1) Os números complexos surgiram para resolver equações de terceiro grau, não de segundo grau como muitos pensam.
2) Raffaelle Bombelli foi o primeiro a usar sistematicamente números complexos na forma a + b√-1 para resolver equações cúbicas.
3) A representação geométrica dos números complexos no plano é atribuída a Caspar Wessel e Jean Argand, embora Wessel tenha feito isso primeiro.
O documento descreve a história dos números complexos, desde as suas origens na resolução de equações de segundo grau até ao seu desenvolvimento por matemáticos como Euler, Argand e Gauss. Explica como figuras como Scipione dal Ferro, Tartaglia, Cardano e Bombelli trabalharam no conceito de raízes complexas de equações cúbicas. Também destaca as contribuições de Descartes, Euler, Wessel, Argand e Gauss para estabelecer a notação e interpretação geométrica dos números complexos.
Girolamo Cardano foi um matemático do século XVI que publicou importantes trabalhos sobre álgebra, incluindo a solução geral da equação cúbica. Nicolo Fontana, conhecido como Tartaglia, foi um matemático italiano que descobriu independentemente a solução da equação cúbica e entrou em disputa com Cardano sobre publicação de seus resultados. O documento descreve a rivalidade entre Cardano e Tartaglia e como Cardano publicou a fórmula de Tartaglia sem seu consentimento.
O documento apresenta conceitos sobre números racionais como frações equivalentes, redução de frações para decimais finitas e infinitas periódicas, e simplificação de frações. Exemplos resolvidos ilustram como reduzir frações para decimais, ordená-las, encontrar frações equivalentes, tornar frações irredutíveis e representar frações como numerais mistos.
O documento descreve o número PI como uma constante matemática obtida da razão entre o comprimento e o diâmetro de uma circunferência. Ele é um número irracional que não pode ser representado por uma fração. O texto também detalha a história das estimativas e aproximações de PI por matemáticos gregos e romanos ao longo dos séculos.
O documento apresenta exemplos e explicações sobre equações de 1o grau, incluindo como traduzir problemas verbais em equações matemáticas, identificar incógnitas e termos, e resolver equações para encontrar suas soluções.
O documento discute como a matemática está presente no nosso dia-a-dia através de padrões e sequências numéricas. Apresenta exemplos de padrões matemáticos encontrados na natureza, arte e música. Explora o conceito de sequência numérica através de exemplos como a numeração de casas e a contagem de objetos, definindo termos como termo geral e ordem de um termo.
O documento discute o conceito de função em matemática, sua história e importância. Explica que funções relacionam variáveis dependentes e independentes e podem ser representadas de diferentes formas, incluindo diagramas, tabelas, gráficos e expressões algébricas. Funções desempenham um papel fundamental em diversas áreas como economia e física.
O documento descreve a história dos números complexos, desde as suas origens na resolução de equações de segundo grau até ao seu desenvolvimento por matemáticos como Euler, Argand e Gauss. Explica como figuras como Scipione dal Ferro, Tartaglia, Cardano e Bombelli trabalharam no conceito de raízes complexas de equações cúbicas. Também destaca as contribuições de Descartes, Euler, Wessel, Argand e Gauss para estabelecer a notação e interpretação geométrica dos números complexos.
Girolamo Cardano foi um matemático do século XVI que publicou importantes trabalhos sobre álgebra, incluindo a solução geral da equação cúbica. Nicolo Fontana, conhecido como Tartaglia, foi um matemático italiano que descobriu independentemente a solução da equação cúbica e entrou em disputa com Cardano sobre publicação de seus resultados. O documento descreve a rivalidade entre Cardano e Tartaglia e como Cardano publicou a fórmula de Tartaglia sem seu consentimento.
O documento apresenta conceitos sobre números racionais como frações equivalentes, redução de frações para decimais finitas e infinitas periódicas, e simplificação de frações. Exemplos resolvidos ilustram como reduzir frações para decimais, ordená-las, encontrar frações equivalentes, tornar frações irredutíveis e representar frações como numerais mistos.
O documento descreve o número PI como uma constante matemática obtida da razão entre o comprimento e o diâmetro de uma circunferência. Ele é um número irracional que não pode ser representado por uma fração. O texto também detalha a história das estimativas e aproximações de PI por matemáticos gregos e romanos ao longo dos séculos.
O documento apresenta exemplos e explicações sobre equações de 1o grau, incluindo como traduzir problemas verbais em equações matemáticas, identificar incógnitas e termos, e resolver equações para encontrar suas soluções.
O documento discute como a matemática está presente no nosso dia-a-dia através de padrões e sequências numéricas. Apresenta exemplos de padrões matemáticos encontrados na natureza, arte e música. Explora o conceito de sequência numérica através de exemplos como a numeração de casas e a contagem de objetos, definindo termos como termo geral e ordem de um termo.
O documento discute o conceito de função em matemática, sua história e importância. Explica que funções relacionam variáveis dependentes e independentes e podem ser representadas de diferentes formas, incluindo diagramas, tabelas, gráficos e expressões algébricas. Funções desempenham um papel fundamental em diversas áreas como economia e física.
O documento apresenta os números racionais, incluindo frações e números decimais. Explica como representar números como frações com um numerador e denominador, e como converter entre representações fracionárias e decimais. Também cobre operações básicas como adição, subtração, multiplicação e divisão com números racionais.
O documento apresenta os principais conceitos sobre conjuntos, operações com conjuntos, relações e funções. Aborda conjuntos numéricos como os naturais, inteiros, racionais e reais. Explica operações entre conjuntos como intersecção, união, diferença e complementar. Também define relações e funções entre conjuntos e apresenta exemplos de representação gráfica.
Pi é um número irracional que representa a razão entre a circunferência e o diâmetro de um círculo. Suas primeiras estimativas foram feitas por civilizações antigas como os babilônios e egípcios, mas Arquimedes foi o primeiro a calcular aproximações precisas de pi usando polígonos inscritos e circunscritos em círculos. Ao longo dos séculos, matemáticos de diversas culturas melhoraram as aproximações de pi, e atualmente bilhões de dígitos foram calculados us
Este documento descreve o desenvolvimento económico, social e político na Europa entre os séculos XII e XIV. Apresenta como fatores chave o fim das invasões, o crescimento populacional, e os progressos técnicos na agricultura e transporte marítimo, que levaram a um período de paz e prosperidade. Também aborda o desenvolvimento do comércio e das cidades, as relações de poder entre a nobreza, o clero e o rei, e aspetos da cultura medieval como as ordens mendicantes e as primeiras
O documento discute o número pi, incluindo sua definição como a razão entre a circunferência e o diâmetro de um círculo, sua representação como uma dízima infinita não periódica, e vários recordes de pessoas que memorizaram centenas de dígitos de pi.
O documento apresenta vários exercícios matemáticos relacionados com operações como adição, subtração, multiplicação e divisão. Os exercícios envolvem cálculos com números inteiros e racionais, propriedades das operações e resolução de problemas do mundo real.
O documento descreve a história do cálculo do número π ao longo dos séculos. Começando pelos egípcios que chegaram a um valor aproximado de 3,16 há 3500 anos, passando pelos gregos como Arquimedes que estabeleceram os primeiros limites precisos, até matemáticos modernos que calcularam bilhões de dígitos de π usando computadores. O documento também explica porque π é uma constante matemática importante e como ela é usada em diversas fórmulas.
O documento apresenta um teste de avaliação sumativa de Matemática do 6o ano com questões sobre geometria plana e espacial, áreas e perímetros, proporcionalidade, estatística, volumes, números inteiros e decimais e fracções.
Comparação e ordenação de números racionaisDavid_Costa_30
Este documento apresenta exemplos de comparação e ordenação de números racionais. Inclui exercícios de completar relações com símbolos de comparação, representar números racionais em uma reta numérica e identificar qual de dois alunos demorou mais tempo em uma tarefa baseada em frações.
O documento classifica diferentes tipos de equações como possíveis/determinadas, possíveis/indeterminadas e impossíveis. Equações possíveis/determinadas têm um número finito de soluções. Equações possíveis/indeterminadas têm um número infinito de soluções. Equações impossíveis não têm solução.
O documento discute a história e propriedades do número pi. Resume que pi é uma constante universal que representa a relação entre o perímetro e diâmetro de um círculo, e que ao longo da história matemáticos tentaram calcular cada vez mais casas decimais de pi, culminando no recorde de 8388608 dígitos calculados no Japão em 1982.
1) O documento explica o conceito de igualdade e equação matemática, definindo os termos e símbolos envolvidos como =, ≠, ≥, ≤, >, <.
2) Uma igualdade é uma sentença matemática que usa o símbolo = e representa que dois lados são iguais. Uma equação é uma igualdade que contém uma ou mais letras representando valores desconhecidos.
3) O uso de letras para representar números desconhecidos trouxe progressos à matemática, facilitando a resolução de problemas.
Las retas paralelas cortadas por una transversal son líneas que nunca se cruzan y mantienen la misma distancia entre ellas. Cuando una línea llamada transversal corta a dos retas paralelas, forma ángulos correspondientes que son iguales, y los ángulos alternos internos son iguales. Los ángulos correspondientes y los ángulos alternos internos son propiedades importantes de las retas paralelas cortadas por una transversal.
O documento apresenta os conceitos fundamentais de trigonometria, incluindo ângulos, arcos, ciclo trigonométrico, funções seno e cosseno, quadrantes e suas propriedades, e exercícios de cálculo de valores trigonométricos e análise de períodos de funções.
O documento descreve o plano cartesiano, incluindo seus eixos x e y, a origem onde se cruzam, e como localizar pontos usando pares ordenados (x, y). Exemplos mostram como identificar as coordenadas de pontos e em que quadrantes eles se encontram.
O documento apresenta 6 questões sobre representações gráficas de funções polinomiais e afins do 1o grau. As questões 1, 2, 3 e 6 envolvem funções polinomiais do 1o grau, enquanto as questões 4 e 5 tratam de funções afins. As representações gráficas solicitadas são linhas retas na forma y=ax+b.
Este documento fornece instruções sobre quantificadores numerais, universais e existenciais para uma ficha de trabalho de português para alunos do 6o ano. Inclui exemplos de cada tipo de quantificador e exercícios para completar frases e identificar quantificadores.
O documento discute dízimas periódicas, que são números com uma sequência numérica repetida após a vírgula. Ele explica que dízimas periódicas podem ser simples, com um único número repetido, ou compostas, com um "anteperíodo" seguido de um período repetido. Também mostra como transformar dízimas periódicas em frações geratrizes, identificando o período ou anteperíodo e período.
(1) O documento contém uma lista de exercícios de álgebra com nove questões sobre expressões algébricas, polinômios, redução de termos semelhantes e operações algébricas como soma, subtração e multiplicação. (2) As questões incluem classificar polinômios, efetuar operações com expressões algébricas, reduzir termos semelhantes e completar lacunas. (3) A lista de exercícios é para revisão de uma prova parcial do 8o ano A e B.
1) O documento apresenta os conceitos de números primos e compostos, e explica como decompor um número em fatores primos através de três métodos diferentes.
2) Como exemplo, o número 90 é decomposto em fatores primos de três formas diferentes: 90 = 3 x 3 x 2 x 5 = 32 x 2 x 5.
3) A tarefa pede para decompor o número 128 em fatores primos e calcular o MDC e MMC entre 18 e 32 após decompor os números em fatores primos.
Os números complexos surgiram inicialmente para resolver equações de 3o grau, não de 2o grau como muitos pensam. Ao longo dos séculos, vários matemáticos como Cardano e Bombelli lidaram com raízes negativas em suas soluções, ajudando a desenvolver a compreensão dos números complexos, embora ainda fossem vistos com suspeita na época. Foi apenas no século XVIII que Wessel e Argand desenvolveram uma representação geométrica dos números complexos no plano que ajudou a legitimá-los como objetos mate
Este documento apresenta uma linha do tempo da matemática, desde 1800 a.C. até 1993, destacando os principais desenvolvimentos ao longo da história, como a criação do sistema numérico pelos sumérios, o trabalho de Euclides sobre geometria, a introdução do zero pelos indianos e sua adoção pelos árabes, o desenvolvimento do cálculo diferencial e integral por Newton, a criação da geometria não euclidiana e a prova final do último teorema de Fermat por Wiles.
O documento apresenta os números racionais, incluindo frações e números decimais. Explica como representar números como frações com um numerador e denominador, e como converter entre representações fracionárias e decimais. Também cobre operações básicas como adição, subtração, multiplicação e divisão com números racionais.
O documento apresenta os principais conceitos sobre conjuntos, operações com conjuntos, relações e funções. Aborda conjuntos numéricos como os naturais, inteiros, racionais e reais. Explica operações entre conjuntos como intersecção, união, diferença e complementar. Também define relações e funções entre conjuntos e apresenta exemplos de representação gráfica.
Pi é um número irracional que representa a razão entre a circunferência e o diâmetro de um círculo. Suas primeiras estimativas foram feitas por civilizações antigas como os babilônios e egípcios, mas Arquimedes foi o primeiro a calcular aproximações precisas de pi usando polígonos inscritos e circunscritos em círculos. Ao longo dos séculos, matemáticos de diversas culturas melhoraram as aproximações de pi, e atualmente bilhões de dígitos foram calculados us
Este documento descreve o desenvolvimento económico, social e político na Europa entre os séculos XII e XIV. Apresenta como fatores chave o fim das invasões, o crescimento populacional, e os progressos técnicos na agricultura e transporte marítimo, que levaram a um período de paz e prosperidade. Também aborda o desenvolvimento do comércio e das cidades, as relações de poder entre a nobreza, o clero e o rei, e aspetos da cultura medieval como as ordens mendicantes e as primeiras
O documento discute o número pi, incluindo sua definição como a razão entre a circunferência e o diâmetro de um círculo, sua representação como uma dízima infinita não periódica, e vários recordes de pessoas que memorizaram centenas de dígitos de pi.
O documento apresenta vários exercícios matemáticos relacionados com operações como adição, subtração, multiplicação e divisão. Os exercícios envolvem cálculos com números inteiros e racionais, propriedades das operações e resolução de problemas do mundo real.
O documento descreve a história do cálculo do número π ao longo dos séculos. Começando pelos egípcios que chegaram a um valor aproximado de 3,16 há 3500 anos, passando pelos gregos como Arquimedes que estabeleceram os primeiros limites precisos, até matemáticos modernos que calcularam bilhões de dígitos de π usando computadores. O documento também explica porque π é uma constante matemática importante e como ela é usada em diversas fórmulas.
O documento apresenta um teste de avaliação sumativa de Matemática do 6o ano com questões sobre geometria plana e espacial, áreas e perímetros, proporcionalidade, estatística, volumes, números inteiros e decimais e fracções.
Comparação e ordenação de números racionaisDavid_Costa_30
Este documento apresenta exemplos de comparação e ordenação de números racionais. Inclui exercícios de completar relações com símbolos de comparação, representar números racionais em uma reta numérica e identificar qual de dois alunos demorou mais tempo em uma tarefa baseada em frações.
O documento classifica diferentes tipos de equações como possíveis/determinadas, possíveis/indeterminadas e impossíveis. Equações possíveis/determinadas têm um número finito de soluções. Equações possíveis/indeterminadas têm um número infinito de soluções. Equações impossíveis não têm solução.
O documento discute a história e propriedades do número pi. Resume que pi é uma constante universal que representa a relação entre o perímetro e diâmetro de um círculo, e que ao longo da história matemáticos tentaram calcular cada vez mais casas decimais de pi, culminando no recorde de 8388608 dígitos calculados no Japão em 1982.
1) O documento explica o conceito de igualdade e equação matemática, definindo os termos e símbolos envolvidos como =, ≠, ≥, ≤, >, <.
2) Uma igualdade é uma sentença matemática que usa o símbolo = e representa que dois lados são iguais. Uma equação é uma igualdade que contém uma ou mais letras representando valores desconhecidos.
3) O uso de letras para representar números desconhecidos trouxe progressos à matemática, facilitando a resolução de problemas.
Las retas paralelas cortadas por una transversal son líneas que nunca se cruzan y mantienen la misma distancia entre ellas. Cuando una línea llamada transversal corta a dos retas paralelas, forma ángulos correspondientes que son iguales, y los ángulos alternos internos son iguales. Los ángulos correspondientes y los ángulos alternos internos son propiedades importantes de las retas paralelas cortadas por una transversal.
O documento apresenta os conceitos fundamentais de trigonometria, incluindo ângulos, arcos, ciclo trigonométrico, funções seno e cosseno, quadrantes e suas propriedades, e exercícios de cálculo de valores trigonométricos e análise de períodos de funções.
O documento descreve o plano cartesiano, incluindo seus eixos x e y, a origem onde se cruzam, e como localizar pontos usando pares ordenados (x, y). Exemplos mostram como identificar as coordenadas de pontos e em que quadrantes eles se encontram.
O documento apresenta 6 questões sobre representações gráficas de funções polinomiais e afins do 1o grau. As questões 1, 2, 3 e 6 envolvem funções polinomiais do 1o grau, enquanto as questões 4 e 5 tratam de funções afins. As representações gráficas solicitadas são linhas retas na forma y=ax+b.
Este documento fornece instruções sobre quantificadores numerais, universais e existenciais para uma ficha de trabalho de português para alunos do 6o ano. Inclui exemplos de cada tipo de quantificador e exercícios para completar frases e identificar quantificadores.
O documento discute dízimas periódicas, que são números com uma sequência numérica repetida após a vírgula. Ele explica que dízimas periódicas podem ser simples, com um único número repetido, ou compostas, com um "anteperíodo" seguido de um período repetido. Também mostra como transformar dízimas periódicas em frações geratrizes, identificando o período ou anteperíodo e período.
(1) O documento contém uma lista de exercícios de álgebra com nove questões sobre expressões algébricas, polinômios, redução de termos semelhantes e operações algébricas como soma, subtração e multiplicação. (2) As questões incluem classificar polinômios, efetuar operações com expressões algébricas, reduzir termos semelhantes e completar lacunas. (3) A lista de exercícios é para revisão de uma prova parcial do 8o ano A e B.
1) O documento apresenta os conceitos de números primos e compostos, e explica como decompor um número em fatores primos através de três métodos diferentes.
2) Como exemplo, o número 90 é decomposto em fatores primos de três formas diferentes: 90 = 3 x 3 x 2 x 5 = 32 x 2 x 5.
3) A tarefa pede para decompor o número 128 em fatores primos e calcular o MDC e MMC entre 18 e 32 após decompor os números em fatores primos.
Os números complexos surgiram inicialmente para resolver equações de 3o grau, não de 2o grau como muitos pensam. Ao longo dos séculos, vários matemáticos como Cardano e Bombelli lidaram com raízes negativas em suas soluções, ajudando a desenvolver a compreensão dos números complexos, embora ainda fossem vistos com suspeita na época. Foi apenas no século XVIII que Wessel e Argand desenvolveram uma representação geométrica dos números complexos no plano que ajudou a legitimá-los como objetos mate
Este documento apresenta uma linha do tempo da matemática, desde 1800 a.C. até 1993, destacando os principais desenvolvimentos ao longo da história, como a criação do sistema numérico pelos sumérios, o trabalho de Euclides sobre geometria, a introdução do zero pelos indianos e sua adoção pelos árabes, o desenvolvimento do cálculo diferencial e integral por Newton, a criação da geometria não euclidiana e a prova final do último teorema de Fermat por Wiles.
O documento descreve a história da álgebra, focando no desenvolvimento da teoria de Galois para resolver equações algébricas. Aborda matemáticos como Cardano, Bombelli, Viète que trabalharam no problema da cúbica. Também discute Ruffini, Abel e seu trabalho para provar que a quíntica não pode ser resolvida por radicais. Finalmente, detalha as contribuições fundamentais de Galois, incluindo sua teoria de grupos, e como sua obra levou ao desenvolvimento moderno da teoria de grupos.
O documento resume os principais desenvolvimentos históricos da resolução de equações algébricas, desde os egípcios até os árabes. Apresenta problemas resolvidos pelos egípcios, babilônios, chineses e hindus, geralmente usando métodos geométricos ou de falsa posição. Destaca contribuições de Al-Khwarizmi ao estabelecer os seis tipos básicos de equações de 1o e 2o grau.
1) O documento traça uma síntese cronológica do desenvolvimento da matemática ocidental desde o osso de Ishango datado de 18000-20000 a.C. até os problemas do milênio propostos em 2000.
2) Destaca marcos como o surgimento da numeração suméria em 1800 a.C., a definição de números irracionais por Eudoxo em 520 a.C., a sistematização da geometria por Euclides em 300 a.C. e o desenvolvimento da álgebra, trigonometria e cálculo nos séculos poster
1) O documento discute os números complexos, que foram criados para permitir a resolução de equações algébricas que levam a raízes quadradas de números negativos.
2) Os números complexos são representados pelo número i, onde i ao quadrado é igual a -1, permitindo extrair a raiz quadrada de números negativos.
3) Ao resolver equações, é importante considerar o conjunto de números apropriado para encontrar as soluções.
051 apostila de_geometria_analitica_filipeKaua Richard
O documento apresenta um resumo sobre a história da geometria analítica, destacando as contribuições de Fermat e Descartes. Fermat foi o primeiro a associar equações a curvas geométricas, enquanto Descartes desenvolveu uma notação algébrica mais eficiente. Embora tenham chegado às mesmas ideias de forma independente, Descartes ficou mais conhecido como criador da geometria analítica.
O documento apresenta um resumo sobre a história da geometria analítica, destacando as contribuições de Fermat e Descartes. Fermat foi o primeiro a associar equações a curvas geométricas, enquanto Descartes desenvolveu uma notação algébrica mais eficiente. Embora tenham chegado às mesmas ideias de forma independente, Descartes ficou mais conhecido como criador da geometria analítica.
O documento descreve a história do surgimento dos números complexos, desde as dificuldades em resolver equações cúbicas com a fórmula de Cardano até a aceitação dos números imaginários por Rafael Bombelli, que conseguiu operar com a raiz quadrada de números negativos como √-1.
Leonhard Euler foi um matemático e físico suíço que viveu entre 1707-1783. Ele fez importantes contribuições para áreas como cálculo, análise matemática e mecânica. A fórmula de Euler mostra a relação entre funções exponenciais e trigonométricas, sendo uma de suas descobertas mais importantes.
Este documento lista e descreve oito importantes problemas matemáticos em aberto, incluindo a Conjectura de Goldbach, a Hipótese de Riemann e as Equações de Navier-Stokes. Fornece breves explicações sobre cada um destes problemas, destacando sua importância e o fato de que permanecem sem solução.
O documento discute equações de primeiro grau com uma variável, incluindo exemplos históricos sobre o desenvolvimento da álgebra e como resolver equações de primeiro grau através de processos como adição, subtração, multiplicação e divisão dos membros da equação.
1) O documento discute a história da equação do 2o grau, desde os babilônios e hindus até a fórmula de Bhaskara.
2) A fórmula de Bhaskara é apresentada como uma maneira de reduzir equações do 2o grau a equações do 1o grau.
3) Métodos para resolver diferentes tipos de equações do 2o grau são explicados, incluindo equações completas e incompletas.
1) O documento discute as origens de alguns símbolos matemáticos como +, -, x, entre outros.
2) Apresenta um desafio com adições de números naturais ímpares e pede para calcular algumas somas.
3) Propõe um enigma com uma foto e frases para os leitores descobrirem.
1. Números Complexos, uma abordagem histórica
A questão central desta página é "Como surgiram os Números Complexos?".
A maioria das pessoas, quando confrontadas com esta questão responde que surgiram para resolver
as equações de 2º grau da forma x2 + a = 0, a > 0. No entanto, esta ideia está errada!
A abordagem aprofundada aos números complexos, apesar de ter sido feita a partir do séc. XVIII,
foi mencionada levemente por outros matemáticos anteriores à data. No entanto, dada a
incompreensão e o desconhecimento destes números, tais matemáticos abandonaram o seu estudo.
O primeiro matemático de que se tem conhecimento de se ter deparado com um problema que
envolvia números complexos foi Héron de Alexandria (séc. I dC) no livro Stereometrica. Este
pretendia resolver
Ö(81-144) = Ö(-63)
mas como não havia o domínio actual sobre estes números, abandonou o seu cálculo.
Por volta do ano 275 dC, Diophanto (200-284 aprox.) ao resolver um problema deparou-se com a
equação
24x2 - 172x + 336 = 0
Como concluiu que não tinha soluções reais, não viu necessidade de dar sentido à raiz Ö-167.
Na Índia, por volta do ano 850, Mahavira (800-870 aprox.) escrevia: "(...) como na natureza das
coisas um negativo não é um quadrado, ele não tem, portanto, raia quadrada." (citado em
www.educ.fc.ul.pt/icm/icm2000/icm26). Ou seja, negou à partida, a existência de números
negativos cuja raiz quadrada devolve um outro número.
Bhaskara (1114-1185 aprox.), um dos indianos que mais perto chegou das ideias da álgebra
moderna (conhecia a regra "menos por menos dá mais", trabalhava com coeficientes negativos, etc.)
reconhecia que a equação x2 - 45x = 250 era satisfeita por dois valores x = 5 e x = -5 mas, dizia que
não considerava a segunda pois as pessoas não "apreciavam" raízes negativas.
Gerônimo Cardano (1501-1576) considerava que o aparecimento de raízes quadradas de números
negativos na resolução de um problema indicava que o mesmo não tinha solução. No entanto, foi
Cardano que, em 1545, mencionou pela primeira vez os números complexos. Na sua obra Ars
Magna de Cardano, falava do seguinte problema: "Determinar dois números cuja soma seja 10 e o
produto seja 40". Para tal, considerou as expressões 5 + Ö15 e 5 - Ö-15. Cardano ficou por aqui, não
2. dando significado a estas expressões, pondo de lado a "tortura mental" envolvida mas, teve o mérito
de ter sido o primeiro a considerá-las, até porque neste tempo os números negativos eram evitados.
Cardano (1501-1576)
A partir disto é possível derrubar a ideia errada de que os números complexos surgiram com as
equações do segundo grau. Os números complexos apareceram sim, a partir das equações de
terceiro grau.
Mas, foram preciso cerca de 25 anos para este tema ser de novo considerado, por Raffaelle
Bombelli (1526-1572) numa obra de nome Algebra.
Ao resolver a equação x3 = 15x + 4, Bombelli utilizou a "fórmula de Cardano" obtendo a seguinte
solução (em notação moderna):
x = 3Ö(2 + Ö-121) + 3Ö(2 - Ö-121)
Ele achou estranho este resultado porque conhecia todas as raízes da equação, entre as quais x =
4. Teve então a estranha ideia de procurar a e b positivos tais que:
a + bÖ-1 = 3Ö(2 + Ö-121)
a - bÖ-1 = 3Ö(2 - Ö-121)
Com alguma manipulação algébrica, usando as mesmas regras que usava para os números reais,
mais a propriedade (Ö-1)2 = -1, chegou ao resultado a = 2 e b = 1, donde sai x = 4.
O próprio Bombelli não estava bem seguro do que havia criado. Para os demais matemáticos da
época, os números complexos eram vistos com suspeita e quanto muito tolerados, na falta de
melhor coisa.
É de referir que alguns matemáticos da época procuraram maneiras de evitar o uso de tais números.
Entre eles, Cardano foi o que mais tentou evitar as "torturas mentais" envolvidas no uso de raízes
quadradas de negativos. No seu livro De Regula Aliza, de 1570, procurou artifícios que
contornassem o uso de tais raízes na resolução de equações de 3º grau obtendo, somente, resultados
vagos.
Raffaelle Bombelli apresentou na sua obra Algebra as leis algébricas que regiam os cálculos entre
números da forma a + bÖ -1.
Em particular, mostrou que as 4 operações aritméticas sobre números complexos produzem
números desta forma. Ou seja, o conjunto dos complexos é fechado para estas operações.
Em 1629, Albert Girard (1595-1632) utiliza, efectivamente, o símbolo Ö-1 quando enuncia as
relações entre raízes e coeficientes de uma equação.
3. Um grande passo no estudo dos números complexos foi a sua representação visual. Em 1797, o
dinamarquês Caspar Wessel (1745-1818) representou, pela primeira vez, geometricamente os
números complexos, estabelecendo uma correspondência bijectiva entre estes e os pontos do plano.
Este trabalho foi levado ao esquecimento, talvez por ter sido publicado em dinamarquês e só por
volta de 1806, quando publicado em francês por Jean Argand (1768-1822) ganhou o devido
respeito. Por este motivo, esta representação ficou, indevidamente, ligada ao nome de Argand.
O símbolo i, para a representação de Ö-1, foi criado por Leonard Euler mas, só após o seu uso por
Gauss (1777-1855) em 1801, é que foi aceite. A expressão número complexo foi introduzida em
1832, por Gauss.
Gauss (1777-1855)
É pois possível dizer que, apesar da sua história ser recente, os números complexos envolveram o
trabalho de vários matemáticos continuando, ainda hoje, muitas questões em aberto.