , e n t o n c e s d e c r e c e l a
l o n g i t u d d e c a d a s u b i n t e r v a l o d e l a p a r t i c i ó n P n , o b t e n i é n d o s e
u n a n u e v a s u m a q u e d a r á u n a m a y o r a p r o x i m a c i ó n a l á r e a d e R .
S e t i e n e e n t o n c e s l a s i g u i e n t e d e f i n i c i ó n :
D e f i n i c i ó n 6
10. S i f ( x ) ≥ g ( x ) p a r a x ∈ [ a , b ] , y s i e x i s t e u n n u m e r o A , t a l q u e
d a d a u n a ² > 0 e x i s t a u n a δ > 0 p a r a l o c u a l
P a r a t o d a p a r t i c i ó n P n d e [ a , b ] y t o d o a u m e n t o d e P n c o n N p < δ ,
e n t o n c e s d i c h o n u m e r o A e s e l á r e a d e l a r e g i ó n l i m i t a d a p o r
l a s g r á f i c a s d e l a s e c u a c i o n e s y = f ( x ) , y = g ( x ) , x = a y x = b .
D e e s t a d e f i n i c i ó n s e t i e n e q u e :
S i h e s l a f u n c i ó n d e f i n i d a p o r h ( x ) = f ( x ) − g ( x ) p a r a x ∈ [ a , b ] ,
y s i A e x i s t e , e n t o n c e s :
E j e m p l o :
H a l l a r e l á r e a d e l a r e g i ó n R l i m i t a d a p o r l a s g r á f i c a s d e l a s
e c u a c i o n e s :
S o l u c i ó n
G r á f i c a m e n t e s e t i e n e :
11. N o t e q u e l a s g r á f i c a s d e s e i n t e r s e c a n e n e l
p u n t o ( − 1 , 0 ) .
E n e s t e c a s o , e l á r e a d e l i − e s i m o r e c t á n g u l o e s :
Y l a s u m a d e a p r o x i m a c i ó n e s t á d a d a p o r :
S e g ú n l a d e f i n i c i ó n ? ? S e t i e n e q u e :
12. E j e m p l o
H a l l a r e l á r e a d e l a r e g i ó n R l i m i t a d a p o r l a s g r á f i c a s d e l a s
e c u a c i o n e s
S o l u c i ó n
G r á f i c a m e n t e s e t i e n e :
13. L a r e c t a c o n e c u a c i ó n + 1 i n t e r s e c a a l e j e x e n e l p u n t o
( 2 , 0 ) .
N o t e q u e l a r e g i ó n R e s t á f o r m a d a p o r d o s p a r t e s , l a s r e g i o n e s
R 1 y R 2 , p o r l o q u e e l á r e a d e R = á r e a d e R 1 + á r e a d e R 2 .
L a r e g i ó n R 1 e s t á l i m i t a d a s u p e r i o r m e n t e p o r l a g r á f i c a d e
+ 1 , i n f e r i o r m e n t e p o r l a d e y = 0 , l a t e r a l m e n t e p o r l a d e x = − 2
y x = 2 .
L u e g o :
Á r e a d e
L a r e g i ó n R 2 e s t á l i m i t a d a s u p e r i o r m e n t e p o r l a g r á f i c a d e y =
0 , i n f e r i o r m e n t e p o r l a d e + 1 , l a t e r a l m e n t e p o r l a d e x
= 2 y x = 4 .
14. L u e g o :
Á r e a d e
P o r t a n t o , e l á r e a d e R e s i g u a l a : 4 + 1 = 5 ( u . l . )
2
.
V o l ú m e n e s d e s o l i d o s d e r e v o l u c i ó n
S e a f u n a f u n c i ó n d e f i n i d a e n e l i n t e r v a l o [ a , b ] .
R e c i b e e l n o m b r e d e s o l i d o d e r e v o l u c i ó n , e l s ó l i d o g e n e r a d o a l
g i r a r a l r e d e d o r d e l e j e x , l a r e g i ó n l i m i t a d a p o r l a g r á f i c a d e y =
f ( x ) , e l e j e x y l a s g r á f i c a s d e x = a y x = b . E l e j e x e s u n e j e d e
s i m e t r í a d e d i c h o s ó l i d o y u n a s e c c i ó n r e c t a p e r p e n d i c u l a r a l e j e
x e s u n c ı r c u l o .
15. P a r a d e t e r m i n a r e l v o l u m e n d e e s t e t i p o d e s ó l i d o s , s e g u i r e m o s
u n p r o c e d i m i e n t o s i m i l a r a l u t i l i z a d o p a r a e l á r e a d e u n a
r e g i ó n , a p r o x i m a n d o e l “ v o l u m e n ” d e u n s ó l i d o d e r e v o l u c i ó n
p o r m e d i o d e u n a s u m a d e v o l ú m e n e s d e s o l i d o s m á s
e l e m e n t a l e s , e n l o s q u e e l v o l u m e n y a h a s i d o d e f i n i d o .
V a m o s a c o n s i d e r a r d i s c o s o c i l i n d r o s c i r c u l a r e s c o m o l o s
s ó l i d o s e l e m e n t a l e s , a s u m i e n d o q u e e l v o l u m e n d e u n d i s c o
c i r c u l a r e s , p o r d e f i n i c i ó n , e l p r o d u c t o d e l á r e a A d e l a b a s e p o r
e l e s p e s o r h ( o a l t u r a )
C o n s i d e r e m o s u n a p a r t i c i ó n P n d e l i n t e r v a l o [ a , b ] d e t e r m i n a d a
p o r e l c o n j u n t o d e n ú m e r o s
{ x 0 , x 1 , x 2 , . . . , x i − 1 , x i , . . . , x n − 1 , x n } ,
D o n d e ∆ x i = x i − 1 − x i , c o n i ∈ { 1 , 2 , 3 , . . . , n } .
S e a T n = { t 1 , t 2 , . . . , t n } u n a u m e n t o d e P n .
C o n s i d e r e m o s a h o r a l o s n d i s c o s c i r c u l a r e s , c u y o s s e n s o r e s s o n
∆ x 1 , ∆ x 2 , . . . , ∆ x i , . . . , ∆ x n , y c u y a s b a s e s t i e n e n r a d i o s
f ( t 1 ) , f ( t 2 ) , . . . , f ( t i ) , . . . , f ( t n ) .
h
16. E l v o l u m e n d e l i − e s i m o d i s c o e s :
π [ f
( t i )
]
2
·
∆ x i
L a s u m a
D e l o s v o l ú m e n e s d e l a n d i s c o s n o s d a u n a a p r o x i m a c i ó n a l
v o l u m e n d e l s o l i d o d e r e v o l u c i ó n .
P o d e m o s s u p o n e r q u e m i e n t r a s m á s d e l g a d o s s e a n l o s d i s c o s ,
m a y o r s e r á l a a p r o x i m a c i ó n d e l a s u m a a n t e r i o r a l v o l u m e n d e l
s ó l i d o .
S e t i e n e e n t o n c e s l a s i g u i e n t e d e f i n i c i ó n :
D e f i n i c i ó n 7
S i e x i s t e u n n u m e r o V t a l q u e d a d a ² > 0 e x i s t a δ > 0 p a r a l a
c u a l
17. P a r a t o d a p a r t i c i ó n P n d e [ a , b ] y t o d o a u m e n t o T n d e P n , y c o n N p
< δ , e s t e n u m e r o V e s e l v o l u m e n d e l s o l i d o o b t e n i d o p o r
r e v o l u c i ó n d e l á r e a l i m i t a d a p o r l a s g r á f i c a s d e y = f ( x ) , y = 0 , x
= a , x = b a l r e d e d o r d e l e j e x .
S i h e s l a f u n c i ó n d a d a p o r h ( x ) = π [ f ( x ) ]
2
p a r a x ∈ [ a ] , e n t o n c e s
l a s u m a d e a p r o x i m a c i ó n :
U t i l i z a d a e n l a d e f i n i c i ó n d e l v o l u m e n d e l s o l i d o d e r e v o l u c i ó n ,
p u e d e e s c r i b i r s e c o m o :
D o n d e t i ∈ [ x i − 1 , x i ] , ∆ x i = x i − 1 − x i .
L u e g o , d e l a d e f i n i c i ó n d e i n t e g r a l y d e l a d e f i n i c i ó n d e V d a d a ,
s e t i e n e q u e
C o n s i d e r e m o s a h o r a d o s f u n c i o n e s f y g c o n t i n u a s e n e l
i n t e r v a l o c e r r a d o [ a , b ] , t a l e s q u e f ( x ) ≥ g ( x ) p a r a x ∈ [ a , b ] . S e a
R l a r e g i ó n d e l p l a n o l i m i t a d a p o r l a s c u r v a s c o n e c u a c i o n e s y =
f ( x ) , y = g ( x ) y l a s r e c t a s c o n e c u a c i o n e s x = a , x = b .
18. D e s e a m o s d e t e r m i n a r e l v o l u m e n V d e l s o l i d o d e r e v o l u c i ó n
g e n e r a d o a l g i r a r l a r e g i ó n R a l r e d e d o r d e l e j e x ( n o t e q u e e n
e s t e c a s o n o g i r a m o s l a r e g i ó n R a l r e d e d o r d e u n a d e s u s
f r o n t e r a s ) .
E l s ó l i d o g e n e r a d o s e m u e s t r a e n l a s i g u i e n t e f i g u r a :
S e a P n u n a p a r t i c i ó n d e l i n t e r v a l o [ a , b ] d e t e r m i n a d a p o r e l
c o n j u n t o d e n ú m e r o s { x 0 , x 1 , x 2 , . . . , x i − 1 , x i , . . . , x n } c o n ∆ x i = x i − x i − 1 p a r a
i ∈ { 1 , 2 , . . . , n } , y s e a T n = { t 1 , t 2 , . . . , t i , . . . , t n } u n a u m e n t o d e P n .
E n e s t e c a s o , l o s s ó l i d o s e l e m e n t a l e s u s a d o s p a r a o b t e n e r u n a
s u m a d e a p r o x i m a c i ó n d e l v o l u m e n d e l s o l i d o d e r e v o l u c i ó n ,
s e r á n a n i l l o s c i r c u l a r e s .
S e m u e s t r a a c o n t i n u a c i ó n e l i − e s i m o r e c t á n g u l o y e l i − e s i m o
a n i l l o c i r c u l a r g e n e r a d o a l r o t a r a q u e l a l r e d e d o r d e l e j e x .
19. L u e g o , e l á r e a d e l a n i l l o c i r c u l a r e s :
π [ f ( t i ) ]
2
− π [ g ( t i ) ]
2
P o r l o q u e e l v o l u m e n d e l i − e s i m o e l e m e n t o s o l i d o s e r á :
¡ ¢
∆ V i = π [ f ( t i ) ]
2
− [ g ( t i ) ]
2
· ∆ x i
E n t o n c e s , l a s u m a d e a p r o x i m a c i ó n p a r a e l v o l u m e n d e l s o l i d o
d e r e v o l u c i ó n e s :
P u e d e s u p o n e r s e q u e m i e n t r a s m á s d e l g a d o s s e a n l o s a n i l l o s
c i r c u l a r e s , m a y o r s e r á l a a p r o x i m a c i ó n d e l a s u m a a n t e r i o r a l
v o l u m e n d e l s ó l i d o .
D e f i n i c i ó n 8
S i e x i s t e u n n u m e r o V t a l q u e d a d a ² > 0 e x i s t a δ > 0 p a r a l a
c u a l
20. P a r a t o d a p a r t i c i ó n P n d e [ a , b ] y t o d o a u m e n t o T n d e P n , y c o n N p
< δ , e s t e n ú m e r o d e V e s e l v o l u m e n d e l s o l i d o o b t e n i d o p o r
r e v o l u c i ó n d e l á r e a l i m i t a d a p o r l a s g r á f i c a s d e y = f ( x ) , y =
g ( x ) , x = a , x = b , a l r e d e d o r d e l e j e x .
¡ ¢
S i h e s l a f u n c i ó n d a d a p o r h = π [ f ( x ) ]
2
− [ g ( x ) ]
2
p a r a x ∈ [ a , b ] ,
e n t o n c e s l a s u m a d e a p r o x i m a c i ó n
U t i l i z a d a e n l a d e f i n i c i ó n ? p u e d e e s c r i b i r s e c o m o :
D o n d e t i ∈ [ x i − 1 , x i ] , ∆ x i = x i − x i − 1 .
L u e g o s e t i e n e q u e :
E j e m p l o
H a l l a r e l v o l u m e n d e l s o l i d o d e r e v o l u c i ó n g e n e r a d o a l g i r a r
a l r e d e d o r d e l e j e √ x , l a r e g i ó n l i m i t a d a p o r l a g r á f i c a d e y = x ,
y = 0 , x = 1 , x = 4
S o l u c i ó n
21. O b s e r v e , e n l a f i g u r a d e l a d e r e c h a , i − e s i m o r e c t á n g u l o q u e a l
r o t a r a l r e d e d o r d e l e j e x g e n e r a u n d i s c o c i r c u l a r e n f o r m a d e
c i l i n d r o c i r c u l a r r e c t o .
E l v o l u m e n d e l i − e s i m o d i s c o c i r c u l a r e s :
2
· ∆ x i =
π ( √ t i )
2
· ∆ x i π [ f ( t i ) ]
L a s u m a d e a p r o x i m a c i ó n d e l
v o l u m e n :
E l v o l u m e n d e l s o l i d o e s t á d a d o p o r :
E j e m p l o
D e t e r m i n a r e l v o l u m e n d e l s o l i d o o b t e n i d o a l g i r a r l a r e g i ó n d e l
e j e m p l o a n t e r i o r , a l r e d e d o r d e l e j e y .
22. E l a n i l l o c i r c u l a r t i e n e c o m o r a d i o m á x i m o g ( t i ) , y c o m o r a d i o
m í n i m o f ( t i ) .
E n e s t e c a s o t o m a m o s x c o m o l a v a r i a b l e d e p e n d i e n t e , y s e t i e n e
q u e e l v o l u m e n d e l s o l i d o e s t á d a d o p o r :
23. L o n g i t u d d e u n a c u r v a p l a n o
V a m o s a d e t e r m i n a r l a l o n g i t u d s d e l a r c o d e u n a c u r v a c o n
e c u a c i ó n y = f ( x ) , c o m p r e n d i d a e n t r e l o s p u n t o s A ( a , f ( a ) ) ,
B ( b , f ( b ) ) .
C o m o s e m u e s t r a e n l a f i g u r a a n t e r i o r , d i v i d i m o s e l a r c o A B e n
n p a r t e s , u n i e n d o l u e g o l o s s u c e s i v o s p u n t o s d e d i v i s i ó n p o r
s e g m e n t o s r e c t i l í n e o s .
P o r e j e m p l o , e l s e g m e n t o D E t e n d r á c o m o l o n g i t u d
√ ( ∆ x i ) 2 + ( ∆ y i ) 2
L u e g o , t e n d r e m o s u n a a p r o x i m a c i ó n d e l a l o n g i t u d d e l a c u r v a
A B , m e d i a n t e l a s u m a :
.
24. S i a u m e n t a m o s i n d e f i n i d a m e n t e e l n ú m e r o d e p u n t o s d e
d i v i s i ó n , e n t o n c e s l a s l o n g i t u d e s d e l o s s e g m e n t o s t i e n d e n a
c e r o , p o r l o q u e :
N o s d a e l a r c o A B , s i e m p r e q u e e l l ı m i t e e x i s t a .
P a r a e x p r e s a r e l l ı m i t e c o m o u n a i n t e g r a l t e n e m o s l o s i g u i e n t e :
s u p o n g a m o s q u e l a f u n c i ó n c o n e c u a c i ó n y = f ( x ) e s c o n t i n u a y
p o s e e d e r i v a d a c o n t i n u a e n c a d a p u n t o d e l a c u r v a , d o n d e
A ( a , f ( a ) ) h a s t a B ( b , f ( b ) ) . L u e g o , p o r e l t e o r e m a d e l v a l o r
m e d i o p a r a d e r i v a d a s , e x i s t e u n p u n t o D ∗
( x ∗
i , y i
∗
) e n t r e l o s
p u n t o s D y E d e l a c u r v a , d o n d e l a t a n g e n t e e s p a r a l e l a a l a
c u e r d a D E , e s t o e s :
o s e a ∆ y i = f
0
( x ∗
i ) · ∆ x i
L u e g o
P u e d e e x p r e s a r s e c o m o :
!
Q u e p o r d e f i n i c i ó n c o r r e s p o n d e a l a i n t e g r a l :
25. ( H e m o s e x p r e s a d o f
0
( x ) c o m o d y / d x ) .
C o m o l a l o n g i t u d d e u n a c u r v a n o d e p e n d e d e l a e l e c c i ó n d e l o s
e j e s c o o r d e n a d o s , s i x p u e d e e x p r e s a r s e c o m o f u n c i ó n d e y ,
e n t o n c e s l a l o n g i t u d d e l a r c o e s t á d a d a p o r
E n c a d a c a s o c a l c u l a r l a l o n g i t u d d e l a r c o d e c u r v a q u e s e
i n d i c a .
E j e m p l o :
, d e s d e x = 0 h a s t a x = 3 .
S o l u c i ó n
D e s i g n e m o s c o n L l a l o n g i t u d d e l a r c o .
C o m o , e n t o n c e s
L u e g o :
26. E j e m p l o
, d e s d e y
= 1 h a s t a y = 2
S o l u c i ó n
O b t e n e m o s d e n u e v o , p u e s x = h ( y )
27. C a l c u l o d e t r a b a j o c o n a y u d a d e l a i n t e g r a l d e f i n i d a
V a m o s a e s t u d i a r l a a p l i c a c i ó n d e l a i n t e g r a l d e f i n i d a a l
c o n c e p t o d e “ t r a b a j o ” .
S i u n a f u e r z a c o n s t a n t e F a c t ú a s o b r e u n o b j e t o d e s p l a z á n d o l o
u n a d i s t a n c i a x , a l o l a r g o d e u n a l í n e a r e c t a , y l a d i r e c c i ó n d e l a
f u e r z a c o i n c i d e c o n l a d e l m o v i m i e n t o , e n t o n c e s e l t r a b a j o
r e a l i z a d o W s e e x p r e s a c o m o e l p r o d u c t o d e l a f u e r z a F p o r e l
c a m i n o r e c o r r i d o .
E s d e c i r : W = F · x .
28. C u a n d o l a f u e r z a n o e s c o n s t a n t e , p o r e j e m p l o , c u a n d o s e
c o n t r a e o e s t i r a u n r e s o r t e , e l t r a b a j o n o s e p u e d e e x p r e s a r e n
f o r m a t a n s i m p l e .
C o n s i d e r e m o s u n a p a r t í c u l a P q u e s e d e s p l a z a s o b r e e l e j e x ,
d e s d e e l p u n t o ( a , 0 ) a l p u n t o ( b , 0 ) p o r m e d i o d e u n a f u e r z a f =
F ( x ) , x ∈ [ a , b ] .
D i v i d a m o s e l s e g m e n t o [ a , b ] e n n p a r t e s a r b i t r a r i a s d e
l o n g i t u d e s ∆ x 1 , ∆ x 2 , . . . , ∆ x i , . . . , ∆ x n , y t o m e m o s e n c a d a s u b i n t e r v a l o
[ x i − 1 , x i ] u n p u n t o a r b i t r a r i o t i c o m o s e m u e s t r a a c o n t i n u a c i ó n .
C u a n d o l a p a r t í c u l a s e m u e v e d e x i − 1 a x i , e l t r a b a j o r e a l i z a d o e s
a p r o x i m a d a m e n t e i g u a l a l p r o d u c t o F ( t i ) · ∆ x i .
L u e g o l a s u m a
N o s d a r á l a e x p r e s i ó n a p r o x i m a d a d e l t r a b a j o d e l a
f u e r z a F e n t o d o e l s e g m e n t o [ a , b ] .
L a s u m a
R e p r e s e n t a u n a s u m a i n t e g r a l , p o r l o q u e s i
29. E x i s t e , e n t o n c e s e s t e e x p r e s a e l t r a b a j o r e a l i z a d o p o r l a f u e r z a f
= F ( x ) a l m o v e r u n a p a r t í c u l a d e a a b , a l o l a r g o d e l e j e x . S e
t i e n e e n t o n c e s q u e
S i e n d o F ( x ) l a f u e r z a a p l i c a d a a l a p a r t í c u l a c u a n d o ´ e s t a s e
e n c u e n t r a e n e l p u n t o c u y a c o o r d e n a d a e s x .
S i l a u n i d a d d e f u e r z a e s e l k i l o g r a m o , y s i l a u n i d a d d e d i s t a n c i a
e s e l m e t r o , e n t o n c e s l a u n i d a d d e t r a b a j o e s e l k i l o g r á m e t r o .
T a m b i é n p u e d e n u t i l i z a r s e c o m o u n i d a d e s d e t r a b a j o l a l i b r a -
p i e y e l g r a m o - c e n t í m e t r o .
E l a l a r g a m i e n t o o l a c o m p r e s i ó n d e u n r e s o r t e h e l i c o i d a l , n o s
p r o p o r c i o n a u n e j e m p l o d e l t r a b a j o r e a l i z a d o p o r u n a f u e r z a
v a r i a b l e . L a l e y d e H o o k e a f i r m a q u e l a f u e r z a n e c e s a r i a p a r a
e s t i r a r u n r e s o r t e h e l i c o i d a l , e s p r o p o r c i o n a l a l a e l o n g a c i ó n d e l
r e s o r t e . A s í , l a f u e r z a n e c e s a r i a p a r a p r o d u c i r u n a e l o n g a c i ó n
d e x u n i d a d e s , e s t á d a d a p o r l a e x p r e s i ó n F = k x , d o n d e k e s l a
c o n s t a n t e d e p r o p o r c i o n a l i d a d , q u e d e p e n d e d e l m a t e r i a l , d e l
g r o s o r d e l a l a m b r e , d e l a t e m p e r a t u r a , e t c .
E j e m p l o
U n r e s o r t e t i e n e u n a l o n g i t u d n a t u r a l d e 8 p u l g a d a s . S i u n a
f u e r z a d e 2 0 l i b r a s e s t i r a e l r e s o r t e 1 / 2 p u l g a d a , d e t e r m i n a r e l
30. t r a b a j o r e a l i z a d o a l e s t i r a r e l r e s o r t e d e 8 p u l g a d a s a 1 1
p u l g a d a s .
S o l u c i ó n
C o n s i d e r e m o s e l r e s o r t e u b i c a d o a l o l a r g o d e l e j e x , c o n s u
e x t r e m o f i j o e n e l o r i g e n :
P o r l a l e y d e H o o k e s e s a b e q u e F = k x .
C o m o x = 0 , 5 p u l g a d a s c u a n d o F = 2 0 l i b r a s , e n t o n c e s 2 0 =
k ( 0 , 5 ) d e d o n d e k = 4 0 .
L u e g o , F = 4 0 x . S e d e s e a c a l c u l a r e l t r a b a j o r e a l i z a d o p o r e s t a
f u e r z a s i a u m e n t a l a e x t e n s i ó n d e 8 a 1 1 p u l g a d a s .
L u e g o :
= 1 8 0 p u l g a d a s - l i b r a s
E j e m p l o
U n a f u e r z a d e 2 5 k g a l a r g a u n r e s o r t e 3 c m . D e t e r m i n e e l
t r a b a j o r e q u e r i d o p a r a a l a r g a r e l r e s o r t e 2 c m m á s .
31. S o l u c i ó n
C o m o F = k x y x = 0 , 0 3 m , c u a n d o F = 2 5 k g , e n t o n c e s k =
2 5 0 0 / 3 .
E l t r a b a j o r e q u e r i d o p a r a a l a r g a r e l r e s o r t e 2 c m m á s ( e s d e c i r ,
h a s t a 5 c m ) , e s t á d a d o p o r :
k g