Integração Dupla: Exercícios resolvidos

1. numerosnamente 1
Integração Dupla
Exercícios resolvidos
1- Calcule o valor de ∫ ∫ ( )
∫ ∫ ( )
∫ ∫ = ∫
( )
[ ]
( )
Nota que: ∫ ( )
[
( )
] ( )
2- Verifique se o valor de ∫ ∫ é igual ao valor de ∫ ∫
∫ ∫ ∫ [ ]
Note que: ∫ [ ]
∫ ∫ ∫ [ ] [ ]
Note que: ∫ [ ]
3- Calcule ∫ ∫
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ [ ]
∫ [ ] [ ]

2. numerosnamente 2
4- Calcule ∬ , no domínio { }
Com
Marcamos duas áreas a serem calculadas:
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ [ ] ∫ [ ]
∫ [ ] [ ] [ ]
5- Indique os limites de integração para ∬ no domínio da figura:
Podemos dividir a área em três pequenas áreas a calcular:

3. numerosnamente 3
I = ∫ ∫
II =∫ ∫
√
III = ∫ ∫√
6- Para o integral ∬ , indique os limites de integração através da figura:
∬ ∫ ∫ ∫ ∫
√√
√
7- Calcular ∬ para a região R:
∬ ∫ ∫ ∫ [ ] ∫

4. numerosnamente 4
[ ]
8- Calcular ∬ para a região da figura definida pelo triângulo com vértices
em .
∬ ∫ ∫ ∫ [ ] ∫ ( )
∫ ∫ [ ] [ ] ( )
9- Determine o volume abaixo do gráfico de e acima da região rectangular R:
∫ ∫ ∫ [ ] ∫ [ ]

5. numerosnamente 5
10- Determine o volume do sólido abaixo do gráfico de e acima da região
do plano XY definido pelas condições 
∫ ∫ ∫ ∫ ∫
[ ]
∫
∫ [ ] [ ] [ ]
11- Esboce a região de integração para o integral ∫ ∫ e escreva um integral
equivalente com a ordem de integração diferente.
∫ ∫
√

6. numerosnamente 6
12- Esboce a região de integração para o integral ∫ ∫ e escreva um
integral equivalente com a ordem de integração diferente.
∫ ∫
13- Esboce a região de integração para o integral ∫ ∫
√
e escreva um
integral equivalente com ordem de integração diferente.
I=∫ ∫
√√
II= ∫ ∫√

7. numerosnamente 7
III=∫ ∫
√
14- Esboce a região de integração para o integral ∫ ∫ e escreva um
integral equivalente com ordem de integração diferente.
Resolva o primeiro integral.
∫ ∫ ∫ ∫
Vamos resolver ∫ ∫
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ [ ] [ ]
∫ [ ] ∫ [ ]
∫ [ ] [ ]

8. numerosnamente 8
15- Considere a função . Determine o volume abaixo do gráfico da
função
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ [ ]
∫ ….Agora temos de integrar por partes:
∫ ( ) ∫
∫ ( )
∫ [ ( )] [ ]

9. numerosnamente 9
16- Calcule o integral ∬ no domínio  
∫ ∫ ∫
√
[ ]
√
∫ ( ) ∫ ( )
17- Esboce a região de integração e troque a ordem de integração para
∫ ∫
√
√
∫ ∫ ∫ ∫