1) O documento discute conceitos básicos de probabilidade, incluindo definição clássica de probabilidade, probabilidade condicional e independência de eventos. 2) É apresentado um exemplo sobre a probabilidade de sortear meninos ou meninas em uma sala de aula com estudantes de ambos os sexos. 3) O teorema de Bayes é explicado e é dado um exemplo sobre a probabilidade de retirar uma bola branca de diferentes tipos de urnas.

1. Universidade Estadual da Paraíba
Professora: Nyedja Fialho M. Barbosa
Assunto: Probabilidade
Introdução:
Diante de um experimento aleatório, tentamos adivinhar o resultado levando em conta o conhecimento
que temos a respeito de experimentos similares realizados anteriormente ou mesmo informações adicionais
sobre o experimento. Por exemplo, em geral tentamos prever o resultado de um jogo de futebol com base no
rendimento que cada time vem tendo. O que queremos aqui é encontrar um modelo matemático que possa
representar o experimento. O primeiro passo nesta direção é definir o conjunto dos possíveis resultados do
experimento, oespaço amostral. Agora atribuímos um “peso” a cada evento, de acordo com suas chances de
ocorrer, o que chamaremos probabilidade.
Por exemplo, quando lançamos um dado, esperamos que qualquer face tenha a mesma chance de
aparecer. Isto é um conceitointuitivo de eventos igualmente prováveis ou equiprováveis.
Consideremos um experimento com espaço amostral finito. Vamos supor que possamosatribuir a mesma
chance de ocorrência a cada um dos eventos simples do espaço amostral. Podemos, então, usar a seguinte
definição de probabilidade:
Definição Clássica de Probabilidade: Consideremos um espaço amostral Ω com N elementos, os quais vamos
supor que sejam equiprováveis. Seja A um evento de Ω composto por n elementos. A probabilidade de A, que
denotaremos por P(A), é definida como:
Onde n representa o número de casos favoráveis ao sucesso do meu experimento, e N todos os possíveis
resultados do experimento.
Exemplos:
1. Em uma sala com 15 alunos, onde 5 são do sexo feminino, qual é a probabilidade de sortearmos um
menino, ao acaso?
X: Um menino ser sorteado
2. Qual é a probabilidade de sortearmos, ao acaso, uma menina?
Y: Uma menina ser sorteada

2. Axioma de Kolmogorov: Seja A um evento de Ω. O número P(A) associado ao evento satisfaz as seguintes
condições:
i.
ii.
iii. Se { ;é uma família de eventos, dois a dois disjuntos, então,
Exemplo:
3. Suponha o lançamento de duas moedas. Assim, as possibilidades de respostas para este experimento
podem ser descritas no espaço amostral como sendo:
. Podemos associar a este
experimento uma variável aleatória que conta o número de ocorrências de sucessos no experimento. Se
tivermos interessados em saber o número de caras de ocorreram neste experimento, de cara saberíamos
que os possíveis resultados seriam 0,1 ou 2. Assim, X=0,1,2. Logo:
a.
b.
c.
Probabilidade Condicional: Sejam A e B dois eventos de um espaço amostral. Supondo que P(A) > 0, a
probabilidade condicional de B dado A é definida por:
Desta expressão também obtemos a chamada regra do produto de probabilidades:
.
Exemplo:
4. Suponha que o seguinte Quadro 1 represente a quantidade de alunos que estão matriculados no entraram
no 1º período de 2012, divididos por sexo:
Quadro 1: Alunos matriculados no entraram no 1º período de 2012, em relação ao sexo
Curso Sexo Total
Masculino (M) Feminino (F)
Ciências Contábeis (C) 70 40 110
Educação Física (E) 15 15 30
Química (Q) 10 20 30
Odontologia (O) 20 10 30
Total 115 85 200
a) Dado que um estudante esteja matriculado no curso de Química, qual é a probabilidade deste aluno ser
do sexo feminino?
b) Dado que um estudante esteja matriculado no curso de Ciências Contábeis, qual é a probabilidade deste
aluno ser homem?

3. 5. Uma urna contém duas bolas brancas e três vermelhas. Suponha que seja sorteada, ao acaso, duas bolas.
Os possíveis resultados se encontram nos Quadros2 e 3 abaixo:
Quadro 2: Resultados do Quadro 3: Resultados do
experimento 5, sem reposição experimento 5, com reposição
Resultados Probabilidades Resultados Probabilidades
BB BB
BV BV
VB VB
VV VV
Total Total
Para os resultados do Quadro 2:
a) Qual é a probabilidade de sair uma bola branca no segundo lançamento,
dado que saiu uma bola vermelha no primeiro?
: Sair uma bola vermelha no primeiro i-ésimo lançamento
: Sair uma bola Branca no primeiro i-ésimo lançamento
b) Qual é a probabilidade de sair uma bola branca no segundo lançamento,
dado que saiu uma bola branca no primeiro lançamento?
Para os resultados do Quadro 3:
a) Qual é a probabilidade de sair uma bola branca no segundo lançamento,
dado que saiu uma bola vermelha no primeiro?
: Sair uma bola vermelha no primeiro i-ésimo lançamento
: Sair uma bola Branca no primeiro i-ésimo lançamento
b) Qual é a probabilidade de sair uma bola branca no segundo lançamento,
dado que saiu uma bola branca no primeiro lançamento?

4. Independência de eventos: Sejam A e B dois eventos e suponha que P(A) > 0. Os
eventos A e B são ditos independentes se:
De onde decorre que ,
Voltando ao exemplo anterior, para os resultados obtidos do Quadro 3, vemos
que, no experimento com reposição, o fato de reirarmos uma bola branca no segundo
sorteio independe do primeiro sorteio, preservando a mesma probabilidade.
Teorema de Bayes:
Exemplo:
6. Imagine que temos 5 urnas exatamente iguais, cada uma com 6 bolas. As urnas 1
e 2 , do tipo , contem 3 bolas brancas e 3 bolas pretas; As urnas 3 e 4, , do tipo
contem 4 bolas brancas e 3 bolas pretas; e a urna 5, do tipo contém 6 bolas
brancas.
a) Qual é a probabilidade de retirarmos uma bola branca dado que a urna
escolhida foi do tipo ?
B: Retirarmos uma bola branca
: Escolhermos a urna 1 ou 2.
b) Qual é a probabilidade de retirarmos uma bola branca dado que a urna
escolhida foi do tipo ?
B: Retirarmos uma bola branca
: Escolhermos a urna 3 ou 4.
c) Qual é a probabilidade de retirarmos uma bola branca dado que a urna
escolhida foi do tipo ?
B: Retirarmos uma bola branca
: Escolhermos a urna 5

5. E se quiséssemos saber a probabilidade de ter sido escolhida uma urna do tipo
dado que saiu uma bola branca? Dessa forma teríamos que utilizar o Teorema de Bayes
para encontrar esta probabilidade...
Definição do Teorema de Bayes: Sejam A um evento, uma partição do espaço
amostral Ω e P uma probabilidade definida sobre os eventos de Ω. Temos, para i = 1,
2,... , k,
Exemplo:
7. Voltando ao exemplo anterior, agora podemos encontrar a probabilidade de ter
sido escolhida uma urna do tipo dado que saiu uma bola branca.
Sabemos que
Mas
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