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paso 3- profundizar y contextualizar el conocimiento de
la unidad 2
p o r
I s a u r a P a o l a S a l a z a r Va r g a s
c u r s o - 5 5 11 0 8 _ 1 6
p r e s e n t a d o a
J a i m e J u l i o B u e l v a s
U n i v e r s i d a d N a c i o n a l A b i e r t a y a D i s t a n c i a U N A D
C E A D : I b a g u é ( To l i m a )
e s c u e l a d e c i e n c i a s d e l a e d u c a c i ó n ( E C E D U )
2 0 2 0
T A R E A 1 : E J E R C I C I O a
d e s a r r o l l a r l o s s i g u i e n t e s e j e r c i c i o s a p l i c a n d o l a l e y d e l s e n o
y c o s e n o , l o s t r i á n g u l o s s e d e b e n g r a f i c a r ú n i c a m e n t e c o n e l
u s o d e l p r o g r a m a g e o g e b r a , e n s u v e r s i ó n o n l i n e o d e s c a r g a r
e l p r o g r a m a .
a ) . a = 1 7 m b = 4 2 m c = 3 1 m s o l u c i ó n a = 2 0 , 7 ° b = 1 1 9 , 2 o c
= 4 0 , 1 °
E m p e z a r e m o s p o r h a l l a r e l á n g u l o m a s g r a n d e e n e s t e c a s o e l á n g u l o
B a p l i c a n d o t e o r e m a d e l c o s e n o , d o n d e t e n e m o s :
𝑏 2
= 𝑎 2
+ 𝑐 2
− 2 𝑎 𝑐 ( 𝐶 𝑜 𝑠 𝐵 )
d e s p e j a m o s p a r a d e j a r s o l o B
𝑏 2
− 𝑎 2
− 𝑐 2
= − 2 𝑎 𝑐 𝐶 𝑜 𝑠 𝐵
𝑏 2
− 𝑎 2
− 𝑐 2
− 2 𝑎 𝑐
= 𝐶 𝑜 𝑠 𝐵
A p l i c a m o s i n v e r s o d e c o s e n o e n a m b o s l a d o s d e l a i g u a l d a d d e t a l
f o r m a q u e e l c o s e n o q u e a c o m p a ñ a a b s e p u e d a c a n c e l a r .
𝑐 𝑜 𝑠 − 1
𝑏 2
− 𝑎 2
− 𝑐 2
− 2 𝑎 𝑐
= 𝐵
b= 42m
a=17m
c=31mB
A
C
r e m p l a z a m o s v a l o r e s .
𝑐 𝑜 𝑠 − 1
4 2 2
− 1 7 2
− 3 1 2
− 2 ( 1 7 ) ( 3 1 )
= 𝐵
r e s o l v e m o s l a s p o t e n c i a s
𝑐 𝑜 𝑠 − 1
1 7 6 4 − 2 8 9 − 9 6 1
− 1 0 5 4
= 𝐵
𝑐 𝑜 𝑠 − 1
5 1 4
− 1 0 5 4
= 𝐵
𝑐 𝑜 𝑠 − 1
− 0 , 4 8 7 6 = 𝐵
1 1 9 , 2 ° = 𝐵
a h o r a v a m o s a e n c o n t r a r e l á n g u l o A a p l i c a n d o t e o r e m a d e s e n o .
𝑆 𝑒 𝑛 𝐴
𝑎
=
𝑆 𝑒 𝑛 𝐵
𝑏
R e m p l a z a m o s l o s v a l o r e s :
𝑆 𝑒 𝑛 𝐴
1 7
=
𝑆 𝑒 𝑛 ( 1 1 9 )
4 2
D e s p e j a m o s :
𝑆 𝑒 𝑛 𝐴 = 1 7 .
𝑆 𝑒 𝑛 1 1 9
4 2
A p l i c a m o s l a i n v e r s a d e s e n o e n a m b o s l a d o s d e l a i g u a l d a d d e t a l
f o r m a q u e e l s e n o q u e a c o m p a ñ a a a s e p u e d a c a n c e l a r .
𝐴 = 𝑆 𝑒 𝑛 − 1
1 7 .
𝑆 𝑒 𝑛 1 1 9
4 2
𝐴 = 𝑆 𝑒 𝑛 − 1
1 7 .
0 , 8 7 4 6
4 2
𝐴 = 𝑆 𝑒 𝑛 − 1
1 4 , 8 6 8 2
4 2
𝐴 = 𝑆 𝑒 𝑛 − 1
0 , 3 5 4 0
𝐴 = 2 0 , 7 °
c o m o y a c o n o c e m o s e l v a l o r d e d o s d e l o s á n g u l o s y s a b e m o s p o r
t e o r e m a q u e l a s u m a i n t e r n a d e l o s á n g u l o s d e u n t r i á n g u l o e s
i g u a l a 1 8 0 ° r e a l i z a m o s u n a r e s t a p a r a e n c o n t r a r e l v a l o r d e l
á n g u l o C
𝐶 = 1 8 0 ° − 1 1 9 , 2 ° − 2 0 , 7 °
𝐶 = 4 0 , 1 °
G R A F I C A G E O G E B R A
T A R E A 2 : E J E R C I C I O b
C a l c u l a l a s r a z o n e s t r i g o n o m é t r i c a s s e n o , c o s e n o y t a n g e n t e d e
l o s á n g u l o s a g u d o s ( A y B ) d e c a d a t r i á n g u l o r e c t á n g u l o q u e
a p a r e c e n a b a j o .
V a m o s a c a l c u l a r p r i m e r o l a s r a z o n e s t r i g o n o m é t r i c a s p a r a e l
á n g u l o A . T e n e m o s q u e l a s r a z o n e s t r i g o n o m é t r i c a s s o n :
𝑆 𝑒 𝑛 𝛼 =
𝑐 . 𝑜
ℎ
𝐶 𝑜 𝑠 𝛼 =
𝑐 . 𝑎
ℎ
𝑇 𝑎 𝑛 𝛼 =
𝑐 . 𝑜
𝑐 . 𝑎
hipotenusa
C. Adyacente
C. Opuesto
r e m p l a z a m o s v a l o r e s
𝑆 𝑒 𝑛 𝛼 =
3
5
𝐶 𝑜 𝑠 𝛼 =
4
5
𝑇 𝑎 𝑛 𝛼 =
3
4
A h o r a v a m o s a c a l c u l a r l a s r a z o n e s t r i g o n o m é t r i c a s p a r a e l
á n g u l o , i g u a l m e n t e s e r e m p l a z a l o s v a l o r e s , t e n i e n d o e n c u e n t a
q u e l a p o s i c i ó n d e l o s c a t e t o s c a m b i a .
R e m p l a z a m o s v a l o r e s
𝑆 𝑒 𝑛 𝛼 =
4
5
𝐶 𝑜 𝑠 𝛼 =
3
5
𝑇 𝑎 𝑛 𝛼 =
4
3
hipotenusa
C.
Adyacente
C. Opuesto
T A R E A 3 : E J E R C I C I O a
r e a l i z a r l a s s i g u i e n t e s i d e n t i d a d e s t r i g o n o m é t r i c a .
c s c 𝑥
c o t 𝑥
=
1
c o s 𝑥
S a b e m o s p o r r a z o n e s t r i g o n o m é t r i c a s q u e :
C S C 𝑥 =
1
S E N 𝑥
𝑦 C O T 𝑥 =
1
T G 𝑥
=
C O S 𝑥
𝑠 𝑒 𝑛 𝑥
R e m p l a z a m o s l o s v a l o r e s :
c s c 𝑥
c o t 𝑥
=
1
𝑠 𝑒 𝑛 𝑥
c o s 𝑥
𝑠 𝑒 𝑛 𝑥
a p l i c a n d o l a l e y d e e x t r e m o s y m e d i o s t e n e m o s :
c s c 𝑥
c o t 𝑥
=
𝑠 𝑒 𝑛 𝑥
𝑠 𝑒 𝑛 𝑥 . c o s 𝑥
c s c 𝑥
c o t 𝑥
=
1
𝑐 𝑜 𝑠 𝑥
T A R E A 4 : E J E R C I C I O a
r e v i s a r y r e a l i z a r l a s s i g u i e n t e s e c u a c i o n e s t r i g o n o m é t r i c a s .
2 𝑐 𝑜 𝑠 2
𝑥 + 𝑠 𝑒 𝑛 𝑥 = 1
n o e s u n a i d e n t i d a d t r i g o n o m é t r i c a p o r l o t a n t o l o v a m o s a
c o m p r o b a r c o n u n e j e m p l o :
s i t e n e m o s q u e 𝑥 = 0 p o d e m o s r e m p l a z a r l o s v a l o r e s
2 𝑐 𝑜 𝑠 2
( 0 ) + 𝑠 𝑒 𝑛 ( 0 ) = 1
2 1 + 0 = 1
2 ≠ 1
p o r l o t a n t o e s u n a c o n t r a d i c c i ó n .
T A R E A 5 : E J E R C I C I O a
A p l i c a c i o n e s t r i g o n o m é t r i c a s .
a ) H a l l a l o s l a d o s d e u n p a r a l e l o g r a m o c u y a s d i a g o n a l e s m i d e n 1 0
c m y 1 8 c m r e s p e c t i v a m e n t e y f o r m a n u n á n g u l o d e 4 3 º .
To m a m o s e l l a d o 𝐴 𝐵 y a p l i c a m o s t e o r e m a d e c o s e n o .
𝐴 𝐵 2
= 𝑎 2
+ 𝑏 2
− 2 𝑎 . 𝑐 . 𝑐 𝑜 𝑠 ∝
R e m p l a z a m o s l o s v a l o r e s .
𝐴 𝐵 2
= 5 2
+ 9 2
− 2 ( 5 ) . ( 9 ) . C O S ( 4 3 )
R e s o l v e m o s a s o p e r a c i o n e s .
𝐴 𝐵 2
= 2 5 + 8 1 − 9 0 . C O S ( 4 3 )
𝛼 =43°
A
B C
D
M
𝛽
R e p a r t i m o s r a í z c u a d r a d o e n a m b o s l a d o s d e l a i g u a l d a d y
r e s o l v e m o s .
𝐴 𝐵 = 2 5 + 8 1 − 9 0 . C O S 4 3
𝐴 𝐵 = 1 0 6 − 6 5 , 8 6
𝐴 𝐵 = 4 0 , 1 8
𝐴 𝐵 = 6 , 3 𝑐 𝑚
P a r a p o d e r c a l c u l a r ∢ A M D t e n e m o s q u e r e a l i z a r u n r e s t a , y a q u e
d o s d e l o s á n g u l o s d e l p a r a l e l o g r a m o d e b e n s u m a r 1 8 0 ° y y a
c o n o c e m o s e l v a l o r d e u n o .
∢ 𝐴 𝑀 𝐷 = 1 8 0 ° − 4 3 °
∢ 𝐴 𝑀 𝐷 = 1 3 7 °
A p l i c a m o s n u e v a m e n t e e l t e o r e m a d e l c o s e n o p a r a c o n o c e r e l l a d o
𝐴 𝐷
𝐴 𝐷 2
= 𝑎 2
+ 𝑏 2
− 2 𝑎 . 𝑐 . c o s β
R e m p l a z a m o s l o s v a l o r e s .
𝐴 𝐷 2
= 5 2
+ 9 2
− 2 ( 5 ) . ( 9 ) . C O S ( 1 3 7 )
R e s o l v e m o s a s o p e r a c i o n e s .
𝐴 𝐷 2
= 2 5 + 8 1 − 9 0 . C O S ( 1 3 7 )
R e p a r t i m o s r a í z c u a d r a d o e n a m b o s l a d o s d e l a i g u a l d a d y
r e s o l v e m o s .
𝐴 𝐷 = 2 5 + 8 1 − 9 0 . C O S 1 3 7
𝐴 𝐷 = 1 0 6 − ( − 6 5 , 8 6 )
𝐴 𝐷 = 7 6 , 1 1
𝐴 𝐷 = 8 , 7 𝑐 𝑚

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  • 1. paso 3- profundizar y contextualizar el conocimiento de la unidad 2 p o r I s a u r a P a o l a S a l a z a r Va r g a s c u r s o - 5 5 11 0 8 _ 1 6 p r e s e n t a d o a J a i m e J u l i o B u e l v a s U n i v e r s i d a d N a c i o n a l A b i e r t a y a D i s t a n c i a U N A D C E A D : I b a g u é ( To l i m a ) e s c u e l a d e c i e n c i a s d e l a e d u c a c i ó n ( E C E D U ) 2 0 2 0
  • 2. T A R E A 1 : E J E R C I C I O a d e s a r r o l l a r l o s s i g u i e n t e s e j e r c i c i o s a p l i c a n d o l a l e y d e l s e n o y c o s e n o , l o s t r i á n g u l o s s e d e b e n g r a f i c a r ú n i c a m e n t e c o n e l u s o d e l p r o g r a m a g e o g e b r a , e n s u v e r s i ó n o n l i n e o d e s c a r g a r e l p r o g r a m a . a ) . a = 1 7 m b = 4 2 m c = 3 1 m s o l u c i ó n a = 2 0 , 7 ° b = 1 1 9 , 2 o c = 4 0 , 1 ° E m p e z a r e m o s p o r h a l l a r e l á n g u l o m a s g r a n d e e n e s t e c a s o e l á n g u l o B a p l i c a n d o t e o r e m a d e l c o s e n o , d o n d e t e n e m o s : 𝑏 2 = 𝑎 2 + 𝑐 2 − 2 𝑎 𝑐 ( 𝐶 𝑜 𝑠 𝐵 ) d e s p e j a m o s p a r a d e j a r s o l o B 𝑏 2 − 𝑎 2 − 𝑐 2 = − 2 𝑎 𝑐 𝐶 𝑜 𝑠 𝐵 𝑏 2 − 𝑎 2 − 𝑐 2 − 2 𝑎 𝑐 = 𝐶 𝑜 𝑠 𝐵 A p l i c a m o s i n v e r s o d e c o s e n o e n a m b o s l a d o s d e l a i g u a l d a d d e t a l f o r m a q u e e l c o s e n o q u e a c o m p a ñ a a b s e p u e d a c a n c e l a r . 𝑐 𝑜 𝑠 − 1 𝑏 2 − 𝑎 2 − 𝑐 2 − 2 𝑎 𝑐 = 𝐵 b= 42m a=17m c=31mB A C
  • 3. r e m p l a z a m o s v a l o r e s . 𝑐 𝑜 𝑠 − 1 4 2 2 − 1 7 2 − 3 1 2 − 2 ( 1 7 ) ( 3 1 ) = 𝐵 r e s o l v e m o s l a s p o t e n c i a s 𝑐 𝑜 𝑠 − 1 1 7 6 4 − 2 8 9 − 9 6 1 − 1 0 5 4 = 𝐵 𝑐 𝑜 𝑠 − 1 5 1 4 − 1 0 5 4 = 𝐵 𝑐 𝑜 𝑠 − 1 − 0 , 4 8 7 6 = 𝐵 1 1 9 , 2 ° = 𝐵 a h o r a v a m o s a e n c o n t r a r e l á n g u l o A a p l i c a n d o t e o r e m a d e s e n o . 𝑆 𝑒 𝑛 𝐴 𝑎 = 𝑆 𝑒 𝑛 𝐵 𝑏 R e m p l a z a m o s l o s v a l o r e s : 𝑆 𝑒 𝑛 𝐴 1 7 = 𝑆 𝑒 𝑛 ( 1 1 9 ) 4 2 D e s p e j a m o s : 𝑆 𝑒 𝑛 𝐴 = 1 7 . 𝑆 𝑒 𝑛 1 1 9 4 2
  • 4. A p l i c a m o s l a i n v e r s a d e s e n o e n a m b o s l a d o s d e l a i g u a l d a d d e t a l f o r m a q u e e l s e n o q u e a c o m p a ñ a a a s e p u e d a c a n c e l a r . 𝐴 = 𝑆 𝑒 𝑛 − 1 1 7 . 𝑆 𝑒 𝑛 1 1 9 4 2 𝐴 = 𝑆 𝑒 𝑛 − 1 1 7 . 0 , 8 7 4 6 4 2 𝐴 = 𝑆 𝑒 𝑛 − 1 1 4 , 8 6 8 2 4 2 𝐴 = 𝑆 𝑒 𝑛 − 1 0 , 3 5 4 0 𝐴 = 2 0 , 7 ° c o m o y a c o n o c e m o s e l v a l o r d e d o s d e l o s á n g u l o s y s a b e m o s p o r t e o r e m a q u e l a s u m a i n t e r n a d e l o s á n g u l o s d e u n t r i á n g u l o e s i g u a l a 1 8 0 ° r e a l i z a m o s u n a r e s t a p a r a e n c o n t r a r e l v a l o r d e l á n g u l o C 𝐶 = 1 8 0 ° − 1 1 9 , 2 ° − 2 0 , 7 ° 𝐶 = 4 0 , 1 °
  • 5. G R A F I C A G E O G E B R A
  • 6. T A R E A 2 : E J E R C I C I O b C a l c u l a l a s r a z o n e s t r i g o n o m é t r i c a s s e n o , c o s e n o y t a n g e n t e d e l o s á n g u l o s a g u d o s ( A y B ) d e c a d a t r i á n g u l o r e c t á n g u l o q u e a p a r e c e n a b a j o . V a m o s a c a l c u l a r p r i m e r o l a s r a z o n e s t r i g o n o m é t r i c a s p a r a e l á n g u l o A . T e n e m o s q u e l a s r a z o n e s t r i g o n o m é t r i c a s s o n : 𝑆 𝑒 𝑛 𝛼 = 𝑐 . 𝑜 ℎ 𝐶 𝑜 𝑠 𝛼 = 𝑐 . 𝑎 ℎ 𝑇 𝑎 𝑛 𝛼 = 𝑐 . 𝑜 𝑐 . 𝑎 hipotenusa C. Adyacente C. Opuesto
  • 7. r e m p l a z a m o s v a l o r e s 𝑆 𝑒 𝑛 𝛼 = 3 5 𝐶 𝑜 𝑠 𝛼 = 4 5 𝑇 𝑎 𝑛 𝛼 = 3 4 A h o r a v a m o s a c a l c u l a r l a s r a z o n e s t r i g o n o m é t r i c a s p a r a e l á n g u l o , i g u a l m e n t e s e r e m p l a z a l o s v a l o r e s , t e n i e n d o e n c u e n t a q u e l a p o s i c i ó n d e l o s c a t e t o s c a m b i a . R e m p l a z a m o s v a l o r e s 𝑆 𝑒 𝑛 𝛼 = 4 5 𝐶 𝑜 𝑠 𝛼 = 3 5 𝑇 𝑎 𝑛 𝛼 = 4 3 hipotenusa C. Adyacente C. Opuesto
  • 8. T A R E A 3 : E J E R C I C I O a r e a l i z a r l a s s i g u i e n t e s i d e n t i d a d e s t r i g o n o m é t r i c a . c s c 𝑥 c o t 𝑥 = 1 c o s 𝑥 S a b e m o s p o r r a z o n e s t r i g o n o m é t r i c a s q u e : C S C 𝑥 = 1 S E N 𝑥 𝑦 C O T 𝑥 = 1 T G 𝑥 = C O S 𝑥 𝑠 𝑒 𝑛 𝑥 R e m p l a z a m o s l o s v a l o r e s : c s c 𝑥 c o t 𝑥 = 1 𝑠 𝑒 𝑛 𝑥 c o s 𝑥 𝑠 𝑒 𝑛 𝑥 a p l i c a n d o l a l e y d e e x t r e m o s y m e d i o s t e n e m o s : c s c 𝑥 c o t 𝑥 = 𝑠 𝑒 𝑛 𝑥 𝑠 𝑒 𝑛 𝑥 . c o s 𝑥 c s c 𝑥 c o t 𝑥 = 1 𝑐 𝑜 𝑠 𝑥
  • 9. T A R E A 4 : E J E R C I C I O a r e v i s a r y r e a l i z a r l a s s i g u i e n t e s e c u a c i o n e s t r i g o n o m é t r i c a s . 2 𝑐 𝑜 𝑠 2 𝑥 + 𝑠 𝑒 𝑛 𝑥 = 1 n o e s u n a i d e n t i d a d t r i g o n o m é t r i c a p o r l o t a n t o l o v a m o s a c o m p r o b a r c o n u n e j e m p l o : s i t e n e m o s q u e 𝑥 = 0 p o d e m o s r e m p l a z a r l o s v a l o r e s 2 𝑐 𝑜 𝑠 2 ( 0 ) + 𝑠 𝑒 𝑛 ( 0 ) = 1 2 1 + 0 = 1 2 ≠ 1 p o r l o t a n t o e s u n a c o n t r a d i c c i ó n .
  • 10. T A R E A 5 : E J E R C I C I O a A p l i c a c i o n e s t r i g o n o m é t r i c a s . a ) H a l l a l o s l a d o s d e u n p a r a l e l o g r a m o c u y a s d i a g o n a l e s m i d e n 1 0 c m y 1 8 c m r e s p e c t i v a m e n t e y f o r m a n u n á n g u l o d e 4 3 º . To m a m o s e l l a d o 𝐴 𝐵 y a p l i c a m o s t e o r e m a d e c o s e n o . 𝐴 𝐵 2 = 𝑎 2 + 𝑏 2 − 2 𝑎 . 𝑐 . 𝑐 𝑜 𝑠 ∝ R e m p l a z a m o s l o s v a l o r e s . 𝐴 𝐵 2 = 5 2 + 9 2 − 2 ( 5 ) . ( 9 ) . C O S ( 4 3 ) R e s o l v e m o s a s o p e r a c i o n e s . 𝐴 𝐵 2 = 2 5 + 8 1 − 9 0 . C O S ( 4 3 ) 𝛼 =43° A B C D M 𝛽
  • 11. R e p a r t i m o s r a í z c u a d r a d o e n a m b o s l a d o s d e l a i g u a l d a d y r e s o l v e m o s . 𝐴 𝐵 = 2 5 + 8 1 − 9 0 . C O S 4 3 𝐴 𝐵 = 1 0 6 − 6 5 , 8 6 𝐴 𝐵 = 4 0 , 1 8 𝐴 𝐵 = 6 , 3 𝑐 𝑚 P a r a p o d e r c a l c u l a r ∢ A M D t e n e m o s q u e r e a l i z a r u n r e s t a , y a q u e d o s d e l o s á n g u l o s d e l p a r a l e l o g r a m o d e b e n s u m a r 1 8 0 ° y y a c o n o c e m o s e l v a l o r d e u n o . ∢ 𝐴 𝑀 𝐷 = 1 8 0 ° − 4 3 ° ∢ 𝐴 𝑀 𝐷 = 1 3 7 ° A p l i c a m o s n u e v a m e n t e e l t e o r e m a d e l c o s e n o p a r a c o n o c e r e l l a d o 𝐴 𝐷 𝐴 𝐷 2 = 𝑎 2 + 𝑏 2 − 2 𝑎 . 𝑐 . c o s β R e m p l a z a m o s l o s v a l o r e s . 𝐴 𝐷 2 = 5 2 + 9 2 − 2 ( 5 ) . ( 9 ) . C O S ( 1 3 7 )
  • 12. R e s o l v e m o s a s o p e r a c i o n e s . 𝐴 𝐷 2 = 2 5 + 8 1 − 9 0 . C O S ( 1 3 7 ) R e p a r t i m o s r a í z c u a d r a d o e n a m b o s l a d o s d e l a i g u a l d a d y r e s o l v e m o s . 𝐴 𝐷 = 2 5 + 8 1 − 9 0 . C O S 1 3 7 𝐴 𝐷 = 1 0 6 − ( − 6 5 , 8 6 ) 𝐴 𝐷 = 7 6 , 1 1 𝐴 𝐷 = 8 , 7 𝑐 𝑚