Este documento apresenta os conceitos fundamentais da lógica proposicional, incluindo: 1) Exemplos de argumentos formais e sua representação através de letras sentenciais; 2) Símbolos lógicos como conectivos ∧, ∨, ¬, →, ↔ e suas definições; 3) Conceitos de fórmulas bem formadas, formalização, semântica, validade, satisfatibilidade e consequência lógica.

1. CADERNOS DE INTELIGÊNCIA ARTIFICIAL
Exemplos em Python
Prof. Ronaldo F. Ramos, Dr
4 de novembro de 2019
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2. Introdução à Lógica Formal
Cálculo Proposicional
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3. Argumentos Idênticos
Vamos dar uma olhada nestes argumentos.
Hoje é sexta-feira ou sábado.
Hoje não é sábado.
∴ Hoje é sexta-feira.
Picasso pintou a Monalisa ou Leonardo da Vinci a pintou.
Picasso não pintou a monalisa.
∴ Leonardo da Vinci pintou a Monalisa.
Ele tem menos de 60 anos ou é idoso
Ele não tem menos de 60 anos
∴ Ele é idoso.
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4. Ponto em Comum
O que há de comum entre estes 3 argumentos?
R. A forma comum deles é:
A ou B.
Não é o caso que A.
∴ B.
Trata-se de um silogismo disjuntivo e as letras A e B são
chamadas de letras ou sı́mbolos sentenciais. As letras sentenciais
substituem as expressões. Por exemplo, a letra A pode ser alocada
no lugar da expressão Hoje é sexta-feira enquanto a letra B pode
representar a expressão Hoje é sábado o resultado seria:
Hoje é sexta-feira ou hoje é sábado.
Hoje não é sábado.
∴ Hoje é sexta-feira.
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5. Operadores Lógicos
As duas expressões são ligadas pelo termo ”ou”na primeira
premissa. Os temos ”e”, ”ou”, ”não”, ”se ... então...”e ”se e
somente se ...”são chamados de operadores ou conectivos lógicos.
A lógica de proposições costuma usar os seguintes sı́mbolos para os
operadores lógicos :
Operador Sı́mbolo
E lógico ∧
Ou lógico ∨
Não - Negação ¬ ou ∼
Se .. então →
Se e somente se ↔
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6. Operador Lógico ∧
Uma composição ligada pelo operador lógico ∧ chama-se de
conjunção. As palavras que são usadas em linguagem natural para
a conjunção costumam ser: e, mas, todavia,embora, contudo, no
entanto,visto que, além disso.
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7. Operador Lógico ∨
Uma composição ligada pelo operador lógico ∨ chama-se de
disjunção. Em linguagem informal usa-se normalmente o termo
”ou”de forma explı́cita ou implı́cita.
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8. Operador Lógico ¬ ∼
O operador lógico de negação ( ¬ ou ∼ ), também utilizado na
forma de ”Não é o caso que”é utilizado para formar uma setença
negando, ou afirmando o oposto, da primeira sentença já criada.
Observe que o operador não faz parte da setença.
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9. Operador Lógico →
Este operador (→) é utilizado para representar os condicionais.
Normalmente expressos na forma se... então .... A primeira parte
do enunciado se chama antecedente e a parte final de consequente.
Observe que em linguagem natural é comum que as coisas
apareçam de forma invertida.
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10. Operador Lógico ↔
Este operador (↔ ) é chamado de bicondicional. Um bicondicional
pode ser considerado como uma conjunção de dois condicionais.
Em linguagem natural usa-se o termo ”se e somente se ”. Ex.
T é um triângulo se e somente se T é um polı́gono de três lados.
Se T é um polı́gono de 3 lados, então T é um triângulo e se T é
um triângulo, então T é um polı́gono de 3 lados.
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11. Fórmulas
O silogismo anterior pode ser representado pelas seguintes
fórmulas:
A ∨ B
¬ A
∴ B
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12. Alfabeto da LP ζLP
O alfabeto da lógica proposicional é composto de:
I Sı́mbolos Proposicionais P = {p0, p1, ...pn}
I Conectivos ou operadores lógicos ¬, ∧, ∨, →, ↔,
I Elementos de pontuação ( )
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13. Fórmulas Bem Formadas (wff)
Definição:
I Todo sı́mbolo proposicional S ∈ ζLP é uma wff.
I se S é uma wff, então ¬S é uma wff.
I Se A e B são wff, então A ∧ B, A ∨ B, A → B, A ↔ B são
wff.
I Nada mais é uma wff.
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14. Formalização
Tranformação de sentenças e/ou argumentos em fórmulas.
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15. Formalização - Exemplo 1
Considerando a expressão: ”Ou está chovendo e faz sol, ou faz sol
e não está chovendo”.
Podemos extrair duas sentenças básicas desta expressão:
A : está chovendo
B : faz sol
Daı́ nossa expressão formalizada seria: (A ∧ B) ∨ (B ∧ ¬A)
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16. Formalização - Exemplo 2
”Não é o caso que se está chovendo não faz sol”.
Podemos extrair as mesmas sentenças básicas da expressão
anterior:
A : está chovendo
B : faz sol
Daı́ nossa expressão formalizada seria: ¬(A → ¬B)
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17. Semântica
Estudo semântico da LP (Lógica Proposicional) consiste em
verificar ou atribuir valores de verdade as sentenças. Uma sentença
poderá ter valor (V)(Verdade)(1) ou falso (F)(Falso)(0).
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18. Semântica
Considere uma sentença como: (A): Está chovendo. Podemos
dizer que esta sentença pode ser verdadeira ou falsa, ou seja, pode
assumir dois (Valores de Verdade) enquanto a sua negação
automaticamente assumiria o inverso.
A ¬ A
V F
F V
Tabela: Tabela de Verdade
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19. Tabela de Verdade
Sejam duas sentenças A e B. Vejamos a tabela de verdade possı́vel
para as conexões entre as mesmas.
A B A ∧ B A ∨ B A → B A ↔ B
V V V V V V
V F F V F F
F V F V V F
F F F F V V
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20. Validade e Satifazibilidade
Definição: Uma fómula é dita satisfazı́vel se existe uma valoração
de seus átomos (sentença indecomponı́vel) tal que a mesma se
torne semanticamente Verdadeira.
Ex. A setença A ∨ B é satisfazı́vel para A = V e B = V
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21. Validade e Satifazibilidade
Definição: Uma fórmula é dita válida, ou uma tautologia, se para
qualquer valoração de seus átomos ela será sempre verdadeira. Ex.
A setença A ∨ ¬A é válida para A = V e B = V, A = V e B = F,
A = F e B = V, A = F e B = F.
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22. Consequência Lógica
Definição: Uma fórmula B é consequência lógica de uma fórmula
ou conjunto de fórmulas A, se toda valoração que satisfaz A
também satisfaz B. Dizemos que A implica logicamente B.
Ex. A ∨ B → C A → C
Prova:
A B C A ∨ B A ∨ B → C A → C
V V V V V V
V V F V F F
V F V V V V
V F F V F F
F V V V V V
F V F V F V
F F V F V V
F F F F V V
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23. Equivalência Lógica
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24. Método de Prova 1 - Enumeração
A enumeração de tabelas de verdade constitui um dos métodos
de prova que podem ser usados na lógica proposicional.
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25. Teorema da Dedução
Teorema.
Seja Γ um conjunto de fórmulas e A e B duas fórmulas adicionais.
Γ ∪ A B ⇐⇒ Γ A → B
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26. Inferência por Modus Ponens
se A → B, dado A, então B
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27. Método de Prova 2 - Encadeamento pra Frente
Aplicação sucessiva de Modus Ponens pode nos levar a dedução de
novas sentenças a partir de um conjunto de axiomas (base de
conhecimento). Ex.
Dados A, B provamos Q,P,M,L
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28. Método de Prova 3 - Encadeamento pra Trás
Aplicação de Modus Ponens nas cláusulas, sentenças ou fórmulas
partindo da sentença que se deseja provar até que se encontrem as
premissas verdadeiras na base de conhecimento.
Provamos Q uma vez que chegarmos a A e B.
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29. Construindo Tabelas de Verdade
Vamos ao Nosso Caderno
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